Trozglobni lukovi i okviri (1)

V. S. & K. F.

1. Opis. Nepromjenjivost i odredenost

Trozglobni su nosaci konstrukcijski sistemi sastavljeni od dvaju diskova koji mogu biti

punostjeni ili resetkasti. Diskovi su medusobno povezani zglobom, a svaki je disk zglobno

vezan i za podlogu. Zglob koji povezuje diskove nazvat cemo srednjim zglobom. Lezajni

zglobovi mogu, ali ne moraju biti na istoj visini. Ako su osi diskova dijelovi krivulja,

nosaci se obicno nazivaju trozglobnim lukovima (slike 1.a. i b.), a ako su osi poligonalne

linije trozglobnim okvirima (slike 1.c. i d.). Osim toga, osi diskova mogu biti i samo na

dijelu zakrivljene (slika 1.e.). Najvisu tocku luka nazivamo tjemenom.

a. b.

c. d.

e.

Slika 1.

Trozglobni se sistemi cesto upotrebljavaju kao glavni nosaci tvornickih hala, skladista,

sportskih dvorana, mostova (primjerice slike 2. i 3.), . . . , a izvode se od armiranoga betona,

celika te monolitnog ili lijepljenog lameliranog drva. Osim zbog siroke rasprostranjenosti

u primjenama, trozglobni su nosaci vrlo vazna skupina konstrukcija i s teorijskoga i s

edukacijskog gledista: kao sto cemo u sljedecim odjeljcima pokazati, nosaci koji pripadaju

nekim drugim tipovima proracunavaju se svodenjem na njih ili prema analogiji s njima.

Trozglobni sistemi zadovoljavaju nuzdan uvjet geometrijske nepromjenjivosti:

S � nD� 3 � nZ1

� 2 � nL� 2 � 3 � 1 � 2 � 2 � 2 � 0 .

1

Slika 2. Pont Alexandre III, Pariz (J. Cassien–Bernard, G. Cousin, J. Resal i A. Alby; 1896.–1900.)

Slika 3. Viaduc d’Austerlitz, Pariz (J.–C. Formige, F. Bienvenue, L. Biete i M. Koechlin; 1904.)

2

Ako, kao na slikama 1.a.—e., sva tri zgloba ne leze na jednom pravcu, ti su sistemi geome-

trijski nepromjenjivi: pri zakretanju lijevoga diska oko njegovog lezajnog zgloba srednji bi

se zglob trebao poceti gibati po okomici na spojnicu ta dva zgloba (slika 4.a.); no, srednji

zglob”pripada” i desnom disku pa bi se zbog toga morao pokrenuti po okomici na spoj-

nicu s desnim lezajnim zglobom; kako ne moze istodobno putovati po dva razlicita pravca,

zakljucujemo da mora ostati nepomican (QED). Buduci da u sistemu postoji upravo naj-

manji moguci broj veza neophodan za geometrijsku nepromjenjivost, ona odmah povlaci i

staticku odredenost.

a. b.

Slika 4.

Leze li, medutim, njegovi zglobovi na jednom pravcu, sistem (slika 4.b., tanja linija) je

trenutno promjenjiv . . . trenutno, sve dok se srednji zglob ne pomakne sa spojnice lezajnih

zglobova (slika 4.b., deblja linija).

2. Graficki postupak

Zapocet cemo s odredivanjem reakcija. Buduci da su oba lezaja nepomicna, poznate su

samo tocke u kojima te reakcije djeluju, ali ne i njihove vrijednosti i pravci djelovanja—

nepoznate su, prema tome, cetiri velicine. Culmannov postupak, konstrukcija veriznoga

poligona i neposredno uravnotezenje triju sila primjenjivi su ako su nepoznate tri velicine.1

Jedna zadana sila. Ako je opterecen samo jedan disk, primjerice lijevi (slika 5.a.), pra-

vac na kojem djeluje jedna reakcija moze se lako odrediti iz uvjeta ravnoteze drugoga,

neopterecenog diska; u nasem je primjeru to desni disk. Na njega djeluju samo dvije sile:

reakcija B u desnom lezaju i sila C u srednjem zglobu. Da bi te dvije sile bile u ravnotezi,

moraju, kao sto znamo, djelovati na istom pravcu te imati jednake intenzitete i suprotne

orijentacije. Zasad nam je potreban samo prvi dio tog uvjeta—njime je odreden pravac

djelovanja reakcije B: on mora u planu polozaja, osim kroz lezaj B, proci i kroz zglob C

(slika 5.b.). Sada se mozemo vratiti na cijeli nosac: utvrdivanjem pravca djelovanja jedne

reakcije zadatak smo sveli na neposredno uravnotezenje triju sila od kojih je jedna (P)

1 Podsjecamo: Culmannov je postupak primjenjiv ako su nepoznate vrijednosti triju sila na poznatimpravcima, dok su neposredno uravnotezenje triju sila i verizni poligon primjenjivi ako su nepoznati pravaci vrijednost sile u poznatoj tocki te vrijednost druge sile na poznatom pravcu.

3

P

A

B

C

a.

C

B

B

C

b.

P

B

A

c.

P A

B

A

N1

T1

M1

t1d1

A

N1

T1

M1 = A · d1

d.

P

B

N1

T1

M1

RB,P

P

RB,P

B

N1

T1

e.

Slika 5.

poznata (poznati su joj i pravac djelovanja i vrijednost), drugoj (B) znamo pravac djelo-

vanja, a za trecu (A) znamo kojom tockom prolazi. Ravnoteza je moguca samo ako pravci

djelovanja sve tri sile prolaze istom tockom (prvi geometrijski uvjet ravnoteze triju sila).

Time je odreden pravac djelovanja reakcije A: on mora u planu polozaja proci sjecistem

pravaca djelovanja sila P i B (lijevi crtez na slici 5.c.). Drugi geometrijski uvjet ravnoteze

triju sila—trokut sila mora biti zatvoren—daje intenzitete i smisao djelovanja reakcija A

i B (desni crtez na slici 5.c.).

