Embed Size (px)
Citation preview
TS. Ngô Văn Thanh,Viện Vật lý.
Cao học vật lý – chuyên ngành Vật lý lý thuyết.
Chương 6. Phương trình vi phân.
6.1. Các bài toán giá trị đầu (Initial value problems)
6.1.1. Phương pháp Euler.
6.1.2. Phương pháp Runge-Kutta.
6.2. Giải hệ các phương trình vi phân.6.2.1. Phương pháp Euler.6.2.2. Phương pháp Runge-Kutta.
6.3. Các bài toán giá trị biên.6.3.1. Phương pháp shooting.6.3.2. Phương pháp sai phân xác định.
@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
Giới thiệu.
Dạng tổng quát phương trình vi phân bậc nhất:
điều kiện đầu
Hệ phương trình vi phân bậc nhất:
trong đó
Dạng tổng quát phương trình vi phân bậc n :
điều kiện đầu
@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
6.1.1. Phương pháp Euler.
Phương trình vi phân bậc nhất:
điều kiện đầu
Chia biến t thành N + 1 điểm
mặt khác
suy ra:
@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
Phương pháp Euler: tính
Điều kiện đầu
Cuối cùng:
@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
Phương pháp Taylor bậc n.
Điều kiện đầu
Chuỗi Taylor
Mặt khác
Cuối cùng ta có
@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
6.1.2. Phương pháp Runge-Kutta.
Định lý Taylor cho hàm 2 biến:
Phương pháp Runge-Kutta bậc 2:
sử dụng biểu thức Taylor bậc 2:
sử dụng
ta có:
@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
Phương pháp MidPoint:
điều kiện đầu
Phương pháp Euler bổ sung:
điều kiện đầu
Phương pháp Heun:
điều kiện đầu
@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
Phương pháp Runge-Kutta bậc 4:
điều kiện đầu
trong đó:
@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
6.2.1. Phương pháp Runge-Kutta.
Hệ phương trình vi phân bậc 1:
với
Chia t thành N + 1 điểm
Điều kiện ban đầu:
trong đó
@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
Tổng quan:
Xét phương trình đạo hàm riêng bậc 2:
Các điều kiện biên
Để phương trình có nghiệm duy nhất thì:
Hàm f và đạo hàm riêng của nó theo y và y’ phải liên tục.
Đạo hàm riêng của f theo y phải lớn hơn 0 (dương).
Đạo hàm riêng của f theo y’ phải giới nội.
6.3.1. Phương pháp shooting cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính.
Dạng bài toán giá trị biên tuyến tính:
Đây là dạng phương trình đạo hàm riêng không thuần nhất
Nghiệm của nó được tính từ nghiệm của phương trình thuần nhất
@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
Để giải phương trình này, người ta tách thành hệ hai phương trình với điều kiện đầu:
với điều kiện đầu
Và
với điều kiện đầu
Cả hai phương trình trên đều có nghiệm duy nhất.
Giả sử là hai nghiệm của hai phương trình trên.
Đây chính là nghiệm duy nhất
của phương trình với điều kiện
biên
@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
Giải phương trình hai điều kiện đầu:
với điều kiện đầu
Chuyển về giải hệ hai phương trình:
với điều kiện đầu
Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp Runge-Kutta (6.2.1).
@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
6.3.2. Phương pháp sai phân xác định.
Dạng bài toán giá trị biên tuyến tính:
Chia đoạn [a, b] thành N + 1 khoảng.
Xét khoảng phương trình vi phân có dạng:
Sử dụng dạng Centered-Difference
ta có:
@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
Định nghĩa các nghiệm gần đúng:
Ta có
với
Viết lại phương trình trên dưới dạng
Đây là hệ phương trình dạng ma trận chéo bậc 3
@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử Gauss
@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý
