U3.Transporte Asignacion y Redes

Matemáticas

8° Semestre

Investigación de Operaciones

Unidad 3. Transporte,Asignación y Redes

Clave

05144843

Universidad Abierta y a Distancia de México

UnADM | DCEIT | MT | MIOP 1

Unidad 3. Transporte, asignación y redes

Índicegeneral

Introducción ................................................................................................................................................. 2

1.1. Problema de Transporte ................................................................................................................... 3

1.2. Problema de Asignación .................................................................................................................. 10

1.3. Problema de la ruta más corta ......................................................................................................... 16

1.4. Problema de flujo máximo, cortadura ínima .................................................................................... 19

1.5. Glosario ........................................................................................................................................... 24

Bibliografía ....................................................................................................................................... 27

UNADM | DCEIT | MAT | MIOP 2


Introducción

LosproblemasdeTransporteyAsignaciónsurgenenvarioscontextosytienenunaestructurade redes importante.Estosproblemas sepueden resolver aplicandoprogramación lineal, sinembargo,pornoserunmétodoeficienteyporlaestructuradistintadeestosproblemassehanpropuestodiversosmétodosparasusolución.

Aquí se presenta el método húngaro para resolver el problema de Asignación y para el problema de Transporte el método stepping-stone. Para resolver los problemasde la ruta més corta y el flujo máximo se aplican los métodos de Dijkstra y FordFulkerson, respectivamente.

Aunquelosconceptosabordadosenestaunidadtienenrelaciénconlasunidadesanteriores,elanálisisdelosproblemasesuntantoindependiente.



Transporte, Asignación y Redes

1.1. ProblemadeTransporte

El problema de transporte se presenta rutinariamente en problemas de distribución deproductos entre varios orígenes (fábricas) y diferentes destinos (almacenes). Generalmente, setienenmlugaresdeorigen,cadaunotieneciertadisponibilidaddeproductosysetienenndestinosconsucorrespondientedemanda.Enlaredasociadaalproblemadetransporte,cadaarcoqueuneelorigeniconeldestinoj,(i,j),tieneuncostoasociadocijporcadaunidaddeproductoenviada.Elproblemaesdeterminarlascantidadesdeproductoatransportarentrelosorígenesylosdestinossatisfaciendolademandayminimizandoelcostototaldetransporte.

Lascaracterísticasdelared,G=(N,A),asociadaalproblemasonlassiguientes:(1)esunareddirigidaconcostoscijasociadosacadaarco(i,j)enA;(2)elconjuntoNestáparticionadoendossubconjuntosN1yN2,decardinalposiblementedistinto;(3)paracadaarco(i,j)enA,i∈N1yj∈N2;(4) cada nodo deN1 tiene asociado un número D(i), D(i) > 0, el cual indica disponibilidad deproductos;(5)cadanododeN2tieneasociadounnúmerod(i),d(i)>0,elcualindicademandadeproductos.Cadaorigenydestinoestárepresentadoporunnododelared,elarcoqueunedosnodosrepresentauncaminoentreelorigenydestinocorrespondientes.

Paraplantearelmodelolinealconsideramosunareddeestetipo,enlacual|N1|=2,|N2|=3.

Di.−Disponibilidad dj.−demanda

Sedefinexijcomolacantidaddeproductosaenviardelorigenialdestinoj,i=1,2;j=3,4,5.Elproblemadeprogramaciońlinealasociadoes:

1

2

3

4

5

Origen Destino

D1

D2

d3

d4

d5

c13c14c15c23c24

c25


Sedicequeunproblemaesbalanceadocuandoeltotaldelademandaesigualaltotaldeladisponibilidad.Sielproblemanoestábalanceado,parabalancearloenelcasoquelaofertaexcedelademandaseinventaundestinoficticio,concostosceroycuyademandaseaelexcedenteexistente.Podemossuponerquecualquierproblemamdetransporteestábalanceado,sea

El problema de transporte tiene, al menos, la solución factible dada por xij, con.Laregióndesolucionesfactibles

esacotada,puesxij≤m´ın{Di,dj},asíqueelconjuntodesolucionesfactibleses:novacío,cerradoyacotado además, la función objetivo es continua, entonces el problema tiene solución factibleóptima.

