Tugas Analisis Data Lingkungan

PROBABILITAS

Kelompok:

1. Fathi Asyurina Muthmainnah (25312004)

2. Paulina Sri Widarti (25312024)

Pertanyaan:

1. Bagaimanakah teori dasar probabilitas?

2. Bagaimanakah distribusi data dengan probabilitas diskrit?

3. Bagaimanakah distribusi data dengan probabilitas kontinyu?

4. Apakah perbedaan antara distribusi data diskrit dan distribusi data kontinyu?

Jawab:

1. Teori Dasar Probabilitas

Probabilitas adalah peluang suatu kejadian atau Suatu ukuran tentang kemungkinan

suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0

sampai 1 atau dalam persentase. Probabilitas perlu diketahui untuk membantu

pengambilan keputusan yang tepat, karena dalam kehidupan di dunia tidak ada

kepastian, dan informasi yang tidak sempurna.

Kunci aplikasi probabilitas dalam statistik adalah memperkirakan terjadinya

peluang/probabilitas yang dihubungkan dengan terjadinya peristiwa tersebut dalam

beberapa keadaan. Contoh aplikasi probabilitas adalah pada pembelian harga saham

berdasarkan analisis harga saham dan peluang produk yang diluncurkan oleh suatu

perusahaan mengenai probabilitas suksesnya produk tersebut terjual atau tidak.

Distribusi probabilitas merupakan sebaran nilai-nilai probabilitas yang dinyatakan

untuk mewakili semua nilai yang dapat terjadi dari suatu variabel random X, baik berupa

suatu daftar (tabel) maupun dengan fungsi matematis. Variabel random adalah sesuatu

yang nilainya ditentukan oleh perubahan dari proses yang berada di luar control pelaku

observasi. Jumlah probabilitas dari semua kemungkinan kejadian harus sama dengan 1.

Dalam distribusi probabilitas, nilai-nilai probabilitas individual dinyatakan dengan symbol

f(x) yang merupakan fungsi matematis, dengan P(x = X) atau P(X) yang merupakan

variabel random yang memiliki bermacam-macam nilai.

Distribusi probabilitas dapat disajikan dalam bentuk tabel maupun kurva

probabilitas. Untuk suatu variabel random diskrit, semua nilai yang dapat terjadi dari

variabel random dapat didaftar dalam suatu tabel dengan menyertakan probabilitas-

probabilitasnya. Sedangkan untuk suatu variabel random kontinyu,semua nilai pecahan

yang dapat terjadi tidak dapat didaftar, sehingga probabilitas-probabilitasnya ditentukan

dengan fungsi matematis yang dinyatakan dengan suatu fungsi kontinyu atau kurva

probabilitas (Subiyakto, 1994).

2. Distribusi Data Diskrit

Dalam pembahasan mengenai probabilitas diskrit, nilai rata-rata disebut sebagai

nilai harapan dari distribusi probabilitas. Nilai harapan suatu variabel random diskrit X

dinyatakan dengan E(X). Nilai ini merupakan rata-rata tertimbang dari semua nilai variabel

yang mungkin terjadi dengan probabilitas sebagai penimbang. Nilai harapan dari suatu

distribusi probabilitas diskrit didapat dengan menggunakan rumus:

E(X) = X P(X)Σ

Varian dari suatu variabel random dinyatakan dengan Var (X). Secara umum varian

dari distribusi probabilitas diskrit dapat dirumuskan:

Var (X )=∑ X2P (X )−[∑ XP(X )]2

¿ E (X 2)−[E(X) ]2

a. Distribusi Uniform Diskrit

Distribusi seragam (uniform distribution) diskrit adalah probabilitas distribusi

diskrit yang paling sederhana. Tiap nilai variabel random memiliki probabilitas yang

sama untuk terpilih. Jika variabel random X bisa memiliki nilai x1, x2, ….,xk dan

masing-masing bisa muncul dengan probabilitas yang sama maka distribusi

probabilitasnya diberikan oleh :

f (x; k) = 1/k , x= x1, x2, …xk.

Notasi f (x; k) menyatakan nilai fungsi f tergantung pada k.

Contoh 1

Sebuah koin ideal memiliki muka angka dan gambar. Jika x menyatakan banyaknya

angka muncul, maka x = 0,1 dan distribusi probabilitasnya f(x; 2) = ½ ; x = 0,1.

Mean dan Variansi Distribusi Uniform

Jika f (x; k) menyatakan distribusi probabilitas uniform, maka rata-ratanya dan

variansinya :

μ=E [ X ]=∑i=1

k

f ( x i ;k ) x i=1k∑i=1

k

xi

σ 2=E [ (X−μ )2 ]=∑i=1

k

f ( x i ;k )( x i−μ )2= 1k∑i=1

k

( xi−μ )2

Contoh 2

Hitunglah nilai rata-rata mata dadu yang keluar dan variansinya.

