Embed Size (px)
Citation preview
TAMBAHAN TURUNAN
Turunan-turunan alami fungsi eksponensial ex
Fungsi eksponensial didefinisikan oleh persamaan dari y = f(x) = bx (b ≠ 1,b > 0), dimana b
adalah dasar dari fungsi eksponensial. Alam fungsi eksponensial adalah fungsi eksponensial
yang dasar dari irasional nomor e.
Nomor e adalah limit sebagai n pendekatan yang tak terhingga dari 1 +1
𝑛 n
, yang sekitar
2.718281828 (sampai Sembilan tempat decimal).
Alam fungsi eksponensial itu sendiri adalah turunan, yaitu,𝑑
𝑑𝑥(e
x) = e
x .
selanjutnya, oleh aturan rantai,jika anda adalah fungsi terdiferensiasi dari x,maka
𝑑
𝑑𝑥(e
u) = e
u.𝑑𝑢
𝑑𝑥
Jika f(x) = 6ex , kemudian f’(x) = 6.
𝑑
𝑑𝑥(e
x) = 6e
x
Jika y = e2x
, kemudian y’= e2x
.𝑑
𝑑𝑥(2x) = e
2x(2) = 2e
2x
𝑑
𝑑𝑥(𝑒−3𝑥2
) =𝑒−3𝑥2.𝑑
𝑑𝑥(-3x
2) =𝑒−3𝑥2
(-6x) = -6x𝑒−3𝑥2
Temukan turunan dari fungsi yang diberikan
1. f(x) = 20ex 1. f(x) = 15x
2 +10e
x
2. y = e3x
2. g(x) = 𝒆𝟕𝒙−𝟐𝒙𝟑
3. g(x) = 𝒆𝟓𝒙𝟑 3. f(t) =
𝟏𝟎𝟎
𝒆−𝟎.𝟓𝒕
4. y = -4𝒆𝟓𝒙𝟑 4. g(t) = 2500e
2t+1
5. h(x) = 𝒆−𝟏𝟎𝒙𝟑 f(x) =
𝟏
𝟐𝝅𝒆
𝒙𝟐
𝟐
solusi dan cara penyelesaiannya
1. f(x) = 20ex
fꞌ(x) = 20.𝑑
𝑑𝑥(e
x)
= 20ex
2. y = e3x
yꞌ(x) = e3x
.𝑑
𝑑𝑥(5x
3)
= 𝑒5𝑥3(15x
2)
= 15x2𝑒5𝑥3
3. g(x) = 𝑒5𝑥3
gꞌ(x) = 𝑒5𝑥3(.
𝑑
𝑑𝑥(5x
3)
= 𝑒5𝑥3( (15x
2)
= 15x2𝑒5𝑥3
4. y = -4𝑒5𝑥3
yꞌ= -4.𝑑
𝑑𝑥(𝑒5𝑥3
)
= -4. 𝑒5𝑥3.𝑑
𝑑𝑥(5x
3)
= -4.𝑒5𝑥3 (15x
2)
= -60x2𝑒5𝑥3
5. h(x) = 𝑒−10𝑥3
hꞌ(x) = 𝑒−10𝑥3.𝑑
𝑑𝑥(-10x
3)
= 𝑒−10𝑥3(-30x
2)
= -30x2𝑒−10𝑥3
6. f(x) = 15x2 + 10e
x
fꞌ(x) = 15x2 + 10.
𝑑
𝑑𝑥
(e
x)
= 30x + 10ex
7. g(x) = 𝑒7𝑥−2𝑥3
gꞌ(x) = 𝑒7𝑥−2𝑥3.𝑑
𝑑𝑥(7x-2x
3)
= 𝑒7𝑥−2𝑥3 (7-6x)
= 7-6x𝑒7𝑥−2𝑥3
8. f(t) = 100
e−0.5𝑡
fꞌ(t) = 100.e0.5t
= 100. e
0.5t.𝑑
𝑑𝑥(0.5
t)
= 100. e0.5t
(0.5)
= 50e0.5t
9. g(t) = 2500e2t+1
gꞌ(t) = 2500e2t+1
.𝑑
𝑑𝑥(2t+1)
= 2500e2t+1
.(2)
= 5000e2t+1
10. f(x) = 1
2𝜋e𝑥2
2
fꞌ(x) = 1
2𝜋.e
1
2 x2
.𝑑
𝑑𝑥(
1
2 x2
)
= 1
2𝜋.e
1
2 x2.
