Sistem Persamaan Liniear dengan Tiga VariabelPersamaan Linear
dengan Tiga VariabelPersamaan linear dengan tiga variabel mempunyai
bentuk umum:ax + by + cz = d dengan a,b,c dan d adalah bilangan
real dan a 0; b 0; c 0.Persamaan linear dengan dua variabel seperti
yang telah diketahui grafiknya berupa garis lurus pada bidang XY.
Persamaan linear dengan tiga variabel bentuk grafiknya berupa
bidang datar pada ruang berdimensi tiga, yaitu ruang XYZ.
Penyelesaian dari persamaan ax + by + cz = d diperoleh dengan
memberi nilai sembarang terhadap dua variabelnya dan kemuadian
menentukan nilai variabel ketiga.Sistem Persamaan Linear dengan
Tiga Variabel (SPLTV)Sistem persamaan linear dengan tiga variabel
dapat diselesaikan dengan metode subtitusi, metode
eliminasi-subtitusi dan metode determinan. Khusus untuk metode
grafif kita mempunyai keterbatasan menentukan titik persekutuan
anatara tiga bidang datar.Khusus untuk metode subtitusi atau metode
eliminasi-subtitusi, kunci penyelesaiannya adalah mula-mula kita
mengubah dahulu sistem itu menjadi sistem persamaan linear dengan
cara-cara yang telah dibahas terdahulu.1. Metode subtitusi Metode
subtitusi akan efektif dipakai apabila sistem persamaan linear
sangat sederhana dan salah satu keofesien variabel dalam pesamaan
adalah kurang lebih 1Contoh: Himpunnan penyelesaian sistem
persamaan2x + 5y + 4z = 283x 2y + 5z = 196x + 3y 2z = 4adalah Jawab
:Sekarang setiap persamaan kita beri nama (1), (2), dan (3)2x + 5y
+ 4z = 28 ..(1)3x 2y + 5z = 19.(2)6x + 3y 2z = 4(3)Persamaan (1)
bisa kita ubah sebagai berikut2x + 5y + 4z = 284z = 28 2x
5y..(4)Selanjutnya persamaan (4) kita subtitusikan ke persamaan (2)
sehingga3x 2y + 5z = 19
Jika kedua ruas dikali dengan 4 maka diperoleh12x 8y + 140 10x
25y = 762x -33y = -64 .(5)Sekarang persamaan (4) kita subtitusikan
ke persamaan (3) sehingga6x + 3y 2z = 4
Jika kedua ruas dikali 4 maka24x + 12y 56 + 4x + 10y = 1628x +
22y = 7214x + 11y = 3611y = 36 14x(6)Sekarang persamaan (6) kita
subtitusikan ke persamaan (5) sehingga2x -33y = -64
2x 108 + 42x = -6444x = 44x=1
Jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah {(1, 2, 4)}
2. Metode eliminasi-subtitusiPenyelesaian sistem persamaan
linear dengan tiga varibael dapat ditempuh dengan urutan-urutan
berikut ini.i. Kita eliminasikan sebuah variabel dari dua
persamaan.ii. Selesaikan hasil yang diperoleh, yaitu sistem
persamaan dengan dua variabel dengan metode subtitusi atau
eliminasi atau eliminasi-subtitusi.iii. Subtitusikan
variabel-variabel yang diperoleh pada langkah ke (ii) ke persamaan
awal untuk memperoleh nilai variabel lainnya.iv. Periksalah
penyelesaian kamu.Contoh: Selisih umur seorang ayah dan anak
perempuannya adalah 26 tahun, sedangkan lima tahun yang lalu jumlah
umur keduanya 34 tahun. Hitunglah umur ayah dan anak perempuannya
dua tahun yang akan datang.Misalkan umur ayah dan anak perempuannya
secara berturut-turut adalah m dan n, maka permasalahan di atas
dapat dimodelkan sebagai berikut.
Grafik dari persamaan-persamaan m n = 26 dan m + n = 44 dapat
digambarkan seperti berikut.
Pertama, kita akan mengeliminasi variabel n untuk mendapatkan
nilai dari m dengan menjumlahkan persamaan 1 dengan persamaan
2.
Selanjutnya kita substitusikan m = 35 ke salah satu persamaan,
misalkan ke persamaan 1. Sehingga diperoleh,
Jadi, umur ayah dan anak perempuannya saat ini secara
berturut-turut adalah 35 tahun dan 9 tahun.3. Metode
determinanTentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
linier tiga variable2x + y + z = 12x + 2y z = 33x y +z = 11
Jawab:Pertama kita ubah bentuk sistem persamaan di atas kedalam
bentuk matriksKemudian kita tentukan determinan matriks D, Dx, Dy,
dan Dz. Matriks D adalah matriks 3 x 3 yang elemen-elemennya
terdiri atas koefisien-koefisien semua variabel persamaan. Matriks
Dx adalah matriks 3 x 3 yang elemen kolom pertamanya merupakan
konstanta persamaan, kemudian kolom kedua terdiri atas koefisien y,
dan kolom ketiga terdiri atas koefisien z. Matriks Dy adalah
matriks 3 x 3 yang elemen kolom pertamnya terdiri atas koefisien x,
kolom kedua terdiri atas konstanta persamaan, dan kolom ketiga
terdiri atas koefisien z. Sedangkan, matriks Dz adalah matriks 3 x
3 yang elemen kolom pertamanya terdiri atas koefisien x, kolom
kedua terdiri atas koefisien y, dan kolom ketiga terdiri atas
konstanta persamaan. Sehingga,
Nilai x, y, dan z ditentukan dengan rumus
Jadi, himpunan penyelesaianya adalah {(3, 2, 4)}
