TRỌNG TÂM KIẾN THỨC & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÀM SỐ MŨ - LOGARIT TÍCH PHÂN - ĐẠI SỐ TỔ HỢP XÁC SUẤT - SỐ PHỨC - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TRÍCH ĐOẠN)

8/9/2019 TRỌNG TÂM KIẾN THỨC & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÀM SỐ MŨ - LOGARIT TÍCH PHÂN - ĐẠI SỐ TỔ HỢP XÁC SUẤT…

1/183


2/183

!

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU

B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N

W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú


3/183

N G U Y Ễ N P H Ú K H Á N H

TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

&

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

HÀM SỐ MŨ - LOGARIT

TÍCH PHÂN - ĐẠI s ố Tổ Hộp XÁC SUẤT - SỐ PHỨC

v v - / < t V ơ s

NHẠ XUẤT BẲN ĐẠI HỌC s ư PHẠM



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




4/183

Chịu trách nhiệm xuất bản:

Giám đốc ĐINH NGỌC BẢO

Tổng biên tập ĐINH VĂN VANG

Chịu trách nhiệm nội dung và bản qùyền:

Nhà sách HỒNG ÂN

Biên tập nổi dung:

LÊ VĂN HIỆN

Kĩ thuật vi tính:

NHÀ SÁCH HỔNG ÂN

Trình bày bìa: TIÊU VĂN ANH

Mã số: 02 .02.99 6/100 1.PT 2013

TRỌNG TÂM KIẾN THỨC & pp GIẢI TOÁN HÀM s ố MŨ, LOGARIT,

TÍCH PHẦN, ĐẠI SỐ Tổ HỢP, x á c s u ấ t , s ố p h ứ c _______________

In 1.500 cuốn, khổ 17 X 24cm tại Công ti cổ phần Văn hóa Văn Lang.

Đăng ki KHXB số: 74- 2013/CXB/996-84/ĐHSP ngày 14/1/2013.

QĐXB số: 49/QĐ-ĐHSP ngày 1/2/2013.In xong và nộp luu chiểu quý II năm 2013.



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




5/183

' n ò i' cd ắ cù

Đại thi hào Will iam A.Ward từng nói: "Người thầy trung bình chí biết nói,

người thầy giỏi bỉết cách giải thích, người thầy xuất chúng biết cách minh họa,

còn người thầy vĩ đại biết cách truyền cảm hứttg".

Và tác g iả thực sự hi vọng cuôn sách này sẽ t rở thành nguổn cảm hứng cũng

như tư l iệu bổ ích cho các bạn thí sinh trong kì thi Đại học sắp tới . Nội dung

cuốn sách được t r ình bày theo từng vân đề , tương ứng từng chương, bài gần

giống sách giáo khoa và câu trúc đê ' thi Đại học của Bộ Giáo dục và Đào tạo

(theo chương trình giám tải hiện hành).

"Trọng tâm k iến thức và phư ơ ng ph áp g iải toán: Hàm sô m ũ - Logar it , T ích

p h â n , Đ ạ i số tô’ h ợ p , Xác su ấ t - s ố p h ứ c " là m ột trong n h ữ n g cuôn thuộc bộ sách

"Trọng tâm kiên thức và phương pháp giải toán" , do tác già biên soạn.

Bộ sách gổ m 6 tập:

Tập I: Khảo sá t hàm sô và ứng dụ ng đạo hàm

Tập I I: Hàm sổ m ũ - Logari t, T ích phân , Đạ i sổ tổ hợp , xác suấ t - s ố ph ức

Tập I II : Đại số và Lượ ng giác

T ậ p I V : H ìn h h ọ c t ro n g k h ô n g g i a n

Tập V: H ình học t rong tọa độ

Tập VI : Bất đẳng thức và bà i toán max - m in t rong các bà i k iểm tra, th i

học k ì và t rong k ì th i tuyể n s inh Đạ i học

Với cách viết khoa học và sinh^động giúp bạn đọc t iếp cận với môn Toán một

cách tự nhiên, không áp lực , bạn đọc t rở nên tự t in và năng động hơn; h iểu rõ

b ản chcTt, b iết cách p h ân tích đ ể tìm ra trọng tâ m của vân đê' và b iế t g iả i th íc h, lậ p

luận cho từ ng bài toán. Sự đa dạn g của hệ thống bài tập và t ình hu ốn g g iúp bạn

đọc luôn hứng thú khi giải toán.

Trong sách, các ví dụ minh họa được chọn lọc, sắp xếp từ dễ đến khó và dẫn

dắt đến những bài toán thi Đại học. Tác giả chủ trọng gợi mở lời giải để bạn đọc

3



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




6/183

khám phá, bạn đọc sẽ ngạc nhiên với con đựờng t ìm tòi của mình và đưa ra

ph ư ơng p h á p giải đẩy thú vị, sau m ỗi lòi giải chúng tôi đ ều có các lờ i b ìn h , đúc

kết kinh nghiệm .

N hữ n g câu hỏi m ở trong sách có nội d u n g cơ bán bám sá t sách g iá o khoa và

câu trúc đề thi Đại học, đổng thời phân chia bài tập thành các dạng toán có lờ

giải chi t iết . Hiện nay đề thi Đại học không khó, tổ hợp của nhiều vấn đề đơn

giản, nhưng chứa nhiều câu hỏi mở nếu không nắm chắc lý thuyết sẽ lúng túng

trong việc t ìm lời giải bài toán. Với một bài toán, không nên thỏa mãn ngay vớ

m ột lời giải m ình v ừa tìm đượ c m à phả i cô'gắng tìm n hiều cách giải nhâ't cho bà

toán đó, mỗi m ột cách giải sẽ có thêm phẩ n kiến thứ c mó i ôn tập.

Khi giải mộ t bài toán, thay vì dùn g thời gian đ ể lục lọi trí nhớ , thì ta cần phả

suy nghĩ phân t ích để t ìm ra phương pháp giải quyết bài toán đó. Đối với Toán

học, không có t rang sách nào là thừa. Từng t rang, từng dòn g đ ều ph ải hiểu. M ôn

Toán đòi hỏi phải kiên nhẫn và bền bi ngay từ những bài tập đơn giản nhất

nh ữn g kiến thức cơ bản nhâ't , vì chính nh ữn g kiến thức co bản mới giú p bạ n đọc

hiểu được n hữ ng kiến thức nân g cao sau này.

Giờ đây, chúng tôi chợt nhớ tới câu nói của Ludwig Van Beethoven: "Giọ

nước có thê’ làm m òn tảng đá, không phải v ì g iọ t nước có sức mạnh, mà do nướ

chảy Hên tục ngày đêm. Chỉ có sự phấn đấu không m ệt m ỏi m ới đem lại tài năng

Do đó ta có th ê khẳng địn h , không nhíc h tùng bước th ì khôn g bao g iờ có th ể đ i xangàn dặm".

Mặc dù tác giá đã d ành nhiều tâm hu yết cho cuốn sách, song sự sai sót là điều

khó t ránh khỏi . Chúng tôi râ ' t mong nhận được sự phản biện và góp ý quý báu

của quý độc giả để nhữ ng lần tái bản sau cuốn sách đượ c hoàn thiện hơn.

Tác giả

4



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




7/183

CHỦ ĐỂ: SỐ PHỨCA. CHUẨN KIẾN THỨC

TÓM TẮT GIÁO K HOA1. Đ ịnh nghĩa số phứ c

Xét R 2 = Ị(x; y)| x; y 6 Ẩ?|

Hai ph ẩn từ (x j; y j) và (x2; y 2) bằng nhau 1 1

v(x1;y1)/(x2;y2)6/Ấf2:

y =y 2

Phép cộng : Zj + z 2 = (xj; y , ) + (x 2; y 2 ) = (xj + x2; y i I y 2 ) e M2

Phép nhân: z v z 2 = (x,; y, ).(x2; y2) = (xj.xj - y,.y 2;x ,y 2 + x2yj) e M2

Dmh nghĩa. Tập M 2, cùng với phép cộng và phép nhân ả trên gọi là tập sô'phức c .

Phần tử (x; y) e c gọi là mộ t sô'phức.Ta đổn g n hất sô' phứ c dạ ng (x;0) X e M với số thực X. Khi đó tập hợp số thực R là

tập con của tập sô'phứ c c .2. T ính chất của ph ép cộng

* Giao hoán: Zj + z2 = z2 + Z j , (Vz1,z 2 e


8/183

P h é p c h ia : --J- = z , z ' = X- y - ' ~ - - y - e . c vớ i Z, = (x , ; y t ) e c{ X + y X 1 y J

4. Đ ịn h lí. Sô' phứ c bâ't kì z-= (x;v ) được biểu diễn du y nhâ't dạ ng 7. = X+ y i ,

x; y e /Á?, trong đó i2 = -1

Mộ thức i2 - -1 , được suv từ định nghĩa phép nhân:

i2 i.i (l! ;l). (;};l) ( 1; í ì) 1.Biểu d i ễn X+ y i gọ i l à d ạ n g đ ạ i sô ' củ a số ph ứ c z --- (x ; y ) . D o đó :

c = ịx + V iỊX G R , y c; M , i 2 “ - l | .

X = R e ( z ) : p h ầ n t h ự c c ú a / ., y - lm ( z .) : p h ầ n ả o c ủ a z . D o n v ị ả o l à i .

* Tống 2 sô' phức:

Zj + z 2 = : ( x , -I y , i ) f ( x 2 • y , i ) ( x , + x 2 ) - l ( y . j + y 2 ) i e ( C .

* Hiệu 2 sô'phức:

z.ị /> ( \ . I y , i ) (x 2 I v , i ) ( x : - x2 ) I ( Yl - -y 2 ) i e< r : .

* Tích 2 số phức:

z , . z 2 ( x , + y , i ) . ( x : I y 2 i ) ( X1 X2 ~ yi -Ya ) ! ( x iY2 + x 2y , ) i e < c .

