__0___p0_________________0____________________________________________0__________________________________________0_______0_______________________________________________________________________________________0______o_______________________________________________________________________ ______________o__________p_________0__0________o_o_o__ ___________D0______0_______________p__________________0_0l__00___________________________0___________________________p__p_o____0____0___0_oJ____________________________________________________________________________________________________________________________________________p_______p_0_po__p___0__________________________________0_0___0____________________________o_0_0_________________________________________0___________________00________________0__________________p_______________________________________0_po_0___________________________________________0________________________________________o0_______o__0________________________________0___o___________________________________________________________________________________ _______0_____��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������_ - _ - _�''_ i'__?__' 'i80_0_0,_,^___'_.. . i_'' 'P_'._______' ___,____'_ 'C:''''_ . _'8_i._ ::i''::' ''' ____________ ' 8 8 __'___ _:' ..: t _ _^^'0 _ _' . :'�_ 8,_,_,0 _v.:_:i_o___%,__ . ._ : . _ ,.. _.' g^ .. __-- _ _ c _ _ _ _ : _ .': _' -�..,,,0.,,o,,,,,,,,,,9,.,o __i,^^_0_0 n ,0 ,___8 , _ .:. __0 ___:___ _ p'_ 0 _' .' _ _'' ;'' q'. __ _ ___ ^_ ^ _' _' . _ ' . .' i ^ 0 '_ ._ :�'_. . i'li'i__ii.__i_iii^_i.i",.i_i'_i_..___d._. . '^0 ,- : D . y__-- ___-_ e ..; ._' ,__ ::_. ! V i ;_ i ___,; , ''''' j . _ ,;. , _ __ _. , , , . , _ _ ::..�i.iii_i..i.l.l..,, ---_-' 7': _i^o_DD^ _'___i '__;_.___;__-_--_____- '' ________' ' _-_ _ '_____'__' V '___: '_':: __'___ _''_' _8___^e_ ,____'' l, _.;,; _''' ___ :_'�

_AD)) 246ooo__o_/ ( B)g )24o_ _cE )/ 23l Jo0o 6 DAscDc__)))) _4333__5n2o__ol_o_33__t44297J2____o _/ J o__Eg)) 230co13o_41_g_l_o

. , ,............ ._____ T,rigonometría

Ang_Io rrigonométric0 y sus A7 245^24'32'' B) l8_O08'_''A iicaciones C) 24__^2O'18''D) 229o54_36'' E) 1_8oo6'48"l. Si eI número de segundos sexa3c__imaIes del_ d d-m 2 7 5 4 1 1 m _. La medida de un ángulo en eI sistemaan_OCUyame l a 4b eS . CaCUea.sexagesimat en aOa' _ la medida de o_o áng!_!1oen el sistema centesim_! es a'''a-'", Sj la suma de_dicI_os ár3gulas en ef sistema sexagesimal es' 57^4612'', caIcule Ia difcrencia.2. _Cuántos segundos centesimales estáncontenid0s en un ánguIo que equivaIe a Ia 'mil�sima _a_e def ángu1o de una vue7ta_^l3 '50'' E ) 3^13 '5l ' 'n) 2 7oo B) 4 3oo c) 3 oo0N e t_eT_e angUf_S qUe CUmp en IaScondiciones:3. En e1 s;gu,_,nte ,,/f;co, obteng, el va_o, de suman a(b- l!' O (a-l)(b+1) _ djfieren114x-_. en ba ; luego Ios ánguIos son

_ ' A) 45^ y 25^ _) 450 y 36^C) 27^ y l8^_' 'x_40 _ y y0 --__7. HaIle I3 medida �e un án_Io en radianes taIque su medide _uede e-x_resarse como4+g+1_+..... _\ - termlnOS_) 200 E) l80 _l+2+3+....._O , donden_ _'__ _ecmlnos4. Se tie1_e los ángulos higonom�_icos:_ n 2ng__(l+x___/,ed_. ___ _X_2 rad A! _2_ B) -3 C) _g2Se_n el _�fico _lcule _ , cuando O tome D) __ E) _4_suméximo veIor. 5 9Considere 1 rad�57^l7'44''_. En un nuevo sistema angular Ia unidad de_ med�da 1X es Ia 760ava parte del �ngulo deuna vueIta, además ha_ 2 submúltiplos lY. I'teles que 80 de ellos forman Ia unidadin med i__ ta __u_er =lor respect ivame n te.() � Co__vi,e_e G6Q_7Jm_' al nuevo sist_ema.

A!/ l_'_6X70K''30Z B 137'JO_50'''c) 116x_Y__oz\12X_V ' X Y '

185

_lo AhrcDDaa_))))dlle__(_25e__ c_ omsp_Bem) e_ntto dB_e )d c 1) __ t d Ade__ml5eo5 __loog )(, ) Fad_ _

P_b Iemas Se Iectos '__._,.._......, ,.

9./ En_e laS 5 Y laS 6_ _a q_é hOTaS 1_ a_UJaS del x _ Rminutero y hoa'_io forman por primera ve2 150 1oo _un ángulo recto?X _Y6/__ d l5U8l_OraS, mlnU OS, SegUn OSB) 5 horas. l_ mjnutos, _ 6/l 1 segundos X _ Y _ RC) 5 hof__v, 5 minutos, 53 6/l 1 segundos l50 5O__ _D) 5 horas_ lO m_inutos 53 G;'__ l se5un_os K _ R._546,il d D) =_-=-__ m_nU OS_ I Se9Un OS 2D 19 _x _R. S_ loS nÚmer_S qUe Te_reSentan a __edlda _ E) _ _ _ = -_ __un áng_llo en IOs SIStemaS SeXa_eSlm3! ycent_simal están dados por:____b y _____+h 13. 5e ha medid_ un ángul_ positivo en los tres-l,nho a_n_,_o en sistemas conocidos, si res_ecto a los números_la_es de dici1as medidas se plantea lo si_iente: Sia1 número mayor le restamos el númerointerm2dio, da los mismo que si restásemos-a)_ (5 --b)_A) _4 ) __o 36nel re_ípr___o de _25 al producto del(5 i b)_ LnteT_,edio _ r__enor númefo. Ha_le te medida5 de dich, áng,uio en Tad;,nes.(5-a)n (_-b)_5 _5 A) 0___43 6) o,148 c) o,77_-_) _,44') E) o,139l1N Si la Faj cL_adr3da d_ la _écima D. arte _Jelproduct0 de _os _umeros �c gTado__ l4. Siendu S. _ y R los convencjon_es p_a uns_3esima1es y Cer_tesim3leS de __n ányUl_. _ngul_ tfigot_o__éNico antihorari,o. _a.lcuie e1excede a (ZO/n) veces su número de ra_janes m_ni_,u va_,or que adm_te ta ex_Tesionen 2 halle el su__emento de dic_, o �n9ulo en (s )/c 2)(R _' ' +X_+Y_+2 . _ra_ienes. _2 ; Sl X ; Y _ 2 _,_.z/ el a_n __lo m__de o oln 2J3n l9n 21n20 20 4_A)48 _)48_C7_,8_ l__ 19_ 4liT-s i __o E/ -2_- i _4o DJ 4,8 _ E) 48_

.dea, _os s_.st_m_ de med._d_ anguler,s l5. Se tiene dos án_los cuya suma det núm_ro

._d2d _e med,.d, de_ pr_.me,o e,_ _, de grados sexagesimales de uno de ellos con_ d 1 _ el número de minuto5 _ntesimalÆ del o_o esaV_ parte de_ ángu O e Una VUe ta Y 24 8 036 _ la diferen�ia en_e 5/n __eces el nwn/ erDUnidad de medida deI segundO es tOS ___ de fadianes det segundo y l/l2 del n_jmefovecgs el promedio de laS unidades de me�ida de _ados _xagesim_et del primero es igualdel si5tema kanc�s e in_maciona__ Iuego si __r_ a -l. Luego el mayor ángulo mideángulo mi_e _ unidades del primer sistema e_ unidad_ del _gundo sisTema_ entonces se A) 360 D) 8_ Ct 400cumple D) __ rad E) _3 rad

196

ll_97_ s_sDlt) t___e__s_r___aolces_ de la e_/cua_cloEn)) c__u88_5e00uod0c_\rtoe_tlca D_))___A__3o20 ______f_________________________________ __p_____t_______________3____r6_____ 1 _/ ______________c____t____E_________)_)_______l_l__4t___o/_ __ __ _v_ecee

' Tri0onometría

l6. los números que re_resentan 1a medida en 20. _ diferenc_a de los números 4ue ex _re_n elsexage�' imai y centesimal de u_ ángulo se comPlen,ento en sex, ges;encuer,tran cn _rogresión ar'_tmétic3; siade__ás su núnler0 de _ados sexegesimales y . t d _ d, f __ / _ _ / _ Yeln eaVa Parte e a l e,enCla en_fe l0Sm;.,ma ,_o/, , __cu_e ,_ a/ n,_o ,, __g,s;_m,1. números de minu'_os sey_a_esim_es y minutoscentesimales, entonces el v_1_r de1 ángu_i0m C /' , O _ _ ^ ex_reSado en fadiane� SeráA) _ _) i- C) __ __ 1_ .J7T 1Tj 7Z _ __ - -i A - -- C _J

_ / __ /_ __ __,x2+_x+,.__o so, 1,, nu_m,,os de gf,do, 48 50s_exagesimal_s y centesimales de un án_ulo,halle el número _e radianes de dicho ángulo_ 2l_ Un cicli_ta recorre una c!u_rva de medj_en térm_'nos de b y c. _ilómetro de Tedi_, con 1,n3 ve1ocidad d20 hm/h. Ha. I1c el _n__u!_ a_ro_imado en180_c _9c_ 1__n_ . _Aj __ B), __ C) _ S2Xa_esIl_a,eS qUe C_CO_e en _.1_nb l___h l_b'n_bc E) -__ �.) 4 1'5_'' 2J! _O_i'5n_" C) 3021'S_''D) io2115___ e) ___.o1_.15 gI___,_ r_atc__tE _a mcd,_,4e_ _e un _n _io en el siste,___sexa_esnjmaI si se _nabe _!_e ___3_.Jx+_0_. 22. _edl si__1ien+,e esquem3, calc_;'_ la __-ngit!__._ d.e_____e x e _ _2___2-e_enta_ l__s ní_m_'T__s _e le cu_,, ma_o_- Aicv si ,_J cm ,_',,n_c;____as c_entesima__s _,_ m'_n_tos ce;_'Les;__ales , 2_/_)--- _lre_spec_'_-___c3mente, pera d-!c:_J, án_'_ia.

_\,í800 _j_T_',___ C200 .' ' r,D) 3_^ E,_ 90 í_'\. ean S_ y q_2 IOS nUmeiOS de _?ados . . , . 0 _ . . ... . .\ . . . .. . ,. . . ,.. . . . . . , .!sexagesimales de d_s ángulos diferentes, '' '''' ' '''iY''''' ''' ''''''' ' '' '' '''''''' '''' '' ''''' ' ''"' '''' ' ' ''' '' ''además de ser ta raí-ce5 _e Ja ecuaciónx2_3x+A_o_, c3 __ c4 l_s ,___meros de _2_-o__. A) 22 Cm __ 33 Cm C ) _5 Cmcen_esimales de o_os dos ángulos diferentes, D) J6 cm E) 6_ cmtambién raíces de ta ecu_-_ ci__ __ _-12x+B=O._esabequel_snúmerosS__,S2,_3y_qíen__ 23. calcule el ángulo q__e hsucesión dada) forman un3 _ro3re;_ión cl_,,un(e,enc-_geom é k ica crec ien 'Le. _ d d )___i_ltU e a -_Ue, a q_e S_ ete__lna y acalcule '___S1 -S_ ).r,d _on_itud de la c_Tcunf_e,-encia están en 1B-C3-C_J , _ ./ d 3 ,eaClOn e _

-_'" _ _^A) _ _) - C) _ A! 30^ B_! _5' C!/ _OOn _ 9 ,_i 20^ E) 90 ' '

187

M_AADDc__)aa)__l_lcou___l_et_F_e_?_1___/nt________/__ut3m___w__er/o_d/_dAe,_Br____a_cp?__d/D___l_anesequeggd__radla _ ____ 3 _43__( _ 2_01_53n_ __ve

Pro_ Iemas _e Iectos '

_, Del siguiente sistema de poIea, la polea de & Del grá_co mostrado_ cal_le el perímetro dera_io r3 gira 2400 la regió_, _mbreada si O, y 02 son cen_os.

hja0r_n, r1 /'

?,'_ '' ___/^_ _0_a600 t Oj.e " __, r__ 'm'__ _polea de radio _.

_3 '_lrj .fA) r 5-_T2 B) r -+2__ B) 3- C)2Tc2 c), 2_+3_D;_3_ E)4_ 3

D) 2_(2n+1) E) 2_ _- _-+_) J_ e _a ICO mOStra O eS Un CU_ ra Ode 1 m de lado. Si M es centro del arco PQ,entonces _cu_l ser� e1 _eríme_o de la regi6n 21. s_ _a 1ongi_d de le cuD_rda tensa que envt_e1sombreada en me__os?1Cco,,.,de,e N_3 3 T untod tan e,c.,,. taSPOI_aSeS-R+r),ca!cue

g c /0 0UC -+COt-M 2

::_ '''n;''';'';?_J;. ,,_ ,/y/_,c _____

__,_ __A T DO05 2_n _~d't_arCCOS_+

5 _,3_afCCOS-+____R5 6_3_ _arCCOS-^_

5 63aCCCOS-t -8 81A) _ B) l_5 C) zE) 4arc c_s-_ _2_arc cos_g D) 2 5 -

288

__A______))_______________________________t_____________r__m_____________________________________________________________________r________v____________6___________l______________________________________________m_p_______/___________/_________/________________________________________________________________/____________________________t___________________________________________________________________________________________________________________,_____________B_____________________________________________________________________y__________________________________________________/_____________________________)____________________________________________________________________________________________________________________r____________________________________________________________________________________9____________________________________t_______________y___m___________________________/___________________________________________/____________________/__,_l_______________________________________________________________________________________________E____c___________________________________________________)____________________)______________________________________________________________y_______/____________________________7__________________________2__________________________m______________,_5__________________,____________/______m______________________________________e____________m______m______y____________a____,_____________,a___________y_____t___________AD_____)__)_____________________________a__________________b___y______r________________________________________________________________y___________________________t_____________________________________,________________y__________________m____________,_________________________________r_________________________________y_______________________________________B_____________________________________________________,__)____________________________,y__________t___2_____________________________________4____________________a___v______0_________________________b___________y_________%_______m________,,_______7___a________________________________a__y_______________________n__________m_t________0_______o Ec)) __o ___

' Tri_0nom_ría

_, Calcule la longitud recorrida por el cen_o de 3I. Del gráfico POM es un sector cjrcular conla _eda de r__ l m de radio, _ando recorre, cen_o en O, luego el á�ea del treDecio circulerpor primera vez, el interior del circuito en función de a y b es imos_ado sobre un mismo plano., __5_ __m_,._ __m'''_''''_:''''_'''''''_''''_:'.^'''_''.''_:::^__''' :___5____' _____'')'_''''_?.''''_''x: _,__:n___..__a_'d__!__,'i' ___''_' '_,'_!'.:'__/:______;'__''';__ ''__''''' 'm_,m_m'' ______ ___,_,%,,,_,oo;____,:'_,;.:;_:'._:_.;_,_i._^^ ' _ _n'__':'__'__)__,a,a_, _i ' _ ^ '''__ _%_0_.'___,^ ___i_,:.,:�.,_,_...,._ ,__.^',n^^^_,,_^x ,/ _ \ _j___.,.'_, _, ,_o ___'. ,._.___.___,__.._.;___ f ; ' \ '_'__,. ._. . ,__._ _, ..... , .,,. ,. _ _ ! _ , , , _ _ _, _ , æ , , , , , _ _ , , ,a , , , ,_ _ ; __ _ . . x, :. . _ _ , _ ,__i''y,'',',;;:_ J _ __;::.:___'__'i'_' ' ______, _ a_ ,_,__ ___'____ _y _my__' i_!___ , ___ :_ w_ _!; ,__' ,,,_,,,_ ,J _ _�;.:�,;. __:_.. , ,i , ,_ , _ _' _. ._ , ;. __. : _ _ _!_, _ _ _ __ , ,_,, ,_ __ , , ,__ , ,, , ,'_ , ,_, , ,_ ,, _ , ,_ ,, _ a _,'__,__ _ , ,_ ,_ __ , : ._ _m_._;;..;,:,y_:,.,m.. __;, , l _ _ _ 4 m . ___ . ___, ___._._::__ _.. ._.__. ,.. o ''_,'' _'''''''''' __'' .'' _. , _'_ _'' ,. ; __ ._ _ ___ _ __^' ___'_ _^,_^^ _^^^a^^_^ _^' _ _^'^^^ g^'_^^' _^^_ ._ ,_ _ . , ,_y _ .'' _, , ,_ ,_ _'___e..__,_'_,,__':'i,,. O m //' _ ,J '_ _ _ a__ii __,'.___._..'__,.__ __ __,__, _ _v ,^'' n , ,_ .__;. ,_., o _ __ æ_ i ,_ , , _ ) _ ;: ._ ., , __ .

_t:__!'i_':';__' :_,;y,.,... ,,,_',,s.,.. , yi,_'___M__'''''"" .'''_'__''''____ '_'''.'_'''..'''__:_;::5_'_______ _ __,. ._s__._m'__'._..'__ ___M_._:_.'___~._._.___:_i__,__;___._'_'.___ _ n_.,_,_._.,_____M,.'__-' _'''_:_ '__' a__a^a_ '_' '' '__i_'__:._:-i.____mi_!,._.^_M_____,_.,:_._;_._____'_';_','_;'_'',:y'_'__;_,'__ ^'_''_m_"'_'''' _' _'_'__''''m'_''';,,___._,_:,'_'_'__'_,_%, ______ -___^^^ '2 _abA) _m B) 22_m C) 2O_, _..; 3

_a0 _abD) 6nm E) __

_, Des_e el ojo de un guardabosque un árbol 32_ De la fi_ra mostrada _cuál es el valoF delque se halla a 400 m5ubtiende un ánNlo de - área de la región sombreada si AB__2?20. _Cuál es la _tura aproximada del árbol? Además 0_ y 02 son cenbos.

90 _ 4 O n ,.. , ,_ !, :__ _5'_', __ '__.v_'_ y. __'_ '_,'''_,'''__''_. __ _,'_.' !'_,'''_;''' '''_:,_. ''__5;_,_'_''' ' __^^'_',,____ ___,__.;____,'_ __ _ _ _ :: ____''',:_ :0_' '- m - m l3 m ._;_;_.__m_._..5_._,___'_5__,,___.;_.'..__,.Ç,.,..___m,_,gmm,.,,:_.:"_...'_.___,._.~.._.m...,_,..,,,,'__;,__:'_,''',_':.____._,'_"____,,,_,,),___,,_,;___._! ''v'_' '_'' i_' __, _5;,;.,_,' ;.__.i'_ ; '__'___,''__. _, _. ; _ '__:__y._.___..M, !_m'' ' ''_m_' ' '' '_. _,.. ,.:.__,_.M.__,,,,.__.. '..___. _' _;,.,; _._.m,,,m.. .,,,_'',,'' '''__'' ''"' '_,,:i 'D l o, .,.. .m. _g_ _ ,_': ''' _:5''; ,',,.,. .:..... ..._.._._:.__._...';'.__ _.. _. :ym. ... ,.. ._,. ,.. '.. ._;. :,;_, __.. , ;_.. ; ;_._,,;_,_.. ,. ._,. ._.. .,. , __.. .:._'__. .. . _..___,,. ::.. , ;.:,:'..v. ,.. ._., ,.m. ..__ ,'. '_: ::'_ _ ._ . ,_ : .:. , , Ç_. __ _!y,'v,'' :'' __' _ _' '' _ ,' _'' _' ''_' '_,_. . :__..._,, ,_ _'_ ._. _,, , ,__ '_______ ___'''''''''_!''''_'',''','''_''':______'_:':;.';_,,.,_ _m___.____._,_ ___'_Y __:_______.m',._.___R_%'_'___ "_'__:''_.'''__'__'____'''''_'''_,_'''''_._'' ______ 'te'0':i_M;_.__.__.!._...i____.__.__i ,_",___. _;.':_:,'_,,_,(_;')''',';_";___5.._'m__.__''______'_!_,;;:mm____. 5_y'_.__:::.'_..;_,.;;m;,.;,.30. En la fi_ra A y g son cen_o, de 1os _cto,e, _.. ._. ,___,_ ._..:.__.'.._,.;_.''..''..... .;_.... .;..:.._ ._, ,.,; ,'___'''_m''' _'''_'''_, _'''_''i'_,_,:s, ,'',,...)._.:,:____ ,_:': ;:5: ,;.._..._ .~... ._ ,..5.:; .... .x.....______~5__: m:_.. ..,, .:. .:... ....S ,.___':_ ... _::___._. ._ m:,'m':,__:_._:___''': ,,'''_ ,'_,;_''.'''_,'''..''_.''''; , ;''_,' ___' ;_. .'. _'__0c;,cule,es. _cuéleselvelo,de g en,ad,_,nes A '''''''''''''''_ ''''''''''''''''''''"'''''''''_M_m_M/'''Y'__"'V'"'_''''''_mm_'^_'my'mm''''''"!''''''''''''' Z B

s_ el á,ea de 1, r,g;ón sombreada ,s ___ uz, Ot4B__2_u?

.._____,:_'_,....,...''''''''_:;;;_.;,__,_.__...__..'_:.'':'''__''_';:_._.___..__._:.'''_'''_'.''':''','__'?''''''_.:''_._,'':..;....,.,,.,._,,.,,.._.;.._.,.._........ _ A) -_, +-arccos

.._......._C''_.'__.'_.___;,.. ' ';_;..,_;v;._..'..5__,.,.,...,..;,,,'''''''_,,;;,... ... _. _'''' __'::'__.;,_....,__..___:._,::''"_,_:.:'_'_5,:,_,,...;.._._,,_;_.';.......,........._ B) -, + - arcsen _

_.._._.;''''''''^__ _ __''''_. Ct -+afCCOS

A) __ B _ c 5n D) _+_arcsen6 4 24

D) _ E _ E) _+ar4en

__poDdpceo))rr4c_8a_Fol_asagn(d2Ro0ng2renen Eeftroe)trsaacblg E) 806g_2a2n _cA____))3_86o _ B) 9a__________n______ __________________c_ _)0D_0____Dl______o_00_0__ ______________0___0

_bIemas _elettos '_................

a Del __fico adjunto O es cenbo de los sectores & Del _ánco mo_ado_ __e _6n - 1) siendo_r_laf__ RedU2_ la eXPre5lO_n; n el númefo de _elt_ ue eneTa la _edaE _ _ (52_ _ S2_ _) (r--30 cm) al _correr de M a P, sin resb_ar.--' Dato;MN_NL=L_

o a0 _0 _ S2 53 '" ' - S2n__, S2n ' ' _ ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' _ ' m _ :._,,,....,._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 6_ O _ ' ' ' _' ,,_,,_80,,_.,,,,,,o.,0 .......,..,.......,.,.,,/ ,.o.D,,D.D,,D.,D,,,.,,,,,,,,,,.,,,,,0,,.,0,,,0,,,,0,,,0_,,,,,_. ,. ,..,,.,.......... .,0,,.,,0,,.,., .,,.,.,,

l5m

A) _2 B) 8a2n C)_3 n) 36o-_ B) 18o_2_

D)18o -_\/ go+2 _æ Dete_ine el valor del _rea lateral de un _onco_endo que _as bas_ t1_enen _. Una _le_ está dividida en 24 pa_es igu al_,_,o5, y R (,<R) y el a_nguto fo_ado comeMando del 1 y llegando a t 2 4 siguien do._ces es j g ,ad1.enes el sentido horario. Si partiendo del 9 laaguja de la ruleta gira un ángulo de-103_A) _(R2 + r2)sen0 _Q radianes _cu_I será el númeroB) n(R' + r' )_s0 premiado?2_ 2

D) _(R2_f2)_ng D) l6 E) l2E)1cRrsen0cos0_. Del __fico mos_ado si _ asume el mínimo_. Se 6ene un biángulo _C (B =900) de _tetOS v_or entero_ tal que a x ß y a x 2 ß, entonces3 y Q UnidadeS, Se tOma SObre la hiPOt_nUSa el v_or de a esIos puntos M y N de tal Fo_a que B_ yBCM son 5e_ofes ciTculares con centro en Ay C re__v_ente. CalcWe aproximadamenteel área del mángulo mixtilíneo M_N.___A) __2o -6 B) _36o --lo 8o_

1069_ l069n 58 o o36o " _l2o - -7

19O

_D_) ___8 ____y _ _ __R_4_ _ \_ttE2__)t___/__2l3 _ _ _ AcDel))_c___w4_e_N _ l l Bl___|_) o__ \ B6 cE )) ___ 8 _

............... ._/ Tr�gonometría

_- Dos _ed_ de radios R y r (R>r) reco_en un Razone_ TrigonométriCaS dee_acio i9ual. LCuál debe ser el radio de una un Áterce_ rueda para que reconiendo eI mismoespacio, su número de vueItas eIevado aI 42. se t;ene un _ién_1o ABc (,ecto en A)cuadrado sea igual _ producto del número donde B>c. si _e releción de los catetde vueltas de las 2 primeras ruedas.a OS

r R R_r M _2 BBn) -R B) - _c) _ � SeC-6 + SeC-6 COS-3f -fR+rD)_R E)_ N_1+_cC+__c--rZM2_O. Dos ruedas de radios R y r (R>r) reco_en la 'misma longitud hoiuontal h_ si la diferenciadel número de vueltas de la menor y la mayorh cal _ feS- CUe-r _. En la f_gura _ mue_a un cubo; una hormiga_ ubi_ en el punto medio de la _ista ADn_2 4-n n-3 'A) _2 B) _ C) _ indique_n 0donde 0 _elánguloque hacela _aye_oja má� corta y la arista CG para4 + n _n - 3 que _cha horm;ge lle_e _ p_to f.7 4B C_l. Halle la abxisa del punto P sobre la rueda deradio r cuando ésta gi_ una vuelta- !A. _D

'''r ft!_____ ______ Gx+y=R ,_P ,,'- E H,' '_ A) 3/2 B) 2/3 c) -3/2'' ,' D)-2/3 E)2/5

_. En un cuadrado ABCD desde A se _aza AN(N en CD) y' desde B se tra2a unapemendicul_ BH a tW, sobre BC _ ubica elpunto medio M. CaJcule la tangente del án_lo2nr ( 27TR MHN. Además CN=a. ND=b+A)Rcos _R B)Rsen;+f / _ +r_2,, Aa+3b a+2b _2a+3bC) (R+r)sen _R + a + b a + b a+br_ nR 2a+b 2a+3b+r)cos2 n r E) Rtan - D) _ E)r a+b a+

29l

_a6_ gD(DEcae)2o)_l_cm2__uel_e2t2fltcyat___ __B t _2_s_b_) (EE_)) ___2_)l2 d l_oDs)_sy5eABe___gnQm_g__e_0_A(n_octooH0t_cøe Btn000Hbo_yo)HcTe_an_B6sG__termE___)Rlncoocssdøe+_se__5__

Pro6Iema_ Se Iecto_ 'M.,......,...... ,

_. El pe_me_o de un biángulo rectángulo ABC 49, En un triánguto rec_ngulo AB C (B_9 OO ) se(rectO en A) es l m_ el equivalente de tra_a Ia ceviana _ _ tal que _ tumple2__CB+1 +c2_?