Kad su poznate reakcije, mogu se metodom jednostavnih presjeka odrediti sile u oda-

branom poprecnom presjeku. Prica je vec poznata: zamisljenim presjekom odvajamo dio

nosaca pa sile u presjeku moraju uravnoteziti rezultantu svih ostalih sila koje djeluju

na promatrani dio. U nasem primjeru na dio lijevo od presjeka djeluje samo reakcija A

(slika 5.d.), dok za dio desno od presjeka treba odrediti rezultantu RB,P zadane sile P i

reakcije B (slika 5.e.). Sila RB,P ima isti intenzitet i isti pravac djelovanja kao sila A, a

suprotni smisao.

4

Postupak se nimalo ne razlikuje od grafickoga postupka odredivanja sila u odabranom

presjeku nosaca s jednim diskom, opisana na stranicama 22. i 23. poglavlja Staticki odredeni

nosaci s jednim punostjenim diskom (1 ): buduci da su pravci djelovanja uzduzne i poprecne

sile poznati—uzduzna lezi na pravcu tangente t1 na os nosaca u tocki presjeka, a poprecna

na okomici na tu tangentu—njihove intenzitete i smisao dobivamo zatvaranjem trokuta

sila. Uravnotezavanjem dijelova nosaca lijevo i desno od presjeka dobivamo, kao sto znamo,

sile jednakih intenziteta, ali suprotnih orijentacija.2 Treba, stoga, uz crtez uvijek jasno

navesti na koji dio dobivene sile djeluju, posebno ako se promatrani dio ne crta izdvojeno

(sto ce i biti slucaj u vecini primjera koji slijede).

Intenzitet momenta savijanja M1 jednak je umnosku intenziteta rezultante koja djeluje

na promatrani dio i udaljenosti d1 pravca njena djelovanja od tezista presjeka:

M1� A � d1

� RB,P� d1 ;

udaljenost d1 ocitavamo u planu polozaja. Smisao vrtnje momenta M1 suprotan je od

smisla vrtnje momenta rezultante u odnosu na teziste presjeka (u nasem je primjeru jednak

pretpostavljenom). I za smisao vrtnje momenata koji djeluju na lijevi i na desni dio vrijedi

ono sto je receno za smisao djelovanja sila N1 i T1.

Vise sila zadanih na jednom disku. U primjeru smo, jednostavnosti opisa radi, uzeli

da je zadana samo jedna sila. Sto se odredivanja reakcija tice, sila P moze biti i rezultanta

vise sila, ali, naglasavamo, sve moraju djelovati na jedan disk—reakcija u lezaju drugoga

diska prolazit ce kroz srednji zglob samo ako je taj disk neopterecen. I za odredivanje sila

u presjecima neopterecenoga diska svejedno je je li sila P jedina ili je rezultanta vise sila.

Uz to, nista se u postupku ne mijenja ni pri odredivanju sila u presjecima opterecenoga

diska koji leze lijevo od prve ili desno od zadnje sile zadanoga niza sila. Jedino za pre-

sjeke izmedu tih sila treba u obzir uzeti pravce djelovanja, odnosno hvatista pojedinih

sila—uravnotezuju se samo one sile koje djeluju na dio nosaca lijevo ili na dio desno od

odabranoga presjeka.

Primjerice, na lijevi disk luka sa slike 6. djeluju sile P1 i P2. Kako je desni disk neopte-

recen, pravac djelovanja reakcije B i sada prolazi kroz zglob C. Pravac na kojem djeluje

reakcija A prolazi kroz sjeciste pravaca djelovanja reakcije B i rezultante P sila P1 i P2. U

poligonu sila mozemo ocitati intenzitete i orijentacije reakcija A i B. Za sada nista novo.

Presjek 1 � 1 odabrat cemo izmedu hvatista sila P1 i P2. Na dio lijevo od tog presjeka

djeluju sile A i P1 (samo sile A i P1, iako je prema crtezu i hvatiste rezultante P na tom

dijelu), a na dio desno od njega reakcija B i sila P2. Promatramo li lijevi dio, sile u pre-

sjeku 1� 1 moraju, dakle, uravnoteziti rezultantu RA,P1sila A i P1. Nagib pravca djelovanja,

intenzitet i orijentaciju te rezultante odredujemo u poligonu sila. Uz poznatu silu RA,P1, u

2 Prisjetite se: suprotne orijentacije sila znace da sile u odnosu na ravnine poprecnih presjeka jednakodjeluju i da njihove vrijednosti u tehnickom zapisu imaju iste predznake— uzduzna je sila u nasem primjerutlacna pa je njena vrijednost, prema dogovoru o predznacima vrijednostı sila u presjeku, negativna.

5

A

B

C

P1

P2

P1

P2

PP

B

A

A

B

P1

RA,P1

P2

RB,P2

RA,P1

1

1

N1T1

N1 T1

d1

Slika 6.

poligonu sila nalazimo i intenzitete i orijentacije uzduzne i poprecne sile u presjeku (tro-

kut sila u dnu poligona). Za izracunavanje intenziteta momenta M1 treba jos na planu

polozaja ocitati udaljenost d1 pravca djelovanja sile RA,P1od presjeka 1 � 1. Taj pravac

prolazi sjecistem pravaca na kojima djeluju sile A i P1, a usporedan je s rezultantom RA,P1

odredenom u poligonu sila.

