Trzęsienie ziemi i wielopiętrowe budynkiWstęp do systemów opisywanych równaniami różniczkowymi cząstkowymi

Model budynku wielopiętrowego

m

m

m

m

…

xN

xN-1

x2

x1

f (t)

2111

32122

11

1211

1

)( xxktfxkxm

xxkxxkxm

xxkxxkxm

xxkxxkxm

xxkxm

nnnnn

NNNNN

NNN

kFma

Model budynku wielopiętrowego

m

m

m

m

…

xN

xN-1

x2

x1

f (t)

)(2

2

2

2

121

1232

11

211

1

tfxxmkx

xxxmkx

xxxmkx

xxxmkx

xxmkx

nnnn

NNNN

NNN

Model oscylatora

)()( tkxtxm

tBtAt

ttt

cossin)sin(

cossinsincos)sin(

tCtCtx cossin)( 21

)()( 2

0 txtx m

k2

0

Model budynku wielopiętrowego

m

m

m

m

…

xN

xN-1

x2

x1

f (t)

)(2

2

2

2

2

012

2

01

123

2

02

11

2

0

21

2

01

1

2

0

tfxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxx

nnnn

NNNN

NNN

m

k2

0

Model budynku wielopiętrowego

m

m

m

m

…

xN

xN-1

x2

x1

f (t)

1

0

0

0

0

)(

2100

1210

01210

00121

00011

2

0

1

2

2

1

2

0

1

2

2

1

tf

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

N

N

N

N

N

N

zKxx )(2

0

2

0 tf

zKxx )(2

0

2

0 tf

Analiza modelu budynku wielopiętrowego

zKxx )(2

0

2

0 tf

2100

1210

01210

00121

00011

K

xT K x > 0, x ≠ 0

Macierz K jest rzeczywista, symetryczna, dodatnio określona,

ma zatem rzeczywiste dodatnie wartości własne

x=a1(t)u1+…+aN(t)uN

un – wektory własne macierzy K

Model z tłumieniem

m

mxn+1

xn

xn-1m

μ

μ

FFma k

211

)1(

3212

)2(

11

)(

121

)1(

1

)(

)( xxtfxF

xxxxF

xxxxF

xxxxF

xxF

nnnn

n

NNNN

N

NN

N

Model z tłumieniem

m

mxn+1

xn

xn-1m

μ

μ zKxxKx )()(2

0

2

0 tftf

m

Symulacja komputerowa – przykład z animacją

Symulacja komputerowa – kod function dX = rrStropy(t,X)

k = 10; m = 0.2;

mu = 2; % tlumienie

N = length(X)/2; % liczba stropów

%wejscie

A = 1; % amplituda u

om = 10; % czestotliwosc u

if t < 10

u = A*cos(om*t);

uprim = A*om*cos(om*t);

else

u = 0;

uprim = 0;

end

x = X(1:N);

y = X(N+1:2*N); % pierwsza polowa X to x a druga polowa X to y

dx = y;

dy = zeros(N,1);

dy(1) = (-k/m)*(-x(2)+2*x(1)-u) - mu*(-y(2)+2*y(1)-uprim); % pierwszy strop

for n = 2:N-1

dy(n) = (-k/m)*(-x(n+1)+2*x(n)-x(n-1)) - mu*(-y(n+1)+2*y(n)-y(n-1));

end

dy(N) = (-k/m)*(x(N)-x(N-1)) - mu*(y(N)-y(N-1)); % ostatni strop

dX = [dx; dy];

end

Symulacja komputerowa – kod

clear

N = 10; % liczba stropów

X0 = zeros(2*N,1);

tspan = [0 60];

options = odeset('MaxStep',0.1);

[T,X] = ode45(@rrStropy, tspan, X0, options);

X = X(:,1:N);

figure(1)

plot(T,X)

figure(2)

pause

for t = 1:length(T)

for n = 1:N

hold on

plot([X(t,n) X(t,n)+1],[n n],'g','LineWidth',10)

xlim([-3 3])

hold off

end

drawnow

cla

end

Równanie falowe 1D

Równanie falowe 1D

Równanie falowe 1D

Równanie falowe 1D

xn+1xn-1 xn

sn+1sn-1 sn

h

xn(t) = u(sn,t)

x = u(s,t)

sn = nh = nL/N

L – długość struny

ρ – gęstość struny

)()()()()( 11 txtxtxtxhktxh nnnnn

Równanie falowe 1D

),(),(2),()(

)()(2)()(

2

11

thsutsuthsuh

ktx

txtxtxh

ktxh

nnnn

nnnn

)()()(2)(

2sf

h

hsfsfhsf

2

2

2

2

s

uk

t

u

Równanie falowe 1D

2

2

2

2

s

uk

t

u

kc 2

2

22

2

2

s

uc

t

u

Ważne pojęcia:

– układy równań sprzężonych

– częstotliwość drgań własnych

– wektory własne

– równanie falowe