Tugas Kelompok MEH

8/17/2019 Tugas Kelompok MEH

1/28

METODE ELEMEN HINGGA

“PENYEBARAN ALIRAN PANAS 2-DIMENSI DENGAN KONDISI

TENGAH BERLUBANG MENGGUNAKAN ELEMEN SEGIEMPAT

LINEAR ”

Dibuat oleh :

Kelompok 5

Resi Arumin Sani 1212100039

Muhammad Samsul Ma’arif 1212100064

Nihaya Alivia Coraima Dewi 1212100068

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

SURABAYA

2015


2/28


3/28

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Model Persamaan Penyebaran Aliran Panas

Perpindahan panas adalah ilmu yang mempelajari tentang laju perpindahan panas diantaramaterial/benda karena adanya perbedaan suhu (panas dan dingin). Perpindahan panas terjadi

karena adanya perbedaan suhu. Panas akan mengalir dari tempat yang suhunya tinggi ke tempat

yang suhunya lebih rendah. Perpindahan panas terjadi menurut tiga mekanisme yaitu konduksi

(hantaran), konveksi, radiasi (sinaran).

Perpindahan panas konduksi adalah proses perpindahan panas jika panas mengalir dari

tempat suhunya tinggi ke tempat yang suhunya lebih rendah, tetapi media untuk perpindahan

panas tetap.

Persamaan dasar dari konsep perpindahan panas konduksi adalah Hukum Fourier. Hukum

Fourier dinyatakan dengan :

= atau = Dimana : ∶ suhu ℃ ∶ jarak/tebal dinding ∶ luas penampang

∶ konduktivitas termal

. ⁄

∶ laju perpindahan panas konduksi ⁄ Nilai konduktivitas termal menunjukkan seberapa cepat panas mengalir dalam bahantertentu. Jika suatu bahan memiliki nilai konduktivitas termal yang besar, maka bahan tersebutmerupakan penghantar panas yang baik, sedangkan jika nilai konduktivitas termalnya kecil,

maka bahan itu merupakan penghantar yang buruk atau isolator.

Perpindahan panas konduksi pada dinding homogen dua dimensi seperti pada gambar

dibawah ini:

Gambar 2.1. Struktur perpindahan panas konduksi pada dinding homogen

(2.1)

(2.2)


4/28

Apabila suhu berubah terhadap waktu dan terdapat pula sumber panas dalam zat padat itu,

maka dapat dibuat neraca energi untuk bagian yang tebalnya sebagai berikut :- Dari arah yang masuk → = -

Dari arah

yang masuk

→ =

-

Dari arah yang keluar → +∆ = + - Dari arah yang keluar → +∆ = + - Energi yang dibangkitkan → = - Perubahan energi dalam → Dengan konsep Hukum Energi :

Energi yang masuk + Energi generasi (yang dibangkitkan) = Energi yang keluar + perubahan

energi dalam

= + + | | = |+ |+ = () ()

() ()= () () = Sehingga, persamaan umum konduksi panas adalah () () = Pada kasus perpindahan panas pada dinding homogen dalam kondisi steady state sehingga

persamaan diatas menjadi,

( ) ( ) = 0 2.2 Konsep Dasar Metode Elemen Hingga

Metode elemen hingga adalah metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan

permasalahan teknik dan masalah matematis dari suatu gejala fisis. Tipe masalah teknis dan

matematis fisis yang dapat diselesaikan dengan metode elemen hingga terbagi menjadi dua

kelompok, yaitu kelompok masalah analisis struktur dan kelompok masalah analisis non

struktur.

Konsep dasar metode elemen hingga didasarkan pada suatu konsep dimana fungsi kontinu

didekati dengan suatu model persamaan yang didefinisikan untuk sebagai sub domain yang

disebut elemen hingga. Konsep metode elemen hingga bisa diterapkan pada berbagai dimensi

(2.4)

(2.3)


5/28

sesuai kebutuhan. Langkah-langkah yang diterapkan dalam metode hingga secara umum,

antara lain :

Diskritisasi domain

Penentuan bentuk fungsi aproksimasi

Perhitungan properti elemen

Pembentukan sistem persamaan linear

Penyelesaian sistem persamaan linear


6/28

BAB III

PEMBAHASAN

Diberikan suatu dinding dengan ukuran 20 cm x 20 cm x 20 cm dengan konstanta

konduktivitas termal = 0.5 /. dan sumber panas yang dibangkitkan = 1000 /. Apabila panas di A adalah 100 ℃ dan B 200 ℃ dengan diasumsikan hanya di titik x dany saja (dua dimensi). Bagaimana penyebaran aliran panas pada kondisi steady state.Persamaan umum perpindahan panas dua dimensi pada dinding homogen adalah ( ) ( ) = Dalam kondisi steady state sehingga persamaan menjadi ( ) ( ) = 0