5. Lũy thừ a của đơn vị ảo i :

i ° - l , i1 - i, i2 = ~ l, i3 - i 2.i =••-! bằng quy nạp ta được:

i4n = 1 , i4n+1 = i , i4n 12 = -1 , i'“’ 13 = - i , Vn e /y*

Do đó: in GỊ -1; 1; -i; i ị , Vn c-í /V

6. Sô phứ c liên h ợp

Cho z - X I y i , sô 'phức 7. - X•• vi gọi là sô'p hứ c liên hợ p của z

* z = z z e Ã' .Thậl vậv , z = / X+ y i. - X yí 2yi = 0 => y 0 => /. - Xe l ỉ (đpcm ).

T h ậ t v ậ y , z X - y i , •/. = X + y i - : z ( đ p c m ).

là sô lhực không âm,

l Hạt v ậ y / Z.Z --- (x -t y i ) ( x - yi ) ■■X2 f y 2 > 0 (đ p c m ).

* *1 ' 7.I z l + y2

Thậ t vậy, /., + z 2 = (x , i X;.,) • ( > v y ;!)i (x , • X-,) (y , i y 2)i

- ( x , - V5 ĩ ) I- ( x 2 - y 2i) Z, + 2.2 ( đ p c m ) .

* = Z j . Z 2



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




9/183

Thật vậy, ZJ.Z2 = (x 1x2 - y ĩy 2) + (x i Y2 + x2 y i)‘

= (X1X2 - y i Y ĩ ) - {XƠ 2 + x2y i ) i = ( xi - y i i)-(x2 -y ^} ) = ^ 2 (đpcm).

* Z.71 = , z e < c *

Th ật vậy , z . [ i ] = 1 => z . [ ỉ j = 1 => zỊ̂ —j = 1 tức là Z-1 - (đpcm).

/ \Thậ t vậy, ĨL

. z 2 ,

/ \ z + z* Re(z) =

V / 2

•̂1i i , z2 e c

z,.-/ \

1 1 zi ( đ p cm ).

2i

Thậ t vậy, z + z = (x + yi) + (x - yi) = 2x , z - z = (x + yi) - (x - yi) = 2yi

Do đó Re(z.) = , Im (z ) = ( đp cm ).

8. M ôđu n của số phức

Sô' |z| = -Jx2 + y 2 gọ i là m ôđ un của sô'phức z = X+ yi

9. Biểu diễn hìn h học của số phức

Mỗi sô 'ph ức z = X+ yi được biểu diễn bới một điểm M (x;y) hay veclơ u = (x ;y )

trên m ặt ph ang phứ c.Ta viết: M (x I yi) hoặc M (z).

10. Tính chất

i. Gọi M (z ), M 1Ị z Ị / M 2 (- z ) . Khi đó: Mj đô'i xứng với M qua O x ; M 2 đôi xứng

với M qu a o .

iị. Gọi u, V lần lượt là biểu diễn của hai số phức Zj, z2 . Khi đó: u ± V là biểu diễn

của Z-J ± z 2 .

i ii . Cho A (z j), B( z 2) .

Khi đó: AB là biếu d iễn của z2 - Zj và AB = |zj - z2| .-í

B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP ____________

D ạ n g 1 . Các phép t ính về sô phức và các bà i toán đ ịnh t ính

Phương pháp: Dạng 1: Các phép tính về sô'phứ cSử dụn g các công thức cộng, trừ, nhân , chia và lũy thừa sô'phức.

7



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




10/183

Dạng 2: Sô' ph ức và th uộc tính cúa nó.* Tìm phần thực và phầ n áo: 7,- a + b i, suy ra ph ần thực a , phần ảo b* Biểu diễn hình h ọc của sô'phứ c.Các ví dụ ________________________________ ______________________

Ví d ụ 1.1

1. Tìm sô phức liên hợ p của: z = (1 + i)(3 - 2i) + ——-3 + i

2. Tìm các sô' thực X,y thoả m ãn đẳn g thức X(3 + 5i) + y (l - 2i)3 = -35 + 23 i.3. Tính mô đu n cũa sô' phứ c z , biết 7? + 12i = z và z có phầ n th ực d ương .

Lời giải.

1 T ' _ c : 3 ~ ‘ r : 3 “ i1. Ta có: z = 5 + i + — ------ ------ = 5 + i + ——.(3 + i)(3 - i) 10

- 53 9Suy ra sô ph ức liên h ợp của z là: z = — - —- i

r 10 10

2. Ta có ( l - 2 i ) 3 = ( l - 2 i)2 ( l - 2 i ) = ( - 3 - 4 i )( l - 2 i) = 2i -1 1 .

Suy ra x(3 + 5i) + y ( l - 2i)3 = -35 + 23i x(3 + 5i) + y(2i - l l ) = -35 + 23i

» (3x - ĩ l y ) + (5x + 2y )i = -35 + 23i Ị 3x _ 1 ly = ”35 Ị x = 3v y |5x + 2y = 23 [y = 4

3. Giả sử z = x + yỉ , ( x ,y e R ) . z3 + 12i = Z (x + y i)3 + 12i = X- yi

Do X> 0 => (l) X2 = 3y2 + 1 . T hê'vào (2) ta được3^3y2 + l ) y - y 3 +12 = - y 2y3 + y + 3 = 0 (3)

Giải ph ươ ng trình (3) ta được y = -1 => X 2 = 4 . Do X > 0 nên X = 2

Vặy z = 2 - i => |z| = V5

Ví d ụ 2.

1. Cho a ,p là hai số phứ c liên hơp thỏa — là sô th ư c và la + p| = 2V3 . Tính |a|p2

2. Tìm p hầ n thực và ph ần ảo của sô' phứ c z = (2 - 2ị)(3 + 2i)(5 - 4i) - (2 + 3i)3 .

3. Cho sô 'ph ức z thỏa m ãn |z| - 2z = -3 + 6 i . Tính giá trị biểu thứ c |z| + |z|2 + |z|3

4. Cho a, b là hai sô'phứ c liên họ p của nhau . Biết |a b| = 2x /3," là sô'thực. Tính |a|

8



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




11/183

Lời giải.

1. Giả sử a = a + bi (a,b G- K) thì p -=a bi

Ta có |(X- p| = 2^3 |2bi| = 2 ^ « b2 = 3

a a 3 (a + ib)3 _ a3 - 3ab2 + 3 b (a 2 - b2 )iMột khac o " / _ o \ / _ n \ 9 9

p ( a P ) - ( a P) ( a 2 + b 2 ) ( a 2 + b 2 )

n2 + h2 * 0 í 2 _ 2Từ giả th iế t ta suy ra • 3b Ịa2 - b2 j = 0 C-> f ^ z = 4 + 3i^ I VX +9 2x 3 r ' 2 =>z = 4 + 3i

i y = 3 ly = 3

Vậy, |z| + |z|2 + |z|3 = 5 + 25 +125 = 155

4. Vì Ịa - b| = 2V3 (a - b )(ã b) = 12 ỊaỊ2 + |b |2- Ị a 2 + b2 ] = 12

Lai có ~ là sô' thư c nên ~ = ~ =>.ẩ2 + |a|2 + b 2 = 0. b2 b 2 ã

Thay vào ph ươn g trìn h (*) ta có |a| = 2.

9



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




12/183

2. Cho sô’phức z thỏa mãn đẳng thức 1/. 4 i.z •-

thức A = z + 2iz .

T—j ■I'ĩãy tính giá trị của biểu

3. Cho số’ph ức z thoả mãn : / . —-— = —— —. Tim phần thưc của sô'ph ức Z20121+ 3i 5

4. Tìm sô phức z thòa mãn y. ì z - 3imãn . . . . . . . -----------------/ - i X■+i

1. Điều kiện z ^ -1

C ọ i z - a - i bi ( a ,b e l íỉ )

Theo giá thiết, ta có V. ■

Lòi giải.

7. t 2z + 3

z t 1

» (a - bi)(a + bi + l) -- (a + bi)2 + 2(n + bi) -(■3 Ị -2b2 + a + + (2ab + 3b)i = 0

~2b2 + a + 3 = 0 I a = - 3

2ab + 3b = 0

a = -33

a = -- -■ 9

c r

i í 0 73 b = t2

z\ = / a 2 + b 2 -- 3 .

Với a = ~~-,b = ,ta có |z| - Vã2 + b2 = 4- —- \Ỉ3 .2 2 11 V4 4

Vậy, mô đun của sô'ph ức z là 3 hay \Ỉ3

' l - ix /3 f l - 3 /3 i + 3 ( i>^)2 ( iV3) ’ 8

1 ' i j " Ĩ + 3Ì + 3Ì2 M3 "--2 + 2

• .» - > - 4 4(1 + 1)2. 2z + i.z = -— ■ = ----------------- ỉ----- í---- ----- = --------- - = — = - K——l

1 + 3Ì + 3Ì2 -)-i3 --2 + 2Ĩ 1 - i 2

Đ ặ t z ~ a + bi ( a , b e R ) .

Do đó: 2z + i.z = 2 4 2i 2a + 2bi + ai - bi2 = 2 + 2i o 2a + b + (a + 2b )i = 2 + 2i

=2 + 2i

Í2a + b = 2

|a + 2b = 2a = b :

I - 2 2 _ 2 _ 2D o đó A := z 2i .z - - + - ~i + 2i . - - - 2 i . - iI 1 3 3 3 3

= |2 + 2i| = n/ s .

3. Cho số phứ c 7 . Ihoả mãn : z ----7 ==— ?---r '1+ 3Ỉ 5 v ’

Gọi sô' ph ức z = a + bi (a, b e R) => z = a - bi thay vào (1), ta được:

10



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




13/183

(a - b i) ( l - 3i) _ 6 + 7i

10 5

, . a - bi 6 + 7i . .a + b i ------- r = — a + bi

1 + 3i 5

10a + lObi - a + 3b + (b + 3a)i = 12 + 14i 9a + 3b + (l lb + 3a) i -1 2 + Ĩ4Í

Í9a + 3b = 12 fa = l<

[l ib + 3a =14

Vậy, ph ần thực của z là -2

3 + + j a Ị1 =. + 141 ya + JD + ID + M J I

f ̂ — 1 r T1IOO6ị k = 1 - - ^ z = l + i = > / . 2 01 2 = L ( l + i ) J _ ( 2 i )

7 2012 2 1006

.̂ 1006 _2l006

4 .Z - 1

z - 1

z - 3 i

z + i

= 1 |z - l| = |z - i| |z |2 - ị z + zj + 1 = |z|2 - Ịz - z j + 1 z + z = iỊ/ . - zj .