SolucióndelproblemadetransporteUnprocedimientopararesolverelproblemadetransporteeselsiguiente:

i) Encontrarunasoluciónfactiblequecorrespondaaunpuntoextremo1,conalgúnmétodo.ii) Comprobar si es óptima; si no es así, se obtieneunamejor. Elmétodomásutilizadoes el

stepping-stone[Bazaraa].Hayvariosmétodosparaencontrarsolucionesinicialesfactibles:a) Métododelacasilladecostomínimo;

b) MétododeVogel;

c) Métododelaesquinanoroeste.A continuación, presentamos un ejemplo para ilustrar un procedimiento que resuelve el

problemadetransporte.Lasolucióniniciallaobtendremosconelmétododelaesquinanoroeste,los otros métodos se pueden consultar en la literatura que aborde el problema de transporte[Bazaraa].

1Unasoluciónfactiblecorrespondeaunpuntoextremosi, lasubgráficaasociadaalasoluciónfreperimosesun

árbolenlaredquemodelaelproblemadetransporte.



Ejemplo1.Resolverelproblemadetransportecuyainformaciónseresumeenlatablasiguiente:



Entonces,seeliminayaseaunrenglónounacolumna,dependiendodequeladisponibilidadquedeagotadaolademandaquedesatisfecha,encasodeempatetambiénseeliminasolounrenglónounacolumna.Enestecaso,lacolumnadeldestino5yatienedemanda0entoncesseelimina,obteniendoasílatablareducidacondemandaydisponibilidadactualizada.

1

7

9 5

4 12

1

2

3

5 6 Disp.

18

16

18Dem.

34 18



Enlatablaanteriorasignamos16enlacasilla(2,5),comocoincidenladisponibilidadylademandaambasseagotan,latablaqueobtenemoseslasiguiente.

Se puede verificar que la solución obtenida es factible y cuenta con 5=3+3-1 casillascoupadas;elcostototaldeestasoluciónes:z=8×15+13×18+9×16+5×0+12×18=714.

Enestetipodesolucionesinicialesfactiblesseasignanvaloresenalgunascasillasdelatablayotrasquedanvacías,cabemencionarquesitieneuncerolacasilla,noestávacía;lascasillasocupadassedenominancasillasbásicasylasvacíassellamancasillasnobásicas.

9 5

4 12

2

3

5 6

16 0

18Dem.

0 18



Con la solución inicial obtenida podemos aplicar el método de stepping-stone: queempiezacalculandoloscostosadicionalesdecadacasillanobásicaapartirdelaconstruccióndeuncicloparacadauna.Elcicloparaunacasillanobásicaestáasociadoauncicloenlagráficadelproblemadetransporte.Enlatabla,elcicloparalacasillanobásicacomienzayterminaenestacasillayestáformadoporsegmentosalternadoshorizontalesyverticalesoviceversa,conextremosencasillasbásicas.Sedesignaránalternativamentelascasillasdelciclocon+y-,empezandocon+enlacasillanobásicadepartida.Elcostoadicionalresultade sumar y restar los costos de transporte unitarios de las casillas que forman el ciclo,sumandoloscostosdelascasillasconsigno+yrestandoloscostosdelascasillasconsigno–.

Sitodosloscostosadicionalessonmayoresqueoigualesacero,lasoluciónactualesóptima,peroenestecasonoesasí..Entonces,setomalacasillaconelmenorcostoadicional:CA35=−12ysegeneraunanuevasoluciónsumandoyrestandounacantidadδenlascasillasdel

ciclo,lasumayrestaesdeacuerdoalossignosdelascasillas, ,donde(i,j)−esunacasilladelciclodesignadaconelsignomenos,sihayempateencasillasmarcadascon



signomenos sólouna sehacenobásica (sedeja vacía), de estamanera la solución siguecorrespondiendoaunpuntoextremo.

Paralacasilla(3,5)elcostoadicionales-12yδ=min{16,18}=16;lanuevasoluciónsedescribeenlatablasiguiente.

