TRIGONOMETRA
Objetivos del tema:
++Conocer y usar las razones trigonomtricas para la resolucin de
problemas. ++Determinar el signo de las razones trigonomtricas en
cada cuadrante. ++Reducir el clculo de razones trigonomtricas de un
ngulo mayor de 90 al 1er cuadrante. ++Dada una de las razones
trigonomtricas ser capaz de determinar las dems. ++Conocer y usar
las frmulas trigonomtricaspara simplificar expresiones: ++Razones
trigonomtricas de la suma de ngulos. ++Razones trigonomtricas de la
diferencia de ngulos. ++Razones trigonomtricas del ngulo doble.
++Razones trigonomtricas del ngulo mitad. ++Conversin de sumas y
diferencias de razones trigonomtricas en productos. ++Resolver
tringulos rectngulos. ++Resolver tringulos cualesquiera.
++Aplicaciones de la Trigonometra a la resolucin de problemas de la
vida diaria. ++Resolver ecuaciones trigonomtricas.
En ocasiones, medir la distancia entre dos puntos o alturas de
determinados objetos no es nada fcilporque no podemos ir
directamente con un metro dada la posicin o magnitud del objeto a
medir. Pinsese en la medicin de la altura de un edificio muy alto y
la imposibilidad de caminar por su fachada con una cinta mtrica o
la dificultad de
medirlaalturadeunrbololadistanciaentredosobjetosdelUniverso(comoentredos
planetas,dosestrellas,etc).Qupodemoshacerentonces,desistirdenuestrointentode
medir?. La respuesta en no, nicamente habremos de recurrir a
procedimientos indirectos de medicin para los cuales nos ayudar
mucho el conocimiento de esta rama de la matemtica llamada
Trigonometra que basa todas las mediciones en triangulaciones en
las que conocidos algunos delos seiselementosde untringulo(3ngulos
ytreslados),podremosdeterminar los dems desconocidos y, en especial
aqul o aqullos que nos interese. Se podra decir que la Trigonometra
tiene la respuesta a nuestro problema de mediciones indirectas de
distancias inaccesibles o que plantean especial dificultad por su
forma o posicin
EN ESTE TEMA TRATAREMOS LOS SIGUIENTES CONTENIDOS:
1)1) Medida de ngulos. Grados y radianes. 2)2) Razones
trigonomtricas en un tringulo rectngulo. 3)3) Circunferencia
goniomtrica. Signo de las razones trigonomtricas. 4)4) Razones
trigonomtricas de algunos ngulos de uso muy frecuente. 5)5)
Ecuaciones fundamentales de la trigonometra. 6)6) Reduccin al
primer cuadrante. 7)7) Razones trigonomtricas de la suma y
diferencia de ngulos. 8)8) Razones trigonomtricas del ngulo doble.
9)9) Razones trigonomtricas del ngulo mitad. 10)10)
Transformaciones de sumas en productos y viceversa. 11)11)
Simplificacin de expresiones trigonomtricas. Ecuaciones
trigonomtricas. 12)12) Resolucin de tringulos rectngulos. 13)13)
Resolucin de tringulos cualesquiera. Teorema de los senos y Teorema
del coseno. 14)14) Aplicaciones de la Trigonometra a la resolucin
de problemas de la vida diaria. 15)15) Funciones trigonomtricas.
16)16) Funciones trigonomtricas inversas.
1.1.Medida de ngulos. Grados y radianes.
Se puede definir un ngulo como la regin del plano comprendida
entre dos semirrectas que tienen su origen comn. A las semirrectas
se las llama lados y al origen comn vrtice.
Si tomamos unos de los lados como origen (inmvil) y,
consideramos que el ngulo se forma cuando, coincidiendo en un
principio los dos lados, uno de ellos se abre sobre el otro como si
ambos estuvieran clavados sobre el vrtice, podemos asignar un signo
a los ngulos diciendo que el ngulo espositivo si el lado mvil se
desplaza sobre el otro en sentido contrario al movimiento de las
agujas del reloj y negativo en caso contrario.
Dado que un ngulo es una magnitud, podemos medirlo pero para
ello necesitamos unas unidades de medida adecuadas que vamos a
definir en dos sistemas de medida diferentes:
a)a) Sistema sexagesimal:
Dadas dos rectas perpendiculares, se llama ngulo recto a cada
uno de los 4 ngulos iguales que forman al cortarse. Si dividimos el
ngulo recto en 90 partes iguales, a cada parte se la llamagrado
sexagesimal (). Si dividimos cada grado sexagesimal en 60 partes
iguales cada parte se llama minuto sexagesimal ('). Si dividimos
cada minuto sexagesimal en 60 partes iguales cada parte se llama
segundo sexagesimal (''). As podemos decir, p. ej. que un ngulo
mide:
5227'38''que se lee: cincuenta y dos grados, veintisiete minutos
y treinta y ocho segundos.
Dadas las definiciones anteriores, cuando expresemos la medida
de un ngulo en el sistema sexagesimal, el nmero de minutos y el de
segundos no pueden pasar de 60 ya que cada 60'' es un minuto y cada
60' es un grado.