Gambar 3.1. Perpindahan panas konduksi dari titik A ke titik B dengan kondisi tengah

berlubang

3.1 Diskritisasi Domain

Pada kasus ini dinding homogen dibagi menggunakan elemen segiempat linear sebanyak

25 elemen dengan 36 node. Ditunjukkan oleh gambar dibawah ini

Gambar 3.2. Permukaan dinding yang didiskritisasi menjadi 25 elemen dengan 36 node

Keterangan Gambar 3.2:

(3.1)

(3.2)


7/28

a. Angka dengan warna hitam melambangkan elemen.

b.

Angka dengan warna merah melambangkan node.

c. = 20 dan = 20 untuk sisi depan dinding homogen.d. Panjang tiap elemen yaitu 2 = 4 dan 2a = 4 .

3.2

Fungsi Bentuk AproksimasiFungsi bentuk aproksimasi yang digunakan adalah fungsi interpolasi elemen segiempat

linier. Elemen segiempat linier ini memiliki panjang 2 dan lebar 2.Gambar dibawah ini menunjukkan bentuk elemen segi empat linear dan sistem koordinat

yang digunakan. Koordinat dan untuk sistem koordinat global, koordinat dan untuksistem koordinat lokal dan koordinat dan untuk sistem koordinat natural.

Fungsi interpolasi dinyatakan pada koordinat lokal dan sebagai berikut : =

Gambar 3.3. Parameter untuk elemen segiempatPada Gambar 3.3, nilai pada masing-masing titik adalah = pada saat = 0 dan = 0 = pada saat = 2 dan = 0 = pada saat = 2 dan = 2 = pada saat = 0 dan = 2 Sehingga diperoleh nilai pada masing-masing titik adalah = = 2

= 2 2 4

= 2 maka menghasilkan koefisien-koesfisien sebagai berikut : = = 12 = 12 = 14 Subtitusi persamaan (3.4) ke persamaan (3.3) maka diperoleh fungsi bentuk untuk elemen

segiempat linear yang dapat dinyatakan sebagai pendekatan nilai distribusi yaitu =

(3.3)

(3.4)


8/28

=

=

dimana = 1 21 2 = 2 1 2 = 4 = 2 1 2 Persamaan (3.6) tersebut merupakan fungsi bentuk yang berlaku untuk sistem koordinat

lokal. Untuk fungsi bentuk pada sistem koordinat natural diperlukan transformasi persamaan

antara sistem koordinat dan yang dinyatakan dengan = dan = Subtitusi persamaan (3.7) ke persamaan (3.6) sehingga diperoleh fungsi bentuk yaitu = 14 1 1 = 14 1 1 = 1

41

1

= 14 1 1 3.3 Perhitungan Properti Elemen

Pada makalah ini akan mencari governing equation dengan menggunakan pendekatan

residu berbobot (weighted residue). Formulasi Galerkin merupakan metode residual yang

digunakan agar residual menjadi minimal yaitu mengalikan integrasi residual dengan suatu

fungsi bobot

∫

Ω = 0

dimana fungsi bobot diganti dengan fungsi bentuk dan digantikan dengan governingequation perpindahan panas pada persamaan (3.2). Sedangkan notasi Ω melambangkan batasanintegral pada luasan maupun volume. Sehingga persamaan menjadi

∫ = 0

∫

∫

∫ = 0

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(3.10)


9/28

Untuk suku pertama dan kedua dari persamaan (3.10) merupakan persamaan derivatif

tingkat dua disederhanakan menjadi persamaan derivatif tingkat satu dengan menggunakan

Teorema Green.

∫ = ∫ ∫

= ∫ |

∫

= ∫ |

∫ ∫

= ∫ |

∫ |

∫

= ∫ ⃗ ∫ ∫ = ∫ ∫

= ∫ |

∫

= ∫ | ∫ ∫

= ∫ |

∫ |

∫

= ∫ ⃗ ∫

Terlihat bahwa terdapat dua integral dengan derivatif tingkat satu. Salah satunya

merupakan integral garis. Kemudian subtitusi persamaan (3.11) dan (3.12) ke persamaan (3.10)

∫ ⃗ ∫ ∫ ⃗ ∫ ∫

= 0

(3.11)

(3.12)