=(1−3,5)2+(2−3,5 )2+(3−3,5 )2+(4−3,5 )2+(5−3,5 )2+(6−3,5 )2

6=2 ,92

b. Distribusi Binomial

Distribusi binomial merupakan distribusi probabilitas bila hanya ada dua kemungkinan

atau distribusi probabilitas diskret dengan jumlah keberhasilan dalam n percobaan

ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki

probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n =

1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar

dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik. Distribusi ini seringkali digunakan untuk

memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah sampel n dari jumlah populasi N.

Semakin besar N daripada n, distribusi binomial merupakan pendekatan yang baik dan

banyak digunakan.

Proses Bernoulli adalah sebuah proses eksperimen statistik yang memiliki ciri-ciri:

Eksperimen terdiri dari n kali pengulangan.

Tiap kali, outcome hanya dua macam, dilabeli “sukses” dan “gagal”.

Probabilitas “sukses” di tiap percobaan, p, besarnya tetap dari satu percobaan ke

berikutnya.

Satu percobaan dan yang berikutnya bersifat independen.

Didasarkan atas sampling yang besifat bebas à sample with replacement

Contoh:

Sebuah proses Bernoulli untuk QC dilakukan dengan memilih 3 komponen

secara simultan dari sebuah proses produksi. Setiap komponen yang diambil

dinyatakan “sukses” jika ternyata rusak, dan “gagal” jika ternyata komponen tersebut

baik (sebenarnya boleh juga definisinya dibalik!). Variabel random X didefinisikan

sebagai banyaknya “sukses” dalam pengambilan 3 komponen tersebut.

Tabel 1 Ruang sampel bagi X, S: sukses, G: gagal

Outcome SSS SSG SGS SGG GSS GSG GGS GGG

X 3 2 2 1 2 1 1 0

μ=16∑i=1

6

xi=1+2+3+4+5+6

6=3,5

σ 2=16∑i=1

6

( x i−μ )2

Misalkan diketahui dari masa lalu, sebanyak 25% produksi komponen tersebut rusak

(“S”). Jadi probabilitas 1 kali pengambilan menghasilkan rusak = probabilitas “sukses”

= p = ¼, berarti probabilitas “gagal” = 1- ¼ = ¾.

Sebagai contoh, probabilitas outcome = SSG

p (SSG) = p (S) . p (S) . p (G) = ¼. ¼.¾ = 3/64, jadi untuk X = 2, ada 3 outcome yang

terkait : SSG, SGS, GSS, maka jika f (X = 2) menyatakan probabilitas X = 2,

f (X = 2) = 3 x 3/64 = 9/64.

Dengan cara yang sama bisa diturunkan probabilitas untuk X=0,1 dan 3, dan hasilnya

adalah fungsi distribusi probabilitas f (x) sebagai berikut.

Tabel 1 Ruang sampel bagi X, S: sukses, G: gagal

X 0 1 2 3

f(X) 27/64 27/64 9/64 1/64

Variabel random X ini disebut variabel random binomial, sedangkan fungsi

distribusinya f (x) disebut fungsi distribusi binomial, dan dituliskan sebagai berikut:

f (x) = b (x; n, p)

Untuk menegaskan bahwa probabilitas x ditentukan oleh banyak eksperimennya (n,

dalam contoh di atas n = 3), dan bergantung pada probabilitas sukses di tiap

eksperimen (p).

Jadi f (x = 2) = b (2; 3, 0.25) = 9/64

Kasus distribusi binomial umum:

dilakukan eksperimen sebanyak n kali pengambilan

dari n tersebut, sebanyak x dikategorikan “sukses”, jadi sebanyak n-x adalah “gagal”

probabilitas “sukses” di tiap percobaan = p, berarti probabilitas “gagal “, q = 1 - p.

Maka probabilitas terjadinya outcome dengan konfigurasi x “sukses” dan (n - x) “gagal”

tertentu, adalah:

P(SSS … GGG) = ppp….qqq = pxqn-x

Sebab S ada x buah dan G sebanyak (n - x) buah. Tentu ada banyak konfigurasi lain

yang juga memiliki x buah S dan (n - x) buah G. Sehingga probabilitas mendapatkan

hasil eksperimen yang memiliki x buah S dan (n-x) buah G adalah:

Cnx px qn-x = b(x;n, p)

Fungsi Distribusi Binomial

Proses Bernoulli dimana tiap eksperimen (pengambilan) memiliki probabilitas sukses p

(atau probabilitas gagal q = 1 - p). Maka fungsi distribusi probabilitas f(x) yang

menyatakan dari n kali eksperimen (pengambilan) yang independen mengandung x

buah yang sukses adalah:

Dengan x = 0, 1, 2, …., n

Contoh:

Probabilitas sebuah komponen mobil tidak rusak ketika dijatuhkan adalah ¾.