El ngulo 10263'78'' est mal escrito. Para escribirlo
correctamente empezamos por los segundos y quitamos 60 tantas veces
como se pueda, el nmero de veces que quitamos el 60 hay que aadirlo
a los minutos. Posteriormente hacemos lo mismo con los minutos. El
ngulo dado quedar as:
10263'78'' = 10264'18'' = 1034'18''
b)b) Sistema circular:
Sellamaradinalnguloqueteniendosuvrticeenelcentrodeuncrculocortaensucircunferenciaunarcode
longitud igual al radio. Dado que una circunferencia completa tiene
360 y su longitud total es r t 2, en la circunferencia caben
tt22=rrradianes. Grficamente el radin es:
Siqueremossaberlaequivalenciaentrelamedidadeunngulo
oengradosyenradianesbastarestablecerla siguiente proporcionalidad
directa:
radianes xx 180 36022360 to to ot= = =
Ejemplo: Cuntos radianes son 60? Cuntos grados son 23t radianes?
Para la primera pregunta tenemos:
radianes xx 3 36060 2 602360 t tt== =
Para la segunda:
27043 360223360232360=== =t tttttxx
Lasequivalenciasfundamentalesentrelosngulosdeusomsfrecuenteengradoyradianessonlasquese
establecen en la tabla siguiente:
Grados0304590180270360 Radianes0 rad. 6t rad 4t rad. 2t rad.
trad. 23t rad. t 2rad.
2.2.Razones trigonomtricas en un tringulo rectngulo.
En el tringulo rectngulo adoptaremos, salvo advertencia en
contra, a partir de este momento el siguiente convenio de
nomenclaturaparasus6elementos(3ngulosy3lados).AlngulorectolollamaremosAyalosotrosdosByC
indistintamente. A cada lado se le nombrar igual que al ngulo
opuesto pero con letra minscula.
Dado un tringulo rectngulo y, fijndonos en uno de sus ngulos
agudos, llamaremoscateto opuesto a l al que tiene
enfrenteycatetocontiguoalqueformaunodesuslados.Lahipotenusaes
pordefinicin ellado mayor(opuestoal ngulo recto). Con todos los
convenios anteriores tenemos la siguiente figura:
Fijndonos en el ngulo agudo C , se tiene que c es el cateto
opuesto, b es el cateto contiguo y a es la hipotenusa. Se definen
entonces las razones trigonomtricas ( que son seno, coseno,
tangente, cotangente, secante y cosecante) del ngulo C como las
siguientes relaciones entre los lados del tringulo: bccontiguo
catetoopuesto catetoCabhipotenusacontiguo
catetoCachipotenusaopuesto catetoC= == == =tgcossen caopuesto
catetohipotenusaecCbacontiguo catetohipotenusaCcbopuesto
catetocontiguo catetoC c= == == =cossectg
Lastresprimerasrazonestrigonomtricassonlasfundamentales,puesconocidasellas,sepuedecomprobarquelas
tres restantes son sus inversas. Esto es, tenemos las siguientes
relaciones entre las 6 razones trigonomtricas:
oooooosen1coscos1sectg1tg===ecc
siendo o cualquiera de los dos ngulos agudos de un tringulo
rectngulo.
Hay que tener en cuenta que en un tringulo rectngulo, la
hipotenusa siempre es mayor que cualquiera de los catetos,
y,adems,comoveremosluegoalgunadelasmedidaspuedesernegativaalconsiderareltringulodibujadoenun
plano coordenado, por ello y atendiendo a las definiciones dadas,
se habr de cumplir necesariamente que:
1 cos 1 cos1 sec 1 sec1 cos 11 sen 1> s> ss s s s o oo
oooec ec
3.3.Circunferencia goniomtrica. Signo de las razones
trigonomtricas.
Sellamacircunferenciagonimetricaaaqullaquetienesucentroenelorigendecoordenadasysuradioesla
unidad.Enlacircunferenciagoniomtricalosejesdecoordenadasdelimitancuatrocuadrantesquesenumeranen
sentido contrario a las agujas del reloj
Sobrelacircunferenciagonimetricay,apoyndonosenlasdefinicionesdadasdelasrazonestrigonomtricas,
encontrar segmentos que coincidan en su medida con cada una de las
razones definidas, adems de poder atribuirles un signo, en efecto
consideremos en grfico siguiente:
Por la definicin dada OA=OF=OC=1 Llamando oal ngulo agudo AOC se
tiene que: FEFEOFFEBCOBcABABOAABOBBCOBOBOCOBBCBCOCBC= = = == = = ==
= == = =1tg1tg1cos1senoooo donde las dos ltimas expresiones son
debidas a la semejanza de los tringulos rectngulos OBC y OAD por un
lado y OBC y OFE por otro. En conclusin:
++ El seno es la medida del segmento que une la proyeccin sobre
el eje X del punto donde el lado del ngulo corta a la
circunferencia y dicho punto (es positivo hacia arriba y negativo
hacia abajo del eje X). ++ El coseno es la medida del segmento que
une el centro de la circunferencia con el punto proyeccin sobre X
delpuntodondeelladocortaalacircunferencia(espositivohacialaderechaynegativohacialaizquierdadel
origen). ++
Latangenteeslamedidadelsegmentoqueuneelpuntodondesecortanelladodelnguloconlarecta
tangentealacircunferenciaperpendicularalejeXyelpuntodondedicharectatangentecortaalejeX(siendo
positiva hacia arriba del eje X y negativa hacia abajo). ++
Lacotangenteeslamedidadelsegmentoqueuneelpuntodondesecortanlarectatangenteala
circunferencia perpendicular al eje Y con el lado del ngulo y el
punto donde dicha tangente corta al eje Y (siendo positiva hacia la
derecha del eje Y y negativa hacia la izquierda).