10/28

∫ ⃗ ∫ ∫ ⃗ ∫

∫ = 0

∫ ( ⃗ ⃗ ) ∫ ∫

∫ = 0 ∫ ⃗ ∫

∫ ∫ = 0

dengan ⃗ adalah vektor satuan. Suku adalah flux yang berfungsi pada permukaan .Dimana kondisi batas konduksi pada permukaan

diberikan sebagai berikut :

= 3.4 Pembentukan Sistem Persamaan Linear

Untuk membentuk sistem persamaan linear secara keseluruhan maka subtitusi persamaan

(3.5) dan (3.14) ke persamaan (3.13) sehingga diperoleh,

∫ ∫

∫

∫ = 0

∫ ∫ ∫

∫ = 0 ∫ = ∫ ∫

Persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi

=

dimana

= ∫ = {} { } {} = ∫

{} = ∫

(3.14)

(3.15)

(3.16)

(3.18)

(3.19)

(3.13)


11/28

3.5 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

Untuk mencari matriks kekakuan dan vektor kekakuan konduksi denganmengubah fungsi bentuk pada persamaan (3.6) pada koordinat . Variabel digantikandengan

dimana batas integral yang berlaku untuk koordinat lokal

adalah

0 < < 2 0 < < 2 Sehingga dapat didefinisikan

∫ . = ∫ , = ∫ ∫ ,

Sedangkan untuk mendapatkan vektor kekakuan konduksi digunakan fungsi bentuk pada persamaan (3.8) yang menggunakan koordinat . Batas integral yang berlaku untukkoordinat

yaitu

< < < < Sehingga dapat didefinisikan menjadi

∫ = ∫

− ∫ = ∫

−

Menghitung Matriks Kekakuan

Untuk mendapatkan integral dari persamaan (3.16) dengan mengubah fungsi bentuk pada

koordinat dan didefinisikan : = 00 = 1 00 1 Gradien vektor :

=

=

{} = {} Sedangkan = , sehingga diperoleh : = ∫

= ∫


12/28

= ∫ [

] 1 00 1

Diperoleh turunan pertama dari persamaan (3.6) yang digunakan untuk memperoleh

matriks kekakuan , yaitu ; = 14 2 dan = 14 2

= 1

42 dan

= 1

4

= 14 dan = 14 = 14 dan = 14 2 Sehingga diperoleh = 14 22 2 2

= 14 22

2 2

Maka persamaan (3.16) diperoleh

= ∫ 16 22

2 2 1 00 1 22 2 2

= ∫ 16

[

2 2 22

2 2 2

2

22

22

]

16 ∫ [ 2 2 22 2 2 22 2 22 2 ]

Untuk mendapatkan nilai integral pada matriks pertama tersebut diperoleh dengan

melakukan perhitungan pada masing-masing elemen.16 ∫2 = 16 ∫ ∫ 2

= 16 ∫ ∫ 4 4


13/28

= 16 ∫8 8 83

= 16 ∫ 83

= 16 823 = 26 Untuk elemen yang lain,16 ∫2 = 16 ∫ ∫ 2

= 16 ∫ ∫ 2 = 16 ∫ ( 4 83 )

= 16 ∫ (43 )

= 16 4

23

= 6 Untuk elemen yang lain,16 ∫ = 16 ∫ ∫

= 16 ∫ 83

= 16 823 = 26 Untuk mendapatkan nilai integral pada matriks pertama tersebut diperoleh dengan

melakukan perhitungan pada masing-masing elemen.16 ∫2 = 16 ∫ ∫ 2

= 16 ∫ ∫ 4 4


14/28

= 16 ∫8 82

= 16 16

16

163

= 16 163 = 26 Untuk elemen yang lain,16 ∫2 = 16 ∫ ∫ 2

= 16 ∫ ∫ 2

= 16 ∫ 42 = 16 (8 163 ) = 16 (83 )

=6

Untuk elemen yang lain,16 ∫ = 16 ∫ ∫

= 16 ∫ 2 =

16

16

3

= 26 Sehingga diperoleh = 6 2211

2211 1122

1122 6

2112 1221

1221 2112

Menghitung Vektor Kekakuan Konduksi

Untuk mendapatkan integral dari persamaan (3.18) dengan mengubah fungsi bentuk dalam

koordinat

, sehingga


15/28

= ∫

= ∫

= ∫ ∫

[

1 21 22 1 242 1

2 ]

Untuk memperoleh nilai integral pada matriks tersebut diperoleh dengan melakukan perhitungan pada masing-masing elemen.

