Trigonometri

Trigonometri

Dra. Suryawati, M. Pd.

Dicetak oleh :Percetakan & Penerbit

Syiah Kuala University PressDarussalam, Banda Aceh

TRIGONOMETRI

Dra. SURYAWATI, M.Pd

SYIAH KUALA UNIVERSITY PRESS2017

Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang

Penulis : Dra. Suryawati, M.PdPenerbit : Syiah Kuala University PressTelp : (0651) 801222

Dilarang keras memperbanyak, memfotocopy sebagian atau seluruh isi buku ini, sertamemperjualbelikannya tanpa mendapat izin tertulis dari penerbit.Diterbitkan oleh Syiah Kuala University Press Darussalam –Banda Aceh, 23111Judul Buku : Trigonometri

Email : upt.percetakan@unsyiah.ac.idCetakan : Pertama, 2017ISBN : 978-602-5679-06-3Anggota Ikatan Penerbit Indonesia (IKAPI)

i

KATA PENGANTAR

Syukur Alhamdulilah penulis panjatkan kehadirat

Allah SWT, atas selesainya penulisan buku

TRIGONOMETRI. Penulisan buku ini bertujuan untuk

memenuhi tuntutan materi mata kuliah Trigonometri pada

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Syiah

Kuala. Permbahasannya disesuaikan dengan kurikulum

mata kuliah Trigonometri pada Jurusan Pendidikan

Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Syiah Kuala.

Bahan kajian terdiri dari; Perbandingan Trigonometri,

Identitas Trigonometri, Grafik Fungsi Trigonometri,

Persamaan Trigonometri, Pertidaksamaan Trigonometri,

Pemakaian Trigonometri, Limit Fungsi Trigonometri, Relasi

Inversi, Teorema De Moivre. Bahan kajian ini didasarkan

dan ditekankan pada bahan ajar Matematika Sekolah dimana

Trigonometri merupakan salah satu bidang yang diajarkan.

Penulisan buku ajar ini dirasakan sangat strategis dan

bijak guna memenuhi tuntutan mahasiswa untuk

mendapatnkan materi kuliah yang sesuai dengan

perkembangan kurikulum Matematika Sekolah.

ii

Dalam buku ajar ini diberikan contoh-contoh untuk

memberikan ilustrasi pada suatu konsep dengan harapan

pembaca akan memahami bahwa konsep yang sedang

dipelajari tidak hanya berupa kumpulan rumus, melainkan

dapat dihubungkan dengan kepentingannya dalam

pemecahan masalah yang kontekstual. Demikian pula setiap

bab dilengkapi dengan sejumlah soal, baik yang dipecahkan

ataupun tidak dengan harapan pembaca dapat terampil

dalam pemecahan soal yang pada gilirannya mampu

mengajarkan dan mengembangkan materi trigonometri di

berbagai tingkatan pendidikan.

Akhirnya pada kesempatan ini penulis sampaikan

terima kasih kepada berbagai pihak yang telah membantu,

baik secara materil dan immateril sehingga tersusunnya

buku ajar ini. Pada kesempatan ini pula penulis akan sangat

berterima kasih jika para pembaca menyampaikan kritik dan

saran untuk perbaikan buku ajar ini.

Desember, 2017

Penulis

iii

DAFTAR ISI

Kata pengantar ............................................................................... i

Daftar isi ........................................................................................ iii

BAB I. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI ............................ 1

A. Ukuran Sudut Dalam Derajat ....................................... 2

B. Ukuran Sudut Dalam Radian ........................................ 3

C. Perbandingan Trigonometri ........................................... 5

D. Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa................. 10

BAB II. IDENTITAS TRIGONOMETRI ...................................... 16

A. Rumus Rumus Dasar .................................................... 16

B. Fungsi Trigonometri Sudut Berelasi ............................. 19

C. Rumus Fungsi Trigonometri Untuk Jumlah Dan

Selisih Dua Sudut ....................................................... 26

1. Rumus Sinus dan Cosinus, Jumlah dan Selisih

Dua Sudut ............................................................... 26

2. Rumus Tangen, Jumlah Dan Selisih Dua Sudut..... 29

3. Rumus-rumus Sudut Rangkap ................................ 30

D. Rumus Sudut Pertengahan ............................................ 34

E. Perkalian Fungsi Trigonometri ..................................... 36

F. Rumus Sinus dan Cosinus, Jumlah dan Selisih ............ 37

BAB III. GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI ......................... 55