815 13 -18

7 +

11 9 5

16

10 4 +16

12 -2

As´ı,z=714−12(16)=522ycoincideconelresultadodecalcularelcostodirectamente.Ahoraloscostosadicionalesdeestatablason:

CA16= 7−13+4−12 =-4 ,CA24= 11−5+12−4+13−8 =19,CA25= 9−4+12−5 =12,CA34= 10−4+13−8 =11.

Procedemos a mejorar la solución incrementando la variable x16de acuerdo al ciclocorrespondiente,conloqueobtenemos:

815 13 -16

7 +2

11 9 + 5 -16

10 4

18

12

Continuamoscalculandoloscostosadicionales:

CA24= 11−5+7−8 =5,CA25= 9−5+7−13 =-2 ,CA34= 10−4+13−8 =11,CA36= 12−7+13−4 =14.

Como el costo adicional CA25 es negativo actualizamos nuevamente la solución,observemosquehaydos casillasmarcadas consignomenosconelmismom´ınimo,perosolamenteunasedejavac´ıayenlaotraseponeuncero:



815 13 7 18

11 9

16

5

0

10 4

18

12

Como todos son positivos termina el procedimiento, la solución factible o´ptima esuńica:

=18,=0,

x34=0,x∗35=18,x36=0,

zmin=462.

Todoeldesarrolloquesehaceconlasdiferentestablasparallegaralasoluciónóptimaesconelfindeexplicarcadapaso,peronosedeberepetircuandoseresuelveunproblemaespecífico,simplementehayqueaplicarelmétododesoluciónsinexplicarsuspasos.

1.2. ProblemadeAsignaciónElproblemaconsisteenasignarncandidatosanpuestosconelmenorcostototal;cijesel

costodeasignarelcandidatoialpuestoj.Demaneradirectahayn!posiblesasignacionesyalgunaovariasdeellasdebentenerelmenorcostototal,porloqueestosproblemassiempretienensolución.Perocalculartodaslasposibilidadesyevaluarlasespocomanejable,inclusoconayudadeuna computadora. Sin embargo, hayunprocedimientomuy ingeniosopararesolver este tipo de problemas: elmétodo húngaro [Bazaraa]. Para describir elmétodohacemosunejemplo.

Ejemplo2.Problemadeasignación



Latablasiguientemuestraloscostosdeunproblemadeasignación,dondelaposición[Ci,Pj]representaelcostodeasignarelcandidatoialpuestoj.

Elprimerpasoconsisteenrestaracadarenglónsuelementomínimo,luegodeesto,se

hacelomismoconlascolumnas.Acontinuación,restamoselmínimoporrenglones.Paralaejemplificación,sepresentaa

laderechadelatablaelelementomínimodecadarenglónconsignomenos:



Ahorarestamoselm´ınimoenlascolumnasquenotienenceros,latablaresultanteeslasiguiente.

Supongamosquecubrimoscontirasdepapellascolumnasyrenglonesquetienenceros.Enlatablasiguienteseejemplificaestaacción.

Latablaasociadaaunproblemadeasignacióntieneunaasignaciónindependientedeceroscuandoelnúmeromínimodetirashorizontalesoverticalesqueserequierenparacubrirloscerosesn(númerodecandidatos).Sielnúmeromínimodetirasesmenoran,todavíanohayunaasignaciónindependientedeceros.

Luegodecubrirloscerosdelatablaconelmenornúmerodetirasposible,analizamossihayunaasignaciónindependientedeceros;enlatablaanterior:elnúmeromínimodetirasparacubrirloscerosestres,elcualesmenorquecuatro,elnúmerodecandidatos.Entoncestodavíanohayasignaciónindependientedeceros,continuamosgenerandocerosadicionalesenlatablaconelsiguienteprocedimiento:

a) Identificamos el menor costo no cubierto por las tiras del paso anterior, que serápositivoporquetodosloscerosestáncubiertos.Enlatablaanteriores1.

b) Restamosestacantidadatodosloselementosnocubiertos,lasumamosaloselementoscubiertos que estén en la intersección de tiras horizontales y verticales, el restopermaneceigual.

Paraobtenerunaasignaciónindependientedecerosesposiblequeseanecesarioaplicarmásdeunavezesteúltimoprocedimiento.