(x)
= 𝑥
2𝜋.e
1
2 x2
Turunan alami fungsi logaritmik ln x
Fungsi logaritmik didefinisikan oleh persamaan dari y = f(x) = logbx dan jika hanya by = x (x >
0), dimana b adalah dasar dari fungsi logaritmik, (b ≠ 1,b > 0). Untuk diberikan dasar, fungsi
logaritmik adalah fungsi invers yang sesuai dan saling dengan fungsi eksponensial. Fungsi
logaritmatik didefinisikan berdasarkan y =loge x, biasanya dilambangkan dengan ln x , adalah
alam fungsi logaritmatik.itu adalah fungsi invers dari alam fungsi eksponensial y = ex.
Turunan dari alam fungsi logaritmatik adalah sebagai berikut:
𝑑
𝑑𝑥(ln x) =
1
𝑥
Selanjutnya, oleh aturan rantai, jika anda adalah fungsi terdiferensiasi dari x,maka
𝑑
𝑑𝑥(ln u) =
1
𝑢 .
𝑑𝑢
𝑑𝑥
jika f(x) = 6 ln x, kemudian f’(x) = 6.𝑑
𝑑𝑥(ln x) =6.
1
𝑥 =
6
𝑥
jika y = ln(2x3),kemudian y’=
1
2𝑥3 . 𝑑
𝑑𝑥(2x
3) =
1
2𝑥3 . (6x2) =
3
𝑥
𝑑
𝑑𝑥(ln 2x) =
1
2𝑥 .
𝑑
𝑑𝑥(2x) =
1
2𝑥 . (2) =
1
𝑥
Contoh diatas menggambarkan bahwa untuk setiap nol konstan k,
𝑑
𝑑𝑥(ln kx) = 1
𝑘𝑥 .
𝑑
𝑑𝑥(kx) =
1
𝑘𝑥 . (k) =
1
𝑥
Temukan turunan dari fungsi yang diberikan
1. f(x) = 20 ln x 6. f(x) = 15x2 + 10ln x
2. y = ln 3x 7. g(x) = ln(7x-2x3)
3. g(x) = ln(5x3) 8. f(t) = ln(3t
2 + 5t – 20)
4. y = -4 ln (5x3) 9. g(t) = ln(e
t)
5. h(x) = ln(-10x3) 10. f(x) = ln(ln x)
solusi dan cara penyelesaiannya :
1. f(x) = 20 ln x
fꞌ(x) = 20 . 𝑑
𝑑𝑥 (ln x)
= 20.1
𝑥
= 20
𝑥
2. y = ln 3x
yꞌ = 1
3𝑥 .
𝑑
𝑑𝑥(3x)
= 1
3𝑥 . (3x)
= 1
𝑥
3. g(x) = ln(5x3)
gꞌ(x) = 1
5𝑥3 . 𝑑
𝑑𝑥(5x
3)
= 1
5𝑥3.(15x2)
= 3
𝑥
4. y = -4 ln (5x3)
yꞌ = -4.1
5𝑥3.𝑑
𝑑𝑥(5x
3)
= -4. 1
5𝑥3.(15x2)
= -4.3
𝑥
= -12
𝑥
5. h(x) = ln(-10x3)
hꞌ(x) = 1
−10𝑥3 . 𝑑
𝑑𝑥(-10x
3)
= 1
−10𝑥3(-30x
2)
= 3
𝑥
6. f(x) = 15x2 + 10ln x
fꞌ(x) = 15x2 + 10.
