Typeset by FoilTEX

Materialy so zapornym indexom lomu

Peter MarkosKatedra fyziky FEI STU Bratislava

07. 04. 2009

AbstractMaterialy so zapornym indexom lomu (Left-handed materialy) su umelo

vyrobene struktury, ktore maju v nejakom intervale frekvenciı zapornu

elektricku permitivitu aj magneticku permeabilitu. Popısem zakladne fyzikalne

(elektromagneticke) vlastnosti takychto materialov, ich strukturu a moznosti ich

praktickeho vyuzitia.

– Typeset by FoilTEX –

Peter Markos: Materialy so zapornym indexom lomu FMFI, 07. 04. 2009

Uvod: Elektromagneticke vlny v materialnom prostredı

Sırenie EM vln patrı k najzaujımavejsım a najcastejsie studovanym javom v prırode a

predovsetkym v technickej praxi. Manipulacia s EM vlnami je zaujımava a dolezita. Vyvoj

v poslednych rokoch: fotonicke krystaly, kompozity, metamaterialy.

Ciel’: vyrobit’ nove materialy, s vhodnymi vlastnost’ami.

Zaujıma nas: prechod vlny materialom, absorbcia, odraz . . .

– Typeset by FoilTEX – 1


Sırenie elektromagnetickej vlny v materiali

Vlnova rovnica:"

k2 − ω2

c2ǫµ

#

E = 0

Vlnovy vektor:

k2 =ω2

c2ǫµ

Sırenie EM vlny teda determinuje permitivia a permabilita materialu:

ǫ(ω), µ(ω). Obe zavisia od frekvencie.



Permitivita a permeabilita

V dielektrikach je permitivita aj permeabilita kladna, preto k2 = ǫµω2/c2 > 0.

ǫ a µ urcuju vlastnosti EM vlny:

fazova rychlost’: vphase = ω/k

grupova rychlost’: vg =∂ω

∂k

index lomu: n =√

ǫµ

impedancia: z =p

µ/ǫ

Poyntingov vektor: ~S = ~E × ~H; S =z

2|H|2.

Odmocniny naznacuju, ze je dobre, ak je ǫ > 0 aj µ > 0.



Co sa stane, ak ǫ alebo µ je zaporne?

Odpoved’: µ < 0 sa v prırode nevyskytuje. Mame µ > 1 (feromagnetika), µ < 1

(diamagnetika), ale vzdy µ > 0.

ǫ < 0 sa vyskytuje casto - naprıklad v kovoch.

Veselago: Neexistuje fyzikalny dovod, preco by propagacia elektromagnetickych vln

vyzadovala, aby ǫ a µ museli byt’ kladne.

k2 =ω2

c2ǫµ

Zaporne hodnoty ǫ < 0 a µ < 0 umoznuju propagaciu rovnako dobre ako kladne.



Veselago

ǫ > 0

ǫ > 0

ǫ < 0

ǫ < 0

µ > 0 µ > 0

µ < 0 µ < 0

V rovine ǫ, µ su dva kvadranty, v ktorych je sırenie EM vlny mozne.



Materialy so zapornym ǫ aj µ ???

Otazky:

• Mali by tieto materialy ine vlastnosti, ako bezne materialy?

• Vieme zostrojit’ materialy so zapornym ǫ aj µ ?



Pravidlo l’avej ruky (Left-handed rule)

k × E =ω

cµH k × H = −ω

cǫE (1)

x

z

y

ǫ > 0 µ > 0 ǫ < 0 µ < 0

~S ~k

~E

~H

~S~k

~E

~H

Left-handedness: orientacia vektorov ~E, ~H a ~k je dana pravidlom l’avej ruky.

Poyntingov vektor: ~S = ~E × ~H - smer toku energie

~k ∝ ǫ ~E × ~H vektory ~k a ~S su antiparalelne: ~k.~S < 0

Opacny smer grupovej a fazovej rychlosti: vphase < 0, vgroup > 0.



Index lomu n

Fyzikalne poziadavky:

ni > 0 a zr > 0

n = nr + ini =√

ǫµ

ǫ = |ǫ|eiφǫ

µ = |µ|eiφµ

n = |n|eiφn

φn = 12(φǫ + φµ)

ǫµn

Real

Imag

Ak ǫr < 0 aj µr < 0, potom musı byt’ nr < 0. Preto LHM maju zaporny index lomu:

nr < 0.