Con todo lo visto, las razones trigonomtricas tienen, en cada
uno de los cuadrantes los siguientes signos:
1er cuadrante (0-90) 2 cuadrante (90-180) 3er cuadrante
(180-270) 4 cuadrante (270-360) Seno++-- Coseno+--+
Tangente+-+-
4.4.Razones trigonomtricas de algunos ngulos de uso muy
frecuente.
Enlosproblemasdetrigonometraesmuyfrecuentequeaparezcancomodatosciertosngulosdeloscualeses
conveniente recordar las razones trigonomtricas para no tener que
recurrir a la calculadora o las tablas. Estos ngulos son los que
delimitan los 4 cuadrantes (90, 180, 270 y 360) y adems los de 30,
45 y 60.
Enloscuatroprimerosbastadibujarlacircunferenciagoniomtricaparapoderdeterminarrpidamenteelvalordesu
seno, coseno o tangente.
Enlostrescitadosenltimolugar,hayquerecurriraciertosclculosbasadosenlasdefinicionesdadasderazones
trigonomtricas para el ngulo agudo de un tringulo rectngulo.
Veamos:
a)a) Razones trigonomtricas de los ngulos de 30 y 60:
Si dibujamos un tringulo equiltero ABC, cada uno de sus tres
ngulos mide 60 y, si trazamos una altura del mismo h,
elngulodelvrticeAporelquelahemostrazadoquedadivididoendosigualesde30cadauno.Recurriendoal
Teorema de Pitgoras, tenemos para el tringulo rectngulo
sombreado:
22 2 2 2 22|.|
\|+ = + = =lh BH AH l AB de donde, despejando h queda:
ll ll h234342 22= = =
Entoncesquedanlassiguientesrazonestrigonomtricasdelngulo de
60:
232360 sen = =l l
323 222360 tg21260 cos= = == =l lll
Y para el ngulo de 30:
33313 2223230 tg232330 cos21230 sen= = = == == =ll l lll
b)b) Razones trigonomtricas del ngulo de 45:
En el siguiente cuadrado ABCD, la diagonal d determina un
tringulo rectngulo y por Pitgoras tenemos: l l d l l l d 2 2 22 2 2
2 2= = = + =
Con lo que:
1 45 tg2221245 cos2221245 sen= == = == = =llll ll En resumen,
hemos de memorizar la siguiente tabla:
Grados030456090180270360 Radianes0 6t 4t 3t 2t t 23t t 2 Seno0
21 22 23 10-10 Coseno1 23 22 21 0-101 tangente0 33 1 3 0 0
5.5.Ecuaciones fundamentales de la Trigonometra.
Siobservamosdenuevoeltringulorectngulodelapartado2enelquenoshemosbasadoparadefinirlasrazones
trigonomtricasdeunnguloagudoC(yqueahorallamaremosgenricamente
oparapoderrepresentarcualquier ngulo agudo), tenemos que:
abac==oocossen Elevando ambos miembros al cuadrado y sumando
miembro a miembro queda:
1 cos sen2222 22 2= =+= +aaa b co o donde la ltima igualdad es
consecuencia de que por el Teorema de Pitgoras 2 2 2a b c = +
Por otro lado, dividiendo miembro a miembro las dos igualdades
anteriores tenemos:
oootg :cossen= = = =bcabacabac
A las dos relaciones demostradas anteriormente, es decir:
oooo ocossentg1 cos sen2 2== + se las denomina ecuaciones
fundamentales de la Trigonometra.
Otras relaciones, tiles a veces, aunque derivadas de las
anteriores son:
Dividiendo los dos miembros de la 1 por o2cosy teniendo en
cuenta la 2 y la definicin de secante, queda:
o o2 2sec 1 tg = +
Y, dividiendo por o2sen:
o o2 2cos tg 1 ec c = +
6.6.Reduccin al 1er cuadrante.
Cuandoelladodeunnguloseencuentraenuncuadrantedistintoal1delacircunferenciagoniomtrica,podemos
aprovecharnos de ciertas relaciones entre ese ngulo y uno del 1er
cuadrante relacionado con l para as, sin el usode calculadora y
sabindonos de memoria los valores de las razones trigonomtricas de
los ngulos de uso ms frecuente vistas en el apartado 4, determinar
sus razones trigonomtricas.
a)ngulos complementarios.- son aqullos cuya suma es 90 o 2t
radianes.
Observemos el siguiente dibujo donde el ngulo gris es o:yel rojo
es 2t-oy los tringulos rectngulos OBC y OAD son semejantes
Se tiene que:
o oto otsen2coscos2sen= = =|.|
\|= = =|.|
\|BC OAOB AD
O sea, el seno de un ngulo es igual al coseno de su
complementario y viceversa
b) ngulos suplementarios.- son los que sumados dan 180 o t
radianes.