𝑑
𝑑𝑥(ln x)
= 30x + 10.1
𝑥
= 30x + 10
𝑥
7. g(x) = ln(7x-2x3)
gꞌ(x) = 1
7𝑥−2𝑥3.𝑑
𝑑𝑥(7x-2x
3)
= 1
7𝑥−2𝑥3. (7x-2x
3)
= 7−6𝑥2
7𝑥−2𝑥3
8. f(t) = ln(3t2 + 5t – 20)
fꞌ(t) = 1
3𝑡2+5𝑡−20.𝑑
𝑑𝑥(3𝑡2 + 5𝑡 − 20)
= 1
3𝑡2+5𝑡−20. 6𝑡 + 5
= 6𝑡+5
3𝑡2+5𝑡−20
9. g(t) = ln(et)
gꞌ(t) = 1
𝑒 𝑡 . 𝑑
𝑑𝑥(e
t)
= 1
𝑒 𝑡(e)
= 𝑒
𝑒 𝑡
10. f(x) = ln(ln x)
fꞌ(x) = 1
ln 𝑥 .
𝑑
𝑑𝑥 (ln x)
= 1
ln 𝑥 . (
1
𝑥 )
= 1
ln 𝑥 .𝑥
Turunan-turunan dari fungsi eksponensial untuk basis selain e
Mengira b adalah bilangan asli positif (b ≠ 1), kemudian
𝑑
𝑑𝑥(b
x) = (ln b)b
x
Selanjutnya, oleh aturan rantai, jika anda adalah fungsi terdiferensiasi dari x,maka
𝑑
𝑑𝑥(b
u) = (ln b)b
u .
𝑑
𝑑𝑥
Jika f(x) = (6)2x, kemudian fꞌ(x) = 6.
𝑑
𝑑𝑥(2
x) = 6(ln2)2
x
Jika y =52x
, kemudian yꞌ = (ln 5)52x
.𝑑
𝑑𝑥(2x) = (ln 5)5
2x.(2) = 2(ln 5)5
2x
𝑑
𝑑𝑥.(10−3𝑥2
) = (ln 10)10−3𝑥2.
𝑑
𝑑𝑥(-3x
2) = (ln 10)10−3𝑥2
(-6x) = -6x(ln 10)10−3𝑥2
Temukan turunan dari fungsi yang diberikan
1. f(x) = 20 (3x) 6. f(x) = 15x
2 + 10(5x
3)
2. y = 53x
7. g(x) = 𝟑𝟕𝒙−𝟐𝒙𝟑
3. g(x) = 𝟐𝟓𝒙𝟑 8. f(t) =
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟎−𝟎.𝟓𝒕
4. y = -4( 𝟐𝟓𝒙𝟑) 9. g(t) = 2500(5
2t+1)
5. h(x) = 𝟒−𝟏𝟎𝒙𝟑 10. f(x) = 8
𝒙𝟐
𝟐
Solusi dan cara penyelesaiaannya
1. f(x) = 20 (3x)
fꞌ(x) = 20.𝑑
𝑑𝑥(3x)
= 20(ln3)3x
2. y = 53x
yꞌ = (ln 5)53x
.𝑑
𝑑𝑥(3x)
= (ln 5)53x
.(3)
= 3(ln 5)53x
3. g(x) = 25x3
gꞌ(x) = (ln 2)25x3.𝑑
𝑑𝑥(5x
3)
= (ln 2)25x3 (15x
2)
= 15x2(ln 2) 25x3
4. y = -4(25x3)
yꞌ = -4.𝑑
𝑑𝑥(25x3
)
= -4(ln 2)25x3.(15x
2)
= -60x2(ln 2)25x3
5. h(x) = 4−10x3
hꞌ(x) = (ln 4)4−10x3.𝑑
𝑑𝑥(-30x
2)
= (ln 4)4−10x3. (-30x
2)
= -30x2(ln 4)4−10x3
6. f(x) = 15x2 + 10(5x
3)
fꞌ(x) = 15x2 + 10.