Uravnotezenjem dijela nosaca desno od presjeka 1� 1 dobit cemo poprecnu i uzduznu silu

te moment savijanja istih intenziteta, ali suprotnih orijentacija. Sile T1 i N1 uravnotezuju

sada rezultantu RB,P2sila P2 i B (trokut na vrhu poligona sila); intenzitet te rezultante

jednak je intenzitetu rezultante RA,P1, a smisao djelovanja suprotan. U planu polozaja

pravac djelovanja sile RB,P2(potreban za izracunavanje momenta M1) prolazi sjecistem

pravaca na kojima djeluju sile B i P2, a usporedan je s rezultantom konstruiranom u

poligonu sila. Taj se pravac mora podudarati s pravcem na kojem djeluje rezultanta RA,P1.

Dakle, pravac djelovanja rezultanti RA,P1i RB,P2

mozemo nacrtati i kao spojnicu sjecista

pravaca djelovanja sila A i P1 te pravaca djelovanja sila B i P2.

Sile zadane na oba diska. Slucaj u kojem su opterecena oba diska (slika 7.a.) svo-

dimo primjenom principa superpozicije na opisani slucaj. U prvom koraku”uklanjamo”

opterecenje s, primjerice, desnoga diska—opterecen je, dakle, samo jedan, lijevi disk

(slika 7.b.)— i opisanim postupkom odredujemo reakcije. U drugom cemo pak koraku

ostaviti samo opterecenje na desnom disku (slika 7.c.). Ukupne su reakcije vektorski zbro-

jevi reakcija dobivenih u prvom i drugom koraku. Uz poznate reakcije lako je odrediti sile

u bilo kojem presjeku (primjena principa superpozicije pritom vise nije potrebna).

Kao primjer, odredit cemo reakcije i silu u srednjem zglobu trozglobnoga okvira sa

slike 8. (Sila P` moze biti i rezultanta vise sila koje djeluju na lijevi disk, a sila Pd sila koje

djeluju na desni disk.) Na slici 8.a. prikazano je odredivanja reakcija. Kao sto smo rekli,

zamislit cemo prvo da na okvir djeluje samo sila P`. Pravac djelovanja reakcije B` u lezaju

6

P1

P2P3

a.

=P1

P2

b.

+

P3

c.

Slika 7.

desnoga,”neopterecenog”diska mora stoga u planu polozaja proci zglobom C, dok ce pravac

djelovanja reakcije A` proci sada poznatim sjecistem pravaca djelovanja sila B` i P`. Znaci

da su pravci djelovanja sila B` i A` poznati, pa u poligonu sila mozemo odrediti njihove

intenzitete i orijentacije. Potom cemo”zaboraviti” silu P` i uzeti da je opterecen samo

desni disk (silom Pd). Kako je sada lijevi disk neopterecen, pravac djelovanja reakcije Ad

prolazi srednjim zglobom te, potom, pravac djelovanja reakcije Bd sjecistem pravaca na

P`

Pd

B`

A`Ad

Bd

P`

Pd

B`

A`

Bd

Ad

B`

Ad

B

A

a.

P`

Pd P`

Pd

B

A

C

A

B

C

C

b.

Slika 8.

7

kojima djeluju Ad i Pd; uz poznate pravce djelovanja, intenzitete i orijentacije tih reakcija

odredujemo u poligonu sila. Ukupne reakcije dobivamo zbrajanjem parcijalnih reakcija—

u vektorskom zapisu�A �

�A`

� �Ad i

�B �

�B`

� �Bd ; graficki smo njihove intenzitete i

orijentacije, kao i nagibe pravaca na kojima djeluju, odredili u poligonu sila.

Na lijevi disk djeluju sile A i P`, a na desni sile B i Pd. Buduci da su sile P`, Pd, A i B u

ravnotezi, u ravnotezi su i rezultanta sila A i P` i rezultanta sila B i Pd. Te dvije rezultante,

prema tome, djeluju na istom pravcu i jednakih su intenziteta, a suprotnih orijentacija.

Njihov je pravac djelovanja spojnica sjecista pravaca djelovanja sila A i P` te pravaca

djelovanja sila B i Pd (plan polozaja na slici 8.b.), a intenzitete i orijentacije odredujemo u

poligonu sila (takoder na slici 8.b.—gornja je sila C rezultanta sila A i P`, a donja sila B

i Pd). Rezultanta sila A i P` ujedno je i sila kojom, razdvojimo li nosac presjekom kroz

zglob C, lijevi disk djeluje na desni, dok je rezultanta sila B i Pd sila kojom desni disk djeluje

na lijevi; te smo rezultante, stoga, kao sile u zglobu, oznacili jednostavno sa C. Kako zglob

ne preuzima moment savijanja, da bi jedan disk bio u ravnotezi, pravac rezultante svih sila

koje na njega djeluju, osim sile kojom na nj djeluje drugi disk, mora proci kroz zglob—

drugim rijecima, sjeciste pravaca djelovanja sila A i P`, zglob C i sjeciste pravaca djelovanja

sila B i Pd moraju lezati na pravcu.

3. Analiticki postupak

Sile u vanjskim vezama i u srednjem zglobu. Vec smo rekli: obje reakcije troz-

globnoga sistema leze na pravcima nepoznata nagiba, sto zajedno s njihovim nepoznatim

vrijednostima daje u prvom koraku proracuna, izracunavanju reakcija, cetiri nepoznanice.

Za ravninski nosac kao cjelinu na raspolaganju su nam tri jednadzbe ravnoteze, nedo-

voljno za izracunavanje vrijednosti tih nepoznanica. Zbog toga moramo izdvajanjem i

uravnotezenjem dijela sistema uvesti dodatne jednadzbe. Kao i u grafickom postupku,

razdvojit cemo diskove u srednjem zglobu. Na taj nacin u dramu uvodimo samo dvije nove

nepoznate velicine—vrijednost i nagib pravca djelovanja sile u tom zglobu. (U svim se

drugim presjecima kao treca nepoznanica pojavljuje i moment savijanja.)

