[Trithuctoan.blogspot.com]- Phuong Trinh Duong Tron

8/12/2019 [Trithuctoan.blogspot.com]- Phuong Trinh Duong Tron

http://slidepdf.com/reader/full/trithuctoanblogspotcom-phuong-trinh-duong-tron 1/25

http://trithuctoan.blogspot.com/

Chuyên đề PHƯƠ NG TR ÌNH ĐƯỜ NG TR ÒN OXY Luyện thi ĐẠ I H ỌC 2011

Gi áo vi ên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trườ ng THPT Phong Điền

M 0

D

I

Chuyên đề: PHƯƠ NG TR ÌNH ĐƯỜ NG TR ÒN

I- LÝ THUYẾT:

1. Phươ ng tr ình đườ ng tròn:

Dạng 1: Phươ ng tr ình đườ ng tr òn ( )C có tâm ( ; ) I a b , bán k ính 0 R > :

( ) ( )2 2 2 x a y b R- + - =

Dạng 2: Phươ ng tr ình tổng quát:2 2 2 2 0 x y ax by c+ - - + = (*)

có tâm ( ; ) I a b , bán k ính2 2

R a b c= + -

Lư u ý: Điều kiện để (*) là phươ ng tr ình của một đườ ng tr òn là:2 2

0a b c+ - >

THUẬT TOÁN

Lậ p phươ ng tr ình đườ ng tr òn Bướ c 1: Xác định tâm ( ; ) I a b của ( )C .

Bướ c 2: Xác định bán k ính 0 R > .

K ết luận: Phươ ng tr ình đườ ng tr òn ( )C có tâm ( ; ) I a b , bán k ính 0 R > :

( ) ( )2 2 2 x a y b R- + - =

Nhận x é t : Phươ ng tr ình (*) hoàn toàn xác định nếu biết các hệ số , ,a b c . Như vậy

chúng ta cần 3 giả thiế t để xác định , ,a b c .

2. Tiếp tuyến của đườ ng tròn: 2 2 2 2 0 x y ax by c+ - - + =

a. Tiếp tuyến của ( )C tại 0 0 0( ; ) M x y ( 0 M : tiếp điểm)

Tiế p tuyến của ( )C tại 0 0 0( ; ) M x y có phươ ng tr ình:

0 0 0 0( ) ( ) 0 xx yy a x x b y y c+ - + - + + =

(CT phân đôi toạ độ)

Nhận x é t: 0 0 0 0 0 0( ; ) ( ; )Râ rµng tiÕ p tuyÕ n ®i qua vµ cã 1 vect¬ ph¸p M x y IM x a y b

0 0 0 0: ( ) ( )( ) 0a x x x b y y y

b. Điều kiện tiếp xúc:

Đườ ng thẳ ng : 0ax by cD + + = l à tiế p tuyế n của ( ) ( );C d I RÛ D =

Lư u ý : Để tiện trong việc tìm phươ ng tr ình tiế p tuyến của ( )C , chúng ta không nên xét

phươ ng tr ình đườ ng thẳng dạng y kx m= + (t ồn t ại hệ số g óc k ). Vì như thế dẫn đến sót

tr ườ ng hợ p tiế p tuyến thẳ ng đứ ng x C = (không có hệ số g óc).

Nhắc: * §-ê ng th¼ng cã hÖ sè gãc .

* §-ê ng th¼ng (vu«ng gãc ) kh«ng cã hÖ sè gãc.

y kx m k

x C Ox

0 0( ; )0Do ®ã, trong qu¸ tr ×nh viÕ t pt tiÕ p tuyÕ n ví i (C) tõ 1 ®iÓm M (ngoµi (C)) ta cã thÓ

thù c hiÖn b»ng 2 p.ph¸p:

x y

* Ph-¬ ng ph¸p 1: 0 0( ; )0Gäi ®-ê ng th¼ng bÊ t k × qua M vµ cã h.s.g k: x y

0 0( ) y y k x x

I








I 1

I 2

R 1

R 2

1 2 1 2 R R I I - <

( )1C không cắt ( )2

C

(l ồng vào nhau)

0

VẤ N ĐỀ 1: Nhận dạng 1 phương trình bậc hai là phương trình đường tròn.

Tìm tâm và bán kính đường tròn.

Phươ ng phá p:

C ách 1: Đưa phươ ng tr ình về dạng 2 2 2 2 0 x y ax by c+ - - + = (1)

Kiểm tra, nếu biểu thức: 2 2 0a b c+ - > thì (1) là phươ ng tr ình đườ ng tr ònìïí

= + -ïî2 2

T ©m ( ; ) I a b

R a b c

C ách 2: Đưa phươ ng tr ình về dạng: - + - =2 2( ) ( ) x a y b m và k ết luận.LUYỆN TẬP:

Bài tập 1: Trong các phươ ng tr ình sau, phươ ng tr ình nào biểu diễn đườ ng tr òn. Tìm tâm và bán hính nếu có:

+ - + + = + + - - =

+ + + + = + - + - =

+ - = + - + + =

+ + + - =

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

) 6 8 10 0 ) 4 6 12 0

) 2 4 5 0 ) 2 2 4 8 2 0

) 4 0 ) 2 4 8 1 0

) 2 4 5 0

a x y x y b x y x y

c x y x y d x y x y

e x y y f x y x y

g x y xy y

Bài tập 2: Cho phươ ng tr ình + - + + - =

2 2

2 4 6 1 0 x y mx my m (1)a. Vớ i giá tr ị nào của m thì pt(1) là phươ ng tr ình của đườ ng tr òn?

b. Nếu (1) là phươ ng tr ình đườ ng tr òn, hãy tìm toạ độ tâm và tính bán k ính đườ ng tr òn

đó theo m .

Bài tập 3: Cho phươ ng tr ×nh : 2 2 26 2( 1) 11 2 4 0 x y mx m y m m+ + - - + + - = .

a. T ×m điều kiện của m để pt trªn là l ph-¬ ng tr ×nh đườ ng trßn.

b. T ×m quỹ tÝ ch t©m đườ ng trßn.

Bài tập 4: Cho phươ ng tr ình:2 2 1) 2(sin 1) 2 02(cos x y x ya a .

;10

a. Ví i gi¸ trÞ nµo cña th × ph-¬ ng tr ×nh trªn lµ p.tr ×nh cña mét ®-ê ng trßn.

b. T ×m gi¸ trÞ ®Ó ®-ê ng trßn cã b¸n kÝ nh nhá nhÊ t, lí n nhÊ t.c. T ×m quü tÝ ch t©m ®-ê ng trßn, khi thay ®æi trªn ®o¹n 0

a

a

a080 .

Bài tập 5: Cho phươ ng tr ×nh ( )mC : 2 2 2( 1) 2( 3) 2 0 x y m x m y+ + - - - + = .

a. T ×m m để ( )mC là phươ ng tr ×nh của một đườ ng trßn.

b. T ×m m để ( )mC là đườ ng trßn t©m (1; 3). I - Viết phươ ng tr ×nh đườ ng trßn.

c. T ×m m để ( )mC là đườ ng trßn cã b¸n kÝ nh 5 2. R = Viết phươ ng tr ×nh đườ ng trßn.

¸d. T ×m tập hợ p t©m c c đườ ng trßn ( )mC .






VẤN ĐỀ 2: VIẾ T PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Phươ ng phá p:

Cách 1: Tìm tâm ( ; ) I a b , bán k ính > 0 R . Suy ra ( ) ( )- + - =2 2 2( ) :C x a y b R

Cách 2: Gọi phươ ng tr ình đườ ng tr òn: 2 2 2 2 0 x y ax by c+ - - + =

- Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phươ ng tr ình vớ i ẩn số , ,a b c .

- Giải hệ phươ ng tr ình tìm , ,a b c .

LUYỆN TẬP:

Bài tập 1: Lậ p phươ ng tr ình đườ ng tr òn (C) trong các tr ườ ng hợ p sau:

a. (C) có tâm ( 1;2) I - và tiế p xúc vớ i đườ ng thẳng : 2 7 0 x yD - + = .

b. (C) có đườ ng k ính là AB vớ i (1;1), (7;5) A B

Bài tập 2: Viết phươ ng tr ình đườ ng tr òn đi qua ba điểm vớ i (1;4), ( 7;4), (2; 5) A B C- - .

Bài tập 3: Cho 3 điểm (1;2), (5;2), (1; 3) A B C - .

a. Lậ p phươ ng tr ình đườ ng tr òn (C) ngoại tiế p tam giác ABC.

b. Xác định tâm và bán k ính của (C).