Jednoduche dosledky zaporneho indexu lomu

ǫ1 > 0 µ1 > 0 ǫ2 < 0 µ2 < 0

~S

~k+1

~k−1

~k+2

~E+1

~E−

1

~E+2

~H+1

~H−

1

~H+2

bc

bc

bc

×

x

zθ1

θ2

Zaporny lom EM vlny na rozhranı

sin θ1

sin θ2

=n2

n1

< 0



Planarna vrstva ako “sosovka” (Veselago)

a a+b b

n = 1.3 n = −1

Vrstva s indexom lomu n = −1 sustredı vsetky luce do jedneho bodu.

Poloha ohnısk je dana sırkou LH vrstvy.



� Left-handed Left-handed Right-handed Right-handed

SourceSource SourceSource

n=-1 n=1.52

n=1

n=1

n=1

n=1

Left-handed media as flat Left-handed media as flat lenseslenses



Opacny Dopplerov jav

Pretoze fazova rychlost’ vln v LHM prostredı je zaporna, pozorovali by sme v LHM mediu

opacny Dopplerov jav.



Vlastnosti permitivity a permeability

(1) ǫ a µ su vo vseobecnosti komplexne tenzory. (Ak material nie je izotropny, tak odozva

v jednotlivych smeroch bude ina).

ǫ = ǫr + iǫi, µ = µr + iµi.

Vzdy musı byt’ ǫi > 0 aj µi > 0. Dovod: absorbcne straty, Q ∝ ǫi|E|2 + µi|H|2 musia

byt’ kladne.

(2) Index lomu, n =√

ǫµ, tiez moze byt’ komplexny: n = nr + ini. Vzdy musı byt’

ni > 0.

Dovod: EM pole, E ∝ eikx = eiωnx/c musı klesat’ v absorbcnom prostredı (nesmie rast’).

(3) Impedancia, z =p

µ/ǫ, je tiez komplexna. Realna cast’, zr, musı byt’ kladna.

Dovod: zr je umerna energii sıriacej sa EM vlny |S| =zr

2|H|2 = |S| =

1

2zr

|E|2.



Permitivita.

Permitivita urcuje odozvu na vonkajsie elektricke pole ~D = ǫ ~E.

ǫ = ǫr + iǫi

Realna cast’ permitivity je kladna, ǫr > 0 a platı

ǫi

ǫr

≪ 1

Imaginarnu cast’ mozeme casto zanedbat’: ǫi ≈ 0. ǫr ∼ 1 − 10.

Realna cast’ len slabo zavisı od frekvencie vlny.



Permitivita: kovy

102

103

104

ν [THz]

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

10-4

10-2

100

102

104

106

-2

-1

0

1

εi

εr

ν=νp

10−10εi

10−5εr

Drudeho formula:

ǫ(ν) = 1 −ν2

p

ν2 + iνγ

νp . . . plazmova frekvencia

νp ≈ 2000 THz (λp ≈ 150 nm)

γ ≈ 5 − 10 THz

1 GHz= 10−3 THz

10 GHz = 5 × 10−6νp



Ako vyrobit’ material so zapornym indexom lomu?

V prırode sa nic take nevyskytuje.

Napad 1: Kompozity: “zlozenie viacerych materialov so rozlocnymi permitivitami a

permeabilitami. Toto nestacı.

Napad 2: struktury s kovovymi zlozkami. Elektromagneticka vlna bude v kove indukovat’

prudy - tie by mohli zmenit’ znamienko permeability.

Napad 2 je inspirovany prırodou: frekvencna zavislost’ permitivity je dana rezonanciou

materialu. Pokial’ frekvencia vlny ω suhlası s niektorou vlastnou frekvenciou materialu, tak

ocakavame rezonanciu a “prekmit” pol’a do zapornych hodnot.

Strategia: hl’adajme struktury, ktore maju elektricku aj magneticku rezonanciu.



Materialy so zapornou permitivitou I.

Jednorozmerny system: periodicka struktura zlozena z tenkych kovovych platnı. V kove sa

EM vlny sırit’ nemozu - preto tenke kovove vrstvy funguju ako “nekonecne vysoke” bariery.

Jedina moznost’: Intenzita EM vlny v mieste, kde lezı kovova platna, je takmer nulova.

Vzdialenost’ medzi platnami ℓ preto urcuje, ktore vlny systemom prejdu:

k⊥ℓ = π × n, n = 1, 2, . . .



Disperzny vzt’ah:

k2‖ + k2

⊥ =ω2

c2

dava povolene hodnoty frekvencie vlny:

0.01 0.005 0.005 0.010k

x/k

p

0

0.005

0.01

ω/ω

pTETM

Najmensia povolena frekvecia je dana vz’tahom k⊥ℓ = π a teda ω′p = 2πc

λ′p= πc

ℓ .

