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T E M A GEOMETRIA AXIOMÁTICA,
SEGMENTOS DE RETA
CONTEÚDOS
• Axiomática; • As Partes de uma Reta;
[ Um pouco de história ]
Geometria significa "medida da
terra". Mas o que se tem de mais
interessante ao se estudar a história,
é que os primeiros passos no estudo
da geometria foram dados com base
numa hipótese falsa.
[ Um pouco de história ]
Acreditava-se que a Terra era plana,
portanto, todas as pesquisas foram
feitas segundo essa crença, mas isso
não impediu o desenvolvimento da
geometria. Foi no período grego,
entre 600 e 300 a.C., que a geometria
se firmou como um sistema
organizado, e muito disso se deve a
Euclides.
[ O Método Axiomático ]
Na matemática, existem conceitos que determinam o modo de organizar o pensamento. São eles:
Conceitos Primitivos
Axiomas
Corolários
Teoremas/Lemas
[ Conceitos Primitivos ]
Um conceito é dito primitivo quando não necessita de definição, simplesmente é tido como verdade. Um exemplo é o “ponto”.O conceito primitivo deve ser representado por uma palavra (ou um conjunto de palavras) que possa ser de fácil aceitação e intuitivo .
[ Axiomas ]
Os axiomas (ou postulados) são
regras simples (ou conjunto de
regras) que determinam como os
conceitos primitivos devem se
comportar, suas propriedades e, além
disso, são fatos não demonstráveis.
[ Teoremas ]
Todas as proposições obtidas devem
ser demonstradas, caso sejam
verdadeiras, desde que sejam aceitos
os axiomas como verdadeiros.
Chamaremos estas proposições de
teoremas.
[ Lemas ]
Quando é preciso utilizar uma
proposição auxiliar em uma
demonstração de um teorema,
chamamos esta proposição de lema.
[ Corolários ]
As conseqüências imediatas dos
teoremas são os corolários.
[ Geometria Euclidiana ]
A Geometria de Euclides foi a primeira teoria matemática a ser axiomatizada. Ela é chamada de Geometria Euclidiana, e descreve o mundo real.
[ Geometria Não-Euclidiana ]
Na tentativa de demonstrar o
(famoso) quinto postulado de
Euclides, surgiram as Geometrias
não-Euclidianas, como, por exemplo,
a Geometria Hiperbólica.
[ Quinto Postulado de Euclides ]
“Por um ponto P exterior a uma reta
m, consideradas em um mesmo
plano, existe uma única reta s
paralela à reta m.
.m
P s
[ Definições, Teoremas e Demonstrações ]
Uma definição é um conceito
elaborado em função de elementos
conhecidos. Por exemplo, a definição
de segmento de reta:
“parte ou porção da reta limitada por
dois pontos”.
[ Definições, Teoremas e Demonstrações ]
Um teorema é aceito como uma
verdade se ele for provado.
O enunciado de um teorema se
divide em:
•Hipótese
•Tese
[ Definições, Teoremas e Demonstrações ]
•Hipótese: conjunto de todas as
informações iniciais
•Tese: resultado ao qual se pretende
chegar
•Demonstração: conjunto de
raciocínios que permite chegar à
tese.
[ Noções Primitivas em Geometria Plana ]
As noções primitivas da geometria plana são:•Ponto
•Reta
•Plano
A
r
[ Axiomas de Existência ]
1. Numa reta, bem como fora dela,
existem infinitos pontos.
2. Dados dois pontos distintos, existe
uma única reta que os contém.
3. Num plano há infinitos pontos.
[ Definições ]
1. Pontos colineares são pontos que
pertencem a uma mesma reta.
2. Duas retas contidas num mesmo
plano são paralelas quando não
possuem ponto em comum.
A B
r
s
[ Definições ]
3. Dados dois pontos distintos A e B,
a reunião do conjunto desses dois
pontos com o conjunto dos pontos
que estão entre eles é um
segmento de reta. Representa-se
por .A B
AB
[ Definições ]
4. Dados dois pontos distintos A e B,
a reunião do segmento de reta
com o conjunto dos pontos X tais
que B está entre A e X é a semi-reta
AB (indicada por ) . O ponto A é a
origem da semi-reta.
AB
ABKKKKKKKKKKKKKK
A B X
[ Observação ]
Se A está entre B e C, as semi-retas
e são ditas semi-retas opostas.
A CB
ABKKKKKKKKKKKKKK
ACKKKKKKKKKKKKKK
[ Definições ]
5. Pontos coplanares são pontos
pertencentes a um mesmo plano.
BA
[ Axiomas de Determinação ]
4. Dados dois pontos distintos, existe
uma única reta que passa por eles.
5. Dados três pontos não colineares,
existe um único plano que passa
por eles.
[ Axiomas de Determinação ]
6. Se uma reta possui dois pontos
que pertencem a um plano, então a
reta está contida nesse plano.
A Geometria Plana estuda figuras
planas, ou seja, figuras cujos pontos
estão todos num mesmo plano.
