Tri Dokaza Heronove Formule

Ormanica, 20.01.2010. god.Ormanica, 20.01.2010. god.

HERONOVA FORMULAHERONOVA FORMULA

Heronov rad u oblasti matematike i fizike Heronov rad u oblasti matematike i fizike imao je “skoro enciklopedijski” značaj. U imao je “skoro enciklopedijski” značaj. U nizu radova obradio je konstrukciju i nizu radova obradio je konstrukciju i upotrebu razliupotrebu različitih instrumenata za čitih instrumenata za mjerenje; dao komentar Euklidovih mjerenje; dao komentar Euklidovih ElemenataElemenata i sopstvene i sopstvene DefinicijeDefinicije (zasnovane na Euklidovim, a namenjene (zasnovane na Euklidovim, a namenjene izvjesnom Dionisijusu u cilju ''razumijevanja izvjesnom Dionisijusu u cilju ''razumijevanja ne samo Euklidove doktrine, već i ostalih ne samo Euklidove doktrine, već i ostalih radova u domenu geometrije''). radova u domenu geometrije'').


Sačuvano je i nekoliko djela o površinamaSačuvano je i nekoliko djela o površinama i zapreminama, od kojih je najpoznatija i zapreminama, od kojih je najpoznatija

Metrika.Metrika. Pretpostavlja se da je ona bila Pretpostavlja se da je ona bila namijenjena studentima Tehnološkog namijenjena studentima Tehnološkog instituta u Aleksandriji, gde je Heron instituta u Aleksandriji, gde je Heron predavao. Time se može opravdati predavao. Time se može opravdati

činjenica da u činjenica da u MetriciMetrici postoje samo primjeri, postoje samo primjeri, bez dokaza. Ipak, ostaje mogućnost da je bez dokaza. Ipak, ostaje mogućnost da je Heron svjesno stavio akcenat na ''praktičnu Heron svjesno stavio akcenat na ''praktičnu primjenu, prije nego na teorijsku primjenu, prije nego na teorijsku kompletnost''.kompletnost''.


U uvodu I knjige U uvodu I knjige MetrikeMetrike Heron je Heron je zabilježio da se ''geometrija rodila iz zabilježio da se ''geometrija rodila iz potrebe za mjerenjem i podjelom potrebe za mjerenjem i podjelom zemlje (odakle i potiče njen naziv), zemlje (odakle i potiče njen naziv), poslije čega je proširenje na tri poslije čega je proširenje na tri dimenzije postalo neophodno da dimenzije postalo neophodno da bi se mjerila čvrsta tijela''.bi se mjerila čvrsta tijela''.


Površina nejednakostraničnog Površina nejednakostraničnog

trouglatrougla

Formula za izračunavanje površine Formula za izračunavanje površine nejednakostraničnog trougla kojem su nejednakostraničnog trougla kojem su poznate dužine sve tri stranice: poznate dužine sve tri stranice:

P=P=

poznata je pod imenom poznata je pod imenom Heronova Heronova formulaformula..

))()(( csbsass


U U MetriciMetrici (knjiga I) Heron razmatra (knjiga I) Heron razmatra problem izračunavanja površine trougla problem izračunavanja površine trougla stranica poznatih dužina i nudi dva metoda stranica poznatih dužina i nudi dva metoda za rješavanje problema:za rješavanje problema:

I metod: I metod: Ovaj metod je baziran na 12. i 13. stavu II Ovaj metod je baziran na 12. i 13. stavu II

knjige knjige Elemenata Elemenata : :


stav 12stav 12: U svakom tupouglom trouglu kvadrat : U svakom tupouglom trouglu kvadrat na strani naspram tupog ugla je veći od zbira na strani naspram tupog ugla je veći od zbira kvadrata na stranama koje obrazuju tup ugao kvadrata na stranama koje obrazuju tup ugao za dvostruki pravougaonik obuhvaćen jednom za dvostruki pravougaonik obuhvaćen jednom stranom tupog ugla(onom na čije produženje stranom tupog ugla(onom na čije produženje pada spuštena normala) i rastojanjem te pada spuštena normala) i rastojanjem te normale od tjemena tupog ugla.normale od tjemena tupog ugla.


stav 13stav 13: U svakom oštrouglom trouglu : U svakom oštrouglom trouglu kvadrat na strani naspram oštrog ugla je kvadrat na strani naspram oštrog ugla je manji od zbira kvadrata na stranama koje manji od zbira kvadrata na stranama koje obrazuju oštar ugao za dvostruki obrazuju oštar ugao za dvostruki pravougaonik obuhvaćen jednom stranom pravougaonik obuhvaćen jednom stranom oštrog ugla(onom na koju je spuštena oštrog ugla(onom na koju je spuštena normala) i rastojanjem te normale od normala) i rastojanjem te normale od tjemena oštrog ugla.tjemena oštrog ugla.


