1

Data:Dari survai topografi dan eksplorasi batubara diketahui data topografipenampang geologi, dengan x adalah jarak dari titik referensi dan h(x) adalahketinggian topografi dari m.a.l. sbb:

x h(x) x h(x) x h(x)(m) (m) (m) (m) (m) (m)

1101 309 2598 320 4101 3471200 321 2700 313 4200 3451300 328 2800 312 4303 3421402 330 2903 316 4400 3401500 327 3000 326 4500 3311603 320 3101 ? 4601 3291701 314 3200 337 4700 3281800 311 3301 339 4797 3291900 310 3400 338 4900 3302002 315 3502 333 5000 3292100 325 3600 330 5100 3272200 330 3702 330 5199 3132301 336 3800 332 5300 3112400 334 3899 340 5402 3122504 330 4000 344 5501 315

Data batubara dan geoteknik yang diketahui adalah: outcrop atau singkapanbatubara dijumpai di titik (1101,309) dengan tebal batubara 11 m dan dip ataukemiringan sebesar 6° menjauhi titik referensi. Daerah pengaruh diperkirakan50 m di kiri dan di kanan penampang geologi. Berat jenis batubara diketahuisebesar 1.3 ton/m3. Dari kajian geoteknik diketahui, kemiringan lereng total(overall) pit maksimum sebesar 45°. Penambangan dihentikan jika jarakvertikal antara permukaan topografi sebelum dibuka dengan permukaan ataslapisan batubara (seam roof) maksimum mencapai 250 m.Dari data (data yang dipakai dalam perhitungan lihat lampiran A) tersebut,diminta:Soal 1Tentukan ketinggian topografi di x = 3101 m dengan interpolasi lengkungkubik !. Jumlah data yang digunakan untuk interpolasi lengkung kubik dapatditentukan sendiri

Step 1Membentuk matriks koefisien A, persamaan (1-40) berdasarkanpersamaan: Diagonal atas: j =i-1, 0<in, maka aij=xi-xi-1

Diagonal tengah: j=i, 0<in, maka aii=2(xi+1-xi-1) Diagonal bawah: j=i+1, 0<in, maka aij=xi+1-xi

Misalnya:

2

a11 = 2(1200 -1101) = 198 (diagonal tengah)a12 = (1200 -1101) = 99 (diagonal atas)a21 = (1200 -1101) = 99 (diagonal bawah)Selain itu, aij= 0Setelah melengkapi semua perhitungan, maka matriks koefisien Amempunyai harga tertentu, (lihat lampiran A).

Step 2Membentuk vektor D berdasar persamaan (1-41) dengan asumsibahwa turunan pada titik akhir sama dengan nol, seperti persamaanberikut:

1n-xnx1n-yny)'(

ny6nd

)'(0y

0x1x0y1y

60d

ni0,ix1ixiy1iy

61ixix1iyiy

6id untuk

misalnya:

70.72727272,011011200

3093216

0

27-0.3072727,12001300

3213296

11011200

3093216

1

d

d

Setelah dilengkapi perhitungannya, maka diperoleh nilai D , lihatlampiran D.

Step 3Menyelesaikan sistem persamaan linier dengan berdasarkanpersamaan (1-39), rumus:

A M = DVektor {M} merupakan vektor bilangan yang tidak diketahui yangberupa turunan kedua atau {y''i}. Setelah penyelesaian sistempersamaan linier, maka diperoleh nilai, lihat lampiran B, dimana nilaidari matriks [A]-1 dapat di lihat pada lampiran C.

Step 4

3

menghitung turunan pertama di sebelah kiri dan kanan x berdasarpersamaan (1-32) dan (1-34) yang diberikan dalam Lampiran E.

Step 5Menghitung nilai interpolasi untuk titik x, misal berdasar persamaan(1-42) dan (1-43)

sertauntuk ixx1i-x

3xix1i-xix

''1iy"

iy

6

12xix"iy

2

1xix)'(

i-yiyy(x)

dan

1ixxix

3ixx

ix1ix

''iy''

1iy

6

12ixx"

iy2

1ixx)'(

iyiyy(x)

untuk

dimana:

Variabel Harga I=19 Variabel Harga I=19Y i = 331 Y i = 331

Y I’(-)= 0.075257385 Y i’ (+)= 0.075257385(x i -x)= 101 (x i-x)= -101

Y i”= -0.000180519 Y i”= -0.000180519

Y” i -1= 0.000345881 Y”i+1= -0.000526921X i = 3101 Xi= 3101x i -1= 2903 X i+1= 3200

Maka setelah nilai-nilai tersebut dimasukkan ke persamaan di atasdidapat (lihat Lampiran F):

X=3000 X=3000h=322.934791 h=323.079107

Soal 2Hitung gradien topografi ! dan tentukan titik dengan gradien topografiterbesar !.

Dalam menghitung gradien topografi dipakai tiga persamaan yaitu; BackwardDifference, Centeral Difference dan Forward Difference.