0 0 1 3

15 10 0 5

1 1 0 3

6 1 0 0



Vamosaconsiderarlatablaanteriorparagenerarmásceros:

elmenorcostonocubiertoporlastirases1yluegodeaplicarelprocedimientodescritoenelincisob),obtenemoslatablasiguiente.

0 0 2 4

14 9 0 5

0 0 0 3

5 0 0 0

Enestatablaelnu´merom´ınimodetirasparacubrirlosceroses4.Entonces,yapodemosencontrar una asignación independiente de ceros. Dicha asignacioń se puede identificarsenãlandoconunasteriscolosceros,porejemplo:

Lasdosasignacionesconmenorcostosonlassiguientes:

0 0 1 3

15 10 0 5

1 1 0 3

6 1 0 0



I IIC1−→P1 C1−→P2C2−→P3 C2−→P3C3−→P2 C3−→P1C4−→P4 C4−→P4

EnlaasignaciónIelcandidato1seasignaalpuesto1;elcandidato2,alpuesto3yasísucesivamente.EnlaasignaciónIIelcandidato1seasignaalpuesto2;elcandidato2alpuesto3yasísucesivamente.

Enambassolucioneszmin=67,yaque:zmin=c11+c23+c32+c44=14+11+22+20=67

=c12+c23+c31+c44=17+11+19+20=67.

Otroproblemaimportantedeasignaciónescuandosetienenutilidadesenlugardecostosy se tratade encontrar la asignaciónquemaximice la utilidad. Esteproblema se resuelvetransformando el problema demaximizar aminimizar, para resolverlo con elmétodo yaconocido,unavezresuelto,wMáxestáentérminosdezmin,esdecir,wMáx=−zmin.Acontinuación,desarrollamosunejemplodeestetipo.

Ejemplo3.Asignaciónconutilidades

Encontrar laasignaciónquemaximice lautilidadenunproblemaquetieneasociada lasiguientetabladeutilidades.

Primero transformamos la tabla de utilidades en una tabla de costos, en cuyo casosabemosencontrarzminconelmétodohuńgaro.Latabladecostossedescribeacontinuación.



-12 -68 -64-43

-85 -27 -13-42

-29 -84 -12-88

-20 -55 -24-71

Luego,encontramoselm´ınimodelascolumnasylorestamosacadacolumna.

-(-85)-(-84)-(-64)-(-88)

-12 -68 -64 -43

-85 -27 -13 -42

-29 -84 -12 -88

-20 -55 -24 -71

Haciendolasoperacionescorrespondientes,obtenemos.

73 16 0 45

0 57 51 46

56 0520 Estaeslatablade

65 294017 costosdeoportunidad

Restamos17alcuartorenglóngenerarlasiguientetabla.

73 16 0 45

0 57 51 46

56 0 52 0

48 12 23 0

En la tabla anterior, tenemos una asignación independiente de ceros pues el númeromínimodetirasparacubrirlosceroses4.



Lasoluciónes:

C1−→P3C2−→P1C3−→P2C4−→P4

zmin=−304LasolucióndelproblemamaximizarwtienelamismaasignaciónywMáx=−zmin=

304.VerificamosquewMáx=u13+u21+u32+u14=64+85+84+71=304,dondelavariableuij

eslautilidaddeasignarelcandidatoialpuestoj.

1.3. ProblemadelarutamáscortaSeaG=(N,A)unareddirigidayconexa,dondecadaarco(i,j)tieneasociadounnúmerocij

quepuederepresentardistanciacostootiempo;enadelantesólonosreferiremosadistanciasy entenderemos que son números positivos. En esta red se cumplen las condicionessiguientes:(1)laredtienedosnodosdistinguidosoyd(origenydestino),(2)todosloscostosasociadosalosarcossonnúmerosenterosnonegativos,(3)existealmenosunarutadeoad.

Elproblemaconsisteenencontrarlarutamáscorta(menoscostosa,másrápida)entrelosnodosoyd.Enredesconlascaracterísticasantesmencionadaselproblemadelarutamáscortasiempretienesoluciónyhayunmétodoeficientepararesolverestetipodeproblemas:elmétododeetiquetacióndeDijkstra[Bazaraa,Bondy],elcual,además,encuentralarutamáscortadesdeelorigenalrestodelosnodos.

