U3 4to CSJF 2020...9. Calcular analíticamente las raíces de las siguientes funciones cuadráticas. Verificar graficando con a. ffxxx:/ 56 2 Fórmula de Bhaskara o Resolvente 2 1;2

Unidad No. 3: Función Cuadrática

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Armado y diseño de la unidad: Prof . Andrea Gandolf i

Página web: http://acgandolf i .wix.com/matematica

Unidad No. 3

Función

Cuadrática

Nombre: ………………………….………………

4to. año-2020

Casa Salesiana

Juan Segundo Fernández


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CJSF 4to. Año


Pág. 1

Unidad 3: Función Cuadrática

1. Escribe en el comando o entrada del la siguiente fórmula, 2y ax bx c . Te van a aparecer tres deslizadores uno correspondiente a “a”, “b” y “c”.

En la compu aparecerá así:

En el celu aparecerá así:

a. Analicemos que pasa con la función cuando hacemos variar el valor de a: Mueve el deslizador a y observa que pasa con la función.

i. ¿Qué pasa con la parábola cuando movemos el valor de “a”? ¿Qué pasa con las ramas de la parábola a medida que el valor de a va aumentando?

ii. Si a=0, ¿es una función cuadrática? ¿Por qué?

iii. ¿Qué pasa con las ramas de la parábola cuando a es positivo? ¿Si “a” es negativo?

b. Analicemos que pasa con la función cuando hacemos variar el valor de “b”, mueve el

deslizador b y observa que pasa con la función.

i. ¿Qué pasa con el vértice de la parábola cuando movemos el valor de “b”?

ii. ¿Cómo es el desplazamiento de la parábola cuando “b” es positivo? ¿Si “b” es negativo?

iii. ¿Dónde se ubica el vértice cuando b=0?

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c. Analicemos que pasa con la función cuando hacemos variar el valor de “c”, mueve el deslizador c y observa que pasa con la función.

i. ¿Qué pasa la parábola cuando movemos el valor de “c”? ¿Qué tipo de desplazamiento tiene?

ii. ¿Qué relación podes encontrar entre el valor de “c” y la ordenada al origen?

iii. ¿Dónde se ubica el vértice cuando c=0?

Características de la Función Cuadrática

Una función es cuadrática, si se expresa de la forma, 2: /f A B f x ax bx c con 0a siendo

" "," " " "a b y c son números reales y su gráfico es una curva que se llama parábola.

1. Completar la siguiente tabla:

Función : Término

cuadrático “a”

Término lineal “b”

Término independiente

“c” ¿Está completa?

22 3 1R t t t 2 3 1 Si!, porque b y c

son distintos de 0

22f r r

29 2g v v

27 3,5X u u u

2 20f r r r

2f x ax bx cTérmino

Lineal

Término

Independiente

Término

Cuadrático

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Características de la función Cuadrática:

2. Identificar cada fórmula con su gráfico. Justificar.

2f x x 22g x x 22h x x 20,4j x x 20,5i x x

3. Utilizando el , realiza el gráfico de las siguientes funciones cuadráticas de la forma: 2f x ax bx , completar la tabla y sacar conclusiones.

Forma Polinómica 2( )f x ax bx c

2( ) 2 3f x x x

Forma Factorizada 1 2( ) ( )f x a x x x x

( ) 1. 1 ( 3)f x x x

Forma Canónica

2( ) v vf x a x x y

2( ) 1 4f x x

Concavidad

,

Raíces 0C

Forma factorizada Eje de simetría

Vértice

;v vx y Ordenada al origen

2 4f x x x 0;4 1 4f x x x 2x 2; 4

2 4g x x x

2 3i x x x

23 6g x x x

¿Cuáles son las coordenadas del vértice de las funciones cuya fórmula es 2f x ax ?

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4. Utilizando el realiza el gráfico de las siguientes funciones cuadráticas de la forma: 2f x ax bx c , completar la tabla.

5. ¿Qué relación podes encontrar entre la coordenada x del vértice ( vx ) y las raíces?

Grafica y analiza las siguientes funciones cuadráticas. Calcula analíticamente las raíces y vértice. a. 2: / 3g g x x

b. 2: / 9 1t t p p

Concavidad

,

Raíces 0C

Forma factorizada

Eje de simetría

Vértice

;v vx y

Ordenada al origen

2 4f x x x

22 4 3f x x x

22g v v

22 2 2g v v

2 3i t t t

2 3 4i t t t

0

/ :Im

:

Dom

Eje deSVérticeCCCII

ejeodForma Factorizada: Forma Canónica:

0

/ :Im

:

Dom

Eje de SVérticeCCCII


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c. 2: / 3i i k k k

d. : / 1 3h h u u u

6. Grafica y analiza las siguientes funciones cuadráticas incompletas. Calcula analíticamente las raíces y vértice.

a. 2: / ( ) 1f f x x

0

/ :Im

:

Dom


ejeod

Forma Factorizada: Forma Canónica:

0

/ :Im

:

Dom


ejeod


0

/ :Im

:

Dom



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b. 2: / 2h h u u

c. 2: / 2i i v v v

d. 2: / 4j j q q q

0

/ :Im

:

Dom


ejeod


0

/ :Im

:

Dom


ejeod


0

/ :Im

:

Dom



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0

2 2v

b

a bx

a

7. Analicen los siguientes gráficos y, sabiendo que los puntos marcados son simétricos, completa las coordenadas de los puntos.