1 |z|2 + 3 iỊ z - z j + 9 = |z|2 1- iỊ z - zj + 1 C5>4iỊz - z'j = “8 » z - z = 2i.

Vậy ta có hộz - z = 2 i

z = 1 + i

Ị z + z = i ^ z - z j [ z = ' J - i

Vậy số phứ c z cần tìm là z = 1 + i.

Ví dụ 4.

1. Tim các sô' thự c a, b sao cho z = 2 f 3i là ngh iệm của phuơ ng trình z 2 + az + b = 0

2. Tìm c biê't a , b và c là các sô 'ng uy ên dươ ng thỏa mã n c = (a + bi)3 -1 07 i

3. Tìm sổ phức z có phần ảo bằng 164 và với n e M thỏa —- — = 4i z + n

Lời giải.

Ĩ .Z ~ 2 + 3Ì là nghiệm của phư ơng trình ■/} + az + b = 0

=>(2 + 3i)2 + a (2 + 3i) + b = 0 -5 + 12i + 2a + 3ai + b = 0

t , \ / \ „ Í3a +12 = 0 (a = -4Í2a + b - 5) + (3a + 12)i = 0


14/183

Theo giả thie't, ta có ——— = 4i


15/183

= I± = zl z2 = zl z2 = X|.x2 + y | .y2 + (y , ,X2 - x,.y 2).i ^ -6 ± 6 Vã. i = -313 ^3.1

z 2 Z2 Z 2 |z 2 |2 16 16 8

3. Ta có (l + V3i j3 = 1+ 3x/3i + 3.3i2 + 3v^3i3 = -8

(l - V3i)3 = 1 - 3V3i + 3.3i2 - 3x/3i3 = -8 , (1 + i)2 = 2i

(l + Vãi) (2 - i) (_8)4 ( 2 -i ) 8(2 - i) . .Do đó -------- ------------ = v 7 ' ’ = v ' = 8 14 2i) = 8 + 16i

( l - V ã i f ( l + i f ( -8 ) (2 i) 1

Theo giả th iết ta có (8 + 16i)2 -I- 8b(8 + ló i) + 64c = 0

t \2 , , \ , , , í 2b + 4 = 0 íb = "2(l + 2 ij + b ( l + 2i) + c = 0 ( lb + 4)i + b + c - 3 = 0 J *” 1

Ví dụ 6.

1. Tìm sô 'phứ c- 25

thỏa m ãn điêu kiện z + — = 8 - 6i

z2. Tìm sô 'phứ c thỏa mãn z \ l 2z.z + 1 -|z |(2 + 6iz).

3. Tìm sô' ph ức thỏa mãn: 2 ịz + 1j + /. - 1= (1 - i)Ị z |2

Lờ i giải.

1. Giả sừ z = a + bi Ịa, b 6 R, a2 + b2 > 0j

_ - 25 25Ta có : z + — = 8 - 6i a - bi -t ——— = 8 - 6 i

z a + bi

25(a - bi) _ a (a 2 + b 2 + 25) b (a 2 + b 2 +25Ìa - bi + — = 8 - 6i o - i — ----- -----— ------------- ---- l i = 8 - 6i

a + b a + b a + b

=>

a(a2 + b2 + 25)

1 j =8 (1)a2 + b2

b Ịa2 + b2 + 25 j

a2 + b2 (2)

Lây (1) chia (2 ) vê'theo vê' ịa được —■= —=> b = —a (3)Thê ' (3) vào (1) ta có

ị 2 n , A „ r a = 0 = > b = 0a a -8a+ 16| = 0 _

' ' a = 4 => b = 3

Vậy, sô' phứ c cần tìm là z = 4 + 3i .

13



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




16/183

2. Xét z = 0 là ngh iệm cùa ph ưon g trình

Xét 7. * 0 Đ ặ t z —a Hbi Ịa, b e ÌK,a2 4 b 2 > 0 j , tù ' gi ã thi ết ta có:

z^3jz |2 + 1 = 2ịz| + 6|z|z .i z.z^plz.j2 + 1 = 2|/ .|.z + 6.z.|z|z.i

|z|2 ̂ 3 |z |2 + 1 = 2|z |(a - b i) I 6|z|3 .i C‘>|/.|2 .^3|z |2 + 1 = 2a|zỊ + Ịó |z Ị3 - 2b |/.| ji

|z |2.\/3|z |2 +1 - 2a |z|

6 | z Ị3 - 2 b | z | - 0

b(b + 'l) = 12a2

3|z |2 = b

a > 0, b > 0

|/Ị.-Ự3|z| + 1 - 2a

3Ịz|2 - b = 04I

b(b -t ]) = 12a2 (l)

3a2 + 3b2 =b(2)

a > 0, b > 0

| z |2 . ( 3 |z |2 + l ) = 4a2

3|z|2 - b = 0

a > 0, b > 0

Lây (l) trừ (2 ) v ế theo v ê'ta có 9a2 = 4b2 a 2 -- —b2 (3) _2 2 4 ,3 a

Thế (3) vào (1) ,ta dược : —■Lr --- b2 + b b - - --=>3 = 7 —, (do a > 0, b > 0)

2 3 :=> z = f ----- i

13 132 3

Vậv, có hai số phức cần tìm là z 0 , 7. = i .' y ^ 13 13

3. G ợ iz = a + bi (a,b eiR )

=> 2 (7. + 1j + z -1 = (1 - i)| z |2 c=> 2(a - bi + 1 ) + a + bi - 1 (1 -- i)Ịa2 + b2 j

0 (3a + 1) - bi = a 2 + b 2 Ịa2 + b2 j i oI3a + 1 = a2 + b2

b - a2 + b2

a = 0 b -- 3a + 1

\ 3a + 1 = a + b

'ì Oa +3a =0

b = 3a + 1

3 Ia - 0 „,1 • Ị, hoặc

10 [b = 1 b = 3a + 1

10 _1 _

ĩ õ

3 iVậV/ có hai số phức : 2 , = i ; = — r t i■y> 10 10

14



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




17/183

3 Cho sô' phứ c z tho ả m ãn |iz —3| = Ị z —2 —i| và |z + 3i| = |2 z + i | . Tim m ôđun của số

phức z ._________________________________________________________________________

Lời giải .

1 . Đặt z = a + bi (a , b G R) => 7 . = a - bi

(a + bi) (a - bi) = 1

Theo giả thiết, ta có hệ: •(a + bi)2 + 2(a - bi) -1 8^27

a + b2 = 1

|a2 - b 2 + 2a -1 + 2b (a ■

b 2 = l - a 2

Ịa2 + a - l j + Ịl - a 2 j(a - 1)2

a 2 + b2 = 1

Í T CJ>(a 2 - b2 +2 a

27 V

b 2 = 1 - a 22

4a3 - a2 - 4a27

- l )2 +4 b2 ( a - l )2 8

27

13

12 _25_

144(không thỏa) b = ±

52 ° — = 027

2 V s : 2 V5.=> z = —+ —- 1, z - —- ——1

V5 3 3 3 3

2a = —

3 hoặc

Vậy , có hai số ph ức cần tìm .

2 .G ọ iz = x + yi (x,y e R) => z = X- yì

Ta có |z| = ^ X2 + y 2 = 2 X2 + y2 = 4 ( l)

Mặt khác: (z + l)^ 2 - V3ij + + lj^ 2 + V sĩỊ = 14 2^z + z j + >/3 Ị̂ z - z j i = 10

4x + 2\Ỉ3y = 1 0 o y =5 - 2x

s(2)

Thê' (2) vào (1 ), ta được :

, „ 13 3V3hoặc X = :=> V = — — -

7 y 7

X +5 - 2x

>/3

\2

= 4 7x2 - 20x + 13 = 0 X= 1 => y = V3

Vậy, có hai sô 'ph ức cần tìm là z = 1 + \/3i, z = — +3. z = X + yi (x, y e R ) => iz - 3 = - y - 3 + xi và z - 2 - i = (x - 2) + (y - 1) i

= >| iz-3 | = |z - 2 - i | (y + 3)2 + x2 = (x -2 )2 + ( y - l ) 2 x = - 2 y - l (1 )

|z + 3i| = |2z + i| ịx + (y + 3) i| =|2 x + (2y + l) i| X2 + (y + 3)2 = 4x2 +(2 y + l) 2

15



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




18/183

x = l= > z = l - i=>|z| = V2

Ta có: w = 7,2 _ m - 9 + 6mi

-2 í

Lời giải.

m 2 - 9

2 \ /

Theo đ ề bài,ta có vv = 9 9m2 +m 2 - 9

1 r ' -VII

2 ̂ -x/m4 + 18m 2 + 8 1 = 9 « m 2 +9 = 18m2 =9m = ±3

Vậy, giá trị cần tìm là m = ±3

Ví dụ 9. Ch ứng minh rằng

1. Ị.2 + 1V5 j + Ị 2 - 1V5 j là sô' thực. 2. í l E i p J ' + Í 2 ” Ì" là sõ thực.

Lời giả i.1. Đặt A = (2 + 1V5 J + (2 - i S j

A = (2 + i V5 j7 + (2 - 1V5]7 = (2 + 1V5 j7 + (2 - i V5 17 = (2 - 1V5)7 + (2 + i sfẼ> j7

=> A là sô' thực.

= A

B = '(l 9 + 7i)(9 + i)>n

' (20 + 5i)(7-6i)Ỵ 182

V /85

V /

r 164 + 8 2 i Í Ì7 Q - 85i Y’^ 82 85

= (2 + i ) " + (2 -i)"

•B = B => B là sô' thực.

16



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




19/183

ví dụ 10 Cho Z | , Z 2 e c . C hứ ng m in h r ằ n Z j 7,2 + Z] .Z2 6 R

Lời giải.

Đặt A = z2 + ZJ.Z2 Giả sừ z = x + yi= >z = x - yi (x,y e R)

z=zx + yi = x-y i y = 0 = > z = xe R

A = z2 + Zj,z2 = 7^7-2 + Zjz2 = A => A 6 R

Ví dụ 11. Cho các sô'phức Z|, z2, 7.3 thỏa mãn |zj| = |z2| = |z-,| = 1. Chứng minh rằng:

| Z j Z 2 + Z 2 Z 3 + Z3Z, 1= Ịzj + z2 + z 3|

Lời giíỉi.