Acontinuación,presentamosunaredconlascaracterísticasquemencionamos.



Lasetiquetasparaesteéetodosondelaforma{i,dj},dondedjesladistanciadeunarutamás corta del nodo o al nodo j, i representa al nodo antecesor de j en dicha ruta. Acontinuación,sedescribeelmétododeetiquetacióndeDijkstra.

Elpaso1consisteenponerlaetiqueta{−,0}alorigen.Elguióndelaetiquetasignificaquenotieneantecesor.

Elpaso2consisteencalcularlasdistanciasdelosnodosetiquetadosalosnodossucesoresdelosnodosetiquetadosyseetiquetasólounnodosucesorcuyadjseamínima,dj=di+cij.Sihayempateelegimosarbitrariamentecualquieradeellos.

ElPaso3verificasielnododestinodyahasidoetiquetado;deserasí,sehaencontradolaruta más corta del origen o al destino d. La ruta más corta se identifica a través de losantecesoresindicadosenlasetiquetasyladistanciamínimaesladjqueapareceenlaetiquetadelnododestino.Sielnododestinoaúnnotieneetiqueta,regresamosalpaso2.

Ejemplo4.Rutamáscorta

Encontrarlarutamáscortadelorigen(o)aldestino(d)enlasiguientered.

o

1

2

3

4

d

5

3

9

1

2

8

9

5

5

o

1

2

3

4

d

5

3

9

1

2

8

9

5

5



Aúnnohemosetiquetadoelnodod,continuamoscalculandolasdistanciasdelosnodosetiquetadosasusnodossucesores,enestecasolossucesoresdelosnodosetiquetadosson1,3,4ysusdistanciasson9,4,12,respectivamente;d3eslam´ınima,entoncesetiquetamosalnodo3.

o

1

2

3

4

d{− ,0}

{ o, 3}

5

3

9

1

2

8

9

5

5



1.4. Problemadeflujomáximo,cortaduraínimaSeaG=(N,A)unareddirigidayconexa,enestaredpuedecircularuntipodebien.Cada

arco(i,j)delared,tieneasociadaunacapacidadkijquelimitalasunidadesdelbienquepuedenpasarporelarco.Enestaredsecumplenlascondicionessiguientes:(1)laredtienedosnodosdistinguidosoyd (origen y destino), (2) todas las capacidades asociadas a los arcos sonnúmerosenterosnonegativos,(3)existealmenosunarutadeoad.

Elproblemadeflujomáximoconsisteenencontrarlamáximacantidaddeflujoquepuedecirculardelnodooalnodod.Acontinuación,presentamosunaredcon lascarácterísticasantesmencionadas.

LosconceptosdistinguidosencursivassepuedenconsultarenelApéndice.Pararesolverelproblemadeflujomáximovamosautilizarelmétododeetiquetaciónde

FordyFulkerson[Bazaraa,Bondy],queiniciaconunflujofactibleyconsisteenlosiguiente.i) Sedeterminanrutasdelorigenaldestino,talesqueningúnarcoestésaturado,esdecir,

queelflujoseamenoralacapacidaddelarco;estomediantelaetiquetaciónyluegoseactualizaelflujo,hastaagotarlasrutas.

ii) Siyanohayrutasqueincrementenelflujoenlared,buscamoscadenasdelorigenaldestinotalquelosarcosensentidodirectonodebenestarsaturadosylosarcosqueesténensentidocontrariodebenllevarflujopositivo,estomediantelaetiquetaciónyluegoseactualizaelflujo,hastaagotarlascadenas.

iii) Sinohaycadenasconestapropiedad,entoncessetienequeelflujoesmáximo.

Laetiquetaciónserealizadelasiguientemanera:

o

1

2

3d

7

87

3

4 68



Elsiguientediagramaejemplificalaetiquetación.

Unavezetiquetadoeldestinocon{v,fd}atravésdeunarutaocadena,laactualizacióndelflujosehaceincrementandofdunidadesenlosarcosdelarutaencontrada;osifuecadena,la actualización consiste en aumentar el flujo en fd unidades en los arcos de la cadenarecorridosensentidodirectoyrestarloen losarcosrecorridosensentidocontrario.Enelsiguienteejemploseimplementanlasformasdeactualizacióndelflujopararutaycadena.