ω′p je nova “plazmova frekvencia”.



Ak ℓ = 3 cm, potom ν ′p =

ω′p

2π = 5 GHz.

To je podstatne menej, ako νp ≈ 2000 THz v prıpade kovu.

Dalsia vyhoda: material je “prazdny” - mozeme don vkladat’ d’alsie zlozky a tak menit’

jeho vlastnosti.



Materialy so zapornou permitivitou II.

Mriezka tenkych kovovych tyciek: [r = 15µm, a = 5 mm, r/a = 0.003]

2r

x

zy

a

0 5 10 15ω

0

0,1

0,2

Abs

orpt

ion

4 6 8 10 12ω

-15

-10

-5

0

5

Effe

ctiv

e pe

rmitt

ivity

Medium s efektıvnou permitivitou (Pendry, Soukoulis, Sarychev, Shalaev, Efros)

ǫ(ν) = 1 −ν2

p

ν2, νp =

c/ap

2π ln a/r.

Pozor anizotropia: ~E musı byt’ rovnobezne s tyckami, inak ǫ ≡ 1.



Material so zapornou permeabilitou

Preruseny kovovy prstenec v priecnom magnetickom poli.

d

l

w

t

C

L

Vonkajsie magneticke pole indukuje prud, ktory ale nemoze cirkulovat’.

Analogia s LC obvodom:

C = ǫ0ǫC

wt

dL = µ0

l2

tωLC =

1√LC

=1

√ǫ0µ0ǫC

r

d

wℓ2



Mriezka prerusenych prstencov

axa

z

ay

Vonkajsie magneticke pole Hz = H0zeiωt indukuje na kazdom prstenci napatie Uind:

UL + Uc = Uind, L∂I

∂t+

1

C

Z

dtI = −∂φ

∂tmagneticky tok φ = µ0ℓ

2H.



Derivujem:

L∂2I

∂t2+

1

CI = −µ0ℓ

2∂2H

∂2t

H = H0eiωt, I = I0e

iωt

Takze dostaneme rezonancny vzt’ah medzi prudom a vonkajsım pol’om:

(−ω2+ ω

2LC)I0 = −µ0ℓ

2

LH0 = tH0

Magnetizacia: od jedneho prstenca:

M = M0eiωt, M0 =

µ0

2ℓI0



Kombinaciou tychto rovnıc dostaneme

M0 = µ0

Fω2

ω2LC − ω2

H0

F . . . bezrozmerny parameter. Po uvazenı prıspevkov vsetkych prstencov F =ℓ2t

axayaz

.

B0 = µ0H0 + M0 = µ(ω)H0 = µ0

"

1 +Fω2

ω2LC − ω2

#

H0

Poznamka: Ak zatvorım prstenec, dostanem ωLC ≡ 0 a µ = 1 − F - zatvoreny prstenec

ma diamagneticku odozvu, ako aj ocakavame.



Mriezka prerusenych prstencov

axa

z

ay

Pravidelna mriezka prerusenych prstencov vytvorı medium s efektıvou permeabilitou.

Permeabilita moze byt’ pre niektore frekvencie zaporna.



Zaporna permeabilita

µ(ω) = 1 +Fω2

ω2LC − ω2

ωLC =1

ℓ

c√

ǫC

r

d

w

Vd’aka rezonancii mame interval

frekvenciı, kde µ < 0:

ωLC < ω <ωLC√1 − F

d

l

w

t

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6ν/νLC

-40

-20

0

20

40

Real

Imag µ

µ



SRR - split ring resonator

Pokles transmisie v okolı rezonancnej frekvencie, kde je µ < 0, ale ǫ > 0.



Odhad rezonancnej frekvencie

ωLC =1

ℓ

c√

ǫC

r

d

w

- hrubka kovovej vrstvy t = 16µm

- vonkajsı kovovy “prstenec” s polomerom

ℓ = 3 mm

- w = 0.5 mm, d ≈ 0.1 mm

d

l

w

t

ωLC ≈ 5 × 1010 νLC =ωLC

2π≈ 8 GHz λLC = 3.75 cm λLC/ℓ ≈ 10

Dolezite je, ze vel’kost’ prstenca je podstatne mensia, ako rezonancna frekvencia.



Efektıvne parametre a struktura

Materialu mozeme pripısat’ efektıvne parametre len vtedy, ak vlnova dlzka EM vlny je

podstatne vacsia, ako priestorove nehomogenity ℓ.

