1. y} + {2y} ^ {'} -3y=¿

Persamaan Karakteristiknya:λ2+2 λ−3=0

( λ−1 ) ( λ+3 )

λ1=1 λ2=−3

λ1≠ λ2

yh=c1 ex+c2 e

−3x

Untuk x=0 , y (0 )=c1 e0+c2e

−3x 0=2Untuk x=1 , y (1 )=c1 e1+c2e

−3x 1=2,768068897

Untuk x=2 , y (2 )=c1e2+c2e

−3 x2=7,391534851

Untuk x=3 , y (3 )=c1 e3+c2 e

−3x 3=20,08566033

Untuk x=4 , y ( 4 )=c1e4+c2 e

−3x 4=54,59815618

Untuk x=5 , y (5 )=c1e5+c2 e

−3x 5=148,4131594

0 1 2 3 4 50

20

40

60

80

100

120

140

160

2 2.768068897 7.3915348509999920.08566033

54.5981561800001

148.4131594

Grafik

y = 10,44x2 - 47,37x + 46,65R = 0,962²

2. y ' '+7 y=0

Persamaan karakteristiknya :λ2+7=0

λ2=−7

λ12=±√−7=±i √7

λ1=i √7, λ2=−i √7

yh=e0 (B sin√7 x+A cos√7 x )=(B sin√7 x+A cos√7 x)

y ( x )=(sin√7 x+cos i √7 x )

UntukX=0, y (0 )=( sin√7 .0+cos√7 .0 )=sin 0+cos0=1

X=1, y (1 )=(sin√7 .1+cos√7 .1 )=0.046160662+0.998934028=1,04509469

X=2, y (2 )=( si n√7 .2+cos √7 .2 )=0.092321325+1.997868057=2,090189382

X=3, y (3 )=( sin√7 .3+cos √7 .3 )=0.138481987+2.996802085=3,135284072

X=4, y (4 )=(sin√7 .4+cos√7 .4 )=0.18464265+3.995736114=4,180378764

X=5, y (5 )=( sin√7 .5+cos √7 .5 )=0.230803312+4.994670142=5,225473454

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

1 1.04509469

2.090189382

3.135284072

4.18037863999999

5.225473454

Grafik

y = 0,0893x2 + 0,2772x + 0,4549R = 0,9879²

3. y} - {y} ^ {'} -2y=¿

y= yh+ y p

y} - {y} ^ {'} -2y=¿

Persamaan Karakteristiknya:λ2−λ−2=0

( λ+1 ) ( λ−2 )

λ1=−1 λ2=2

λ1≠ λ2

yh=c1 e− x+c2 e

2x

y p=k1y p'=0 y p}} = ¿¿

y} - {y} ^ {'} -2y=¿

0−0−2k 1=8

k 1=−4

y p=k1

y p=−4

y= yh+ y py=c1 e− x+c2 e

2x−4

Untuk x=0 , y (0 )=c1 e0+c2e

2x 0−4=−2Untuk x=1 , y (1 )=c1 e−1+c2e

2x 1−4=3,75693554

Untuk x=2 , y (2 )=c1e−2+c2 e

2 x2−4=50,73348532

Untuk x=3 , y (3 )=c1 e−3+c2 e

2x 3−4=399,4785806

Untuk x=4 , y ( 4 )=c1e−4+c2e

2x 4−4=2976,976303

Untuk x=5 , y (5 )=c1e−5+c2 e

2x 5−4=22022,47253

0 1 2 3 4 5

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-2 3.75693554 50.7334853200001399.4785806

2976.976303

22022.47253

Grafik

y = 1880,x2 - 9753,x + 9856,R = 0,869²

4. 3 y} - {2y} ^ {'} -y=2x-¿

y= yh+ y p

3 y} - {2y} ^ {'} -y=¿

Persamaan Karakteristiknya:3 λ2−2λ−1=0

(3 λ+1 ) ( λ−1 )