Ta có ZjZj = z 2z 2 = z 3z 3 “ 1 n®n Iz l + z 2 + z 3 | =1 1 1 1 1 1

= ■ = - + = • — -------1----------1-------

Z j z 2 z 3 Z 1 z 2 z 3

1 1 1

Z j z 2 z 3

Z j Z 2 + Z2Z3 + 7.3Zj z , z , + Z97.o + Z-ịZ, . .

7-1z 2 7-3 Iz ĩ z 2 1 2 3 + 3 1 1

Z j Z 2 Z 3

1 Ví dụ 12. C hứ ng minh rằng: Ĉ QO -- /—2 ( - 4 /'-’ỏ . (" 98 I / ‘100 9 50M oo+ Moo M oo + — Moo+Moo~ z ■

h +i'iino = r ° 4 - r1 i + r 2 i2 + + c 100i10()v 1 + 1; ~ M o o + '“ 10()1 + H o o 1 + ^ M n d 1-100 T '“ 100*-0'100

Lời giải.100;1001

cĩ + c 4 - I c lt!0V- ‘100+ '“ 100 1 M o o Mc 100 + - c ^ ) i^100 + -” M o o J 1

Hơn nữa : (l + i)2 = 1 + 2i + i2 = 2i => (l 4 i)100 = (2 i)50 = -2 5

V ậ y / C j 0() C j 0 0 + C j 0 Q ... + c 100100, 5 0

Ví dụ 13. Cho 3 sô’phức a, b, c thỏa mãn: |a| = |b| = |c| = 1.

1. So sánh : |a + b + c| và |ab + be + ca I.

2. Biê't thêm: a + b + c = 0. Tính 7. -- a2 I- b2 + c2.3. Biết thêm: a + be, b + ca, c + ab là sô'thực. Tính t = a.b.c .

1. Ta có: |a + b + c| = a + b + c1 1 1

a b ' c

Lời giải.

: |ab + bc + ca|CI ư

Vậy |a + b + c| = |ab + bc+ ca| *

Sờ dĩ ta có đượ c cách chứn g minh vô cùng đẹ p nh ờ vào việc vận d ụn g m ột cách linh

ho ạt các tính châ't: Ịz| = |z|, / 4 z ' - 7. + Đặc biệ t hơn nữa nêu |z| = 1 ==>z =

2. Từ |a + b + c| = |ab + be I- ca| và a + b c = 0 => ab -I- bc + ca = 0

nên ta có a 2 + b 2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca) = 0.

V I / J X V o 5 17



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




20/183

v?y z = a2 + b 2 + c2 = 0.3. Từ giả thie't a + be, b + ca, c + ab là sô’thực nên ta có

a + be = a + bc = —+ — = 5-—^C- C5>(a -I- bc) (abc - 1) = 0.a bc abc: v A ’

Tương tự ta cũ n” có: (abc - l ) ( b + ca) = 0, (abc - l)( c + ab) = 0.

a = -b c

b = -ca => abc = - (abc) => abe = -1 .c = -a b

Nêu abc - ĩ * 0:

Vậy t = abc = 1 hoặc t = abc -1.Các bạn thây trong ví dụ này chúng ta đã khéo léo sử dụ ng tính chât z là sô’thực khi

và chỉ khi z = z và thô ng qua vài phép biến đổi cơ bản dự a trên tính chất cua sô" phứckết hợp với giả thiết ta lại thu được nhữ ng kết quá n gắn gọn ngoài sự m ong đợi.

Ví d ụ 14. Cho 4 sô 'ph ứ c Z j , z2, z3, z4 . sao cho: |z j| = |z2| = |z3 | = |z4| - 1. Chứ ng

minh rằng: (Z1 ! ỵ. )(ỵ- ' / . ^ i ) là một số thự c _______________________ zl-z2-z.vz4__________________________

Lờ i giải.

1. Từ giá thiết: |z J - \ / 2 \ = |z3| = |z4| = 1--> Z| = — , z2 = — , z3 =/■! z2

p = (Z1 + z2 )(y-2 + *3)(za + z4 )(y-4 + z \)

1. Từ giá thiết: |zJ - \ /2 \ = |z3| = |z4| = 1--> Z| = — , z2 = — , z3 = — z4 = — /■! z 2 z 3 z 4

Dặt F = (Z1 + z 2 )(y-2 + y-3)(za + z4 )( y-4 + z \)Z , . Z 2.Z 3.Z4

Vậy ta có

F = T ỵ-1+ Z2)TZ2 +zì ) ( z3 +y-7)(z4 + zl) (*ĩ + z2 )(z2 + z4 )(z4 + ZI)Z1-Z2-/-3'Z1 z,.z2.z3.z4

— 1 - - i z \ +Z?)('A? + z l ) ( z:! + z


21/183

\2009

X _ ( - 1 + 2 iC A,0 -̂-v20!0 Í 1 o.\2010 '(l + 3i) (-1 + 3Ì)

Vậy A là sô' thực.

(19 + 7Í)2010 (20 + 5i )20102. Rú t gọn 13:

/ .\2010 /( ) +(2- i)

( 9 _ i ) 2010 (7 + 6i)': \20102010

2010 — / - , \ a n u /_ . yB = (2 + i) I (2 - ỉ)

Ví dụ 16. Cho n là sô' ngu yên dư ơng

3 - 1V31. Hãy tìm n đ ể A =

2. Hãy tìm n đê’ B =

S - 3 Ì

7+2

4 - 3i

là sô' thực

là sô'thu ần ảo

1. Thây A

Mặt khác

( S + i

Lờ i giải.

Với n = 1:5 ta có ngay A là sô'ảo.

V3 + i

2V J

\ 3Vã + i

iviại K n a c — -— = 1=p> — —— =-1 la so tnực nen VƠI 12 2

V ) V /

2. Thây B = Ị̂ -?-+ Ị- j = (l + i)n . Với n = 1 :3 thây B là sô' ảo

Mặt khác ta có: ( l + i)2 = 2i => ( l + i)4 = -4 là sô' thực.

Vậy B là sô'ảo thì n 6 N \ {n = 4k ,k e./v}-

-1 là sô' thực nên với n - 6k thì A là sô' thực.

Ví dụ 17. Cho hai sô ' phức Z j , z2 thỏa mãn Zj = z2 = 1, Zj + z2 = \/3. Tính Z | - z

Lờí giải.Thông thường ta sử dụng cách giải sau:

Đặt Z j = a j + b j i , z2 = a2 + b 2 i

Jj + bj = a j + t>2 -1Từ giả thiê't ta có:

[(^1 "^^2) —̂

Suy ra 2 (a jb j + a2b 2) = 1 => (aj - a 2)2 + (bj - b2)2 = 1 => |zj - z2| = 1.

Trong bài toán n ày ta thây việc sử dụ ng định nghĩa về số phức cho ta kết quả hết sứcngắn gọn. Tuy nh iên ta cũng có thê’ giải quyê't bài toán theo h ướ ng sau:

19



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




22/183

h ' z 2 |2 = ( z l - z 2 ) ( z l ” z 2 ) = | z l | 2 + | Z2| 2 - 2 ( Z 1Z2 + z 1 z 2 ) = 2 - 2 ( z , z 2 + z , z 2 )

3 = |z-| + z2|2 = (zj + 2 2 ) ^ ! + z2 j = |z j|2 + |z2|2 - 2^ZjZ2 + ZjZ2 j = 2 + 2^z1z2 + ZjZ2 j

Cộn g hai vê'các đẳng thứ c trên ta có |z-[ - z2| = 1.

f ' - 1 'ì4v í du 18. Cho a,b , c, d là các nghiêm của ph ươ ng trình — -----=1. Tính giá tri

. \ 2 z - i J

củ a biểu thức: A = Ịa 2 + l|Ịfc>2 + l] (c 2 + l) (d 2 + l)-

Lời giả i.

TaCÓ:( Ề ^ ĩ ) = 1("-l)4 - ( 2 ^ 0 4 =°-

Đ ặt f (z ) = ( z - 1)4 - ( 2 z - i)4 = 1 5 ( z - a ) ( z - b ) ( z - c ) ( z - d)

Vì z2 +1 = ( z - i )( z + i) nên ta có A = Ịa 2 + l) ( b 2 + l) (c 2 + l) (d 2 + l)

Do f (i) = ( i - l ) 4 - i 4 = -5 , f ( - i ) = ( - i - l ) 4 - ( - 3 i )4 = -85 .

Vậy Ịa2 + l) (b 2 + l) (c2 + l ) ^ 2 + l)17

9 ■

CÁC BÀI TO ÁN LUYỆN TẬPBài 1.

1. Cho 2 sô 'ph ức 7^, z2 thỏa m ãn |zT| = |z2ị = 1, \z-l + z2\ = 'j3 ■Tính |zj - z2|

2. Tìm các sô' thự c X, y sao cho :

a. z = z ', biết rằng: z = (2x - 3) - (3 y + l ) i , z '= (2y + 1 ) - (3x ~ 7 ) i .

b. (x + 2y)(4 - i)3 + (3x - y)(x + 2i) = 47 - 20 i .

c.x + yi 1 V ã. 3+xy i , X + V -2 Í , , , ,T= —— = —+ - — 1 . d. -- v à ------- — — là ( ph ứ c) liê

s + y i 2 2 (l + 2i)3 ( i _ 2ì)3

3. Cho z = COS 18° + cos 72° i . Tính |z |.

4. Xác định ph ần thự c và ph ần ảo của sô'phứ c :ác định ph ần thực và phầ n ảo của sô'p

( t t y ) + (1 _ i)10 +(2 + 3 i)( 2 -3 i) + y

lìivr ỉìion rá r nhón •

. . \ . \ 2 / _ , \ 3

5. Thực hiện các phép tính :. /" .\9 ,\10 „ f T . -\2l

A = ( l - i ) + ( l + i) B;

M = i5 + i6 + i7 + ... + Ì18

N = 1 + (1 + i) + (] + \Ỵ + (1 + i)J +... + (1 + i)^

20



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




23/183

6. Xác định ph ần thực và p hấn áo của các số phứ c :

a. z = (2 - 3i) (3 + 2i) . c.z = (1 + i)2 - (1 - i)2

b. z = ------ 7 Í2 + i )3 ( l - i )'3 + 2i d. 4) z =

4 + 3i

7. Cho z = 2x2 - 3x + 1 + (x - l ) (y - 3)1 với X, y là các sô 'thực

Tìm X, y sao cho:

a. z là số thực. b. 7. là thuầ n ào và ịỵị = 4 c. 7. = 6 + 5i

8. Thực hiện các phép tính :

1 + 3\Í3i A

(2 + i)3 + ( 2 - i) 3 / - ' 2009

(2 + i)3 - ( M 3 . 2 - Vãi ,

c = i + i2 + ... + i2009 ■D = (1 + i)2 + (1 + i)3+ ... + (1 + i)2010

9. Cho sô ph ức z = (1 - 2x)(l + x) + (2 + x)(2y + l)i tron g đó x,y là các sô 'thực. Tìm

x,y sao cho

a. z là sô' thực b. / . l à số thuần ảo và |z| = 1 c. 7. = -20 + 15 i.