Berapakah probabilitasnya ada 2 dari 4 komponen yang dijatuhkan akan tidak rusak.

Jawab:

Misal kita definisikan “sukses” = tidak rusak, probabilitas “sukses”, p = 3/4. Jadi

probabilitas “gagal, q= 1 - 3/4 = ¼. Total percobaan ada n = 4, jumlah yang tidak rusak,

“sukses”, x = 2. Jadi probabilitas 2 dari 4 komponen yang dijatuhkan tidak rusak

diberikan oleh:

Sifat dari b(x; n, p) sebagai fungsi distribusi probabilitas adalah:

Karena seringkali kita memerlukan probabilitas untuk X dalam sebuah interval, misal

P (X < r) atau P (a < X ≤ b) maka, dibuat tabel fungsi distribusi binomial kumulatif

sebagai berikut:

Tabel 2 Distribusi Probabilitas Binomial Kumulatif ∑x=0

r

b( x ;n , p )

Contoh:

B(r=1;n=2,p=0.30) = 0.9100

b (x ;n , p )=(nx ) pxqn− x

b (x=2; n=4 , p=34

)=(nx ) pxqn−x=(42 )( 34 )2 ( 14)4−2= 4 !

2! (4−2 )!916

116

=27128

∑x=0

n

b( x ;n , p )=1

Probabilitas seorang pasien yang sakit suatu penyakit flu sembuh adalah 40%. Jika 15

orang diketahui telah tertular penyakit ini, berapakah probabilitasnya bahwa (a) paling

tidak 10 orang sembuh, (b) antara 3 hingga 8 orang sembuh (c) tepat 5 orang

sembuh?

Jawab:

Ini adalah proses Bernoulli. Probabilitas “sukses”, yaitu sembuh adalah p = 0,4.

Variabel random X menyatakan banyak orang yang “sukses” = sembuh, sedangkan

total percobaannya adalah n = 15.

a) P (paling tidak 10 sembuh) = P (X ≥ 10) = 1 – P (X < 10)

= 1 – B (r = 9; n = 15, p = 0,4) = 1 – 0,9662 = 0,0338

b) P (antara 3 sampai dengan 8 sembuh)

P (3 ≤ X ≤ 8) = P (X ≤ 8) – P (X < 3)

= B (r = 8; n = 15, p = 0,4) – B (r = 2; n = 15, p = 0,4)

= 0,9050 – 0,0271 = 0,8779

c) P (5 sembuh) = P (X = 5) = P (X ≤ 5) – P (X < 5)

= B(r = 5; n = 15, p = 0,4) - B(r = 4; n = 15, p = 0,4)

= 0,4032 – 0,2173 = 0,1859

Mean dan Simpangan Baku Distribusi Binomial

Jika X adalah variabel dengan distribusi binomial b (x; n, p), maka mean dan

variansinya adalah:

Bukti:

Misalkan kita lakukan percobaan sebanyak n kali. Tiap kali outcome-nya disebut yang

bisa bernilai “sukses” atau “gagal” dengan probabilitas “sukses” = p. Maka variabel

random X yang menyatakan jumlah “sukses” dari n eksperimen akan memiliki mean:

μ = E(X)

= E (I1+ I2+ I3+ … + In)

= E(I1) + E(I2) +…+ E(In)

= p + p + … + p = np

Contoh:

Probabilitas seorang pasien yang sakit suatu penyakit flu sembuh adalah 40%. Jika 15

orang diketahui telah tertular penyakit ini.

a. Berapakah rata-rata jumlah orang yang sembuh?

b. Menurut teorem Chebysev paling tidak sebanyak 75% kasus akan jatuh dalam

interval μ - 2σ < X < μ + 2σ. Terapkan dalam kasus ini dan beri interpretasi.

σ=√n . p (1−p )μ=n. p

Jawab:

a. Dalam kasus ini probabilitas sembuh adalah p = 0,4, banyak percobaan adalah

n = 15, sehingga rata-rata jumlah orang yang sembuh adalah:

μ = np = 15 x 0,4 = 6 orang

b. Variansinya:

σ2 = npq = np(1 - p) = 15 x 0,4 x (1 – 0,4) = 3,6 dengan STD σ = 1,897

μ - 2σ = 6 - 2(1,897) = 2,206 dan μ + 2σ = 6 + 2(1,897) = 9,794

Artinya terdapat probabilitas paling tidak 75% pasien yang sembuh jumlahnya

antara 2.206 s/d 9.794 atau dibulatkan antara 3 s.d 9.

c. Distribusi Multinomial

Pada distribusi multinomial terdapat lebih dari 2 outcome, dengan n percobaan bebas,

dan semua keluaran bersifat mutually exclusive.

Sebagai generalisasi dari distribusi binomial adalah dengan melonggarkan kriteria

banyaknya outcome yang mungkin jadi > 2. Dalam hal ini maka percobaannya disebut

percobaan multinomial sedangkan distribusi probabilitasnya disebut distribusi

multinomial.

