ESCOLA SECUNDÁRIA DR. JOÃO LOPES DE MORAIS - MORTÁGUA12º ANO - FICHA DE TRABALHO Nº01 –Trigonometria

1. Considere a função f, de domí nio

−

23

,2

ππ , definida por senxx(x) +=f .

Sem recorrer à calculadora, resolva as três alí neas seguintes.a) Utilizando a definição de derivada de uma função num ponto, calcule (0)'f .b) Estude a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de

inflexão.

c) Determine os valores de x, pertencentes ao intervalo

−

23

,2

ππ , tais que xxxf cos)( += . (2003-2ª fase)

2. Considere a expressão xbsenaxf 2)( += . Sempre que se atribui um valorreal a a e um valor real a b, obtemos uma função de domí nio IR.

a) Nesta alí nea, considere 5b2a −== e .

Sabe-se que21

=θtg . Sem recorrer à calculadora, calcule )(θf .

b) Para um certo valor de a e um certo valor de b, a função f tem o seugráfico parcialmente representado na figura junta. Conforme essa figurasugere, tem-se que o contradomí nio de f é [ ]1,3− , 0 e π são maximizantes,

e22ππ e− são minimizantes. Determine a e b. (2003-1ª fase 2ª Cham)

3. Na figura está representado a sombreado um polí gono [ ]ABEG . Tem-se que:• [ ]ABFG é um quadrado de lado 2;• FD é um arco de circunferência de centro B; o ponto E move-se ao

longo desse arco; em consequência, o ponto C desloca-se sobre osegmento [ ]BD , de tal forma que se tem sempre [ ] [ ]BDEC ⊥ ;

• x designa a amplitude, em radianos, do ângulo CBE (

∈

2,0 πx ).

a) Mostre que a área do polí gono [ ]ABEG é dada, em função de x, por )cos1(2)( xsenxxA ++= .(Sugestão: pode ser-lhe útil considerar o trapézio [ ]ACEG )

b) Determine )2

()0( πAeA . Interprete geometricamente cada um dos valores obtidos.

c) Recorra à calculadora para determinar graficamente as soluções da equação que lhe permite resolver oseguinte problema:Quais são os valores de x para os quais a área do polí gono [ ]ABEG é 4,3?Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ougráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de alguns pontos. Apresente os valores pedidos naforma de dí zima, arredondados às décimas. (2003-1ª fase 1ª cham)

4. Considere as funções f e g, de domí nio IR, definidas por xsenxxgxfx

cos2)(ee231)(

1−=+=

−.

4.1) Utilize métodos exclusivamente analí ticos para resolver as duas alí neas seguintes.a) Estude a função f quanto à existência de assimptotas paralelas aos eixos coordenados.b) Resolva a equação )()( πgxf = , apresentando a solução na forma ln(ke), onde k representa um número

real positivo. (ln designa logaritmo de base e).4.2) Recorrendo à calculadora, determine as soluções inteiras da inequação )()( xgxf ⟩ , no intervalo [ ]π2,0 .

Explique como procedeu. (2002-2ª fase)

5. De uma função f, de domí nio [ ]ππ ,− , sabe-se que a sua derivada f ’ está definida igualmente no intervalo[ ]ππ ,− e é dada por 2cosxx(x)' +=f .

5.1) Utilize métodos exclusivamente analí ticos para resolver as duas alí neas seguintes:

a) Determine o valor dex

fxfx

)0()(lim0

−→

.

b) Estude a função f quanto às concavidades do seu gráfico e determine as abcissas dos pontos de inflexão.5.2) O gráfico de f contém um único ponto onde a recta tangente é paralela ao eixo OX. Recorrendo à sua

calculadora, determine um valor arredondado às centésimas para a abcissa desse ponto.Explique como procedeu. (2002-1ª fase 2ª cham)

6. Na figura está representado um quadrado [ ]ABCD , de lado 1. O ponto E desloca-sesobre o lado [ ]AB , e o ponto F desloca-se sobre o lado [ ]AD , de tal forma que setem sempre AFAE = . Para cada posição do ponto E, seja x a amplitude do

ângulo BEC

∈

2,

4ππx . Recorrendo a métodos exclusivamente analí ticos,

resolva as três alí neas seguintes:

a) Mostre que o perí metro do quadrilátero [ ]CEAF é dado, em função de x, porsenxtgx

xf 222)( +−= .

b) Calcule )(lim2

xfx

−→

π e interprete geometricamente o valor obtido.

c) Mostre quexsen

xxf2

cos22)(' −= e estude a função f quanto á monotonia. (2002-1ª fase-1ª cham)

7. Considere a função f , de domí nio ]-π, π[, definida porx

xxfcos1

cos)(+

= .