Za svaki disk mozemo napisati tri jednadzbe ravnoteze. S tri jednadzbe za cijeli nosac,

dobiveni sustav sadrzi devet jednadzbi. Moze se pokazati da je samo sest jednadzbi linearno

nezavisno. Intuitivno: neka su oba diska, svaki za sebe, u ravnotezi; kako ce se,”spojimo”

li ponovo diskove, sila kojom u srednjem zglobu desni disk djeluje na lijevi i sila kojom

lijevi disk djeluje na desni medusobno ponistiti, i nastali ce sklop nuzno biti u ravnotezi

pa nam uvjeti ravnoteze cjeline ne daju nista novo.

Broj nezavisnih jednadzbi odgovara, prema tome, broju nepoznanica. Odabirom po-

godnih nepoznanica i prikladnih uvjeta ravnoteze te odgovarajucim redoslijedom rjesavanja

dobivenih jednadzbi”puni” sustav 6 � 6 moze se razbiti na manje sustave s po dvije jed-

nadzbe, pa i na niz pojedinacnih jednadzbi.

8

Umjesto nepoznatih vrijednosti sila i nagiba pravaca njihova djelovanja u proracun

unosimo nepoznate vrijednosti dviju komponenata svake sile na odabranim pravcima. Na

slikama 9.b. i c. prikazana su dva najcesce primjenjivana izbora pravaca komponenata

reakcija.

Na slici 9.b. reakcije su rastavljene u horizontalne i vertikalne komponente: A u Ah i Av,

a B u Bh i Bv. Silu C u srednjem zglobu takoder cemo rastaviti u Ch i Cv (slike 9.d. i e.).

Uz poznate pravce djelovanja te uz na slikama naznacene pretpostavljene orijentacije tih

sila, u nastavak proracuna ulaze samo njihove vrijednosti.

Napisemo li jednadzbu ravnoteze momenata oko lezaja B za cijeli nosac (slika 9.b.), u

nju ce kao nepoznanice uci samo vrijednosti Ah i Av sila Ah i Av. Samo te dvije vrijednosti

ulaze kao nepoznanice i u jednadzbu ravnoteze momenata oko zgloba C za lijevi disk

(slika 9.d.). Dobili smo, dakle, sustav od dvije jednadzbe s dvije nepoznanice:���ACB

M � B � 0 : zB� Ah

� ` � Av � �i ��ACB

Mi � B � 0,

���AC

M � C � 0 : zC� Ah

� xC� Av � �

i ��AC

Mi � C � 0;(1)

�ACB i i � �ACB kraj simbola sumacije oznacavaju da se zbrajanja provode po cijelom nosacu

(od lezaja A, preko zgloba C, do lezaja B); isto tako, AC i i �AC oznacavaju zbrajanja

samo po lijevom disku (od lezaja A do zgloba C). Sa � i ��ACB

Mi � B obuhvatili smo vri-

jednosti momenata svih zadanih koncentriranih sila i svih distribuiranih opterecenja u

odnosu na tocku B te vrijednosti svih zadanih koncentriranih momenata. Slicno tome,� i ��AC

Mi � C obuhvaca vrijednosti momenata u odnosu na tocku C zadanih koncentriranih

i distribuiranih sila koje djeluju na lijevi disk, kao i vrijednosti koncentriranih momenata

koji djeluju na nj. (U oblikovanju jednadzbi pretpostavili smo da su polozajni odnosi kao

na slici 9.: lezaj B je iznad lezaja A. Uz to, razni x i z oznacavaju udaljenosti, to jest, uvijek

su pozitivni. Formalniji, vektorski zapis bio bi potpuno opcenit, no, takva je opcenitost

vjerojatno pretjerana—pri rjesavanju konkretnih zadataka polozajni su nam odnosi uvijek

poznati pa predznake momenata mozemo odrediti s pomocu crteza.)

Na isti cemo nacin izracunati i vrijednosti sila Bh i Bv: prva jednadzba bit ce jednadzba

ravnoteze momenata oko lezaja A za cijeli nosac (slika 9.b.), a druga— jednadzba ravnoteze

momenata oko zgloba C, sada za desni disk (slika 9.e.):���ACB

M � A � 0 : zB� Bh �

` � Bv � �i ��ACB

Mi � A � 0,

� �CB

M � C � 0 : �� zC� zB � � Bh � ` � xC � � Bv � �

i ��CB

Mi � C � 0.(2)

Za provjeru izracunanih vrijednosti upotrijebit cemo jednadzbe ravnoteze projekcija

sila za nosac kao cjelinu na horizontalnu i vertikalnu os (slika 9.b.):���ACB

Fx� 0 : Ah

� Bh � �i ��ACB

P hi

� 0, (3)

���ACB

Fz� 0 : � Av

� Bv � �i ��ACB

P vi

� 0; (4)

9

q(s)

Pi

Pi+1

Mk

αA

B

C

xi

xC

`

zizB

zC

a.

Ah

Av

Bh

Bvb.

As`

A0

Bs`

B0c.

Ah

Av

Ch

Cv

d.

Bh

Bv

Ch

Cv

e.

As`

Ahs`

A0

hCfC

f. Bs`

Bhs`

B0

g.

Slika 9.

pritom P hi i P v

i oznacavaju vrijednosti horizontalnih i vertikalnih komponenata zadanih

koncentriranih sila kao i vrijednosti komponenata rezultanti zadanih distribuiranih op-

terecenja.

