Upload
reski-setiawan-bachrun
View
228
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/22/2019 Tugas 2 Kelompok a Model Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-2-kelompok-a-model-matematika 1/14
9. OSILATOR DUA BENDA (A TWO – MASS OSCILLATOR)
Jika di antara dua benda yang bebas bergerak dipasang. Dan misalkan kedua massa benda
tersebut disimbol m1 dan m2, dimana pegas penghubung memiliki panjang yang belum
terenggang l, dan konstanta pegas adalah k. Sistem tersebut hanya dapat berpindah secara
horizontal. (Seperti pada gambar 9-1)
Gambar 9.1
Gaya yang terjadi pada masing-masing benda sama dengan massa kali percepatannya. Untuk
mengetahui percepatannya, harus diketahui posisi masing-masing benda, jika x1 dan x2 adalah
jarak masing-masing benda dari titik asal.
Gambar 9.2
Meskipun jarak yang tak terenggang dari pegas adalah l, tidak berarti bahwa x2 – x1 = l , pegas
bisa saja merenggang ataupun merapat,. Dengan menggunkan hukum Newton, jika F1 adalah
adalah gaya yang terjadi pada m1 dan F2 adalah gaya yang terjadi pada m2 maka
Gaya yang terjadi pada masing-masing benda adalah aplikasi dari Hukum Hooke . Gaya
berbanding lurus dengan perenggangan pegas dan tidak berbanding lurus dengan panjang pegas.
Panjang perengangan pegas adalah panjang pegas (x2 – x1) dikurangi l . Besar gaya adalah
konstanta pegas (k) dikali panjang perenganggan pegas.
7/22/2019 Tugas 2 Kelompok a Model Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-2-kelompok-a-model-matematika 2/14
Arah dari gaya sangat penting. Misalkan pegas merenggang (x2 – x1 – l > 0), maka benda m1
terdorong ke arah kanan. Arah gaya tersebut adalah positif x1, Gaya yang terjadi pada benda 1
adalah k(x2 – x1 – l ) sehingga :
(9.1)
Meskipun besar gaya di benda m2 sama, tetapi gaya pegas berlawanan arah, sehingga:
(9.2)
Kedua persamaan tersebut bisa disederhanakan dengan menambahkan F1 dan F2, sehingga:
F1 + F2 = 0
(9.3)
(9.4)
Pusat massa dari system bukan percepatan tetapi perpindahan di
kecepatan konstan(ditentukan berdasarkan kondisi awal). Gaya yang bekerja hanya bergantung
pada panjang peregangan pegas ( . Dengan membagi persamaan (9.1) dengan m1
dan persamaan (9.2) dengan m2. Sehingga:
Misalkan z adalah perenganggan dari pegas
z =
7/22/2019 Tugas 2 Kelompok a Model Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-2-kelompok-a-model-matematika 3/14
maka
Dapat dilihat bahwa pereganggan pegas adalah gerak harmonik sedehana dengan frekuensi sudut
adalah
10. GESEKAN
Benda berosilasi di sekitar titik kesetimbangan akan terus mengecil sampai berhenti.
Model Matematika untuk suatu sistem pegas adalah
Amplitudo dari osilasi dapat berkurang karena terdapat gaya yang dapat melawan (resistive) ,
yaitu gaya yang melawan gerakan. Gambar 3 menunjukkan, jika pegas berpindah ke kanan,
7/22/2019 Tugas 2 Kelompok a Model Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-2-kelompok-a-model-matematika 4/14
maka ada gaya yang diberikan ke kiri. Gambar 4 menunjukkan bahwa pegas bergeser ke kiri,
jika ada gaya yang diberikan kekanan.
Gambar 3
Gambar 4
Gaya ini tejadi karena adanya gesekan antara benda dan sekeliling udara. Saat kecepatan positif
(dx/dt > 0 ), maka gaya gesekan (Ff ) harus negatif (Ff < 0). Saat kecepatan negatif, maka gaya
gesekan harus positif.
dimana c adalah konstanta positif dikenal sebagai koefisien Gesekan. Hubungan antara gaya ini
dan kecepatan disebut gaya redam linear.