El grfico es ahora: Se tiene:
( )( ) o o to o tcos cossen sen = = = = = = OA ODAB DC
Es decir: el seno del suplementario de un ngulo es igual al seno
del ngulo y el coseno del suplementario es el opuesto del coseno
del ngulo
c)ngulos que difieren en 180 o tradianes:
La figura es: Se tiene:
( )( ) o o to o tcos cossen sen = = = + = = = +OA OCAB CD
Es decir: si los ngulos difieren en tradianes, tanto los senos
como los cosenos son opuestos.
d)ngulos opuestos.- Uno es positivo y el otro negativo Tenemos:
o oo ocos ) cos(sen ) sen(= = = = = OBBA BC
Es decir: dos ngulos opuestos tienen senos opuestos y el mismo
coseno.
La reduccin al primer cuadrante permite resolver ejemplos como
los siguientes:
Ejemplo 1:
Calcular sen120, cos 120 y tg 120
Se tiene que:
323 221:23 120 cos 120 sen 120 tg2160 cos ) 60 180 cos( 120
cos2360 sen ) 60 180 sen( 120 sen ==|.|
\| = = = = == = = donde hemos aplicados las relaciones vistas en
b) ngulos suplementarios.
Ejemplo 2:
Calcular cos 225-sen 330
225 est en el tercer cuadrante y ese ngulo y el de 45 difieren
en 180
Tenemos, pues:
22 45 cos ) 45 180 cos( 225 cos = = + =
330estenelcuartocuadrantey,recordandoelconceptodengulodesignonegativosecumpleque330=-60,
aplicando las ideas expuestas en d) para ngulos opuestos:
23 60 sen ) 60 sen( 330 sen = = =
As, pues:
22 323222322 330 sen 225 cos= + =||.|
\| =
Cuando tengamos que calcular razones trigonomtricas de ngulos
que ni sean los ya vistos en el apartado 4 ( los de uso ms
frecuente) ni estn relacionados con ellos por las reducciones al
primer cuadrante, no tendremos ms remedio que recurrir a la
calculadora. En ella estn las siguientes teclas que
necesitaremos:
Latecladms(enalgunascalculadoresvienecomo''')sirveparaconvertirgrados,dadosenelsistema
centesimal a grados en el sistema sexagesimal. Si queremos calcular
por ejemplo el valor de:
sen 43 18' 23'', procederemos as:
4318 23 a continuacin pulsamos
yobtendremos0,68589950(paranuestropropsitoessuficienteconaproximacinhastalasdiezmilsimas
portantoredondearemoselvalora0,6859.Paracalcularcosotghacemoslomismopulsandoalfinallatecla
correspondiente
7.7.Razones trigonomtricas de la suma y diferencia de
ngulos.
Observemoslasiguientefiguradondelazonagriscorrespondeal ngulo
central "a" y la roja al ngulo central "b": Se tiene que:
sen a = DCcos a = OD sen b = BA cos b = OB sen (a+b) =EA cos
(a+b) = OE
Entonces:
sen (a+b)=EA=GF=GB+BF=OB sena +AB cosa=
=sena cosb +cosa senb
Por otro lado:
cos (a+b)=OE=OG-EG=OB cosa - AB sena = cosa cosb - sena
senb.
Adems, recordando las ecuaciones fundamentales:
b a b ab ab ab ab ab ab ab ab ab a b ab a b ab a b ab atg tg 1tg
tgcos cossen sencos coscos coscos cossen coscos coscos sensen sen
cos cossen cos cos sen) cos() sen() tg(+=+==+=++= +
En resumen, las frmulas de la adicin de ngulos son:
b a b ab ab a b a b ab a b a b atg tg 1tg tg) tg(sen sen cos cos
) cos(sen cos cos sen ) sen(+= + = ++ = +
Sustituyendo en esas expresiones "b" por "-b" y, recordando que
sen (-b) =-sen b ; cos (-b) = cos b y tg (-b) = -tg b, queda para
las frmulas de la diferencia de ngulos:
| || || |b a b ab ab ab a b ab a b ab a b a b a b ab a b ab a b
a b a b atg tg 1tg tg) tg( tg 1) tg( tg) ( tg ) tg(sen sen cos cos)
sen( sen ) cos( cos ) ( cos ) cos(sen cos cos sen) sen( cos ) cos(
sen ) ( sen ) sen(+= += + = += = + = == + = + =
8.8.Razones trigonomtricas del ngulo doble.
Si suponemos conocidas las razones trigonomtricas de un ngulo
"a" y queremos conocer las del ngulo "2a", podemos recurrir a las
frmulas del ngulo suma vistas en el apartado anterior haciendo b=a
para obtener:
aaa a a aa a aa a a a a a a a aa a a a a a a a a22 2tg 1tg 2tg
tg 1tg tg) tg( 2 tgsen cos sen sen cos cos ) cos( 2 coscos sen 2
sen cos cos sen ) sen( 2 sen=+= + = = = + == + = + =
Que son las frmulas del ngulo doble.
9.9.Razones trigonomtricas del ngulo mitad.