Cálculo del vértice de una parábola

Para calcular el vértice de una parábola es necesario tener dos valores simétricos. Si ya sabemos las raíces

de dicha parábola, el cálculo se reduce a:

Pero si no tenemos esa información, podemos utilizar un valor de la imagen y encontrar los valores

simétricos que correspondan.

Sea 2f x ax bx c una función cuadrática, busquemos la imagen 0x :

20 0 0f a b c c , entonces decimos que 0f c

Su simétrico tendrá la misma imagen: 2 2f x c ax bx c c ax bx c c

2 00

0 0

ax bxx ax b

x ax bbxa

Entonces la coordenada del vértice, será el promedio de los valores simétricos:

Las coordenadas del vértice de una parábola son:

; ; ;2 2

v v v v

b bV x y x f x f

a a

;

;

1 2

2v

x xx

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FF FC FP

FF FC FP

FF FC FP

FF FC FP

FF FC FP

8. Calcular analíticamente las raíces y el vértice de las siguientes funciones cuadráticas. Indicar concavidad e intersección con el eje de ordenadas. Escribir en sus tres formas (factorizada,

polinómica y canónica). Verificar graficando con

a. 2: / 2 8f f x x

b. 2: / 4 3f f x x x

c. : / 3 2 4f f x x x

d. 2: / 2 1f f x x

e. : / 2 3 1f f x x x

0

/ :VérticeC

ejeod

0

/ :VérticeC

ejeod

0

/ :VérticeC

ejeod

0

/ :VérticeC

ejeod

0

/ :VérticeC

ejeod

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FF FC FP

FF FC FP

f. 2: / 2 1f f x x

g. 2: / 1 4f f x x

Si la ecuación está completa y queremos calcular las raíces de la parábola, se nos va a complicar el despeje: 2: / 2 4 6f f x x x

Resolución de ecuaciones cuadráticas

Cuando queremos resolver ecuaciones de la forma: 2ax bx c 0 (1). La idea es transformarla en otra ecuación en la que el despeje de x sea posible. Un tipo de ecuación cuadrática que es fácil de despejar es:

22 x 1 8 0 , si desarrollamos el cuadrado de binomio, nos queda de la forma (1), pero si la despejamos:

2 2 2 22 x 1 8 0 2 x 1 8 x 1 4 x 1 4 x 1 2

x 1 2x 1 2 x 1 2

x 1 x 3

Por lo tanto, tenemos que ver como poder pasar de una ecuación de la forma (1) a una ecuación de la

forma: 2 2 2 2 2

a b c

x p q 0 (2) x 2xp p q 0 x 2p x p q 0

Despejamos p y q para poder reemplazar en la fórmula (2)

2 22 2

b2p b p p2

p q c q c p q c q c q

b2a

b b2a

a

.a

a c a2

2

2

b.4a

2bq c4a

0

/ :VérticeC

ejeod

0

/ :VérticeC

ejeod

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2: / 2 4 6f f x x x

Reemplazamos en la formulo (2) los valores obtenidos:

2

2 2 2 22 2 2 2

2

2 2 2

2 2

x p q 0 (2)

b b b b b 1 b b b ca x c 0 a x c x c x2a 4a 2a 4a 2a a 4a 2a 4a a

b b c b b 4ac4x x2a 4a a 2a 4a

a4a

Por lo tanto para encontrar la/las

soluciones de una ecuaciones de la forma:

2ax bx c 0 utilizaremos:,

Ahora podemos resolver analíticamente las raíces de la función cuadrática:

9. Calcular analíticamente las raíces de las siguientes funciones cuadráticas. Verificar graficando con

a. 2: / 5 6f f x x x

Fórmula de Bhaskara o Resolvente

2

1;2b b 4acx

2a

2

2

2 2

1 2

2 2

1 2

2 2

1 2

b b 4acx2a 4a

b b 4ac b b 4acx x2a 2a 2a 2a

b b 4ac b b 4acx x2a 2a 2a 2a

b b 4ac b b 4acx x2a 2a

0C

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b. 2: / 2 3 2f f x x x

c. 2: / 2510f f x x x

d. 2: / 1f f x x x

10. Hallar la solución en de las siguientes ecuaciones:

a. 2 4 4 1x x

b. 2 6 25 9x x

0C

0C

0C

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c. 23 25 10x x

d. 136 18x xx

e. 6 91xx

f. 2 6 25 9x x

g. 2 25 20 2x x

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Graficar la siguiente función cuadrática:

2xf : /f 2x 2x 4

Raíces: x 0f 2

21b b 4ac

x ;x 2a

Eje de Simetría 1 2

v vx xbx o x

2a 2 Vértice

v v

b bV x ,y ,f2a 2a

Intersección con el eje de ordenadas. f 0

Forma Factorizada:

Forma Canónica:

0

/ :Im

:

Dom


ejeod

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11. ¿Cómo calcularías analíticamente el conjunto de positividad? ¿Con qué forma te convendría trabajar, con la polinómica, canónica, o factorizada? ¿Por qué?