Misal setiap percobaan bisa menghasilkan k outcome yang berbeda, E1, E2, …,Ek

masing-,masing dengan probabiliitas p1, p2, …,pk. Maka distribusi multinomial f(x1,x2,

…,xk; p1,p2, ..,pk, n) akan memberikan probabilitas bahwa E1 akan muncul sebanyak x1

kali, E2 akan muncul sebanyak x2 kali, dan sterusnya dalam pengambilan independen

sebanyak n kali, jadi : x1+ x2+ ….+ xk=n, dengan p1+p2+ …+ pk =1 dan :

Contoh:

Sebuah airport memiliki 3 buah landas pacu (runway), dan probabilitas sebuah runway

dipilih oleh pesawat yang akan mendarat adalah:

runway -1 : 2/9

runway -2 : 1/6

runway -3 : 11/18

Berapakah probabilitas 6 pesawat yang datang secara acak didistribusikan ke dalam

runway-runway tersebut seperti berikut:

runway -1 : 2 pesawat

runway -2 : 1 pesawat

runway -3 : 3 pesawat

Jawab:

f ( x 1 , x 2, x 3 ,. .. , xk )= n!x1 ! x2 ! . .. xk !

p1x1 p2x 2 .. . pk xk

Pemilihan runway acak dan independen, dengan p1 = 2/9, p2 = 1/6 dan p3 = 11/18.

Probabilitas untuk x1 = 2, x2 = 1 dan x3 = 3 adalah :

d. Distribusi Hipergeometrik

Apabila sampel tidak saling bebas (yakni pengambilan sampel tanpa pengembalian),

distribusi yang dihasilkan adalah distribusi hipergeometrik, bukan binomial. Bila jumlah

sampel = n dari populasi = N dan a diantaranya rusak, maka terdapat kemungkinan:

- Sampel 1 : probabilitas mengambil yang rusak = a/N

- Sampel 2 : terdapat 2 probabilitas mengambil yang rusak:

(1) a/(N-1) bila sampel 1 terambil bukan yang rusak

(2) (a-1)/(N-1) bila sampel 1 terambil yang rusak

Distribusi Hipergeometrik dari variabel random X yang menyatakan banyaknya

outcome yang “sukses” dari sampel random sebanyak n yang diambil dari populasi

sebanyak N, dimana dari N tersebut sebanyak k buah adalah “sukses” dan sisanya “N-

k” adalah “gagal”:

Suku pembagi (denominator) menyatakan banyak kombinasi yang terjadi jika dari N

obyek diambil n tiap kali.

Faktor pertama suku terbagi (numerator) menyatakan banyaknya kombinasi dari obyek

berjenis “sukses” yang berjumlah k jika tiap kali diambil sebanyak x buah.

Faktor kedua suku terbagi (numerator) menyatakan banyaknya kombinasi dari obyek

berjenis “gagal” sebanyak N-k jika tiap kali diambil sebanyak (n-x) buah.

Contoh:

Suatu jenis suku cadang mobil dijual dalam bentuk paket yang isinya 10 buah.

Produsen merasa bahwa bahwa paket tersebut dinyatakan “dapat diterima” jika tak

lebih dari 1 buah suku cadang/paket yang cacat. Untuk memeriksa kualitasnya

dilakukan sampling secara random diambil beberapa paket, dan ditiap paket

dilakukan pemeriksaan terhadap 3 buah suku cadang dari paket yang disampel.

Kemudian paket dinyatakan baik jika dari 3 yang diperiksa tersebut tidak satupun yang

cacat. Berapakah probabilitasnya seandainya sampel yang diambil sebenarnya

f ( x1=2 , x1=1 , x3=3 ; p1=29, p1=

16p1=

1118, n=6 )=( 62,1,3)( 29 )2( 1

6)1 (1118

)3=0 .1127

h( x ; N ,n ,k )=(kx )(N−k

n−x )(Nn )

mengandung 2 buah suku cadang cacat (jadi unacceptable), tapi ketika diambil sampel

3 ternyata tak satupun juga cacat, sehingga salah mengambil kesimpulan!

Jawab:

Misalkan bahwa ada lot yang benar-benar tak bisa diterima, karena 2 dari 10 isinya

cacat. Kita hitung berapa probabilitasnya bahwa teknik sampling yang kita lakukan

dapat menemukan hal ini.

Misal X adalah banyak suku cadang yang cacat, maka probabilitas bahwa dari 3 suku

cadang yang diambil tak satupun cacat adalah sebagai berikut:

Jumlah yang cacat di paket k = 2, yang terambil tidak ada, X = 0. Isi satu paket N = 10,

jadi yang baik N – k = 10 – 2 = 8. Dari paket diambil n = 3 sampel.