Persamaan differensial yang menjelaskan system massa pegas dengan gaya redam linear adalah:
equivalen dengan:
7/22/2019 Tugas 2 Kelompok a Model Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-2-kelompok-a-model-matematika 5/14
Berdasarkan pengamatan bahwa sekali benda berpindah, gaya gesekan bersifat melawan tetapi
memiliki besar yang konstan yang tak bergantung pada kecepatan, Hasil pengamatan ini dapat
dimodelkan menjadi:
bergantung pada kekasaran dari permukaan dan berat benda.
11. SISTEM OSILASI TEREDAM
…… (1)
Sistem masa pegas dengan gesekan
Persamaan karakteristik dengan memisalkan = eλt
adalah sebagai berikut:
λt
λt
λt (2)
λt)
λt (3)
Subtitusi persamaan (2), (3) dan pada persamaan (1) sehingga diperoleh:
7/22/2019 Tugas 2 Kelompok a Model Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-2-kelompok-a-model-matematika 6/14
m ( λ²e λt
) + c ( λe λt
) + k (e λt ) = 0 : e
λt
m λ² + c λ + k = 0
Solusi persamaan karakteristik :
λ ₁.₂ = √
12. OSILASI DENGAN REDAMAN YANG KECIL
λ ₁.₂ = √
λ ₁.₂ = …… karena , maka
λ ₁.₂ =
λ
₁.
₂ =
…… jelas bahwa
λ ₁.₂ =
Misalkan
, maka diperoleh:
λ ₁.₂ =
Sehingga solusi umum dari adalah:
7/22/2019 Tugas 2 Kelompok a Model Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-2-kelompok-a-model-matematika 7/14
*+
* +
*₁₂+
Solusi umum :
Dengan
Kurva Solusi :
jika
maka,
7/22/2019 Tugas 2 Kelompok a Model Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-2-kelompok-a-model-matematika 8/14
13. OSILASI DENGAN REDAMAN YANG BESAR DAN KRITIS
Jika , maka sistem masa pegas mengalami redaman yang besar
akan menghasilkan solusi umum :
₂ ₂
Karena , r ₁ dan r ₂ adalah dua akar karakteristik yang berbeda, yaitu :
₁ dan ₂
Solusi Umum:
₂ ₂
Jika gaya gesekan cukup besar , maka benda mundur ke posisi setimbang dengan cepat, dan
tidak berosilasi, seperti pada gambar (a) dan (b) atau melewati posisi setimbang satu kali
sebelum kembali menuju keposisi setimbang (gambar c)
Jika disebut redaman kritis
7/22/2019 Tugas 2 Kelompok a Model Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-2-kelompok-a-model-matematika 9/14
Persamaan (1) akan menghasilkan 2 akar real yang sama, yaitu:
₁ dan ₂
Jadi solusi umum :
Karena solusi berbentuk dan karena t di eksponensial lebih kuat daripada t di
At+B sehingga kurva solusinya tidak jauh berbeda dalam kasus overdamped .
14. GERAK AYUNAN
Dengan ayunan dimaksudkan suatu benda yang terikat pada sebuah tali dimana ujung lain dari
tali terikat pada suatu titik tetap dan gerak harmonis benda tersebut biasa disebut gerak ayunan.
Seperti halnya pada sistem per-massa gerak ayunan juga berdasarkan hukum Newton kedua
tentang gerak. Dalam kegiatan belajar ini akan dibahas penyusunan model matematika pada
gerak ayunan.
a. Gerak Ayunan Linear
Sebuah ayunan dengan panjang , disajikan pada gambar merupakan sebuah tali
dengan panjang , satu ujungnya terikat pada sebuah titik tetap sehingga tali tersebut dapat
bergerak secara bebas terhadap titik tetap tersebut. Sedangkan pada ujung yang lain terikat
sebuah benda/massa dengan massa . Dengan demikian benda/massa tersebut akan
bergerak pada ruang berdimensi dua. Misalkan gerakan benda/massa tersebut menurut
sebuah lingkaran dengan jari-jari , seperrti terlihat oada gambar14-2.
7/22/2019 Tugas 2 Kelompok a Model Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-2-kelompok-a-model-matematika 10/14
Hukum Newton kedua tentang gerak yang diterapkan pada benda/massa dengan massa
tersebut berbentuk
Dengan menyatakan vektor letak dari benda (vektor dari titik asli ke titik benda). (pada
dimensi 3 kordinat-kordinat persegi panjang, percepatan diberikan
sebagai berikut.