𝑑
𝑑𝑥(5
3x)
= 30x + 10(ln 5)53.3
= 30x + 30(ln 5)53
7. g(x) = 37x−2x3
gꞌ(x) = (ln 3)37x−2x3.
𝑑
𝑑𝑥(7x-2x
3)
= (ln 3)37x−2x3.(7-6x
2)
= 7-6x2(ln 3)37x−2x3
8. f(t) = 100
10−0.5𝑡
fꞌ(t) = 100. 100.5t
= 100.(ln 10)10
0.5t.𝑑
𝑑𝑥(0.5
t)
= 100.(ln 10)100.5t
. 0.5
= 50(ln 10)10
0.5t
9. g(t) = 2500(52t+1
)
gꞌ(t) = 2500.𝑑
𝑑𝑥(5
2t+1)
= 2500(ln 5)52t+1
.𝑑
𝑑𝑥(2t+1)
= 2500(ln 5)52t+1
.2
= 5000(ln 5)52t+1
10. f(x) = 8𝑥2
2
= 8−1
2x
2
fꞌ(x) = (ln 8)8−1
2x
2.𝑑
𝑑𝑥(−
1
2x
2)
= (ln 8)8−1
2x
2.(-x)
= (-x).(ln 8)8−1
2x
2
Turunan-turunan dari fungsi logaritmik untuk basis selain e
Mengira b adalah bilangan asli positif (b ≠ 1), kemudian
𝑑
𝑑𝑥(logb x) =
1
(ln 𝑏) 𝑥
Selanjutnya, oleh aturan rantai, jika anda adalah fungsi terdiferensiasi dari x,maka
𝑑
𝑑𝑥(logb u) =
1
(ln 𝑏) 𝑢.𝑑𝑢
𝑑𝑥
jika f(x) = 6log2 x,kemudian fꞌ(x) = 6.𝑑
𝑑𝑥(log2 x) = 6.
1
(ln 2)𝑥 =
6
𝑥 ln 2
jika y = log5(2x3),kemudian yꞌ(x) =
1
(ln 5)2𝑥3.𝑑
𝑑𝑥(2x
3) =
1
(ln 5)2𝑥3.(6x2) =
3
𝑥 ln 5
𝑑
𝑑𝑥.(log3 2x) =
1
(ln 3)2𝑥.𝑑
𝑑𝑥(2x) =
1
(ln 3)2𝑥 .(2x) =
1
𝑥 ln 3
Contoh diatas menggambarkan bahwa untuk setiap nol konstan k,
𝑑
𝑑𝑥(logb kx) =
1
(ln 𝑏) 𝑘𝑥 .
𝑑
𝑑𝑥(kx) =
1
(ln 𝑏) 𝑘𝑥 (k) =
1
𝑥 ln 𝑏
Temukan turunan dari fungsi yang diberikan
5. f(x) = 20log4 6. f(x) = 15x2 + 10log2 x
6. y = log10 3x 7. g(x) = log6(7x-2x3)
7. g(x) = log8(5x3) 8. f(t) = log16(3t
2+5t – 20)
8. y = -4log8(5x3) 9. g(t) = log2(e
t)
9. h(x) = log5(-10x3) 10. f(x) = log10(log10x)
Solusi dan cara penyelesaiaannya
1. f(x) = 20log4
fꞌ(x) = 20.𝑑
𝑑𝑥(log4x)
= 20.1
(ln 4)𝑥
= 20
𝑥 ln 4
2. y = log10 3x
yꞌ = 1
(ln 10) 3𝑥.
𝑑
𝑑𝑥(3x)
= 1
(ln 10) 3𝑥 (3)
= 3
𝑥 ln 10
3. g(x) = log8(5x3)
gꞌ(x) = 1
(ln 8)5𝑥3.𝑑
𝑑𝑥(5x
3)
= 1
(ln 8)5𝑥3. (15𝑥2)
= 3
𝑥 ln 8
4. y = -4log8 (5x3)
yꞌ = 4
(ln 8)5𝑥3.