Supongamosahoraqueconocemoslasrazonestrigonomtricasdelngulo"a"yqueremos,basndonosenellas,
conocer las del ngulo "a/2". Si en las frmulas del ngulo doble
haciendo 2a=A y por tanto a=A/2 tenemos:
|.|
\||.|
\|=|.|
\||.|
\|=2sen2cos cos2cos2sen 2 sen2 2A AAA AA Y sumando y restando
miembro a miembro esta ltima con la ecuacin fundamental de la
trigonometra:
|.|
\|+|.|
\|=2cos2sen 12 2A A Nos queda: |.|
\|= |.|
\|= +2sen 2 cos 12cos 2 cos 122AAAA De la primera despejando
obtenemos: 2cos 12cosA A +=|.|
\| Y de la segunda: 2cos 12senA A =|.|
\| Finalmente dividiendo estas dos ltimas:
AA A AAAAcos 1cos 12cos 1:2cos 12cos2sen2tg+=+ =|.|
\||.|
\|=|.|
\| Que son las frmulas del ngulo mitad buscadas. Como aplicacin
de los tres ltimos apartados, veamos los siguientes ejercicios:
Ejercicio 1:
Calcula, sin calculadora, el coseno de 105
Tenemos:
46 22223222145 sen 60 sen 45 cos 60 cos ) 45 60 cos( 105 cos= ==
= + =
Ejercicio 2:
Calcula la tangente de 15.
Se tiene:
3 33 333133130 tg 45 tg 130 tg 45 tg) 30 45 tg( 15 tg+=+=+=
=
Ejercicio 3:
Calcula el seno de 120
Ahora tenemos:
2321232 60 cos 60 sen 2 60 2 sen 120 sen = = = =
Ejercicio 4:
Calcula seno y coseno de 2230'
Se cumple que:
22 242 22221245 cos 1245cos ' 30 22 cos22 242 22221245 cos
1245sen ' 30 22 sen+=+=+=+=|.|
\|=====|.|
\|=
10. 10. Transformaciones de sumas en productos y viceversa.
Enmuchasocasionesnosvemosenlanecesidaddetransformasexpresionestrigonomtricasquecontienensumaso
diferenciasdesenos,cosenos,tangentes,etc.enproductosdecaraaposiblessimplificacionesoalaresolucinde
ecuaciones trigonomtricas. En otras ocasiones nos interesa realizar
la transformacin a la inversa o sea, de productos en sumas o
restas. Veamos como hacerlo. Partimos de las frmulas del seno de la
suma y de la resta:
b a b a b ab a b a b asen cos cos sen ) sen(sen cos cos sen )
sen( = + = +
Sumndolas miembro a miembro, tenemos:
b a b a b a cos sen 2 ) sen( ) sen( = + +
Y haciendo el cambio:
B b aA b a= = +
Lo que supone que:
22B AbB Aa=+= Queda:
2cos2sen 2 sen senB A B AB A += +
Restando las expresiones iniciales y haciendo el mismo cambio se
llega fcilmente a:
2sen2cos 2 sen senB A B AB A +=
Si partimos de las frmulas del coseno de la suma y la resta
tenemos:
b a b a b ab a b a b asen sen cos cos ) cos(sen sen cos cos )
cos(+ = = + Sumando y haciendo el cambio anterior de variable
queda: 2cos2cos 2 cos cosB A B AB A += + Restando y haciendo el
cambio queda: 2sen2sen 2 cos cosB A B AB A + =
Ejemplo de utilizacin de estas frmulas:
Simplifica la expresin:
a aa a8 cos 6 cos8 sen 6 sen++
Tenemos, usando la 1 y la 3:
aaaa aa aa aa a7 tg7 cos7 sen) cos( 7 cos 2) cos( 7 sen 28 cos 6
cos8 sen 6 sen= ==++
Un ejemplo clsico:
Aunqueestetipodeejerciciopodrahaberseresueltonicamenteconlosconocimientosadquiridosenelapartado5
sobreecuacionesfundamentalesdelaTrigonometra,loincluimosaqudespusdetenerunavisindeconjuntoms
amplia sobre la materia.
Se trata de, conocida una de las 6 razones trigonomtricas
determinar todas las dems. El ejercicio tiene dos variantes que
vemos a continuacin:
1)1) Sabiendo que 34tg = o y que 23to t s s determinar las otras
cinco razones trigonomtricas.
Nos dicen que o est en el tercer cuadrante por los que los
signos de las diferentes razones que vayamos encontrando tendrn en
cuenta este hecho.
Dado que:
53259cos25991611tg 11coscos1tg 12222 = = =+=+= = +
ooooodondehemos tomado el signo negativo en la raz por ser el
coseno negativo en el tercer cuadrante.
Por otro lado:
5415125334cos tg sencossentg = =|.|
\| = = = o o oooo 45sen1cos35cos1sec43tg1tg = = = ==
=ooooooecc
2)2) Una variante del problema consiste en darnos una de las
razones trigonomtricas (sin decirnos el cuadrante), para que
nosotros determinemos todos los ngulos del primer giro que cumplen
esa condicin as como las dems razones trigonomtricas en cada caso
(salvo en los casos en que el ngulo sea de 90 o de 270 hay siempre
dos ngulos distintos en el primer giro que tienen el mismo seno,
coseno o tangente).