10. Tìm phần thực và p hần ào của sô'phức sau:

a. z = (1 1 2i) b. z = (2 + i)3 ~(3 + 2i)33 - i

(3 + i) ( l- 2 i) , ..2 4 - 2ic. z = 7 - d. z = (ĩ + 3i)(2 - i f + -̂ — =7

(3 + 2i) 1 - 3i

11. Tìm modun của sô”phức /. biết:

a. (1 + 2z)(3 + 4i) = 29 + 22i b. ậ — = (2 ' :M)z + 2i 3 - 2 i

c. í — = (1 + 2i)(2 + i) d. (2 - i)(3z + 1) = (2 + 2)(4 - 5 i).(2 - 3i)

Bài 2

1. Tìm phẩn thực và ph ẩn ào của số phức :

(1 + i)2 (2 - i) 7 . = 8 + i + (1 + 2i) 7 . (Để thì Cao dẳng nă m 2009).

2. Chứng minh : nêu |z j| = |z2| = 1, ZjZ2 1 thì 7‘--—— là sô 'thực.1 + ZlZ2

3. Tìm sô’phứ c z thỏa mãn: ịz - 2 + i| = 1. Biết phẩn ảo nhỏ hơn ph ần thực 2 đơn vị.

4. Tìm sô'phứ c z thỏa mãn: ( z - l ) Ị z + 2ij là sô’thực và Ịz —l| = V5.

5. Tìm sô'phức z thỏa mãn: Z.Z + 3 Ị7. - 7. j = 5 - 6 i .

21



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




24/183

6 . Tính |z| bie't:

a. ( 3 i - l ) z = (2i + l )2 b. — = 2i + 3 c. = ̂ i -27 .-2 3z + 2 i - 1

7. Tìm số phức z b iế t:

a. 4z + (3i + l)z = 25 + 21i b. 3z - 2(z)2 = 0

4i

Bài 3 Xét các điểm A, B ,c Irong mặt ph ăng phức theo th ứ tư biểu diên các sô 7 ——,

0 - 0 0 - 2 0 *

1. Chứ ng min h ABC ỉà tam giác vuông cân

2. Tìm sô'phức biểu diễn bởi điểm D sao cho ABCD là hình vuông.Bài 4 Trong mặt phang tọa độ Oxy, cho A và B là hai điểm lần lượt biểudiễn 2

nghiệm phức của phương trình: ■/} “ 6z 1-18 = 0. Chứng minh rằng tamgiác OABvuô ng cân.

Bài 5 Ch ứng m inh rằng:/ \2010 / \20i0 ỉ r~ \2009 / Ị— \2009

1.(1 - i ) + ( l + ij là một scYthực 2. í v3i + 11 í- f v3 i —11 là sô th uần ảo.

Bài 6 Cho u, V là biểu diên cua hai số ph ức 1+ 3i và 3 - 2i

1 . 3u + 2v ; 5u - 3v biểu diễn nhữn g sô'phứ c nào?

2. Gọi X là biểu diễn của sô'phức 6 + 4i . H ãy phân tích X qua u, V .

Bài 7 Gọi Aj, A2, A3/ A4 lần lượt là biểu diên hình học của các sô'phứ c

Zj = 1 + 3i, z 2 = -3 + 2i , z 3 = 5 - i, z 4 = 4 + 5 i .

1. Tính độ dài các đoạn AjA2, AtA3/ A]A 4

2. Tìm sô'phứ c có biêu diễn là điếm M sao cho A2 A 4M là hình bình hành .

Bài 9.

1 . Tìm phẩn thực cúa sô'phức z = Ịl + i)” ,n e N thỏa mãn phươ ng trình:

lo g4 ( n - 3 ) + log4(n + 9) = 3

i z - ( l + 3 i )z . ,22. Tìm phẩn ảo cúa sô phức z , b iê 't ------ — 7 —— = \z\

Bài 10.1 . Gọi z là nghiệm cúa phương trình z 2 - 2z + 2 = 0 .

Tính giá trị cúa biếu thức Q = z2012 + —^ 2 •

2. Tính |z |, biết (2z - l) (l+ i) + Ịz + l j( l - i) - 2 -2 i.

(Đề thi Đại học Kh ôi A - năm 2011)

22



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




25/183

Bài 11. Tìm sô'phức z thỏa mãn:I I_ I , z + 1 - i . , ,

1 z + 2i = z - l + i và ■——-— la m ot sô thuần ảo.■ I 1 1 1 z + 2i

2 j/.| = V5 và phầ n thự c của z bằn g 2 lần phầ n ảo của nó.

3 . ĩ = z3 4. |z| = \Ỉ2 và z 2 là sô'th uầ n ảo. (Đề thi Đại học Khối D - năm 2010)

Bài 12 Tìm sô' ph ức z thỏa mãn:

lz |4 “ 200 n1. LL- + z + —--— = 0-.2 1 - 7 iz

2. z - -------- - 1 = 0z

3. z - (2 + 3i)z = 1 - 9i

(Đê' thi Đại học Khối B - Hổm 2012)

(Đề thi Đại học Khối D - năm 2011)

|z|2 +z

Bài 13. Tìm số phứ c z thỏa mãn:

2 | z - i | = | z - z + 2i|

21.

|z - ( 2 + i)| = >/ĨÕ

1 + i 1 - i

7. z2 + |z| + 8z = 44 8. z = z

Bài 14. C hứ ng minh rằng

1. N êu |zj | = |z2| = 1' ZJZ2 * thì T = ~ , 2 là số thực.

_ fz , + z 9)fz 0 + z , ) ( z ó ' + z 1 ): r th ì T = — ------ 2A 2 "ĨZ L-3----- l i là số thực và2. N êu IzJ

1 2 3

Z |Z 2 + Z2Z3 + Z3 Z-J

Z-I + + Zo= r vớ i + z2 -í z3 * 0 .

z - 13. Sô'phứ c w - ——- là sô 'th uẩn ảo Ịz| = 1 .

Bài 15.

Cho a ,p là hai sô'phứ c liên hợ p thoả mãn — £ R và Ịa - pỊ = 2 V3 . Tính |a|.

23



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




26/183

2. Zj = 2 + 3i, z 2 = 3 + 4i

Bài 16. Tính 7.J + z 2 , Z 1 - z 2' Z1-Z2' iz i “ 2z2|, ^Z1+ z2 biết:

1. Zj = 5-6i, z2 = -1 -3i

3. z, = -Ậ + —i, z9 = ~ + ị ì 4e z, = \Ỉ3 + 2 i,z, = - \ Ỉ 2 - i1 2 2 2 3 3 1 2

Bài 17. Cho cá c sô'phức Zj = 1 + 2 i, z 2 =-=-2 + 3 i, z = 1 - i . Tính :

3. ZJZ2Z31. Z j + z 2 + z 2 z , z 2 + Z2 Z3 + Z

ÌL + ỈẢ + ĨẴ z2 z3 Z1

._2 . _2

6 . -z ‘ —

Bài 18. Tìm sô' ph ức z thỏa mãn: ■1. z - 5 + 7i = 2 - i

3. z(2 + 3i) = 4 + 5i

2. 2 + 3i + 7. = -5 - i

z4.

„ 2 + i_ -1 + 3i5. —— z = —ĩ——

1 - i 2 + i

-l + 3i

6. 2 z ( l- i) = 2iz(l + i) + 4i

Bà i 19. Cho z = — ----

—i . Hãy tính: —; z; z2; (?,)3 ; 1 + z + z 2 .2 2 zBài 20. Gọi A ,B,C lần lượ t là điểm biếu diễn cùa các số ph ức Zj = 3 + 2i, 7-2 = 2 -

z 3 = 5 + 4 i .

1. Ch ứng m inh A,B,C là ba đinh của tam giác. Tính chu vi tam giác đó.

2. Gọi D là điểm biểu diễn của số phứ c z . Tìm z đê’ ABCD là hình bình hành.3. Gọi E là điểm biểu diễn của số phức z ’. Tim z ' sao cho tam giác AEB vuông cân tại Bài 21. Xác địn h ph ần thực và ph ần ảo cúa các số phức :

1. z = i ( 2 - i ) ( 3 + i) " 3 4i2. z =4 - i

3. ( l + i)2 (l + i)z = 8 + i + ( l + 2i)z

Bài 22.

1. Tìm m ôđ un của sô'ph ức z, biết rằng: (l - 2 i)z = -3 + 8i

2. Tìm các số thực b, c đ ể phư ơng trìn h z2 + bz + c = 0 nh ận sô' ph ức z = 1 + i làm

nghiệm.

r. 2 + ị z + z y z3 -(z)Bài 23. Tìm sô' phức z thỏa m ãn

Bài 24.1. Tìm phần ảo cúa s ô ' phức z , bie't: z = Ị\/2 + ij Ị l - V ĩi Ị

2. Tìm ph ần thực và phầ n ảo của sô' phứ c z ~T"

= (l + 4i) z + zz + ( ?

24



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




27/183

Bài 25.