𝑑
𝑑𝑥(5x
3)
= 4
(ln 8)5𝑥3.(15x
2)
= −60 𝑥2
(ln 8)5𝑥3
= −12
𝑥 ln 8
5. h(x) = log5(-10x3)
hꞌ(x) = 1
(ln 5)−10𝑥3.𝑑
𝑑𝑥(-10x
3)
= 1
(ln 5)−10𝑥3.(-30x2)
= 3
𝑥 ln 5
6. f(x) = 15x2 + 10log2 x
fꞌ(x) = 15x2 + 10.
𝑑
𝑑𝑥.(log2 x)
= 30x + 10.1
(ln 2)𝑥
= 30x + 10
𝑥 𝑙𝑛2
7. g(x) = log6(7x-2x3)
gꞌ(x) = 1
(ln 6)7𝑥−2𝑥3.𝑑
𝑑𝑥(7x-2x)
= 7−6𝑥2
(ln 6)7𝑥−2𝑥3
= 7−6𝑥2
7𝑥−2𝑥3(ln 6)
8. f(t) = log16(3t2+5t – 20)
fꞌ(t) = 𝑑
𝑑𝑥(log16(3t
2+5t-20)
= 1
(ln 16)3t2+5t−20.𝑑
𝑑𝑥(3t
2+5t-20)
= 1
(ln 16)3t2+5t−20.(6t + 5)
= 6𝑡+5
3t2+5t−20(ln 6)
9. g(t) = log2(et)
gꞌ(t) = 𝑑
𝑑𝑥.( log2(e
t))
= 1
(ln 2) 𝑒 𝑡.𝑑
𝑑𝑥(e
t)
= 1
(ln 2) 𝑒 𝑡. (et)
= 1
(ln 2)
10. f(x) = log10(log10x)
fꞌ(x) = 𝑑
𝑑𝑥(log10(log10x))
= 1
(ln 10).(log 10 𝑥).𝑑
𝑑𝑥(log10 x)
= 1
(ln 10).(log 10 𝑥).
1
(ln 10).(log 10 𝑥).𝑑
𝑑𝑥(x)
= 1
(ln 10)2 .(log 2 10 𝑥)
Turunan-turunan yang berkenaan dengan fungsi trigonometri
Turunan dari alam fungsi trigonometri adalah sebagai berikut:
𝑑
𝑑𝑥(sin x) = cos x
𝑑
𝑑𝑥(cos x) = -sin x
𝑑
𝑑𝑥(tan 𝑥) = sec
2 x
𝑑
𝑑𝑥(cot x) = -csc
2 x
𝑑
𝑑𝑥(sec x) = sec x tan x
𝑑
𝑑𝑥(csc x) = - csc x cot x
Selanjutnya, oleh aturan rantai, jika anda adalah fungsi terdiferensiasi dari x,maka:
𝑑
𝑑𝑥(sin u) = cos u.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥(cos u) = -sin u.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥(tan u) = sec
2 u.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥(cot u) = -csc
2 u.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥(sec u) = (sec u tan u).
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥(csc u) = (- csc x cot u).