Banyaknya kombinasi bahwa dari k=2 cacat di paket tidak terambil sama sekali (x = 0)

adalah 2C0 = 2!/(0!2!) =1. Dan kombinasi dari 8 yang cacat diambil 3 buah ada

sebanyak 8C3 = 8!/(3!5!) = 8 x 7 x 6/6 = 56.

Sedangkan kalau dari 10 diambil 3 buah item, banyak kombinasi iterm yang mungkin

adalah 10C3 = 10!/7!3! = 10 x 9 x 8/6 = 120.

Jadi probabilitas bahwa yang terambil mengandung 3 buah item dan tak satupun cacat

adalah :

Mean dan Variansi

Jika h (x; N, n, k) menyatakan distribusi hipergeometrik untuk variabel acak x, yang

menyatakan jumlah item yang “sukses” bilamana dari N item diambil sebanyak n buah,

dan sebenarnya sebanyak k item sukses dari N buah tersebut, maka rata-rata x dan

variansinya adalah:

e. Distribusi Poisson

Distribusi poisson merupakan distribusi probabilitas yang dilakukan terhadap satuan

waktu atau ruang. Percobaan yang menghasilkan variabel random X yang menyatakan

banyaknya outcome selama interval waktu tertentu atau dalam “area” atau “luas”

tertentu dinamakan percobaan Poisson. Asumsi proses poisson adalah sebagai

berikut:

- Suatu peristiwa dapat terjadi secara acak dan pada interval waktu tertentu atau

rerata kejadian (µ) adalah konstan untuk setiap unit waktu atau ruang

h( x=0 ;N=10 , n=3 , k=2)=(20)(83 )(103 )

=1×56120

=0 , 467=47%

σ 2= N−nN−1

.n .kN

(1− kN

)μ=nkN

- Kejadian satu peristiwa dengan peristiwa lain pada interval waktu tertentu adalah

independen (bebas).

- probabilitas lebih dari satu kejadian dalam setiap satu titik atau ruang adalah nol

- jumlah kejadian dalam setiap rentang waktu atau ruang adalah bebas dari jumlah

kejadian pada rentang yang lain

- Probabilitas kejadian suatu peristiwa pada interval waktu Δt adalah proporsional

terhadap Δt, dan dapat diberikan dengan vΔt, dimana v adalah rata-rata kejadian

suatu peristiwa.

Contoh:

X : banyak panggilan telepon per jam

X : banyak hari-hari sekolah tutup karena bencana alam dalam setahun

Sifat :

1) Tidak punya memori atau ingatan, yaitu banyaknya outcome dalam satu interval

waktu (atau daerah) tidak bergantung pada banyaknya outcome pada waktu atau

daerah yang lain.

2) Probabilitas terjadinya 1 outcome dalam interval waktu (atau daerah) yang

sangat pendek (kecil) sebanding dengan lama waktu interval waktu tersebut

(atau luas daerahnya). Dan tidak bergantung pada kejadian atau outcome di luar

interval ini.

3) Probabilitas terjadinya lebih dari 1 outcome dalam interval waktu yang sangat

pendek di poin 2 tersebut sangat kecil atau bisa diabaikan.

Jika:

X : variabel random Poisson yang menyatakan banyaknya outcome selama

percobaan.

μ : rata-rata banyak outcome = λt dimana t adalah lama intervalnya dan λ adalah

laju terjadinya outcome.

Distribusi probabilitas dari variabel random Poisson X yang menyatakan banyaknya

outcome dalam interval waktu tertentu t (atau daerah tertentu) dengan λ menyatakan

laju terjadinya outcome persatuan waktu atau per satuan daerah diberikan oleh (tidak

diturunkan):

Dimana:

P(x) = probabilitas pada sejumlah x kejadian

µ = rerata jumlah kejadian per unit waktu atau per unit ruang

e = konstanta dasar logaritma = 2,71828

p( x ; λt )=e−λt ( λt )x

x !⇒ p( x ; μ )=

e−μ ( μ)x

x !

Selanjutnya ditabelkan distribusi kumulatif Poisson:

Tabel 3 Distribusi Poisson Kumulatif

Hubungan Distribusi Poisson dan Binomial

Jika X adalah variabel random yang memiliki distribusi binomial b(x;n,p), maka jika

jumlah percobaannya besar sekali nà∞ serta probabilitas untuk “sukses” p kecil sekali

p à 0, serta rata-ratanya yaitu μ = np maka dalam hal ini distribusi Binomial bisa

diaproksimasi dengan distribusi Poisson.

b (x;n,p) à p(x;μ=np) untuk n besar, p kecil

Contoh:

Probabilitas terjadinya kecelakaan di suatu hari di sebuah pabrik adalah 0.005.

(a)Berapakah probabilitasnya selama 400 hari tidak terjadi kecelakaan sama

sekali?