10

Uz poznate reakcije, vrijednosti sila Ch i Cv mozemo izracunati iz dviju jednadzbi rav-

noteze projekcija sila koje djeluju na lijevi ili na desni disk; najpovoljnije je uzeti projekcije

na horizontalnu i vertikalnu os. Odaberemo li, primjerice, lijevi disk, bit ce (slika 9.d.):� �AC

Fx� 0 : Ah

� Ch � �i ��AC

P hi

� 0, (5)

���AC

Fz� 0 : � Av �

Cv � �i ��AC

P vi

� 0; (6)

kako u svaku jednadzbu ulazi po jedna nepoznanica, iz prve jednadzbe neposredno dobi-

vamo Ch, a iz druge Cv. Jednadzbe ravnoteze projekcija sila koje djeluju na desni disk

(slika 9.e.), � �CB

Fx� 0 : Ch

� Bh � �i ��CB

P hi

� 0, (7)

� �CB

Fz� 0 : � Bv

� Cv � �i ��CB

P vi

� 0, (8)

mozemo potom iskoristiti za provjeru ispravnosti prethodnih izracunavanja.

Navedeni”simetricni” slijed proracuna reakcija nije jedini moguci. Na primjer, u prvom

koraku mozemo, kao i ranije, iz sustava jednadzbi (1) izracunati vrijednosti Ah i Av, a

vrijednosti Bh i Bv potom iz neovisnih jednadzbi (3) i (4) i time izbjeci rjesavanje sustava

jednadzbi (2).

Stovise, i rjesavanje prvoga sustava mozemo izbjeci rastavimo li reakcije, kao na slici 9.c.,

u vertikalne komponente i komponente koje djeluju na spojnici lezajeva: A u A0 i As`,

a B u B0 i Bs`. Kako sada pravac djelovanja sile As` prolazi tockom B, jedina je nepoznata

vrijednost u jednadzbi ravnoteze momenata u odnosu na tu tocku vrijednost sile A0:���ACB

M � B � 0 : � ` � A0 � �i ��ACB

Mi � B � 0. (9)

Analogno, u jednadzbi ravnoteze momenata oko tocke A jedina nepoznata vrijednost je B0:���ACB

M � A � 0 : ` � B0 � �i ��ACB

Mi � A � 0. (10)

Kad su vrijednosti A0 i B0 poznate, vrijednosti As` i Bs` sila As` i Bs` izravno slijede iz

jednadzbi ravnoteze momenata oko tocke C za lijevi i za desni disk (slike 9.f. i g.):� �AC

M � C � 0 : fC� As`

� xC� A0 � �

i ��AC

Mi � C � 0, (11)

� �CB

M � C � 0 : � fC� Bs` � ` � xC � � B0 � �

i ��CB

Mi � C � 0, (12)

ili, uvedemo li u proracun vrijednosti horizontalnih komponenata Ahs` i Bh

s` sila As` i Bs`:� �AC

M � C � 0 : hC� Ah

s`� xC

� A0 � �i ��AC

Mi � C � 0, (13)

� �CB

M � C � 0 : � hC� Bh

s`

� ` � xC � � B0 � �i ��CB

Mi � C � 0. (14)

11

(Udaljenost hC izmedu zgloba C i tocke u kojoj vertikala kroz zglob sijece spojnicu lezajeva

obicno je lakse izracunati negoli udaljenost fC zgloba od spojnice lezajeva.)

Jednadzbe � �ACB

Fx� 0 i � �

ACBFz

� 0 ostaju nam ponovo za kontrolu proracuna.

Veze izmedu vrijednosti Av, Ah i A0, As` te izmedu vrijednosti Bv, Bh i B0, Bs` mo-

zemo izvesti na temelju skica 10.a. i b.:

Ah � Ahs`

� As`� cos α, As` �

Ah

cos α; (15)

Av � As`� sin α

�A0 � Ah

� tg α�

A0, A0 � Av� Ah

� tg α; (16)

Bh � Bhs`

� Bs`� cos α, Bs` �

Bh

cos α; (17)

Bv � B0� Bs`

� sin α � B0� Bh

� tg α, B0 � Bv �Bh

� tg α; (18)

pritom pretpostavljamo da su sile orijentirane kao na tim skicama.

Av

Ah

As`

A0A

αa.

Bv

Bh

B0

Bs`

B

α

b.

Slika 10.

Sile u poprecnim presjecima. Vrijednosti sila u odabranom poprecnom presjeku

izracunavamo na uobicajeni nacin, dobro poznat vec iz poglavlja o nosacima s jednim

diskom—metodom jednostavnih presjeka. Nakon sto smo na jedan od opisanih nacina

odredili reakcije, poznate su sve vanjske sile koje djeluju na nosac. Odvojimo li dio nosaca

s jedne strane odabranoga presjeka, recimo slij�

eva (slika 11.a.), nepoznate ce, prema tome,

biti samo vrijednosti triju sila u s�

amome presjeku.

Ah

Av

PiN(s)

T (s)

M(s)

a.

ξ(s)

ζ(s)

ϑ(s)

x(s)

z(s)

b.

Slika 11.

12

Kako bismo olaksali definiranje pravaca djelovanja i pozitivnih orijentacija sila u po-precnim presjecima, u svakoj tocki

�r s � parametarski zadane osi uvodimo lokalni koor-

dinatni sustav ξ s � η s � ζ s � tako da os ξ s � lezi na pravcu tangente�r� s � na krivulju

�r

(slika 11.b.); ϑ s � je neorijentirani kut, manji od 90�, izmedu osı ξ s � i x. Uzduzna sila dje-

luje tada na pravcu osi ξ s � , poprecna na pravcu osi ζ s � , a vektor momenta savijanja lezina pravcu osi η s � koja je okomita na ravninu nosaca; pozitivne orijentacije sila i momentaodredene su orijentacijama osı.

Kao i u proracunu nosaca s jednim diskom, vrijednost uzduzne sile mozemo neposrednoizracunati iz jednadzbe ravnoteze projekcija na os ξ s � sila koje djeluju na promatrani dionosaca, izmedu lezaja A i presjeka s:� �

AsFξ�s � � 0 ���

N s � � � Ah� cos ϑ s � � Av

� sin ϑ s ��

�i ��As

P hi

� cos ϑ s � � �i ��As

P vi

� sin ϑ s � ; (19)

pri izricanju uvjeta ravnoteze pretpostavili smo da su sve komponente Phi i Pv

i pozitivnoorijentirane.