Bài tập 4: Viết phươ ng tr ình đườ ng tr òn ngoại tiế p tam giác ABC vớ i (1;5), (4; 1), A B -( 4; 5)C - -

Bài tập 5: Lậ p phươ ng tr ình đườ ng tr òn (C), có tâm (2;3) I trong các tr ườ ng hợ p sau:

a. (C) có bk ính là 5 b. (C) qua điểm (1;5) A .

c. (C) tiế p xúc vớ i tr ục Ox d. (C) tiế p xúc vớ i tr ục Oy

e. (C) tiế p xúc vớ i đườ ng thẳng : 4 3 12 0 x yD + - =

Bài tập 6: Lậ p phươ ng tr ình đườ ng tr òn (C) đi qua hai điểm ( 1;2), ( 2;3) A B- - và có tâm ở tr ên đườ ng thẳng : 3 10 0 x yD - + = .

G ợ i ý :

Cách 1: Gọi ( ;3 10) Δ I a a + Î . Do (C) qua A, B nên ( ) IA IB R= =

Cách 2:

Bướ c 1: Lậ p phươ ng tr ình đườ ng trung tr ực d của đoạn AB.

Bướ c 2: Tâm I của (C) là giao điểm của d và Δ .

Bài tập 7: Lậ p phươ ng tr ình của đườ ng tr òn (C) đi qua 2 điểm (1;2), (3;4) A B và tiế p xúc vớ i đườ ng thẳng : 3 3 0 x yD + - = .

G ợ i ý : Cách 1: Gọi ( ; ) I a b là tâm đườ ng tr òn.

Theo giả thiết: ( );Δ

IA IB

d I IA

=ìï

Þí =ïî giải ra I.

Cách 2:

Bướ c 1: Lậ p phươ ng tr ình đườ ng trung tr ực d của đoạn AB.

Bướ c 2: Gọi tâm của (C) là I d Î (t ọa độ 1 ẩ n).

Do Δ tiế p xúc vớ i (C) nên ( );Δd I IA= Þ giải ra I.

Bài tập 8: Lậ p phươ ng tr ình đườ ng tr òn (C) đi điểm (4;2) M và tiế p xúc vớ i các tr ục toạ độ.

G ợ i ý :






Gọi ( ; ) I a b là tâm của (C). Do (C) tiế p xúc vớ i Ox, Oy nên a b R= = .

TH 1: ( ; ), a b I a a R a= Þ =

Phươ ng tr ình (C): ( ) ( )2 2 2 x a y a a- + - =

Do ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2

(4;2) 4 2 12 20 010

=éÎ Û - + - = Û - + = Û ê

=

ë

a M C a a a a a

a

Vậy có 2 đườ ng tr òn: ( ) ( ) ( )2 2

1 : 2 2 4C x y- + - = và ( ) ( ) ( )2 2

2 : 10 10 100C x y- + - = .

TH 2: ( ; ), a b I a a R a= - Þ - =

Phươ ng tr ình (C): ( ) ( )2 2 2

x a y a a- + + =

Do ( ) ( ) ( )2 2 2 2(4;2) 4 2 4 20 0 v« nghiÖmÎ Û - + + = Û - + = M C a a a a a

Bài tập 9: Cho 3 đườ ng thẳng:1 2

: 3 4 1 0, : 4 3 8 0, : 2 1 0D + - = D + - = + - = x y x y d x y . Lậ p

phươ ng tr ình đườ ng tr òn (C) có tâm I nằm tr ên đườ ng thẳng d và (C) tiế p xúc vớ i 1 2,D D .

G ợ i ý : Cách 1:

Gọi ( ;1 2 ) I a a d - Î là tâm của đườ ng tr òn (C).

Do1 2,D D là các tiế p tuyến của (C) nên suy ra: ( ) ( )1 2

; ;D = D Þd I d I giải ra I.

Cách 2:

Bướ c 1: Lậ p phươ ng tr ình các đườ ng phân giác của góc tạo bở i hai đườ ng thẳng 1D và

2D .

2 2 2 2

3 4 1 4 3 83 4 1 4 3 8

3 4 4 3

+ - + -= Û + - = + -

+ +

x y x y x y x y

( )1

2

3 4 1 4 3 8 : 7 0

3 4 1 4 3 8 : 7 7 9 0

+ - = + - - - =é éÛ Ûê ê+ - = - + - - - =ëë

x y x y T x y

x y x y T x y

Bướ c 2: Tâm I của đườ ng tr òn tươ ng ứng là giao điểm của d và 1 2, .T T

Bài tập 10: Lậ p phươ ng tr ình đườ ng tr òn đi qua hai điểm (0;1), (2; 3) A B và có bán k ính

5 R .

G ợ i ý : Cách 1:

Gọi ( ; ) I a b là tâm đườ ng tr òn (C). Theo giả thiết

5

IA IB

IA R

=ìí

= =îCách 2:

Bướ c 1: Lậ p phươ ng tr ình đườ ng trung tr ực d của AB.

Bướ c 2: Gọi I d Î (tọa độ 1 ẩn). Theo giả thiết 5 IA = Þ giải ra I.

Bài tập 11: Lậ p phươ ng tr ình đườ ng tr òn (C) có tâm (1;1) I , biết đườ ng thẳng

: 3 4 3 0 x y cắt (C) theo dây cung AB vớ i 2. AB

G ợ i ý :






Dễ thấy ( )2

2;Δ

4

AB R = d I é ù +ë û

Bài tập 12: (ĐH A-2007) Cho tam giác ABC có (0; 2), ( 2; 2) A B - - và (4; 2)C - . Gọi H là

chân đườ ng cao k ẻ từ B; M, N lần lượ t là trung điểm của AB và BC. Viết phươ ng tr ình đườ ngtr òn qua các điểm H, M, N.

G ợ i ý : Bướ c 1: Xác định tọa độ M, N.

Bướ c 2: Lậ p phươ ng tr ình đườ ng trung tr ực d của MN.

Dễ thấy tâm I của (C) thuộc d .

Bướ c 3: Tâm I của (C) là giao điểm của BH và d . Suy ra IM R= .

Bài tập 13: Viết phươ ng tr ình đườ ng tr òn đi qua điểm (1;1) A và có bán k ính 10 R , tâm

(C) nằm tr ên O x.

G ợ i ý : Gọi ( ;0) I a OxÎ là tâm của (C). Theo giả thiết, 10 IA = , từ đây giải ra I.

Bài tập 14: Viết phươ ng tr ình đườ ng tr òn đi qua điểm (2;3) M và tiế p xúc đồng thờ i vớ i haiđườ ng thẳng 1 2: 3 4 1 0, : 4 3 7 0. x y x y

G ợ i ý :

Gọi ( ; ) I a b là tâm của (C). Theo giả thiết( ) ( )

( ) ( )

1

1 2

;Δ

;Δ ;Δ

IM d I R

d I d I

ì = =ïÞí

=ïîgiải ra I.

Bài tập 15: Viết phươ ng tr ình đườ ng tr òn đi qua gốc toạ độ, bán k ính 5 R và tiế p xúc vớ iđườ ng thẳng : 5 02 x y .

G ợ i ý :

Gọi ( ; ) I a b là tâm của (C). Theo giả thiết ( )( )

5

;Δ 5

OI R

d I ì = =ï Þí

=ïî

giải ra I.

Bài tập 16: Cho đườ ng thẳng : 3 0d x y và đườ ng tr òn2 2

( ) : 7 0.C x y x y

Chứng minh r ằng d cắt ( )C . Hãy viết phươ ng tr ình đườ ng tr òn ( ')C đi qua ( 3;0) M và các

giao điểm của d và ( )C .

G ợ i ý :

Xét hệ phươ ng tr ình:2 2 2 2

3 0 3

7 0 7 0

(1)

(2)

x y y x

x y x y x y x y

Thay (1) vào (2):2 1 2 (1; 2)

7 6 06 3 (0; 3)

x y A x x

x y B

= Þ = - -é- + = Û ê

= Þ = - -ëBài toán tr ở thành, lậ p phươ ng tr ình đườ ng tr òn qua ba điểm (1; 2), (0; 3) A B- - và ( 3;0) M .

( Dùng k ỹ năng: Gọi phươ ng tr ình 2 2 2 2 0 x y ax by c+ - - + = và thay tọa độ)






Bài tập 17: Cho đườ ng thẳng : 3 0d x y và đườ ng tr òn2 2( ) : 7 0.C x y x y

Chứng minh r ằng d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt , A B . Hãy viết phươ ng tr ình đườ ng tr òn

( ')C đi qua , A B và có bán k ính 3 R .

G ợ i ý : Xác định các giao điểm A, B của d và (C).

Gọi ( ; ) I a b là tâm của ( ')C . Theo giả thiết:3

IA IB IA

=ìí=î

.

Bài tập 18: Viết phươ ng tr ình đườ ng tr òn (C) đi qua hai điểm (1; 1), (3;1) P Q và tiế p xúc vớ i

đườ ng tr òn2 2

( ') : 4C x y .

G ợ i ý : 2 2( ') : 4C x y có tâm (0;0), 1O R = .