2_a+_ B) a2+3a+_ c) _+3__2 A) 2 8) l C) 3D) l+a2_2 E) 1_-_2/ 5O. De la flgu_ mos_ada, h_le la relación enbe_ Calcule la tan_ente deI menOr an_ O a_ O / . _de un triángulo rectángulo si los catetos Ay_e hipotenusa forman una pTogresión_

+l l _A)_ B)_ C)

Jt-_

_7. En un Mángulo ABC (reno en C)_ calcule2 A+B A) sg n g c o sø B) c s c ø- s e n _ C) s e c ø - c _ s _0 +b )''^(_'B)t(0 ' ''n t _n) -1 _) o c) l 5_. De Ia fl_ra_ halIe Q_ en función de a, 0_ 0 yb_ siendo TS=b y _=a, (O es cen_o de _d s l d l semicircun feTenc ia)n et _áfltO adtUntO, 5len D e area e aFegjón sombreada, además tan _2__

sen0cos(45d+0)' D .OO

,H A _ o _ ___'__i._,______- 8^0__.__0_._0_/^^._'_,'a_,0m,0,,,,00__,_000,,,,,,__'.__'_,____',^'_'._;;

A02' _--_-- , c c, b(_(a+g)-_n(a+g))-acosa

n) 2o_ B) 3o_ C) qo _ DJ b (_c (a+8 )-sen (a+ 0) )-a_ taD) 6o_ E) 50 _ E) b(ac(a+0)+_n(a+0) )-0sena291

_Ad_A_a_l__rrn_T_b0a_r_pt_ b 0 0R0 0g A__)A__02____a__ __cD__ _qB) __(4__l)

............. .-.__ Trigonometría

52, En un _iángulo ABC recto en C, red_ca la _bsiN_ente expresi�n en función del __'meho Oa_00P_A A 0_-_0Set-_C-Y= _ _/2 x_(l + cos A)(l + cos B)(l + cos C}J- 8 _

(__ b y c son las medidas de los ladas de dicho_iángulo) A) 23J3 B) 19/3 C) 17_/3D)3/19 E) 17/3A)p B)2p C)p_55. De la figura adj_ta, calcule tan 0 si O, O_ yp_ 02 t On_nhOS_D)p2 E)'-2

5_ En un kián_lo A8C se inscribe n cua_ados af d_ _ ,e a SlN1ente O_a, e m O qUe _AP=01:PC=__ '' _ o B=a2; =2A,R�03;RQ=b3

C

(8-5_)0 > 20_Y c)6_+gR0 0 (g_ 1)D) _ E) 4-___'_00 0s;mp_;f;qu, _ 56. Si _CD y __ son _ad_dos_ ademá� B,C _ G son colineales siendo M punto medio2 de AB, calcule P=84cø_ CE=2AB.M___r--,l E2___M f2nA C2n

' D_ De la fi_ra adJunta, calcule Gy ( _ ) _ xcos'_ a b n) _ B) _ C) _=- - +_+-t-X O-b bd D)_l E)

19J

_58_ ABcEEfn)))_) ltatata0__onnftlaa&eta+nnteagg0ntag0n(gota) __ . cD_)) c05_ggB+A_________2_a_____s____e_____ng___g_g_ _g) E) cDMN__p_c___g__

ProbIemas SeIecto_ '_................

x 59. En la figura mashada, S _ el _rea de la regi6n. En la figuraadJuntaNP=x_AQ=Y, hal1e - enSOmbreada,tW=l U. Halle M= enunci6nde 0y a. __gfunciónde 0.B 00

a_ , _.__;;:__,_,,_m_,_;:;m_;__,;_;__:_:_^_:^_^_'^^'P^'^^O^^^N _____ e_'_'__'_''_''''"'_''''''''''WDx A Ni _' 0_'__ A) uc0-2sen0 B) csc0 +2sen0YDoO_a 0 / 2A H c sen +C05 csc0+Sen

_. En la fi_ra moshada. halIe MP en funci6nde K y 0 si BQ=K y ABCD es un cuadrado(Oes cenko).tanacot_) tanatan(0-a)

._Fa ad__unt, oa-_b y oH-_a s__endo o aOcenbo,_lculeb' + 202 sen2 a + 20b_ sen a� a2(_+cosjaj_b2

M A) 2_e,gsen(45oB) 2hsen 0 tan(45'- 0 tQ 0 P C) h (2sen (g+ 45a) cos g _ _)_) 2hcos 0 tan(450+ 0 tA B E)Aoc _.

D 6l. _os triángulos equiláteros A8C y ABDforman un ángulo diedro recto. Luego laH medida de la mitad del ángulo CAD esN _arc tan_1 c, 1 _3 4 C) arc c_1 1 1 _^g E) -3 D) arc cos _4 E) arc cos

294

_A)A_e_c_oDsaM__t_a__n_a_c_ot_ ) _ E _A_g__t o _ _ _J_4p 9_dDd

. ,............. .__ Trigonometría

_ De la figura ME_m, dete_ine & Del rectán_lo ABCD, caIcule

N=z(cH) (_+l) tan 8Y=_r msen_tan(450-ß)r si Bf=2_E=2 Y GC=CD.

enfunciónde 0.a'

C DO_g 45o__ B C45o _0 O _Egaj_ ' N HoOD _-__ Of f

___ _'

A) _+_ang B) 1+co_8 n) _lo+2_ B) _

C) 1-tan0 c) 4_-12

D) t_ot0 E)_n0+cos0+D) _ E)63. De la f_gura m__da, h_le AB en funci�n de

ayQsiDE=fG. _ D_r _. e a 1Nfa mO_a , _ tlene Un cua _ O

ABCD de _me_o 8 u, h_le _ en _nci6nB C____ 0 deC_

G B M a N cD 0 ,_ 0\ P r

0 0 __A E F .

a_ , ,,/2 _ ,_, 0?B) e cos2 a {._:_dn' _ - COt 2a 0_ 00A D_

2 2 A)sec0+l B)_0+lCOS atan a-COt_C) cos0+l2D)_2sec0+1 E)_2sec8-l

295

_ABcDEN)))))___t222_A________ __ _) y __ _/__c d__en_o_m1 n ey _

Prob Iemas SeIecto? '____................66

. De la figura mas_ada O y O_ son cen_os, P, 2 2 2 2 2X +Y + XYZ X +Y +XYZy Q son puntos de t3ngen�ia. __ _mZ XY0 C)xyz2 22_' _y+XZ-Z X +_ +ZT X-z x_zH !Y '-'_ 68. Se traza pemendjculares _esde tos vértices A.ol P B y c de un bi_ngul_ ecutángulo a sus ladosopuestos y se pr0longa hasta que cortan a lacircunferencia circunscrita. Sj las_X Q uo __o_ongacianes m_4bcrespectivamente _alle -+-+-, enc_cule ' m nterminos de 1os 4_.gulos interno_ del tri_ngulo( _+ tan(x-_j )__e_ 1 ABc. ndema/s, a_ b y c son los lados det_s y cos(x - y) biángulo ABC.

A) tanAtanB+tanCl- B) 2tanAtanBtanC)2coAco_cotCl D) tanA+2tanB+3tanCZ E ta,2Atan2gtan2clj __. De la Figura, calcu1e el área de la Tegi6nsombreada en función de u, si O es cenb_.l- 2+ O '

1 o- 2+ _,_

_. En la f_gura ad_unn TH_x1 BH=_, Ta=2; __! _das;e,do o c,n_o de la sem;c;,cu,fe,e,ci,_ d, A O Bdi4me_o 2 u_ calcule el vaIor _e 1A) -+2sen(a+450)= 2tanasen (0-a)+cota.1B B) -+4sen(a+T _,l-+sen(Q50 -a),D0H 1-+ sena2_ n_A O C E) l-+COta

196

_AED))) ______ll+_l__g _ _ ABc_))) ________(___6_____m+_l)2___d___R__2 n _ er en uneae_

,.............. .__ rri_onometría

70. En la Flgura se tiene un cuadrado de lado l u_m +n +ncalcule el radio de la circunfer_ncia de radiommenor (O, A y D son cenko_,.2+n2B)n

2+n2c)m

2+n2D)m+na0 _m2+jn2E) _+m+n m-n

no_ a 0_ 7_ se inscribe un hex_gono regulA DtlftUnfefenCia e fadlO R. Halle la SUma deIas _reas de todos los círculos de radiol + _s x + cot 0 máximo insc_tos enbe _da l,do y porción dl + __c 0 circunferencia que subtiene respe_ivement

l-cosa+sena.8jSen0+COS0 n+2+CoSa- sen_C)+Sen12+21__21-cosa- senacot0 2l+4c0_ 2l-cosa_ 1+cos_ 21+12_D)_2 __1l. A partir del gr_fico mostrado, expresesec2_+ tang en funcjón de m y n, edemás E) 21-12_ JTR2Cll=m,OD=n. 8

g T3. En _ina esf_ra de radio 2 Tn se inscribe nesferas (n es par) de menor radio_ cada una_ de Ias c_eles est� en contecto con las dosvecinas. ubicadas en la circunferencia de_ mayof radio y todas en coniacio con la eSfefa_mayOf. l>_ego en e eS_aC_o se In_'CfI e Otraesfera de radio l m que hace contacto conc_ las esferas de menor radio y con la esfera! mayor, calcule n.'' ,, ^n) 2 B) 4 c) 6D)_ E) lo

_97

T5_AABcsEBe))))))c_t04___2_llrRRc_tarcse2l2 __n______\______R(5o_ r__ __2__2___2)_t _ _ _ / D d 2____(/ _2/ ___2_t _)_____ _b _ _

ProbIemas SeIect0s '_................

7_ En el _áflco que se muestra, et radio de la T6. En un sector circular cuyo án_lo cenbal es

circunferencia es igu_ a 1. Calcule el ár_ de a, se inscribe un triángulo equilátero de lado

la región sombreada_ siendo P puntq de ' w, celcule el fadio del sector circular_ sj uno

tangenCia. de los ve/_ces del _ia/ngulo _ encuenba en el

punto medio del arco.P ,

_,. __/'_/_ '/_i_%____/____/'-5-__ w aA -__----_---_---_--___,_;_'_,,;'//'_,_____' /-_-_--_'__-_0, A) - COt_ tc5oo______, v_._i'____,,

i ;,,_,__,_/,M_8'o,a0,o' ' / _ _ _ _ _ 0 _ 0 o _ 0c _ , 0 0, / _ ,o _ _0L 0 0,, _ 0,, 0 _,_ 00 0 _ _ ^ ' C a''^^'B B) w_n-+

Wa C) - cotatCOSasen 4 O--

w aa a )- _n-tcos-cos450-- Z 2

, w aa E! - cot-+senasen450_- '2 2

D ) Q cos a se, 45o _ _a _. El esfueno Para subir unas es_Ieras depende

2 de _an perte del ángulo de la rodilla que

sube primero. En la Figura se muesba unaaSen-Sen 450-a persona_ que al subir las escaleras, la

flexibilidad máxima de la rodilla ocurre

cuando la pierna de ab_t est� derecha y las_ El radio de un _ctor circular es igu_ a R, elca efaS eS_n JUStO a_l a del taton del _leradio de la carcunferenCla lnSCrlta en eStec_ _ _ d l delantero. C_cule cos0 siendo 0 el ánguloSeCtOf CIrCU aT eS lQUa a f. a CU e e afea e.Tcula, en menc.,6n deI ligamento de Ia rodilla,

O22 R-r

_d_as2arcsen _- r _2 R-r ___ !,0

2 r 2O_arcsen-f

2 R-rarUen+r 24 J 16A)-25 Bj_25 C)_24lR2 R-rE)-2 arCSen_R 16 7_) _-_ E) __6

298

_TF)A___h________(_______(__2_________________0__00o___t_________o___0__o0_0__0000___00_o___00__o___0o__0o00_00__200)000,___a_0_000_00_)_0_0_o_0___0o__0___r_______________0__0_______________________________0___0______________n_________oo0___0__________0_______00)__________D__B___0__0_0__0__00__000_0o___________00000_o_ E 8_ BHcD)))(l2RRl__hRtt((aa_l_o+______)(____sed__9958nnn__taa)_)__)d_))__4l______(l0_otnn__) _f

......,........ ._/ rri_0n0met�a

78. En el gráfico mostrado las regiones h2sombreadas tienen áreas iguales, además D) _2 ( _ c o s a 2DC=2t%,entonces 0 es2E) j(_ cosa2

i_.__~_,..':._;_'___;;.;_..,,_,. 8O. Una temicircunferencia de radio R se divide.;,,m:,.__.:_...,,:'.__,'''_:'':..''_,,''''__,''':__._:.._:'__.'',y._g__:,,. en n _cos igu_es, entonces la longitud de laV:,')_:_('__'_'_:'.:__.:__'_'_'''__?_i__''_,m,___, proyección del quinto arco sobre el diámebo'__,',''_:_''___('_,__j''_,:0'__,__,'_0'0_,,,'__,'_:_0''_._'_,i,',___0,_,_,_0,,,,,_,,,,0___^^'_,,,^^__,,^^__,,,^_,^^_,^^__^^',^^_,'_^'__,^^__0^'_,,000_^'0,,_^_^0,^_,,^'_,'^,,^^__,_^00000'^0_,,'^0_,,^^00,^^'0,,^0_,,00__,,^0_,"'0_00^00,0_^0,.___'__g0,o^O_'_' etn> ._8_ g

.D,0,,,,, 0,,,, , ,,_,0., ,, C0,,,_00-. ,0,--_-_;-__-__-:--_:--------_:------_--------_--_----9,'_____'_'_'',:,,_0_D_,___'_,_0___,____::,,a,_'__D_,'_D0,_0. A) 2R_n _n sen mn. ,_. ,,,,d,,,,,.,d,,,0D,0,,_,0,,',,,,_,o0_,,,_,,_,,,,_,,o0_o_0__._,_,_,_,__^0,,^'0o,o'^',__ 0_,0,^00_, ' '^'0,,_^',, ^^'0,^^',,^00,,,^^o0,,^,,,^0,000,,,^'0,0 ^O'0,,,^'0,,' ^^'0,,^^00,^'_0o^00,0,0, ^0,,_,,_^0,,,__,,,,,_'_,,__,,,_ ^006_ ___.__ __=______. .,_,____;______.._._._. :' . _ _.. _ ^'O' '''^_ ^^'''_0_^^, ^ _O0'0P0^00_0 ___ 0_,__ 0_,''Da_ ____'0_'0_,,,'_,,0,,,0,,,__,___'0'0o0_80_^0'_0'0_^oo0___0oo0_^0o_^0_O'0o0____'.0__0 0__^_D'___mD''_0__._,_d_o__D_^.Oo''____o^'o^'_^'0^'oo^0___0_'0.O'0o'0_0'0o'___0o^'0_^'0o _O^^o_'^'0o__'0'__^0^'^__''8'_ __- _8 0.^-'- :--_------------_- - _M_- - _-9-W------_-' _--___''_:_,_'_^^^^^_' _^','0__^ __0_'_ ___^0 o_a____''0_'_'0_' _^^_^__,^0__'',^_0 8'_,'0'n _Sen -coSA_5o B2zo3o_c3oo n _D)36o E) 45oC)2Rsen_n .sen-n79. En Ia Fi_ra _ mues_ un _ctor circularA08 '

con án_lo _nbal Za en iadianes y la tlecha 5_D) 2Rcos=h. Determine el área de la regiónsombreada.TCE) 2R_nnT__. .__,'_Q___' '____^_,'_'!_______o'',_,,__o,i. ___0, ^^__ _00,o,,___,_^'_^^_'_,_^,^'____,;____ _0,,, . ..............8,_,_,,_;,,,,,,_,_,;,_;_;:'_';__''_''___,'^',^'_'',,'^'_'n,,__'_,,,,,0,,,__,,_,^,_0a_^','^__'_,_o,,_0_"__,,_'o__,o,_,_,o,,__0,,,_0,__0d Ooii'.._;__O_____,,t,;___'0_^_'0^_0^_,^^0,^^'_,0^_0,o0,___,,,,_;.. ___ _.__,',,'_0,__^^'_,,^^'_,,,,^^^'_,__,,,_,_::,, _ a e e ra lO e a ClrCUn erenCla maYOf enA '/'~'''/''^^O^o^^ o'' 'o0'^_^^__^^_^'^'^^^__^^"'"'^^^_^^''_^' '_'__"0'__'''''''_''_'_''''''''''''''P^'^ B té_inosdeRy g en

O

0

3n0A)Rtan2 _g -4

n 0B)Rtan2 -g+-4h2(2a+sen2a)A)2(_ jj+COSa g2 -4h2(2a- sen2a)B)_2(_+cosaj2 3, g2 _+_8 42c)_2_ 2 ,_3n+_30-COSa) E)Rtan

t99

_Ac))______o____2t 4202nnd__l dt _g __l__ 86 DBcDAD1)))))_nl32__33sc_5e6o_fns/2f_00 _d______________________s____________________r____________________0_D__ opfBB)0R__43DG9c7o00Bc____t00_g_cu_ t

PrDbIemas te Iect0s '

& Sea K 1a relación entre la longitud de la A) _(sen8+cos8+ l)

circunferencia de cenbo 01 y la longitud del B) o(sen0-cos0-l)

n o C) a(sen0+cos0-1)aCCO , CUYo Centro eS entanceS etD) a(sen0-cos0-2)_c 0 - 1 - E) a(l - sen g - cos g)eQUlv_entede es

A

2AB=3CD=12 cm.AO , _^I C

_2AradB0 _ 0

0 2 _'___.__'__'__'__i_'i''!:_' _i:_''!__:__'_;_'_'_';_:__'an- B) cot0 ________,..__;;'_^_M_'

D B0 t

2-an cotg 2 22n _5 Cm MOCm

g g c )_ t g 2D) -cot0 E) -tan0 _5an Cm_1T _

37tg2 E)_tg2-a_Cm -CO Cm83. El polígono regular se inscribe en una

circunferencia de modo que cada lado es una_ e gfa ICO a _UntO A eS un CUart0 deeneSlma parte e ra lO, entOnCeS e angUlO . . 2 2fCUn erenCla, eX preSe - en té_lnOSen eI centro que subtiende cada lado es de g s__ se cum p_e ED__Dcigual a APA) 2sen20E R2A)arcsec 4 2 B) arcsec -2 2 gn -1 n C)3ten 0

22C)arcsec E 3cos2g2n -lo f G B1D) arcsec j j E) arcsen2n2 _ El trjángulo ABC esté jnscrjto en unan 'circunferenciaA8=BCy m_B=0 .Si Iabasemedia deI triángulo se proIonga hastaafcule MN si B y C son cenbos de 1os sectores ;

circulares ABN y ACM_ respectivamente. cjrcunferencja (DE//Ac), calcule el érea delA _ián_ulo DBC. Dato: aItura del _iángulo ABCo relativa al lado AC es 2.

2 B 3+cos0+Sen0 COto -COS

B M N CD) COS E)a l+cos0 2+cos

JOO

_A_b) t2 __md bl B) 1 d _ _ td / f l D) 3_o a )p __p oF del

.. ,..........,. .__ Tri9onom_tría

_. Una peEsona de l _8 m de estatuTa obsenJa ta 91. _a ladeTa de una colina en_enta al sur, y estáparte superiaT de un árbol con un ánNlo de inclinada res_ecto al plano horizontal unetevac;ón g ., _o m m;s ad,_ante en di,e_;ón _ngulo a. Una vía rem fe_oviaria sobTe el1aal árbol, un ni�o de 1 m de estatura ob5eTva e_ inclinada en ß re_cto a dicho plano_ sila CÚS_ide del áTb0l COn Una eleVaCiÓn a. la orientación de la vja es _ _ este del no_e,EntOn_S la __ra del árbOl Será exprese co_O en té_in_ de a y _.Dato: _c8=_'ycxa=_A) tanßcota B) tanacot_n33m c) 56m C) tanatanßN n D) cotacotß E) cota+tanß_) 3,5m E) 4,5m'- 92. Un estudiante de h de emtu_, obsewa un_. Un _bol ve_ical está sobre la f_da de un poste d, _w b,,-o u, _n,lo de g y 1, p,_ecerro que forma un �ngulo 0 c0n la superior de éste con un ángulo _e elevación_orizont_. _Cu_ e5 la al_ra del _rbol, si de a. entonces la _tura del poste escuando el ángulo de elevación del soI midea, ta sombra pro_ec_da del _bol sobre la A) hsen a_c 0 B) h_n 0 sec af_da mide h m? c) hsen g seca _c( g _D7 h(sen 0 +_sen a) E) h(cos a _os g )A)_(a-0)B) _ (a _ 8) ,ec a a El án_lo de elevai_n de lo _to de un editicioes de 68011' y el asta de la bandera de 7_ mC ) _n (a+ 0 )uca de a__,a ub.l_ad, en _a a_e su erl.D) _n (a- 0)sena edificio sub_ende un _nguto de '20l0' a laE) gn (a + g)_cg vista del obsemd_. CalcWe la altura deledifi_o sí _nJ0021'--2,8 'y tan21049'--O,4._ Desde lo alto de un obelisco, de altura h_A)60m B)50m C)40mU Ica O en e tentrO e U_ _aFqUe e Ormam E)2OmClrculaf _ o Se_a a dOS nlnOS con an9U 0Sde depresión 0; si en el instante de _. se t;ene una to,e de aln fgns_ón swpend;d,obseNación l_ ni�os __ban diame__mente _of dos Qbles, uno a cede ex_emo o_ue_oO_U_tOS, _lCUle ta di_anCia QUe IOS Se_aTa del o_o-, el pfimer _ble tj Ta del extremoCUand0 UnO de e1lOS ha feCO_idO U_ arCO su_fior de _a to_e y fo_a un _n_1o g conco_es_ondiente a un án_lo cen__ de _O _ el sue_o, y e_ __ndo _b_e 6_ del punto med;oel O_O l35^ (lOS nin05 nO _ CTWan)- _ forma un án_lo de g con el suelo. Helle lelongitud de 1a torre si Ia separación de losn) h_cot_ _untos de apo_o de tos cables en el suelo es d.

B) h __an8A) _,o_g+c,__ B)COt2dD)h tan8 C)

E!/ h_(tan0+ cot_) D) 2d(cot_ +cot_) E) 2d(tanO+tanø)

J0_

l__ edgleoeste 1o observa con rum_ bo sso_ _ A) ______3___ _______ ___

P_bIemas Sele_to_ 'L................

95. Dos árboles de alturas iguales son obseNados _, Después de habeF caminado h.n km, seen su pa_e más alta poF una persona que encuentra que se ha recorrido variosesta' en_e ellas (En la mj,ma djreccio'n que hilóme_os más hacia el norte que hacia elune sus ba,es), m;d;endo el ángu_o de Este_ si al Este se recorre n hm_ calcule el.o,n p,,a la ma/s cerce,,g _uego la coseno del án_lo delrumbo de lapenona.

persona camina _ me_os pemendicular aa línea que une sus bases y vUeIVe a obSeNarlos mjsmos puntos, pefo con ángulos de D} _ E) n _elevación de 450 y 300 respectivamente.c,_cule _a d_,,t,,c,_a ent,e 1o, ,_,bo_es, s; l_. Desde la parte superior de un edificio unapersona obseNa 3 puntos A, B y C sobre el-_a,cten _4 y _ _n 6 4 suelo, con ángulos de depresi6n 300, 8 y3 ' a respectivamente, tal que sena = _J3. Siel punto A está al sur y C al este det ediflcioA) 8_4 m B) 8,9 m C) 9,l m calcule cotg, sabiendo además que B tieneD) 9,4 m E) 9,6 m un rumbo S _ E de la ba_ del ediflcio.Nota: A, 8 y C son colineales._. Una osa obseNa a su oso en Ia direcciónoso, pe,o s., ,, de5p,aze _ hm ,,,,., __aue/ 3cos_+ 2_ndistancia sepaca a la osa de su oso? B) __n_+ 2c0sA)2hm B)3hm C)_hmD) 2_hm E) l hm C) __co,___s,,_

_. meFibel le dice e Hugo, La LmJ( est� �J oso _m,. ,,,, y ,, ssE,; ,, ,,,, y _, ,,,s,,n,,,, _) ___,_- ___entre l0 UNJ y nuestros hogares es la misma._En qué dirección está la ca5a de MaTibel E) _sen_respecto deHugo?I01. Se observa una paloma situada al Y7500 y aA) NNE B) YNO C) N250E c metros de Andrés de estatura h, en eseD) N6500 E ) ESE instante la paloma alza vuelo y sigue eI rumboNE con un ángulo de elevación de 450,_. Una persona situada al oeste de un árbol cuando la palome está a una eltura H me_osobse_a su pa_e más alta con un án_ulo de recibe et impacto deI proyectil disparado porelevaci6n x. Luego, _ dirige hasta ubicarse al Andrés. Calcule la tangente del ángulo desuT del árbol y lo abseNa ahora con un ángulo inclinación con que sale el proyectil.de elevación que es el complemento de x.Finalmente, sigue por una dirección H-h H-h'culaf a te antef_or hasta ubicarse al A) __Hz + c2 + cH B) H2 + c2este del árbol y lo obseNa con un ángulo de _H _elevación cuya tangente es O,125. H_le x. C) 2 2

n) aTctan2 B) arctan3 C) arc_an4 D) H-h E) H-D)45o E) 3oo __ _

___2 (_ 2l00/ \ ____/_/)/ __ Ec_a)tcJJEpulet_e(ll9lvJTl_ooeJT)tollr_8d1e_+_rt cay__4naJcoens

......,........ ._--_ Trigonometría

Ra_ones rrigonométricas de un lOQ, Un alumno al c2lcular la tan_ente de unAngulo TrigonométriCo en án_ulo en _osición normal 0 del IIC_ puedepDsición Nofmal utilizar abscisa entre radio vectoT. Si a es unarco de_ _C_ tal que 2 _n a - se_ 0 -- O, calculelO_ De la f_gura adjuntat calcu1e a (h _ _)tanø-cotø=_SalendOqUe = _COS0DE__2Ao+ A) 2nht-_

YB) 2_+-Bh_' C) kJT+("l)-

CD) 2_+-D

h_a x __ ^ -__ __A _ E__ Los unt0s de -,nter_cc_-o/n de _+ 2_n) 4 B) -z c)-3 E, de 1____ pe_enecen e los ledos _.lD) -4 E-j -5 de _os e,n__os en pos_,c_,o/n cano,n+lca.

l03. Del _áflco edjunt_1 _cule U_, a2_ a3, -,,_,-,,_-,_,__,_,,____,,dOnde_ O< a_ < a_ < a3 < .. ...... ..........<2 nN= tan - cot a tan 0cot _16 /i

sen_, 2sena_ 3sena5+_+2 Y COSa2COSa4 COSa6x+y--_l _=015+LnlxlA)lo B)o c)-2_ D) -1 E)5

P _ / / i lO6 s_l n,o a _ _c ademe_s _ ver_.f.__ n(n+2)=_n a +cos a +sen a .cos a0aa__ _0' a ___ _ x ex_rese sen _ +cos a _c -4en térm1nos de n.

A)_2n+l B)_n

A) _ _) ____ c) _ +1 C) __ r_-lD)_/2 Ej 1 Dj_ni4 E)_-1

303

__At__) _____________2________ _ )_________g_ ) __ DHD(__))24(3) (2)) Boo)sec EEa))_ll2c ceess

_e_s SeIec_s '

1_. Del gráfico mostrado, calcule el mayor valor A pa__,dee_lo h__e _,ecuec;o_nde _, 1-de la cot 0, si el área del triángulo sombreado2ad /0 bsonn/, emaS UmefOS en efOS- x 7 XA) 2y=x+l B) y=-+- C) y=-+2Y 4 2 2..___'' x l......,_'''' ' D) Y=-+- E) _=7x-12

_' ''''''':'__,_'''__,''_'i_ '_'' bo.a ,....,..,.,._,,,_m_;_,___i_.,_'_'j.,_,'_:'______' ' _ Part1r de la SlgUlente COndlClOn

.,,.,,_.?_'_._'_;__,__',,___:__...,___~'__._;'':_'::'_;' '_':~'''' m''__'' ~' _2 _t, a + _j f _+___!____'__,__.''__!__M,M_____"_ 0 _Sen X - _ n O _(

n; O ) X halfe la _ma de les r_ones _1.gonome/_l.0seno y coseno de todos los ángulo_ x que se

__3 B 4 c 16 hallan en el intervalo _O;1lnJ.4 3 l5_5 A)ll B)-l1 C)5D) --_6 E) -l

1_ A par_r del gráfico m__ado, halle el valor de 111. s i a y p son do_ ángulos cuedrantaltan0+cota. (T punto de tangencia) positivos y menores a _na vuelta, ademásy_ verifican la siguiente condición._na+ 1+ tan_=OYalleelValOrdel_OO_ , D P(2;5) 4c(a n _) ('U'^' aD0 a+o __ S_- CS-

_� -x-_1X A)-_ B)-1 c)l0' X' -

A) 1 B) l/2 c) l/3 112 A par_r del siguiente _áfico, calcule el valorD)2 E) 3 de tana+cot0.