∫ ∫ 1 2 ( 1 2)

= ∫ ∫ ( 1 2 2 4)

= ∫ 2 22 44 48

= ∫ 2

= 2 = Untuk elemen yang lain,

∫ ∫ 2 (1 2)

= ∫ ∫ ( 2 4)

= ∫ 2

2 4

8

= ∫ 2 = ∫ 2

= 44

=4

4

= Untuk elemen yang lain,


16/28


17/28

Menghitung integral dari koefisien matriks menggunakan persamaan (3.8) dengan = ∫ −

= ∫ 14

1

1

−

= ∫ 2 1 − = ∫ 2 2 − = 2 4

= (2 4 ) ( 2 4 )

=

∫ − = ∫ 14 1 1 − = ∫ 2 1 − = ∫ 2 2 − = 2 4

= (2 4 ) ( 2 4 ) = Sehingga diperoleh, = 1100

Jika menghitung sisi maka = = 0. Sehingga persamaan diatas menjadi

= ∫ 0

0

−

Menghitung integral dari koefisien matriks menggunakan persamaan (3.8) dengan = ∫ − = ∫ 14 1 1 − = ∫ 2 1 − = ∫ 2 2 −

= 2

4


18/28

= 2 4 2 4 =

∫

− = ∫ 14 1

1

−

= ∫ 2 1 − = ∫ 2 2 − = 2 4

= 2 4 2 4 =

Sehingga diperoleh, = 0110 Jika menghitung sisi maka = = 0. Sehingga persamaan diatas menjadi

= ∫ 00

− Menghitung integral dari koefisien matriks menggunakan persamaan (3.8) dengan

=

∫ − = ∫ 14 1 1 − = ∫ 2 1 − = ∫ 2 2 − = 2 4

= (2 4 ) ( 2 4 ) = ∫ − = ∫ 14 1 1 − = ∫ 2 1 − = ∫ 2 2 − = 2 4


19/28

= (2 4 ) ( 2 4 ) = Sehingga diperoleh,

= 0011 Jika menghitung sisi maka = = 0. Sehingga persamaan diatas menjadi

= ∫ 00

− Menghitung integral dari koefisien matriks menggunakan persamaan (3.8) dengan =

∫ − = ∫ 14 1 1 − = ∫ 2 1 − = ∫ 2 2 − = 2 4

= 2 4 2 4

= ∫ − = ∫ 14 1 1 − = ∫ 2 1 − = ∫ 2 2 −

= 2

4

= 2 4 2 4 = Sehingga diperoleh,

= 1001 Jadi, persamaan akhir diperoleh

= −

= −


20/28

3.6 Simulasi dan Analisis Hasil

Berdasarkan hasil perhitungan tampak terlihat titik-titik suhu setiap nodenya. Semakin

besar mempartisi elemen semakin pula tampak terlihat jelas penyebaran aliran panas pada

dinding homogen. Artinya, diskritisasi domain diperbanyak menjadi elemen-elemen yang

sangat kecil.

Berikut listing program penyebaran aliran panas 2-dimensi pada dinding homogen dengan

kondisi tengah berlubang menggunakan elemen segiempat, sebagai berikut :

clear all;

clc;

disp('--------------------------------------------------------------

---------------------------------------');

disp('--------------------------------------------------------------

---------------------------------------');

disp(' TUGAS METODE ELEMENHINGGA' );

disp('"Penyebaran Aliran Panas 2-Dimensi dengan Kondisi Tengah

Berlubang Menggunakan Elemen Segiempat Linear"');

disp('Nama Kelompok : 1. Resi Arumin Sani

1212100039 ');

disp(' 2. Muhammad Samsul Maarif

1212100064 ');

disp(' 3. Nihaya Alivia Coraima Dewi

1212100064 ');

disp('--------------------------------------------------------------

---------------------------------------');

disp('-----------------------------------------------------------------------------------------------------');

% PARAMETER-PARAMETER

Ktermal = 0.5;

q = 1000;

p = 25;

Tawal = 100;

Takhir = 200;

l = 20;

% MATRIKS DAN VEKTOR PEMBANGUN

M1 = [2 -2 -1 1;-2 2 1 -1;-1 1 2 -2;1 -1 -2 2];M2 = [2 1 -1 -2;1 2 -2 -1;-1 -2 2 1;-2 -1 1 2];

f = [1;1;1;1];

f1 = [1;1;0;0];

f2 = [0;1;1;0];

f3 = [0;0;1;1];

f4 = [1;0;0;1];

% ALGORITMA PROGRAM

bagiX=input('Masukkan nilai domain sumbu-x : ');

bagiY=input('Masukkan nilai domain sumbu-y : ');

a = l/(2*bagiX);b = l/(2*bagiY);


21/28

jum.nodel = 4;

jum.elemen = bagiX*bagiY;

jum.node = (bagiX+1)*(bagiY+1);