Lậ p phươ ng tr ình đườ ng trung tr ực Δ của PQ. Gọi Δ I Î (tọa độ 1 ẩn) là tâm của (C)

Xét 2 tr ườ ng hợ p:

TH 1: (C) và (C’) tiế p xúc ngoài, tức là 1 2 1OI R R OI IA= + Û = + Þ giải ra I.

TH 2: (C) và (C’) tiế p xúc trong, tức là 1 2 1OI R R OI IA= - Û

= - Þ

giải ra I. Bài tập 19: Viết phươ ng tr ình đườ ng tr òn có bán k ính 2 R , đi qua (2;0) M và tiế p xúc vớ i

đườ ng tr òn2 2

( ') : 1.C x y

G ợ i ý :

Gọi ( ; ) I a b là tâm của ( )C . Theo giả thiết:1

IM R

IO R

=ìí

= +î. Từ đây, giải ra I.

Bài tập 20: Viết phươ ng tr ình đườ ng tr òn có bán k ính 2 R , và tiế p xúc vớ i đườ ng tr òn2 2( ') : 1 0vµ ®-ê ng th¼ngC x y y .

G ợ i ý : Gọi ( ; ) I a b là tâm của ( )C .

Ta có, (C) tiế p xúc vớ i Ox nên2

22

b R b b

b

=é= Û = Û ê

= -ëTH 1: 2 ( ;2)b I a= Þ . Theo giả thiết 1 2' IO R R= + . Từ đây, giải ra I.

TH 2: 2 ( ; 2)b I a= - Þ - . Theo giả thiết 1 2' IO R R= + . Từ đây, giải ra I.

Bài tập 21: Viết phươ ng tr ình đườ ng tr òn tiế p xúc vớ i đườ ng thẳng : 2 0d y tại điểm

(4;2) M và tiế p xúc vớ i đườ ng tr òn2 2

( ') : ( 2) 4.C x y

G ợ i ý :

Qua M dựng đườ ng thẳng Δ vuông góc vớ i d .

Lúc đó, tâm Δ I Î (tọa độ 1 ẩn). Dễ thấy R IM =

TH 1: ' ' ' ' II R R II IM R= + Û = + . Từ đây, giải ra I.

TH 2: ' ' ' ' II R R II IM R= - Û = - . Từ đây, giải ra I.

Bài tập 22: Cho đườ ng tr òn2 2

( ') : 8C x y . Viết phươ ng tr ình đườ ng tr òn ( )C tiế p xúc

vớ i đườ ng thẳng : 3 0 x và đườ ng tr òn (C’) tại điểm (2;2) M .

G ợ i ý :






Lậ p phươ ng tr ình đườ ng thẳng ' I M .

Tâm ' I I M Î (tọa độ 1 ẩn).

Ta có: ( )' ' ' , 3 ' II IM I M II d I x I M = + Û = - + . Từ đây, giải ra I.

Bài tập 23: (Đề dự bị 2003) Cho đườ ng thẳng : 7 10 0d x y- + = . Viết phươ ng tr ình đườ ng

tr òn có tâm thuộc đườ ng thẳng : 2 0 xD y+ = và tiế p xúc vớ i đườ ng thẳng d tại điểm (4;2) A .

G ợ i ý : Tâm Δ I Î (tọa độ 1 ẩn). Theo giả thiết ( ), IA d I d = . Từ đây, giải ra I.

VẤN ĐỀ 3: VIẾ T PHƯƠNG TRÌNH TIẾ P TUYẾ N CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Bài tập 1: Cho đườ ng tr òn (C): ( ) ( )2 2

2 1 25 x y- + - = . Viết phươ ng tr ình tiế p tuyến của (C)

trong các tr ườ ng hợ p sau:

a. Tại điểm (5; 3) M - b. Biết tiế p tuyến song song : 5 12 2 0 x yD - + =

c. Biết tiế p tuyến vuông góc : 3 4 2 0 x yD + + =

d. Biết tiế p tuyến đi qua (3;6) A .

Bài tập 2: Viết phươ ng tr ình tiế p tuyến vớ i (C): 2 2 4 2 0 x y x y+ - - = tại giao điểm của (C) và

đườ ng thẳng : 0 x yD + = .

Bài tập 3: Viết phươ ng tr ình tiế p tuyến của (C): 2 2 4 2 0 x y x y+ - - = xuất phát từ (3; 2) A - .

G ợ i ý : (C) có tâm (2;1) I và 5 R = .

Cách 1: Gọi ( ) ( )2 2; 0n a b a b= + >

là một vectơ phá p của tiế p tuyến cần tìm:

: ( 3) ( 2) 0 3 2 0a x b y ax by a bD - + + = Û + - + = .

D là tiế p tuyến của (C) ( ) ( )2 2

2 2

2 3 2; 5 3 5

a b a bd I R b a a b

a b

+ - +Û D = Û = Û - = +

( )2 2 2 2 2 2

2 2

9 6 5 2 3 2 01 1

2 2

b b aa

b ab a a b b ab ab

b aa

é = Û =êÛ - + = + Û - - = Û ê

ê = - Û = -êë

TH 1: 2b a= .

Lúc đó: : ( 3) 2 ( 2) 0 3 2( 2) 0 2 1 0a x a y x y x yD - + + = Û - + + = Û + + = (do 0a ¹ )

TH 2: 1

2b a= -

Lúc đó: 1 1

: ( 3) ( 2) 0 3 ( 2) 0 2 8 0

2 2

a x a y x y x yD - - + = Û - - + = Û - - = (do 0a ¹ )

K ết luận: Vậy có 2 tiế p tuyến của (C) xuất phát từ A.

1 : 2 1 0 x yD + + = ,

2 : 2 8 0 x yD - - = .

Cách 2: X ác đ ị nh t ọa độ các ti ế p đ i ể m.

Gọi ( )0 0 0; M x y là tiế p điểm của tiế p tuyến xuất phát từ A và đườ ng tr òng (C).

Suy ra:

2 2

0 0 0 00

0 0 0 0

4 2 0( )

. 0

x y x y M C

M A M I M A M I

ì + - - =Îì ïÛí í

^ =î ïî Từ đây, giải ra hai tiế p điểm…






Bài tập 4: Cho đườ ng tr òn (C): 2 2 6 2 6 0 x y x y+ - + + = và điểm (1;3) A .

a. Chứng tỏ A nằm ngoài đườ ng tr òn (C).

b. Lậ p phươ ng tr ình tiế p tuyến vớ i (C) xuất phát từ A.

Bài tập 5: Cho đườ ng tr òn (C): ( ) ( )2 2

1 2 9 x y+ + - = và điểm (2; 1) M - .

a. Chứng tỏ qua M ta vẽ đượ c hai tiế p tuyến 1

D và 2

D vớ i (C). Hãy viết phươ ng tr ình

của 1D và 2D .

b. Gọi 1 M và

2 M lần lượ t là hai tiế p điểm của

1D và

2D vớ i (C), hãy viết phươ ng tr ình

1 2 M M .

G ợ i ý : (C) có tâm ( 1;2) I - và 3 R = .

a. Ta có (3; 3) 3 2 3 IM IM R- Þ = > =

nên M nằm ngoài (C).

Vậy từ M tồn tại 2 tiế p tuyến vớ i (C).

Cách 1: Gọi ( ) ( )2 2; 0n a b a b= + >

là một vectơ phá p của tiế p tuyến cần tìm (Như câu tr ên)

Cách 2: Gọi ( )0 0 0; M x y là tiế p điểm.

Lúc đó, tiế p tuyến của (C) tại 0 M có dạng :D ( ) ( ) ( ) ( )0 01 1 2 2 9 x x y y+ + + - - = .

Mặt khác do D qua (2; 1) M - nên: ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 02 1 1 1 2 2 9 0 x y x y+ + + - - - = Û - = (1)

Do ( ) ( ) ( )2 2

0 0 0 0 0; ( ) 1 2 9 (2) M x y C x yÎ Û + + - =

Từ (1) và (2), giải hệ:( ) ( )

0 0 0 0

2 2

0 00 0

0 1, 1

2, 21 2 9

x y x y

x y x y

- =ì = - = -éïÛí ê

= - = -+ + - = ëïîSuy ra hai tiế p điểm 1 2

( 1; 1), ( 2; 2) M M - - - -

TH 1: Tiế p tuyến 1D qua (2; 1) M - và

1( 1; 1) M - - có phươ ng tr ình: 1 y = - .

TH 2: Tiế p tuyến 2D qua (2; 1) M - và 2( 2; 2) M - - có phươ ng tr ình:2 1

4 6 02 2 2 1

x y x y

- += Û - - =

- - - +.

b) Theo tr ên, hai tiế p điểm là 1 2( 1; 1), ( 2; 2) M M - - - - .

Cách 1: Phươ ng tr ình 1 2

2 2: 0

1 2 1 2

x y M M x y

+ += Û - =

- + - +.