Sem recorrer à sua calculadora, resolva as três alí neas seguintes.a) Estude a função quanto à existência de assimptotas do seu gráfico.b) Mostre que a função f tem um máximo e determine-o.c) Na figura está representada, em referencial o.n. xOy, uma parte do gráfico

da função f. Na mesma figura está também representado um trapézio [OPQR]. O ponto O é a origem doreferencial, e os pontos P e R pertencem aos eixos Ox e Oy, respectivamente. Os pontos P e Q pertencemao gráfico de f. Sabendo que o ponto R tem ordenada

31 , determine a área do trapézio. (2001-2ª fase)

8. Na figura está representado o gráfico da função f, de domí nio [0, 2π], definida porf(x)=x+2cos x. A e B são pontos do gráfico cujas ordenadas são extremos relativos de f.Sem recorrer à calculadora, resolva as duas alí neas seguintes.

a) Mostre que a ordenada do ponto A é6

36+π e que a do ponto B é6

365 −π .

b) Qual é o contradomí nio de f ?c) Considere a recta tangente ao gráfico de f no ponto A. Esta recta intersecta o gráfico

num outro ponto C. recorrendo à calculadora, determine um valor aproximado para aabcissa do ponto C (arredondado às décimas). Explique como procedeu (na suaexplicação, deve incluir o gráfico, ou gráficos, que considerou para resolver esta questão).(2001-1ª fase-2ª ch)

9. Na figura está representada uma pirâmide quadrangular regular. Sabe-se que: a base da pirâmide tem centroF e lado 2; G é o ponto médio da aresta [BC]; x designa a amplitude do ângulo FGE.

a) Mostre que a área total da pirâmide é dada, em função de x, por

∈+=

2,0

cos4cos4)( πx

xxxA .

b) Calcule )(lim2

xAx

−

→π

e interprete geometricamente o valor obtido. (2001-1ª fase-1ª cham)

10. Considere a função f, de domí nio IR, definida por ( )4ln2

3)(

+

+= xe

xsenxxf .

a) Sabe-se que existe )(lim xfx +∞→

, e que o seu valor é um número inteiro. Recorrendo à sua calculadora,conjecture-o. Explique como procedeu.

b) Será conclusivo, para a determinação do valor de )(lim xfx +∞→

, um método que se baseie exclusivamente nautilização da calculadora ? Justifique a sua resposta. (2001-Prova modelo)

11. Considere a função f, de domí nio IR, definida por f(x)=2x-cos x.a) Recorrendo ao Teorema de Bolzano, mostre que a função f tem, pelo menos, um zero no intervalo ]0, π[.b) Mostre que f ’ (x)>0, ∀x∈IR, e justifique que o zero de f, cuja existência é garantida

pelo enunciado da alí nea anterior, é o único zero desta função.c) Na figura está representada parte do gráfico da função f e parte de uma recta r, cuja

inclinação é 45º , que contém o ponto A(-3, 0) e que intersecta o gráfico da função f noponto B. Recorrendo à sua calculadora, determine a área do triângulo [AOB], onde Odesigna a origem do referencial. Apresente o resultado arredondado às unidades. Nosarredondamentos intermédios, conserve, no mí nimo, uma casa decimal. (2000-2ª fase)

12. Um satélite S tem uma órbita elí ptica em torno da Terra, tal como se representa na figura. Tenha ematenção que os elementos nela desenhados não estão na mesma escala. Na elipse estão assinalados doispontos: o apogeu, que é o ponto da órbita mais afastado do centro da Terra;

o perigeu, que é o ponto da órbita mais próximo do centro da Terra.O ângulo x, assinalado na figura, tem o seu vértice no centro da Terra; o seu lado

origem passa no perigeu, o seu lado extremidade passa no satélite e a sua amplitude

está compreendida entre 0 e 360 graus. A distância d, em km, do satélite ao centro daTerra, é dada por

xd

cos07,017820

+= . Considere que a Terra é uma esfera de raio 6378 km.

a) Determine a altitude do satélite (distância à superfí cie da Terra) quando este seencontra no apogeu. Apresente o resultado em km, arredondado às unidades.

b) Num certo instante, o satélite está na posição indicada na segunda figura. A distância do satélite ao centroda Terra é, então, 8200 km. Determine o valor de x, em graus, arredondado às unidades.(2000-1ª fase2ª chm)

13. No ano 2000, em Lisboa, o tempo que decorre entre o nascer e o pôr-do-sol, no dia de ordem n do ano, édado em horas, aproximadamente, por { }366,...,3,2,1

183)81(64,22,12)( ∈

−+= nnsennf π (argumento em radianos).