Karena adalah vektor satuan yang mana tidak hanya memiliki nilai tetapi juga
memiliki arah) dan adalah gaya yang bekerja pada benda tersebut. Pada sistem koordinat
polar, dengan titik pangkal diambil titik tetap dari tali, vektor letak disajikan sebagai
Dengan adalah vektor satuan arah jari- jari, sedang sudut arah θ diambil terhadap garis
vertikal, sehingga ayunan dalam keadaan setimbang/diam berarti . Mengingat konstan, panjang tali, maka :
Berdasarkan sudut arah θ, vektor satuan dapat disajikan sebagai
Dengan , vektor satuan pada sistem koordinat Cartesian, seperti pada gambar berikut
7/22/2019 Tugas 2 Kelompok a Model Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-2-kelompok-a-model-matematika 11/14
Merupakan vektor satuan tegak lurus dengan arah sesuai arah pertambahan θ, berdasarkan
gambar di atas diperoleh
Seharusnya yang dihitung adalah vektor percepatan , tapi yan
g harus diketahui terlebih dulu adalah vektor kecepatan :
Karena adalah sebuah konstan untuk sebuah gerak ayunan, , maka persamaan di
atas menjadi
Untuk persamaan 14.3a
{ }
7/22/2019 Tugas 2 Kelompok a Model Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-2-kelompok-a-model-matematika 12/14
Persamaan dapat ditulis
Perhatikan bahwa
{ }
{ }
Komponen angular dari percepatan adalah . Hal tersebut hanya akan ada jika sudutnya
adalah percepatan. Jika konstan, komponen radial dari percepatan adalah - yang
selalu mengarah ke pusat. Itu disebut percepatan centripetal.
Untuk beberapa gaya ketika sebuah benda dipaksa bergerak melingkar, Hukum Newton
mengartikan
Dari hokum Newton kedua diketahui bahwa
7/22/2019 Tugas 2 Kelompok a Model Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-2-kelompok-a-model-matematika 13/14
Maka diperoleh :
[ ]
(
)
Untuk sebuah gerak ayunan, berarti gaya yang bekerja pada benda lain adalah gaya gravitasi yang mana seharusnya diartikan ke bentuk koordinat polar. Dari definisi dan ,
Persamaan
Jadi gaya gravitasi . disamping gaya gravitasi pada benda juga bekerja gaya tarik oleh tali ayunan, katakan
sebesar
dengan arah jari-jari, sehingga dapat dituliskan
. Dengan demikian gaya
yang bekerja pada benda dalam gerak ayunan adalah
Setiap komponen pada persamaan vektor gaya adalah hasil persamaan diffrensial biasa :
Massa m dapat dihilangkan dari kedua sisi pada persamaan 14.7a. Jadi gerakan dari ayunan
tidak bergantung pada besaran maas m yang diikat pada ayunan. Hanya perubahan atau perbedaan panjang L (atau g) yang menimbulkan gerakan. Sehingga persamaan dapat
disederhanakan seperti berikut
Gerak ayunan dibangun dari sebuah persamaan diffrensial non linier, persamaan 14.8 dan
oleh karena itu disebut persamaan non liniear gerak ayunan. Gaya pemulihan
7/22/2019 Tugas 2 Kelompok a Model Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-2-kelompok-a-model-matematika 14/14
tidak bergantung secara liniear pada . Masalah nonlinear biasanya lebih sulit untuk
dipecahkan daripada yang linear.
Bentuk lebih sederhana (bentuk persamaan diffrensial linier) merupakan bentuk
pendekakatan diperoleh dengan membatasi
cukup kecil sehingga dapat diambil
pendekatan
Secara geometri fungsi dan hampir identik untuk kecil ( diliniearisasikan dari sin pada sekitar titk asal,
Dengan menggunakan perkiraan tersebut, persamaan diffrential menjadi :
Disebut persamaan gerak ayunan linier. Selain itu dapat juga dibuat persamaan harmonis
sederhana. Gerak ayunan osilasi dengan frekuensi satu putaran (melingkar)
Dan peride T = 2π sepanjang yang kecil.