Neke od sila Pi mogu biti i rezultante onih dijelova distribuiranih sila koji djeluju napromatrani dio.

Izvedeni izraz za N x � moze se primijeniti na dijelu nosaca izmedu lezaja A i tjemenaluka, na kojem se lokalna os ξ s � dovodi do poklapanja s globalnom osi x vrtnjom u smislugibanja kazaljke na satu za kut ϑ s � manji od 90

�.

To vrijedi i za izraz za vrijednost T s � poprecne sile. Taj izraz mozemo neposrednoizvesti iz jednadzbe ravnoteze projekcija pripadnih sila na os ζ s � :� �

AsFζ�s � � 0 ���

T s � � � Ah� sin ϑ s � �

Av� cos ϑ s �

�

�i ��As

P hi

� sin ϑ s � �

�i ��As

P vi

� cos ϑ s � . (20)

Katkad je jednostavnije vrijednosti N s � i T s � izracunati iz sustava jednadzbi rav-noteze projekcija sila na osi x i z:� �

AsFx

� 0 : N s � � cos ϑ s � �T s � � sin ϑ s � �

Ah � �i ��As

P hi

� 0,

���As

Fz� 0 : � N s � � sin ϑ s � �

T s � � cos ϑ s � � Av � �i ��As

P vi

� 0.(21)

Vrijednost momenta savijanja izracunavamo, kao i uvijek, iz jednadzbe ravnoteze mo-menata u odnosu na tocku

�r s � :� �

AsM � r � s � � 0 ���

M s � � � Ah� z s � �

Av� x s � �

�i ��As

Mi � r � s � �

�j ��As

Mj; (22)

13

Mj mogu biti vrijednosti zadanih koncentriranih momenata ili vrijednosti rezultirajucihmomenata dijelova zadanih distribuiranih momenata na luku

�As, dok su Mi � r � s � vrijednosti

momenata sila Pi u odnosu na tocku�r s � , pri cemu neke sile Pi mogu i sada biti rezultante

pripadnih dijelova distribuiranih sila; izraz je izveden uz pretpostavku da je smisao vrtnje

svih tih momenata pozitivan.

U poprecnim presjecima na dijelu nosaca izmedu tjemena luka i lezaja B (slika 12.a.)

lokalnu os ξ s � do poklapanja s globalnom osi x dovodimo vrtnjom za kut ϑ s � u smislu

suprotnom od vrtnje kazaljke na satu, pri cemu je ϑ s � manji od 90�

(slika b.).

Ah

Av

N(s)T (s)

M(s)a.

ξ(s)ζ(s)

ϑ(s)

x(s)

z(s)

b.

Slika 12.

U izrazima za vrijednosti uzduzne i poprecne sile neki ce se predznaci promijeniti (u

odnosu na izraze (19) i (20)):

N s � � � Ah� cos ϑ s � �

Av� sin ϑ s �

�

�i ��As

P hi

� cos ϑ s � �

�i ��As

P vi

� sin ϑ s � (23)

T s � � Ah� sin ϑ s � �

Av� cos ϑ s �

� �i ��As

P hi

� sin ϑ s � �

�i ��As

P vi

� cos ϑ s � . (24)

Sustav jednadzbi ravnoteze projekcija sila na osi x i z prelazi pak u:

N s � � cos ϑ s � � T s � � sin ϑ s � �Ah � �

i ��As

P hi

� 0,

N s � � sin ϑ s � �T s � � cos ϑ s � � Av � �

i ��As

P vi

� 0.(25)

Primjer (s nekoliko novih pojedinosti). Analiza provedena na trozglobnom luku moze

se primijeniti i na trozglobne okvire.

Na slici 13.a. prikazan je trozglobni okvir opterecen jednoliko distribuiranom silom�q s � � qg

�k, gdje je qg njena vrijednost po jedinici duljine osi, dok je s prirodni parame-

tar (njegova vrijednost odgovara duljini osi);�q moze biti, recimo, vlastita tezina. Neka

je qg� 25,0 kN

�m�. Treba izracunati vrijednosti reakcija i nacrtati dijagrame unutrasnjih

sila.

14

qg

A

B

CD E

2,0 2,0 3,0 2,5

1,0

4,0

a.

qg

Ah

AvBh

Bv

9,5

1,0

b.

qg

Ah

Av

Ch

Cv

4,0

4,0

c.

Bh

Bv

Ch

Cv

5,5

5,0

Slika 13.

Reakcije cemo prvo rastaviti u horizontalne i vertikalne komponente (slika 13.b.). Vri-

jednosti komponenata reakcije A izracunat cemo iz sustava koji cine jednadzba ravnoteze

momenata oko lezaja B za cijeli nosac (slika b.) i jednadzba ravnoteze momenata oko

15

zgloba C za lijevi dio nosaca (lijevi crtez na slici c.):

� 1,0 � Ah� 9,5 � Av �

8,5 � QAD

�5,0 � Q

DE

�1,25 � Q

EB

� 0,

4,0 � Ah� 4,0 � Av �

3,0 � QAD

�1,0 � Q

DC

� 0;

QAD

, QDE

, QDC

i QEB

vrijednosti su rezultanti distribuirane sile q na dijelovima nosaca

izmedu lezaja A i cvora D, cvorova D i E, cvora D i zgloba C te cvora E i lezaja B:

QAD

� qg� `

AD

� 25,0 ��� 2,02 �4,02 � 111,80 kN,

QDE

� qg� `

DE

� 25,0 � 5,0 � 125,0 kN,

QDC

� qg� `

DC

� 25,0 � 2,0 � 50,0 kN,

QEB

� qg� `

EB

� 25,0 ��� 2,52 �5,02 � 139,75 kN.