Encontrarlosngulosquecumplenlacondicindeque 31sen =
oytodaslasdemsrazones trigonomtricas.
Como el seno es positivo los dos ngulos buscados estarn en el 1
y 2 cuadrantes. Con la calculadora, pulsando la sucesin de
teclas:
1 / 3 INVsenobtenemos el valor 19 28' 16'' (primer
cuadrante.
El otro ngulo buscado, como tiene el mismo seno y est en el
segundo cuadrante ser suplementario del ya encontrado (sumados han
de dar 180), por tanto ser: 179 59' 60'' - 19 28' 16'' 160 31'
44''del 2 cuadrante
Las restantes razones sern (para el ngulo del 1er
cuadrante):
3sen1cos42 32 23cos1sec2 222 424tg1tg422 212 6332 2:31cossentg32
298911 cos 1 cos sen2 2= == = == = = == = = = == = = = +oooooooooo
o oecc
Para el del 2 cuadrante los valores son los mismos pero el
coseno, la tangente, la cotangente y la secante tienen signos
negativos (vase tabla de signos en la tabla del apartado 3.
11. 11. Simplificacin de expresiones trigonomtricas. Ecuaciones
trigonomtricas.
Conociendo todas las frmulas vistas en los apartados anteriores
es posible reducir ciertas expresiones trigonomtricas a la mnima
expresin (simplificarlas) o bien resolver ecuaciones en las que la
incgnita est en el argumento de alguna o algunas de las expresiones
trigonomtricas.
La simplificacin de expresiones no tiene un mtodo general que
sea de validez universal y aplicable a todos los casos.
Cadacasoesdiferenteysernuestrapropiaexperienciayelconocimientoquetengamosdetodoslosapartados
anteriores el que nos guiar en cada caso. Veamos algunos
ejemplos:
Simplifica:
o o sen 11sen 11++
Realizando la suma de fracciones queda:
( )( )oo o o oo oo o22 2sec 2cos2sen 12sen 1 sen 1sen 1 sen 1sen
11sen 11= ==+ + +=++
Demuestra:
1sen cossen cos2 24 4=o oo o
Desarrollando el numerador como diferencia de cuadrados:
( )( )1 sen cossen cossen cos sen cossen cossen cos2 22 22 2 2
22 24 4= + =+ =o oo oo o o oo oo o
Respecto a las ecuaciones trigonomtricas cabe dar las siguientes
ideas generales:
+Hay que tratar de dejar el mismo ngulo en todas las razones
trigonomtricas. +Tratar de que nos queda una sola razn
trigonomtrica. +Tratar de que nos quede la ecuacin como un producto
de varios factores igualados a cero de forma que en cada factor slo
haya una razn trigonomtrica.
+Siesnecesarionosayudaremosdelacircunferenciagoniomtrica,puesenlamayoradecasoslasolucines
doble.
+Escribiremoslasolucingeneralaadindoleunnmeroenterodecircunferencias(sumaremos360k
t k 2, segn trabajemos en grados o radianes, siendo "k" un nmero
entero).
Ejemplos:
Resuelve:
9 3 sec 3 tg2 2= + x x
Se tiene:
+ = + =+ = + =+ = + =+ = + = = = = = = =+ =+ = + = +k x k xk x k
xk x k xk x k xx x xx xxxxxxxx xxx x120 ' ' 43 ' 8 81 360 ' ' 9 '
26 243 3120 ' ' 17 ' 51 38 360 ' ' 51 ' 33 116 3120 ' ' 43 ' 8 21
360 ' ' 9 ' 26 63 3120 ' ' 43 ' 8 21 360 ' ' 9 ' 26 63 34472 , 0 3
cos513 cos 3 cos 10 23 cos 9 3 cos 2 93 cos3 cos 293 cos1 3 cos 193
cos1 3 sen93 cos13 cos3 sen9 3 sec 3 tg22 22222222 222 2
:Resolver el sistema de ecuaciones trigonomtricas:
)`= += +34) tg(1 tg tgy xy x
Desarrollando en la 2 la tangente de la suma:
34tg tg 1tg tg=+y x y x Y sustituyendo el numerador por la 1:
41tg tg 3 4 tg tg 4 tg tg 4 4 334tg tg 11= = = =y x y x y xy x
Como conocemos la suma y el producto de tgx.tgy podemos formar
la ecuacin de segundo grado:
21816 16 40 1 4 4 0412 2= = = + = + z z z z z(raz doble por
tanto tgx=tgy=1/2
De ah se tiene que, usando la calculadora:
k xk x360 ' ' 54 ' 33 206360 ' ' 54 ' 33 26+ =+ =
Que didieren en 180 por tanto se puede poner como solucin nica:
k x 180 ' ' 54 ' 33 26 + =
12. 12. Resolucin de tringulos rectngulos.
Dado que en un tringulo rectngulo hay 3 lados y tres ngulos,
pero uno de los ngulos es recto y, por tanto de valor ya
conocido,nosquedan5elementosvariables.Elproblemadelaresolucindeltringuloconsisteen,dadoelmnimo
nmero posible de los 5 elementos desconocidos (han de ser al menos
2 u uno de ellos, al menos, un lado), determinar todos los
dems.