Postoje indicije da je za formulu znao i Postoje indicije da je za formulu znao i

ArhimedArhimed, a, s obzirom da je „Metrika“ , a, s obzirom da je „Metrika“ kolekcija matematičkih znanja kojima je kolekcija matematičkih znanja kojima je raspolagao antički svijet, moguće je da raspolagao antički svijet, moguće je da ju je Heron samo zabilježio, a ne i otkrio. ju je Heron samo zabilježio, a ne i otkrio.


Formula ekvivalentna Heronovoj, a Formula ekvivalentna Heronovoj, a zapisana u obliku:zapisana u obliku:

bila je poznata u drevnoj bila je poznata u drevnoj KiniKini, a otkrivena , a otkrivena je nezavisno od Grka. Može se naći u je nezavisno od Grka. Može se naći u čuvenom djelu „Devet knjiga o čuvenom djelu „Devet knjiga o matematičkoj vještini“ (matematičkoj vještini“ (Shushu JiuzhangShushu Jiuzhang), ), koje je objavio Qin Jiushao koje je objavio Qin Jiushao 12471247. godine.. godine.

22222

22

1

bcacaP


Dokaz (1): Neka su poznate stranice a,b,c Dokaz (1): Neka su poznate stranice a,b,c trougla i neka je poluobim dat sa trougla i neka je poluobim dat sa

Neka je ugao pri vrhu C oštar. Dalje neka je N Neka je ugao pri vrhu C oštar. Dalje neka je N podnožje visine iz tačke C. Neka je dalje podnožje visine iz tačke C. Neka je dalje

2

cbas

ABC

hCN xAN xcANABNB


Posmatrajmo trougao Posmatrajmo trougao

Isti je pravougli i prema Pitagiorinoj teoremi Isti je pravougli i prema Pitagiorinoj teoremi imamo (2)imamo (2)

Slično je trougao pravougli, pa je Slično je trougao pravougli, pa je

(3)(3)

Iz relacija (2) i (3) imamo:Iz relacija (2) i (3) imamo:

ANC

222 xbh CNB

222 )( xcah

2222 )( xcaxb


Dalje je Dalje je

(4)(4)

Uvrstimo li ralaciju (4) u (2) dobijamo Uvrstimo li ralaciju (4) u (2) dobijamo

2222 acbcx

c

acbx

2

222

222222

2

c

acbbh

c

acbb

c

acbbh

22

2222222


..c

cbabc

c

cbabc

2

2

2

2 222222

c

acb

c

cba

2

)(

2

)( 2222

c

acbacb

c

cbacba

2

))((

2

)(

24

)()(

c

acbacbcbacba


Kako je Kako je

To je To je

cbabscbacs

acbascbas

22,22

22,2

2

2

4

22)(22222

c

csbsassh

2

2 )(4

c

csbsassh


Odnosno Odnosno

))()((4

22

csbsassch

))()((2

csbsasshc

))()(( csbsassP


Dokaz 2: Ovdje imamo dokaz upotrebom Dokaz 2: Ovdje imamo dokaz upotrebom kompleksnih brojeva kompleksnih brojeva

Neka je I središte upisane kružnice trougla Neka je I središte upisane kružnice trougla ABC, poluprečnika r. Neka je dalje ABC, poluprečnika r. Neka je dalje

Dužine stranica naspram tjemena A, B, C. Dužine stranica naspram tjemena A, B, C. Kako je Kako je

yxcxzbzya ,,

zyxs

yxxzzycbas

2


Očigledno je Očigledno je

Koristeći poluprečnik r, realne brojeve x,y,z,u,v i Koristeći poluprečnik r, realne brojeve x,y,z,u,v i w te uglove .w te uglove .

Definišimo kompleksne brojeve Definišimo kompleksne brojeve

2222

,,

izriyrixr ,,


Takve da je Takve da je

Sada je Sada je

(5)(5)

ieuixr ieviyr iewizr

))()(( izriyrixr

)( ieu )( iev )( iew

)( ieuvw uvweuvw


S druge strane je lijeva strana (5) data sa S druge strane je lijeva strana (5) data sa