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Jika h(x) = sin 3x,kemudian hꞌ(x) = (cos3x) 𝑑
𝑑𝑥(3x) = (cos3x)(3) = 3cos3x
Jika y = 3cos 𝑥
3 ,kemudian yꞌ = -3sin
𝑥
3
𝑑
𝑑𝑥
𝑥
3 = -3 𝑠𝑖𝑛
𝑥
3
1
3 = -sin
𝑥
3
𝑑
𝑑𝑥(tan2x + cot2x) =
𝑑
𝑑𝑥(tan2x)+
𝑑
𝑑𝑥(𝑐𝑜𝑡2𝑥) = sec
2(2x)
𝑑
𝑑𝑥(2x)-csc
2(2x)
𝑑
𝑑𝑥(2x)
= 𝑠𝑒𝑐2(2𝑥) (2)- 𝑐𝑠𝑐2(2𝑥) (2) = 2sec2(2x) – 2csc
2(2x)
Temukan turunan dari fungsi yang diberikan
1. f(x) = 5 sin 3x 6. s(t) = 4 cot5t
2. y = 𝟏
𝟒cos(2x
2) 7. g(x) = 6tan
3 𝟐𝒙
𝟑 -20 𝒙
3. g(x) = 5tan 𝟑𝒙
𝟓 8. f(x) = 2xsinx+cos2x
4. f(x) = 10sec2x 9. h(x) = 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙
𝟏+𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙
5. y = 𝟐
𝟑sec(2x
3) 10. f(x) = e
4xsin2x
Solusi dan cara penyelesaiaanya
1. f(x) = 5sin3x
fꞌ(x) = 5 cos3x 𝑑
𝑑𝑥(3x)
= 15 cos 3x
2. f(x) = 1
4cos(2x
2)
fꞌ(x) = 1
4 -sin 2x
2 𝑑
𝑑𝑥(2x
2)
= 1
4 -sin 2x
2.4x
= −4𝑥
4 sin2x
2
= -xsin2x2
3. g(x) = 5tan 3𝑥
5
gꞌ(x) = 5 sec2
3𝑥
5
𝑑
𝑑𝑥
3𝑥
5
= 5 sec2
3𝑥
5 .
3
5
= 3 sec2
3𝑥
5
4. f(x) = 10 sec 2x
fꞌ(x) = 10 sec 2x tan 2x𝑑
𝑑𝑥(2x)
= 20 sec 2x tan 2x
5. y = 2
3sec(2x
3)
yꞌ = 2
3 sec 2x
3 tan 2x
3 𝑑
𝑑𝑥(2x
3)
= 2
3 sec 2x
3 tan 2x
3.6x
2
= 4x2sec 2x
3 tan 2x
3
6. s(t) = 4 cot 5t
sꞌ(t) = -4 csc2 5t
𝑑
𝑑𝑡(5t)
= -20 csc2 5t
7. g(x) = 6tan3
2𝑥
3 -20 𝑥
gꞌ(x) = 6 sec6
2𝑥
3
𝑑
𝑑𝑥
2𝑥
3 -10𝑥
−12
= 6 sec6
2𝑥
3 .
2𝑥
3 − 10𝑥
−12
= 4 sec6
2𝑥
3
- 10
𝑥
8. f(x) = 2x sinx + cos 2x
fꞌ(x) = 2 cos x 𝑑
𝑑𝑥(x) + (-sin 2x)
𝑑
𝑑𝑥(2x)
= 2 cos x – 2 sin 2x
9. h(x) = 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙
𝟏+𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙
hꞌ(x) = 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙
𝒅
𝒅𝒙(𝟑𝒙)
𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙𝒅
𝒅𝒙(𝟑𝒙)
= 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙
𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙
= 1.
10. f(x) = e4x
sin2x
fꞌ(x) = e4x
𝑑
𝑑𝑥(4x). cos 2x
𝑑
𝑑𝑥(2x)
= 4e4x
.2cos 2x
Turunan-turunan dari trigonometri invers fungsi
Turunan dari alam fungsi trigonometri adalah sebagai berikut:
𝑑
𝑑𝑥(sin
-1 x) =
1
1−𝑥2
𝑑
𝑑𝑥(cos
-1 x) =
−1
1−𝑥2
𝑑
𝑑𝑥(tan
-1 x) =
1
1+𝑥2
𝑑
𝑑𝑥(cot
-1 x) =
−1
1+𝑥2
𝑑
𝑑𝑥(sec
-1 x) =
1
𝑥 𝑥2−1
𝑑
𝑑𝑥(csc
-1 x) =
−1
𝑥 𝑥2−1
Selanjutnya, oleh aturan rantai, jika anda adalah fungsi terdiferensiasi dari x,maka:
𝑑
𝑑𝑥(sin
-1 u) =
1
1−𝑢2.𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥(cos
-1 u) =
−1
1−𝑢2.𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥(tan
-1 u) =
1
1+𝑢2. 𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥(cot
-1 u) =
−1
1+𝑢2. 𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥(sec
-1 u) =
1
𝑢 𝑢2−1.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥(csc
-1 u) =
−1
𝑢 𝑢2−1.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
If h(x) = sin-1
(2x),kemudian hꞌ(x) = 1
1−(2𝑥)2.𝑑
𝑑𝑥(2x) =
1
1−4𝑥2.(2) =
2
1−4𝑥2
If y = cos-1
𝑥
3 ,
kemudian yꞌ = −1
1− 𝑥
3
2.𝑑
𝑑𝑥
𝑥
3 =
−1
1−𝑥
9
2 .