1 Tìm phần ảo cúa số phức /., biê'l /. + 3/. ^ Ịl 2i j

2. Tìm ph ần thực của sô' ph ức 7., biết 7. - ( l + i) /. - Ị 1+ 2i j

Bài 26. Tìm HÔ'phức / I h ó a m ã n :

1 |z ~3i| = | l --iz| và — là sô’thuần áo. 2. Ị / . l |z ~ 2 - 2i| và ------ là sô áo.• I I I I z I 1 1 z - 2

Z - 1- 1 v à z - 3 i------- ---------

7. - i z -f iBài 27. Tìm sô'phức z thỏa mãn:

Bài 28. Tìm sô ph ức 7. thỏa mãn ph ưo ng trình + 7? --Ị/. - 2zj = 10 + 3i.

Bài 29.

1. Tìm số p hứ c 7 , thòa mãn 2 Ị/. - iỊ =|z - Z + 2i| và |z2 - ( z)2| - 4

2. Tìm sô" ph ức 7. thỏa mãn điều kiện |z I 1- 2i| = |z + 3 + 4i| và ì - ? - làsô' thu ần áo.! 17.+ i

iz - ( l + 3i)z . ,2Bài 30. Tìm sô ph ức z thỏa m ãn điều k iệ n --------------—- = zK 1+ i 1 1

Bài 31: Cho các sô' phức ZJ,Z2,Z3 thỏa m ãn các điều kiện |zj| = Ịz2| = |z3| = 1 và

Zj + z2 -I z3 = 0 . Ch ứng m inh rằng 7 . ^ 2 + Z.2Z.3 + Z3ZJ = 0 .

Bài 32: Cho hai số phứ c z ,, z 2 thòa mãn điều kiện |zj - 2i| = n/ỈỊì/.ị + 1| và

|z2 - 2i| = V2 |iz 2 + l | . Tính p = |/.] + 7-11, biết |zj - z2| -- 1

Bài 33: Tìm sô 'phức 7. thỏa mãn |z - 2 4 2iỊ = 2\Ỉ2 và ——— “ 1.

Bài 34: Tìm sô'p hứ c z thỏa mãn z2 + z2 = 6 và

z +1

7 . + i

z - 1 + i

7. - 2i1.

Dạng 2. Biểu diễn hìn h học của số phức và ứng d ụn g .

Các ví dụ________________________________________________________________________

Ví dụ 1.1. Tìm điểm M tron g mặ t phăng-,-phức biêu diễn sô" phức z thỏa mãn điều kiện

z + 3z = Ị2 + n/3 ì | | ?

(1 + /3 i)2. Cho sô phức 7,Ị = ---------- „ . Tìm tập hợp điêm biêu diên cho sô ph ức z2 , biết

16(1 hi)

rằng: z 2 - iZị + Z] = 2

25



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




28/183

Lời giái.

1. Gọi M (x ;y) là điếm biếu diễn sô'ph ức 7. ■X t yi ( x , y c !*)

O Í X ' 2yi - 2^fx2 + V2 I + y2 )•'

2\Jx2 +y 2 =4x

Vậy lập hợp các điểm M thủa điếu kiện bài toán là nửa đư ờng thẳng có phuo ng trình

y = - V 3 x , v ớ i X > 0

2. Ta có (l -t- ự3iỸ - 1 t 3/ 3'i I 3.3i2 + 3n/3ì3 =. -8

(> * o5 ' 0* ( I . i) " (2 Ì)2 ( 1 * 0 ’ -4(1 - 0 - - 1 - i

Giả sừ z2 = X+ yi, (x ,y e IR) biếu diễn bới điếm M (x ;y ) . Khi đó ta có:

|x + yi -- i( l - i) + 1 + i| = 2 Ịx I- yiị - 2 c~> X 2 + y 2 = 4

Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho sô'phứ c z2 là đườn g tròn tâm o , bán kính 2

Ví d ạ 2. Trong m ặt phẳn g phức, tìm tập hợ p các diêm biểu diễn cúa sô’ph ức z thỏa

mãn điều kiện: | z -- i| = |(l + i)z|

Lời giải.

Gọi M(x; y ) là điể m biếu diễn của sô 'ph ức z = X+ y.i (x, y e Ị&)

Nên \z - i| = |( l + i)z| X2 + (y --l )2 = (x - y )2 + (x -t y )2

x2 +(y + l)2 =2 .

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn: X2 t (y + l)2 = 2 .

Ví dụ 3. Trong mặt phang phức, tìm tập hợp các điểm biêu diỗn của sô’phức 7. thỏa

mãn điều kiện: |z + 2| = Ịi - z|

Lời g iải.

Cách 1: Đặt z = a I bi, (a ,b e s ) là số phứ c đã cho và M (x ;y) là điểm biểu d iễn của

z trong mặt phang phức.

1(1 + i)z| = 1(1 + i)(x + yi)| = Ậ x - y )2 + (x + y)2

26



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




29/183

Ta có: |z + 2 |= | i - z |« |( x + 2) + yi |=|x + ( y - l) i | ^(x + ì f + ỹ = yjx*~+(y - 1)2

4x + 2y + 3 = 0.

Vậy tập hợp đ iểm M cần tìm là đư ờn g thẳng 4x + 2y + 3 = 0 .

Cách 2: |z + 2| = |i - z| jz - (~2)j = ịz - i| (*)

Đặt z = a + bi, (a ,b e IR) là sô 'phứ c đã cho và M (x;y ) là điếm b iểu diễn của z trong

mặt phẳng phức, điếm A biểu diễn sô' -2 tức A(-2;0) và điểm B biểu diễn sô'

phức i tức B (0;l )

Khi đó (*) MA = MB

Vậy, tập hợp điể m M cần tìm là đư ờn g trun g trực cúa A B : 4x + 2y + 3 = 0 .

Ví dụ 4. Trong m ặt phẳ ng phức, tìm tập hợ p các điểm biểu diễn của sô' phứ c z thỏa

mãn điều kiện: |z - 2| + |z + 2| = 5

Lời g iả i.

Đặt z = a + bi, ( a ,b s .$?) là sô 'phứ c đã cho và M (x;y ) là điểm biểu diễn cúa z trongmặt phang phức.

Ta có: |z - 2 | + |z + 2| = 5< => |(a-2)+ biỊ + |(a + 2) + biị = 5 hay

Ặ a ” 2) + b2 + ^ (a + 2) + b ^ = 5 (l)

(a - 2)2 + b2 + (a + 2Ỷ + b 2 = 5 ^ ( a - 2)2 + b2~ - J ịa + 2)2 + b2 j

ĩí ^ 2 77 r, 7,2 77 8a , *

Từ (l) , (2) ta có hệ:

, b 2 - J i a 7 2f + b 2 = - ^ (2)

J ( a - Ĩ ) 2 +b2 + yj( a + 2)2 + b2 =

\Ịĩa~2) +b2 - ^ (ã + 2) T b 2 =

(. - 2> ^ . ( f - f f ,

(,*2)V b’ . ( § + | ) ,

8a

5

J (a + 2)2 + b 2 = f + y

a < -

a >

.25

25

9a , 2 9 25 2525 4 8 8

Vậy, tập hợp các điểm biếu d iễn cúa sô'phứ c là dip có phư ơng trình2 2

X V2 5 + T = 1

27



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




30/183

Cách 2 : Đặt z = a-t bi, (a ,b elR ) là sô'phứ c đã cho và M (x;y ) là điểm biểu diễn

z trong mặt phang phức.

Trong m ặt phẳn g phức, xét các điểm F] (-2 ;0 ),F 2 (2;0)

Ta có: MF, = ^( -2 - a) 2 + (~ b)2 = ^(a + 2)2 + b2 = |z + 2|

MFj = 1/(2 - a )2 + ( -b ) 2 = Ặ a ~ 2 ) 2 + b2 = |z - 2|

Giả thiết |z - 2 | + |z + 2| = 5 » MFj + MI;2 = 5Vì MFj + MF2 >.F j F2, nên tập hợp điểm M là 1 elip.

Ví dụ 5. Tìm tham sô'thực m đê’hệ phươ ng trình phứ c có nghiệm du y nhâ't:

(*) là hệ ph ươ ng trình tọa độ giao điếm của đư ờn g tròn (c) : (x - l ) 2 + (y - 3)2

và đ ườn g thẳng (a ) : 2(m - l)x + 2y + 2 - m 2 = 0

Đường tròn (c) có tâm l( l; 3 ) và bán kính R = 1

Hệ phư ơn g trình có ngh iệm d uy nhâ't (a ) tiếp xúc với (c)

4 4

í | z - 3 i - l | = l

Ị|z + i - l | = |m - z |(ẩn z là số phức)

Lờ i giả i.

Gọi z = x + yi (x ,y e R )

Theo giả thiết, ta có

d(l,(A )) = R «■ , = l o (m - l ) 2 - 7 = ̂ 4 ( m - 1)2 + 4

^ 4 ( m - l) 2 +4Đặt t = ( m - l ) 2 (t > ơ), ta có:

m 2 - 2 m - 6

|t - 7 | = V4t + 4 < =>(t-7)2 = 4t -t- 4 t2 —18t + 45 = 0 t = 3, t = 15

* t = 3 ( m - l ) 2 = 3 m = 1 ± Vs

28



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




31/183


32/183

Lòi giải.

Cho OA = |a|, OB = |b|, AB = |a - b|. Vì tam giác OAB đểu nên có:

|aị = Ịb| = |b - a| = k > 0 a.a - (n - b )Ịa -- bj

Hay b.b = a.b + b.a b-^—= k 7 {—+ i —>a 2 + b2 - ab.1 b [b a )

Ngược lại nêu: a2 + b2 = ab --> a2 - ab + b 2 = 0 (*). Coi (*) là phương tr ìn h ấn a.

b / a -■ b.tTa có a -- ( l s ? —+ - i b hoặc a = r> ủ - )v2 2 2 2 'V J

Vói t s . )— 4 - _ r _ j hoặc t =■-V S . )

2 2V / 2 2 1V /

Lưu ý |lj 1.

Vậy |a| = |bc| = Ịb| = k => bb :=a b + ba r:->(a b)Ị a - b j ■"aa |a - bị = |b|.

Ch ứn g min h tươn g tự ta đư ợc |a - b| = Ịaị.

Vậy tam giác ABC đểu.

Lời giả i.

Đặt z = a2. Vì |z| = 1 |a| - 1.