(b)Berapakah probabilitasnya paling banyak 3 hari dengan dengan kecelakaan

selama 400 hari tersebut?

Jawab:

X adalah variabel random binomial yang menyatakan banyak hari dengan kecelakaan

(“sukses”) dengan probabilitas terjadinya kecelakaan dalam satu hari p = 0,005.

Dalam 400 hari hanya 1 kecelakaan, berarti banyak percobaan n=400. Jadi ingin

dihitung b (x = 1; n = 400, p = 0,005). Karena n besar dan p kecil maka dapat

dipergunakan aproksimasi distribusi Poisson dengan:

μ = λt = mean out come

P(r ; μ)=∑x=0

r

p( x ; μ)

P(r=3 ;μ=0 .4 )=∑x=0

3

p( x=3 ; μ=0.4 )=0 .9992

rata-rata (mean) μ = np = 400 x 0,005 = 2 kecelakaan dalam 400 hari, dan ingin

diketahui probabilitasnya terjadi 1 kecelakaan dalam 400 hari tersebut (X = 1):

b(x=1;n=400,p=0.005) à p(x=1; μ=2)

Jawab:

Karena paling banyak jumlah hari dengan kecelakaan adalah 3 hari. Berarti ingin

dihitung P (x ≤ 3), yaitu (dengan Tabel D. Poisson)

P (r=3; μ=2) = 0.857

Jadi terdapat probabilitas 86% dalam 400 hari, akan terjadi kecelakaan 0, atau 1, 2

atau 3 paling banyak.

3. Distribusi Probabilitas Kontinyu

Variabel random kontinyu adalah salah satu variabel yang dapat memiliki pecahan

dalam range tertentu. Dengan demikian, untuk distribusi variabel ini tidak dapat disusun

tabel nillai probabilitasnya. Nilai distribusi kontinyu dinyatakan dalam bentuk fungsi

matematis dan digambarkan dalam bentuk kurva.

a. Distribusi Normal

Distribusi probabilitas normal adalah distribusi probabilitas kontinyu yang simetrik dan

mesokurtik. Dua parameter yang menentukan bentuk suatu kurva normal adalah rata-

rata dan standar deviasi. Suatu pengujian sederhana terhadap normalitas dapat

dilakukan dengan menghitung persentase data hasil pengamatan yang berada di

dalam plus-minus atau plus-minus dua standar deviasi dari nilai rata-rata. Dengan cara

ini, suatu distribusi disebut normal jika ± 68% data hasil pengamatan berada di dalam

satu standar deviasi dan ± 95% berada dalam dua standar deviasi. Jika tidak, suatu

distribusi tidak mengikuti suatu kurva normal. Bentuk persamaan matematis distribusi

probabilitas normal adalah:

f ( x )= 1

√2π σ 2e

−(x−μ)2

2σ2

Dalam formula di atas, x dapat bernilai -∞ sampai dengan ∞. Dengan demikian, nilai

distribusi normal tidak terbatas. Nilai π ≈ 3,1416 dan nilai e ≈ 2,7183. Luas total di

bawah fungsi probabilitas sama dengan 1. Probabilitas suatu observasi yang diambil

secara random dari suatu populasi normal yang ada di antara dua nilai a dan b, dapat

disamakan dengan luas daerah di bawah kurva probabilitas dengan nilai x sama

dengan a dan b.

p( x=1 ; μ=2 )=e−μ (μ )x

x !=e−2(2)1

1!=0.271

Gambar g1 Kurva Distribusi Normal

Nilai-nilai x dapat dikonversikan ke dalam nilai-nilai standar normal Z dengan

menggunakan rumus:

Z= x−μσ

Nilai harapan dan varian adalah:

E (x) = µ dan Var (x) = σ2

Contoh 1

Dari hasil pengamatan terhadap lima ratus daun the yang dipetik dari kebun XYZ

menunjukkan bahwa rata-rata panjang daun-daun teh tersebut:

a. Berapa yang memiliki panjang antara 120 mm sampai dengan 155 mm?

b. Berapa daun yang memiliki panjang lebih dari 185 mm?

c. Berapa daun yang memiliki panjang kurang dari 128 mm?

Jawab:

n = 500; x = 151; s = 15

a. Untuk menghitung jumlah daun yang memiliki panjang antara 129 mm sampai

dengan 155 mm, terlebih dahulu dihitung nilai probabilitasnya dengan formulasi:

P (120<x<155 )=P( 119,5−15115<Z< 155,5−151

15 )¿ P (−2,1<Z<0,30 )

¿0,4821+0,1179=0,60

Jumlah daun yang memiliki panjang 120 mm

sampai dengan 155 mm = (0,60) (500) = 300

lembar.

b. Nilai probabilitas daun yang memiliki panjang lebih dari 185 mm didapat dengan

formula.

Jumlah daun yang memiliki panjang lebih dari 185

mm = (0,0129)(500) = 6 lembar.

c. Nilai probabilitas daun yang memiliki panjang kurang dari 128 mm adalah.

