Pertemuan 1

Standar Kompetensi : Menyelesaikan masalah program linier

Kompetensi dasar : Membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan

linier

Indikator :

Pertidaksamaan linier ditentukan daerah penyelesaiannya

Sistem pertidaksamaan linier dengan 2 variabel ditentukan daerah

penyelesaiannya

Tujuan Pembelajaran :

Menjelaskan pengertian program linier

Menggambar grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier

Menggambar grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier dengan

2 variabel

Materi Ajar

A. PENGERTIAN PROGRAM LINEAR

Program linear adalah suatu cara atau metode yang digunakan untuk menyelesaikan

masalah optimasi. Dengan kata lain, program linear merupakan suatu teknik dalam mendapatkan

nilai optimum (maksimum atau minimum) suatu fungsi objektif dengan kendalakendala tertentu.

Kendala-kendala mi diterjemahkan ke dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear.

Pengetahuan nilai optimum mi sangat penting dan banyak digunakan baik dalam kegiatan

yang berhubungan dengan matematika itu sendiri maupun dalam kehidupan sehari-hari. Pada

industri misalnya, terdapat perhitungan biaya produksi, batiyak karyawan yang diperlukan atau

bahan yang diperlukan dalam produksi satu unit barang tertentu sehingga dapat diprediksi tingkat

pengeluaran dan pendapatan yang diperoleh. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut mi.

Misalkan perusahaan memproduksi dua jenis komponen. Untuk memenuhi permintaan pasar,

perusahaan mungkin akan menemui hambatan berupa persediaan bahan baku yang terbatas,

banyak komponen yang mampu diproduksi, biaya produksi untuk tiap komponen, atau kendala

lainnya.

Dengan kendala in bagaimana perusahaan mengoptimumkan keuntungannya? Disinilah peran

program linear untuk menyelesaikan permasahan-permasalahan tersebut. Dengan fungsi sasaran

(objektif) yang diketahui, maka dapat diketahui teknik produksi optimal yang dapat dilakukan

perusahaan.

B. GRAFIK HIMPUNAN PENYELESAIAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR

Sebuah model masalah program linear yang dinyatakan dalam dua variabel dapat

diselesaikan dengan grafik yang merepresentasikan kedua variabel tersebut. Pendekatan solusi

masalah dengan grafik sangat membantu terutama dalam melihat dan memahami kendala-

kendala dan fenomena yang mungkin terjadi dalam penyelesaian masalah mi.

1. Grafik Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Sebagaimana diketahui bahwa pertidaksamaan merupakan kalimat matematika terbuka yang

memuat (atau yang dihubungkan dengan) tanda pertidaksamaan, yaitu <, ≤, >, ≥, dan #. Untuk

mempermudah penyajian pada diagram Cartesius, variabel dinyatakan dalam x atau y.

Contoh:

a. a.x≥ 1

Gambar terlebih dahulu garis x = 1, lalu tentukan daerah himpunan penyelesaian yang

memenuhi x ≥ 1.

Menggambarkan grafik pertidaksamaan linear satu variabel seperti di atas dapat membantu kamu

menggambarkan grafik pertidaksamaan linear dua variabel.

Soal

Pertemuan 2

Standar Kompetensi : Menyelesaikan masalah program linier

Kompetensi dasar : Membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan

linier

Indikator :

Pertidaksamaan linier ditentukan daerah penyelesaiannya

Sistem pertidaksamaan linier dengan 2 variabel ditentukan daerah penyelesaiannya

Tujuan Pembelajaran :

Menjelaskan pengertian program linier

Menggambar grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier

Menggambar grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier dengan

2 variabel

Materi Ajar

2. Grafik Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Sebagian besar masalah program linear dihadapkan dengan kendala yang berbentuk

sistem dan pertidaksamaan linear dua variabel. Solusi yang tergambar dapat merepresentasikan

solusi optimisasi yang dicari.

Pertidaksamaan linear dua variabel adalah pertidaksamaan yang memuat dua vaniabel,

misalnya x dan y. Bentuk pertidaksamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk:

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel ini dapat disajikan pada koordinat

Cartesius. Perhatikan contoh berikut.

Dengan demikian, daerah penyelesaian merupakan daerah yang diraster.

Soal

Pertemuan 3

Standar Kompetensi : Menyelesaikan masalah program linier

Kompetensi dasar : Membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan

linier

Indikator :

Pertidaksamaan linier ditentukan daerah penyelesaiannya

Sistem pertidaksamaan linier dengan 2 variabel ditentukan daerah

penyelesaiannya

Tujuan Pembelajaran :

Menjelaskan pengertian program linier

Menggambar grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier

Menggambar grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier dengan

2 variabel

Materi Ajar

3. Grafik Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel terdiri dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dua

variabel.