Khi đó ta có: p = |z + 1| + z 2 - z + 1 = aa + a 2 + 4 2 _2 _2a - a + a a

a2 + a 2 - 1Hay p = |a||a + a| + |a

Do a + a e R . nên ta đ ặt t = |a t- a|, t e [0;2 ].

Ta CÓ: a 2 + a 2 = Ịa + a j - 2aa = t2 - 2.

Vậy p = t + |t - 3 |.

Khảo sái hàm số p trên fO;21 ta thu được:min p = V3, max P

' fÒ;2 ị ịÒ;2 Ị

Vậy V3 < Ịz + 1| + |z2 - z + lỊ <

13

[0;2j 414

Ví d ụ 9. T ìm tập hợ p điể m biễu diễ n của s ố p hứ c z b iết - là sô' ảo.iz -1

30



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




33/183

Lời giải.

Ta thấy điề u kiện cần là iz .* 1 z /-■i.

Vì ỉ l Ị Ĩ Í - l à sô' ả o n ê n t a c ói z - l

+ Ĩ ^ 2 L = 0 (z + 2i)(iz + l) = Ị z ~ 2i)(iz - 1ji z - l i z - l __

iz2 - z + 2i = iz2 +z + 2 i « | ^ i ( z - z j - l j ( z + zj = 0.

Vậy i^z - z j = 1 c=> z = X --- (x e M) hoặc z+ z = 0 z = ai (a e R ,a * IR).

Vậy tập hợp điểm z thỏa mãn yêu cầu là trục ảo trừ đi một điểm z = i.

Và đư ờng thẳng y = song song với trục thực đi qua điểm z = - —.

Ví dụ 10

1. Tìm tập hợp điểm M biểu diễn sô'phứ c thỏa mãn z + 3z = ^2 + i\Ỉ3 j |z|.

2. Tìm tập hợp đ iếm M biếu diễn số phức thòa m ãn các điều kiện

|z +1 - 2i| = |z + 3 + 4i| và ' í - ? 1 là m ột sô' ảo1 1 z + i

Lời giải.

1. Ta có: z + 3z = Ị 2 + i%/3 j|z| => z + 3z = ^2 - 1V3 j|z|.

Vậy (z + 3z )(z + 3z) = (2 - iV 3^2 + i>/3)|zf

Khai triển ta có: 10|z|2 + 3^z + zj - 6zz = 7|z |2 Ị z + zj = |z|2 -

Với z = a + bi (a, b e K) ta có y2 = 3x2 o y = \/3x hoặc y = ->/3x => z = x Ịl - l 'Js ' j

Vậy sô'ph ức cần tìm là z = xỊl - 1V3 j , X > 0, X e R.

^ , z - 2 i „ z - 2 i z - 2 i - z - 2 i - z - 2 i / „ N2. Ta có -==----- là m ột sô ảo khi và chi khi: -=------ 1- “4 -----= 0 —------= —Z --------í * 1

z + i z + i z + i z + i z + i

Từ |z +1 - 2i| = |z + 3 + 4i| ta có |z + 1 - 2i|2 = |z + 3 + 4i| hay

( z + 1 - 2 i ) ( z + 1 - 2i) = (z + 3 + 4i )( z + 3 - 4i) (1 + i) z = (1 - i) z hay Z = -i z

TU X , z - 2 i Z - 2 z - 2 i - ( z - 2 ) 2 2 ,rhay vào (*) ta có: -----— = ---- - = ---------- ỷ----- — = -2 » z = —+ —i.

v ' z - 1 z - i z - l - ( z - i ) 3 3

2 2Vậy sô' ph ức cần tìm là z = —+ ~ i .

3 3

31



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




34/183

CÁC BÀI TO ÁN LUYỆN TẬPBài 1. Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z th

mãn điều kiện: z2 là số ảo.Bài 2. Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biếu diễn cúa sô' phức z thmãn điều kiện:

Bài 7. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các sô’ phức z t

mãn điều kiện:

1. Phẩn thự c của z bằn g hai lần phần ảo của nó.2. Phần thực cúa z thuộc đoạn [-2;ĩ].

3. Phần thự c của z thu ộc đo ạn [—2; 1] và p hầ n ảo cúa z thuộ c đo ạn [1; 3].

4 . I z l < 2 5 . 2 < U I < 3 6 . | z - 1 + 2 i | < 2

7 . 2 jz - iỊ = Ị z - z + 2 ì Ị 8. 1 0 thì a có hai căn bậc hai là -V ã và Va . Nếu a < 0 thì a có hai căn bậc

2. |z - i | + |z + i| = 4 3. z - 4 + z + 4= 10

Bài 4. Trong m ặt phẳn g phức, tìm tập hợp các điểm biểu d iễn của số phức:

1. |z - i| = |z + 2 + 3i| 3. | z - ( 3 - 4i)| = 2

2. 2z + 3 -5 i < 2 4. z + 4 + 3i + z - 3 + 2i = 10

Bài 5. Tìm tập hợp n hữ ng điểm M biểu diễn số phức z thỏa:

1. z + 4 + 3i là số thự c

3. |z + 3i| = |z + 2 - i|5. Ỉ5 - 4 i - 3 z | < 1

2. Ịz -1 + 2iỊ =1

4. |z + 4 + 3i| + |z + 3 + 2i| = 26. ||z +1 + i| - |z - 2 - 3i|| = 2 .

Bài 6. Tìm tập h ợp điểm M biếu diễ n sô' phứ c z thỏa

1 ,——- có p hẩ n th ực b ằn g 3 2. —— là m ộ t s ô'th ực d ươn g. z - 2 i z + 3 + i

z - 2i + 3

là i và - i

32



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




35/183

Đăc biét : -1 có hai căn bậc hai là (:i và - a 2 (a là sô 'th ực khác 0) có hai căn bậc Hai

là ±ia .2. Cách tìm căn bậc hai Tủa số phứ c

Với w = a + b i . Đê’tìm căn bậc hai của w ta gọi z = X+ iy (x, y e K)

í x 2 2 .

Xù z2 = w » I f giải hệ này, ta được x,y .[xy = b

3. Phươ ng trình bậc hai với hệ số phírc

Là phương trình có dạng: az2 I b/. + c -- 0 , trong đ ó a,b ,c là các sô' ph ức a ^ o .

a. Cách giải: Xét biệt thự c A - b2 - 4ac và 5 là một căn bậc hai cùa A

• Nêii A = 0 p hư ơng tr)nh có ngh iêm kép: z -2a

• Nêu A * 0 ph ươ ng trinh có hai nghiệm phân biệt

^ b + S - b - sZ , = ----------- ; 0 , = ------------- .

1 : 2a 2 2 a b. Đ ịn h lí Viét

Gọi 7ị,7-2 là hai ng hiệ m của ph ưo ng Irình : az 2 -I-bz + c = 0 . Khi đó, ta có hệ thứcb

Z1 + z2 - ,sau: < ■ c .

cZIZ2 ,a

Các ví d ụ _________________ _______ _________________________

Ví dụ 1.

1. Trên tậ p sô 'ph ứ c, tìm m đê’ ph ương trình bậc hai z2 + m z I- i = 0 có tổng b ình

phương hai nghiệ m bằng - 4i .

2. Tìm m e R đê’ phirang trinh 4 /2 +4(m - l) z I m 2 -3 m “ 0 có hai nghiệm phân

biệt Zj, z2 e c thòa mãn |zj| t |z2| - \ / l 0

Lời giải.1. Gọi z v z 2 là 2 ng hiệm cúa phương trình đã cho và m = a Ibi với a , b c l .

Theo bài toán, ta có: Z| + / ị - 4i su y ra m 2 = 2 i , dẫn tói hệ:

ía 2 - b2 = 0 „ .i r-->m = 1 - 1 hoặc m - -1 + ĩ .[2ab = -2

2. 7.1, z2 e c là ngh iệm của phư ơng trình: 4z 2 -I- 4(m - 1)z + m 2 - 3m = 0 nên

nêu g ọi Zị = a + bi => z2 = a - bi với a, b e R

Giá thiê't cho:|zj|+ |z2| = n/ĨÕ I/.JI + |z 2| + 2 |z j .z 2| = 10

33



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




36/183

« a + b + a + b + 2(a + b ) = 10 4(a + b ) = 10= >a + b

Mă t khác theo Viet ta CÓ z, .z , = ■——— hay 111 iin - - - m 2 - 3m -10 = 01 2 4 4 4

m = -2 hoặc m = 5

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau trên tập số phức:

1. z2 -2 7 + 17 = 0 2. z2 +(2i+ l)x+ l - 5 i = 0

„ 4 z - 3 - 7 i „ „3. = z - 2i 4. 25

4

(5z 2 + 2] 2 + 4(2 5z + 6)2 =0

Lòi

1. Ta có: z 2 - 2z + l = -1 6 (z + 1)2 =16 i2 = (4 i)2 nên phươ ng trình đã cho có hai

ng hiệm phức : Zj = 1 - 4i; z2 = 1 + 4i .

2. Ta có: A = (2i + l)2 - 4(1 - 5i) = -7 + 24i = (3 + 4i)2

:=> 5 = 3 + 4i là m ột căn bậc hai cúa A .Vậy phư ơn g trình có hai nghiệm: Z j = i + 1; z 2 - 2 - 3 i .

3. Điều kiện: z i

Phương trìn h 4z - 3 - 7i = (z - i)(z - 2i) z 2 - (4 + 3i)z + 1 + 7i = 0

Ta có: A - (4 + 3i)2 - 4(1 + 7i) = 3 - 4i --=(2 - i)2

=> phương trình có hai nghiệm : Z j = 3 + i; z 2 = 1 -I 2 i .

Kết hợp đ iều kiện, ta thây p hư ơng trình đã cho c ó hai nghiệm Z j = 3 + i; z2 = 1 + 2 i .

4. Phư ơng t rình (25z2 + 10)2 - (50iz + 12i)2 = 0

( 2 5 z 2 + 5 0 i z + 1 0 + 1 2 i ) ( 2 5 z 2 - 5 0 i z + 10 - 1 2 i ) = 0

25z2 + 50iz + 10 + 12i = 09

2 5 z - 5 0 i z + 1 0 - 1 2 i = 0

(5z + 5i )2 -- -3 5 “ 12i = (1 - 6i)2

(5 z -5 i)2 =-3 5 + 12i =(ĩ + 6i)2

1 - l l i - 1 + i , ^ 1 + l l i - 1 - i Z-I - - — - — ; z 0 - — - — h o ặ c Z-T, = - — —— ; z , ị = — — -

1 5 2 5 • 3 5 4 5

Ví dụ 3. rim số phức 7. thỏa mãn1 - -200

> 17 I ; /i

/.ờí' giải.