λ1=−13λ2=1

λ1≠ λ2

yh=c1 e−13 x+c2e

x

y p=k1 x−k2

y p'=k 1

y p}} = ¿¿

3 y} - {2y} ^ {'} -y=2x-3¿0−2k1−(k1 x−k2 )=2 x−3−2k1−k1 x+k 2+3=2 x

−k 1 x+(−2k1+k2+3 )=2 x→dibagi x

−k 1=2k 1=−2−2k1+k 2=−3(−2 ) x (−2 )+k2=−3k 2=−3−4k 2=−7

y p=−2x+7

y= yh+ y py=c1 e−13 x+c2e

x−2x+7

Untuk x=0 , y (0 )=c1 e−13.0 +c2 e

0−2.0+7=9

Untuk x=1 , y (1 )=c1 e−13.1+c2e

1−2.1+7=8,434813139

Untuk x=2 , y (2 )=c1e−13.2 +c2 e

2−2.2+7=11,23553782

Untuk x=3 , y (3 )=c1 e−13.3+c2 e

3−2.3+7=21,98037624

Untuk x=4 , y ( 4 )=c1e−13.4 +c2 e

4−2.4+7=54,51819445

Untuk x=5 , y (5 )=c1e−13.5+c2 e

5−2.5+7=146,3486661

0 1 2 3 4 50

20

40

60

80

100

120

140

160

9

8.43481313911.23553782

21.98037624

54.51819445

146.3486661

Grafik

y = 10,37x2 - 48,73x + 55,16R = 0,958²

5. y ' '−4 y'+3 y=x+e2x

y= yh+ y p

yh= y' '−4 y '+3 y=0

Persamaan karakteristiknya :λ2−4 λ+3=0

( λ−1 ) ( λ−3 )=0

λ1=1, λ2=3

yh=c1 ex+c2 e

3 x

y p=x+e2x

y1=k1 x+k2 ........... (1) y2=e2x→ce2x

y1'=k1 ........... (2)

y1' '=4 e2x ............ (3)

(1),(2),(3) ke persamaan awal y ' '−4 y'+3 y=x

0−4 (k1 )+3 (k1 x+k2 )= x

4 (k1 )+3k 1 x+3k2=x dibagi x3k1=1

k 1=13

4 (k1 )+k2=0

k 2=−4

3, jadi,

y p=x+e2x

y p=13x−4

3+c e2 x

y= yh+ y p

y=(c1 ex+c2e

3x )+( 13x−4

3+ce2x )

Grafik, y (x )=(ex+e3 x)+(13x−4

3+e2x )

Untuk X=0,y (0 )=(e0+e3.0 )+( 13

0−43+e2.0)=1,6667

X=1, y (1 )=(e1+e3.1 )+( 13

1−43+e2.1)=27,4746

X=2,y (2 )=(e2+e3.2 )+( 13

2−43+e2.2)=464,749

X=3, y (3 )=(e3+e3.3 )+( 13

3− 43+e2.3)=8526,265

X=4, y (4 )=(e4+e3.4 )+( 13

4−43+e2.4)=165790,35

X=5, y (5 )=(e5+e3.5 )+( 13

5−43+e2.5)=3291192,6

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

3500000

1.6667 27.4746 464.7498526.26499999999165790.35

3291192.6

Grafik

y = 290253x2 - 2E+06x + 2E+06R = 0,8191²

TUGAS ke-1 – Membuat Grafik1. d2 y

dx 2+10

dydx

+4=0

Buatlah statik fungsi untuk x=0 sampai dengan x=5 dan buat tabel grafik!Penyelesaian :d2 ydx 2

+10dydx

+4=0

λ2+10λ+4=0λ1=−10+√102−42

2=−5+√21

λ1=−10−√102−422

=−5−√21

yh=C1 e(−5+√21) x+C2 e

(−5−√21) x

λ1 = -5+√21 = -5 + 4.58= -0.42λ2 = -5-√21 = -5 - 4.58= -9.58y(x) = C1e-0.42x+C2e-9.58xX=0 → y(0)= 2X=1 →y(x) = C1e-0.42*1+C2e-9.58*1 = 0.657X=2 →y(x) = C1e-0.42*2+C2e-9.58*2= 0.43X=3 →y(x) = C1e-0.42*3+C2e-9.58*3= 0.28X=4 →y(x) = C1e-0.42*4+C2e-9.58*4= 0.19X=5 →y(x) = C1e-0.42*5+C2e-9.58*5= 0.12

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

2

0.657000000000001

0.430.28 0.19 0.12

Tabel Grafik

y = 0,123x2 - 1,177x + 2,860R = 0,915²

2. d2 ydx 2

+4dydx

+4 y=0

Penyelesaian :y + 4y' + 4y =

λ '+4 λ+4=0

(λ + 2) (λ+2¿=0

λ1=−2 λ1=−2

λ1= λ2=−2

Jadi :yh = eλx (C1+C2x) = e-2x(C1+C2x)y(0) = e-2(0)(0) = 0y(1) = e-2(1)(1) = (2,78)-2(1) = 0,135y(2) = e-2(2)(2) = (2,78)-4(2) = 0,036y(3) = e-2(3)(3) = (2,78)-6(3) = 0,0074y(4) = e-2(4)(4) = (2,78)-8(4) = 0,00134y(5) = e-2(5)(5) = (2,78)-10(5) = 0,000227

0 1 2 3 4 50

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0

0.135

0.036

0.00740000000000001 0.00134 0.000227

Grafik

y = -0,005x2 + 0,026x + 0,021R = 0,265²