Y(-) Y(+)

Y(-) Y(+)

4

Untuk Metode Backward Difference

h

)a(fhafha,af(a)'f

Step 1Dari data pengukuran topografi (jarak datar dan beda tinggi), dapatditentukan nilai dari variabel-variabel yang ada dalam persamaantersebut; f(a+h), f(a) dan h, dimana h dianggap konstan = 100(lampiran H)

Step 2Setelah nilai dari variabel tersebut dihitung selanjutnya dimasukkan dalampersamaan di atas dan didapat nilai turunan pertamanya (lampiran H)

Untuk Metode Centeral Difference

h2

hafhafhaa - h,f(a)'f

Step 1Dari data pengukuran topografi (jarak datar dan beda tinggi), dapatditentukan nilai dari variabel-variabel yang ada dalam persamaantersebut; f(a+h), f(a-h) dan h, dimana h dianggap konstan = 100(lampiran H)

Step 2Setelah nilai dari variabel tersebut dihitung selanjutnya dimasukkan dalampersamaan di atas dan didapat nilai turunan pertamanya (lampiran H)

Untuk Metode Forward Difference

h2

h2afhaf4af3-a'f

Step 1Dari data pengukuran topografi (jarak datar dan beda tinggi), dapatditentukan nilai dari variabel-variabel yang ada dalam persamaantersebut; f(a), f(a+h), f(a+2h) dan h, dimana h dianggap konstan = 100(lampiran H)

Step 2Setelah nilai dari variabel tersebut dihitung selanjutnya dimasukkan dalampersamaan di atas dan didapat nilai turunan pertamanya (lampiran H)

5

Untuk penentuan titik dengan gradien terbesar dapat dilihat dalam tabelhasil perhitungan (lampiran H), untuk metode Backward, Centeral danForward masing-masing nilainya -3.15 , 1.605 dan –4.725.

Soal 3Tentukan koordinat titik potong antara seam roof dan garis lereng pada pitlimit !.

SolusiStep 1Menentukan nilai Lt dengan menggunakan persamaan matematis berikut:

Step 2Menentukan nilai Yin dengan menggunakan persamaan matematis berikut

Step 3Menentukan nilai Rn dengan menggunakan persamaan matematis berikut(lihat lampiran J)

Step 4Setelah nilai Lt, Yin dan nilai Rn dihitung, maka dapat ditentukankoordinat titik potong antara seam roof dengan pit limit, jarak vertikalantara permukaan topografi sebelum dibuka dengan permukaan ataslapisan batubara (seam roof) maksimum mencapai 250 m.

Step 5Karena nilai Rn dari hasil perhitungan tidak ada yang tepat padaangka 250, maka nilai Rn untuk x=3301 dengan x=3200 diinterpolasiuntuk mendapatkan nilai Rn Yang mendekati nilai 250. dan didapatnilai Rn=249.9999997

Lt = h/tan 60

Lt = 309 / tan 60

Lt = 2939.938616

Rn = hn - Yin - 11

Yin = (Lt - (Xn-Xo)) x Tan 60

6

Step 6Setelah nilai Rn didapat selanjutnya dinterpolasi lagi untukmendapatkan nilai x dan h, dimana nilainya (3299.164079 ,338.9636451).

Step 7Nilai x dan h yang didapat dipakai untuk menentukan nilai titikpotong antara seam roof dengan pit limit dengan menggunakanpersamaan berikut:

C = h – RnC = 338.9636451 – 249.9999997C = 88.964

Karena nilai x sama yang berbeda adalah beda tingginya, makakoordinat titik potongnya (3299.164079 , 88.964), lihat lampiran M.

Soal 4Berikan persamaan umum garis seam roof dan garis lereng pada pit limit !.

Solusi untuk persamaan garis seam roofStep 1Untuk persamaan garis seam roof dapat ditentukan denganmenggunakan persamaan garis dua titik yang diketahui yaitu(1101,309) untuk bagian yang tersingkap dan (3299.164079 , 88.964)untuk titik potong antara seam roof dengan pit limit.

Persamaan Dua titik = (Y1-Y0)X + (X1-X0)Y

Step 2Nilai X0 = 1101, X1=3299.164079, Y0=309 dan Y1=88.964dimasukkan kepersamaan di atas, didapat :

Lt

60

h

R

A (3299.164079, 88.964)

B (3541.976314, 331.7762353)

Yi

R

7

= (88.964 – 309)X + (3299.164079 – 1101)Y= - 220.036X , 2198.164079Y

Solusi untuk persamaan Garis Pit LimitDari kajian geoteknik diketahui, kemiringan lereng total (overall) pitmaksimum sebesar 45°.