Ejemplo5.Problemadeflujomáximo

Encontrarelflujomáximoquepuedecirculardeoadenlasiguientered.

o

1

2

34

5

d

7

9

6

5

10

9

4

3

8

11

8

10



Larutaqueencontramoses: ypermite incrementarelflujoen8unidades;procedemosaactualizarelflujo.Parafinesdeilustrarelprocedimiento,luegodeactualizarelflujoborramoslasetiquetasycontinuamosbuscandorutasocadenas.

Enestaredtenemosotraruta.

{5,7}unidades;procedemosaactualizarelflujoyborramoslasetiquetas.

Enlaredanterioryanohayrutas,ahoraencontramosunacadena.

o

1

2

34

5

d

(0,7)

9),(8

(0,6)

5)(0,

(8,10)

(0,9)

,4)(0

(0,3)

(8,8)

(0,11)

(08),

(8,10)

o

1

2

34

5

d{ d, ∞}

{ o, 7}{ 1 ,7}

(0,7)

(89),

6),(0

5)(0,

(8,10)

(09),

4),(0

,3)(0

(8,8)

(0,11)

(08),

(8,10)

Lasegundarutaes o → 17→ 5

7→ d

7yelincrementodelflujoesde7

o

1

2

34

5

d

(7,7)

9),(8

,(06)

5)(0,

(8,10)

(79),

,4)(0

(0,3)

(8,8)

(0,11)

(78),

(8,10)



lacadenaes elincrementoenelflujoes1,elflujoactualizadosemuestraenlasiguientered.

Continuandoconelprocesoencontramosotracadena

lacadenaes elincrementodelflujoesde2unidades;veamoselflujoactualizadoenlasiguientered.

o

1

2

34

5

d{ d, ∞}

{ 3 ,6}

{ o, 6}

{ 2 ,4}

{ 5 ,1}

(7,7)

(89),

(0,6)

(0,5)

(8,10)

(79),

4),(0

(0,3)

(8,8)

(0,11)

8),(7

(8,10)

o → 36← 2

6→ 5

4→ d

1

o

1

2

34

5

d

(7,7)

9),(8

,(16)

5)(0,

(7,10)

(79),

,4)(1

(0,3)

(8,8)

(0,11)

(88),

(8,10)

o

1

2

34

5

d{ d, ∞}

{ 3 ,5}

{ o, 5}{ 3 ,3}

{ 5 ,2}

(77),

(8,9)

6)(1,

(0,5)

(7,10)

,9)(7

4),(1

(0,3)

(8,8)

(0,11)

8),(8

(8,10)



Enestaúltimaredlasetiquetasyanopuedenllegarhastadentonces,yaencontramoselflujomáximoquepuedecirculardelorigenaldestino,zMáx=18.Aquíseescribieronvariasgráficasparaexplicarelmétodo,perolomáscomúndespuésdeactalizarelflujoesborrarlasetiquetasyseguirincrementandoelflujomientrasseaposible.

Elmétodotambiénresuelveelproblemadelacortaduramínimaenestetipoderedes.ParaencontrarlacortaduradecapacidadmíınimaenlaredusandoelmétododeFordy

Fulkersonsehacelosiguiente:unavezencontradoelflujoma´ximoquepuedecircularenlaredsecontinúaetiquetandotodoslosnodosqueseaposibleetiquetarconelmétododeFordy Fulkerson, el subconjunto de nodos etiquetados obviamente no contiene a d, esesubconjuntodefinelacortaduradecapacidadmínima.

Vamosa ilustrar esto aplicándolo al ejemplo anterior. Si continuamosetiquetando losnodosenlaredconelflujoma´ximo,obtenemoslosiguiente.