Cách 2: ( Không cần xác định t ọa độ 1 2, M M )

Gọi ( ) ( )1 1 1 2 2 2; , ; M x y M x y .

Tiế p tuyến của (C) tại 1 M : ( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 2 2 9 x x y y+ + + - - = .


Tươ ng tự, tiế p tuyến của (C) tại 1 M : ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 2 2 9 x x y y+ + + - - = .


Từ (3), (4) dễ thấy: 1 2, : 0 M M x yÎ D - = hay đườ ng thẳng 1 M 2

: 0 M x y- = .

Bài tập 6: Lậ p phươ ng tr ình tiế p tuyến chung của hai đườ ng tr òn:

a) 2 2

1( ) : 6 5 0C x y x + - + = và 2 2

2( ) : 12 6 44 0C x y x y+ - - + = .








K ết luận: Vậy tồn tại 4 tiế p tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán:

1 : 4 3 14 0 x yD - + + = ,

2 : 4 3 6 0 x yD - + - = ,

3 : 2 0 yD - = ,

4 : 24 7 74 0 x yD + - =

Bài tập 7: Viết phươ ng tr ình tiế p tuyến của đườ ng tr òn2 2

( ) : 25C x y , biết r ằng tiế p

tuyến đó hợ p vớ i đườ ng thẳng : 2 1 0 2 mét gãc mµ cos =5

x y a a .

G ợ i ý : (C) có tâm (0;0)O và 5 R = .Gọi ( ) ( )2 2; 0

d n a b a b= + >

là một vectơ phá p của đườ ng thẳng d cần tìm.

Đườ ng thẳng D có một vectơ phá p là (1;2)nD

.

Do góc giữa đườ ng thẳng d và D là a vớ i 25

cosa nên suy ra:

2 2

2 2

. 2 2cos 2 2

. 55

d

d

n n a ba b a b

n n a ba

D

D

+= Û = Û + = +

+

( )2 2 2 2

0

4 4 4 (4 3 ) 0 3

4

a

a ab b a b a b a

b a

=éêÛ + + = + Û - = Û

ê =ëTH 1: ( )0 (0; ) 0

d a n b b= Þ = ¹

, chọn (0;1) : 0

d n d y mÞ + =

.

Mặt khác, d tiế p xúc vớ i (C) nên: ( ) 5

; 551

mmd O d R

m

=é= Û = Û ê

= -ëVậy tr ườ ng hợ p này có 2 tiế p tuyến: 1 2: 5 0, : 5 0d y d y+ = - = .

TH 2: ( )3 3

; 04 4

d b a n a a a

æ ö= Þ = ¹ç ÷

è ø

, chọn (4;3) : 4 3 0

d n d x y nÞ + + =

.

Mặt khác, d tiế p xúc vớ i (C) nên: ( ) 25

; 5 255

nn

d O d R n

=é= Û = Û ê = -ë

Vậy tr ườ ng hợ p này có 2 tiế p tuyến: 3 4: 4 3 25 0, : 4 3 25 0d x y d x y+ + = + - = .

MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC

1) (ĐH A-2002) Cho tam giác ABC vuông tại A, phươ ng tr ình đườ ng thẳng BC

là: 3 3 0 x y- - = , các đỉnh A và B thuộc tr ục hoành và bán k ính đườ ng tr òn nội tiế p bằng 2.

Tìm toạ độ tr ọng tâm G của tam giác ABC.

G ợ i ý :

( )

( )

( )

(1;0). ( ;0) 3 3

; 3 3 .

1

2 1 3( 1)3;

1 3 3

3

Ç = = = Þ = -

-

ì= + +ï æ ö+ -ï

ç ÷íè øï = + +

ïî

A C C

G A B C

G A B C

BC Ox B x a A a x a y a

C a a

x x x xa a

G

y y y y

Ta cã §Æt ta cã: vµ

VËy

T õ c«ng thø c Ta cã






Cách 1: 1 , 3 1 , 2 1= - = - = - AB a AC a BC aTa cã:

( )

( )

2

Δ

2

1 3. 1 .

2 2

13 122.

3 1 3 1 3 1

1 2 3 2

= = -

--= = = =

+ + - + - +

- = +

ABC S AB AC a

aaS r

AB AB BC a a

a

Do ®ã:

Ta cã:

VËy

TH 1: 1 1

7 4 3 6 2 32 3 3 ;

3 3

æ ö+ += + Þ ç ÷

è øa G

TH 1: 2 2

1 4 3 6 2 32 3 3 ;

3 3

æ ö- - - -= - - Þ ç ÷

è øa G

Cách 2: Δ 2 2.= Þ = ± I r yGäi I lµ t©m ®-ê ng trßn néi tiÕ p ABC. V ×

( ) ( )

0 1

tan30 . 1 1 2 33

-

= - = Þ

= ±

I

x

y x xPh-¬ ng tr ×nh BI:

TH 1: ( )1 2 3. ; 2= + = I x d I AC ¸NÕ u A vµ O kh c phÝ a ®è i ví i B th × T õ

1

7 4 3 6 2 32 3 2 3 ;

3 3

æ ö+ +Þ = + = + Þ ç ÷

è ø I a x G

TH 2: ( )1 2 3. ; 2= - = I x d I AC NÕ u A vµ O cïng phÝ a ®è i ví i B th × T õ

2

1 4 3 6 2 32 1 2 3 ;

3 3

æ ö- - - -Þ = - = - - Þ ç ÷

è ø I a x G

2) (ĐH B-2002) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1 ;02

I æ öç ÷è ø

, phươ ng tr ình đườ ng thẳng AB là:

2 2 0 x y- + = và AB= 2AD. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D biết đỉnh A có hoành độ âm.

G ợ i ý :

55

2 2

5

2

2

Þ = = =

=

-

AD IA IB

R

x

5Kho¶ng c¸ch tõ I ®Õ n ®-ê ng th¼ng AB b»ng vµ

cDo ®ã A, B lµ ¸c giao ®iÓm cña ®-ê ng th¼ng AB ví i ®-ê ng trßn t©m I vµ b¸n kÝ nh .

VËy täa ®é A, B lµ nghiÖm cña hÖ ph-¬ ng tr ×nh:

2 2

2

2 0

( 2;0), (2;2) 0)1 5

2 2

(3;0), ( 1; 2).

+ =ìï

- <íæ ö æ ö- + =ç ÷ ç ÷ï

è ø è øî

Þ - -

A

y

A B x x y

C D

. Gi¶i hÖ ®-î c (v ×

Lư u ý :

I

A

C

O






¸Hoµn toµn cã thÓ x c ®Þnh täa ®é H lµ h ×nh chiÕ u cña I trªn ®-ê ng th¼ng AB.

Sau ®ã t ×m A, B lµ giao ®iÓm cña ®-ê ng trßn t©m H b¸n kÝ nh HA ví i ®-ê ng th¼ng AB.

3) (Đề dự bị 2002)

Cho hai đườ ng tr òn: ( ) ( )2 2 2 2

1 2: 10 0, : 4 2 20 0C x y x C x y x y+ - = + + - - =

a. Viết phươ ng tr ình đườ ng tr òn đi qua giao điểm của ( ) ( )1 2,C C và có tâm nằm tr ênđườ ng thẳng 6 6 0 x y+ - = .

b. Viết phươ ng tr ình tiế p tuyến chung của hai đườ ng tr òn ( ) ( )1 2,C C .

4) (Đề dự bị 2002)

Cho hai đườ ng tr òn: ( ) ( )2 2 2 2

1 2: 4 5 0, : 6 8 16 0C x y y C x y x y+ - - = + - + + =

Viết phươ ng tr ình tiế p tuyến chung của hai đườ ng tr òn ( ) ( )1 2,C C .

5) (Đề dự bị 2002)

Cho đườ ng thẳng : 1 0d x y- + = và đườ ng tr òn ( ) 2 2: 2 4 0C x y x y+ + - = . Tìm toạ độ

điểm M thuộc d

mà qua đó ta k ẻ đượ c hai đườ ng thẳng tiế p xúc vớ i đườ ng tr òn ( )C tại A và B sao cho góc AMB bằng 060 .

6) (ĐH B-2003) Cho tam giác ABC vuông tại A và AB= AC. Biết (1; 1) M - là trung điểm cạnh

BC và 2

;03

Gæ öç ÷è ø

là tr ọng tâm tam giác ABC. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.

7) (Đề dự bị 2003) Cho đườ ng thẳng : 7 10 0d x y- + = . Viết phươ ng tr ình đườ ng tr òn có tâm

thuộc đườ ng thẳng : 2 0 xD y+ = và tiế p xúc vớ i đườ ng thẳng d tại điểm (4;2) A .

8) (ĐH D-2003) Cho đườ ng thẳng : 1 0d x y- - = và đườ ng tr òn ( ) ( ) ( )2 2

: 1 2 4C x y- + - = .