YI_. En elsiguiente gráfico, se verifica tan0=4 yl ',na�--

2-X _l __ _n_ '_-X+8 _! -42

25 29 29_n__g A)-g B)-g C)-_o__ ,D) -5 E) -1o

J04

____ ADsc0cl__Al_e)) _581t 21c q B) l/a_3__ cE))47/3 Aa1) 0____147 E42__ B_) l__ _ _c)_l e

_ Tri_onometría

II3. A _artir del siguiente _áfico_ halle el v_or de 0COSa-Sen -2lcota-4tana si _=P_. A_nCOS0COS a--Yy� (x_1)za 20 1I!,B tan -+- -Sen +-! B=_ cota+ sen

P ; c (sena - cos 0) (tan 0)X - gCOS_+ tana4respectivamente

A) -,+,- _) -,-,- C7 +_,_,+D) t_-,- E) +,-,-

__ene dos _ngulos coterm_-ne_es cuyo I17. Si a es un a_o nega_vo comprendido enbe.ente es e u._va_ente _ v_or de _a tangente 3 y 4 vueltas, ademá� es cotermin_ con el7Tde 80 y que su suma de éstos no es mayor que doble del suplemento de -J , calcule5OOO ni menor de 40OO. CalcWe la suma de_ aas tangentes de dichos ángulos. COS - + - ,

n)1 B)_l c)o

D) -2_ E) 2_ D)_/2 E)_l/2

tl5. Sabiendo que cos(senY)>sen(cos0) y __g. Dada_ cond;ción _+__cosa -__

log(senø) _ tcot_t; indique la veracidad (V) o x 8CCUe _Sen--COS-falsedad (F) de Ias siguientes proposiciones+ 3 2sabiendo que x es el mayor valor negativo. 0_posibley 0 elmenorcotenninalposi_vode a.JT. Ø__+2kn;h_n)1 B)-l c)1/2___. g__ D)-lJ2 E) O

IV. 0_ IC v IIC l 19. s;,,do ,1 ,untu p punto de t,,ge,c,_, entr

v. _e ;_2h, ,, (2k + _),) ., k_ _ las cu_as_+_2-12x_y+25=O y

A) V_ B) __ C) V_F _+_2-18x-l8_+ 1_7=O

P) V_ E) f_fF y también perteneciente al ledo finel delángulo en posición canónica a, dete_ineI16. Dadas las condiciones:eVa Or e E=tanat co5a.n 3n-<a<_ ' _<0<-2 ' 2A)l+ _) C)7lJ8indique los signos de las siguientes ex_resiones 5trigonomé_icas. D) 3J2 E) 5/2

_O5

_A_d _aco_s Aa__ _ _ _ _D) 6_tao2y yt__xt2 0yf E)4 3

Pro6Iema_ _e Iecta_ '_................

l_. A partir del gr_fico mostrado, calcule Acota+cotD. _y Nß

___1__ 81-x_ _B Ma o _ _ _

3 3 30__ x A)--4 B_-2 C)--gA) gl B) 64 c) 49 D) _ _ E) __ 2D)76 E)24 +

121. iA que cuadrante(s) pe_enete (a) si 5e l_ Si planteamos que T, R_ l_ G son puntos quec,mp_e _o s__iente?. pe_ene_n a 1os l__ Fln_es de los _ngulos+ a en _si_ón no__ __.y__ r___i_mente,_na-> O d_d.__ _. .,cosa a em l OSPU 05_n tn_CtlOnen_e3 2 +_<o la circunferencia _+y2_3 y la hipérbolaem�5 _+_+0_=1, caIcule tana+_n8+ tany+ tan_.A) lIC B) IlC v lIIC C) IVCD) IIIc E) llc v _c n) 3 B) 3 _ c) 6 _

I_ Si a, _ y AeR_ adem_s se cumple lassi_ientes condiciones l_ De la r_guracalcuIe M=_n0+tan_log(_na)+ _8 c__ _ 1 ... (l)_Sma '''(2) 2_ee_v_o,d, _n_a+cos_ e+_ _ ,iendo ael3 2_ '"m,yof v,lo, negat;vo y _ e_ m,,o, valo, ,o P'(l;a_ne_mo. _ X '

_ n)o B)-1 c)lD)2 E) n

1_. En el_áf_co que mostramos a continuación, OD _ Xes baricentro del tri_ngulo AOB, laordenada del punto P y la absci_ del puntoA son iguales, se_n lo mencionado. Calculee_valorde __na _,ByNsonpuntosmedios A)de oM y _A respectivamente. D) -1!8 E)

306

_l_ dalNyde__m___sataen_t_a2ta_n_d _ _ _ 2_ _ _lt__m2tt2,_at_34_3af_t__8l_ 2r__x__m_0n _rn etx

................__ rr1_on_m' etría

_. _b_o que 8 y 0 _n ángW_ cuad_n_, g g _Sicos->O ysen-<OcueM= _natanDtan0+senasen_sen0+l+ g gAdem_-4_lC y -eNC_tanatanßtang +_cota- l +

_+__ta-_s0-l A) + _. + B) _ ., _ c) _ ., +D) + ;- E) (+ ó-) ; +n) 1 _) 2 c) 3D)_ E) 2_130. Si ø_IIIC;m>O y sen_=_,entonces.SabiendoquepOdemOS l_ar:tsen0 E= -sen0A)m+n<x<n B)m-n<x<nIc_8l= cos0 c) m_n<x<mcotgl=cotg D) n-m<x<m E) x<n-m

_lcu_ _3_. De1 _a/f_,_ ad;u,to _ t-,ene __rcunfe,e,c_,,stsenl011 t _ _ tangentesconcenboscolineales,halle=_+Ln cot0e+tan-e0 M=6tan0tanan-l11 londe e= 2,Jl... Si 4=-+-+-+...+-n 2

A) O B) l C) 2 yD)3 E__+l

l_ _ a y 0. son ángulos en posición regular,positivos y menores que una vuelta, Ios cuales __n__ __se encuentran en diferentes cuadantes y �mnte_n�a r 2 R_/sse_mp_e 0 q P2ltanal=-tana y tanacosg>o, a>8, ______, _ _o_halleeISl_nO e ytan0 + cosa(tan 8 - cos _)_g+,engco,a p p p p son puntos de tengenc,.A) + B} - C_ + o/ -D_î + y - E_ f__n datos 1 - _2, 2 - _ 61+2Ql_. Si 0 pe_enece al tercer cuadrante, halle elsigno de las si_ientes expresiones. 2 _ _l,

0 0 0 _+l=sen-tan-cos- yl 1o 2--, +_ 2-w, 2 -N_log _n_0 D)_ E)16 l-2e l+24

_____BD__E_____0__________))_)________r_______a,_0D_00000o_____r________kt________l_0___/h1c__/_c_________________2_2_0_00n200hJ0x_2_0000_0___0____0______00D_0_D_b_D_0_D____0_____o_(____/___________y_//___l_/____)____y_____y_________2__o__o0_____0_(__________o___0___lo_s2 x) __BcD_)))bsspb__l_eB_dtlbD0(ml2be+lnbtol2r9o+va4olo0brbbgbdetal8o(n og+)kt_gabn__g_g7dnecos_

P_bIema_ t_ Iectos ' ,,,, ................

I_ Si la longi_d que recoITe el cen_o de una de 14. Indique verdadero (V) o falso (F) según

_o 4,-l descf1_be na co,esponda.

cuNa cuya ecuación es y=O,5 _, calcule elnúme_ de vuel_ que da la _eda al reco_er I. Si O < 0 < b < -, entOnCeS - > -COsIa su_icie AOC. _ su_eFe u6Mar la Fó_ula

paTa el c_fculo de longitud de aTco_ además A __ s_. o< g < _C son simetricos al eje Y. ' 2

b 2_ III. Si 0_ IIC,enton_sen(cos0)<cos(_n0)= l+J_X)

secx_ � Lnl secx + _nx l 8, enton_ h_2

_ y A)VWF B)VfN C)fNf_:m',___'_0''_0 __,'_____'_,__'_0o,''_^o0o'__'__"o''' D) vMJ E) vNf_'___'_.'__'_____--- - -__o_'O-_v_i____.___,f ' f,_'_____'_''__'_^~_0_ ..__,'____,__ __'.__'_^''_______,_,a,__,_,,_a,,,. yy,/__y,___''_''_,''ß_'y::'_y_:'':,'''_:''_''''''' _ _ I& Diga baJo qué conditiones es posible o^^^^ a^_^_ _ ^^_'o_0a_' _,,,,,aooD,,,_8,oa,_0,,,_Dgg_,D,,,,.o, ,,,,,,_,,,0o_,,8,,______,D,_/ _''' _ imposible le expresjón"O'do'''_'0'o__0'i000'0,_0'oo'O,,'0_0,__00,,0io00,000,,00'_0,0,''0,_,,,0__,0',,__0,,.,,,_..,...._,.._ _r-----......_.._..._.,._._,_;,____Oo_00__,"'0'^^O-' ' / ~ / _ " _ _: _

_ _ _ __ _ _ _ '. __. ^ _, ^ ' ^ ', 0 ^ ' 00 ^ o0, ^ ^ 00 _ _0, ^ 00 ^ '0 ^ ^ ' 00 ^ ^ '0 _^ ' 00 O '0, _ ' 0_ ' ' _ ^ ' ^_ _ ^ _ _ _^_ _ ^_ ^ ^ ^ ' _ ^ '0, ' __ _ ' _0, ^ '_0 ^ ^ __, ^ _0 _ ^ ^ '0, ^ ' 0 _o _ _ __,_ _ __ 0, _ _o ' __ 0 __ '_, _ _ _ 0 o _, _0 _ 0 __ _ '_ _ ' ' ' ' ' ' ' ' _ ' ' _ ' ' d ' _ ' ' co s 0 = _20+b) -2an) 2,28 B) 4,58 c) 4,84 sa len O qUe < < aY SOn osD) 3,28 E) 3,28 nu/me,os c,,le,qu.le,a pero de_ m_.,mo s_.

I_. A partir de la siguiente igualdad, halle losA)Es lmpotlbleval0resqUetomab SlendOk= ; ; ;...iempreesposible_l COtb ,.a +__,___-=_ SlesOOSl_>0 . .mpOSl e5la=

E) PbsibIe s6lo si d<O _ b<OA) -n-hn;---hn u hn;-2+kn

l37_ A partir de Ia siguiente figura_ 1C--- ;-1cU _;-+h_2a0C) hn;(2h+l)-

1l-(2k+ 1)- ;-

_ A i-t _;_+ _ H

si BH� l u, halle el mínimo valor del_ Con l_ condiciones siguientes sabiendo que/nl_mo ca1culesena 2 m, ' M= AC+l Si0=_2 .E=asen a +bcsc a , O<b<a

Además h _ (1_2;3;,..}0+b 0

A)_a B)j C)jn) 2 B) 3 c)4b 2bD) -, E)_, D)_ E)

308

_l4o ydAD_l_lel)q)_l43ay66e__,_s8lca5J2l2mermpa_m_B<a) l5_62q5mpcE))4g15_ml5m_ l43 )) __) _ t c)) __0+0t_bt (2)

.............. , .__ Tri_onometría

I38. Sabiendo que a, ß y 0 son ángulos agudos yademás2cos2 a cos 0 + cos2 0 sec ß + sec2 _ cos a� _+secßcosacos0O 8__Hentonces se verifice _,8 a 0oaA)H<4 B)H>4 C)H>8D)H>l6 E)H>16 D

l3_. Una escalera descansa sobre un muro de 8 m A _ B ade altura_ y está apoyada sobre una pared bque dista 27 m del muro. Determine la lon_tud/sco_a ue uedeemplearse D a-b E 0+bue cum le estas condic;o,es. 0 b

l_. Se tiene un triángulo re_ángulo, uno de losán_los agudos es a, caJcule el mínimo v_orentre la relación de radios de lascircunferencias circunscrita e inscrita.. La _áfica de la ecuación y�aut2+bx+c cortaal eje X en los puntos (m;O) y (n_O) y al eje Yenelpunto (O;p)dondep<O;delassi_ientes A) l B) _ C) 1--2proposicionesD)1+_ E)_/2

I. m<O _ n<O á m>O n n>O. H_le lOS VelOfeS de n a pa_lf de las slgulenteSm+n o condiciones.. y_>cos2a +cosa = sen2ß +_nß, ß__... (1)

-m-n o _n_-1- _ COSa=_ ...2son verdaderasn) c-1;3J B) _-1;4] c) _-1;4)A) solol.B) so1o II. Dt (-1;3) E) (-2_3)C) solo III.D) _ y __. l& Supongamos que sea n un número enteroE) tod_. mayorque unoyque el án_lo a satisface a. Tl .a eSl9Ua a <a<_. n lqUe a1Ql. A partir de la figura, dete_ine el valor de _-a1ternativa correcta.N= tan0cot-2A) sen(na)>nsena B) sen(2na)>nsi CD=a, Cf�b y 300 S a S 450,COSna> n(O eS CenkO de la ClrCUnferenCia) D) , tan(,a), 2,t,na E) tan ,a > nte,a

309

___&AcEED_(_sl))e))ac____b_0( 8g____((_2_g) (_ )) 0 02 _ ) _que _l_555o___ AsDs0_N(_ls))el___l__n_d_sae__cf+_gseen_eo+_Bs_)ey2_ngd2g)ca9ug_lcu)a2llzleda+ecoEdl2))mta5len/3nxocrocvtlaay__/o+lf

Prob Iema_ ??_ Iecto? '_............J...

I_ A _artir de la si_uiente serie de _0c0_ 1_. Si tan0+_nø=lté_inos siendo g agudo, calcuIe el mayorvaloFde h. SiendO 0 y Ø_R-(2h+l)- i h_2

1 l l h calcule el mínimo valor d+_+_+ ...>4c0_+l csc0+2 _c0+3=(tan0) +(tanØ)

A) l B) 1/2 C) l/9 A) 2-2oooD) l/8 E) l/l6 _) 2a__ Ej 2 -2ool

_rea del recta_n ulo ABcD es m2 __ndl_le alte,n,tiva co,ecta. . . _' 'Z'B _ C de _ a pam_, de la des__2>ksenasenDsen0 bn) 8 B) 7 c) 9_ A D 1_+b 2<m<

_B) _<_m<2 _+_ . len OX,_,2__-( m+l- i m_Z __eelmínimovalordeSmS22x+_c2 +2_cZa+b<m <_ + 2co_ + 2 tany + 4cot, + 1

0+b<m5D) lr4 E) 7l_7. Si a, ß, 0 y ø son án_los agudos, halle elmenor valor de K. cifcunfefencia rfi onométfi2a + _c2 _ 2 2 + _c2g+sec2ø_2 2>Ktanatan0+tan8tan_) e _CaICOmOStra O,_CUe Ten fUnClOnde 0.n) 1 B) 2 c)3D) 1/4 E) 1/2 l Yn)+Senl98 Halle ta suma de todos los valores de 0 ; tal _ , gue cumpla la siguiente igualded_ B) _ _' +COS ,'_ 0 /Xo+l =Xo Sen --0 +CO50 c _ ,, Xsen0+cot0 ,'donde _<-2_OSl0lSn. _1 / ' c.T._+cot0 'A) O B)n C) 5n/4 _D)3_/Q E)_/2 E)an

JlO

_læ_AcDD))a_t2o_st_____4___42gd2__g__y,l) el_M_fA__e_2__4+22_g_ BD)) __((_senb_lsen0b_)) o_y

,.,........... ..__ TN__anDmetría

14. En la cir_nferencia _gonomémca, halle la 155. En una circunferencia triganométrica sedistancia enke los puntos H y W. ubi_ dos arcos positivos a y b, uno en el_gundo cuadrante y o_ en el terc_ cuadranteY respe_ivamente, se une los ex_emos de losdos ar_s y el segmento __ado corta al ejede las abxisas en el punto (m;O). Halle m si__ (b>0).

_0rad X tan(a+b)_ W A)_(senb-sen0jsen(b -a)

sen(b-a)n-20 n+20 C) _'Sen_ B) Sen_ Sena-sencos(a-b)_ _4 (cosb -cosatcos(_ -b)D) 2sen -_ _ E) 2sen _4 E) _(cosa_cosbj

l56. Si las coordenadas de P son (x_yt, halleel _áflCO a IUntO_. C CU e COS.. pA__H, A,_p T es pu,to de M_y+ _x.tangencia.

_

T'' ' _1_

_0 _D xPA' O xH----- X+_^-l xz+_2__

A) sen0+cosO2 2 B) seng+_cosg__=1 c) se,g__cosgD)_sen0+c_s0-1 _-1D)_3 E) -j- E)_sen8_cos8

_DEB)t)__22(((l g _______________ g))) _\ x _Dt)_____t____2____________________________________________t_____________________________g________________________________________________________________________________________________________________l_____/____________________________________________________________y______________y_________4_______________________t_____r______________________________________________________ _)____________________________________________________________ _ ______ _E___0__)__x_2_2+2Ay2cxg__g_e

ProbIemas Se Iectos '

157. Determine el área de !_a región sombreada en A 2 g gsen0_ot- B) -cos0cotté_inosde 0. 2 -0COS 0COtY0 0g ' c.T. D) "C0S gCOt- E) -Sen_0tan-

\\ l_. A partir del gráfico ad,iunto, ha11e e1 área de la'_ O ,eg;ón somb,eeda s; Tes punto de tengenc;,_.;._m_,.__,;50 \ \ ' '_ ____'__'_____'_ '\\ _Y'_\ 0 _

'R T. . _,_.,._,_._,,,,.,,,....... ,.....:.__.,_:m._...;_.;:'___:::__ "'

____'__'''"_'' '''' 0 A(1 :O)A) (1+tan0-cot0)2 ' g ' '_

1 _ g g2- -Sen -COSP !C) (l + sen0) (l + cos0) _

l 2 A1 tg Bcty c_1- l+sen0-cos0 -CO O I -tan21l 2 an __SeC- -Sen tCOS

161. Calcule el área de la región __ombreada, en ell& _Cuál de tas alternativas tiene ma_or valor? c_rculo __gonométrico mostredYA) tan1-tan2 B) tan2-tan3CC) tan3-tan4 .., '__D) tan_tan6 E) tan5-tanl ''':_,:_:_.:';'_.._.,.;;.:,..,..,...,

l59. De la figura, dete_ine el área de la regián __m_;___:_..,._..,,:'_':?_____:___'''sombreada en términos de 6. _y _rad0

_'_.i'_,:'_._'"'_'__'____". ___.'__'_'_________ ___ ' ' cos 0 2 cos ß_''_.''_,''_''_,''_.''_,''_.'_,''_.'_,''_._'_.'_''.'_'_;''_'''' A)_2( ) B)_.:_;_ '' '' COS - Sen COSO-2SenO xc) 2( g _C._._ Sen -CO50)

' sen0 _cos0) _ E)COS + Seng sen0-coS

J12

_l6q _str__ (_d2l_ )____________________b_______ _____________________d(____________ y_ g) _ 6x _(_y4____)__ 166 ctve_)lt_ses3Nstt7 __ 22f__l_2_ (o_) _ o

, ,.......... .. ..__ Tri_onometría

l62. _Paraquévalo_sdexse�íaposiblelasiguiente l65. iQué alternativa es correcta a partir de laigua Idad siguiente expresión?(2COS0 - 1)(cosx - se_) = (_SX + Se_) _se__sec(cosx)+ tansiademés 0_ IVC? 2

A) Su máximo valor es 2._ _ 3_; - - i n _; - B) _ siempre positiva.C) Es siempre nega_va.3, 3n Qn D) No tiene valor real para todo valor de x.D) -; 2_ E) -4 ;-3 E) _os ve_o,es de la exp,es__o/n 5on so/lnúmeros enteros.l63. Hatle la variación del área de la región. De Ias siguientes proposiciones Lcuántas son-5n -3_lanN ar SOm rea a Sl _ _ ; _ _(T,puntodetengencia) I. Si x, <x2 t _sx_>_sx2;_x_ ix2 _ _2+ 2II. Si x_ <x2 t tanxl >tanx2 ;_x, ;x2eDom(tanx)

.0 A ___s 11IX__-;-- ;' '._,,,.. .,,,.v,,O xsS ..''''_._..'':..':..,.... ' ''''''''''. lcos__1l=cos_-1T ____ .0 ''____ _ _i x_ _;- t lcotx-xl=cotx-x

n) 1n) (-,1;_) __ (-_,,_ )c) (__,1) B) 22_ D) 4D) (__,2) E) -2 ;l EJ ln_naeSaSa_

l 67. Sean x e y dos �n_los que pertenecen al _arto. _en Oxl;X2f_cuadrante que cump1e 0 = sen x + cos _,tal Que x_ _ (O_ x2) sen- ele l, v,,,c-,d,d o falsed,d de _as s-,,_lent0, e IIC ; _,_ _ TIIC pToposiciones.h,l1*, el ;nte,velo de E_x,cov e, _x2ve,s g, I. _ puede ser cuadrantallI. 0 pertenece sólo al IVCA) (x,_x,) B) (l;x2;x2 -x,) IIf. -O pe_enece ai IlICC) (x_-x_L;__,L)A)V_ B)fVF C)VVFD-) (x_+x2_2x2) E) (x_ -2x2_-x2) D)vFF E) VW

3l3

_DA__))2c_(glt2__)_ (JJ____ __45 _ __J__83 _ E)3((_2_t_()2)) cch))>_s___e__2n__4___2__cos)lsen a(_gua)ld_adc_ J__

Prob Iemas 5e Iectos '_ ,.. ,........,.. ,

1_ A partir de las siguientes condiciones -senx > _nx... (l) l7l. Dado el inte_alo -- S 0 S -

n 3_ 2 obtengelavar-_ac-_o_ndel e,co _ sab-,-<-x<-...(2 Z_ u+_ente ex resl_o/n .. 2 nSeC e5 _OSltlVO, Sen + - = 1 t SeC _.2

n) _o;2I B) _-1;1J C) (O ;2J _ n nA) O;-3 B) -3i3D) (o;1) E) (-1;2)1I.n4'4l_. Sabiendo que - S x S - obtenga los valores_ _ _ 1ldelerco g sisesabeademá�que D) -3;-4 E) -3ij

2x-3Sen =x + 2 ' l7_ Siendo a un arco perteneciente al tercerse,-_e u, pos-,ble ,_,te,,e_o. cuadrante, h_le los valores de la siguienteexpresión:2no _5n7n 5n7n A--COS_-A) -6; 8) _-6 ;-3 C) 6;-3 cosa+tanl050

__n _ n n n) (-2_,_) B) (_-3; _-2)6' 3'2C) (-1_,_-1)

170, Halfe 1os posibles velores de n, aos cuales D) __-3 ; _+2) E) (o;2-_)verifiquen las siguientes condiciones:_ _ l73. Catcule el menor valor de h, el cual debe- e --+log9 ...(l) ve,_.f_.car la s1,gu,_ente des,,ucx 3'2(cos_ 2cos cosa. ae _+-Sen_ - _ OX Xn-3-cos->- cOS-+-n...2 - 2 A) _1 g) _22

. _ _3 D) cos21_2cosl E) sen2l+2cos12_ l7_ Si se verifica Ia siguiente condición:_2l- +--4

6 + _ halle el valor de sec a uc a si tan a toma iu1;2)- _- me,x._mo valor en_e,o nega__.

3 6__' 2'4 A)-- B)_3 C)-2

l ! iE) L1;2_-{__ Di-4 E) --z

3l4

__7T BcDagAd)_))ehn2knmhat(_(443_4(2_)zg424()_4(B)4)4) 2 ANA))))F___c_F___Tc3F__,4F____2____)7v___(___32_s_e2)n1t___F_J23Fw_____J 7 c)EwF

..... .. .........__ Tri_ _nometría

l75. A pa_r de la siguien_ i_a1dad, halle a si I78. Indique la verdad o falsedad en las siguientestan a es un número real. proposi�iones.E__ _s3n _ _' , l-<x<-_-l<cos2x<-

I_Ml_a= __Ml ll. Si - s x < - _ O _ sen- < -

A) ø ___ s._ 5n<x<3_7I-;h_5_ l5n. Si tOS-+l<sen-n1c+-;h_

n D)MN E)VFN--;h_

E) _ I79. Ha_e los valores de 0, posi_vos y menoresde una vuelta, para que se cumpla:

l76.Si 0_ - z;n , además cos0 ---O_3 y cosg=cosQ_-2cos2ß+2

4nS X S -, calcule el maYor valOf de A Y

menorv_ordeB si 6'2 2 ' 42<-COS X- _SX- S g n.n v 3n.5n

A) -l,69 y -l B) -2,24y lC)_,31y-l c n.nv3n.7nD)_,3ly 1 E) -5y-l 3'Z 2 ' 4

nn 3n5n8_ln8k3n h_ D )-4i-2 V-2i-3.SlX_ +-; +-;_,"'00

/s uc x +_n _c x__n ___a_+2 E) __3.,_2)u(-32n;_3nJ

Iavariacióndea esI8O. Determine el máximo valor de h si se verifica

n)__;+_) h< ?cot2a-1cota+ lB) __+2;+_)5nc) ___;2-_) '' aE -3^i-j

D) _z-_;+_)A)_ B)_ C)_43E) _-_;_-2) D)_ E)_

l_& H_sDcD_))2J)l ___c2oo2,__3_ 2_)__vv4lcc_31_h_2)11)_ _1l__ E) __ _ ( /lll) _86__dD)All____t2se_tn__a__f___0 __1__1 0Ebl) c_2_ s__gDsa__x_la

Prob Iemas Se Iect_s '

l_ Siendo x un número real positivo, ma_or que18l_ Sabiendo que -_ '- lxI < _ 3 , c_cule los valores dos vueltas peco menoc que tres vue1tas,perteneciente al cua_o cuadrante, donde se_ verifica tanx=tan(227n/450)' luego x valee y � tan x + - . a ,ox.lm,damente '

A) 991 n/180 B) 2 991 _J180A) (l;_) C ) 2 475 n /450D ) 2 477 n J450 E) 2 479 n /450l;+_)l85. En la figura adjunta calcule____ l 2 _l 2 2o )P_n b'cos20+a2Jr. 3.+_ enté_inosde a ,sabjendoquelaordenaddeP es n.E) [051)u[35__)Y

7nl _<X< _ ae OSVa OfeSQUeaSUme g D__ c

Qsenx- 1StH=senx+Px2+y 2=ln) _--_-5_,4] B) _-(-5;4)2 2C) (_;-5) _, +-b,=laX +_ � --;A) 1-cosa B} l+2cosa C) l-2cosal83. Se _ene 2 números reales x_ y x2 en et recomdo-3n- < X_ < X2 < -_, Ue_O LCUa eS SOn. En e SINlente 9fa ICO, Ca CU e e mlnlmO Va Orproposiciones verdaderas? 3 ß g geNsiN=-+-. cosx2<COSX_ aII. senx_<senx2III. sen (-xl) < sen (x2)

-OA)I I_ V' -_,)l,Ill y X 2c) 1t, _, ___ a_D_ _aD) I_1, IIE)T_as son falsas

316

_B_) ___((__t JJ cc , /_) _B___o q_ue oG

. ,........... .. ._/ Trîgonometría

l_. Siendo E y D puntos de tangencia_ ademá� l90. HaIIe el mínimo vaIor que asume la siguienteByC_isecanaAD,entonces sume de segmentos -Ac+-F_+-cE s_.2OS_-COS eS -� U

E 0_D aO0

o F_ ^_ßcx OA B c D' _1 12l l2ln)-_2 B)_12 C)-2 _d'Q11 l _ CDt__ z E) _5A)2u B)-2u C)4uI88. HaJle et conjunto de valores deH � sec _sec (sen a)J + uc _sec (sen a)J JD) _2 u E) 3 un) (-_;-2_ Ju _4_;+_)._2_ u 2_.+_ Identidade_ rrigonométrica_Fundamentale_c) __.,__ v_;+_\l9l. Evalúe 0 = 22^30' en la siguiente ex_resiónD) (- _ ; -lJ u _l; + _\/ ,, + %ng + co,g,s. ,, _ ,,ng_ cosg,,s64(l - 2 co54 0 - 4 sen2 0 cos2 a + 4 %n4 0 cos_ 0 + 4 sen2 0 co5b _ + cusS 0tE) (-_;-2]u_2;+_)n) 6+4_ B) 17+12_l89. Dos alumnos dibujan circunferenciastr;gonomét,;,as en dos s;,tema, de C) 68+_coordenadas diferentes+ Para el primer D) 6o+4o_ E) 16_4g_alumno A Ia unidad adoptada mide 3 cm ypara el alumno B mide 4 cm. Si ambos ubican 192. sebiendun arco en posición norm_ 0 en el lVC _ ( , , 4 q , ,nCSC X+COt X CSC X+COt X ,. Csc X+ COt Xcon los módutos de tan_ y sec 0 en A y B _ -- c s e c2 x + t, _2 x j (,, c4 x + t anq x j.. _ ( s _ c 2' x + _, ,2ntoman como cateto e hi_tenu_ de un _á�_o,ect;n ulo res ectivamente entonces le sec2''+2xten2x_tan2"''x_ten2'''2' d=Iongitud det oko tado en centímekos es uc_'2 x cot2 x _ cot2"'3 x _ cot2"+2

' CaIcule_-sec'x+33+tanß B) 4-3tan0c _ 2

D) _2_ta,2 g E) _3_ _,,2 _ D) 3 E) 4

3l7

__95 cAE_))_1se__c_g4+ta2_ngg) 2_)go 4_ c_3 __99æ_AsDscE_dl)))))2yl_______p4_2Qp_+_B_c2o)__t__cgos2_ cE2__ 9Ft23x+p2 e)_

PrabIema_ _eIe_to_ '

l9_Dadas __seaMt j j= anx+COtX+_C X+cx X _3g mco_3A=_nSen - + mCOS + nSen N=_senx+cosx. Si M_NeR, entonmmcos0+n_n0 se puede dec;,

3g_msen3B_m_n0+ncos0 A) x_-_-2' 4h_le el valor de E=A+B.7nX_ 1C;-

D)4 E) 515_X_-;41ct& SimpliFique

2j2 D)AyCsoncie_= _-COSXCoSY -Sen X.sen yinguna de las ant_ores son cie__

_ n _SIX_-;-;Y_ ;-__ _a ex fes1_o/n sen4x+msen x+p4x+mc o s2

A) cosx-cosyCOt X(Sen X + tan X + Set XB) _x+tosy l entlCa a _2 2 j NCOS X+COt X+tSC XC)_cosx+cosy)m+pD)cosy-cosx _CWe_m_ _