A. Domain dan Range Fungsi Trigonometri Sederhana ... 55

B. Grafik Fungsi Trigonometri Sederhana........................ 57

C. Grafik Fungsi Trigonometri Lanjutan........................... 60

iv

BAB IV. PERSAMAAN TRIGONOMETRI ............................. 67

A. Persamaan Sederhana .................................................. 67

B. Persamaan Berbentuk a cos x + b sin x = c ................ 70

C. Persamaan Berbentuk a cos xo + b sin xo.................... 73

D. Persamaan a sin x cos x + b (cos x ± sin x) + c = 0 .... 76

E. Dua Persamaan dengan Dua Variabel ......................... 80

BAB V. PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI ................... 85

A. Pertisaksamaan Sederhana .......................................... 85

B. Pertidaksamaan dalam Bentuk Pecahan ...................... 87

BAB VI. PEMAKAIAN TRIGONOMETRI ............................... 95

A. Luas Segitiga dan Aturan Sinus................................... 95

B. Aturan Kosinus ............................................................ 98

BAB VII. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI.............................. 106

BAB VIII. RELASI INVERSI ....................................................... 112

A. Pendahuluan ................................................................. 112

B. Fungsi Invers Trigonometri (Siklometri) ..................... 113

BAB IX. TEOREMA DE MOIVRE .............................................. 117

A. Koordinat Polar ........................................................... 117

B. Teorema De Moivre .................................................... 120

DAFTAR PUSTAKA

1

BAB I

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

Sebelum mengkaji masalah perbandingan fungsi trigonometri

perlu dipahami terlebih dahulu suatu besaran yang menunjukkan

ukuran suatu sudut. Dalam trigonometri ada dua macam ukuran sudut

yang sering digunakan yaitu derajat dan radian.

A. Ukuran Sudut Dalam Derajat

Gerak jarum jam dapat dituliskan oleh gerak jari-jari lingkaran

seperti diperlihatkan pada gambar di bawah, sehingga ukuran besar

sudut ditentukan oleh jarak putar jari-jari lingkaran terhadap garis OX.

Jika jarum digerakkan sehingga ujungnya yang semula di A berpindah

ke B, kemudian ke C dan kembali lagi ke A maka dikatakan jarum ini

bergerak dalam satu putaran. Panjang lintasan yang ditelusuri oleh

titik ujung jarum sama dengan keliling lingkaran dan besar sudut yang

disapu oleh jarum sama dengan 360o

16

BAB II

IDENTITAS TRIGONOMETRI

A. Rumus-Rumus Dasar

Untuk sembarang sudut maka berlaku identitas- identitas berikut :

a. Sin2 + cos2 = 1 Sin2 = 1 - cos2

cos2 = 1 - Sin2

b. Tan =

cos

sin ; cotan =

tan

1

sin

cos

c. Sec = cos

1 ; cosec =

sin

1

d. Sec2 = 1 + tan2

e. Cosec2 = 1 + cotan2

Contoh :

1. Buktikan: cot . sec . cosec = 1 + cot2

Bukti :

2

2

2

cot1

cos

sin

1

sin

1

cos

1

sin

coscosseccot

an

ec

ec

55

BAB III

GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

A. Domain dan Range Fungsi Trigonometri Sederhana

Agar memperlancar pembahasan grafik fungsi trigonometri,

maka perlu meninjau kembali pengertian fungsi, domain, dan range.