Izjednačavajući realni i imaginari dio Izjednačavajući realni i imaginari dio dobijamo:dobijamo:

ixyzryzrxzrxyzir

yirxirrizriyrixr

2

223))()((

xyzzxxr

izriyrixr

)(

))()(Im(02


Sada jeSada je

Kako jeKako je

To je To je

s

yxszxszys

zxx

xyzr

yxcxzbzya ,,

zyxs

s

csbsasr


Kako je površina trougla ABC jednaka zbiru Kako je površina trougla ABC jednaka zbiru površina trouglova BIA, CIB, AIC to je :površina trouglova BIA, CIB, AIC to je :

rsrcrbra

P 222

csbsassss

csbsasP


Ključnu ulogu igra relacija (5) iz koje se vidi da Ključnu ulogu igra relacija (5) iz koje se vidi da je proizvod kompleksnih brojeva je proizvod kompleksnih brojeva

realan broj, pa mu je imaginarna vreijednost realan broj, pa mu je imaginarna vreijednost jednaka 0. Ova činjenica se koristi za jednaka 0. Ova činjenica se koristi za jednostavno izračunavanje poluprečnika jednostavno izračunavanje poluprečnika trougla upisane kružnice koja se na trougla upisane kružnice koja se na jednostavan način može izraziti preko jednostavan način može izraziti preko poluobima s. poluobima s.

))()(( izriyrixr


Dokaz(3): Ovdje ću dati takozvani moderni Dokaz(3): Ovdje ću dati takozvani moderni dokaz formule koja koristi algebru i dokaz formule koja koristi algebru i trigonometriju i koji je drugačiji od originalnog trigonometriju i koji je drugačiji od originalnog Heronovog dokaza. Heronovog dokaza.

Stoga neka su a,b i c stranice trougla ABC a,Stoga neka su a,b i c stranice trougla ABC a, odgovarajući uglovi koji se nalaze odgovarajući uglovi koji se nalaze

nasuprot stranica trougla. nasuprot stranica trougla. Prema kosinusnoj teoremi imamo da je Prema kosinusnoj teoremi imamo da je

i,

ab

cba

2cos

222


Iz nje dobijamo algebarsku jednakost:Iz nje dobijamo algebarsku jednakost:

Visina trougla koja odgovara osnovici a ima Visina trougla koja odgovara osnovici a ima

dužinu pa je dužinu pa je

Kako je . Kako je .

ab

cbaba

2

4cos1sin

222222

sinbh

sin2

1

2

1 bahaP

2222224sin2 cbababa


Imamo da je: Imamo da je:

csbsass

cbacbabacbac

cbabac

cbaabcbaab

cbabaP

::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::4

14

1

224

1

44

1

2222

222222

222222


Numerička stabilnost Numerička stabilnost

Heronova formula je numerički nestabilna za Heronova formula je numerički nestabilna za trouglove sa malim uglom. Stabilna alternativa trouglove sa malim uglom. Stabilna alternativa zahtijeva uređenje dužina stranica trougla tako zahtijeva uređenje dužina stranica trougla tako da važi relacija i formula: da važi relacija i formula:

Zagrade su potrebne da bi spriječile numeričku Zagrade su potrebne da bi spriječile numeričku nestabilnost izračunavanja. nestabilnost izračunavanja.

cba

cbacbabacbacP 4

1


Generalizacija Generalizacija

Ustvari Heronova formula je specijalni Ustvari Heronova formula je specijalni slučaj Bramaguptine formule za površinu slučaj Bramaguptine formule za površinu tetivnog četverougla, a obje formule su tetivnog četverougla, a obje formule su specijalni slučaj Bretšnajderove formule za specijalni slučaj Bretšnajderove formule za površinu četverougla.površinu četverougla.

U oba slučaja Heronova formula se dobija U oba slučaja Heronova formula se dobija ukoliko se za jednu staranicu od ukoliko se za jednu staranicu od četverougla pretpostavi da je dužina četverougla pretpostavi da je dužina jednaka nuli. jednaka nuli.


Heronova formula je takođe poseban Heronova formula je takođe poseban slučaj formule za površinu trapeza slučaj formule za površinu trapeza koja koristi samo njegove stranice, i koja koristi samo njegove stranice, i može se dobiti iz nje, ukoliko se uzme može se dobiti iz nje, ukoliko se uzme da je manja osnovica trapeza jednaka da je manja osnovica trapeza jednaka nuli. nuli.


Heronova formula pomoću determinante Heronova formula pomoću determinante

čiji su članovi kvadrati dužina stanica, a i čiji su članovi kvadrati dužina stanica, a i pokazuje njenu sličnost sa Tartaljinnovom pokazuje njenu sličnost sa Tartaljinnovom formulom za zapreminu tetraedra izgleda:formulom za zapreminu tetraedra izgleda:

0111

10

10

1

4

122

22

22

cb

ca

bao

P


Hvala na pažnji. Hvala na pažnji.

Documents

Tri Dokaza Heronove Formule