U ovom je primjeru moment komponente Ah (s pretpostavljenom orijentacijom) u odnosu

na tocku B negativan jer je ta tocka”ispod” tocke A. Rjesavanjem sustava dobivamo

Ah � 79,49 kN i Av � 175,84 kN.

Neovisni sustav za izracunavanje vrijednosti komponenata reakcije B sadrzi jednadzbu

ravnoteze momenata oko lezaja A za cijeli nosac (slika 13.b.) i jednadzbu ravnoteze mo-

menata oko zgloba C za desni dio nosaca (desni crtez na slici c.),

� 1,0 � Bh �9,5 � Bv

� 1,0 � QAD

� 4,5 � QDE

� 8,25 � QEB

� 0,

� 5,0 � Bh �5,5 � Bv

� 1,5 � QCE

� 4,25 � QEB

� 0,

gdje je QCE

rezultanta distribuirane sile na dijelu izmedu zgloba C i cvora E:

QCE

� qg� `

CE

� 25,0 � 3,0 � 75,0 kN.

Rjesenje sustava je:

Bh � 79,49 kN i Bv � 200,71 kN.

Vidimo da su sve sile orijentirane kao sto smo na slici i pretpostavili.

Rjesenja cemo provjeriti uvrstavanjem u jednadzbe ravnoteze horizontalnih i vertikalnih

projekcija sila za cijeli nosac:

Ah� Bh � 0,

� Av� Bv �

QAD

�Q

DE

�Q

EB

� 0.

Treba uociti da su Ah i Bh jedine horizontalne sile pa moraju, sto i neposredno slijedi

iz prve jednadzbe (uz pretpostavljene orijentacije), imati suprotne orijentacije i jednake

intenzitete.

16

Komponente sile u zglobu C mozemo izracunati iz jednadzbi ravnoteze projekcija sila

koje djeluju na, recimo, lijevi dio nosaca (lijevi crtez na slici 13.c.):

Ah� Ch � 0,

� Av �Q

AD

�Q

DC

�Cv � 0;

prva jednadzba daje Ch � 79,49 kN, a druga Cv � 14,04 kN. Naravno, jednake bismo

vrijednosti dobili iz jednadzbi ravnoteze projekcija sila koje djeluju na desni dio (desni

crtez na slici c.):

Ch� Bh � 0,

� Cv �Q

CE

�Q

EB� Bv � 0.

Drugi nacin odredivanja reakcija zapocinje rastavljanjem reakcija u vertikalne kompo-

nente i komponente na spojnici lezajeva (slika 14.a.). U jednadzbi ravnoteze momenata u

odnosu na tocku B za cijeli nosac,

� 9,5 � A0 �8,5 � Q

AD

�5,0 � Q

DE

�1,25 � Q

EB

� 0,

jedina je nepoznanica vrijednost A0 pa odmah dobivamo A0 � 184,21 kN. Isto je tako u

jednadzbi ravnoteze momenata u odnosu na tocku A,

9,5 � B0� 1,0 � Q

AD� 4,5 � Q

DE� 8,25 � Q

EB

� 0,

jedina nepoznanica B0 pa je, odmah, B0 � 192,34 kN. (Naravno, A0 � Av i B0 � Bv.)

Vrijednosti komponenata na spojnici lezajeva izracunat cemo tako da te komponente

rastavimo u po dvije komponente—vertikalnu i horizontalnu—u tocki ispod zgloba C

(slika 14.b.). Kako vertikalne komponente prolaze kroz zglob, u jednadzbe ravnoteze mo-

menata oko zgloba za lijevi i desni dio nosaca ulaze samo vrijednosti horizontalnih kom-

ponenata:

4,421 � Ahs`

� 4,0 � A0 �3,0 � Q

AD

�1,0 � Q

DC

� 0,

� 4,421 � Bhs`

�5,5 � B0

� 1,5 � QCE

� 4,25 � QEB

� 0.

Iz prve je jednadzbe Ahs`

� 79,49 kN, a iz druge Bhs`

� 79,49 kN, pa su

As` �

Ahs`

cos α� 79,93 kN i Bs` �

Bhs`

cos α� 79,93 kN.

Kao sto vidimo, sile As` i Bs` imaju jednake intenzitete, a suprotno su orijentirane. To

smo mogli zakljuciti i bez izracunavanja. Te su dvije sile, naime, jedine sile koje imaju

horizontalne komponente pa iz uvjeta ravnoteze horizontalnih sila slijedi da te horizontalne

komponente moraju imati suprotan smisao djelovanja i isti intenzitet. A kako sile As` i Bs`

17

qg

α

A0

B0

As`

Bs`

a.

qg

A0

Ahs`

4,4

21

b.

B0

Bhs`

Slika 14.

djeluju na istom pravcu, i one ce imati suprotne orijentacije i jednake intenzitete (dovoljno

je da njihovi pravci imaju isti nagib).

Ocito je i da su Ahs`

� Ah i Bhs`

� Bh (slika 15.), dok su vrijednosti Av i A0 te Bv i B0

povezane izrazima

A0 � Av �Ah

� tg α,

B0 � Bv� Bh

� tg α;

usporedite te izraze s izrazima (16) i (18) na stranici 12, a usporedite i slike 15. i 10. U

posebnom slucaju, kada su lezajevi na istoj visini, A0 � Av, As` � Ah, B0 � Bv i Bs` � Bh.

Av

Ah

As`

A0

α

Bv

Bh

B0

Bs`

α

Slika 15.

18

Ponovit cemo jos jednom (taj ce nam zakljucak uskoro zatrebati): ako su na trozglob-

nom luku ili okviru zadane samo vertikalne sile, horizontalne komponente reakcija imat ce

suprotne orijentacije i jednake intenzitete. Uvest cemo oznaku H � Ah � Bh.