1
3 = -
1
3 9−𝑥
9
2
𝑑
𝑑𝑥(tan
-1 x + cot
-1 x) =
𝑑
𝑑𝑥(tan
-1 x) +
𝑑
𝑑𝑥(cot
-1 x) =
1
1+𝑥2 + −1
1+𝑥2 = 0
Temukan turunan dari fungsi yang diberikan
1. f(x) = sin-1
( -x3) 6. f(x) = cos
-1(x
2)
2. h(x) = cos -1
(ex) 7. h(x) = csc
-1(2x)
3. g(x) = tan-1
(x2) 8. g(x) = 4 sec
-1 𝒙
𝟐
4. f(x) = cot-1
(7x-5) 9. f(x) = x sin-1
(7x2)
5. y = 𝟏
𝟓sin
-1(5x
3) 10. y = arcsin 𝟏 − 𝒙𝟐
Solusi dan cara penyelesaiaannya
1. f(x) = 𝑆𝑖𝑛−1(−𝑥3)
fꞌ(x) = −1
1−(−𝑥3)2 .
𝑑
𝑑𝑥 .(−𝑥3)
= −3𝑥2
1−𝑥9
2. h(x) = cos -1
(ex)
hꞌ(x) = −1
1−(𝑒𝑥 )2.𝑑
𝑑𝑥(e
x)
= −𝑒𝑥
1−(𝑒𝑥 )2
3. g(x) = tan-1
(x2)
gꞌ(x) = 1
1+ (𝑥2)2. 𝑑
𝑑𝑥(x
2)
= 2𝑥
1+ 𝑥4
4. f(x) = cot-1
(7x-5)
fꞌ(x) = −1
1+(7𝑋−5)2.𝑑
𝑑𝑥(7x-5)
= −7
49𝑋2− 70𝑋+25
5. y = 1
5sin
-1(5x
3)
yꞌ = 1
1+ (5𝑥3)2.𝑑
𝑑𝑥(5𝑥3).
1
15
= 1
1+25𝑥6.15x
2.
1
15 =
15𝑥2
1+25𝑥6 .15
6. f(x) = cos-1
(x2)
fꞌ(x) = 1
1− (𝑥2)2.𝑑
𝑑𝑥(x
2)
=−2𝑥
1+𝑥4
7. h(x) = csc-1
(2x)
hꞌ(x) = −1
2𝑥 (2𝑥)2− 1.
𝑑
𝑑𝑥. (2x)
= - 2
2𝑥 4𝑥2− 1
8. g(x) = 4 sec-1
𝑥
2
gꞌ(x) = 4.−1
𝑥
2
𝑥
2
2.𝑑
𝑑𝑥.