E) cosxcosy

2-2cos0 A) 1 B) 3 C)32, La expresión _ = 1 + _ es '_n0tCOS0-1 -equivalente a3n; 0 _ _; - calcule el mjnimo valor de laA) Cos0+_t0 B} _c8-tan0 2siguiente expres i6n2D)_0-_t0 E)_c0+0c0 N=sec 0_c 0 - _n2 0 tan 0

l_ Ev_úe en c el valor de 0=7030' sabimdoqueD)2 E) 7Bg+cos82gcos2l-(2+_)_n'0cos'8 _. si x es un ángulo agudo y los números_nX4 q 6 6 _;COtX;tanX e5tan en _r09re_Onsen0+cos sen+COs_'_' - z_ng_g __- 3sengcosg geo_é_ica, entonces x es igual a

c_3_-3_-8a+6b A _ B n c _6 2 4n)-1 B)-3 c)-4D)_5 E) _6 D) -3 E) -5

Jl8

_(2ABDE_))))) 9t9ta_ttan((l_n)_ (_tagTc(t_)t_gt3__(l_)) __) l) cD)))(((5(((___)257bb72_)))__ _EB)) (((E2) b_)5l_b)))_tl

...........,... .__ Tri,_,o. nometría

20l. Simplif_que 2O5. Sabiendo que

1+senx+ l-senx+ l+cosx + 1-cosx a_ (sen2a-cos2a)(1-2sen2acos2a)l-senx _l+senx l-cosx 1+cosxb = l- 4 sen2acos2a + 2senQ acos9 a7_ 41Tsiendo -_x<- c=1_8sen acos a+20sen acos a6 3- l6sen6 acos6 a + 2sen8 acos8 a

A) 2(tanx+cotx) B) 2(secx-ucx) 2Z9evalúe d=_(abc),si a=2203O'.C) -2(secx+ucx)

D) -secx0cx E) 4(tanx + cotx)n)-21_ B)2o_ c)21_202.Elequivalentede3 3 4 2 3tanGx+l +(tanx+7) (tanx-l tan +tan x+_. Si 0tanx+b_ny=challe el mínimo valor de __+b_cy66 2 4an X _C X an X - an X siendo x e y án_los a_d__ 0, b y c v_or_

6 6 3 2 _OSi_VOS.anX nX-anX-

c tan4 x(_cx_ tan2 x)(tan3 x _cotx)2 22 2 228x(_n2x_cot2x) A) (a+b) -c 0+ +c

6 x(tanl2 x + tan6 x + 1) _20+C) -

_ I2O3. Sabjendo que -<0<_ _ -<_<2_ D _ 2 2 2 2 2 22 '2 a-tc+ C-a-

simplifi_ue

2(g _)z 2_sb.d tan0 _P_ CO' CO' , COS COS , ' a 'e" O QUe __ '_ta,g=- Sen 0 Sen __ - tSe_ 0 - Senh_le el equivalente de ta si_iente expresiónen ténninosde a.A) cot0cot_ B_ c_0cos0?a5C) tan0tan_ f__+Se__senx 6_5D) sen0sen_ E) sec0sec_

2 _ndj ue el jv l nte de _ 5/3 5/3 2' a+0+a +a6 (seclO x _ t,nlO x)_ 15 (sec8 x + ten8 x) 1 ,_2B) a+a-l_a5/3_a-5l3)'

+lO(sec6x_ tan6x)C) a2 + �2 + a5l 3 + â5/3

_se, B tan2_l5_3-5/3 l/3_lI3a+a+a +O +a +aC) senxtanxD1 E_ _ 2 2 _/3 _/3l/2a+a +0+a +0 +a

3l9

___A) a_(a_ a B)a l__)_ (2(c) 3_2_ _ _)n ADn))__s_2en B)8lccosg cE)) _e+eJ) a

0 __ __8,__l__ _ '_................ '

_ Sabiendo que __nxseny+bcosxcosy=O 21_ Los arcos x_, x,, x3 veri_ican la ecuaciánhaDe en té_inos de a y b asenx+bcosx+c=O.2 2 2 2 CalCUle sen(X_-x2)+_n(x2-x3)+Sen(x3-xl)a _n x+sen y +b cos x+cos y(a_n' x + bcos' x)(asen' y + bcos' y)D) a-b+c E) a-c-b, a-l+b-l -2+ _22+_ b2. Se _ene un ángulo agudo 0 tal queg 4lSen a+COS a+-=tan_ Si al,a3,a5..,an_,__-h_ y 46 63__ 2_+ 1)__ _n a+C_ a+-= COt0; lUe_OeIValOrde21 Q, 6_'' n-l

sjendo h_(...-1 ;o; 1...) , además _(ktan" 8) esk=l(l - cosa_ )(l + sena2) (1- cosa3 }. ..(1+ senan) =

__sena cosa sena ...cosa _n+1 _ _n(__1)2 2 2se pide reducir la siguiente expresiónn(n+1) n(nf = (l + cosa_) (1_ sena2 )(l + cosa3). .. 3 2

- - - (1 - sen an) _c a1 sec a2 _c a3 _ _ _ ac an-z 2l_ A pa_jr de la s_gu_ente f;_,, calcut

2gcos2a__n2a 2g+cos2g+s n2N=COS an Sen _ Sen an__ tan0 (l + _t0 + uc 0) (l + _t0 - 4c0t _t(0 - x)D) cos an_, E) tan a,_l sabiendo que la suma de las distancias de T afos vértices del _iángulo ACD es lo mayor210. Sjendo a, b y c medjdes de ángulos egudos, _OSible, ademáS AD=CD.(O es cen_o de la circunferencia)cos a - cosc sen b X cot aadem_ _cos b _ cos c _sen a x cot b =

halle N _ cota cscb + co_ csca. __'r_B __, _A) senc B) cosc Ct tanc p ,_X,_D)cotc E)sec O_ _a-0 T !o_ 3_ 0. Sjendo tan2x-3tanx+1=O _ x_ -;-

3 3 A DCaCUe =COSX-SenX.

4_ 4_ 4_--3 B)-9 C)-9 A,_ B,__ c)__3 6q_ QD) _3 E) -3 lD) 1 E) -4

320

2__7_AcelDcfo))s___llx_(/____2sc_eo_nscaao__sKs_c_e_o)(n Bsta)naa2x)++5eo3cnostxaa)___(cEq)_)3l/aa__3 ___) DAcco))))s0_a2csbbc2a___32t ( ____t___)____tB_tt)__ttt_t__bb__t_t (3_)4

............... ._/ Tri_,onometría

2l5. Ha1le el mínjmo valor de M__a_x_bcotx si 2

7CaY <X<-.Z A)l+_ B)2+2_C)7+QD) 4+2_ E) 5+4_n)_ B)_ c)02+b2D) ,2_b2 E) ,+b 219, Sabiendo Queseca + _ec0 = n ..... ... ... ..... ..... .. ..... ... ... (172l6_ Si tana + tan0 _ b ... ..... .. ... ..... ........ ..... ... (2)3 _ 1 3 _ (seca-tana)(5ec0-tan0)-, (3)_ena Sen aCOSa+ �-COSa COS a Sena+ '''''''''''e_mine a y 0.CWe

7+c5sen3M=_ O- 2 0- g7 5 3 _=C _=t-COS a+b a+a-b=Ca+,_b ,2_b2D)_=c E)_2 2=c. A pa_ir de las si_ientes i_aldades a+b 0 +b

-l_ __nX 22O. Elimine a y 0 a pa_ir de las siguientesl-cosx igualdades4cx + csc_ = p sena_c0 = o ___--_,____.._______._..---__,, (l)(ucx -cotx)(p +_-_cy-coty) =q sen0seca = b '''----'"'''''''''''''''------ (2)-lhalle ef equivalente de Ia siguiente ex_resiónen función de p y r. A) 0b__ _ +c2-lCOt_-COtX Bt 0 +b =c_cycot_-_cxcotx c b2(__2)_c2 _ b2

2(l+b2)__,2(_+az)2A) 2 -r +-P, B) 2 -P+-r E) 02(l-b2)=c2(l-a2)p r r _

2 _1. Eljmine 0 a paMr deC) 2 p-_p cos0(uc8- sen0) = p ...................... (l)2 2 Sen0(SeC0-COS0) = q ..,,,_,,....--,,,..... (2)p fp+- ) - p+_r 2 pA) p'_ + q _'_ = (p .q)-'l/2 + l/2 _1J4.5abiendoque P q�P'l/2 1/2 ( )_1r2sen4 x+cos4 y+2cos2 xcos2y-2cos2y-3 P _ -- P'qsen2y - cos'x - _ D) p''4+q''4= (p.q)-''42 _+2 l/_'/_ -l/4=COS_-SenX P -9 --P,q

_t_

_AD__A))d)oc_b3 2__B44B)at_3)act3nl+4tsagen_n_2t3gg+escoccs))_c_25 ABD)))_3o23_6Jooo3<<_ogg_<_<<g34J5<_oo37o 0 __ f B

P_Iema_te I__t_ '_,.... ,..........

ldentidades rrigonométricas de __ Si _CD y C_G son _ad_dos_ entonc're_ncia de _ __s se verifi_

1 - tan2 x. _an2 y _b(0 + b) 0_ara aue se cum_la 0 0tan(x+y)_ tan(x-y)_

2/3 E) cl_

_DadOSeC_-_2 =1 C)0>_3 + cos(0 + _).cos(0 - _)fe WCa M=_j j E) 370<_0<53O_ Sobre un pedestal de aItura H, está colocada_!) 5 ,/ /6 4 ') 6/_ CE ,! 43//34 una estatua de a1tu_ h. iA que/ d_stanc�a delmonumento se debe colocar un ob5ervador,para ver la estatua con ángulo máximo? (H> h)_ Calcule el vaIor aproxjmado deE _ 2 _06Oo + t_ _n82o + 1) (t__o - tan_o) A) _ B)c)_D)16 E)17 D) _ E) Jw

_ Si a+_+0=O __CUle _. Sj cos2Ctan(A+B)_sen2Ccot(A-B)_Be lllC,U = 1 - _s2 a - _s2 e - cos2 0 + 2_sa_se_0 _lcule el valor _e y _ _tan(A + C) tan(A - C)A) O B) l C) -l A) cotB B) 2cotB C) 2tanBD) 2 E) _2_)tanB E) tan-

_.Sabiendo quey = tan(tan x + _n 2x + sec 2x. _n3x) ? sen (a + ß + 0) _ sen asen _sen 0halleelvalordeRA) y >_ B) y > 1 R = cota-_tß+ cotacot0+cot_cot0C) -_<y<-lD) y<-_ E) O<y<l D)3 E)2

___cseAEgAD_t())))3)otsl(_a(e_8onc94oc3_o)))(s8e9c_o6)o(__csc66o))(6sec_9o((___4_tc_9)_)) talDAcBE))) _(((c/____3dl___tl_)al2)( _E) )7_c _4nE) 3(Bc B) g))J

............. .. ._/ Tri_onometría

- + __ 235. Calcule eI valor aproximado de la expresión' 1 2"SlendOHaUeelv_orde_ 4_=3+4tan-+X +_n--X_! -_'e^!X-X2! + _S!X_ -X2!

I _XCOSX2 CO XICOSX2

n) 9 B) 29 c)z5A) O B) 1 C) 2 D)2J E) 32D) 3 E)4

_.Siendo23i Dete_ine el valoE de la siguiente expEesi6ncos(BtC) 2cos(A+C) 3cos(A+o _+_=''' _SA _sB COS(tan 30 + cot 30) (tan 60 + cot 60) (cot 90 + cot 90)... ,tanA- tanCculeelVOfde =SeC -MC tanC-tan(tan890+cot890)

n) 1 B) 2 c) 1/289l_

89 _o_ u c89o _ o_ c s c89_o

C) _c10-_1' 237. Calalle los v_oc_ de E_ siD)O= (Sen 0 - COS 0 - 2 Sen - (_n _ t COS

_ _, Dado a _ O _ - t calcule 1os v_ores de A l, On5l efe - < 0 < _.6

1ICOS a+-sabiendoqueA= ,.l-4cos a

C) (_-_;_+_)l _ _ 1-2;-3 B)O;- C)-4;-6D)_+_;4

.,__ E, o1 Et{_-__t4J3 '4

_ Dete_ine el mayor valor de A y menor valor23a. _Cu_ debe _r el v_or de sen(a + D + 0) para de B en la siguiente desiguaIdad

que se cumpla sen(a+_)=mcos0 ; A5sen(x+2)-senx_B

cos(a+ß)=nsen0 ?

A)-_nl y_nl

I+mn l-mn l-mn B) -2senl y 2sen1n)_ B)_ C)mtn m-n m+n C)_cosl y cos

l+m+n l+mn D)-2cosl y 2c_1D) _ E)mn mn-

3tJ

_AcL3a)__lclu_/7slsseeeennnco2cB_Accc Bocoo_)ttcBB76col_t_ 7 c) 49 (2(3)) AhK)_____c_tosBA22 _B22B)2_s_enA22B c22c) senAcosB

P_bIemas Se Iecto? '_................

_. Si A, B y C son los ángulos internos del , 2, 4,.e/nguloABc elvalo,detances s1.sesebe _ Siendo A=- ,B=- ,C=-sen A 3 entonces el valor dea emásQUeta -- ,_=-senBcosC 2 l+ta CO +tanBCOt )(1+tan CO

n)1/2 8)1/4 c)3/4D) 4/3 E) 1/3 n) -8 B) -7 c) -_D) -_ E) -4_O. En un trián_lo ABC se cumple_ _ _ , _ HalIe el valor de-tanA--tanB=-tan- .................. (l)tan A tan B tan C - sec A sec B sec CtanA+ tanB+ tenCl l 1 2n-tanB--tan =-tan-5 4 20 7 '''-'--''-'--- s_. A+B+c____

1 1 3_--tanA+ tanC�-tan-6 6 7''''--'-------'-- n)-12c B) lC) cotAco_tanCD) senA_nBE) dependedeA.B.CD) l/49 E) 14245. En un _iángulo ABC halle el equivaIente de2al. Siendo A, B y C ángulos internos de unkiángulo, calcUle ef ValOr de tan - tan - + tan - tan -2AcotA1 -BC BAan- tan-+ tan- tan-22cosA senA

A) O B) l C) _ D) _ E) cosAsenBD) 2 E) 32a6. Elimine los arcos x, y, z de las siguientes_ Siendo x + y + z = 7Tk, h es un número impar. ecuacionesademás COS(X-Y) �a ... ... ... ... ... ... (1)_ cos(y-2)=b .................. (2)cos(z-x)=c .................. (3)sen"xsenm_se_zcalcule m+n+p. A) a+b+c__2+b2+,2 33 c)2b2 2n)-2 B)3 C)6 0+ +C--1+2abc

D)9 E)4 E 2b2 za+ +c=l_bc

3Z4

__lll_ s1_ a_>4o5_2n b>o_n2 ax__n__2,>_4nl__g00______0_ MM32_Ds)d___a_lc2_+D1bn_ldl__ __ )_ 2_e_a11b__at_c_,_nbcd_b__dR+1

' T r i_ 0 n o m e t r í a

_7. Si a + ß + 0 = y, simplifique la expresión 251. D e l gr é f j c o m o s b e d o, cel c u l e T = t a n g t e n 3 0.N __ _(! + tan Y tan a) (1 + tan Y tan ß) (1 t tan Y tan 0)l + tany tana tanß tan0 8

A t,n2 B sec2 c cot2

D 4c2 E l_t,n2g+, 0_. _Cuál o cuáles de Ias proposiciones son 8falsas?0b A) 1 B)4 C) 7-4_tasen2a+_2 >2sen a _) 3+2 E) 3-2 _

cot0+ O<O<_ t _>2 . sen (x- y ) a c o s ( x- y ) c4=cot0 _ l_=_ ;_=-sen (x-z ) b cos ( x- z ) dlII. Si A + B + C = _ h_1e cos ( __) en té_jnos d

2A t 2B t 2Ct tan -+ an -+ an a c t a b a cA)ab_d B)_bd C) da C 0- b Cn) I B) 11 c) IIID) Iy IIl E) Iy Il D) _,d+bc E) a+

249. Calcule el mayor v_or de h tal que el va1ora O SenxCOS (X+ y -2cOS men Y= n se n _m_imo de w _a 3_ h_1e _os v_o,Æ que toma tan y s___ _ X_Rw=tan-senx- hcosx+-l lA) -_n+2i_+2 B) o;-nA)5 B)3_ c)J " 2D)_J E) 4_ c _l, +n25O. Si x+y+z=_, ademá�D) - ;_2 E) _ isen(0+z) sen(0-z) n n+ n+l n+_=sec(x+y) sec(x-y)_2æ Sisecum ple queetermIne e V Of e ta_ _ t qUe tanx, tantanz son números en progresjón eri_étice sen(x+30)=3sen(0-x) t halle _cot0de razón 1.l _A)z B)4 c)5 A) 3 B) _j C)lD) 6 E) 7 D) 3 E ) 2 3 t 5

___DD___e)se_lcans_s_2(sMl (_) )_J2c__( ) ( 2)J ___H_a)__l___4e_el_3vaJor(d6e 4)4__ 2)_3 g

Prob I_mas Se Iectos '

Identidades trigonométricas d_ A) 16 B) 23 c _ 17redu_ci�n al primer cuadrante 5 6 6_3 58_. Dete_ine el máximo valor de A, si D) --6 E) -_o

3n 9n= +Sen-+ +coS-+2 2 _. Catcule el valor de cos(n+0)sen(4_-0) apartir de la condición siguiente_200l_Sen=cot0 '0ellIC3 - 2_ 3 + 2_ 1 + _ 200Zn 2_3n 'A)- B)_ C)_ tan tos

2+_ ) 2-_ _ _ _j E_j A)2 B)2 C)5

.gu.,,ntes p,opos.,c.,o,,s _.q,e, D) _ E_ _altemat_va es _ncorrecta7. ' 3 QI. tan__- _-l}k0J _ _-l}h''. tan8

hng gh 19Tc 233_. COS-- =COS ; eS_af sen3 ---0 -_s3 ---2 A 2 26_ g 29n___. +1_+g ___1kcosg Sen _- +Sen-+02siuc0=-2,0_IIICA) solo I B) solo II C) solo llID) lyII E) IIyIIIn)__ B)__ c)_-__. CaIcule el valor de Y, siq3x+c,,45x , D E __+ 1Y=_eC , ;parax�- -lsec27x+cos 9x+ 8

A) 10,5 B) l2_5 C) 7,5 _I. En lasiguiente figura, elradiovectordePesD) 8,5 E) 13,5 mínimo,entonceselvalorde tana+cot0 es

_ _Cuál es el valor de secyucy, tal que la ysuma AP+P_ sea mínima?YO_ 0Ao.g _0D, 0__

8(1o;6) aP(a;4_._)aoo_ A)-2 B)-2,5 C)-4P X D)-4,5 E) o

_t6

2_6g AA8) cllos_ _gt B__) _se_c_2__ _ cll)_cl_sec )_ __l __t_2_(_2oo33_1) x3__ _5__( _)n _ g_

. ,............. .__ Tri_on0m_trí.a

262. Si x e y suman 2 700 y además 266. Halle aproximadamente et v_or de la siguienteexpresión.tanx=_ ; tan_=O- 2 O-4 R 4_2___-__+_n___)+ll=_nl- sen(an)+_s(an)calcule =+Sen(0n)+COS(an)l l 3n)-3 B)--2 c)-5n) 1 B) 2 c) -1D)o E) -2 _D) --2 E) --lo

263. Si 2sen0+3cos0=-_; 0_IIIC267. Indique si sonverdaderas o f_sas las siguientes605n_l_le E = Sen 0 - _ COS(0 - 903_ prOpOSIClOneS _

2 3 4 I. sen _n_,+x )_(-_)nsenx _, _n__,,,,___' yparA)_3 B)_3 C)_3 J

5 g lI. sen(nn+x)=(-l)'senx; si n____d'D_ )-_3 E)-_3nCOS n+ M+X = - SenX ' _n_' 2 'A. Simplifique - sabien_oque IV. tan(nn-x) __tanx ; _ne_

Isen(_OO__a)l+lcos(2700+a)l __c n) wN B) WW C) EWF=_; a_sec(54OO-a) + ac(6300-a} D) _Ff E) MN

cov_.uers(90^+_)=_' ; __tan(-_) + cot(-_) 268. Si cos _ + - = -

adem_ a - _ = 2700. ca1cu1e e1 valo, de se_, ., xf __tc

2n)--4_225 B)--3_Z__ c)--429o1D) -uc_ E) sec_uca4 _265. En un _iángulo ABc_ _ ver_fica D) -5 E) -_4

tan (_ +B + C) + KtanBtanC = O

_._ _1 _ _an(A + C) tan(A + B) Identidades Trigonométricastn_'1t900 _t _) + tan(270' + C) de Afco MúJtiple

269. Si se c.um_Ie csc2x=cosx+co_xn) h B) -, _ _) -k c,_c,1eE_(

l A) 3 _;_j -h E) h-lD t -2 E) -1/2

327

_h_w___selo_n_tg 22 ___3t022g __3 ___cos33gg__(1) cRDAD)))) __2t__2l(al_(ntsc22nn3cot)xx(_l__ u_cx2) )(gE_)) t__4_ )2

Problema_ Se Iect__ '_ ................

__ Halle la medida del _ngulo BGD a pa_ir del q _c h0,r_.co mos_ado __ Si _ _hg es equivalente a la expresión_ _=1 4C

g C_nO _ _

O 7oo _sen8 ' - A ' B ' D'o o'OA)12 B)14 c)13H D) 15 E) 16G _

. _. Halle la suma de n términos de la serie_ 0 0A F E D S _ cos_ csc3x + cos6xcsc9x + cos 1 8xuc2 1x...

n) 1ooo B) 1o5o c) lloo

D) 1200 E) ll70 A) - 2(_cx-_c3^x)

_l. Si _ cumple las siguientes condiciones _B) - (uc3nx-4cx!cos2_cotY+taM........ -....................

co_0--cot x+tany.............................. (2)n+lalleelvalorde 22csc(2x - 2_) t _ + cot(2__ - 2X)+ tan0 1- (Senx-Sen3^X)

l ln) -2 B) -4 C) 2E) -2(_c3n-'x_0cx)D) 1 E) _l

_ El equ_valente de la expresión __ Reduzca el producto de los n primeros

20 q0 términOSdean--an-- 2 2 2 _= -tanX _tan X -anX...-_g g eStan4-- 1Qtan2-+

tan2"x

2n tanx

A) _se,3g B) __s3g C) _cosg 2n tanxC) _an Xtan30 cotD) -__ E) _n 0 COt _ 2' tan X 2^ tan '' X

cot2^x tanx__ Simplif1que la productoria

M � Vers(n + 2x)Ver(n + 4_)Ver(_ + 8x).. .Ver(n + 2' x) 27T. Calcule eI v_or de h en la i_alded

2 gn h g3_17_n 2n x l sen 2^ x Sen - + Sen - = -n) _ B) -2_nX

l _n_x

_n_sen2x A)+__ B)tl C)+_-4

1 sen2nx' l sen2^x lD)-2n _ E) -2__nx D) +--g E) +-SenX

3t8

___cA_(opaf6n__d(l_or_2_dset3alaa6n__losl____a)en(n_33coa6_+_ng_dcutoc_lte__o)nse_n_2p__c__2scc_ool_s6k2a_, ____sEADc/()))xtl_)____l/____J_ta2__n2l__4x_B3)52b)J_t_en_x(+_823____o2cEct_tea)))nn4__lx9_)+4p__lo n

hobIemas SeIettos '

_ Calcule el valor de la si_iente expresión _ si a _ _c, _a1fe los va_ores de la ,;gu_eni4 23n _ 2ln l n l nß eXPreSIOn= COS -+COS -+-COS-+-COS-l6 2 8 2 32 3+cosQa3-cos4a+Qsen2asiendo ß=Uc -3 +a sec -6 +a

1 7 17_ A) - '_ B) - _a emaS SeCa=COt-. 2 ' 25 ' J

lA)O,50 B)O'75 C)O_4 4'D) o_6 E) o,85D) _' -(o;_) E) -4;_'

sen3a cos3a- SiendO _+__SeCa-CO,a UCa-Sena _ Determine elvelorde las_ uiente ex resio/exprese cos4a en té_inos de k. cot7osen76, + 2sen__M=sec3460cot1870hZ h2 h2+1n)__2 B)_2 C)+36 36+h h-_+ n+h+36 M+ l 2 4 2O02D) __ 36 E) _2h _ -n4_ - - ___ 2

halle el valor de la expresión siguiente_ten3 cot _1 _sen2a_3 _ VaUe J - Sa lendOQUe2_cot2a '6 _ q 2n) 3 B) -3 c) 4D) 2 E) -2 A) _ B_,D) 7 E) 14287. Si 3a _ II IC , además se verifica la siguiente

_cio/n t 3 33a> 3_ a' . 2003_hall,l v ,esdef,s-, -, ,teex r,s,__, _ l an _-0 -tan 200 _+0 --n

__ se__3tana- tan'a j+ co, (2cos2a+ lt te,a ,_ ve_o, de sec4g en t,/_1-,o, d1-3tan2a J (2cos2a_l)

2_ 2A) (O;1) B) _o_,_J A) _,2+4 B! _,2+_

_ _ n2 _2--2 '^j Ct ,2

_ E) ?, ._ n2t2 n2+4"-j L_ ' , D) _,2__ E) ,__

33O

__ AADAal)))c0__+b__c x4BB_))_0___( x2 cE))) __x2 tF2t Aco) ___ltc02aotnta_Dn++_tctaaonnt____o o7x___)p__t_an__l_4Bt_a_n_ _

. ,.......,..... .__ Trigonometría

. _o) s__ adem_ _. En la Fl_ra mo_ada O es cenbo del _a_ode circunteren�ia, T punto de _n_ncia y O_l + sen20020 _n_o de ta ircunferencia ina_. CalcWe-_n20020 _M+__X.

n)22o B)24o c)32_D) 34o E) 42_ ,,

Sea la ecuación 0sen--bcos-+t=O_ OcaIcule la fel_ión enbe a, b y c, tal qUe el lV Orde tan-_UnlCO.