Así que la cortadura generada por X = {o,1,2,3,4,5}, (X,Xc) = {(5,d),(4,d)} es la de menorcapacidadadema´s,K(X,Xc)=8+10coincideconzMáx.

o

1

2

34

5

d

(7,7)

9),(8

,(36)

5)(0,

(5,10)

(79),

,4)(1

(2,3)

(8,8)

(0,11)

(88),

(10,10)

o

1

2

34

5

d{ d, ∞}

{ 5 ,1}

{ o, 1}

{ o, 3}

{ 2 ,1}

{ 2 ,1}

7),(7

(8,9)

6)(3,

5)(0,

(5,10)

(7,9)

(14),

3)(2,

(88),

(0,11)

(88),

(10,10)



1.5. GlosarioGráfica.UnagráficaG=(N,A)consisteenunconjuntoNdenodosyunconjuntoAdearistascuyoselementossonparejasnoordenadasdenodosdistintos.

Gráficadirigida.Una gráfica dirigidaG= (N,A) consiste enun conjuntoNdenodos y unconjuntoAdearcoscuyoselementossonparejasordenadasdenodosdistintos.

Red. Esunagráficacuyosnodosyarcostienenasociadosvaloresnuméricos.

Red dirigida. Es una gráfica dirigida cuyos nodos y/o arcos tienen asociados valoresnuméricos.

Sub-gráfica.UnagráficaG′=(N′,A′)esunasubgráficadeG=(N,A)siN′⊆NyA′⊆A.

Cadena. (delnodon1alnodonr)UnacadenaenunagráficadirigidaG= (N,A)esunasubgráficadeGconsistentedeunsecuenciaalternadadenodosyarcosn1−a1−...−ar−1−nrquesatisfacelapropiedaddequeparatodok,1≤k≤r−1,(nk,nk+1)∈Ao(nk+1,nk)∈A.

Gráficaconexa. Si para cualquier par de nodos de la gráfica hay una cadena que losconecta.

Ruta.(delnodon1alnr)UnarutaenunagráficadirigidaG=(N,A)esunasub-gráficadeGconsistentedeunasecuenciaalternadadenodosyarcosn1−a1−...−ar−1−nrquesatisface lapropiedaddequeparatodok,1≤k≤r−1,(nk,nk+1)∈Ayademás,losarcossondistintosylosnodossondistintos.Unarutatambiénsepuededenotarcomon1→n2→n3...nr−1→nr.

Nodosucesor.Dadaunagra´ficaG=(N,A),losnodossucesoresdelnodoisontodoslosnodosjtalque(i,j)esunarcodelagráfica.

Ciclo. Uncicloesunacadenan1−a1−n2− ...−ar−1−nrenlaqueseagregaelarco(nr,n1)ó(n1,nr). Árbol. Esunagráficaconexaquenocontieneciclos.



Sea G = (N,A) un árbol donde |N| = m, a continuación presentamos algunascaracterizacionesequivalentesdeG:

(a) Gtienem−1arcosyningúnciclo.(b) Gnotieneciclos,peroalagregarcualquierarconuevoaGseobtieneunagráfica

conexactamenteunciclo.

Flujofactible:Esunconjuntodevaloresparaxij,(i,j)∈Adondesecumplelosiguiente:

Paraindicarelflujoylacapacidaddelarco(i,j)vamosaponer(xij,kij)enestearco.

Cortadura.SeaG=(N,A)unagráficadirigidaysea{X,Xc}unaparticióndelconjuntodenodosN;elconjuntodetodoslosarcosdeGcuyoextremoinicialperteneceaXycuyoextremofinalpertenece a Xc es llamado una cortadura de G y se denota por (X,Xc). Notemos que lascortaduras(X,Xc)y(Xc,X)sondiferentes,porquesielarco(i,j)pertenecealacortadura(X,Xc),entoncesnopertenecealacortadura(Xc,X).

Paracualesquieradosnodosn1,n2∈N,unacortadura(X,Xc)talquen1∈Xyn2∈Xcsedicequeseparan1den2,eneseorden.

Capacidadde una cortadura.Es la suma de las capacidades de los arcos que forman lacortadura,sedenotaráporK(X,Xc).Veamosejemplosparailustraralgunosdelosconceptos





Bibliografía

• Bazaraa,M.S.(1999).ProgramaciónLinealyFlujoenRedes.SegundaEdición.• México:Limusa.• Bondy, J.A. (1979). Graph theory with applications. New York-Amsterdam-Oxford.

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