Viết phươ ng tr ình đườ ng tr òn ( )/

C đối xứng vớ i đườ ng tr òn ( )C qua đườ ng thẳng d

. Tìm toạ độ giao điểm của ( )/

C và ( )C .

G ợ i ý :

( ) ( )2 2

1 2 4 (1;2) 2.

(1; 1). Δ

1 2(1;2) 3 0.

1 1

- + - = =

= -

- -= Û + - =

-

x y I R

d n

x y I d x y

T õ (C): suy ra (C) cã t©m vµ b¸n kÝ nh

§-ê ng th¼ng cã vect¬ ph¸p tuyÕ n Do ®ã ®-ê ng th¼ng ®i qua

vµ vu«ng gãc ví i cã ph-¬ ng tr ×nh:

T äa ®é Δ

1 0 2(2;1)

3 0 1

(1;2) .

2 3(3;0)

2 0

- - = =ì ìÛ Þí í+ - = =î î

= - =ìÞí

= - =î

J H I

J H I

d

x y x H

x y y

J I d

x x x J

y y y

giao ®iÓm H cña vµ lµ nghiÖm cña hÖ ph-¬ ng tr ×nh:

Gäi lµ ®iÓm ®è i xø ng ví i qua Khi ®ã:

V × (C') ®è i xø ng v (3;0) 2.=d J Rí i (C) qua nªn (C') cã t©m lµ vµ b¸n kÝ nh






( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 222 2

*

1 01 2 4 1 1, 0

3, 22 8 6 03 43 4

ì - - =ì- + - = = - = =ì éï ïÛ Û Ûí í í ê

= =- + =- + = ë- + = ï îï îî

x y x y y x x y

x y x x x y x y

cT äa ®é ¸c giao ®iÓm cña (C) vµ (C') lµ nghiÖm cña hÖ ph-¬ ng tr ×nh:

VËy täa ®é giao ®iÓm cña (C) vµ (C') lµ (1;0), (3;2). A B

9) (ĐH A-2004) Cho hai điểm (0;2), ( 3; 1) A B - - . Tìm toạ độ tr ực tâm và toạ độ tâm của đườ ng tr òn ngoại tiế p của tam giác OAB.

G ợ i ý :

( 3;3) 3 0.

(0;2) 1.

( 3;1)

+ =

= -

x y

y

+ §-ê ng th¼ng qua O, vu«ng gãc ví i BA cã ph-¬ ng tr ×nh 3

§-ê ng th¼ng qua B, vu«ng gãc ví i OA cã ph-¬ ng tr ×nh

§-ê ng th¼ng qua A, vu«ng gãc ví i BO cã ph-¬ ng tr ×nh( )3 2 0

; 1).

1.

2 0.

+ - =

-

+ =

+ + =

x y

y

x y

Gi¶i hÖ hai (trong ba) ph-¬ ng tr ×nh trªn ta ®-î c trù c t©m H( 3

§-ê ng trung trù c c¹nh OA cã ph-¬ ng tr ×nh

§-ê ng trung trù c c¹nh OB cã ph-¬ ng tr ×nh 3

§-ê ng trung trù c c¹nh AB( )0

Δ ;1).

+ =

-

x ycã ph-¬ ng tr ×nh 3 3

Gi¶i hÖ hai (trong ba) ph-¬ ng tr ×nh trªn ta ®-î c t©m ®-ê ng trßn ngo¹i tiÕ p

OAB lµ I( 3

10) (ĐH A-2005) Cho hai đườ ng thẳng 1 2: 0, : 2 1 0d x y d x y- = + - = . Tìm toạ độ các đỉnh

của hình vuông ABCD biết r ằng đỉnh A thuộc 1d , đỉnh C thuộc 2d và các đỉnh B, D thuộc tr ục

hoành.

G ợ i ý : ( ); .

( ; ).

2 1 0 1. (1;1), (1; 1).

1(1;0).

1

Î Þ

Î -

Î - - = Û = -

= =ìí

= =î

Î

A t t

C t t

t t t A C

IB IA I

ID IA

B O

1

2

¸

V × A d

V × A vµ C ®è i xø ng nhau qua BD vµ B, D Ox nªn

V × C d nªn VËy

Trung ®iÓm AC lµ V × I lµ t©m cña h ×nh vu«ng nªn:

MÆt kh c:1 1( ;0) 0, 2

( ;0) 0, 21 1

(0;0) (2;0) (2;0) (0;0).

(1;1), (0;0), (1; 1), (2;0)

(1;

ì - = = =ì ì ìïÛ Þ Ûí í í í

Î = =- =î î îïî

-

b x B b b d

D Ox D d d d d

B D B D

A B C D

A

Suy ra, vµ hoÆc vµ

VËy bè n ®Ønh cña h ×nh vu«ng lµ:

hoÆc 1), (2;0), (1; 1), (0;0)- B C D






11) (ĐH B-2005) Cho hai điểm (2;0), (6;4) A B . Viết phươ ng tr ình đườ ng tr òn ( )C tiế p xúc

vớ i tr ục hoành tại A và khoảng cách từ tâm của ( )C đến điểm B bằng 5.

G ợ i ý :

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

( ; )

.

15 6 2 4 25 8 7 0

7

* 2, 1 : 2 1 1

* 2, 7

Þ =

=é= Û - + - = Û - + = Û ê

=ë

= = - + - =

= =

I a b

R

b IB b b b

b

a b x y

a b

1

Gäi t©m cña (C) lµ vµ b¸n kÝ nh cña (C) lµ R.

Ta cã: (C) tiÕ p xóc ví i Ox t¹i A a=2 vµ b

Ví i ta cã ®-ê ng trßn C

Ví i ta cã ( ) ( ) ( )2 2

: 2 7 49- + - = x y1

®-ê ng trßn C

12) (Đề dự bị 2005) Cho đườ ng tr òn ( ) 2 2: 12 4 36 0C x y x y+ - - + = . Viết phươ ng tr ình

đườ ng tr òn ( )1C tiế p xúc hai tr ục toạ độ Ox, Oy đồng thờ i tiế p ngoài vớ i (C).

G ợ i ý : ( ) ( ) ( )2 22 2 12 4 36 0 6 2 4C x y x y x yÛ + - - + = Û - + - =

Va äy (C) co ù ta âm ( )I 6,2 va ø R=2

V ì ñ ö ô øng tro øn ( )1C tie á p xu ùc vô ùi 2 tru ïc Ox, Oy ne ân ta âm 1I na èm tre ân 2 ñö ô øng tha úng

y x= ± va øv ì (C) co ù ta âm ( )I 6,2 ,R = 2

ne ân ta âm 1( ; ) I x x± vô ùi x > 0.

TH 1: Ta âm 1I Î ñ öô øng tha úng y = x Þ ( ), I x x , ba ùn k ính 1 R x=

( )1C tie á p xu ùc ngoa øi vô ùi (C) Û 1 1 I I R R= + ( ) ( )2 2

6 2 2 x x xÛ - + - = +

( ) ( )2 2 2 26 2 4 4 16 4 36 0 x x x x x x xÛ - + - = + + Û - - + =

2 220 36 0

18

x x x

x

=éÛ - + = Û ê

=ë.ÖÙng vô ùi 1 22 hay 18 R R= =

Co ù 2 ñö ô øng tro øn la ø: ( ) ( )2 2

2 2 4 x y- + - = ; ( ) ( )2 2

18 18 18 x y- + - =

TH 2: Ta âm 1I Î ñö ô øng tha úng ( ), y x I x x= - Þ - ; 1 R x=

Tö ông tö ï nhö tre ân, ta co ù x= 6

Co ù 1 ñö ô øng tro øn la ø ( ) ( )2 2

6 6 36 x y- + + =

K ết luận: To ùm la ïi ta co ù 3 ñö ô øng tro øn tho ûa ycbt la ø:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2

2 2 4; 18 18 18; 6 6 36 x y x y x y- + - = - + - = - + + =






13) (Đề dự bị 2005)

Cho hai đườ ng tr òn ( ) ( )2 2 2 2

1 2: 9, : 2 2 23 0C x y C x y x y+ = + - - - = . Viết phươ ng tr ình

tr ục đẳng phươ ng d của ( )1C và ( )2

C . Chứng minh r ằng nếu K thuộc d thì khoảng cách từ K

đến tâm của ( )1C nhỏ hơ n khoảng cách từ K đến tâm của ( )2

C .