Eneste tipodeproblemas nosbastacon
recordarladefinicindecadaunadelasrazonestrigonomtricadadasen el
apartado 2, el hecho de que la suma de los dos ngulos agudos ha de
ser 90 y el Teorema de Pitgoras.
CabepreguntarseCuldelasdefinicionesdelasrazonestrigonomtricashayqueusarencadacaso?Puesbien,la
respuesta depende del elemento a calcular y del elemento conocido,
se usar la relacin que los liga a ambos.
Veamos varios casos:
Resuelve el siguiente tringulo rectngulo:
Como ya sabemos que A=90, hemos de determinar C, c y b.
C=90 - 80 18' 12'' = 9 41' 48''
De la definicin de seno:
. 6 , 24 9857 , 0 25sen senmB a babB= == = =
De la definicin de coseno:
. 2 , 4 1684 , 0 25cos cosmB a cacB= == = =
Comoadvertenciacabedecirqueesconvenienteusarsiempreencadaclculolosdatosinicialesynoalgunodelos
previamente calculados por nosotros, pues ni nos hemos equivocado
en el primer clculo, todos los dems estarn mal.
Resuelve un tringulo como el anterior sabiendo que b = 18 cm. y
c= 23 cm.
Por el Teorema de Pitgoras:
. 2 , 29 853 529 324 23 182 2 2 2 2cm a c b a = = + = + = +
=
De la definicin de tangente, tenemos que:
' ' 48 ' 2 38 7826 , 02318tg = = = = BcbB
Finalmente queda para C:
' ' 12 ' 57 51 ' ' 48 ' 2 38 90 = = C
13.
13.Resolucindetringuloscualesquiera.Teoremadelossenosyteoremadel
coseno.
En este tipo de tringulo (ya que no hay ningn ngulo recto),
necesitamos saber al menos tres de los 6 elementos y, de ellos, al
menos uno ha de ser un lado.
Usaremos en la resolucin las siguientes propiedades:
+A+B+C = 180 +Teorema de los senos. +Teorema del coseno (Teorema
de Pitgoras generalizado para tringulos no rectngulos).
Vamos a demostrar estas dos ltimas relaciones:
a)Teorema de los senos:
Cada lado de un tringulo es directamente proporcional al seno
del ngulo opuesto, o sea:
rCcBbAa2sen sen sen= = =
En efecto, consideremos el tringulo de la figura ABC en el que
hemos trazado la altura correspondiente al vrtice C y que determina
los tringulos rectngulos ADB y CDB: En ADB se tiene que:
A c h sen =
En CDB:
C a h sen =
Y, de la igualdad de los segundos miembros, tenemos:
CcAaC a A csen sensen sen = =
Sihubisemostrazadootraalturayprocedidodelamismamanera,habramosobtenidotambinlaigualdadconla
tercera de las fracciones que aparecen en la formulacin del
teorema.
Por otro lado, trazando la circunferencia circunscrita al
tringulo ABC y otro tringulo rectngulo en C A'CB ( de lados en
rojo), pues A'B es un dimetro, tenemos:
Los ngulos A y A' son iguales pues abarcan el mismo arco BC.
Adems del tringulo rojo se deduce que: raA2' sen = Entonces: rAaraA
2sen 2sen = = Y de la igualdad de esta fraccin con las otras dos
correspondientes a los otros dos lados se
deducequetodasellassonigualesa2r,esdeciraldimetrodelacircunferencia
circunscrita.
b) Teoremas del coseno:
Podranformularseverbalmentediciendoqueenuntringuloelcuadradodecadaladoesigualalasumadelos
cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de
ambos por el coseno del ngulo que forman, esto es, para cada uno de
los lados tendramos:
C ab b a cB ac c a bA bc c b acos 2cos 2cos 22 2 22 2 22 2 2 + =
+ = + =
Vamosademostrarla1,puesenlasotraselrazonamientosera anlogo.
ConsideremoseltringuloABCenelquehemostrazadolaalturah
correspondiente al vrtice b:
Por el Teorema de Pitgoras en BDC:
2 2 2DC h a + = Y en el tringulo ADB:
2 2 2AD c h =
Sustituyendo la 2 en la primera tenemos:
2 2 2 2DC AD c a + =
Pero DC=b-AD, de donde:
bAD c b AD bAD b AD c AD b AD c a 2 2 ) (2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + =
+ + = + = Y, como en el tringulo rectngulo ADB se cumple que: A c
AD cos = Queda finalmente:
A bc c b a cos 22 2 2 + =
que es lo se quera demostrar.
Conocidos estos teoremas, pasemos ya a resolver tringulos no
rectngulos y a discutir la existencia o no de soluciones. Pueden
darse 4 casos:
1) Conocidos un lado y dos ngulos (p. ej. a, B y C).
Se tiene que:
) ( 180 C B A + =
Y del teorema de los senos:
AC acAB absensensensen==
Nota.- Si 180 > +C B el problema no tiene solucin.