Jika f = { x, f(x) | xD} menyatakan fungsi, maka D adalah

domain dari f. Seringkali fungsi f dinyatakan sebagai:

f = { (x,y) | y = f (x), xD}.

Perhatikan bahwa RD , dan y = f (x) disebut sebagai persamaan

dari f

Fungsi trigonometri dapat juga didefinisikan sebagai:

Definisi 1.

sinus =

sudutukurandanRryr

y ,,sinsin,

Definisi 2.

cosinus =

sudutukurandanRrxr

x ,,coscos,

Definisi 3. tangen= { ,tantan,x

y y, x R, θ ≠ (2k +1) ,

kB, dan θ ukuran sudut}

Definisi 4. cotangen= { ,cotcot,y

x y, x R, θ ≠ k. , k

B, dan θ ukuran sudut}

67

BAB IV

PERSAMAAN TRIGONOMETRI

A. Persamaan Sederhana

Definisi :

Persamaan trigonometri adalah suatu persamaan yang

variabelnya merupakan fungsi trigonometri.

Persamaan sederhana adalah persamaan trigonometri yang

langsung dapat dikembalikan kedalam bentuk sin x = a, cos x = a, dan

tan x = a. Diperlukan beberapa dalil untuk menyelesaikan persamaan

trigonometri yaitu :

Dalil 1 : jika sin x = sin maka x= + k.360o dan

x= (180o - )+ k.360o

Supaya persamaan sin x = a dapat diselesaikan maka

a 1.

Dalil 2 : jika cos x = cos maka x = + k.360o

Dalil 3 : jika tan x = tan maka x = + k.180o

85

BAB V

PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI

A. Pertidaksamaan Sederhana

Dalam menyelesaikan soal pertidaksamaan trigonometri, perlu

diingat kembali cara penyelesaian soal pertidaksamaan dalam aljabar.

Hal ini perlu mengingat cara penyelesaian persamaan trigonometri

adalah sama dengan penyelesaian pertidaksamaan dalam aljabar.

Secara garis besar langkah yang ditempuh adalah :

Ruas kanan dari pertidaksamaan dijadikan nol

1. Sederhanakan ruas kiri, kemudian cari harga nol ruas kiri

2. Daftarkan harga nol tersebut pada garis bilangan

3. Tentukan tanda daerah atau interval yang terjadi

4. Selesaikan pertidaksamaan sebagaimana yang dikehendaki

Untuk jelasnya perhatikan contoh berikut :

Contoh :

1. Cari himpunan penyelesaian dari sin x< cos x untuk 0 ≤ x ≤ 360o

Penyelesaian :

Sin x< cos x

Sin x – cos x< 0

Harga nol ruas kiri : sin x – cos x = 0

Sin x = cos x x = 90o – x + k . 360o

x = 180o – 90o + x + k . 360o

x = 45o + k . 180o

95

BAB VI

PEMAKAIAN TRIGONOMETRI

A. Luas Segitiga Dan Aturan Sinus

Perhatikanlah suatu segitiga dalam salah satu segitiga dalam

salah satu titik sudutnya pada pusat-pusat sumbu koordinat, sedangkan

salah satu sisinya berimpit dengan sumbu x positif. Selanjutnya

ambillah ̅̅ ̅̅ = c, ̅̅ ̅̅ = a, dan = b, sedangkan C = α, A = β,

dan B = γ,

Jika tinggi = h, maka luas daerah segitiga ABC dapat

dinyatakan dengan :

A =

alas x tinggi

=

c.h

Pada segitiga DCB diperoleh h = ̅̅ ̅̅ sin(-α) = ̅̅ ̅̅ sinα

Akibatnya :

A =

h.c

=

BC. C sinα =

bc sinα

D B A

C

b

c

a

h

106

BAB VII

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Untuk menentukan limit fungsi trigonometri kita perlu

mengetahui rumus penting berikut:

a. 1sin

lim0

x

b. 1tan

lim0

x

Bukti:

Perhatikan gambar di samping:

Misalkan sebuah sudut lancip pada juring lingkaran dengan

jari-jari 1 satuan. Titik P (cos , sin ), B (1,0), dan Q (1, tan). Dari

gambar tersebut diperoleh :

1. luas segitiga OBP = 2

1. 1. sin =

2

1 sin

112

BAB VIII

RELASI INVERSI

A. Pendahuluan

Perhatikan kedua pernyataan berikut: ”sudut lancip yang

sinusnya y adalah x “. Kebalikannya dari persamaan tersebut adalah x

sudut lancip yang sinusnya y.

Kedua pernyataan ini dapat dituliskan menjadi: y = sin x atau x = arc

sinus y ( baca arcus sinus y ) = sin-1 y ( baca invers sinus y ).

Bentuk notasi = arc sinus y diperkenalkan oleh D.

Bernaulli dan L. Buler (1730), sedangkan bentuk = sin-1 y

diperkenalkan oleh J. Herschel (1813).

Selanjutnya secara umum dikatakan bahwa jika:

f = { (x,y) | y = sin x } merupakan fungsi D R, f-1 adalah relasi dari

RD

Perlu anda perhatikan bahwa f = { (x,y) | y = sin x, xD } maka

f-1 = { (x,y) | x = sin f-1, -1 y 1 }

x

Sin -1x

Y= sin x

x

117

BAB IX

TEOREMA DE MOIVRE

A. Koordinat Polar

Perhatikan suatu titik P ( a,b ) dalam system koordinat

cartesius. Selanjutnya jarak OP = r dan POX = . Terdapat

kemungkinan bahwa sudut adalah positif atau negatif.

P (a,b) Selanjutnya jika r dan

sudah tertentu, (2k )

r b dan (-r, + (2k - 1) ) akan

menentukan satu titik yang

sama untuk k titik P (a,b)

O a X dengan adan b tertentu atau

sebaliknya.

Pada sistem koordinat cartesius terdapat korespodensi satu-satu antara

himpunan semua titik pada bilangan koordinat dengan titik himpunan:

{ (x,y) | y = f(x), x Df }

Pasangan (r, ) menentukan suatu titik dalam koordinat polar. Dengan

demikian bidang polar dirumuskan sebagai himpunan titik-titik:

{ (r, ) | r R, ukuran sudut }

Pada system koordinat polar tidak terdapat hubungan satu-satu antara

himpunan semua titik pada bidang koordinat dengan himpunan

pasangan berurut (r, ) | r R, ukuran sudut sebab (r, ) , (r, +

Y

DAFTAR PUSTAKA

Alders, CJ (1968), Ilmu Ukur Segitiga, Pradya Paramita, Jakarta.

Anonymous (2013). Matematika. Departemen Pendidikan dan

Kebudayaan, Jakarta.

Anonymous. Trigonometry. New York: Schaum’s Outline Series

McGraw-Hill Book Company.

B.K. Noormandiri (2005). Matematika SMA untuk kelas XI,

Erlangga, Jakarta.

Besari, Ismail dan SM, Yogia (1986). Materi Pelajaran Matematika,

CV Yrama, Bandung.

E. Daiman dan Listya, Tri Dewi (1995). Penuntun Belajar

Matematika. Ganeca Exact, Bandung.

Frank Ayres, JR. Theory and Problem of Trigonometry. New York:

Schaum’s Outline Series McGraw-Hill Book Company.

Negoro dan B. Harahap (1982). Ensiklopedi Matematika.

Sri Widodo. Ilmu Ukur Sudut untuk SMA, SMA Negeri 1 Surakarta,

Jilid 1,2 dan 3.

Sudarinah (1974). Goniometri, FKIE IKIP Surakarta.

Trigonometri

Trigonometri

Dra. Suryawati, M. Pd.

Dicetak oleh :Percetakan & Penerbit

Syiah Kuala University PressDarussalam, Banda Aceh