G ợ i ý :

Ñöô øng tro øn ( )1C co ù ta âm ( )O 0,0 ba ùn k ính 1R 3=

Ñöô øng tro øn ( )2C co ù ta âm ( )I 1,1 , ba ùn k ính 2R 5=

Phö ông tr ình tru ïc ña úng phö ông cu ûa 2 ñ öô øng tro øn ( )1C , ( )2C la ø

( ) ( )2 2 2 29 2 2 23 0 x y x y x y+ - - + - - - =

7 0 x yÛ + + = (d)

Go ïi ( ) ( ), 7k k k k K x y d y xÎ Û = - -

( ) ( ) ( )

2 2 22 2 2 2 20 0 7 2 14 49

k k k k k k k k OK x y x y x x x x= - + - = + = + - - = + +

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 21 1 1 8 2 14 65k k k k k k IK x y x x x x= - + - = - + - - = + +

Ta xe ùt ( ) ( )2 2 2 22 14 65 2 14 49 16 0k k k k IK OK x x x x- = + + - + + = >

Va äy 2 2 (ñpcm) IK OK IK OK > Û >

(Đề dự bị 2005) Trong mặt phẳng vớ i hệ tọa độ Oxy cho (C): x2 + y

2 4 6 12 0 x- y- - = . Tìm tọa

độ điểm M thuộc đườ ng thẳng d : 2 3 0 x y- + = sao cho MI = 2R , trong đó I là tâm và R là bán

k ính của đườ ng tr òn (C).

G ợ i ý :

Đườ ng tr òn (C) có tâm ( )I 2,3 , R=5

( ) ( )M M M M M MM x ,y d 2x y 3 0 y 2x 3Î Û - + = Û = +

( ) ( )2 2

M MIM x 2 y 3 10= - + - =

( ) ( )

( )

2 2 2M M M M

M M

M M

x 2 2x 3 3 10 5x 4x 96 0

x 4 y 5 M 4, 5

24 63 24 63x y M ,

5 5 5 5

Û - + + - = Û - - =

= - Þ = - Þ - -éê

Û æ öê = Þ = Þ ç ÷êè øë

(Đề dự bị 2005) Trong mặt phẳng vớ i hệ tọa độ Oxy cho 2 điểm A(0;5), B(2; 3) . Viết phươ ng

tr ình đườ ng tr òn đi qua hai điểm A, B và có bán k ính 10= R .

G ợ i ý : Gọi ( )I a,b là tâm của đườ ng tr òn (C)

Pt (C), tâm I, bán k ính R 10= là ( ) ( )2 2

x a y b 10- + - =

( ) ( ) ( )2 2 2 2A C 0 a 5 b 10 a b 10b 15 0Î Û - + - = Û + - + = (1)






( ) ( ) ( )Î Û - + - = Û + - - + =2 2 2 2B C 2 a 3 b 10 a b 4a 6b 3 0 (2)

(1) và ( 2)

ì = - =ì ì+ - + =ïÛ Ûí í í

= =- + =ï î îî

2 2 a 1 a 3a b 10b 15 0hay

b 2 b 64a 4b 12 0

Vậy ta có 2 đườ ng tr òn thỏa ycbt là ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

x 1 y 2 10

x 3 y 6 10

+ + - =

- + - =

14) (ĐH D-2006) Cho đườ ng tr òn ( ) 2 2: 2 2 1 0C x y x y+ - - + = và đườ ng thẳng

: 3 0d x y- + = . Tìm toạ độ điểm M tr ên d sao cho đườ ng tr òn tâm M, có bán k ính gấ p đôi

bán k ính đườ ng tr òn ( )C , tiế p xúc ngoài vớ i đườ ng tr òn ( )C .

G ợ i ý :

( ) ( ) 22

1

(1;1) 1.

( ; 3).

12 1 2 9

2

(1;4), ( 2;1

I R

M d M x x

x MI R R x x

x

M M

=

Î +

=é= + Û - + + = Û ê

= -ë

-

§-ê ng trßn (C) cã t©m vµ b¸n kÝ nh

V × nªn

Yªu cÇu cña bµi to¸n t-¬ ng ®-¬ ng ví i:

VËy, cã hai ®iÓm M tháa m·n yªu cÇu bµi to¸n lµ: ).

15) (Đề dự bị 2006) Cho đườ ng thẳng : 1 2 0d x y- + - = và điểm ( 1;1) A - . Viết phươ ng

tr ình đườ ng tr òn ( )C đi qua A, gốc toạ độ O và tiế p xúc vớ i đườ ng thẳng d .

G ợ i ý : 2 2

2 2

2

V × (C) qua O nªn ph-¬ ng tr ×nh (C): 2 2 0

¸MÆt kh c, do ( 1;1) (C): 2 2 2 0 1.

Lóc ®ã, ph-¬ ng tr ×nh (C), viÕ t l¹i: 2 2( 1) 0

(C) cã t©m ( ;1 ) vµ b¸n kÝ nh 2 2 1

Do (C) ti

+ + + =

- Î - + = Û = -

+ + + - =

Þ - - = - +

x y ax by

A a b b a

x y ax a y

I a a R a a

( )

2

2

2 2 2 2

1 2

Õ p xóc ví i ®-ê ng th¼ng : 1 2 0 nªn ;

(1 ) 1 2 22 2 1 1.

2 2

02 2 0 .

1

VËy cã hai ®-ê ng trßn tháa y.c.b.t lµ (C ) : 2 0, (C ) : 2 0,

- + - = =

- - - + -Û - + = = =

=éÛ - = Û ê

=ë

+ - = + + =

d x y R d I d

a aa a

aa a

a

x y y x y x

16) (ĐH B-2006) Cho đườ ng tr òn ( ) 2 2: 2 6 6 0C x y x y+ - - + = và điểm ( 3;1) M - . Gọi 1 2,T T

là các tiế p điểm của các tiế p tuyến k ẻ từ M đến ( )C . Viết phươ ng tr ình đườ ng thẳng 1 2TT .

G ợ i ý :






( )0

2, 2 5

;

( ) ( )

. 0

R MI R

y

T C T C

MT IT MT IT

MT

= = >

Î Îì ìï ïÞí í

^ =ï ïî î

0

§-ê ng trßn (C) cã t©m I(1;3) vµ b¸n kÝ nh nªn M n»m ngoµi (C).

NÕ u T x lµ tiÕ p ®iÓm cña tiÕ p tuyÕ n kÎ tõ M ®Õ n (C) th ×:

Ta cã: ( ) ( )0 0 0 0

2 20 0 0 0

0 02 20 0 0 0

1 2

3; 1 , 1; 3 .

2 6 6 02 3 0

2 4 0

x y IT x y

x y x y x y

x y x y

T T

= + - = - -

ì + - - + =ïÞ + - =í

+ + - =ïî

Do ®ã, ta cã:

(1)

c

1 2 : 2 3 0.

VËy, täa ®é ¸c tiÕ p ®iÓm vµ cña c¸c tiÕ p tuyÕ n kÎ tõ M ®Õ n (C) ®Òu tháa m·n ®¼ng

t T T x y+ - =hø c (1). Do ®ã, ph-¬ ng tr ×nh ®-ê ng th¼ng

17) (ĐH A-2007) Cho tam giác ABC có (0; 2), ( 2; 2) A B - - và (4; 2)C - . Gọi H là chân đườ ng

cao k ẻ từ B; M, N lần lượ t là trung điểm của AB và BC. Viết phươ ng tr ình đườ ng tr òn qua các

điểm H, M, N.

G ợ i ý : Ta cã Gi¶ sö , ta cã:

Gi¶ sö ph-¬ ng tr ×nh ®-ê ng trßn cÇn t ×m lµ: (1)

Thay

2 2

( 1;0), (1; 2), (4; 4). ( ; )

4( 2) 4( 2) 0 1(1;1)

4 4( 2) 0 1

2 2 0

M N AC H x y

x y x BH AC H

x y y H AC

x y ax by c

- - = -

ì + - + = =ì ì^ïÛ Û Þí í í

+ - = =Îï î îî

+ + + + =

täa ®é cña M, N, H vµo ph-¬ ng tr ×nh (1) ta cã hÖ ph-¬ ng tr ×nh:

VËy ph-¬ ng tr ×nh ®-ê ng trßn cÇn t ×m lµ: 2 2

1

22 1 12 4 5

22 2 2

2

2 0.

a

a ca b c b

a b cc

x y x y

ì= -ï

- =ì ïï ï- + = - Û =í í

ï ï+ + = -î = -ïïî

+ - + - =

18) (ĐH D-2007) Cho đườ ng tr òn ( ) ( ) ( )2 2

: 1 2 9C x y- + + = và đườ ng thẳng

: 3 4 0d x y m- + = . Tìm m để tr ên d có duy nhất một điểm P mà từ P có thể k ẻ đượ c hai tiế ptuyên PA, PB (A, B là các tiế p điểm) sao cho tam giác PAB đều.

G ợ i ý : (1; 2) 3 2 2 6

' 6.

R IP IA R

R

- = D = = = Û

=

(C) cã t©m I vµ b¸n kÝ nh . Ta cã PAB ®Òu nªn P thuéc

®-ê ng trßn (C') t©m I b¸n kÝ nh

Nhận xét: Điểm P là điểm chung của (C’) và d.