Prıklad: sklo, alebo ine dielektrika: nehomogenity ∼ vzdialenost’ atomov. Vlnova dlzka

viditel’neho svetla

λ ∼ 400 − 700 nm

Pokial’ λ ∼ ℓ, dochadza k Braggovym rozptylom a vzniku pasovej struktury. Permitivita

a permeabilita straca vyznam, prechod vlny je urceny uplne inym mechanizmom.





First Left-Handed Test Structure

UCSD, PRL 84, 4184 (2000)



First experimental verification of a NIM

Wires aloneε<0

Frequency (GHz) UCSD, PRL 84, 4184 (2000)

-50 dB

0 dB

Wires alone

Split rings aloneµ<0

ε<0

µ<0ε<0 SRRs only

Wires onlySRRs&wires



Dvojrozmerne LH stuktury

Umoznuju transmisiu v horizontalnej rovine. [D. R. Smith et al.]









Vlastnosti LHM

Permitivita: ǫ(ν) = 1 −ν2

p

ν2

Permeabilita: µ(ν) = 1 +Fν2

ν20 − ν2

Existuje interval frekvenciı, v ktorom su oba parametre sucasne zaporne.



Struktura realistickej elementarnej bunky

- dielektricka podlozka (ǫ = 3)

- vonkajsı kovovy “prstenec” s polomerom 3

mm

- hrubka kovovej vrstvy 16 µm

- rezonancna frekvencia νp ≈ 10 GHz

- vlnova dlzka EM vlny: λ =2π

νp

≈ 3 cm

- vel’kost’ elementarnej bunky: a ≈ 3.3 mm

- pomer λ/a ≈ 10

Pomer λ/a je kl’ucovy - material je mozne

povazovat’ za homogenny, len ak λ/a ≫ 1 -

len potom je mozne zaviest’ efektıvne parametre

ǫeff a µeff.X Z

Y



Niektore d’alsie vlastnosti LHM

(1) Povrchove vlny na rozhranı LHM - vzduch:

0 0.5 1 1.5 2k

x/k

p

0

0.2

0.4

0.6

ω/ωp

TE wave

TM wave

TM wave ω/ω0/√

1 − F

ω/ω0

LHM umoznuje excitaciu povrchovych vln oboch polarizaciı (doteraz len TM na rozhranı

kov - dielektrikum).



Rozlisovacia schopnost’ sosovky

∆ λ

Na to, aby som rozlısil male detaily,

potrebujem elektromagneticku vlnu

malej vlnovej dlzky.

Ale λ = 2π/k,

kde k2 =ω2

c2.

Vlna frekvencie ω mi preto nerozlısi

detaily mensie ako je

∆ ∼ λ ∼ ω/c.



Povod rozlisovacej limity

Na odlısenie detailov potrebujem malicku vlnovu dlzku v smere x. Rozlozım preto

ω2/c2 = k2x + k2

z. (2)

kx moze byt’ l’ubovol’ne vel’ke, ale za cenu toho, ze k2z bude zaporne:

k2z = ω

2/c

2 − k2x (3)

a preto kz = iκ. Taka vlna sa nemoze priestorom vol’ne sırit’, lebo exponencialne zanika.

E(x, z) = eikxx+ikzz

= eikxx

e−κz

Evanescentna vlna

Takato vlna je nam nanic, neda sa vyuzit’ na rekonstrukciu obrazu.



Principialna odlisnost’ v left-handed materialoch:

LHM vrstva zosilnuje vstupujuce evanescentne vlny.

z0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

E(z)

a bl=a+b

Preto vrstva z left-handed materialu sustredı do druheho ohniska nielen vsetky komponenty

s realnym vlnovym vektorom, ale aj vsetky evanescentne vlny. Ich zlozenım vznikne

kompletny obraz zdroja.



∆ λkz

kx

k

ǫ = µ = 1 ǫ = µ = −1 ǫ = µ = 1

a ℓ = a + b b

Ak teda polozım medzi zdroj a obraz planarnu vrstvu z LHM, podarı sa mi zrekonstruovat’

kompletny obraz, bez akejkol’vek zobrazovacej chyby.

Toto je, samozrejme, teoreticky prepdoklad, realny zivot je iny (mame absorbcne straty,

disperziu, neidealne povrchy . . . ) Ale podstatne je, ze sa ukazuje moznost’ vytvorit’

sosovku, ktora by mala zobrazovaciu chybu napr. polovicnu v porovnanı s klasickou.