Untuk menggambarkan himpunan (daerah) penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut,

masing-masing pertidaksamaan dibuat penyelesaiannya dan diletakkan pada satu sistem

koordinat Cartesius. Himpunan penyelesaiannya merupakan irisan dan masing-masing

penyelesaian pertidaksamaan tersebut.

Soal

Pertemuan 4

Standar Kompetensi : Menyelesaikan masalah program linier

Kompetensi dasar : Menentukan model matematika dari soal ceritera (kalimat verbal)

Indikator :

Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke kalimat matematika

Kalimat matematika ditentukan daerah penyelesaiannya

Tujuan Pembelajaran :

Menjelaskan pengertian model matematika

Menentukan apa yang diketahui dan ditanyakan

Menyusun sistem pertidaksamaan linier

Menentukan daerah penyelesaian

Materi Ajar

MODEL MATEMATJKA

Masalah-masalah program linear dalam bidang teknik, perdagangan maupun dalam

kegiatan perindustrian akan lebih mudah diselesaikan jika permasalahan tersebut diterjemahkan

terlebih dahulu ke dalam pernyataan matematika. Pernyataan matematika mi menggunakan

variabel (peubah) dan notasi matematika. Dengan mi akan diperoleh suatu model matematika.

Pada umumnya pemodelan matematika melibatkan banyak variabel dan tidak linear,

tetapi pada bahasan mi pemodelan yang akan dibuat hanya melibatkan dua variabel dan model-

model yang linear. Perhatikan ilustrasi pemodelan berikut mi.

Contoh :

1. Seorang pemilik toko sepatu hendak menjual dua jenis sepatu, yaitu sepatu untuk anak-anak

dan dewasa. Rata rata harga beli sepasang sepatu untuk anak-anak adalah Rp50.000,00 dan

sepatu dewasa RplOO.000,00. Etalase yang tersedia hanya dapat menampung 80 pasang sepatu

dan modal yang tersedia Rp5.000.000,00. Keuntungan yang diperoleh pada tiap penjualan adalah

Rp 10.000,00 dan Rp15.000,00 masing-masing untuk sepatu anakanak dan dewasa. Buatlah

model matematika untuk memaksimumkan keuntungan dan penjualan tersebut.

Jawab:.

Misalkan, banyak sepatu anak-anak: x pasang banyak sepatu dewasa: y pasang

Pemyataan di atas dapat dibuat dalam tabel seperti berikut.

Soal

Pertemuan 5

Standar Kompetensi : Menyelesaikan masalah program linier

Kompetensi dasar : Menentukan nilai optimum dari sistem pertidaksamaan linier.

Indikator :

Fungsi obyektif ditentukan dari soal

Nilai optimum ditentukan berdasar fungsi obyektif

Tujuan Pembelajaran :

Menentukan fungsi objektif

Menentukan titik optimum dari daerah himpunan penyelesaian sistem

pertidaksamaan linier

Menentukan nilai optimum dari fungsi obyektif

Materi Ajar

NILAI OPTIMUM FUNGSI OBJEKTF

Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari bagaimana menerjemahkan

masalah program linear ke dalam model matematika dan menentukan fungsi objektifnya.

Selanjutnya adalah menyelesaikan masalah tersebut yakni dengan menentukan nilai optimum

(maksimum atau minimum) fungsi objektif.

Perhatikan kembali contoh-contoh pada hal. 156 sub bab sebelumnya. Pada contoh 1,

sasaran yang dituju adakh menentukan besar keuntungan maksimum yang dapat diperoleh,

sedangkan pada contoh 2 adalah menentukan biaya minimum yang dapat dikeluarkan.

Untuk menentukan nilai-nilai mi, kita dapat menyelidiki nilai fungsi objektif pada titik-

titik pojok daerah penyelesaian. Metode mi disebut au titik pojok.

Langkah-langkah yang ditempuh dalam menggunakan uji titik pojok antara lain:

a. Ubah persoalan verbal (kalimat matematika) ke dalam model matematika (sistem

pertidaksamaan) dan tentukan fungsi objektifnya.

b. Gambar daerah penyelesaian (daerah feasible) sistem pertidaksamaan yang diperoleh

pada langkah a.

c. Identifikasikan dan tentukan titik koordinat dan setiap titik pojok pada daerah

penyelesaian.

d. Hitung nilai dan bentuk objektif (syarat untuk maksimum atau minimum) yang

bersesuaian dengan titik pojok yang diperoleh sebelumnya sehingga didapatkan nilai

optimum (maksimum atau minimum).

Contoh :

Soal