( ) 19

; 641

md I d

m

=éÛ = Û ê

= -ë

Trªn d cã duy nhÊ t mét ®iÓm P tháa m·n yªu cÇu bµi to¸n khi vµ chØ khi d tiÕ p xóc ví i (C') t¹i P

19) (Đề dự bị 2007) Trong mặt phẳng Oxy cho đườ ng tr òn (C): 2 2 1 x y+ = . Đườ ng tr òn (C')

tâm I (2,2) cắt (C) tại các điểm A, B sao cho AB 2= . Viết phươ ng tr ình đườ ng thẳng AB.

G ợ i ý : Cách 1: Đườ ng thẳng OI nối 2 tâm của 2 đườ ng tr òn (C), (C') là đườ ng phân giác y x= . Do

đó, đườ ng AB ^ đườ ng y x= Þ hệ số góc của đườ ng thẳng AB bằng 1- .

Vì AB 2= Þ A, B phải là giao điểm của (C) vớ i O x, O y.

Suy raA(0,1); B(1,0)

A'( 1,0); B'(0, 1)

éê

- -ë

Suy ra phươ ng tr ình AB: 1 y x= - + hoặc 1 y x= - - .

Cách 2: Phươ ng tr ình AB có dạng: y x m= - +

Pt hoành độ giao điểm của AB là: 2 2 2 21 2 2 1 0 (2)( ) x x m x mx m+ - + = Û - + - =

(2) có / 2

2 mD = - , gọi 1 2, x x là nghiệm của (2) ta có :

2 2 21 2 1 22 2( ) 2 ( ) 1 AB x x x x= Û - = Û - =

/ 2

2

141 2 1

1

mm

ma

=éDÛ = Û - = Û ê

= -ë

Vậy phươ ng tr ình AB : 1 y x= - + hoặc 1 y x= - - .

Cách 3: Phươ ng tr ình AB có dạng: y x m= - +

Gọi H là trung điểm AB. Suy ra: ( )2

2 2 2d ;

4

ABOI O AB R AH R= = - = -

Từ đó giải phươ ng tr ình ( )d ;OI O AB= .

20) (Đề dự bị 2007) Cho đườ ng tr òn (C): 2 2 8 6 21 0 x y x y+ - + + = và đườ ng thẳng d:

01yx =-+ . Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiế p (C) biết A Î d.

G ợ i ý : Đườ ng tr òn (C) có tâm I(4, – 3), bán k ính R = 2

Tọa độ của I(4, – 3) thỏa phươ ng tr ình (d): 01yx =-+ . Vậy I Î d

Vậy AI là một đườ ng chéo của hình vuông ngoại tiế p đườ ng tr òn, có bán k ính R = 2 , x = 2

và 6 x = là 2 tiế p tuyến của (C) nên

- Hoặc là A là giao điểm các đườ ng (d) và 2 x = Þ A(2, – 1)

- Hoặc là A là giao điểm các đườ ng (d) và 6 x = Þ A(6, – 5)

- Khi A(2, – 1) Þ B(2, – 5); C(6, – 5); D(6, – 1)

- Khi A(6, – 5) Þ B(6, – 1); C(2, – 1); D(2, – 5)

R

HO

B








Từ (**) suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ). 0 2 1 2 1 2 . 2 0 A B A B IA IB my m my m y y= Û - + - - + - + + + =

Sử dụng định lí Vi-et đối vớ i phươ ng tr ình (*), suy ra k ết quả.

23) (ĐH B-2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đườ ng tr òn ( ) ( )2 2 4

: 25

C x y- + = và hai

đườ ng thẳng 1 2Δ : 0, Δ : 7 0 x y x y- = - = . Xác định tâm K và bán k ính của đườ ng tr òn ( )1C ,

biết đườ ng tr òn ( )1C tiế p xúc vớ i 1 2Δ , Δ và tâm K thuộc đườ ng tr òn (C).

G ợ i ý :

Gọi tâm của ( )1C là ( ) ( )2 2 4

( ; ) 25

K a b C a bÎ Û - + = (1)

Theo giả thiết, đườ ng tr òn ( )1C tiế p xúc vớ i 1 2Δ , Δ ( ) ( ) ( )1 2 1; ;d K d K RÛ D = D =

15 5 77

5 7 25 5 72 50

2

a b a ba b a b a ba b a b

a b b aa b

é- = -- - = -é êÛ = Û - = - Û Ûê ê- = -ë =ë

Thay vào (1), giải ra k ết quả.

24) (ĐH D-2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đườ ng tr òn ( ) ( )2 2: 1 1C x y- + = . Gọi I là

tâm của (C). Xác định điểm M thuộc (C) sao cho 030 IMO = .

G ợ i ý :

Cách 1: Gọi ( ) ( ) ( )2 2; : 1 1 M x y C x yÎ - + = (1)

Xét tam giác IAB : 2 2 2 2 22 . . 1 1 2OM IM OI IM OI MIO x y= + - Û + = + - 0cos cos1202 2 3 x yÛ + = (2)

Giải hệ (1) và (2), đưa ra k ết quả bài toán.

Cách 2: Để ý r ằng, vớ i các giả thiết đã cho của bài toán, thấy đượ c 0

30 MOI = .Lúc đó, điểm M là giao điểm của 2 đườ ng thẳng 1D , 2D qua O và có các hệ số góc tươ ng ứng

0

1

1tan30

3k = = và 0

1

1tan150

3k = = - .

Ta có 1D :1

3 y x= và 1D :

1

3 y x= -

K ết hợ p vớ i giả thiết ( ) ( ) ( )2 2; : 1 1 M x y C x yÎ - + = (1) , giải hệ và đưa ra k ết quả.

25) (ĐH A-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đườ ng thẳng 1 : 3 0d x y+ = và

2 : 3 0d x y- = . Gọi (T) là đườ ng tr òn tiế p xúc vớ i 1d tại A, cắt 2d tại hai điểm B, C sao cho

tam giác ABC vuông tại B. Viết phươ ng tr ình của (T) biết tam giác ABC có diện tích bằng3

2và điểm A có hoành độ dươ ng.

G ợ i ý :

Để ý r ằng:1 3

.2 2

ABC S AB BC = = (*)






Do ( )1 : 3 0 ; 3Î + = Þ - A d x y A a a . Mặt khác, (T) cắt 2d tại hai điểm B, C nên gọi

( ) ( ); 3 , ; 3 B b b C c c .

Ta có: ( ); 3 3 AC c a c a= - +

và 1d có 1 vectơ chỉ phươ ng ( )1

1; 3d

a = -

.

Do ABC D vuông tại B nên tâm I của (T) là trung điểm AC. Và (T) là đườ ng tr òn tiế p xúc vớ i

1d tại A nên suy ra: ( ) ( )1. 0 3 3 3 0 2

d AC a c a c a c a= Û - - + = Û = -

.

Lúc đó: ( )2 ; 2 3C a a- - .

Từ (*) giải ra đượ c tọa độ A, chọn hoành độ dươ ng. XEM LẠI TÍ!!!!

26) (ĐH B-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm ( )2; 3 A và elip ( )2 2

: 13 2

x y E + = .

Gọi 1 2, F F là các tiêu điểm của (E) ( 1 F có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dươ ng

của đườ ng thẳng 1 AF vớ i (E), N là điểm đối xứng của 2 F qua M. Viết phươ ng tr ình đườ ng

tr òn ngoại tiế p tam giác 2 ANF .G ợ i ý :

NhËn thÊ y vµ §-ê ng th¼ng cã ph-¬ ng tr ×nh:

lµ giao ®iÓm cã tung ®é d-¬ ng cña ví i (E), suy ra:

Do N lµ ®iÓm ®è i xø ng cña qua M nªn

1 2 1

1

2

2 2

1( 1;0) (1;0).

3 3

2 3 2 31;

3 3

,

x yF F AF

M AF

M MA MF

F MF MN

+- =

æ öÞ = =ç ÷

è ø

=

( )

suy ra:

Ph-¬ ng tr ×nh (T):

2

22

.

2 3 41

3 3

MA MF MN

x y

= =

æ ö- + - =ç ÷

è ø27) (ĐH D-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh (3; 7) A - , tr ực tâm

(3; 1) H - , tâm đườ ng tr òn ngoại tiế p ( 2;0) I - . Xác định tọa độ đỉnh C biết đỉnh C có hoành độ

dươ ng.

G ợ i ý :

Lấy điểm A’ đối xứng vớ i điểm A qua I. Gọi ( ) / ; : . 0C x y AC A C =

(1) .

Để ý r ằng, BHCA’ là hình bình hành nên IA IC = (2)

Từ (1) và (2) suy ra, k ết luận bài toán. 28) (ĐHDLHV) Cho điểm ( )8; 1 A - và đườ ng tr òn ( ) 2 2: 6 4 4 0C x y x y+ - - + =

a. Viết các phươ ng tr ình các tiế p tuyến của ( )C k ẻ từ A.

b. Gọi M, N là các tiế p điểm. Tính độ dài MN.