2_b2__c2 c _2+b2__c20) d+c2=b2 E) 0+c=b A) -3 B) -g C) -2J

_ calcule el menor valor positivo de 8, D) 23 E) 32abiendo que 27 27

2cos _ _ 3 __ _z- 2+ _2+...+ _ _. n parti_ de la s_guiente cond_c_ón9 rad i_es cot2 a = _t(a _ _) __a _expre_ tan 2a _n té_inos de _ y _.83n 769n n5l2 5l2 256 2 tan _ tanß + tan _) _ta,_+ ta,_ B) ___n_+ ta,2_ 7671cl024 5l2

295. Se tiene un kiángulo ABC (C=9007, sobre- 4 tan_ 2tan_ toma Un _untO D _ qUe _ verl l_ D) _ E)m_BAD=a, m_C_D=9OO-2a, AB=DC = sena. HaIle el valor del si_uiente _ s_, _,, exp,_;onescociente6a+sen6_7_+a wsen6l-tan a A+gc0s2a+cc0s6a son idéntic_. halleelvalordeA-B+C._ 4_5 C)_3 A)_52 B)_53 c)_61

D)-2 Et _J 47 11

_Bc_EANA)h))))_)_____x(_(_(__xx_2_____2_2(_+2++++_ccoyyoa22222s+0t))2)_mao6b___0+b5__2(((oa0y+l222_)_b+(++2_l_2mbbcb_2o222_)t))sal2n_/a2t_5e_fmo_)tt_12n__coo+ss_43n_o5_oool)t__ _283_A_DDs AcDDu)a)c))doe)ettdtaaacq_t_xa2nonau_l_tatne4_lDt_v__en_8s_tKn4___lx4sguext_lx4__n___tlt_e3__e__3l__n_es2B__23entn__e)2c_te2se_eta_xxpen_nx_+__f2xte5TeD__es__n_l_o8_/2E_l___1c8o_n_/x)_)n___tc+E_ac__lnc))s0c_tct2_Ja3_o_x2nTc2_t7343_2+__J_D_+x_4J__x4_

218. Dedas 1_ condiciones _ 1. Mpr_ e l s i_ i_ te _ ien tex = acos0 + bc_20 ntanD+ m___n8+b_n28 m t a n _

20b

0b 1+sen x- _g -1__9_ SimPlif1aue indique cu_ _e las s i_ ien tes a l tema t iv_ es1-_t650 l+tan25a 1-cot85tan100 B) tan200 C) tanD) tan400 E) tan500_. Hatle el equivalente de la e_resión

2cos2 2 a+12cosa + l _lcu le e l va lor de2cos2^'+ _ail _nx sen_ x +cos x +cos2 x cotx2COSa-l R__4 21 2 212sen2 ' a+l2sena+ l

3_0o DADshD_t_))))e3n_(c_6o2oas_14v_)__)a912_ec_o4_sd_e3(6+R_se_n)te__En)_+a_c+o_s24__cc_t_3c)_gl __DAHse)n211_9(a_1_ls_)den___2ot _ __(__2dox3__+cEa_2yc_))o)__s_+ya_l2__ __

Problemat _electos '

__ Apartirde Iasiguienteproporción geomékica 303. Halle el vaIor de la siguiente expresión4a+ 4ga+ 4 arac,andnp mp mn'toma elvalorde -2a+ ent/ _os m J

4n+3m+p 2m+n-p 12 13 7A_)_2p B)_4n+p A)-_j B)-_6 C)-_5

3m+2n-p 5 21C)_4 D)_3 E) -_6m

3n+2m+p 4p+2n+me e OS Va OCeS pOSttIVOS de la SlgUlentem nexpreSlÓn33a_cosgacos33_ d / .f__a '_ laY _-;_ _aemaSSe Verll

si9uiente condición n) r2 ; 4J B) _2 ; _+/_ _ _2 Q 4 c )o.1'8ellel o,s _ 2- 3 ""a ' D) _4;42_2J E) o;_ z1

5 4 4_- B) l_- C) 1_- , pafttT e a Sl_Ulente COn lClÓn' 3 ' 3 ' 3 cos4x + _ 2 __ _os_ + 8cos245 53i-3 E) 1;- haIleelva1orde F=sec Zx+- ; h___,"''

3Ol. Halle elvaIordelasiguiente expresión A) _ B) (_ _ )t+ln ,27c ,IJ_ ,5_ ,41c __ kS _ tanZ-+ lan - + tan -+ tan --4tan _-4 tan - -l_ 9 18' 306. Sabiendo quen)_ B)4 c)7_ h_-1' E) 3 COslOO=_+

_ Halle la relación que deben cumplir los calcule h.coeficientes a, b y c de la siguiente ecuaciónacos2a + bcos4a + ccos6a + b -- O p_queen la ecuac_ón e1 cos2a tenga un solo veloT A) ta"_ B) COt_diferente de cero.2_sen -A) a = _ B) b+4c(3c-a)=O 4C) a=bcD) d=__0'+b E) a2+b2+2c_o D) 'O'-4 E) 'e'4

331

3_08 _c _ __J _ __ _c_ __2 2__2J _ _DB___)_)__________8x8_0____________>___________________x___+0_l0_______080l_00e__0_o+l__8o_0__00n_0__00_t>__a1__0_______t_______1____a_de____0____________l_____ee__________________pp_acn2__see

............... .__ Tri gonometría

3__ Sabiendo que 3ll. Hafle el va1or de la siguiente ex presión_ 3 3 _ _ R 8sen'100+aclOOsen a+cos a�-cos --a =l'020 2020 2o2o

9n A) 4 B) 6 c)3COS - -3acalcule f_ Di2 E)89nSen --a4cuyas raíces sonA)2 B)-l C)-5 nl3n25_Sen- , Sen_, Sen7 J 18D) -_ E) _2n)4x3-6_+ 2_ o3+6_. Halle todos los valores de b para los cuales es X X -soluble le ecuec;ón _n4x _ 2cos2x+b2__o C) 8 _ +l'O3

E) 6__x+l�On) r-1,-1J B) -_2 ;313. Se tiene dos PCs conenedas en red.c) _-2;2J__ ___,.,_'__.,', _,._.. ''_._._?'__ ___' _, ',_,_.,_,,;.,__,.''D) - ; E) -_;_ ___,.0, ':.;_;M''_,:_,:____"%'__.::__.,. '' !_,___0 _____,i'''__'''''' _/::______,'_ ?'''^'_ '_:._____'^^___ _ _ _ _ _ _^ 0 O_' ____ __ ,_ _'0__^__ _ ____. eo__ 0>______ ^^ _^^__^^__ , , ____0_0^_^__^________ _ ____.. _Iden tida des rransrormaciones pc _ pc2rfigonométricas s; us_ed d;g;__ sen2x en _e pcl, en 1de la PC2 se leerá _n2x, si exribiese en le3_. H_te el v_or de la si_iente expr_ión pcl lo obse_edo en _, paO,5uclOO-senJOO-2senJ50cos350+sen400 comprobará que en la pantalla de la PC2está la misma _nción bi gonomébica con unA) l B) -l C) O ar_mento respecto al anterior aumentadoD) senQO E) cos90 en 2x _ su coeficiente respecta al anteriorreducido a la mitad; si nuevamente escribimos3lO. Halle eI valor de la siNiente expresión esto último en la PC1, verific_emos que enla pantaIla de Ia PC2 ocurre lo mismo, el11n 115_ 1_7n= COS - + COS - + COS - ar_mento eumenta en x y e coe jciente s ereduce a la mitad; si repetimos esta secuenciailimitadamente, hatle la suma de tod a s l a sl 023 1 023 exp,esiones que se vie,on en lA) __o24 B) _2o4g p c 2CUan o Xtoma e vaor de O.255256 A)4 __2 c)_2_COtO +l7 23_D) _2oo2 E)

3J3

_dA_b BcDEo)))))nscc_de3ooen AssseAn_3_cBseo_snBB)_3_5ec _tccc 3_Acc)Dt_l6B c _ _ uAdDto))nlt_d_ue_l8ed_elval0r Bd)e____at l2___cEase)) _____ntneM

Pro_Iemas SeIect_s '_................

3I_ Siendo A_ B y C los _ngulos intemos de un 3I8 Exprese la siguiente suma2A+ nZB+_n2-_n ' 16se_a - 24sen'a + 8sen'aa con_nua�ión analice la veracidad o fa_edad._ gu._ente5 p,o pos__c__one,. como producto de r_ones _gonomé_i_.I. Si M=2; es un __ngulo rectángulo.ll. Si M>2_, es un trj_ngulo acutángulo. A) sen3a__Sen7aIII. Si M<2; es un triángulo obtusánguIo. B) senasen2a__a

C) sen2a_n4a_n6aiD) v_ E) Nv D) senasen3asen5aE) senasen2asen4a3lG SeaelMá�guIoABC

A B nC<hh_lehm,,n,.mo 3_g.siendox+,+,_hn,____2,,hespar,2 2 2

co_n(y+_) +co5yin(x+2) +c_n(x+y) --3 B 1 l8 4 2l 1D)g E)1A)-2 B)-2 C)l3I_ Si A_ B y C son los ángulos intemos de un.__n_lo A8c h,__e u, equ.1va1ente para _a D) 2 E) ___ _a_ _0_s iguiente expres i�nHalle el valor de a a partir de la si_ientecos-cos-cos_ + 3cos-_s-cos- condición2 2 2 2222_ cos 8OO(4 cos l OO - l)ana=A) sen3A t _n3_ + sen3C 4sen700 +33A+ sen33g+ sen3_2 2 2 Sa blen O qUe a_ _;--.Sen +Se_ +Sen3A + cos3B + cos32A+ 2+cos2_ 8n 5nll 9 63I7. Siendo S el _rea de la región sombreada,_,ule f= (gsenzoo)s. __2_ 5_3 7n) 1 C_ _B) 2 E 32l. _En qu_ tipo de triángulo ABC se cumpIe IaC) 3 ___,__,,?_';,,,_:_','_/_?.'..,. _ ,-_-----_;;--_-;.=__-__----__-----_-_--_-;_---;------___---__-__'-__--.g_80--x_'_0_._;_,'__'___'_,/,-d;'_;_ siguiente condición?__' ___'__,,, _,Do X_____ _,_''_''_ :: ____ ___'_' __._:'_'_ '___ _._._._____,c____.' _'_ _'' '___;"'__5__:__i____ '':_':.;''__:' _/ ' __'' ?,,_o___ ^^,^^_^___,_,__,'___^'_,0___"0^_', ^'_^^'_, ^^'_', __8_'O '____':_''_:__'_:__:__;_,,,'_'''_:',_.,''_:_._,'''_,_'m9'___,:_..._''_:,.'__'._'_::..____.__)_._,;,.'::...,,,_. __,,;, ..:. .___::_.i__.;,.:,_,_._;,_,.�.__:..,..,._,,..._:;,.__J___,,_,^,^_0_,,_o,0__,0_,,_,,,_0_,^^__,0_,_,,__,,,_,,__0,'0 (COA + tO_ + tOtC)SenASenB5en = -taE) 5 '''''''''''m'''''__'''_,'_:___,_''',_'_:_s_:::,_''__:''',._.'_:_'__'__';_;_,,.�_.,._,...:_.;,:__,,.,;__._._:.,.___,_..;,;'':.'_,;,..'_.'._; , :___;,_..,00o_o_'__,o_0,,_0o_0_0_o_^_00'A ,, '_ _'':: . ':.... '_ _;,;'___,,:^^0 , F A) _iángulo rectángulo,/ :_._':,._..: ;.._.,_,.;,,.,._,,_;.,,.,.,.;_,'; B) Mángulo equilátero,' ^_'^:-__'_._;-______;....._._,_: C) triángulo acut_nguloJ G D) Niángulo isóscelesE) bi_ngulo obtusángulo

334

_32b3__ A_DHD_)ell)) +_5___2 9 cE9)) __ _ ADDf))) _2_( l)A_B) _)2_r_n EcE)) 2 g( _)_

............,.. .__/ Tri_onometría

322. Sabiendo que en un triángulo ABC se 326. Halle el valor de Ia siguiente expresióncumple 5_3_ 3__ 5_ cot - cot - - cot - cot - - cot _ cot -

3senx - sen3x_ cas(A t 2x) + cos(B -2sen (A - .x)

h_ile D) 6 E) -7

2 + 2 + 2- VCO ' + 327. Calcule el v�ior de la s__guiente expresión

2n+1 _A) __ B) co_ C) cotx _ sen-k=l ncscx E)_cx =n-l k_COS-h=l _v Si !_os _'alores recíprocos de las siguientes

ra2ones trigonométricas cotß, cot2_ y _ _ _-sen- Sen- )cos-cot3ß, en ese orden_ están en pro_esión n _ n

arj_é_ca halle la diferencie enbe el menor _ _' -COS- -t0-mayor, va1o, de _, sabiendo edem_ que n t_

ß _ (0 :, _). _ Desde el cen_o de una _mjcircunfe Fen�ia de

radio r _ _Ma pemendiculares a Ias cuerd_

que se generan con et exbemo A del diámebo_ 51zA) _6 B) -_6 C) -_ _ con _da punto de la _micircunferencia

si e_e se divide en n partes i_ales. Calcule la

5_ _ suma �e cuadrados de esti perpendicul_es.

6 62A) _(n-1) B) -z C) r2(n+l)e ef v_or de la sigujente expresión2 2_ _ f f_ 2_ - n- - n+1+sen- l+sen-f�1CCOS-+l _l8 . Si se sebe ax ßx 0f (2h+l)- _ ke2' '_cuál de las siguientes relaciones se debecumplir paTa que la expresión _a máxima?_ 7Iuc- B)Sen_3 6 _ Sen(a+ COS -Sen(a+0)cOs

cos(a+ß+0)1TUC_1Ta-0�( n+ -2

3_. HaI_e eI vaIor de la si_ier_ee expresión B) __ a __ (4n + _)_27T 41T 7Tc_ SeC_ _ SeC_+ SeC- _9 9 9 m-_=(4r_+1j-

D) a+__2n_A)-4 B)__J'2 C)-2D)_5 E)_6 Eì a+a=(2n+1)-2

JJS

w_NAD__)2cs_c q_>____( ( )__)g (6oo)+x) 9 ___ d_q _c q _7ttan qt_a_n_3

Problemas _electos '

_. Si se cumple A+B+C=l800, factorice 335. Halle el vaIor de la siguiente sumatoria

3 3 4 gh_= sen cos - +sen cos - = COS afCCOS COS -h_l3

15 l7 4n)- B)- C)-A) 3senAsenBsenC 17 l8 9

B) 3cosAcosBcosc _19 5l6 33tanAtanBtan

D) 3cs_cscBcscC 336. En un biángulo ABC, se cumple

E) 2co_co_cosC A g 4 2 CcoS +COS = Sen-2

33l. s,b;endo ue g __ _ evatúe e,tonc,, e1 valor de A B e,25 ' 2' 2

_2 1+tan2 2k_f= _ 2 1 2 lt__ 1-sen Zh0 A) 2 B) 3 CJ -3

3 4A) 221 B) 222 c) 224 D) 4 E) -

28 E 212337. Calcule el valor de

Ja Calcule el valor de W = COS X + COS 2X + COS 3X i_=cosx_Os2x+cOS3X- cos4X +... + cOS 1X Sablen O qUe x = -

sabiendo que 91x=nl 3 9n)-_6 B)-g C)-_61A)O B)-l C)-2 13 15D) -_6 E) -_61D) l E) -23& Halle el área de la región sombreada siOA_2. Determine el valor de2x+csc2 6oo_x+csc2

23x - B) gcsc23x c) _2csc2

5cs 2 E l c 230Sx 0 2x__..________:__::_:;;__:_:.:,,.________;:__;_:_'..o x_3_ Siendo sec200=n el valor de ' _: ' _''_'' '''''''

l+4cos200 ' __.''�_ eS l_Ua a _;;,_,-4Sen100

A 2 B 2 C 2A)l/n B)n C)1/n-l

D) l/n+l E) n-1 D) 4µ' E) _µ2

336

_3&AADE_n)))t_u_nl__A0/ bgwo_BA8c)cJ_cu BleA2elvcal)oo_de Aa2sneccce)gs ycc)___a____n__B___ n_A_l___D0_tt_R_by32o_______ _t_c____4AR

.............. ..__ rri__nometría

R_olución de Tfiángylos & En un _i_n_o _C de lados a, b y c, c__leOb Jicyángulos tan0, si se _m_tel_(_c0)=_ogc-l_o-b)-log _s- ;0e_. Dos lados de un _ián_lo son i_ales a a y b(a>b). CalcuIe eI tercer lado, si se sabe que0+h0 5 b+hb, dOnde h0 y hb _n la5 a _raS A) _ tanC B) __t_ba_ades tobre los lados co_espondientes. d + b a - b 2a_bcotCn)0+b _)_c)_02+b2 aD) _ E) 0(a+b) D) _a-bta,C E) a+bt,nC0+b 2 a-b 2340. Dado el Niángulo ABC t_ quea_n(A+B)--bSen(A+C) _. Resuelva el bián_lo ABC, de c_c_radio R_0cosB -bcosC lentonces _ _ teniendo adem_sA=l80, senB-_nA=-Sen -aSen

anA B)coA C)tan(B+D) cot(B+C) E) tan(B_C)n) d_ _-l; b= _+l; c=_t. Sea el tri_n_ulo _C de ladot _--AC Y B) a_____ ., b___+_ ._ ,__4BC _ _. Si la b_- __ del á�_lo B co_aal lado opUesto en D Y 8D=l, entoc_(n_) se_a/ D) a__-l ; b= _ ; c_ _E) a=_-1 ; b_ _ ,- c_4_

+ _ E) __- _ _. pa,amed;,AB, ,e de it a y y.c_cule4 4 ditho lado a par_r de_ _áf_co.

si (b+c)sen0�2__s-

oA)sen- 2 B)senA C)cos- B_se_aD) b-c E) b+c A) _sen(y+3oo)_c _ 2i5ena, n Un blan9U O _ CUm_ esen(y+300)sen2A 2sen(x_A)cos_cosC cosx C)alle el equivalente de__tanA tanB tanc co_ 2iseny

A) 1 B) 2 C)3 2esenysen(300+a)

_3q2tAAADE_))n))attu_+nlb_A02/ b_o_BBA8c))_clcalcweA2elvccal))o_ordeA025eccetgs )c__aa0_____+__bp _2aDa__1t ly3o__o_) t_0__b_1_c___24AR

............. ,. .__ Tri__nometría

R_olyción de rriángulos _. En un _i_nNlo _C de lados a, b _ ct _lculeOb Jicy�ngulDs tan0, si se cumpleog(sec0)=logc-log(0-b)-log cos- ;0_339. Dos lados de un bián_lo son igu_Æ a 0 y b(o>b). Calcule el tercer lado, si se sabe que<b+hb donde _a__b_n_,5e__f_ A _2-b2t c B n+b tCbajadas sobre los lados corremondientes. O ' + b ' 0 -o-bcotC

D) _ E) 0(_+b) D _a-b tannC E _0+b tan_C

340. Dado el _ián_Io ABC tal que_e_(A+B)--b_n(A+C) _. Resuelva el bi__ _lo A8C_ de circ_radio R_0cosB -bcosC lentonces _B _rá tenien_o ade_sA=180, _nB-_nA=-Sen -a Seny sen_tenA=-R, ,enA _)cotA C)tan(B+D) cot(B+C) E) tan(B-C)n) 0___1 ; b_ _+l ; c_341. Sea el kiá_9ulo ABC de lad0s _ _AC _ B), __ _ _,. b __ _ + 1. c __ 4Bc=_. s'_lab_- c_'_del0/ _oBco_ c) _ _ bal ladO O_UeStO en D y 8D=l_ entOnCcos(A-B) seTa/ D) 0_ _-1 ; b= _ ; c_ _E) a= _-1 ; b= _ ; c=4_

+ _ E, __- _ _._,,medi,_, se da et a y y,Cal_1,4 4 dicho lado a par_f del __f;co.

si (b+c)_n0=2__-

oA) sen_ _) senA C) cos- BisenaD) b-c E) b+c A) _sen( +3oo).a,n _o _c _ _m le 2isena

sen2A _ 2sen(x-AtCOSBCOSC COSX

-_ta_ ta,B tenc co_ 2iseny

A) l B) 2 C) 3 E 2isenysen(300+a)

___DADKK)))__t__t2staec_n___2__a_B2_2s_2e_Bnc___4_)_a2(c__o3t3Ea2)+_coEt_)4_ta+)2l3___) DcD_c)_))D_b___ab0bb_d_ssaeeesnn_ga00ucscca_g __E)_0bEb)se_tna1sen_ ggD

ProbIemas5eIecto_ '_.............,..

_7_ En un Niángulo ABC al reducir la expresián 35O. Si a_ b y c son los lados de un _ángulo A8C_recto enB_ enton_,bsenB - csenC sen3B + sm3C + _n3Aseobtiene b c 0es igualaA) 0cos_ B) 2tan(B-

C) -2 tan+c b-CB-C cot B+C35l. En la figura 2_ = 30C _ Iuego el valor de_ Dado el cuadrilátero ABCD, si su pe_me_o 4ABmás su diagonal AC es igual a ZRt y ademássi el triángulo ADC formado _ unir AC es Aequilátero, h_leA-C nB3ng 0^= tOS _ COS - + - + COS-5enen té_ino de t. (R: circunradio del Mángulo CABC). .

__ c) ,__ 0 b30 6_2 A)-_nacos0 B)-_naUC

. Del _áfico, calcule el valor de

Dedo_=BC.B 35i En un __C, insnito en la circunferencia_ ja _gonoméMca se cumpleacotA=2cosxseny........,................... (1)bco_=2cosysenz............................ (2)_3a D 2a_c ccotc�Calcule W� ta_anytan2n) -2 B_) l c)2_D)_ E)_ D)_ E) _2338

___DlAEe))_te39o2rmooo_8e_A2_o_ _g_o_B2sb_ 2__c22_ y2o n2______ , ______51_39_J_5____ cc

............. .. .__ Tri ___nomet�ía

353. Los ladosdeunbi_nguloA8C seencuenban _ El_eadeunbïángWoABC_ 9O_m' yIoten pf_esio_n afi__tjca (a>b>c). senos de los ángulos A_ B y C sonproporcionales a Ios números 5, 6 y 7_sA+cosC _. tDt._ _._te K = _ re_eC Vamen e. e e_lne a me l aVe nA. VersC a,n_o B y del lado opueno a _te a_

A) l B) 2 C)4 A 13= ;B=___-D)_ E) _2ll._n _ 5a,n _ de unb_la,n locu s B) b=6 _ B=arCCOS -

A Bad__n pro_rcionales a tos__ tOS-_ c) b__3 _. B__arccos _35C

bd Agc _d 1gCOs- _ len OQUe _ Y SOn_N05 e D) b_6 _ B__0s -Uun dete_inado _án_lo.Et b= ; B=__-

A g_ B go, C2 ' 2 ' 2 @. CaIcWe I0s ángul_ de un biá�_o ABC, si(0bc_C + _c_B + _coGA) --2d-h. - -. -.. (2 _B) 9_+-; _O+-; 900+- __6oo................................................. (3)

c) 18oo-2A _, 18oo-2B ; 18oo-2c A) _, 75', 150 B) ll__ _, 2_c)6ao, 75_, 45oDl 900-A_ 90_-B_ 1800-C D) 6oo_ 9o_, 3oa E) lo5a_ 45a_ 6oo

A B Ct- -'300+-; 300+- 3& Un _ABC e_ insaito en la circunf_encia2' 2 2bigonome_ica y los _cos determinados enla C.T. est_n en pro_esión geoméMca de. En la figura mostrada ABCD es un ,_o/p__el_mo, dete_ine la _tura de é�te ' a bC_cWeelvaIorde _+_+_.re_eCtOaAD,Si =_ctan . cosA _sB cos

n)-_ B)-2_ c)_C_) 2_ E) 3Jt

a a ,. n un _l __U o se an os aneUlosn B 2_ c 4n7' 7' 7-_velente de b-1+c-l

2_,2 b2+az b2_,2A) _2 B) _2b C) _b A) 2a-1 B) ,-1 c) _l ,-10

2 2 2a2 a 0D) _ E) _b D) _b+c E)a

339

_pBtpep_Q_))_______________b____l___________tb00______b0t___b__0___b_2_to_______________2_g_0____g0b_______D__________00_o_________________D_____________________________o__________gg_________________________________________00___000_00_a000o00__a000_0__0000__00_0___o0_l____0a____0___o0_0_________0_________o___o_0_____o__oo____ot_0_____oo_0_0_oo_0_t_0__0_________________________________0__0_________0__0____t_____________0__H_____t_1__lt l dBE_L)) f_b2a2 ta2nng2g2ggdbu2slelocA82222_cgggccc2esd2o2ptRendto_ncedsle2l Bpv2al Bor

Pro_lema? _I_tos '_............. ,..

_ CalcuIe la lon@tud de la bi_cbi2 extema del b2A) -2 cot20_c40án9U O A de un _á�gulo ABC, sabiendo queb-c=lO y bc_b)(_)=lOO. b224A) 1 B) 2 c)32D)_ E)_ C)-_cot20csc20

__. En el esqueme most,,do, pa F,p,,,,t, u, D) _b tan24famO de Une Ceffetefa feCtilinea. Unarsona _ encuen_a en el punto M, obseNa b 22aJo Un án9UlO l9Ua a 0. a e adistancia mínima que debe recorrer la363. Si A'B'C' es el bi_ngulo ped_ y el ortocen_o_efSOna pafa Ile_af a la Caffetefa, Sl Se e un b._a,encuentra a una distancia a y b de losextremos P y Q, respectivamente. de _oA_ +_o__ + ___ es

., Q A)4tanAtanBtanC_,,,,,,,,,,,,0,,,,,,,,,,_,,,,,,,,,,0,,,0,0,,,,,',,,0o,,0,,a,,00o,0,,.,,._,,0,,,,0,0,_,,,0,,,ooo8d,,_,,_,_o,,.,B,__,.i__i___,,,__,.0..__,..___'0_io_,0ii0__.__0o,_.__..__,,..__,o_._io.i.____'_...___,,_.i_....._,,i.____..B,_0'._..'0_.__',0_...,i__.,,...__...__.__,=^_,,,__,==_.,d,__=__,,,,,0,__,_,___,,,___,,_,,,__.,a____. B) 2 c o � c o tB c o t C

, __- _.o.,,.,.,.a,_,,qo,. _,_D. _,.._,a _,_ _____,___o__.'__,0 _'__ ___' _a __ a0_00 _ _'_0D__ _ '00__'v, __ 'v__0 _, __, ^__ _0_ ^ _, _'0 ^ ''_, ^', ^',, ^ ^', _ '',, ^ ^_, ^ ^, ^ ^_, a', _0 ^0 ^ a'_,, _ ^_0 ^_0 '__o _ ^0,,_ _ ^ '_ ^__, ^ ^'_,, ^__, ' ^''_,, ' ''__, ' '''_0, ^ ^'__, ^'' __D ^ ^'0_, ^ ^'_, ^ ^'__, ^ ^''_, ^ ^'__ ^''0, _ ^ ^'_, '''_ ' ^'__ ^''_ ^'__ ^''_, ^'_ '''_ ^ ^'_ ^''_ ^ ''0, ^'' ^ ^'_ ^ ^'', ^ ^'_ ^ ^'' ^ ^' ^ ^'' ^ ^', ^ ^' ^ ^' ^ ^0 ^ ^' ^ ^'o a ^ ^' ^ ^0 ^ ^ ^ O _ O 00 ' ' a ^ ^ ^ _ " " : _' ' _ ' _ _ ' _ C) 2 ta nA ta nB tan C_. .. ..,.:,,,...,o,,,.,,._,,._,,_,i_,._,___.a._,_,_.,_,_,,_.,__i,,______'_0__!8'__^0_8_ig_'_^,__g^'0o,0__,___'_,'_,,0_0_'0i_'0,_o_,__?_'_o0_,i_,__.i.,B__._,L,._i_i,___'._ "'0R0__'a'____i_'_=" _i''^_^''_R0_'_^ _' _ ' ^ ^' ^^''______'__'=,,=__,,_,,_____,,____,__.,e,.__'___,__'__'_i_,,'_,_i________,80_0_____"_ _^_o0^0_'^^0^:'^^^^^^_0^O''0''^:v_' ''' __ D) _O�CO_tOt' -- - _- . _ _ _ : E) 25enAsenBsenC

M _ Determjne la distancia entre los excentfosrelativo a los lados 0 y c de un tri_ngulo ABC0 ., . .A) __0_0__ COt en UnClOn e ClrCUnra lO Y an_ O .o2+b

ab 4RB 4RB 4R2B._,_,._.. sen0 A) _n_ B) cot- C) sen -a2+b2 2 2

Ba Sen0 D) 4RCOS- E) QRsenC) 2'i____^__b0 + - a COS

ab_sg _. Siendo ra, rb y r, ex_dios reta_vos a los tadosD) _2 2 0 b y c de un trjángulo ABC tal que0 + - 0 COS ' '_

oA+__bg+ _cd tanE _,___,__,_,,__,__________ tOt- tOt- COt-0'+b2-abcos0

períme_o del _ABC. Calcule el valor de_ Dado un biángulo isósceles con ángulo en eI A B c= tan-+tan-+ tan-véMce de 20 y base b, se ba2a rectas paralelaspor los v�rtices de éste a los lados del _iángulopedalfo__ndoseuntrjánguloMNP. C,lcule A) l B) 2 C)3el área de la región biangular MNP. D) 4 E) _

34O

_lLEABcdM)))) NRRR 2 2R22 _ _ _ 37o c)pe________ t sAAesel __rea2d_e la2 re__to2_n

,.............. .__ T__onometría

366. En el _jángulo ABC_ de incen _o I y excen_o __ _a _CD un cua__átero inscrito en unaE ,elat_vo al lado Bc, JE__h u y Bc__, u, tifCUn FefenCia de radi0 R_ _CUle R dadOS_uego se cumple los tad_ 0, b_ c, d _ m_.

A) h_a B) h>a (0b+dc)(ac+bd)A) j(b,,djt,n2ACJ _>o

D) h<a E) hS a (ab-dc)(0c-bd)B) j(bc_adjcos2A367. Enun_i_n_loABCis6sceles mqB �mqC. _e dl.stanc.l, en_e el ._ncen_o y (ab-dc)(ac-bd)etefmlne2(bc-0d)_n2Acircuncenko sabiendo que el lnrad_o es r ycircunradio R. (A<900) (ab + dcj(,c + bdjD) j(bc+adjsen2A- f SeC- (0c + bd) (ab + dc)E) 4(bc+adjsen2A+rCOS-A B C, Enunbl_nguloABC,halle cos_cOs-cos-Af_C-- en_n�io_ndes sitriangular mencionada, siendo ademásA a+b+c=9yab=24._) R+rsen-2

S 3S 3SA A)-g B)-g C)-_6-f4C-

5S 7SD) -_6 E) -16368. Al prolongar las alturas de un triánguloA8C rela_vas a los lados a, b y c, inte_ctan37I. En un triánguIo ABC de lados 0_ b y ca la circunferencia de radio R quec;,,unx;b, e d;,ho tr;e/n_lo en los pu,to, ,es c__v_e,te dete_,_,e cos _A+B s,.' 2, M y N. Calcule et perímebo del bi_nguloA es un _ngulo obtuso y ademásc.aa+b=a

A) 8Rco_cosBcosC(a-b)_na B b_naBt 8Rse_se_senC _2_ _2_

C ) 4Rco_ cosB cosC (a + b) sec aC)aSe _ _n(a+b)tana csena_n_ se

J_1

_Ac_))_0t24agnf2aD_tanaa 0_B_) _ fAD_()x())ola__9(_l_) rK_()(3lB9_l)__u___4_c)a)xb(lc>+d(tsec_aon(cx_9sx()Ac()l_)+)c(2_452)_l9)(__)xp)

Prob Iemas SeIectos '_..........,.....