𝑥
2
= −4
𝑥
2
𝑥2
4 − 1
. 1
4
= −4
𝑥
2
𝑥2
4 – 1 .4
9. f(x) = x sin-1
(7x2)
fꞌ(x) = 1.1
1− (7𝑥2)2.𝑑
𝑑𝑥.7x
2
= 14𝑥
1−49𝑥4
10. y = arcsin 1 − 𝑥2
yꞌ = 1
1− 1− 𝑥2 2.𝑑
𝑑𝑥. 1 − 𝑥2
= 1
1− 1−𝑥2 . 1 2 (1 – x
2)
= 1−𝑥2
2 𝑥2
Exercise 6.7
Temukan turunan dari fungsi yang diberikan
1. f(x) = x7 + 2x
10 , Temukan
fꞌꞌꞌ(x)
6. s(t) = 16t2-𝟐𝒕
𝟑+10 ,
Temukan sꞌꞌ(t)
2. h(x) = 𝒙𝟑
, Temukan
hꞌꞌ(x)
7. g(x) = ln3x , Temukan
𝑫𝒙𝟑 𝒈(𝒙)
3. g(x) = 2x , Temukan
g(5)
(x)
8. f(t) = 𝟏𝟎
𝒙𝟓+𝒙𝟑
𝟓 , Temukan
f(4)
(x)
4. f(x) = 5ex , Temukan
f(4)
(x)
9. f(x) = 32x
, Temukan
fꞌꞌꞌ(x)
5. y(x) = sin3x , Temukan
𝒅𝟑𝒚
𝒅𝟑𝒙
10. y = 𝒍𝒐𝒈𝟐5x , Temukan
𝒅𝟒𝒚
𝒅𝟒𝒙
Solusi dan penyelesaiaannya
1. f(x) = x7 + 2x
10
solusi :
fꞌ(x) = 7x6 + 20x
9
fꞌꞌ(x) = 42x5 + 180x
8
fꞌꞌꞌ(x) = 210x4 + 1440x
7
2. h(x) = 𝑥3
= 𝑥1
3
solusi :
hꞌ(x) = 1 3 𝑥2
3
hꞌꞌ(x) = −2
9𝑥
−53
3. g(x) = 2x
solusi :
gꞌ(x) = 2
gꞌꞌ(x) = 0
gꞌꞌꞌ(x) = 0
g4(x) = 0
4. f(x) = 5ex
solusi :
fꞌ(x) = 5ex.1
fꞌꞌ(x) = 5ex.1 = 5e
x
fꞌꞌꞌ(x) = 5ex.1
= 𝑑3𝑔
𝑑3𝑥 = 5e
x
5. y = sin 3x
solusi :
𝑑1𝑦
𝑑1𝑥 = 3 cos 3x
𝑑2𝑦
𝑑2𝑥 = -9 sin 3x
𝑑3𝑦
𝑑3𝑥 = - 27 cos 3x
6. s(t) = 16t2 -
2𝑡
3 + 10
solusi :
sꞌ(t) = 32t - 2
3
sꞌꞌ(t) = 32
7. g(x) = ln 3x
solusi :
D1(x) 𝑔(𝑥) =
3
3𝑥 =
1
𝑥 = 𝑥−1
D2(x) 𝑔(𝑥) = −𝑥−2
D3(x) 𝑔(𝑥) = 2𝑥−3
8. f(x) = 10
𝑥5 + 𝑥3
5 = 10𝑥−5 +
1
5 𝑥3
solusi :
fꞌ(x) = -50 𝑥−6 + 3
5 𝑥2
fꞌꞌ(x) = 300 x-7
+ 6
5 x
fꞌꞌꞌ(x) = -2100 x-8
+ 6
5
f4(x) = 16800 x
-9
9. f(x) = 32x
fꞌ(x) = 32x
ln 3 . 2
fꞌꞌ(x) = 32x
ln 3 . 2
3
fꞌꞌꞌ(x) = 32x
ln 3 . 2 . 1
3 = 3
2x ln 3 .
2
9
10. g = log2 5x
𝑑ꞌ𝑦
𝑑ꞌ𝑥 =
1
5𝑥 ln 2 . 5 =
5
5𝑥 ln 2
𝑑ꞌꞌ𝑦
𝑑ꞌꞌ𝑥 =
5
5 .
1
2 .1
𝑑ꞌꞌꞌ𝑦
𝑑ꞌꞌꞌ𝑥 = 0 =
𝑑4𝑦
𝑑4𝑥 = 0