29) (CĐMGTW3-2004) Cho đườ ng tr òn ( ) 2 2: 2 4 0C x y x y+ + - = và đườ ng thẳng

: 1 0d x y- + =

a. Viết phươ ng tr ình đườ ng thẳng vuông góc vớ i d và tiế p xúc ( )C .






b. Viết phươ ng tr ình đuờ ng thẳng song song vớ i d và cắt đườ ng tr òn tại hai điểm M, Nsao cho độ dài MN bằng 2.

c. Tìm toạ độ điểm T tr ên d sao cho qua T k ẻ đượ c hai đườ ng thẳng tiế p xúc vớ i ( )C

tại hai điểm A, Bvà góc ATB bằng 060 .

30) (CĐCNHN 2004) Cho tam giác ABC, hai cạnh AB, AC theo thứ tự có phươ ng tr ình

2 0 x y+ - = và 2 6 3 0 x y+ + = , cạnh BC có trung điểm ( 1;1) M - . Viết phươ ng tr ình đườ ng

tr òn ngoại tiế p tam giác ABC.

31) (CĐCNHN 2005) Cho tam giác ABC, biết phươ ng tr ình các cạnh AB, BC, CA lần lượ t là

2 5 0, 2 2 0, 2 9 0 x y x y x y+ - = + + = - + = . Tìm toạ độ tâm đườ ng tr òn nội tiế p tam giác

ABC.

32)(CĐSPQB 2005) Viết phươ ng tr ình đườ ng tr òn ( )C qua 3 điểm (2;3), (4;5), (4;1) A B C

Chứng tỏ điểm (5;2) K thuộc miền trong của ( )C . Viết phươ ng tr ình đườ ng thẳng d qua điểm

K sao cho d cắt ( )C theo dây cung AB nhận K làm trung điểm.

33) Cho đườ ng tr òn ( ) 2 2: 2 8 8 0C x y x y+ - - - =

a. Viết phươ ng tr ình tiế p tuyến của ( )C đi qua điểm (4;0) M . b. Viết phươ ng tr ình tiế p tuyến của ( )C đi qua điểm (4;6) N .

34) Cho đườ ng tr òn ( ) ( ) ( )2 2

: 2 4 9C x y- + - = và điểm (3;4) M

a. Viết phươ ng tr ình tiế p tuyến của ( )C đi qua điểm M .

b. Viết phươ ng tr ình tiế p tuyến của ( )C , biết tiế p tuyến đó hợ p vớ i chiều dươ ng của

tr ục Ox một góc 045 .

35) (ĐHGTVT) Cho đườ ng tr òn ( ) 2 2: 2 4 4 0C x y x y+ - - - = và điểm (2;2) A . Viết phươ ng

tr ình tiế p tuyến của ( )C đi qua điểm A . Giả sử hai tiế p điểm là MN, tính AMN S .

G ợ i ý : Cách 1: Viết phươ ng tr ình tiế p tuyến 1 2

,D D của (C) qua A như tr ên.

Xác định tọa độ M, N tươ ng ứng là các tiế p điểm của 1 2,D D và (C).

Tính AMN S .

Cách 2: Dùng công thứ c phân đôi t ọa độ, suy ra phươ ng tr ình MN là: 4+ 0= x .

Xét ( ) 22: ; IMH MH IM d I MN é ùD = - ë û

( ) 22 2; R d I MN MN MH é ù= - Þ =ë û

Từ đó suy ra: ( )1; .

2= AMN S d A MN MN

Cách 3: Dùng công thức 21

. .sin sin2 2

AMN

RS MA NA MAN MAN D = =

Vớ i 2 MAN MAI = . Tính MAI : sin IM

MAI IA

=

36) Cho hai đườ ng tr òn ( ) 2 2

1 : 4 8 11 0C x y x y+ - - + = và ( ) 2 2

2 : 2 2 2 0C x y x y+ - - - =

DDD2

DDD1

I

A

N

M






a. Xét vị tr í tươ ng đối của hai đườ ng tr òn

b. Viết phươ ng tr ình tiế p tuyến chung của hai đườ ng tr òn.

37) (Đề thi đề xuất 2010) Cho ( ) ( ) ( )2 2

: 1 3 9C x y- + + = và đườ ng thẳng : 1 0d x y- + = .

Tr ên (C) lấy điểm M và lấy điểm N tr ên d sao cho O là trung điểm MN. Tìm M, N.

G ợ i ý :

Gọi ( ; 1) N t t d + Î

. Do M, N đối xứng nhau qua O nên ( ; 1) M t t - - - .

Mặt khác, ( ) ( )2 2 2

1( ) 1 1 3 9 2 0

2

t M C t t t t

t

= -éÎ Û - - + - - + = Û - - = Û ê

=ëK ết luận: Vậy có hai cặ p điểm M, N thỏa yêu cầu bài toán

(1;0), ( 1;0) M N - và ( 2; 3), (2;3) M N - -

38) (Đề thi đề xuất 2010) Cho ( ) ( ) ( )2 2

: 1 1 1C x y+ + - = và đườ ng thẳng : 1 0d x y- - = .

Tr ên (C) lấy điểm M và lấy điểm N tr ên d sao cho M, N đối xứng nhau qua Ox. Tìm M, N.

G ợ i ý : Gọi ( ; 1) N t t d - Î . Do M, N đối xứng nhau qua Ox nên ( ; 1) M t t - + .

Mặt khác, ( ) ( )2 2 2

1( ) 1 1 1 1 0

0

t M C t t t t

t

= -éÎ Û + + - + - = Û + = Û ê=ë

K ết luận: Vậy có hai cặ p điểm M, N thỏa yêu cầu bài toán

( 1;2), ( 1; 2) M N - - - và (0;1), (0; 1) M N -

39) (Toán học Tuổi trẻ 2010) Cho tam giác ABC có (1;0) A , hai đườ ng thẳng tươ ng ứng chứa

đườ ng cao k ẻ từ B, C của tam giác thứ tự có phươ ng tr ình: 2 1 0 x y- + = và 3 1 0 x y+ - = .

Viết phươ ng tr ình đườ ng tr òn ngoại tiế p tam giác ABC.

G ợ i ý : Phươ ng tr ình : 3 1 ( 5; 2) AB x y B- = Þ - - .

Phươ ng tr ình : 2 ( 1;4)2 AC x y C + = Þ - .

Sử dụng k ỹ năng gọi đườ ng tr òn đi qua 3 điểm (1;0) A , ( 5; 2) B - - và ( 1; 4)C - ta tìm đượ c

phươ ng tr ình ( ) 2 2 36 10 43: 0

7 7 7C x y x y+ + - - = .

40) (Toán học Tuổi trẻ 2010) Cho đườ ng tr òn ( ) 2 2 3:

2C x y+ = và parabol 2( ) : P y x= . Tìm

tr ên (P) điểm M sao cho từ M có thể k ẻ đượ c hai tiế p tuyến vớ i đườ ng tr òn (C) và hai tiế ptuyến này tạo vớ i nhau một góc 60

0.

G ợ i ý :

Cách 1: Gọi ( )2

0 0; ( ) M x x P Î và A, B là hai tiế p điểm. Dễ thấy yêu cầu bài toán khi và chỉ khi

060 2 6. AMB OM OA= Û = =

Từ đó ta tìm đượ c { }0 2; 2 x Î - .

Vậy có hai điểm thỏa y.c.b.t là ( ) ( )1 22; 2 , 2; 2 M M - .

Cách 2: Tươ ng tự cũng tính đượ c 060 2 6. AMB OM OA= Û = =





Suy ra ( ) ( ) / ; 6 M C OÎ º vậy điểm M là giao điểm của hai đườ ng:

( ) / 2 2: 6C x y+ = và 2( ) : P y x= ….

41) (Toán học Tuổi trẻ 2010) Cho đườ ng tr òn ( ) 2 2: 6 4 8 0C x y x y+ - - + = và đườ ng thẳng

: 2 6 0d x y- + = . Tìm tọa độ điểm M tr ên (C) sao cho khoảng cách từ M đến đườ ng thẳng d

có giá tr ị nhỏ nhất. G ợ i ý :

Đườ ng tr òn (C) có tâm (3;2) I , bán k ính 5 R = . Hai tiế p tuyến của (C) song song vớ id là 1Δ : 2 1 0 x y- + = và 2Δ : 2 9 0 x y- - = .

Xác định các tiế p điểm 1 2, M M tươ ng ứng 1Δ và 2Δ vớ i (C). So sánh ( )1;d M d và

( )2;d M d .

Đá p số: ( )11;3 M

Documents

[Trithuctoan.blogspot.com]- Phuong Trinh Duong Tron