Jumlah daun yang memiliki panjang kurang dari 128

mm = (0,0668)(500) = 33 lembar.

Contoh 2

Nilai rata-rata hasil ujian suatu mata kuliah adalah 65, dengan varians 36. Salah satu

ketentuan agar peserta mendapat nilai A, jika nilai angkanya minimal 75. Peserta ujian

akan mendapat nilai B, jika nilai angkanya paling sedikit 60 dan kurang dari 75. Bila

diketahui pancaran nilai B, jika nilai angkanya paling sedikit 60 dan kurang dari 75. Bila

diketahui pencaran nilai peserta ujian mendekati distribusi normal, maka bila diambil

seorang peserta ujian secara acak, tentukan probabilitas bahwa ia adalah peserta ujian

yang mendapat nilai:

a. A

b. B

c. Kurang dari B

Jawab:

µ = 65

σ2 = 36 sehingga σ = 6

a. Probabilitas mendapat nilai A dapat dihitung sebagai berikut.

P ( x≥75 )=P(Z ≥ 75−656 )¿ P (Z ≥1,67 )=0,50−0,4525=0,0475

b. Probabilitas mendapat nilai B dapat dihitung sebagai berikut.

P (60≥75 )=PZ ≥( 60−656<Z≤ 75−65

6 )¿ P (−0,83<Z≤1,67 )

¿0,2967+0,4525=0,7592

c. Probabilitas mendapat nilai kurang dari B dapat dihitung sebagai berikut.

P ( x<60 )=P(Z ≥ 60−656 )¿ P (Z<−0,83 )=050−0,2967=0,2033

b. Distribusi Uniform Kontinyu

Jika x variabel random yang berdistribusi uniform, jika hanya jika x mempunyai fungsi

densitas seperti berikut :

f (x) = 1b−a

= 0Untuk a ≤ x ≤ b

Dimana -∞ < X < ∞

Distribusi ini dilambangkan dengan X ~ UNIF (a,b). Distribusi tersebut dapat

digambarkan dalam bentuk grafik seperti berikut.

Gambar g2 Grafik Fungsi Densitas untuk Distribusi Uniform (a,b)

Suatu variabel bebas dikatakan terdistribusi secara seragam (uniform) apabila nilai

probabilitasnya proporsional terhadap panjang interval. Fungsi Densitas Probabilitas

Uniform:

f (x) = 1b−2

=0

untuk a < x < b

dimana

a = batas bawah interval

b = batas atas interval

Nilai Harapan (Expected Value):

E(X) = a+b2

Var(X) = ¿¿

dimana

a = batas bawah interval

b = batas atas interval

Contoh:

Buffet Slater menjual salad dan salad yang dibayar oleh para pelanggannya menyebar

secara uniform antara 5 ons sampai dengan 15 ons. Berikut ini adalah fungsi densitas

probabilitasnya:

f (x) = 1b−a = 0

Untuk a ≤ x ≤ b

Untuk x lainnya

dimana x = berat salad yang dibeli oleh pelanggan

c. Distribusi Eksponensial

Jika kejadian sukses dan distribusi probabilitas bersifat kontinyu (dalam kurun waktu

tertentu), maka distribusi probabilitas tersebut dinamakan ditribusi probabilitas

eksponensial. Jika λ merupakan jumlah rata-rata dalam kurun waktu tertentu,

probabilitas selama waktu tertentu di awal adalah:

P (T ≤ t) = 1 – e-

Nilai harapan dan varian adalah:

E(T)= 1❑ danVar (T )= 1

❑2

Contoh 1

Secara rata-rata, setiap jam ada lima permintaan perbaikan pesawat telepon yang

disampaikan melalui telepon. Dalam permulaan waktu yang dipilih secara random,

berapakah probabilitas bahwa permintaan perbaikan pesawat telepon terjadi pada

setengah jam pertama?

Jawab:

Rata-rata per setengah jam = 2,5

= rata-rata per setengah jam = 2,5

Dengan menggunakan table probabilitas eksponensial akan didapat nilai probabilitas:

P (T < 0,5) = 1- e- = 1- 0,08208 = 0,91792

Contoh 2

Dengan menggunakan ketentuan contoh 1 di atas, tentukan probabilitas setengah jam

pertama tidak terdapat permintaan perbaikan pesawat telepon

Jawab:

Dengan menggunakan tabel probabilitas Eksponensial akan didapat nilai probabilitas:

P (T > 0,5) = e = e-2,5 = 0,08208

d. Distribusi Student’s t

Untuk sampel yang besarnya (n) kurang dari 30, sering disebut dengan sampel kecil,

pendekatan distribusi normal Z semakin kurang jika n semakin kecil. Untuk itu perlu

dibuat modifikasi yang cocok. Salah satu bentuk pendekatan untuk jumlah sampel kecil

adalah Student’s t.