_ Del gráfico_ dete_ine Ia _lación de áreas de 37_ Teorema de Bretschneider (Teorema de lostos cuadnle/ teros _fQM y f_MQ en te/_jnos cosenos para el cuadjlátero), sean 0, b, c y dde a los Iados sucesivos de un cuadrilátero; m y n__de,e p y a puntos de _ngenc__a o es sw diagon_es; A y C dos ángulos opuestos,-valentedem2nacentro de la circunferencia. '2c2+b2d22,2+b2d22c2 b2d2M 0 - -2+c2+b2d2N E) ,2c2 + b2d2 + zabcd cos A _ cOa \__ a _. Se tiene l=A_n 3t+_'_ 5(I representa la intensidad de la corrientealterna).1C . . _.fa t-- -S, Se ene Una COrrlente maxImalO

1 ta,2a_na de _amp. Halle la corriente (I) que se2obtiene para un _empo t igual a -s.l-tan2atanaA) l,57 amp B) 1,2 amp C) t,6 ampD) 2_n2atana E) 4_n2a_na D) 1,65 amp E) l,5 _

37i Del _áfico, calcule tan 0 siendo ABCD y l ,.DEfG cuad,ado, __ Sea /(x) =' -l ; tanx>cscxEvalúeB C___ 0 J - +/ - +/ -_ J --20 20 20 200D) -l E) -2

O E _. Sean las funcjones2ODomF=A el mayor dominio posible0 'f _(x)_tanx Domg_B elmeyo,dom__nl,opos_-O senale el valoc de vecdad de las s;gu;afirmaciones.I. F(x)�g(x) ; _x_A2 1 1 _l. f(x)-_g(x) ; _xfg3 5 4 ___.A_g1 lD) -3 E) -2D)Vff E)NF

3_1

_DD)) 2l_t5d_t __________t_______________________________________________________________________(_________________o__________a_______________vD____v_______%_0___00_a_,____________________________________t___r__)__s_____________________2___0EE)) _2___4_ 2 cEM_))) __(_(__ddd2__9()___9p_9p_)/)____(___c___) 9 _) (_4)

............... .__ T_gonometrí_

378. Cumplie/ndose 38l. En una semicircunferencia de diámetro__ tana (_) _=d, se _ene una cuerda CD, Sean E y flos pies de l_ pemendicul__ bajadas desdesenatanß = tanb ....... ... (2) _os puntos A y g sobre le ,ena cD s_-a medida de los arcos AC y BD 2a y 2_cot -=co_xcot_ ........ (3)respectivamente , entonces el área de la regiónb e __c .,, e ___c cuadranNlar _B es

h_lem. A) d2

2,2+ba ,2 b2 b2_,2 B) -2 sen(a+_)cos(a+_)n)_4 B)_4 C)2C) - sen(a-ß)cos(a+ß)0b 02 -b4 z D d2sena_ cosa+2379. s_l ,_ a/,ee somb,eed, es ;gual a le no E) _4 sen(a+_)

0-sen0_mbr_da _CWe UC _ . 3& Determjne el conjunto de valores de M, siendocos2xt2__o__,__,__ _i_;i':.,''_,'':_'__'':_:__,:':_;___j,0._'_...,,.;.. l + 3 Sen 2X + COS 2X....:_v,__!_,_,,.,..,.__._a__'_____ .''_':.t_,;__''__:'''____._,_.,:5_'_a_'_. .'_,,')'__.,:',__.,v__:,_,;,.,_...,..,.,.__ . __'_; ;', :_ :_.__, _:_- _.', ' _ _ ___.;,_ _;. _;__._..:, _.,_.. _, _;..;_,,_,_.:5.. __.;_.9; __. _:_,,_; ?.?. _.,;_,__,.:_,__. __,... _..' ^i_,i., __ ^,: m _;':; :_..._.... ,.. __, '_,.,. _9, _ _., ?, _'' ,_ _' _,,,3_ad A) -_ il - --4O

2___ \B) -_ ;-DC' __'..._:_:__. _g_ ' ____(_,_!.m__:',_i,'':._.__.:?.:._::'_::'_:,'_'_:'_:::,_.,M_______;___,____ ______ :._____.___..,,_;_: __,_____,.,_,,_;._:____;_.':___'"_____ _'__.__~;_;__,_____''_::_:.''_:'':;,._;'!.':.!'__':;''':';''''''''''''''''''_''_''_''_'_._____.:___e_"__:_,_ _,____''__:___'''"'' -2_ - _ 2_ - _ 3_________'^_____''''/'' -_;m U-;_ - --A)_ B)1,5 C)2 z_+__D) _ __

-2_-__\) 338O. Un avión que viaja en la dirección SN es 9 ' r 4observado can un ángulo de depresión a ys goo E E _. Se tiene un cuadrilátero _CD, en el cu_ lasen a lreCClÓn -a . n eSe lnStantecom;en_,a a ascender en une t,eyecto,;e diagonales se cortan en P. Si AP = P_,ciTcular siguiendo le djrección SN Calcule _AD __ m_DB m_BC d ,' ' ' = '__�_,aema5' 2 3COta"SeCa Para qUe al tOmar la VertICal__smo a_ngulo de AB=2u, halle el área del cuadriláteroABCD.e eVaClÓn a en a tfeCClOn .

n) 8(_-l) u2 B) (16_-2_)u2n)l-_ B)_-l C)l++D) 2+ _ E) 2- _ D) 4(3_+_)u2 E) g(3_+5)u2

34t

385_DcG))________cos __b__a2_co_s_bl____14(_ cas__Tc__g De))c4unR2os ___(_e____as___pb)e4__s22e2n__12cd _/_r__E__ets_))t__((?_e_n))doRel

ProbIBmas SeIectos '__

_ Se _a2a por un punto de una circunferencia 387. Dado un cuadrilátero convexo ABCD Luyados cuerdas cuyas longitudes _on a y b. área está representada por __ haIle el ánguloAdemás, el áree del bián_1o focmado el un;, fOfmado _O__ IaS diagonaIes del cuadrilátero,us ext,emo, e, ,. ca_,_,_, el T,d-,o de _, en función de los lados a, b, c, d Y S.

circunferencia en ténnir_os __ a_ _ y s.S \arCSenal+b2+c2+d

ab _.a2+b2_z_a2b?L -4_-'4s B)arCCOS_,n j 2 2_+ tC+

2,b_,z+b2+_ab 4,2 c, ,rct,ní 4SB)_ a2+b2_c2 ,_i4s

D)a,csen 4S )22 jj'^j b2+d2,2c2)a+ + a -S _ J2sE) aTctenb2__d2-a2__'ab_a2+b2__ab-4s2 'Qs 388. Desde un pur_to de una cjrcunferencia se trazapemendiculares a los lados de un po1ígona_a2 + b2 + _; reguIar circunscrito de n lados Halle la sumaE)__ , d bd_ d._ s._S Uaf 1radio de la circun_erencia. (m>3j

_ 3 R3 5 R3. Sj a+0+_=- cacu e A n B n c 3 R34' _ _ n

\ \ 5nR334 4 4 3cosacosßcos0 + senasenßsen0389. SisecumpIe51 Sena_COSa2�a---l .....n)_ B)-z c)-2íCOSa2Sena__= a+--

D)-q E) 2_2 Z5Sen43C05a4= a---

_. Siendo cosb - cosa = ca_ cosb determine el máxim_ ve_loF ddete_ineCOsa3 _+ _ _ena3a+b r0-b Sena3COSa4Sen_ +Sen_ -

lA) l B) 2 C) -2n) o B) 1 c)21D)3 E) +_l D) -_2 E)_l

344

_R _h/() 2_(_ 2) _ _ _ d A/()t/_((()__!vv___9o3__d__o Be(s)vw2____)__7_96F (___c__)_lvv_e__nFF2_x_2_7_

, , ,.......... ..._/ Trigonometría

390.Definimosa)__te,a+t,n2a+t,n2atan3acota A) X=-; y�d-red_ca la siguiente expresión_ngo_ten4oteng0cot2o_tanp+tangatenpcot4o B) X=- i _=_cos 6U cot2 300 /(20)d_ _X=_; Y= -SeC SeC tan 4D) csc20^ E) -sec80D) x=d-; y=d-391. Halle el equivalente def _ 4 cos 2oo lcos 2oo (2_s 2oo -2 cos qoo + l) + 8 _n 2oo -l J E) _ _X=d- ; _=d-

Aj 1+16cos200g) l _8cos4oo _ Acer_ de la función J, definida porC) 1+8cos200 n nX=Sen_X+- +_S_X+-D_) l-8sen20^ 4 4Ej 1+1_6sen400 analICe l_ prO_OSICiOneSI. El menor valor de J es - _3_2. Se define __. su per;4 _ q nX Ill. /(X) eS funCiÓn par.X =COS --Sen -2 _ v 43neS CreClente en 2l_ ;_icha función es decrecient2 entre hn y 2

n_+- _ _. llCUentfe e V_ Or e nD)v_ E) FMJ(positivo).395, _Para qué vatores de x com_rendidos en e1n) 3 _) 4 c) 2D)6 E_,1 .,ntenJaIo__ __ d..2 a n Se CUmP e a COn 1C_On

393. _a1le las dimensiones de Ia viga de m_ima J (x) > o s,_ e n a_ o / ( x ) _ 4 c o s2 Xresiv_tencja 4ue se ___ede sacar de un_ _onco9 ' 2si sabemos que la resistencia de la viga espraporcionaI al producto de su ancho por eI , _ _ , 3, 5__cuadTedodesu al__e. Aj -4_6,U 4_-2 U q;-6

/_7T ,/'n_'' \,'6 _4'2/__ 3n5n'C) O___;'_u_;--_d 2/ L4 6,'Y/,, rjD) __;_- u!__:n42J L4 ix ' E) ,'o.n\v!_.3__\\'2/ ,2'4J

34S

______ __(__/_(x__)t___t _________________f__ /(_____(tn222)(_2 _2B)4)_q3(__z2_)(_2_a)flc2))co4s_q22+lh__d__

P__l_ma_ SeI_t_ , '_................

_ _a la función / def_nida por _ Dadas Ias _n�ion_ J y g tal que

_ (tan,+_t,)(sen _ x _ +tenx) /(x) = l_ ,_x _1 + 2_s2x3.endox_ __n o u o n g(_)=lQ' ''4 _._que/

Detefmine el fengo deJ. /(X) < 9(X)i _k_ Z 7_

n l hn 1A_ 2.t2_ u(O) A) -_+___+ _i_-af__+kn

B) (2 __ 2_) B) -_n + e,ccos 1 + h, n !2 3 '2 3c} _2;2_Iu(o)C) --+hn_ -+hnD) (2;4Ju(O)n 12_ lE) _2;4) D) (Qt'1)-j+WaS3' ' ^"r0'-g

E) (Mn;(2h+l)n)_ _boce la g_f__ de la tunci6n J de_nida porIa regla de co_ondencia. _ D d _ f_ a aS aS UnClO_eS tOn fe_ a e_ t,n _s(_) + _ _ 3 correspondenciat xx)=-_t> y9(X)�_n-XA) Bt Si la recta tangente a la _áfl_ de J pasa porY Yelpunto (41I_O), 05X_qn _determineeIá�ea comprendida en_e dicha recta y g.O __- -_ X _- -m X A) Qt- U CU C CU, , -_--tD) 2(c-2) u2 E) 2u2

C) _. Sea / una función de variable real_ halle eIYdomlnlOYfangO (h_J(x) = __nx _c x_ + _cos x sec x]

j,-; __X

hnD) E) 2Y Y;, ;,;,;, c)_-_4;(-2)

o--------_ "' ' ' D)_ h_._-__x _--_! x 2','----i-_-_ !''!_E) _-h__[-l;l_

_46

_A/)( ccc_c_lJ_ ____)>JJ__(_(__))__M_ _ EA/))( c_c(()o5o_l55)5__)_J_(c_(552)_22J72 __ __ _ 2

............... .__ Tri_onomet_a

qOl. Halle el campo de varia�ión de la funci6n__ _ N. Si x_ n ;- tJ es_e�iente.

o3_ _Espe,i__ca (T-SiX_ _- ' -

,. /(xo) _ ap,0Xlma a - - , cuando _n) (-2;2) B) r-2;oJn-2 ; 2) - {O} tOma ValOre5_ _rÓXlmOS y maYOfeS = -.

D) (-1;1) E) r-l_,2Jn)_ B)VMvw c)_

& Halle los valores de x en el inte__o (4_ ; 5n) D) _ E) _p_a los cu_es la función / __ deflnida porl, 5;_;ent, ,egla de cone,pond,nc;, __ LQué v_or_ de x del _njunto de los núm_osre_es, ha_n posible que / _a una función?x)___4sen2x__.tog _X-5 De/ como ,espue,t, pa,a o<x<2, s_,2x -1 'xX�O9 Sen--COS X.

25n29_ l4n6'6 3_ 9n13n 14n ;_ U_i nB) -3 ;-3n 9n25n29n 9n B)5i-5C t_6 i-6 -_2_ 9_n29n 9n C)5;_5D) -4 ;-4 --2n 9n17n9n D) ;_U_;nE) -4 i-zn 9n_;- - n4O3. Acer_ de la función

/(x) = sen2x l tanx f + xQ05. Dada la función J con_ puede a_Tmarl Es una función jmpar 2 X - n 2 X - _- ' X= SeC +_ClI.Esdiscontinuaen_ y g con g(x) = 27Tx. _En cuántos puntos sex=(2h+l)- ; k__intenectan / y _ en x e ( 2003n ; 2OO9n) ?

3n. l X_ -; 1T t X =X nO preSentaA) 4 B) 6 C) 5ninguna solución. D) l2 E) l6

J47

4_a7//c_(o___n__)___c(r3eg _J_)_ _p__d2______r ___B_(_2 J__l)t cl__)(_cEs__c_c__f__e/c_)_(xJ) ___ 5_(_5c(c)_ __JJ J_

Pro_lemas telectos '

_ _ rango de la función 909. See Ia funcj6n J(x) definjda pof la sj gujente_ _ re_a/(x)=-cosx--senx2 l+cosx senxx)=_ +senx 1+_sx

es -1;- entonces un intervaIo de su2 ' _s pFO_OSlciones verdaderas ton

dominio _rá I. Tiene período igual a n.

3nlente en - ; Zn_ l7_ l97c 23_ 2n) __2i-_2 B)-_2i-_2Ill. Es decreciente en (6_3_ 7)n 23nc) --12 i-_2A)I B)Iyll C)IIylII

1J_ J_ 4J_ 6Jn D) I, II Y III E) lIID)-12i-4 E) __2 ;-_2

fun cion es rrigon om étriras

l_ Sl lOS pUntOS A X_ ; - y X2 ; - _l_ Helle el rango de la función /, cuya regIa deco_espondencia espeTtenecen al 9f_fiCO de la funclOn Si_iente/(x)=Vers2x.0v2xq g 1IX =Sen X-_ X ;a em t X1 - ;_

3 3+__ 3_ A) O' B) -'X2_-'- _cue ' 8' 8Q'2 '

J = tanx, + tanx2 + tanx1 tanx, 3 3+_8' 2

n) l B) o c)_D) o_-3+_ E) ___3+_3 '2 '2D) -_ E) -3

_11. Determine el rango de la siguiente función408 Ulcule el mayor valor que admite la función_a de co,,es ondenc_la __ __n X + tOS Xsenx+cosx2 2

1 5 l 5+2 A) -4;-4 B) _4;-48 4

j 42 1 5X + Y +X c) -;-8

jjj j 2 15 o5X+Y-X XtX_+_ D) -;- E) ;-g g 4

348

_gEAB)))) c(((____nn___/__(_x_)__t_t_)_JJnt___+_)_____(4_l)_ ABDE_)))) xxxx________c((_o(hls442esn6hhhn_12++_Rt_ll3/xx)))____8ltll86+_R,s1cteo_n/s/_/___2__x_8l_x_____t_t_2l______4t_3_8_t__l___4_

............. .. .%_ rtigonometría

n h,1le los D_ como respues_ el númeTo de saluciones., l <X_<X2<X3...Xn<-,valores exbemos de la expresión U+_). A) l B) 2 C) 3-1 2 3'__ ng -- _s x_ + cos x2 + _s x3 +... + c o s x, q_5 Dete_.,ne _os ,ntos de dl.scont_,nu_.rango de la función J' deflnida por la regla deA) n ._ ,_ co_esPondencia,._n /(x)=_q q ;k__c) _n;_n)n.___ _1.3D) n;nn.___ o.l413. H_e el ran9o de la _iNiente _nci6n, cuYa n _ _regla de cone_ondencia es C) x = (h - 1)-g _ _J � _ - - q; 4O,5sen2xSen X+_ +COSn_.___ l1-_. 1+_' ' 2q16. La _áf;ca mos_ada corresponde al -_ __-1 _ (1) y2 ' 2c) __-l;_+1I y_/(x)1 _D) -2'-j o x1-_ ._-1A) /(x) -- sen x + sen 3x + sen5xB) /(x) � senx + 3sen3x + 5sen5xean IasfunClOneS-_Senx ; x < O C) J(x) _ senx + -sen3x + -sen5xx)= 3 5senx ;OSxg(x) = aTc sec x D) J(x) � sen x + sen - + sen -R_uelva J(x)-g(x)=O;_xe_-n;nl E) / (x )_

_ql8 _____(__y2l008___6___02)_____lf ________2_______(____l_61_2__2)2____ ___AG)____ftl|l H___ll_(_(q)_6,_|_ )l_____ fu__tt0__ 0_ 0l(2_0)

Pro_ Iema__Iect0s '_................

4l7. Halle las coordenadas deI punto w a partir _I_ Del _áfico adjunto_ Q es punto de tan9encia.del gráfico adjunto. Halle a.YY ; _J (x )--_n (x- _3) ;! !,

h(x1�cos2x ! ! 0l ------ -- 0 --------- ! ! O xW _ ;;_ n _ 3_ _ _,--,---- J(X)=_2 ; 2 ; aa;_, n _ 2_ r--;-----2

-l2arctan_ B) arctan3

l 7_ 7n 1 _A) -;- B) -;- C) arccos -

4Tc_ _ nC)3i-j D)arcsen- E)-3

2g_ l lln_ _D) - ; - E) -; - . ra IQUe la Sl_lente nClOn CUYa re_la deconespondencia es 'ucx+2_c2xX=l XGrafique J(x) = cosx - -cos2x _CXCO - 2

A) g) A) B)y y y y100000 l00_x ;;_ xX X _ n 2n 3n 4n o _n_ n_ 3n jn_2;; ;

c) C)Y1,__ ! ; ; ; ;0 x _-, _ _-3, _2 _ _5,n

D) E)D) E)Y Y

_ _ 0; ; ; ;x xo _n n 3n n O n| n_3nl2n_ 5n_q 2q 2; ;2_ ;2_-1

35O

422_J( t 1 _t __ _ __2_oo3 __ _ 2 2_fu__ 3_ _42__ r cr J2 ____4

' Tri_onom_�ía

_l. S_Iendo T_ y Tj los _r_1_os de J(x) y g(x) funriones Tri_Onométricasr___v_ente , donde In versas

)(x) � tan 2x - 4 tan 3xSeang(x)=sen(_sen2x)/(x)=sec x--, talque O_x<-Ue_O 2-T1 eS 8

-n 1Ih(x)=2csc2x- tanx , tal que -<X<-,n) -2 B) On -l l_(x)=-sen _+- , ta1que -<x5-C) -n

_ _ entonces son funciones univa1entesD) --2 E) -4A)soloI. B)sololI.C) soIo IlI.. H_le el pe�odo de la sigulente R CUYa regta_)sololYII. E)solOIlyde cone_ondenciaes

R(x)__ se,xs,,2xsen3xse,4xse,5x.. _. LCu_ o cu_es de 1as _ncion_ _n P_es?

sen20O3x X _. Y=arCCOS---

, 2, II. _=ar_en(2x2)n) _2oo3 B)III. y = cos (arccos x)C) _

_ A) solo III B) solo lI y IllD) 2n E) _2oo2 c) soJo f y _1D)soloII E) soloIq23

. S i P ( x_; _, ) ; Q ( x 2 ; y 2 ) s o n t o s p u n t o s q u e _ s

. l 9 Æ la nClÓn lnVena de J(x) = -Senx ;pertenecen a 1a gr_1ca de ta función-1C 1C2 X__;_, entO_CeSX XX)=-+COS -X X

tal que yl e _2 son mínimos en los inteNalos A) g(x) = arcse_; x e _-l ; 1 J

(-2_; O) _ (O ; Zn) respectivamente, halfe_X=-arCCOSX;X_ - ;la distancia del punto P al punto Q.7Tj _ X) = - +aTCCOSX; X_ -l ;

A) 4n B)_____ =arCCOSX--;X_ -1;c)_ 2

_D) 2n-l E) 2 E) _(X)=--aT_e_; X_ -l:

35l

___ AEcDEll))) ___aal_r(tt__a_dn___)_ _ 3) __4__(2__4_4_) Ac_sa))))____2_2n2ar++++cnnntnna_araar_0anrharccccrss_cs5clceeoeosnxnxMse_s+xnx2_a_53F__c__ten __8__ __

ProbIemas _e Iectos '__ , , , ,...........

_,Calcule __ -2n_ CalCUle el YCC_ _n -K _ _s(5_c_c(_ + l) - 2_c_c(_ -l))

2_ -2_ n-l 1-_ A)-7 B)-7 C)-_44 4lln 3n_+1 _)-_4 E)_gC)

_ _ _ _ _ qX Simplifique la si_uiente expresi6nD) _2 E)� 0fC Sen X + 2 afCCOt X t 30rC Sen X ++ Q arccos x +... + n te_inoslequivalente de 3afctan- eS_n2

n B a,ctan3 B)_24_n2_9 jl3

13 23arctan- E)arctan- E 29 27 _ __-

43iRedu2ca_V Or e tOS---arC_C2 2

A) +__ B) -4n) 5 B) 4 c) 3c) _4 D)2 E) l

_ + _ _ + _ _ Dados los arcosD) _4 E) -2cos60 1+cosl20a=arCtan _o +

q9O. El equ_valente de Tc-aTcsen __ s_2cosl20 l+cos24-1<_x<_O es D=arCCOt_o -

A) arC5enX B) arCCOsX Calcu1e tan(a-ß)

nC)j A) ta,lo B) ten2o c) ta,3oD) -arcsenx E) -arccosx D) tan60 E) tan90

J51

_1D_)f 3t____g_/ ()__p_3 J c_ E_d)(__3 __J ____RAHDD/))()llcr)_c___2__1()ot__n_el_J4s)_tfx(_g22))J__(_d_c_l)4__2/_Jd___f_(J__nt(dc)))3lnc_cl_l2_)J__ _Jes

,. ,............ .__ Trigonometría

_ Halle el rango de la siguiente función4M. Si y = arctan __ - arc cot _____COS x cos X arc cos -- > 0 > arc sen -- -2 - - 4ha1le seny.SenOn e /0�1+3sen0

X X 2XSen- B)COS- C)Sen-

l 14 i 1A)-6;-g E)--;l c)--;2_2 23_ E ol45' '9_. CaJcule la suma del máximo y mínimo de

3 , _ Se define la si _iente funció=--Senx-COSx onslere2 'X = arCtan x- arctanx+

_5 3_ H,1le e1 dominio d, di,ha f,nció_+arccos-<x<- '3 - -2 -

A) (-_;tan1J B) _tan1;+_)

4g 25 2_ C) _n)--_6 B)--_6 c)--tan;tan1 E )O ;tan

_ 9_ __ . a e e CamPO de eflnlClOn de a funClO/n

2V(x)=_+arctan Zx_. Diga la veracidad o falsedad con re_e_o a arC Sen - X

2senx -3cosxaUnClÓn (X�senx+2cosx ' ' '

_. Es po,it;va para D) _1;3I-(2} E) (1;3)-{2}

n1 5 1 5X_ ---arccos-' _--arccos- . eS peCtO a a UnClOn elnl a _ o f22 13'2 l32__ _ ,e at-,va ,r, /(x)=lo9 arccos X,' l+x

n l 5 l 5 senale fe valide2 o falsedad de las si _ientX_ -- --,rCCOS- - --aICCOS-22 13'2 13 pToposici

I. DomJ_(O;+_)III. J 2s nula; _ x � hn + arc tan -2 I_. Ran /e _o_ ,

l_ _ una función univalente si _ _ _ 1' . /(x)<O ; O<x<arctan1 5 2xe O'-_-arccos- Tc'2 2 13 I_ -5J(x)<n;O<x<

.4)WW B)wFF c)v_!vD)EVN E)vFN

J5J

____DHH/)a()llll_)2_e(Lenllll2_c__on__ )d (1_l f)4 __E/)) 4l(_n__ ))_ _prop0slclo_n(es___2)_ (_ _ 2)_ _

Prob Iema__e Iectos '_ ...............,

_ Sabiendoqueel_eadeunare_ónsombreada _ De las siguientes proposiciones, indique(S), de la figura l, se calcWa por la expresión cuántas son conectas.µarctanµ-Ln _ I. si _ccosx, <a_cosx, _ x, <x2y y___, YII. arcsen - +arccos - =-,,,__,_,__0__0,'__,__,_0,_.____00_0_,______,'_''_'__,____0_0_'_'_0__,,_'_0__0 ! '''__''i'_^_'''0_'____._____^i_____'0__i0^' _ X...,..0,.,..0 _,_D __0..__,.._,?__._'_,__.0'_0.__'0.____.,.'_.,,,_.__. _ _'..S.,,,,._,. _,. __'_ __._ _D_,_,_000..__,_,__.,d'_,.,_.__i.__..00_ _, __,,.'__,., tyl___M __, ,,,.,_,D_0dD,.,D,,,,0,,,., ,_ _I_. arc_, se_ -__n arc_nx ,_xeio_'_''0__'''_'_""'_'^_'_'_'^'_"__''i_'_'__"_'''0_ x _ ''_'_'^'^0__''0___^_''''''_'^'I_ Si x, < x2 _ arc_cx_ > arc_cx2m__ 1 m__2_x, ;x2 _ _l_+_)ulcule el _ea de la reglón sombreada de lafigura 2.A) Nin_na es canectaA Ln_ B ____ B)12 C) 2C) n-2Ln_ D)3E)Todas

.unto de losv_o,es de _afunc._o/n _7. Determine la suma de cuadrados de lassoluciones de la ecuación/(x) = cos2 (arc se_) + _n2 (arc cos xX 1CarCSen - +afCCOtX=-_n) _O;l_ B) _l;2] C) O;-4n) o B) 3 c) 6D) O;- 2 E)_o;2J D)2 E)q

_ Si arcsenx< arcseny< arcsenz diga laaeefan90 eaUnClOnvalidez o falsedad de las siguientesX = aCCSenX + arCCOSX _ _I. x<y<zA) _-5n;-nJ B) _O;nI C) _O;5nJ 1_. se_<seny< se_D) _n;6nJ E) {_;5_J IIT. arctanx<arctany<arctanzI_ tanz<tany<tanx_ CaIcule tas coordenadas del punto, hl que et_fico de J intercep_ _ eie X. A) _F B) v_F c) ___+e,c_s 2x _a,c_n x2__ D)__ E) V_2_9. _Cuánto vale ef área de la regiónA) (l - _ ; O) comprendida por la inecuación siguiente7.B) (1+_;o) x xarc cos -- < _ < 3Tc + arc sen -1.o 5 _22B u2c u2__+_.o) AD !) '_ Zg _ 5 û _ E) 4,u2

J5a

__ _ ____2l_aEr_c__u_lc+_2______xl_3___x_ _32 3N q55 HADhg_)))__(x_ea)_Jr__ecltsvaeannlqo_(fs5ede8_nxenB_)_J_cs_cx)_5clo7tqc_(s))enx_J__7cs_2c3lx9)

.............,. .__ Tri_onometría

_.Resuelva _Calculearc_n x + ar_an tl - x ) = 2 a_c_n _ _c_s (l - 8 cos2 x + 8 cos4 x)

l l ln)t-2 B)-2 C)--2D)1 E) _1 A) l B) 2 C) -2D) 4 E) 8.ReSUelVa3 1c> _ _arCCOS -XCOS - _-COS- _33n +a,ccos_s46nn) -4__x_8B) -85x_82n 3n 4nC) __sxs8 7 7 7D)-4_<_x<_4_ D_5, E_6nEt Q_sx_8__. Determine el v_or deCalcWe el número de soluciones de la ecuaciónX _ a= 2q_c_n_+8arc ten_+4arctan_

A) 3 B) 2 C) l , 3,D)Q E)cero A)j B)4 C)__. La expresión equjvafente de 3n-2 E) 2n2 e5457. Halle el rango de la si_iente función

A) sen -arcsenx_ A) Range[2;+_)B) cos -arcsenxB) Rang_(2;+_)1an -arCSenxc) Rang__Q;+_)1COt -arCSe_ D) Rang e (4 ; +_)E) Hay dos respuestas. E) Rang_ (-_; +_)

_A__BcD))))_______cll_ll_|__2222_____xhhk___l_tllfJ_t_(__l Jt(((x((4_)h_+___l_)))))__222________f__ _ ___ _____t__ _l|__|__ _|| c AcDEo))))n________s__o_12od__33ett_r__e((_t__o+___)_((_____))((_)_)() 3 )

Prob Iemas SeIectos '_............... ,

q& Grafique la función/(x)_3_senx]-Q_cosx] C) --g_ 3 - (O _ 1)

-l8

_t_-r_ _-r-_ _t-r-_ E1___,_, t____;, !,_!!!, -g'3-O'

X _;;;X ;;;;X_, q_: _, l. ,_ _, _ a, ,! _, _ _I. Halle el conjunto de velores de la función

D) E) v 2senxX --Y Y senx+cosx_-r_ _-r_, n<x_-, _,__, ! ! ,!! -3X ;;_;X_. :____ !, :! !__!2__59. Halle el dominio máxjmo de la funcjón 3_Sen X--_ 4 B) _ ; +_ -senx+ cosx

siademás ke_,_d". _2nn_ 4h+l_Z;+_-__; 4h+l-_n ' 2_; 4h-1-

_ _ Sea la funcjón defjnide de la siguiente2manera en el inteNalo -- S x S O ; J(x) ---x;n ' 2n; Qh+l-3y en e InteNaO OSXS-; X Se elne_. Dete_ine el rango de la funciónsen3x como J(x)�x; además /(x) tiene un períodoX�_ .ta_+2senx l_Ual a 3-2_ _aICUle J cot- + / 4sen- .A) _1 .3 _(__) 45 68'1 A) O B) 2 C) 9g ' D) -9 E) 5

J56

_AsD_Bc_)))) _____222 (_____) (((_))l(((l_)l | fll\)/ _ c ( _)7 q68 DEcD)))) 32l3 l23J__6___/_6____l _ E) _26 cosx

. ,........... ...N/ Trigonomet_ía

463. De la figura, halle el dominio y rango fcilaciones _figonométficasrespe_vamente de G(x).y a66. Resuetva 2sen(cos2x)= l , ne _8_'''''.; G(x);_ - - - _

! - - - - -! '! A,,+ n---!,--_;-'--_r---- - 6

; ;Y=_os(__o_) B 1 nnnt -aICCOS -! ; X_n_t -,_;2_ - n ; -_;nnTctarCCOS -1l_;2_ - _ ;_;TCtaICCOS -n_;2_; -_;

467. _Cuántes soluciones tiene la ecuaciónD) _2;2n;i-_;1)cosx=_ ?