Por exemplo: no dia 3 de Fevereiro, trigésimo quarto dia do ano, o tempo que decorreu entre o nascer e opôr-do-sol foi de f(34) ≅ 10,3 horas.

a) No dia 24 de Março, Dia Nacional do Estudante, o Sol nasceu às seis e meia da manhã. Em que instanteocorreu o pôr-do-sol ? Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades).Recorde que no ano 2000 o mês de Fevereiro teve 29 dias.

b) Em alguns dias do ano, o tempo que decorre entre o nascer e o pôr-do-sol é superior a 14,7 horas.Recorrendo à sua calculadora, determine em quantos dias do ano é que isso acontece. Indique comoprocedeu. (2000-1ª fase-1ª cham)

14.a) Seja [ABC] um triângulo isósceles em que BCBA = . Seja α a amplitude do ângulo

ABC. Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada por ] [( )παα ,02

2

∈× senBC

b) Considere agora um polí gono regular de n lados, inscrito numa circunferência deraio 1. Utilize o resultado da alí nea anterior para mostrar que a área do polí gono édada por

=

nsennAn

π22

.

c) Determine e interprete o valor de nnA

+∞→lim . (2000-Prova modelo)

15. Na figura está representado um trapézio rectângulo [ ]ABCD ,cujas bases têm 10 e 30 unidades de comprimento e a altura tem10 unidades de comprimento. Considere que um ponto P sedesloca sobre o lado [ ]AB . Para cada posição do ponto P, seja xa amplitude, em radianos, do ângulo PDA. Pretende-sedeterminar o valor de x para o qual o segmento [ ]PD divide otrapézio em duas figuras com a mesma área. Qual das equações seguintes traduz este problema?

15041030

)(1504

1030)(100

230

)(1002

30)(

22

=×

=×

==xtgDxsenCxtgBxsenA

(2003-2ª fase)16. Considere uma circunferência de centro C e raio 1, tangente a

uma recta r. Um ponto P começa a deslocar-se sobre acircunferência, no sentido indicado na figura. Inicialmente, oponto P encontra-se à distância de 2 unidades da recta r. Seja

)(αd a distância de P a r, após uma rotação de amplitude α.Qual das igualdades seguintes é verdadeira para qualquer número real positivo α?

αααααααα sendDdCsendBdA −=−=+=+= 2)()(cos1)()(2)()(cos1)()( (2002-2ª fase)

17. Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy, o cí rculo trigonométrico e umtriângulo [ ]OAB . Os pontos A e B pertencem à circunferência. O segmento [ ]AB éperpendicular ao semieixo positivo Ox. O ponto C é o ponto de intersecção dacircunferência com o semieixo positivo Ox. Seja α a amplitude do ângulo COA.

∈

2,0 π

α Qual das expressões dá a área do triângulo [ ]OAB , em função de α ?

2)()(

2cos)(cos)( αα

αααα

ααsentgDsentgCtgBsenA ⋅

⋅⋅

⋅ (2002-1ª fase-2ª cham)

18. Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy, um quarto de cí rculo , de centrona origem e raio 1; uma semi-recta paralela ao eixo Oy, com origem no ponto (1,0); umponto A pertencente a esta semi-recta; um ângulo de amplitude α, cujo lado origem é osemieixo positivo Ox e cujo lado extremidade é a semi-recta AO. Qual das expressõesseguintes dá a área da região a sombreado, em função de α?

απαπ

απ

απ

tgDtgC

tgBtgA 2

4)(

24)(2)(

2)( ++++

(2001-1ª fase-2ª cham)

19. Indique o valor dexsen

xx

lnlim

0+→.

∞+∞− )(1)(0)()( DCBA (2001-Prova Modelo)

20. Considere a função h definida em IR por xsenxh =)( .Qual das seguintes equações pode definir uma recta tangente ao gráfico de h?

2)(2)()(92)( −=+==−= yDxyCxyBxyA π (2000-2ª fase)21. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

xsenDxsenC

xsenBxsenA

xx

xx

+∞→+∞→

+∞→+∞→

=

+∞==

limexisteNão)(1lim)(

lim)(0lim)((2000-1ª fase-1ª cham)

π

πππππ

πππ

).1438)5018).13º229)2031).128).11Não)1).10).98,3).8365)2

1);).7crescente)4).603,1)2.565;6..)2).1.56;5;4;1)2.4

)3ln()31).1.44,1e2,0)4;4).34;1)1).24

5;4);0..)2).1:

cbmhabacbabc

cbxxacbIPba

ebyacbbacIPba

∞+

=−=−

=−SOLUÇÕES

www.ladeiramat.no.sapo.pt