Step 1Menentukan nilai X, Y dan Rn=0 untuk kemiringan lereng total(overall) pit maksimum sebesar 45°. Dimana langkah awal adaalahmenentukan nilai D seperti terlihat pada gambar di atas, besar nilaiD=F maka dapat dihitung sebagai berikut:

D=F = h – E = GDimana:

h = 309 E = 88.964

D=F = 309 – 88.964= 220.036

Step 2Menentukan nilai K untuk dapat mengetahui nilai koordinat di titik B,dapat ditentukan dengan cara menginterpolasi nilai dari dua titikkoordinat yang diketahui untuk menentukan nilai X dan Y yangmenghasilkan nilai Rn=0, dimana didapat: K = 22.776235 sehinggadidapat nilai X di titik B = 3299.164079 + 220.036 + 22.776235= 3541.976314.Step 3Menentukan nilai Y di titik B dengan cara menginterpolasi Rn = 0dengan nilai X di titik B = 3541.976314 dan didapat nilai

B (3541.976314, 331.7762353)

Lt

60

h

R

A (3299.164079, 88.964)Yi

RD

E

F

G

I

450

J

K

B1 (3299.164079 , 338.9636451)

8

Y = 331.7762353, sehingga diperoleh koordinat di titik B (3541.976314, 331.7762353)

Step 4Menentukan persamaan garis Pit Limit, dimana dapat ditentukandengan persamaan garis dari dua titik yang diketahui yaitu:

Persamaan Garis Dua titik = (Y1-Y0)X + (X1-X0)Y

Dimana : A(3299.164079 , 88.964)B (3541.976314 , 331.7762353)

Sehingga didapat :

= (331.7762353 - 88.964)X + (3541.976314 - 3299.164079)= 242.8122353 X + 242.812235 Y

Soal 5Tentukan koordinat titik potong antara permukaan topografi dan lereng padapit limit !.

SolusiSudah jelas dapat dilihat pada step 3 untuk persamaan garis Pit Limitdi atas, didapat (3541.976314 , 331.7762353)

Soal 6Hitung cadangan batubara tertambang (mineable reserve) pada pit limit

SolusiStep 1Menentukan nilai d (selisih jarak datar)

d = X1 – X0 (lihat lampiran K)Step 2Menentukan panjang lapisan batubara yang tertambang denganpersamaan:

L = d / Cos 60 (lihat lampiran K)Step 3Menentukan Volume batubara tertambang dengan persamaan:

V = Tebal x Panjang daerah pengaruh x Panjang Lapisan

Dimana : Tebal = 11mPanjang daerah pengaruh = 100m (kiri+kanan)L total = 2210.272181m

Sehingga didapat:

Vtot = 11m x 100m x 2210.272181m

9

Vtot = 2431299.4m3

Step 4Menentukan jumlah cadangan batubara dimana density batubara1.3 ton/m3 , maka jumlah cadangannya:

= Vtot x Density batubara= 2431299.4m3 x 1.3 ton/m3

= 3160689.219 ton.

Soal 7Hitung volume batuan penutup (overburden) yang harus dipindahkan pit limit !.

Step 1Menentukan nilai integrasi Rn dengan menggunakan Formula Trapesium.Lihat Lampiran L.

Step 2Setelah nilai integrasi Rn didapat maka dapat ditentukan VolumeOverburdennya dengan menggunakan persamaan berikut:

Maka didapat:Vob total = Integrasi Total x DPVob total = 291718.1161m2 x 100mVob total = 29171811.61m3 (lihat lampiran K)

Soal 8Hitung stripping ratio pada pit limit !

Solusi

Formula Trapesium

12

122

12

1)( RRhdxxfI

x

x

Volume OverburdenVobn = IT x Panjang Daerah Pengaruh (DP)

Catatan : DP = 100mIT = Integrasi Trapesium (m2)

10

Karena volume overburden dan volume batubara tertambang telahdiketahui, maka SR (Stripping Ratio) dapat ditentukan denganpersamaan berikut:

Maka didapat:

SR.total = 29171811.61 / 2431299.4SR.total = 11.99844479 (lihat lampiran K)

INTERPOLASI SPLINE CUBICS

SRn = Volume Overburden / Volume Endapan Batubara

SRtotal = Total Volume Overburden / Total Volume Endapan Batubara

MULAI

BACA

DATA YANG AKANDIINTERPOLASI (Xh)

JUMLAH DATA

KOMPONEN DATAX(I), Y(I)

INISIALISASIKOMPONEN MATRIKS

A = 0

PERHITUNGANKOMPONEN MATRIKS

A TRIDIAGONAL TENGAH

INISIALISASIKOMPONEN MATRIKSA TRIDIAGONAL BAWAH

INISIALISASIKOMPONEN MATRIKSA TRIDIAGONAL ATAS

PERHITUNGANINVERS MATRIKS A

PERHITUNGANMATRIKS IDENTITAS =A x INVERS A

PERHITUNGANKOMPONEN MATRIKS D

PERHITUNGANKOMPONEN MATRIKS M

= INVERS A x D

PERHITUNGANINTERPOLASI SPLINE

CUBICS

CETAK PADA FILE

A