E, (n.2, .( _.l) _\2''' A)5o B)6o c)JoD) 8o E) 9o

_ Elpunto A�(a;h2-h+l) perteneceala. Al resolver la ecuación x3 - 3x - 1 = O sefunción y=tanx , y B�(ß;h2+h-1) obtiene comora__s x, ; x, ., x3. c_culeelpertenece a la función cotangente. 3, valorde _arcsen-,x,la+ß=-_CaCUe =SeCha- ; t-_Z -k__.n)-_g B)__o c)__gA)+_1 B)-_Ct_+_1l _5 _g g'-2 E) '3469. Dada la siNiente ecuación _igonomé_ica465. Dado ,,,qx _ cos 4x + 6se_ = se,2x + cos 2x + 63 + s3x_Asen x +B n x cu as solucion13nelle A .J, +B .J, -_<X1<X2...<X,<-, determine el3 6_x, -n'_"- B)_ )_ X6

lJ_ 10n Atl2 B)4 C)l6D) _24 E) _24

357

g_7_ AsAD_)))2 Tck(__ ++__4n )_ _B) __E_)+2__4___ _ cD)) _(_6( s)en _x_+t)_se4ln2 ___(x2(+435 )___)_l 2 ( ca)

P_b Iemas _eI_tot '_............... ,

_7_ Resuelva la ecuación 47_ Resuetva__ 2 + 2 7 q

CalcuIe la suma de solucianes para

xE[O;2nJ. 4 h _+l)-

A)n B)2n C)3n1fD)4, E)5, B) 2_U_+-

_7l.Resuelva 1ck

_ senx + co,x __ ta,x + cotx 2

1IU1JE+-_ 7Ig-4 3 QE)_C) 4h_+(-l)h- 4n

4_ De la ecuación _'gonom_icaD) 2hnt- E)2hn+-4 q oQ_ Resuelva la ecuación indique la suma de sw b_ menor_ solucion_sen3x + sen2x + senx = cos 3x + cos 2x + cas x positivas.

Un conjunto solución es (h_ Z)n) 270o B) 54oo C)630oD) 72oo E)8loon B)_+n c)2_+n8 2 8 - 4 __ Resuelva la s;gu;ente ec,,c;ón b;gonoméb;

n nnh+- +- tan X-4 g _+Q_ =tan 3xtan2x_tx-tanx _tx-3_nx

_ d_ / siendok_Zt x_ _ x2 SOn aS faíCeS e a eCUaClOn

8_n_(l- _an2_)x sen3__n5_+l=_q .xsec _ A) 2hTctartCOS-

halle un conjunto para _ que veri Fique Ia

s,_gu,_e,te ,_gualded x-2 ,_2 _ 1. h , g B, + 1l2-_ ' _-arCSen-

_ kn n_+- -+- h_+8 -arC""4

hn n-+- D) hn+_cse4 l6 -

_ kn_ E)h+ t _h_+- E) -+- __afCCO -Q 32 l6

358

_478BcDERAc0xt)es)))))____u(_(_y_t4___e2320o__l_nnnnvat_t___(202b_hc__40+_4oelhn)__)3s__)_te3__ma(__(__t_tt_ttb__)_3)__tt_BE_tt))tt___2__o__1(_l_l))o DEBc_co))))nsxxxxxyxy____+_+_______tset_6tTc66_666o__nt++yy_a_2a2ar__r__crucc_moocos5(sm(22mt2(m(t(y2_t2_t_yl_l___6))l__))6)))e+factrco_cosat_2.....,....... ...%_ rNgonometría_. HaUe la soluci6n del i_ema _ _ _ lA) x=-3+-2ar0s20 ;y=-3--2__2a_n(a + x) + _n(a + y) + sena = O__o x qn larccos2,. _ 2n+ 5yendo a una_nstante, nyk _Z.A) (2nn;2kn)7n ar_os,. _n_.+2_ 7n a _ 02_ 2n+- _3 i -3 _. Resuelva el sistema de ecuaciones _l que2_ .2_+Zn. sabiendo adem_ que O _ X + _ < -z

A) x=arccost2m'-1)(b-0) 2a _ (2 y=arccos(2m2-l)anY=_+_- ......b+a a-_n+ l__os(_2tanx = - .......................... (3)_n la,ccos(2m2n. n 3n. n3n .n3_. n 3_. nlO ' 4 lO ' 8 D x_ _+ l_ccosrm2479. Calcule las soluciones del sistema que _ l \,.sf,cen __ cond_-c._ones _=---arccos m -l)l o 2nSen X-COS Y=a;--<0< _ X+_=- _ _ l z/ n _x< 7n . -_< < n _ n la_ccos m2

q&_tanAcDRB(_)))) hh32222oo)_(l4ho22_85 h222g)_522_(o_o_h Bh)_hggJ5_h g) DcD4)l))_c_4____5(( 12)BJ_5 9c ())_Ec_)_)J 2_ 2x

ProbIemas teleitos '__

48l. Siendo a y ß lesva_eblesan_Ieresfesuelve _ Determine la suma de sotuciones, en lael sjgujente sistema S1_Ulente eCUaClOi_

_ __^2o "'''''+--'-'-''''-''"''' COS aTcse_-aTccOSX =-

0ana=-

1__ _-0 A) _ B) -an_=_ f_+_ ' '_3, h, h, _ 2A) -+- ; -+- ; heZl+_-_ _) l__-_n k_ h_ _ 2 ' 2-+- ' --- ; k_40 2 ' 2 2485. N reso1ver Ia ec!_e__i__ n ki_ona__�_ica_ _ hTc 7c-+-; _-_ ; _'O' X+2 ' 'O' ' __indique la menor s__ución posi_va._ hn _n-- _ ---: _

4n 2n _E) h,+_. _h __ ., h_ _,,,,,__ A) _5 ) M5 ) _58 ' 4 l0n 2nD) - E) -esuelva la si_iente ecuación _ 5

2_n 1 + tana ' 1 - ia_. 25' \( 1 + tan 35^3 l-tana - 1+tan25_ (l__n35o/ __ Resuelva

_ __arC_n _ aC_nx taC_ _n _C__ =-__ n_+-; _,8' ' _+-; _36 Halle la suma de l_s dos primer2s soIucior_eshn n _OSltlVaS.C) --- ; h__,,__'

x, , k, _ A) _ B) 2n C) 3nD)---;h__ E)-4--g;h___ 67c

483. A1 reso7veT la ecuación _. Al reso1ver se tiene por soIl_ciones a_ _3__ r_ l' _logl , (senx)=-- 2 _ O<x<n8'_cuáf es la diferencia en_e el mau_or y menor A) (t,n Jo. t_6Jo. t,nl2Jovafordex?o. o_

_n B _ c 3n C) {tan7030' ; tan67030' _ _nl27030_'Q 2 4D) {tan5030'; tan65'30' ; tan l25030'_j_ 2nD) 6 E) 3 E) (sen5 _ sen650 ; senî25^}

J6O

__ AADDBcD)_)t)J)d__h(212__k4l (4h_)_6h+_ 2_h_2_gg_ ___4_ _4_ _ABcDED)))))))_____(((_44h(982_hh__22)oh)3o33))_6_26_8_9(+2h22k_(_t__) 3_J__ esun

............... .__ TrFgonometría

488. HaJleelva1orde a aproximadamente,ap_i Q9l. lndique lasotución gener_ dey apar6ide la

de la si_iente ecuación si_iente ecuación

_ _sen (4h+l)- efCCOSX--efcten _ 2sen_-3=_; ke_3a 4 _sen_+ l] n_arc se_sen-�_ Q2 arccot(l,8J5)

_ 1 _ 2_l_nOn e _ o Y afCSen c <a<- A) + -+__

_nlOTC _+l -+-B) __5TC 7I_' 2002)-+-

c ) __ghn+n_ 3 -49

Et No cxis'_e v_oc __no p_a a 4_ Helle la soluc._o,n geneT,_ p,,, _ sl.

número re_ peTteneciente al tercer cuadrante,. aaaeCUaClOn_ ad_més _ verjfica _vqen2a __ tan ß + i _ __22 (_0160 2_0_c -+-= tan--sec -+-

in_ique 1,e soluci_n genera1 9_ 11_' -+ _;-+h_

_TE/ h_+ -_ _;h__ B _n+2__.__8 '8

__--;__ 3_ 5JT6 C) 2h_+-'2k_+-4' 61T1T_-; _12 _ _+l,_+-; +1_+-__ 1T+1J-+- _h_4 8E) (2_! +l)_+_ _,(\2h+l)_+__,_ _ 8 4Ej(4h+1J--__; _

493. Resuelva la ecuación siguiente

490. Resuetva !a siNiente ecuación2_o2X_ 2OO2X_COS --__- -Sen -+- =2x-2 __J '(_aTCSeC =aTCtan ' ' ' '2xj l

_é como Tes_u,ste ta sume de sot_cion,s _ _ \ _' _--, _ _-- /_"-_ �

A)2 _)3 C)4 D3h n ___- E) 3hn--í __ 6

36l

_AcDBEse)))))n(_(___r444(o3_2) _3244_4_4Jom _(_ )__ l)) cED)))(_____c_((_((2____3_______)2_J)_((oo()(o)__)())((_ )2) _1c))))

P______.fl_oi '

_ _ _aci6n cuy_ raí_ son tan2__ tan8O'_n___ e, C) _+q_ms(l-_) ;-2 +-2-a__(1-_)

3 1 o _)_l (2)_1x +x - x+ = --aM_ a _ +-Y_0s 0

B) x3+3_x'-3x-_=OE) -2 --2 a_s(l -_) _-2 +_a_s(l-_)Cxt+ 1+ + __O

_) x3+3_x2-3x+Jt=O _. Resuelva la inecua�ión _nZx+_nx>O

3 2 __x+ x+x+ = y--<x<-

_, Resuelva la desigualdad

1l1C 7I nJI5xcosx cos5xtenx_ . 1<m_o A) --;- U ;- V -_-- --4'- 34 4 32

_ nn nSi X_ ;- B) --_-- u O_-Q' l2 '3

_ n 1l __arc Senm _ -afCSenm -- _ -- U ' - U -- ' -' _ 'Q 3'

l n 1-afC_nm ; ---a_C5enm n n3'3

l 3n l-arC_n(m) _ ---afCSen m n n3'3

n l n l---__i5enm _ -+-aCC_nm4 4 2 & g_.Resuelvaasenx_bco,x<o,,x_ (_.,2

n n adem_t 0b>O_E) --_csenm ; -+arcsenm

0 bA) -bi-4& lndique para qué valores de x _ váIida la _igualdad siguientedg) arctan-+n:2_'l 4 2 Q s i2b b=O _,+_ 1 ;+_2 _,+_3 ;... c) arctan- ; 2n-4rctan-O O

hn l kn n 1 b 2 b-+-_ccos(20);-+---_ccos20 D) _;_tarC_n- U _-afC_n-;2n0 0

h_ l kn n l (_2) b- + - afCCOS(l - 20 - _ + - - - arC - _ _ +2 4 ' 2 2 Q arCan0'

3_t

_____A2DcEBoou)))N2________6466_____ 20o2)364_66_e )________22_2 ___) _ _ten(EAcDB__l)))))n(______hc__(24_+((__98t)_2)_n22)8(__)98_______2)(__cg__ot____94____n(_)J_)

..........,... .,_/ Tri,_on_m_trí_

_. Resuelva la inecua�ión _l- Resuelva la siguiente ecuaci�n r_cb del+_n _ ,x 'a_ Stl 8 P__e_Um_t _9Ut'efV_Orre__t_> -2 admis;bl+_tX -_CX2 ct ldonde h__O _ _tl ; +_2;... _+ + + ^^_ Y _ _

donde t_Z.A) x_ -+2__-3 +2_ - -2+2_kn. (2t+_)nn23n2h_z_ 2' 4x_-+h_;-+ 1c--+ _

n+1-i2ht1 _n 5n n2_ 2X_-+2hn_-+2hn--+ nn._+2n (Qk+_)n7_ 1l_ 3_ 8' 9 8D) xe -+2tcn;-+2_ - -+2hnnh2n ( _)n1c+-;_+-- Qh+ -5n 7nX_ -+2hTc;-+2k1c -(1ct2k_hnnhn3n ( )n_+-i_+-- 2k+1-_. _ la si_i�nte ealación

5O_ Resuelva la siguiente ecuaci6n_,,_ _ a+2_l-__ a-2__2__'_ = X X X X__ _ 2_2 2_ 2_'-v_o _ _c__+a__(a-__)___ +sen 2_3- =_l___a,_a_(_n_COt_)J

e in_que la solu_ón _neral para ß.indique la soluci6n gener_ (he Z)

_ +nh_ A) 4h+l-_-;ken)-4

_n 7I_ B) h1E+ -l) -+--h_-g 4 3'

n _+2001- ) _+-;h_2

hn-2 Dt 2h_t-+(-l)'_;h__

1l+1 1Tt-7Ct-;

36_

_AcDBEcDB))))))))x____(e_c_c(_2s_Tce_nx_)Jv2r>L___cc2o2_s_x2___>__t__a_J_3_/nx2 2 3_J AcDE))))_______(c_cccro5__J_____t3_________9_tEJ_2l_)JJ_____(c_JJ_Jo2J)c(_J_2(5n4(t__J(J(4)t_)(_)__)))

ProbIemas SeIectos , '

503. Para qué valores de x es válida la siguiente entonces la _necuac_ón /(x) >_ g(x) es vá__d

inecuación J(x) > g(x), si x e _O ; 2_J ' en el inte_alo

/(x)=_l+cos2x +_l-cos2x yA) ar_an-2 ;n-arctan-2 u(n;2n)- -_g(x)�_l- sen_x _

n l 5n7n 3n;-+arCtan- U-;- -

í� 31iXe -;__!-; _C) arctan-2 ;n-ar_an-2 u(n;2n)- _4 ;_q

_3_ 1 1nl lx_ -'- V -_rCSe_-----arCSe_- n n2' 2 2 3 ' 2 2 3 ;_-arctan- U n; n - - ;-

3_ l l 5n7n 3x_ 0;_ U - ; 2Tc erctan-;n-ar_an- u -:- -_2 2 2 4 4 2

_n 1 _n 7_ _ Resu,_ve f, s,, u.,en,e ,.n,c,,c.,o/2'J 4'4arcsenx > arccosx > arctanxn l ln1 1X_ - ; _ U -arC Sen- ; ---aTCSen-

__ B) __-12' 2' 2_ Resuelva la inecuación definida en__2' 2

n n _-1\ _ __-;__-arCSen_ D)__1 E)-'22 2 2 ' Q' 2

_ - l n 5O7 Determine Jos números comple_os expresadosarCSen_ ;- 'en forma kigonomékica que veri_ica

3i _ __2OO3

_-l n ' -arcsen_ _-2 4 a4_3 4k_A) - cis_;h=O;l;_-1 3 3_-afCSen_ ; JT'B) -^ cis__;k=O;1;2n_ ,_-1 -2' 2 13_3 2h_- CIS_ _ = ; _2 3505. Sean las funciones definidas por -'-SenX+ SenX ' SlXe ' n _ D) - cis - ;h=O_1;2

lcosxl ; sixe (O ;_)g (x )= 2_\ _3ltanxl-l;sixe(n;2_) E) - cis_^ ;h=O;1;2

36_

5_oc_9___)_______0__0(D0t__l_0__,____t__,____)__\'___d__00_______%2o___oe1_______%________(0(_/l()y__)____(__________a_8_d_________0___\____d__ _)_4xxvD)__)D__z_____0_f00oo_______0_________0_______Et_0_t)(__2___L)_________/_______a___________\___0___)_l_xl c_0____) _AA_________)_)____________l________________ h2'(_l_/____________m_________________________^_________________6___ct,___^___0__________,_________________^_,_______,_0_o_a_,__0_,_,___________,_____B___B_)y) 0 _0__________k__2________0__0_g_0__mv_0_0_0___0__v___0_____________c__c60______________) l____________ __0_0____0___0_______,_)______________________J__xJ

, , , , _ _ , , , N _ , _. _ __/ ' Trigonometría

_8_ Represente geomékicamente la región que 51l. Reduz_deteTmine el siguiente conjunto de números gcomplejos arg (z'O'Z) 2arCCOS&e (_(2)) 2 (g ( ) _ a r g z. c o s ( _e (z)-e S t\ tan m n2 5 j M=cos ln_m (z)

A) y B) y siendoz= x+ i

_,_'_,'___9t m - - -_.__, ,__%__,_'_,_,%'___,o',___'___,__'_,_,__,,_,,___,_o ___,__� ,,_,,,__,._ _; ___ ' _0 0 _ _ _, _ ' _ __ ' : ' __, _ _ m i __ j _ _ _ % _ ^ %, ^ _, ^ _ ^ ^ ^' ^ ' __ ^_ ^ ^ ^ ^ ^ ^_ ^ %, ^ ^_ ^_ ^ ^ '_ ^o ' _._ _ - _,: '_ _! ____ _ _ __ _' _ _ _ ___ ___ ,___, '___ __ _ '_ _ ______9__.__'.. _o!_,_' ____ O_,0,,_^__ _',,,,,,__'d,'g..,,.. F____,__-__.._.:_.-5.,_.. _a,m.__^_, _,__oo _:___..,___.__m,___ ^_ ^^_^____ ^_^'_^o _o_ _... _;0.__ q, - t -e _ ________ ;_ _, ;: __ !,_,_0 8 __, __ _,__,__,,,_, __,_ _,__,_,,_ __,,,_,_____,0'__,,___ ___,,___,,,%___,%,__ ' _' ' _ '_:_ '_,____. :_ :_ __ __ __;__;. __ _ _-- __; : : ' ___ ____;_; __ '_ ,;%0 __ _ _0_ ' x _ _:____. 5, _@: ,_ _5. _ _ :,',_. _ _ ._ _ ____, :,____,_' _'' , '_' __ ' ^ 0' x 2_''__.^_'_..%a^_^,^^_,^_'','_^',_'^^,^',^%^',^^'',_,^^'_,'_,_^^'^^,^^'__^^,''^^'__^^''_^^'__^''^^'^__^^^ _ __''_____'_-'__;__.,_9!_,___o'.____0_,__ _________.__._,__ _'_,y_,,,,,____',o_'_._,_,__00 D) l E) 2

5l_ _ equivalente de la si_iente expr_ión

Y 2sen ieS^_,._ _ _ _ _ _,...,._,o0_'_ _ ICOSi+ Seni

____ ,,__,_,__0_0'__m_, __^'_'^_^'_____,_______0_ 2 2 -2__._.___ ____o_,a,__,_',,0,, -e e -e--- ,,,,__''-- --''__-00,,o.,.,--- D) l+e E) l

513, Graf_que el conjunto de números complejosY que verifican

'\\ /'' ' ,_,_.D_v___0^^_0'^0__'_',__.a__,,,,^,,, ,,___,,__%__^L,,. R= z=x+iy/&e(2)_m(z)>1 ;0,_,,,_,,_,_,,_ _0a___,'_,'_ '^_,, ^,_,_ '____,_,^a_,^, ____5;____. . __ _ __' ' '' ' 0' _' _ _ _ _c_ _ ' _g_ '_0 ^ _ _ _ _ ___ _' _ ,_^ ^_''_^,a.,, 9 _. _ _0a,aaa ___,,, __ __ _ __ 0__.., _ ____,_ _ ' ' ___ _ _^___,^^ ^___^^_^'_^^_^'___'__,_^^'_,,___'_^,,_^ _'0_ m_ - __ _ _ _' _ ' -____ ' _ _ ' _ _ _ ' _ '0 _' _ _ _ : _ ___ _ .____%a_o_, , _ ____^___________^_^_ 0%n_ ' i' '''~ ____n_^_n____a%,____'%,',,_,,,_,_,___,____'_^_'' '__æ _________=________i' _^ ' _,_D__,_0__,,_,_,,00,._,_,__,_,__00___0, g_,0__0____0_:_@___ _'_n___ .__ '' _'_,_,_0,_,,___a___%___,,__,__,__,,__,_,__,',___,,',,,__,,,'_,___,,,'_,___,,'_,,___,,'_,,,__,_,_,,__,_,,__,,_,,__v,_'_,_,,i_,,_jg.___/ \ ^'_0__00__,_a_'P_',__0o_^_%,P_,0_0_P0_^_'_,sM___ -"''' ^^_^_^^^^^_^^^'^^',__^^^__^^''_,^^'__'_^^'^',^^''___^'''_^V'___'_^'0^_,_^__^__^,'__0o___% - - - S arg (2) < - + -, h _ _/ \\ _,__.5__ _'0_____._L,_%%O

_,_,,,,,,,,,,,,,,o.,_,,,,_,.Y ^ y__'^,_%,,_,,__,,,,0_0_ n lqUe Vef a erO ( O O (F) _�ún _^^''^__^^'^^'^_^^'__,g^^_^^'^^^^'^^^_^v_,______,___:'___;,_,_..__,,_.____;;. _':.^_.._..^._,_"v.__.:'__'corresponda en _da proposición. _'_':0_'___... _______ ,,,,,,,,,,,,,_,_,,,,__,,,__^__'_0_,_,'___''_,,'__..__,_____,_ \\ // __n'_^_^^'_^^_^,_^_o'__^^__^,,,^^a___,'__^o%___^_^,_,___^^_%l. Sj eU = i + l _ '_"'^"""""i"''_''~''"'^ _ 8__,__,________,__^,8___v___ __n-_______ ,_'_' X __v_,,_____,________'___v__;_._;_:-__:_ //_ XJT ______o. ____^^,__'0__ ,___.Z � n+ -; t1_ _ m Z �- n __:_:._'_,__,80__,_,_,,_ _'_e___:__. __,_,,.__ __ ___,o__ %0,__,_,,_,a_,,__,_,,_,_,,_,,, _ ,;_.,

JTZ. Ogz�Y,_ ,,_._.,_,,,_..,.,

lIl. Si z _ _ _ Ln ( l e' 1) =_e (z) '_,___._..___m____;;^_,,'____,,,__,,'__,___%__''_^^,'',^^''a_,,_'''^^''^^,'_,,''__^a_"

A) FN B) wF c)vmJ ---;..;.,.,_..,.,......,_/__ x

D ) NV E) VW _?:_.^_.'_,_',!_,'___? _'u'_'__'_'''',_ _.__,,8_,______0j'_''_''_'''_'',' '''''' !,

5lO. Redwca la expresión D) E).,..,..,.,,, y Y(l + i_) 2 O O Z (cos g + i sen g)3 ' __''''_'_'m_''''''_'''''''_:_,_''''_:_'''__''''_''''_''''''': _?_'','_' i_'_i__,__,_~__ _"' '=_ ____;_'_! /,__/ ____.:,____.____./'r 5_+- _'_-_?// :_'__'''__; /__.;____ __:,i_1-i) (cos0_isen0) e 3J \ ,/ ..._'/_..._....-...._;._...._._,,,_..,_..n....,,_.'___:._m,..:..,..__.',::'_..._.,,,,//\ x _.;yv_M_,_____i'___'_'',_':''__'_._/''__.../_'--0.._ ____Y__,,,._.____', e.._:__i,,:;A) 2lO02 B) 2l_ C) 22002 /_'/ ..'_._,'__'n;\ ,/'_' _._;.._.______m__.__'2OOo 2oo4 f'__;.! ' _t _'' :,_' \ ,,,^^_8_,_____^____ _.-__5_,i_?_'_m___'_',_'_,__ ' %'^'^'''a'_''?'''

365

_BcDEB)))))) _tot_(aEtnatn____a2_4(_a2 +2_1c4___ 1 __ )n_ 8E) LaNegry(_c__oma_sF1txce2a_+fdo_le__s_ez_(_ce2_>_sl_o_lt__m__st0e_p<_yl_earJ_9_o_(mzs+n_l)<t___5588nn))__

P___m___lect__ 'M,.,............,

5__ _abiendo que 2e_ y Ialc _2, adem_s A) w= _--re''_e_/l2t_ _ n_ l2+l+ i l> 1 _ O _ argz_l-2z=Sena+it05a_ cacule ,B) w= (z= re__e _/lzl__nlz+ i-ll> 1C) w= (2= re'';_ _/l_ l__n li+ i+l _>1D) w= 2_re'';e_/l2l-ls_ n

_ a4-j E) w__ ,__,eJ8 .__/ 2 _l>_ a lz+ 1-it_ l _O_ _(z+ l)_COt -+-

51T. EI módulo de z = _sx + i_ny es iguaI a l ,61_ Red_ la Si_i_te __SiÓn _fa n_ Z _ do,d __ R ) n n __ (,).__(l+ i_nx)" + (1_i_nx)n lndique la pro_sición incomcta.l+icotx)"+(1-i_txA) sen(x+y) puede@i_al a l.A) tann x B) x e y pueden _r cote_in_es._ C) cos(y-x) puedeseri_alal.-1)"'tan^xD) _n(y-x) 5olamenteesiguala 1.C)tannx /D) (-l)"_t'x _mE) ntanx51_ jA qué conjunto de n_meros complejos w _corTesponde la región sombieada? 0__ 02 Ieson cenkos. 02(-1 ; 1)

,,..; _00 ' ' _ _ _ _ _ : _0, _. _ g0 ^ _ _,o __0 ^ ' _ _, ' _ _ ^ _ 0 _ _ _ _ _ _o _, _ ' ^ao,0, _,,,o _ _ _ _, i ? _, _ _ i _ _ ' '. ' ,,: _,.. ' ' , _ : ' ,, ' ' ' _. : _ _ ' ' _, ' ' ! v ' _. _ , _ ' ' ' ' _-_ - - - :_ _, - _- _ __ _ - : - - -4_ _ - - -__ - = _ - --, - - - -_ - _ - - :__ - : - - : -_ _ - ; :; - - - _ - - - -- - _ _ - -- _ -_ _ ' _ , _ ' ' ' _., :, ' _ ' _ ' , : ' , : _ _ , :; _ ,.. xD) 1o E) 11_66

_A__D_)()00yLn) _(________ _) f _E_)0 _ Ec___)) 22_(____ )___ r_t__23__vq__Mg2_0/qrv_l_yv_2g2 (l__t__) vm___x__n__

_' T_i_on_metría

5_9. s_endo z,_ z2 _ _ , además x _ el _lo Xl. H_e la __e r_ del nÚm_ COmPbJOA 2_o +3__compTendido en_e los módulos de z, y 22, W = e - e e_a_ique0 0CO520COS -SeC-_e (z, j2 )+ _m (2, z2) +_X=2_�2B) cas20cos3-2sen-2O<x52_

20COS05en -n) B)Y YD) 2cos20cos3-2_c-

X X 0 0Sen20Sen -SeC-c)

522. La reglón descnta por argz, dOnde _ = x + iY,___ t___,__ _ _ _ s_nq ;n_y

X __ nq?,__nX__'v__ '

Xy Y

0 entonces fa región d___ por arg(z3") es_ox XA) B)__W__Y ' YY:m,4_n_

52O. Siendo z__, halle el equivalente de 0 x n____ 0h_ __~_NX/, ___ccos,. X,M_

_+ i_ C)l- iz Y

X+z 0Inl-z

c) Ln (z+ _)

Y YD) Ln z+X 0 X

E) t_ Ln(z+_)

367

__cmcf)e)d__2l_lna_nlt3_e__2_la 3ecuac3l_o_nE x2_n3+_x3n)+l__o t tA_Ac_____)__)__)__________0___o_________________________c0000____A____f__o______q___________________________0___s____________(1_lxl__(_________+_________ct_ll__t___y____________________________p_____l__________ll_y_)_cy____________))J B__________)________________________________________________ x________________________________0_____t____________________0_____0______________________ p___________________________ J0s

Pro_lema_ __ Iecto_ '_................