Za crtanje dijagrama unutrasnjih sila necemo izvoditi funkcijske izraze, nego cemo samo

izracunati njihove vrijednosti u karakteristicnim tockama. Vrste krivulja izmedu tih tocaka

odredene su poznatim diferencijalnim odnosima.

Karakteristicne su tocke za momentni dijagram tocke D i E u kojima se lomi os nosaca

(slika 13.a. na stranici 15). Vrijednosti momenata savijanja u tim tockama mozemo ne-

posredno izracunati iz jednadzbi ravnoteze momenata oko tocke D za dio nosaca izmedu

tocaka A i D te oko tocke E za dio izmedu tocaka B i E (slika 16.):�AD

M � D � 0 ��� MD� � 4,0 � Ah �

2,0 � Av� 1,0 � Q

AD

� � 78,08 kNm,�BE

M � E � 0 ��� ME� � 5,0 � Bh �

2,5 � Bv� 1,25 � Q

EB

� � 70,36 kNm.

Znamo osim toga da u lezajnim zglobovima i u srednjem zglobu momenti iscezavaju; pritom

”kroz” zglob C krivulja dijagrama prolazi bez loma.

ϑAD

Ah

Av

QAD

Ndolje

D

Tdolje

D

MD

a.

ϑEB

Bh

Bv

QEB

Ndolje

E

Tdolje

EME

b.

Slika 16.

Znamo i da su izmedu tocaka A i D, izmedu tocaka D i E i izmedu tocaka E i B li-

nije dijagrama dijelovi kvadratnih parabola. Za crtanje tih parabola treba na svakom

dijelu izracunati jos po jednu vrijednost. Odabrat cemo vrijednosti u polovistu dijela AD

(tocka F), polovistu dijela DE (tocka G) i polovistu dijela EB (tocka H); pomocu tih je

vrijednosti vjerojatno najlakse konstruirati parabole. Postupak izracunavanja vrijednosti

i crtanje odgovarajucih dijelova parabola objasnili smo na stranici 20. poglavlja Gerberovi

nosaci (1 ):

MF�

MA

�MD

2� q

�

g� `2

AD

8�

0 � 78,08

2� 11,181 � 4,4722

8� � 11,09 kNm,

MG�

MD

�ME

2� qg

� `2

DE

8�

� 78,08 � 70,36

2� 25,0 � 5,02

8� 3,91 kNm,

19

MH�

ME

�MB

2� q

�

g� `2

EB

8�

� 70,36�

0

2� 11,181 � 5,592

8� 8,49 kNm;

q�

g u izrazima za MF i MH oznacava vrijednosti komponenata distribuirane sile koje su

okomite na osi dijelova AD i EB:

q�

g� qg

� cos ϑAD

� qg� cos ϑ

EB

(jer je ϑAD

� ϑEB

).

Momentni je dijagram prikazan na slici 18.a. na sljedecoj stranici.

Za dijagrame poprecnih i uzduznih sila karakteristicne su tocke lezajne tocke te ponovo

tocke D i E. No, buduci da se u tockama D i E nagibi osi skokovito mijenjaju, u samim

tockama sile nisu definirane. Stoga vrijednosti sila treba izracunati u tocki koja je na

dijelu AD neposredno ispod tocke D (slika 16.a.),

Tdolje

D

� � Ah� sin ϑ

AD

�Av

� cos ϑAD

� QAD

� cos ϑAD

� � 42,46 kN,

Ndolje

D

� � Ah� cos ϑ

AD� Av

� sin ϑAD

�Q

AD� sin ϑ

AD

� � 92,83 kN,

u tockama koje su na dijelu DE neposredno desno od tocke D (slika 17.a.) i neposredno

lijevo od tocke E (slika 17.b.),

T desnoD

� Av� Q

AD� 64,04 kN,

NdesnoD

� � Ah � � 79,49 kN,

Tlijevo

E

� � Bv �Q

EB

� � 60,96 kN,

Nlijevo

E

� � Bh � � 79,49 kN,

te u tocki koja je na dijelu EB neposredno ispod tocke E (slika 16.b.),

Tdolje

E

� Bh� sin ϑ

EB� Bv

� cos ϑEB

�Q

EB� cos ϑ

EB

� � 43,84 kN,

Ndolje

E

� � Bh� cos ϑ

EB� Bv

� sin ϑEB

�Q

EB� sin ϑ

EB

� � 90,07 kN.

Ah

Av

QAD

NdesnoD

T desnoDa.

Bh

Bv

QEB

Nlijevo

E

Tlijevo

E

b.

Slika 17.

20

Isto tako, poprecne i uzduzne sile nisu definirane ni u samim tockama A i B —to su

hvatista reakcija. Vrijednosti sila izracunat cemo stoga (formalno) u tockama neposredno

iznad lezajnih:

Tgore

A

� � Ah� sin ϑ

AD

�Av

� cos ϑAD

� 7,54 kN,

Ngore

A

� � Ah� cos ϑ

AD� Av

� sin ϑAD

� � 192,83 kN,

Tgore

B

� Bh� sin ϑ

EB� Bv

� cos ϑEB

� � 18,66 kN,

Ngore

B

� � Bh� cos ϑ

EB� Bv

� sin ϑEB

� � 215,07 kN.

Izmedu karakteristicnih tocaka vrijednosti uzduznih i poprecnih sila mijenjaju se li-

nearno (ili se, kao uzduzna sila na dijelu DE, ne mijenjaju). Komponente sile u zglobu

mozemo poistovjetiti s uzduznom i poprecnom silom pa pravci dijagrama”nesmetano”

prolaze kroz zglob. Dijagrami poprecnih i uzduznih sila prikazani su na slikama 18.b. i c.

11,09

78,0870,36

3,91

8,49

M

a.

7,54

42,46 6

4,04

60,96

43,84

18,66

+

−

+

−

+

−

T

b.

192,83

92,83

79,49

79,49

90,07

215,

07

−

−

−

N

c.

Slika 18.

21

22