Ta có í 2.(z)2 . |z | V n I Ì „ l Ì Ì . „ p Ị 2

1 - 7 i ( l - 7 i ) ( l + 7i )

34



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




37/183

|z|4 - -2 00 /-\2 - .■Do đ ó 2 +Z = T ^7 i + z + 4 + 28 i” °

Ta CÓ A = l - 4 ( 4 + 28i) = ~15-112i = (7 -8 i)2

- -1 + 7 -8 Ì - - - 1 - 7 + 8Ĩ . .. _ . ..Suy ra z =---- —— = 3 - 4i => z = 3 + 4i, z = ------ ------- = -4 + 4i => z = -4 - 4i

Vậy, có hai sô' phức cần tìm là Zj = 3 + 4i, z2 = —4 —4i

Ví dụ 4. Giải ph ư ơn g trình sau trên tập sô'phứ c Ị9z2 +11 j -I- 16(3z + 2)2 = 0

Lời giải.

Phương trình cho viết lại: ị9z2 +11 j - 16i2 (3z + 2)2 = 0

ị 9 z 2 -12 iz + ll - 8 i ) [ 9 z 2 + 12iz + l l + 8i) = 0

Giải 9z2 -12 iz + l l - 9 i = 0

Ta co' A’ = (6i )2 - 9 (1 1 - 8 i) = -13 5 f 72i = (3 + 12i)2

6Í + 3 + 12Í 1 6i - (3 + 12i) 1 2Suy ra Zi = ---------------= —+ 21, Z , = -------- -- ---------- = —- —1.

1 J 9 3 * 9 3 3

Giải 9z2 + 12iz +11 + 8i = 0

Ta có A’= (- 6 i)2 - 9 (11 + 8i) = -135 - 72i = (3 - Í 2 i f .

9z -12 iz + l l - 8 i = 0

9z2 +12iz + l l + 8i = 0

c -6 i + 3 - 12i 1Suy ra z3 = ------'- ị------- = 3 2i' z4 =

Vậy, phươ ng trình có bốn nghiệm là:

- 6 í - ( 3 - 1 2 i ) 1 2 —_ --------- = - ~r + •

9 3 3

1 o;1 2 ; 1 OS1 2 .7'1 = —+ 2i , z, = ------ —i , Z-, = —- 2 i , Z, = - r + “ i •1 3 3 3 3 3 3

Ví dụ 5. Giải các ph ư ơn g trình sau trên tập sô' phức:

1. z3 + (2 - 2i)z2 + (5 - 4i)z - lũi = 0 biết ph ươ ng trình có nghiệm thu ần ảo

2. z 4 - 2 z 3 - z 2 - 2 z + 1 = 0 3. = 8

Lờí giả i.1. Giả sử z = xi là m ột ngh iệm của p hư ơn g trình. Khi đó, ta có:

~x3i - (2 - 2i)x2 + (5 - 4i)xi - lOi = 0 (- 2 x2 + 4x) + ( - X 3 + 2x2 + 5x - 10)i = 0

f-2 x 2 + 4x = 0o < x = 2 =>x = 2 i l à mot nghiêm của phương trình.

[-X + 2x + 5x -1 0 = 0

35



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




38/183

Nên ta biến đổi phưang trình đã cho vê' dạng:

z = 2i z = 2i

z = -1 + 2i(z -2 i)(z + 2 z + 5) = 0 0

z + 2z + 5 = 0

2. Vì z = 0 khô ng là ngh iệm cúa p hương trình nén

9 1 1Phư ơn g tr ình z + —— 2(z + —) -1 = 0

(z + ỉ ) 2 -2 (z + ỉ ) - 3 = 0z z

Đặt z = z + --, ta có: z 2 - 2Z - 3 = 0 z

z = -ĩz = 3

•7 _ 1 ^ 1 _ 1 „ „2 1 _ n _ _ i ^ *• Z = - I < = > z + — = - l < = > Z + Z + l = 0 « Z = - _ z 2

• z = 3 z2 + 3z + 1 = 0 z = ̂ 4 — •

3. Đặt z :z + i

Z + 1 , ta có: z 3 - 8 (Z ~ 2)(Z2 + 2Z + 4) = 0

z =

z = - 1 ± v/ãi

z + 1

• z ==“ 1 + Vãi — ---- = -1 + Vãi z :

• z = -1 - V3i o ——- = -1 - V3i z :z +1

~5 - Vã 2 +\[ị . — — -— + — —— 1

7 7

-5 + Vã 2 - 73 ; ------------1------------— — i

Ví dụ 6

1. Giải phương trình sau t rên tập sô'phức z4 - z 3 +6 z2 -4 z + 16 = 0

2. Gọi z I/z 2 /z3,z 4 là bôh nghiệm của phư ơng trình z4 - z3 - 2 z2 + 6z - 4 = 0trên

1 1 1 1sô phức tình tống: S = 2 + 2 + 2 2

___________________________Z1 z 2 z 3 z 4 ______________________________ ___________

Lời giải.

1. Do z = 0 kh ông là nghiệm của phư ơng trình nên chia hai vê'củ a (l) cho 7.2

đươc z2 - Z + 6 - —+ — = 0

z z2

Đặt t = z + —=>t2 = z 2 + -^ + 8z2 + i^ = t2 -8( z2+? ) - H ) +6" 0(2)

(2)t2 - t - 2 = 0t = - l ,t = 2

36



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




39/183

2 .. „ _ n 1 ' f e - , 1* t 1< > / ' ‘ /. • 'i f o x ^ v2 i, /. ‘2i

* t = 2 z2 - 2/. + 4 = 0 «■'/. = 1 - \Ỉ3i, ■/.- 1 + \/3i

Vậy, nghiệm của ph ươ ng trình là:

1 '/ĩ=’ ; . ' 1 /ĩ ; /í ;- ~ i ' Z2 “ “ Ỷ + 2 ' Z'3 ' z4 = 1 + v 3i

! + 67 .- 4 = 0 •::■(/ l) ( / • 2) Ịz 2 - 2z + 2) = 0 (l)2 . z 4 - z 3 - 2 z 2 +

Không mất tính tổ ng q uá t ta gọi 4 nghiệm của (l ) là Zj = 1, z2 = -2 , z3 - 1 + i,

z4 = l - i .

, , 1 1 ! 1 , I ■ : 1 5Thay và biểu thức s = + - - + --- •) ---- •=1+ ~ +----- —— + — —— = -

72ị 7ị z ị 724 4 ( l - i ) (l + i) 4

Ví dụ 7

1. Cho sô' phức 7 . là ng hiệm của ph ươn g trình z2 - 2z + 2 = 0 . Tính giá trị của biểu

thức p = ̂ 20l2 + ~ : -

2. Cho Z |, z2 , , z4 là nghiệm phức của phương trình-— *7 j = 1 . Tính giá trị

của biểu thức p = Ịzj +1 Ị Ị /.2 + l ) ( z 3 + l ) ( z 4 + 1 )

Lòi giả i.

1. Ta có: 7 } - 2z + 2 = 0 ( 7. - 1)2 = -1 - i2 7. = 1 + i => 7 } - ±2i

Suy ra z4 = Ịz 2 j =(± 2i)2 = “4

V ỉ y P - ^ - Ị - . Ị , * )\ 503 I

.ị‐‐‐‐‐‐

2. Ta cóz - 1

2 z ~T

\ 503

1 ( z - i)4 = (2z i ) ‘

H )16503 +1

H ), 5 0 3

( z - i)4 - (2z - i)4 - 0 Cí> ( z - i ) 2 j ( 2 z - i) 2 + (z + i)2 + (2 z - i)2

Ịỗz2 - 6iz - 2 j( -3 z 2 + 2izj = 0


40/183

Suy ra Z-Ị

Do đó: p

1, 9 A 25 25 A 25 25 )

Ví dụ 8. Gọi z l , z 2 là hai nghiệm phức p hân biệt của phư ơn g trình:

72 —(m + 4 i) z - 1 + 7i = 0 . Tìm sô'ph ức m sao cho + — = ——- z 2 z i 2

Lời giả i.

Xét phư ơng trình z2 - (m + 4i)z -1 + 7i - 0 (l)

Ta có A = (m + 4i)2 - 4(7i - l)

Phương trình ( l ) có hai nghiệm phân biệt o A t^O o (m + 4i)2 - 4(7i - l ) ^ 0

Theo định lý Vi-ét, ta có Zị 1 z2 - m + 4i,ZjZ0 = -1 + 7i

(thỏa A * 0 )Vậy m = 3; m = -3 - 8i

Ví dụ 9. Cho phư ơn g trình với hệ sô' thực X4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 không có ng hiệmthực. Khi đó phưang trình có 4 nghiệm phức. Biết tích hai trong bôn nghiệm đó là

13 + i và tổng cúa hai ngh iệm còn lại là 3 + 4i. Tìm giá trị cũa b. Lời giả i.

Trước hết ta chứng minh nêu z là nghiệm thực thì z cũng là nghiệm, nên phương

trình có 4 nghiệm Zj, z2, 7.J, z2

Thật vậy từ x'1 -t- ax3 + bx2 + cx + d = 0 ta cũng có X4 I ax3 -I bx2 + cx + d = 0.

z 2 Z 1 2 Z 1Z 2 2

3+ i

o (m + 4i)2 = - 7 + 24i (m + 4i) 2 = (3 + 4i) 2 m + 4i = 3 + 4i m = 3

m + 4i = -3 - 4i m = -3 - 8i

38



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N



8/9/2019 TRỌNG TÂM KIẾN THỨC & PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Documents

TRỌNG TÂM KIẾN THỨC & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÀM SỐ MŨ - LOGARIT TÍCH PHÂN - ĐẠI SỐ TỔ HỢP XÁC SUẤT - SỐ PHỨC - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TRÍCH ĐOẠN)