2) Conocidos dos lados y el ngulo comprendido entre ambos (a, b
y C):
Por el teorema del coseno se tiene:
C ab b a c cos 22 2 + =
Y por el teorema de los senos:
) ( 180sensenC a Bc C aA+ ==
Nota.- el problema siempre tiene solucin, pero hay que tener en
cuenta que como los ngulos suplementarios
tienenelmismoseno,acadasenocorresponden2ngulos,portanto,paradeterminarelnguloAdela
expresin anterior, tendremos en cuenta que " a mayor lado se opone
mayor ngulo" y que "slo puede haber un ngulo obtuso".
3)Conocidos dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos (a, b y
A):
Se tiene:
) ( 180sensensensenB A CAC aca A bB+ ===
La discusin de las posibles soluciones de este caso(que se
obtiene del anlisis en profundidad de la frmula que da en sen B),
se resume en la siguiente tabla, pues hay ocasiones en las que no
hay solucin y otras en las que hay ms de una:
b a > Una solucin con B A no hay solucin 90 < A una
solucin con B=A (issceles) b a < 90 > A no hay solucin 90
< A y A b a sen < no hay solucin 90 < Ay A b a sen
=1solucin(tringulo rectngulo) 90 < A y A b a sen > 2
soluciones
4)Conocidos los tres lados (a, b y c):
Del teorema del coseno se tiene:
ab c b aCac b a cBbc a c bA2cos2cos2cos2 2 22 2 22 2 2 += +=
+=
Nota.-Elproblematendrsolucinslosiencadaunadeestasfrmulaselnumeradoresmenorqueel
denominador (ya que el seno no puede ser mayor que 1 o menor que
-1) que es lo mismo que decir que un lado ha de ser mayor o igual
que la diferencia de los otros dos.
14. 14. Aplicaciones de la Trigonometra a la resolucin de
problemas de la vida diaria.
Veremos en este apartado un caso de uso bastante frecuente:
a)Determinacin de la altura de un punto de pie accesible:
Sea la torre de altura h (que queremos determinar) pero a cuyo
piepuede llegarse. Elegimos en el suelo un punto C tal que AC=b sea
horizontal y medimos AC. Con el teodolito (aparato destinado a
medir ngulos dirigiendo una visual a dos puntos) determinamos el
ngulo C. Con todo esto el tringulo CAB es rectngulo y podemos
poner:
C AC hAChC tg tg = =
en la que conocemos los datos necesarios.
Si la base AC no fuese horizontal, tendramos:
Ahora hay que medir AC, ngulo BCA y ngulo BCA'. Como el ngulo
ABC es complementario del BCA' se tiene por el teorema de los senos
quefuncin seno-1,5-1-0,500,511,50 100 200 300 400' cossen' cossen
senBCABCA AChBCAACABCACBCAh= == =
Existen muchas otras situaciones en las que la Trigonometra es
aplicable pero no podemos ser exhaustivos y, por tanto habr que
analizar cada caso en particular y aplicarle los conocimientos
adquiridos.
15. 15. Funciones trigonomtricas.
Vamosarepresentargrficamentesobreunosejesdecoordenadaslasseisfuncionestrigonomtricas,paralocuallo
mejor sera tomar una tabla de valores para cada una dividiendo la
circunferencia en 8 partes iguales. Dicha tabla sera as (con la
variable independiente en grados):
xY=senxY=cosxY=tgxY=ctgxY=secxY=cosecx 0010 1 45 22 22 11 2 2
9010 0 1 135 22 22 -1-1 2 2 1800-10 -1 225 22 22 11 2 2 270-10 0 -1
315 22 22 -1-1 2 2 360010 1
Las grficas de las seis funciones son:
funcin coseno-1,5-1-0,500,511,50 100 200 300 400funcin
tangente-20-15-10-505101520250 100 200 300 400funcin
secante-20-15-10-5051015200 100 200 300 400
Elanlisisdelas mismasaprenderemos ahacerloenotro
captulodentrodel clculo diferencial.
16. 16. Funciones trigonomtricas inversas.
Si suponemos conocido el valor de cualquiera de las razones
trigonomtricas de un ngulo y queremos saber el valor del ngulo
hemos de recurrir a las funciones trigonomtricas inversas que
son:
funcin cotangente-25-20-15-10-5051015200 100 200 300 400funcin
cosecante-20-15-10-5051015200 100 200 300 400ecx yx arc yx arcc yx
yx yx yarccossectgarctgarccosarcsen======
Que se leen, respectivamente:
+Arco cuyo seno es x +Arco cuyo coseno es x +Arco cuya tangente
es x +Arco cuya cotangente es x +Arco cuya secante es x +Arco cuya
cosecante es x
Larepresentacingrficade estasfuncioneses laqueresultarasidecada
una de las mostradasenelpunto anterior dibujsemos su simtrica con
relacin a la bisectriz del primer cuadrante.
Sihemosentendidoelconceptodecadaunadelasfuncionestrigonomtricasinversashemosdesercapacesde
resolver los siguientes ejemplos:
Calcula:
=|.|
\| 150 3021arcsen = 225 451 arctg
| | 90 1 arcsen 45 tg arcsen = = | | 27 27 sen arcsen = | |
6021arccos 30 sen arccos =|.|
\|=