12. Grafica las siguientes funciones cuadráticas encontrando: vértice, concavidad, dos pares de valores simétricos, intersecciones con los ejes coordenados, conjunto imagen, intervalos de crecimiento y decrecimiento, conjuntos de positividad y negatividad. Escribir la forma canónica, factorizada o polinómica.

a. 2: / 2 64f f x x x

Hallar analíticamente C

0

/ :Im

:

Dom


ejeodFFFCFP

Anulación del producto

0 0 0a b a b 2 0 0ax bx c

. 0 0 0 0 0

. 0 0 0 0 0

a b a b a b

a b a b a b

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b. 2: / 12f f x x x

c. 2: / 42f f x x x


0

/ :Im

:

Dom


ejeodFFFCFP

0

/ :Im

:

Dom


ejeodFFFCFP

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Pág. 16

d. : / 3 2 5f f x x x


e. 2

: / 1 3f f x x

0

/ :Im

:

Dom


ejeodFFFCFP

0

/ :Im

:

Dom


ejeodFFFCFP

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Pág. 17

13. Se lanza una pelota desde el suelo hacia arriba. La altura que alcanza la pelota (medida en metros) desde el suelo en función del tiempo (medido en segundo) viene dada por la fórmula:

2e t 5t 20t t 0

a. Grafiquen la situación.

b. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota y en qué momento lo hace?

c. ¿Después de cuánto tiempo cae la pelota al suelo?

14. Un proyectil se dispara hacia arriba, su altura sobre el suelo, t segundos después del disparo está dado por ttts 1204)( 2 , (s se mide en metros)

a. ¿Para qué intervalos de t, el proyectil asciende y para cuáles desciende?.

b. Determina el instante en el que el proyectil alcanza su máxima altura y calcúlala.

c. Calcula la altura alcanzada 5 segundos después del disparo.

d. ¿Cuánto tardó el proyectil en alcanzar una altura de 500metros?

e. Indicar el dominio y la imagen de la función en el contexto del problema.

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15. Mauro patea una pelota cuya posición en función del tiempo está dada por la fórmula tttp 183)( 2 (p es la posición en metros y t el tiempo en segundos).

a. ¿Qué altura alcanza a los 4 segundos?

b. ¿En qué tiempo alcanza la altura máxima?

c. ¿Cuánto tarda en caer?

d. Indicar el dominio y la imagen de la función en el contexto del problema

Súper Mario Cuadrático:

A partir del siguiente código CR, modifica las ecuaciones para sumar puntos y pasar de nivel.

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Pág. 19

Encontrar la fórmula de las siguientes parábolas.

a.

B.

16. Hallar las formulas de las siguientes parábolas. a.

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Pág. 20

b.

c.

17. Se sabe que las raíces de una función cuadrática son 1 4 x y 2 3x , y que pasa por el punto 1;3 .¿Cuál es su fórmula? Justificar.

18. Encuentra la fórmula de una función cuadrática cuyas raíces sean 1 2x x 5 y pase por el punto

f 1 16

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Pág. 21

Intersección entre funciones.

Hallar la intersección de las siguientes funciones;

28 8 2

( ) 2

f x x x

g x x

19. Hallar analíticamente la intersección de las siguientes funciones. Verificar con el

a. 24 12

( ) 6 9

f x x x

g x x

b. 22 8 12

( ) 3 9

f x x x

g x x

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c.

2 7 4

2 2

f x x x

h x x

d. 2

2 1 1

1( ) 4

2

f x x

g x x

e.

2

2

6 8

14 48

f x x x

h x x x

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Unidad No. 3: Función Cuadrática Pág. 23

Repaso para la evaluación

1. Indiquen si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:. Justificar cada respuesta

a. Si 23 2 1 g x x su vértice es 2;1

b. Si 2 2 3 r x x x , entonces ; 2 3; C

c. Las raíces de una función cuadrática solo se pueden hallar con la fórmula Bhaskara.

2. Calcular analíticamente las raíces y el vértice de las siguientes funciones cuadráticas. Indicar concavidad e intersección con el eje de ordenadas.

f. 2: / 5f f x x x

g. 2: / 2 2 4f f x x x

2. Calcular analíticamente las raíces y el vértice de 2: / 43f f x x x . Grafica y

completa.

0

/ :VérticeC

ejeod

0

/ :VérticeC

ejeod

0

/ :Im

:

Dom


ejeodFFFCFP

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Unidad No. 3: Función Cuadrática Pág. 24

3. Hallar analíticamente el conjunto de positividad( C )de la función del punto 2

4. Hallar analíticamente la intersección de las siguientes funciones. Verificar con el

a. 2 4 3

( ) 1

f x x x

g x x

3. Hallar la fórmula de la siguiente parábola.

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