K = zeros(jum.node);

FQ = zeros(jum.node,1);

FP = zeros(jum.node,1);

k = Ktermal*(b/a)*(1/6)*M1+Ktermal*(a/b)*(1/6)*M2;

fq = q*a*b*f;

fp1 = p*b*f1;

fp2 = p*a*f2;

fp3 = p*b*f3;

fp4 = p*a*f4;

for i=1:bagiY

for j=1:bagiX

elemen = bagiX*(i-1)+j;

node(elemen,1) = elemen+(i-1);

node(elemen,2) = node(elemen,1)+1;

node(elemen,3) = node(elemen,2)+bagiX+1;

node(elemen,4) = node(elemen,3)-1;

for p=1:4

m = node(elemen,p);

for q=1:4

n = node(elemen,q);

K(m,n)=K(m,n)+k(p,q);

end

end

end

end

KG=K;

for i=1:bagiY

for j=1:bagiX

elemen=bagiX*(i-1)+j;

if i==1 && (j>=1 && j=2 && i


22/28

KG(s,s)=1;

FQ(s,1)=Takhir;

end

end

if i==bagiY && (j>=1 && j


23/28

end

end

end

TT

figure(1)

contourf(x,y,TT);

figure(2)

surf(x,y,TT);

xlabel('x');

ylabel('y');

colormap(jet);

colorbar;

beta = 0.05;

brighten(beta);

Hasil runningnya adalah

Jika untuk domain 5 × 5 (25 elemen 36 node):


24/28


25/28

Jika untuk domain 50× 50 (2500 elemen 2601 node):


26/28

Jika ditampilkan dalam bentuk GUI, sebagai berikut :

Hasil suhu diatas merupakan penyebaran aliran panas dari suhu 100 ℃ sampai 200 ℃ dengan diskiritisasi domain 5 × 5 menjadi 25 elemen dengan 36 node dengan masukkan

parameter-parameter yang sesuai.

Dan bentuk grafiknya dengan menekan tombol Tampil pada tampilan GUI tersebut, hasilnya

seperti berikut :


27/28

BAB IV

KESIMPULAN

Perpindahan panas adalah ilmu yang mempelajari tentang laju perpindahan panas diantara

material/benda karena adanya perbedaan suhu (panas dan dingin). Perpindahan panas terjadi

karena adanya perbedaan suhu. Panas akan mengalir dari tempat yang suhunya tinggi ke tempat

yang suhunya lebih rendah. Berdasarkan dari hasil simulasi dan analisis bahwa semakin banyak

mempartisi atau membagi domain menjadi elemen segiempat yang lebih banyak maka akan

tampak terlihat jelas proses aliran penyebaran panas pada setiap nodenya. Begitu juga

sebaliknya, semakin kecil atau semakin sedikit membagi domain maka akan tampak proses

aliran penyebaran panas agak kasar. Untuk kasus penyebaran aliran panas 2-dimensi pada

dinding homogen dengan kondisi tengah berlubang dengan diberikan suhu awal 100 ℃ hingga200 ℃ dan suhu ditengah bernilai 0 ℃ sehingga penyebaran suhu fluktuatif yaitu penyebaransuhu disekitar tengah dinding akan cenderung turun menuju 0 ℃ dan selanjutnya akan kembalinaik ke suhu 200 ℃.

Dalam diskritisasi domain menjadi 25 elemen dengan 36 node, diperoleh nilai-nilai suhu

pada setiap elemen nodenya sebagai berikut : = 100100100100100150

10078.6964.7574.59117.39200

10064.7500114.54200

10074.5900124.38200

100117.39114.54124.38156.09200

150200200200200200


28/28

BAB V

DAFTAR PUSTAKA

[1] Segerlind, L.J. 1984. Applied Finite Element Analysis, 2th ed. Canada: John Wiley andSons, Inc.

[2] Rachmawati, V. 2015. “ Simulasi Perpindahan Panas pada Lapisan Tengah Pelat

Menggunakan Metode Elemen Hingga”. Jurnal Sains dan Seni ITS Vol.4. Jurusan

Matematika ITS. Surabaya

[3] Haqqul, M.N. 2015. “Simulasi Aliran Air pada Pintu Air Menggunakan Metode Elemen

Hingga”. Jurnal Sains dan Seni ITS Vol.4. Jurusan Matematika ITS. Surabaya

[4] Buchori, L. 2004. Perpindahan Panas Bagian I. Semarang

[5] Versteeg, H.K. dan Malalasekera, W. 2006. An Introduction to Computational Fluid

Dynamics. USA

Documents

Tugas Kelompok MEH