[ Classificação de Segmentos de
Reta ]
Dois segmentos de reta podem ser
classificados em:
• Consecutivos
• Colineares
• Adjacentes
[Segmentos Consecutivos]
Dois segmentos de reta são
consecutivos se uma extremidade de
um deles é também extremidade do
outro:
C
B
P RQ
A
[Segmentos Colineares]
Dois segmentos de reta são
colineares se estão numa mesma
reta.
P RQA CB D
[Segmentos Adjacentes]
Dois segmentos de reta são
adjacentes se são consecutivos e
colineares, e não possuem pontos
internos em comum.
TR SPNM
] [Adição de Segmentos
Dados dois segmentos e ,
tomando-se numa semi-reta qualquer
de origem R os segmentos e
tais que e
, dizemos que o segmento
é a soma de com
AB CD
PTRP
RP AB PT CD
RT AB
CD
A
TPR
D
CB
RP ABPT CDRT AB CD RP PT
[Ponto Médio de Um Segmento]
Dado um segmento , dizemos que
M é ponto médio deste segmento se,
e somente se, M está entre A e B e .
AB
AM MB
BMA
[Distância entre Dois Pontos]
Dados dois pontos A e B, a distância
entre eles é o comprimento do
segmento , que será
representado por m( ).
AB
AB
A B
Por exemplo, se um segmento
tem comprimento igual a três
unidades de comprimento, então:
PQ
1 u.c.1 u.c.1 u.c.
[Exemplo]
Observe a figura abaixo e determine
sabendo que M é o ponto
médio de .AB
MA B
x + 82x - 5
m(AB)
[Resolução]
Como M é o ponto médio de ,
temos que , logo,
AB
m(AM) = m(MB)
2 5 8x x
2 5 8x x
13x
[Resolução]
Mas
m(AB) (2x -5) (x 8) 3x 3 3 13 3 42
[Proposição]
Se em uma semi-reta
considerarmos
um segmento , com
,
então o ponto C estará entre A e B
(o ponto C é chamado de ponto
interno de
).
ABKKKKKKKKKKKKKK
AC m(AC) < m(AB)
BA C
ABKKKKKKKKKKKKKK
[Demonstração]
Hipótese:
Tese: C está entre A e B
Observemos que, como B e C estão
na mesma semi-reta de origem A,
então A não pode estar entre B e C.
m(AC) < m(AB)
BCA BCA
[Demonstração]
Não pode acontecer também de
termos B entre A e C, pois, caso fosse
possível,
teríamos que e,
consequentemente, .
Isto contraria a hipótese. Sendo
assim, resta apenas a alternativa
onde o ponto C está entre os pontos
A e B.
AB+BC=AC
m(AB) < m(AC)
[Razão da Secção Interna]
Consideremos o segmento de reta
e C um ponto interno deste
segmento. A razão
é chamada razão da seção interna.
AB
m( )k
m( )
AC
CB
A C B
Se C for o ponto médio de , qual
será a razão da seção interna?
AB
A C B
Certamente todos encontraram a
resposta correta:
k = 1.
[Exemplo]
Um segmento de medida 9 cm
foi
dividido internamente por um ponto
C na razão 2. Encontre a medida dos
segmentos , e
e esboce o segmento com seu
respectivo ponto interno.
AB
CBAC
[Resolução]
Inicialmente chamemos a medida do
segmento de x. Ainda não
sabemos exatamente a que distância
de A encontra-se o ponto C.
Suponhamos que ele esteja na
seguinte posição:
AC
A C B
x
[Resolução]
Como o segmento mede 9 cm
e o segmento mede x cm,
então temos que .
AB
AC
m(BC) 9 x
A C B
x 9 - x
[Resolução]
Sabemos ainda que k = 2, portanto
Resolvendo a proporção acima,
encontramos x = 6 cm. Desse modo,
concluímos que e
.
m( )k
m( )
AC
CB x
29 x
AC 6 cm CB 3 cm
[Resolução]
Agora podemos ter uma precisão
quanto à posição do ponto C:
A C B
9cm 3cm
[Razão da Seção Externa]
Consideremos o segmento de reta
e C um ponto fora deste segmento. A
razão
é chamada razão da seção externa.
Qual é a diferença entre esta razão e
a razão interna?
AB
m( )k
m( )
AC
CB
[Razão da Seção Externa]
No primeiro caso, C é um ponto
interno ao segmento, e no último, é
externo:A C B
C A B
Ponto interno
Ponto externo
[Exercício]
Um segmento de 9 cm foi
dividido externamente por um ponto
C de tal forma que a razão entre as
medida de e
é 2. Encontre a medida dos
segmentos envolvidos e esboce o
segmento com seu respectivo ponto
externo.
AB
AC CB
Resposta:
m( ) 9cm
m( ) 18cm
BC
AC
CBA
9 cm 9 cm
[ Referências ]
• Iezzi, Gelson. Matemática:
Ciência e aplicações. São Paulo:
Editora Atual, 2004.
• Dolce, O., Pompeo, J.Niicolau.
Fundamentos de Matemática
Elementar, vol.9. São Paulo:
Atual,1993.