_ Al resolver la siguiente ecuaci6n A) I y IItrigonométricat indique un conjunto B) __ __ y I_lsolución c) _, __, N y v(cosx+ isenx)(cos2x+ isen2x) D) l_ lI YE) todas son correctas(cos3x + isen3x) ... (tosnx + isennx) = lsiendo k= ,.. -l_ O_ l t 2 5_ Halle el equiva1ente def = cosh(x)cosh(y)+ senh(x)senh(y)4h 4hnA) _n(n+_j B) _n(n+_j1 ' 8) cosh(x-n_n+ lC)_nh(x+y)n(n+l) n(n+lD)_2k E)_2h n _)senhx_E) cosh(x+_)redu_a _ Gran ue e_ co,.unto de nu,meros _m le,n 4n 7_ (3n - 2)n q,e veF;fl_n el con_u,to R ,;=_S_COS_COS_...COS__ n n nR={z = x+ y�/arg(e'_' )>O }A) _jn B) __tj1 _.;,,;,,;,_,,,,,,;,_000;____,,.,.;-.--,.-.---!, _, ..._;.,.._..,..,.,..,,.,,..'Y.-;;_...-.-;;-.v_.-_..,,___,,_,, .,--;.--;;;;.-;;----

_ _ ____,?'''__;_,,''_::____'''_:__,__;,_.::._ì.X _^____;_____'___-_.__ '''':''::'''_''_'',._,''::__,'__ ,_,_..,:,.D)_2, )_,_j ;' '':'' ';.'; '' _.' '''. :' _''''' ''' ,;;_= 'g,''' __,;n__ '''.. ;_-_-;-;--;_-___-__-;;_-_-;-;__---_ __-;; __-..: '''_. ' "' '''-' ''

_t Sabiendo queZ_= _ i ' _ Z2=X+ iY _ 23= i ' _ '__:_--- _-; �' _' '''_-_ _--_----;senale la proposición co_ec_ _ ''' _ ,.4_ _ ;'''I. senz_=l _''_'_,'''''''_':'',;__,''__ì'^':______:::'II. cos2_�0_I_. _m (eza) = ex'-_2 sen 2xI_ l z3 l = e' '- _0' -==---_-------_---------------------__'''''' ''''_---. ------_-.-----s ' ___:_________''_--=_==-_=--_---_---;----::=---------------------------. ._,_'__''___:_V. _e (Z2 )--e ~SenY

368

_AcDB)))) k22h_hL______436_ __ (___4_J_ _ _)_____D/_h___2______\_____________________+___________________________l_________\_/_________________2___________ E)_s_e__2___n________k____n_____________________________________________________________________________________________)_________D_______L_ q_2____

' Tri_0nometría

528. Dete_ine et ar_mento del número comptejo A) B)z � x + i_ si se verifica: Y Y__ . _coshx+ isenxi=2 __ '_'''''''\___.__._.''''__,. x _ xSen_l+ICOS _= l \__''_'_:__..,_..___/_

3n_+-Y1_+0rC sen -' //' X_ ____ 'nt-

__+-D) E)Y YE)ZkTc+- ,.._.._.;__._ . _'':' _._

_s_,_......., ''_'.__x '.__'..:.'''_:'_;:_;.:;..,:.:..._.,..._...:.__.;:.__.,,_,,.,../_ x5_. Dete_ine 1os v_ores de lnz si z = x + iy; ''' '_ "que verifica la condición(l - i) sen (lnz) = cos (_z) - l 53l. Dete_ine el con)unto de núme_os compfeJosz tal que se verif_ca h _ _,__''' ;

-i + __ 2i i - cos h (2_) - i (sen 2z + 2-l n_l-2i

,.+_ A) hn B) hn+LnZB) iln1-iC) -+Ln (4)C) iLn(2'-l) óO,.+_ D h_D)iLn__ 2 n _ n-l

' J__+ j,, _ ,_ 532. Determine los valores que toma Ia ex_resiónE) Ln+i K_2sen cos(xI,) _cos2

xe(-1;InlO) y i�_. Identifique la _áfica de la siguiente ex_resión

R-" (ze _/_m'z'-_e3 (z}>-O _ I z l<_h; n) ro; 2_ B) r-2 _, 2JJT-5 arg(5ih) Sn C) t-1-, l J

Adem�s hc__ _+. D) _-4; 4l E) _O ; 4l

369

_BcDEABc)))_)))) 2u22____4__c(_2cngg_(hsne(ns_Lne(nn2gg___J2__s)en_ngg)) _ D8c__)))___LL_____________________________________________y_____________________________________________________________ly_ 0_ _xz2 _E_)___________________________________________________________________________________>_y

ProbIemas Se Iectos '_............... ,

__ _+z+_2 +z3 +z4 + +z_ y y

Halle el equivalente de i___:_;__..,, 0,,... .=_ w+w '''i_______:_'_''^'' _ .n=l

A _c2_ (n+1)seng_senn0)

1 2g( g( _) g) ._'.'_'',.._Sen csCn-n+_C .,.....,'':.'__

l _-UC 0 Sen0-n Sen

__''''''''''.''':''''.?'''_:'_.'''_'''''''''_'_'''''' __;i'_'_____c___'_';:__________ 0'_2_ _ sen(,+2)g+n __'''_ x __...:;.,,_ x2 2 '' .

5æ ResueIva la siguiente ecuación si z_ ___ __ 2, 536. Sabiendo que ze _ , hatle el equivalente desiendo e base de los Io9aritmos nePerianos ; J(z) _ _ z _, h = {... - l _, O _, 1.. .) J_ z f 0n;he_A) Ln 12 l + i(_gz + kn)2nn __Ln2-_ l n 2 +2__

- , n2+Iarg-2h_D) Lnl2t+i(2argz)- 2n7c+LnZ+J i2h_ E) Ln lz l + 3(argz + 2hn)-(2nn-1) i' 537. Calcule el valor de

f = sen' (iLn_) + sen' (�LnJ) + cos' (3iLnJ)E) _ i_3 7 5A) -2 B) -4 C) -2535.Grafique2-2+i 1 9_ 2__/_e _ SOn_m z >&e z D) _- E) -z+1-i

37O

_a ______________________________________________a_____________________________0_______________0_________0_____________________________________________________________________________________________________ _ _________________________________________________________________________________________________0_________________0_____________________________________________________________________ _ f_()_nJ2_(_n 2nn_2o22(n__J n____2222o000_)( _ b(_n)_ b)2+ (n)

' Tri_onometría

538. Sabiendo que 5go s-_z = r(cos0+ isen0); O < 0 < 2Tcl+sen0+icos0 ^grafjque _ = COS X + I Sen X+ Sen0- 2COS_m(_')so; zxo Xe f=COt - -tan_ n

A) y B) yUC20 B) tan 0 C) c o t'___. ; '_'''_ ''''''''''_''''_,''''_.'_,:'''_'''_,'_..n, .. ____..__, .,,.... ' ' D) -2 cot 20 E) Sec 20x ...........,..,,...._,..,...... x.. ...:.:,..'_...:..:.. _._._.'';.:.;.._'...:.'_.'::'.,. '''"'''v'';:__'_''___'__ ''' _1. Si n e _', simplifique

S= o COSn0 + _ C O S ( n_ 2) 0 + j C O S ( n_ q) 0... nC) y.. ..,,___' 0__5.;_:.__._.__..:;;.._ .._...._,.___'''_..____',:::;'',:_;,' A) COS^-COS_;._...;.._._..__;._..__''_:_._''_:_._'_''' '__'.'_______,,'_'_''' X'B 2n 0Sen -Sen_

D) y E) y C) 2^co_0_ _''''______.'_:'_____..___ ._._ '_:i''_''_':; , '':~''' ., ;:''_''_,''_:''_,'''__'''_:_ , 0';'_':_.:____._._..;_...;::'''___:_' ___.:__.__;,.;:..:5,..._........ ..,:'__' D) 2 COS 0Sen:,' X ._,...,,..''''',':':__',.;X,_,'_'_,'''_'''''''''''''''' ___'___'_ '_ E) 2"tan_^

542. Simplifique539. Sabiendo que z -- re'^ ; a _ --_ 2 ;-_ 2 , 2dem j _ COS a _ 'Sen 0 COS + !Sencos (a + b) + isen (a n b)_ Ze'=l+__ Y_=_ k ! (cos 2a + isen2a) (cos b - is e n b)cos (a + b) - isen (o + b)r2sen2a r3sen3arsena+_+_�e sen2! 3!_ A) 2Sen(a+b)halle f�arctan -0

A) a B) 2a C) 2COS(2a+2b)C) 3a D) 2isen (b-3a)a- E) Qa E) 2COS b-30 3 7 l

5&_DGAB__))__/__\f___(______/_______________________________________________Jv________/_____J_____r// ( _ ) _B_//)__4) c , J __K_mn(__a_ATs)

ProbIemas Se Iectos '_ ............... ,

_. Grafique _mites y Deri__dasA = {z_ _/a S l z-1 + i l + l z+ 2-3i l 5 12} rf I_O_OmetflCaS

xseny-ysenxA) B) . Sablendo que LIm_---tany' K_yYCOSX-XCOSY_\ Y // Y_\/ X X,/\\_ n)-1 B)2 c)l1D) - z E) -2c)y ,_ _ Por un punto P de coordenadas (a; b) se// x hace pasar una recta que corta en los ejes,_ coordenados segmentos OA y OB, calcule las/' longi_des de OA y OB cuando el área del_ián_fo AOB es mínima.

y y , A)oA2a oB2b\..... E) // =-3Y=-3__'_..._________;;,.,.. x _...,.,___'___'''_''_'-'__,_;_ x_'''''_'_____,____________._____ \\ _._'_:'__.,_..........._,.__.:___5_'_ B) oA=a' y o_=b2

C) OA=4a y OB--4bD) OA=2a y OB=2bra IqUeE) OA=3a y OB=3bz-2+i 5n=Z_ aIg_�-l_7. Halle el rango de J(x;y)=sen(m) en laregión encerrada por OSxSn y OSySl.Y Y''''''__',.:_.:__,::'_,,__._____,.:_:____,,..,:;_,._:.:;_:_.,..:...:__,_:_,,::__:_,._,::_,.::__,_,.::_'_,_:_,.'_.:_,D,__;,.___,.,__;.,.;_,_:_,,__,;,'_,,;,;__s_'.;_'_'y_,T' n) (o ; 1J B) co ; 1J c) r-1 _, 1_

_'''''''_,.''_::_:._:;,_^_X _ X D)__.o E)_1.,_

2C)_ En fe fI.gu,a mostrad, calcu_e L._Y

_.__, x n)1 a YPB) -2 .oXC) 2 0A S xD) -2_X _ X E)_3 C .T.

371

5_52 sdD_) 5d_t_ (fuxl___)3_t_t2/5d]f2t lt2 83_ _____ T____________0__ya_c_To Bs_x ___ __

............... .__ Trigonometría

_9. Calcule el si_iente 1ímite 5_. si a, b _ _ dete_ine el límite s_guiente si

sec 2x tan x + 2 tan x eXMteK=LimX__' COsXtCOS X bsen2x+0cos(x2)m2

_ 1 2_A)--2 B)-_2 C)-_3 A)_ B)1 C)2D)o E) -33 E ) 8_2 3 555. En la figura mosbada, calcule_Qc-_550. Determine el valor del si_iente Iímite g mn pA41K _an 2_ +COS- +tan-Limx_2 x +Qx-

On) _4 B) _32 c) _32''P9_ 3_ D 0D) _32 E) -40__B CA x55l. Siendo /(x)=sen_3(2nx)7 y 9(x)--3x-Z_,

J(x)etermlne lm-_2_ g(x)n) 2 B) 1 c)o

A) 2n+l B) 2n c) 2n_l D) -l E) 4

D) n E) 2556. Calcule el verdadero valor de la siguiente_ d diferencia cuando x se aproxima a _ro. len O a nClOn e Inl a pOC,senx_1 2 lJ(x)=_ _sen2x -SenX +SenXentonces el vatorJ, cuando x e_á muy próximoa cero será 1 ln) -4 B) o c) _2A) e B) O C) lD e2 E e_3

557. Halle el valor del siguiente límite l sisec2x+ senx. aCUel_mn tan2x+cosx xQ2 � Imx_O l-cos1-cosx

lA) -2 B)

D) 2 E) 4 D) 8 E) 2048

37_

_sBDcuo))pne__3s2r1llormf/dte 1e e_scy_a________l_________________e_____________'_________________________________r______________________________a________________________________________________________c________________u_________a___________n___ do g d) 3_5__3_82oo2 (2oo2_2o_2)__o_0J28_2_oo22_o_______B____3Q5o2468l o52oo2

Pr_bIemas Se Iectos '__ ................

5& s;endo /(x)____2cos_ h,lle el punto de _ En la fl_ra mos_ada, S representa el área3 ' de la ,egió, somb,,ada., además AoB es ,nintersección enbe el eje de ordenadas y tasector clrcular con centro en O; AB=b Yrecta _n_nte a la __ca deJen el punto (n ; b).' pM S�h. CalCUle Iim-a_OA) (O;-2_n) B) (O;-2_n-6C) (O;-6n) _,.,.,o.,,o,D) (o;-_n) E) (o;-_n-6) ____'_'_'___0_'_,,,___0,,,,,_.0,.M___ - ' P _ _' ' _ ' '__, _0 __,. _0_9,.,,_. Una escalera de 8 m de targo está apoyada _ -a_ - ' ' - __'''i'''__'_contfa un mufo vertical. si su base es O 'empujada hoi_ontalmente lejos de la pared1 A) l B) -3 C)-2a - mJs, _con qué rapid_ resbalará la pa_e4. _ , D)_ E)_=6 ra _ 4 3

_ Halle el valor aproximado de la siguiente sumaA)_4_s 1o 2o 3o.. ............. ........ M= sen_+ sen_+ sen_+_ ''-''____|_"'____!__|__|_-'_''__|'''-!|__'''''!!|_,"_.- S ._.._i.''_'!'__.=i...':_''_'_'''_'''''_'_'_''_'_=''__=_''i''___ 4a 5o 6o____.'__'__'.__=_'__'_=.___i_.__'__.__.=__._.'______'____..'____._____''_'.'_'.__'____g____',,_. + Sen- + Sen- + sen-c)

-3 ' '_ ' ',., ' '_. ',.i __'_. = _ ', _._. =; ' '_,. '.. ' ' _. ' _' ' _. ' '_ ' ' ' _,. ' ' '_. ' ' '.. '. _ ___ ' ' ' ' '_ ' ' ' ' _' ' ' ' ' i_ _.. ' ' '.l _;''_._'__.'''_._.'.__'___'..'__''_._''___'''_.''__'''_..'_..=_.'.____''._''__''_.._'__'__=,.,._.=_,__;__|_!.=_;;!.._!__,;_ 0o 1 1 l- m S '_____~__'_;_:;__:_,_____:.__M_____.m___'' '_m_,___'__mm'_i______'____'__'___mi_'',''_,''':_'':'__''_'^_'''_^'__''''___________aa___mm''_':''_________'___a A) _j B) _4 C ) _jE) lmJrsD) __2 17J4 E)_. Calcule el valor aproximado de sen30045'.

.d,,e __ _ _ o o22 _ s; los catetos de un _ián_lo _c (B=goo)12_ ' miden 2,,,(6oo_a)s,,(6oo_a) yA) o 5o_ B) o 5o2 c) o,5og 5(2cos2a+ l)' siendo a lamedidadelmenorD) o151_ E) o,522 ángulo de dicho _ián_ulo, halle la medida delmayor ángulo agudo aproximadamente.561. Calcule a+b, a partir de la siguiente funci�nn) 8_ 27o B) 86 75o C) 84 86osen3x+_+bx3 D) 8 _25o ' Ej g _zJoX =_3 1 1Xtal que si x está muy próximo a O entonces 565. celcu_e el s;gu;ente _,/m;tetambién/eStá mUy PrÓXimO a O' L sen(senx+ cosx- 1)Im_ SenCOSX2A)-3 1 B)-- 32 c)-- 9z13 g 2D)-2 , E)-2

J74

_2cD5)_tana2_____2m_c_(2cqo<barcode type="unknown" /><barcode type="unknown" />o_233)(2_ _)6J__ _5 5n ___ d ca_ma___ra____ _cohete _____ente _ m

............. .. .__ rrigonametría

566. Ha1le el mayor ángulo fonnado por la _áfica 57O. Sea/wla _�ón cuya r_ de _1r_nden�i�de la _nción J(x) -- tan x + 2_3 y el eje de 1 2 1está dennida por J(x) -- - sen x _ - cos3 x.abSClsaS.lndique las propasi�iones verdader_.3n 2-tarCtan + _ s_Ix_ o._ _ es_c-_' '2 '1T-+arctan h_2 II. Si x=-2 ;h___ Jesmínimo_-+arCCOtZ _ll s,_ x_ __. _ _ /es decrec__2 ' 2' 'n-arctan (2003) +1

E) n-arc_an((2O02)'+l) n)soaoI B)_lolI c)_loll__) solo I y Il E) solo I y lII

_. Halle el siguiente límite L, _ a _ a 51l. Si el cohete _usbado en la _gura_ _�endeL = _m - tan - + - cot - ve___mente a 5OO _s cuando ___ a 80Oa_6nd0e a1tura, _con qué rapid_ - cambl_á ell dtn) -2 B) l C)Oán_lo de eIevación de la cámara en eseD)2 E)-2 instante?

568. Halle _ en el inteNalo (-n_O) si se verifica ,=..._,,,00.Ia siguiente igu_dad3x ' '''''afctan Xtarctanl+10x2 ___o X_fUen-

_^A)-_3 B)-4 C)-_ 600m

2_ 5_ A7 0_l ra_S B) O_2 ra_S C)O,3 ra_5D) -_J E) --_ 2 D) o_q ra_s E) o,5 Ta_s

569. Dada la fu_.ción / definida por la regla de _2_ C_CUle la menOr dIStanCla en_e dOS C1UdadeScorrespon_encia siguiente A y B, cuyas coordenadas geo_á_icas sonse_ + cos x (ta_tud 300 No_e; lon_tud 8OO Oeste) y (latitudh=-senx-cos-x 450 Sur; longitud QOO _te) respectivamente.rl ' 2_+_alle un equivaIente de __ OnSl ere C05 4_, 720 �x) ' 8

A) sen2x B) cos2x c) _tan2x A) 48_720 B) 60'28' C)1200D) se_x E) csc2x D) 138,720 E) 13l,280

375

___co___))n_sl __t_( )____c)8__( )49_2))9J4_oA(_tl_ d)t _AD_)))94_hg(? o(_((____________&____y_v___)/_______B____)___6l___u2____________________________________________0____c__)_8__u_2 x_

Prob Iema_ Se Iectos '

573. Dado un biángulo esferico ABC, con tados a,. _8 A pa_ir del _á_co mostrado. halle el área deb y c, taI que a+b+c=1800, caIcule el valor la región sombreada

de K -- (l -cosA)tan_tancYn) 1 B) 2 c)3X � Sen XlJ2 E)4 3.. ;_,__,,_g_i _,,,,__;_,, g(_') _- CsenDx51_ En un trián_Io esférico _C e! eq__ ivaIente de 2 ___''_'' '_ - - - - - - - ---''__ ,''_ - - - - - - - ' - - - -senbsenc_senBsen + cosbcoxcosA sefá ,._, ., i,__. ! __0d,.

At co5iicosBcosC B) _osAcosBco5C 1_C)cos0cosbcosc ,,, QD) -co_cosbcosc E) se_se_senC 2 _ _ _ _ _ .,,.. _0' _ _ _ _ ' _,. _ ,,,''

57_ _6enedos�iudadesAyBcuyascoo_enades _3 --n--- ''_ ----- ---- -------_geográficas son (latitud YOOS_ longitud 10500).Halle la menor diNancia entre A y B.

.d,,, a,,co, _3_!_ ' _fa lO U_2 E)_z 2terreske igual a 6 3O_ hm. U U

A) l4 850,3 hm B) l4 650,3 hm 579- la velocidad de un cuemo que es lan2adoC) lQ 6_O_8 _ ve_icalmente hacia arriba con una vetoîidadD 1Q 358 4 hm E 1_ __50 3 hm inicjal V, considerando la resistencia del

57_ Dado un b_,,_ngulo e,f,_,l_co ABc, an,I,_ce Ia ai,e se exp,e,, v(t)__h_n ,,ct,,_Uo ___ve,,c.,d,d o fajsedad d, c,d, una de _a, k hsjgujentes proposiciones. _Onde t eS el tiemPO tranSCUf,id0_ _ eS la_. ,o,A+cosBco,c__ ,,n,,,,cco,, aCeIefaCiÓn de la _aVedad Y h eS COnStante.H_le la máxjma altura a la que se eleK_a el. cos 0 = cos b cos c t senbsenc coscuemo.senA senB senC' sen0 senb senc_ v2A _2 UAfW Bf__ cfVF 4 _2D)vvv E) _!FFk2( h2B) - Ln. adO Un klángU O eS erltO A de ladOS _, 3g Vo2b, c siendo p semiperíme_o y S el excesoesférico, indique eI equivalente de h2 v o2n _2p p-0 p-b p-c _ h--tan-tan _ tan _ tan__ _F2) -_ l+_2_ c _ 2S 9an B tan- n -s E) h_L (, h2D) _n2S E) tan2- _ n -_2O O

376

58258_lDcc Ho_)e))fraud_e_4dasb Jp_nJ(boannl_fu40___etnn_ccl_aode_d_/c(/xols)d_eglfs_lded_ng1_dd2a_xdEt)tod_n_e_t_er__erbm9l1_an_edeel _c____)__t_____ ttt ____xx

' Tri_onometría

58o. Ev_u'e la _'n_e_al J' _, _Se X,___..0 _ c) ' 2 _2+__n secx+ cscx 26l+n _ 2_Q 3 3E)- 2 2- 2+n 2n6 6Fun cion es _rigon om étrica sx2 _2 _ Y Coofd__adaS _laleS, e a On_l_ e ae I__ -2 + -2 =a_ Obtenga la ____ de / def1nida con r egla deSten O e-- _ e: eXcenbl4 a ; x=0_nß.correspondencia

/(x) = coshx(senhx + coshx)n) _4n) B)Jwb Y YB)-2

J2 __ g, g - - - - - - - - - - _+e SenO2D)4a o l-e2sen'

,2 YE_"' 1_.2 2ggO '----- -----

.D 1 _/ ._ 9 X

_ Mn7_) E)va1_rde J:4Jtx)dx. y y

_ l 1n)_35 B)-2 C)__6 X

8 4 _. Determine el rango de la función / def_nida15 21 con re_la _e co_es_ondencia/(x) = co_- lncosh x7 - sen Encosh xJ si583. Siendu Y el volumen, del sólido R limitadasuper_o_er,te por z _ 1____' e infer_ofmente DomJ e r_O; _ 27par el pl_- no z = l-_, calcule sen Yna (-J-2;_j\ Ba r_J2;1JA) - 2q2+_ \C7 (-1_,_ /,B, l _2+ _j+,,+_ D, r L 2 L _\'2' n'n _ -'

J77

_cD_____)__o_l_____y22l ll x(x )) E__) y x Ac____))__/gl_/_/____yy\y\l_,\\l_lt_q_\2__x 4_cpgB__)//tlalDl_y\\\_ x

Prob Iema_ S_Iecto_ '_................

GFaf'qUe la CU~^ def1n'd^ POr las eCUaC'OneS _. Se tiene las ecuaciones polares r, = acos0 yparam étricas dadasr, = b sen 0, Iuega en el punto �e intenecciónX_Sent+Cost ............................. (l) ,. /Y = sen t - cos t. .. ..... .... ...... ... ... ...... (2) tangentes _n) y B) v2 1__2 _2 _ 2 69O. Ld ,_f_fce ue co,,, o,de a la ec,ac-,o/,__ _ polar es r = 0c 0 - 2, se llama concoide y es

) y2 \\\ ,/' _ /

_/ xx O n02nX /' '_

587. Halle la ecuación polar de una circunterenciade radio n y cenbo (n; a ). D) E) yA)r=2n_s(0-a) ò_\ x ' xB) r=4ncos(0+2a) ,' __C) r=n_s(0+a_) r = n2 cos(g + a) _I. Dada la ecuación en coardenadas poIaress e n

- Y2 + _ c o s- 02588 Halle la ecuación polar para Ia siguienteq indique qué grática es.ecuación cartesiana (x_ +y2) = y2-x2A)UnaelipseA) r6 _ _n20 B) r6 _ -sen2g B) Una parábotaC) Una circunferenciaf __-Sen20 . ,

378

_c____)_______2__5/\ D____2 AD3())x68_J)2+2(yy_)2A__B6) _t6en Bun s_lscEte))m_75a que se

............. ...__ Tri_onometría

Rotación y rraslarión n) 12y'+x'-3o_ode Ejes Coordenados B, _,x,+y,_2o__5_2. Construya el gráfico de una cánica C) l2x'+2y'-1O_Orepre_ntadoenelsistemaX'Y'tobtenidopor D 12, ,rotación tal que elimine el término XY.2 6_ 13 2 16 o E) lZx'+12y'-5=0X- XY+y-=5& Luego de bansfo_ar la ecuaciónA) Y' B) _ 3xz+Zy2+_2x_4y+m__o en2 2X X__ j -_ _ obtuvo por baslacián hasta el punto O'(0 ; b)_entonces el valor de a + b + m es

\__ x595. Dete_ine la ecuación de la recta L en el, ' sistema X' Y' tal que el área del biángulo ABCes el menor posible. Además A tieneD) y_ E) y_ coordenadas (2_O)

x' O_ x Y'/__ -2_j _C '_

593. De la figura, dete_ine la ecuación de la re__ en el sistema X ' Y' si OA=OB. x'y _ o XX' L: y--4-xY'A)_y'_z-x'B) y'=4-_x'_ X c) _'--2-_x_\ B D)_=3-__Et _=2-_

_5æAdcdu(_ld_(3tf3addo__)g_dl __( _t l3__5 ___)_ ___ t_dt_3lto__xyt B 8 ____ __3_ __ooooo__ ___ __ _

ProbIemas teIectos '_................

596. Dada la ecuaci6nC) --_- ó --_--l53x'-l92xy+97y2-30x-40y-2003=O; 6 5_ 6 5

si luego de rotar los ejes en sen_do horario un 6 3 6 3D) --;-- ó -;-4arco 0 0=arcsen - se ob_ene que ta4 4E) -;2 ó --;-nUeVa eCUaCtOn tam len eS e Se9Un O

grado. HaIle el discriminante de esta última

ecuación. 599, Calcule las ecuaciones de la recta tangente y

Ia no_al a la cónica en el punto (l ; 2); tal

_)i____ _) -___0a C)-_2779 q,e x2_2_+y2+4x_y_3-_o

D)22 5oo E) -25 387

A) x+y-2=O597. 5i 0 es el _ngulo formado entre los planosX-Yt =x-2y+z=O y 2x+3y-2z=OB) 3x+y-4=Ocalcule sen20.x-3y+7=

C) 2x+y-4�On)-26 B)__o7 c)-_ x_2y+3__

33 36 D) x+2y+t=O_)-5_ E)x-Zy-l=

E) 2x+_-3=OSe tiene un cuadTado ABCD_ tal quex-2y+2=-lO; 6), C(_; 5) tal que la Of enada de

es mayor que la ordenada de D. Dicho.ra al,ededor de su cen_o 3Jo en _. Una antena parab6lica tiene la fo_a de und h _ d

. , paraboloide de revolución. _s se�afes queSentl O antl OrarlO, OS pUntOS e lntefSeCCtOn_ d A Bemanan de un satelite llegan a la superficie dee CUa ra O COn a pOSIClOn lnICla ela antena y se retlejan hacia eI punto dondeSOn P Y Q. Sl e Ofl9en de SIStema Seestá Iocalizado el receptor Si la antena tiene_aslada al punto P se genera el sistema X'Y'_pies de abe_ra y 3 pies de profundldad enetermi_e las coordenadas de Q en estesu cen_o. _En qUe pOsición debe COtOcane elnuevo sistema.receptor?

55 5 5-;- O --;-- c __ g_0

A 'B _o5 5 5 5 _ '____ 3 _o-;- O --;-- E _^

_N..;'__.__._._.:_,..__,_.,.. ._;.'"..:...;,'_.:_..:;;.:,;_':':_;;',.. ;'' ;_,_;__,_,_,,;_,;__,;,___,_,_,,_,,__'__'_,,_'a__,0__0^^'_, ,,,,_,,, , _.__,_,,,; ,' ;;_,,_',',_'__,.;._,',''(:.;_.;.,_.,:,__::_,'_:_.':_,_::','_:,',_.__':,_'_:,;;,__::_,'_:;,_,;'_:'',i__,

38O

______M_X__'_/fI _O _ O _ e t f_ a ,,,,_,,,,;,__, 5_;;,_n___,,_

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