Jika kita mengambil sampel sebesar n dari sebuah populasi yang berdistribusi normal

(atau mendekati distribusi normal) yang memiliki rata-rata µ, dengan rata-rata sampel x

dan standard deviasi s, kita dapat menghitung nilai statistik sampel dengan

menggunakan rumus yang ditemukan oleh W.S. Gosset dan diterbitkan tahun 1908:

t= x−μs

√natau

t= x−μsx

Dengan nilai kesalahan standar rata-rata:

sx= s

√nNilai statistik sampel t yang didapat dari sampel sejumlah n data atau onyek memiliki

derajat kebebasan (degree of freedom, d.f.)(n-1).

4. Perbedaan

Berikut ini adalah tabel yang berisi mengenai beberapa jenis distribusi data yang

dilengkapi dengan perbedaan atau keunikannya (cirinya) dibandingkan jenis distribusi

yang lainnya.

Tabel h1 Beberapa Jenis Distribusi Data Diskrit dan KontinyuBeserta Perbedaan (Cirinya)

No

.Jenis Distribusi Data Perbedaan (Cirinya)

Distribusi Data Diskrit

1. Distribusi Uniform Tiap nilai variabel random memiliki probabilitas yang

sama untuk terpilih.

2. Distribusi Binomial Jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak

(berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil

percobaan memiliki probabilitas p.

Mengharuskan ketidakbergantungan dari satu

percobaan (trial) ke percobaan berikutnya. Jadi

sampling harus dilakukan pengembalian sampel.

Rasio : n/N < 5%

3. Distribusi Multinomial Dilakukan generalisasi dari distribusi binomial dengan

melonggarkan kriteria banyaknya outcome yang mungkin

sehingga jadi > 2.

4. Distribusi

Hipergeometrik

Hipergeometrik tidak mengharuskan

ketidakbergantungan, jadi sampling dilakukan tanpa

mengembalikan utcome yang sudah keluar.

5. Distribusi Poisson Percobaan yang menghasilkan variabel random X yang

menyatakan banyaknya outcome selama interval waktu

tertentu atau dalam “area” atau “luas” tertentu.

Tidak punya memori atau ingatan, yaitu banyaknya

outcome dalam satu interval waktu (atau daerah) tidak

bergantung pada banyaknya outcome pada waktu atau

daerah yang lain.

Probabilitas terjadinya 1 outcome dalam interval waktu

(atau daerah) yang sangat pendek (kecil) sebanding

dengan lama waktu interval waktu tersebut (atau luas

daerahnya). Dan tidak bergantung pada kejadian atau

outcome di luar interval ini.

Probabilitas terjadinya lebih dari 1 outcome dalam

interval waktu yang sangat pendek di poin 2 tersebut

sangat kecil atau bisa diabaikan.

Distribusi Data Kontinyu

1. Distribusi Normal Kurvanya berbentuk simetrik dan mesokurtik.

Dua parameter yang menentukan bentuk kurva normal

adalah rata-rata dan standar deviasi.

Bentuk persamaan matematis distribusi probabilitas

normal adalah:

f ( x )= 1

√2π σ 2e

−(x−μ)2

2σ2

2. Distribusi Uniform

Kontinyu

Suatu variabel bebas dikatakan terdistribusi secara

seragam (uniform) apabila nilai probabilitasnya

proporsional terhadap panjang interval.

Distribusi probabilitasnya bersifat kontinyu.

Digunakan jika dan hanya jika x mempunyai fungsi

densitas seperti berikut :

3. Distribusi Exponential Digunakan apabila terjadi kejadian sukses.

Distribusi probabilitasnya bersifat kontinyu (dalam

kurun waktu tertentu).

Jika λ merupakan jumlah rata-rata dalam kurun waktu

tertentu, probabilitas selama waktu tertentu di awal

dirumuskan sebagai: P (T ≤ t) = 1 – e-

4. Distribusi Student’s t Digunakan untuk sampel yang besarnya (n) kurang dari

30 (sampel kecil).

Merupakan salah satu bentuk pendekatan untuk

mengatasi data yang tidak dapat didekati dengan

distribusi normal Z.

Sumber:

Subiyakto, Haryono. 1994. Statistika 2, Seri Diktat Kuliah. Jakarta: Gunadarma.

Herryanto, Nar. 2009. Pengantar Statistika Matematis. Bandung: CV. Yrama Widya.

Suprianto, Hary. 2009. Pengantar Statistika Matematika. Yogyakarta: Media Graffindo Press.

Soehianie, Agoes. Analisa Data Statistik Chap 5: Distribusi Probabilitas Diskrit.

www.phys.itb.ac.id/agoess/statistik/ADS5old.ppt, diakses tanggal 1 Desember 2012.

f (x) = 1b−a

= 0 Untuk a ≤ x ≤ b