Cloaking

Ak urobıme material, ktoreho index lomu sa bude spojite menit’ v priestore, mozeme

“zneviditel’nit’” cast’ priestoru:



Objekt je “obaleny” spiralou, na ktorej su nanesene prstence s meniacim sa polomerom.



Od GHz k THz a 1000 THz: Problemy

Prve LHM vzorky boli “makroskopicke” - typicka vel’kost’ elementarnej bunky bola 3 mm,

vlnova dl’zka ∼ 3 cm.

Pre vyssie frekvencie potrebujeme stale mensie vzorky: vel’kost’ elementarnej bunky klesa:

10 GHz vs 3 mm

10 THz vs 3µm

100 THz vs 300 nm

1000 THz vs 30 nm

Situacia je este horsia, lebo elementarna bunka bude totalne vyplnena dielektrikom, co

znızi rezonancnu frekvenciu faktorom√

ǫ.



Od GHz k THz a 1000 THz: Problemy

Drasticka zmena EM vlastnostı kovu:

Permitivita kovu:

10 GHz ǫ = −100 000 + 10 000 000 i

100 THz ǫ = −20 + 3 i

Hlbka vniku:

10 GHz: δ ∼ 700 nm = 0.7 µm, ale hrubka

nanesenej kovovej vrstvy je 17 µm (EM pole

temer nevnika do kovu)

100 THz δ ∼ 22 nm, co je porovnatel’ne s

rozmermi kovovych sucastı (nielen s hrubkou).

Preto sa daju ocakavat’ vel’ke straty.

10-8

10-6

10-4

10-2

100

102

ω/ωp

0.1

1

10

100 δ=κ−1

/ωp

ω=ωpω=γ

c

Hlbka vniku δ: v oblasti viditel’neho

svetla

δ ≈ c/(2πνp) = 22 nm

V oblasti GHz (1010 Hz) δ ∼ 700 nm

a

δ ∝ ω−1



Od GHz k THz: Shalaev et al.

Par kovovych tyciek vytvara medium so zapornym efektıvnym n′ < 0. Ale . . .



Od GHz k THz: Shalaev et al.

. . . ide skor o silno absorbcne medium, nie o LH: ni/|nr| ∼ 5.



Magnetizmus pri THz frekvenciach (Grigorenko)





The progress of scaling metamaterials

Advances in scaling metamaterials with artificial magnetic response for high-frequency structures has been rapid. The 1, 6 and 100 THz models were fabricated in 2004, and the 200 THz in 2005.



Solid symbol n<0 Open symbol µ<0

Science Jan 5, 2007



Magnetic response at 100 THz almost optical frequencies

Univ. of Karlsruhe, & Ames Labλ~10 a Science, Nov 19, 2004





Different designs used in fabricating LHMs with negative µ and n



Redukcia strat

Pomer |nr|/ni > 5 . . . ale neviem, ci je dostacujuci pre prakticke aplikacie.

Valentine et al. Nature 455 (2008): |nr|/ni ∼ 15 pri λ = 1700 nm. Experiment:

|nr|/ni ≈ 3.



Fotonicke krystaly

Zaporny lom EM vlny bol predpovedany, popısany aj experimentalne merany na rozhranı

vzduch - fotonicky krystal.

Vyhoda: mensie absorbcne straty (pouzıvaju sa len dielektricke materialy).

Nevyhoda: nepozoruje sa povrchova vlna, co nasvedcuje, ze efektıvne parametre nemenia

znamienko - asi nepojde o “prave” LHM (nie je iste, ci sa budu zosilovat’ evanescentne

vlny)



Zaporny lom EM vlny - schema



Zaporny lom EM vlny - experiment







Subwavelength resolution ??



LH materialy na baze dielektrık s vel’kou permitivitouKov mozno nahradi’t dielektrickym materialom s obrovskou permitivitou, napr.

Ba0.5Sr0.5TiO3 ǫ ≈ 600.



Nejde o efekt periodicity, pretoze podobne vysledky dostali aj pre nahodne rozmiestnene

tycky.



Zaver

• Materialy so zapornym indexom lomu existuju na GHz frekvenciach.

• Anizotropia - nepodarilo sa vyrobit’ izotropne 3D systemy - v sucasnych zavisı LH

sırenie EM vlny od smeru sırenia a od polarizacie.

• GHz frekvencie su OK, THz s problemami, predovsetkym preto, ze

- vlastnosti LH struktur sa neskaluju s frekvenciou,

- straty sposobene absorbciou v kovovych komponentoch.


Documents

Typeset by FoilTEX