G. PRASAD. ~ber Fl'~chen konstanter Gaul~scher Krtimmung. ~03

0ber die Hilbertschen Satze in der Theorie der Fli~chen

konstanter GauBscher Krt immung.

Von

G. PRASAD in Allahabad, Indien.

In seiner Abhandlung ,,Uber Flis yon konstanter Gau6scher Kriimmun~'*) ha~ Herr Hi lber t zwei Si~tze ftir analytische Fliichen an- gegeben und streng bewiesen. Im folgenden handeli es sich datum, die Frage nach denjenigen Siitzen zu diskutieren, die ftir analytische Fl~ichen mit den Hilber~schen Siitzen identisch werden, aber fiir viel allgemeinere Fliichen**) gelten.

Vier Gruppen yon Bedingungen. 1. Es seien die rechtwinkligen Koordinaten x, y, z eines Punktes auf

einer Fl~iche als Funk~ionen zweier uaabh~ngiger Variabelen dargestellt. Dann werde ich die folgenden vier Gruppen yon Bedingungen respektive (A), (B), (C) und (C~) nennen; es ist leicht zu sehen, dab die Befriedigung yon (A), (B) und (C) oder die Befriedigung yon (A), (B) und (C~) die Existenz der s~mtlichen par~iellen Differentialquotienten drifter Ordnung noch nicht nach sich zieht.

(A) (I) In jedem Punkfie sind die siimtlichen partiellen Differentialquo-

tienten ers~er Ordnung x~, x~, y~ usw. endlich und kontinuierlich in (u, v); auch sind in jedem Punkte die siim~lichen partiellen Differential- quotienten zweiter Ordnung x~,,,, x,,,,, x,,,,, x , , , y,,,, usw. vorhanden und endlich.

(II) Diejenigen Punkte, in welchen die partiellen Differentialquotienten zweiter Ordnung x,,,,, x,,,,, x,,,,, x,,,,, y~,, usw. nicht alle kontinuierlich in (u, v) shad, bilden eine Menge go yore Inhalt Null.

*) Trans. Amer. Match. Society, Vol. 2, 1901; Grundlagen der Geometrie, 2. Aufl. A,~hang V (S. 162--175).

*') Siehe mein~n Brief an Herin Hilbert ,,~ber den Begriff der Kr~mmungs- li-~en" (GSttinger Nachrichten, Heft 3, 1904).

"--)04 G. P~AStD.

Der Kiirze wegen sage ich, dab ehm ebene Menge ,,yore Inhalt Null" ist, wenn ihre Teilmenge auf jeder Geraden der Ebene den (linearen) In- halt Null hat.

(B)

In jedem Punkte einer iiberall dichten Menge G 1 sind die s~mtlichen DifferentialquoLienten x . , . , x~.~, x . , , , x,~., y.,~ usw. vorhanden und endlich; und ferner, in jedem Punkte yon G 1 ist

X u v u ~ X v u u ~

X u v v ~ X ~ u ~

Yuvu -~" Y, uu USW.

(c) In jedem Punkte, der nicht zu go gehSrL, isL

~,t, "tP

"* �9 V

wo ;~1, ;b, ,ul, ,uz, vl, v~. an allen Punkten endlich sind; und ferner ist die Menge der Punkte, wo l l = x.,~,, ;b= x~,.~ usw., eine tiberall dichLe Teflmenge yon G 1.

(el) In jedem Punkte, der nieht zu go gehSrt, isg

x,,~ ldu ,

x~,, = f l~du,

U

= f m , du usw.,

wo 11, l.z, ml, m~, hi, n~ i n allen Pnnl4en endlieh sind; und ferner ist die Menge der Punkt~e, wo l l=x. .~, , 12= x~o~ usw., eine fiberaU dichte Teilmenge yon G 1.

~ber Fl'~chen konstanter Gau~scher Krfimmung. 205

Uber Fl~s yon konstanter positiver Kriimmung.

2. Zuerst spreche ich den folgenden Satz aus: ~ine Fl~iche, welvhe nicht ein Kugelstiick ist, kann die folgenden Bed~ngungen hie gleichzeitig befriedigen :

(I) In allen Punk~en der Fl~iche, hSchstens mit Ausnahme der Punkte einer Menge go yore Inhalt Nn]I~ ist K - ~ q-1 .

(H) In allen Punkten einer iiberaU dichten Menge ist

E : sinh2~),

G = cosh~p;

wo die Kurven u = const., v = const. Krtimmungslinien sind und co~h Q----r~ der grSl3ere der absoluten Werfe tier beiden Hauptkrfimmungsradien ist.

(H~) Es existiert ein Punkt (U, V) im Inneren der Fliiche yon der Beschaffenheit, dab die obere Grenze yon r i fiir eine beliebig kleine Um- gebung yon (U, V) die obere Grenze yon r 1 f~r die ganze Fl~che ist.

(iv) x(u,v), y(u,v), z(u,v) befriedigen (A), (B), (C). B e w e i s : Der Klarheit wegen unterscheide ieh zwei F~ille.

F a l l I.

l~ehmen wit an, dal~ der Punkt (U, V) weder ein Punkt der Menge go noch ein Grenzpunkt dieser Menge ist, dann ist es immer mSglich, in der uv-Ebene den Pnnkt (U, V) mit einem geniigend ldeinen Kreise K 1 zu umgeben, so dab kein Punkt yon go innerhalb K~ existiert.

Weil (A) befriedi~ is~, ist. r 1 in jedem Punkte innerhalb //1 vor- handen and zwar der grSBere der absoluten Werte der Wurzeln der Gleichung

(DD"-- D'~)r ~ - (ED"+ G D - - 2FD)r + ( E G - - F ~ ) = 0.*)

Mithin ist r 1 kontinuierlieh in (u, v) innerhalb /tq. Deshalb ist fiir a//e Punkte innerhalb K I

E = sinh2Q,

G = eosh~o.

Well (B) befriedi~ ist, kSnnen wir in der bekann~en Weiso **) die Gaul~sehe Fundamentalgleiehung fiir diejenigen Punkte yon G 1 herleiten, die innerhalb K 1 liegen. Deshalb ist an diesen Punkten

e-2q __ e2( ~ (I) e . . + e.,---

*) Siehe memen Brief an Herra ttilber~, loe. cir. **) Enzyklopraxlie der matJaemafischen Wissensch~oen, llI D 1, 2 (v. Ma~goldt),

l~r. 34; B i a n e h i , Lezioni eli geometa-i~ differenziale, 2. ed., vol. 1, w 56.

206 G. Pm~SXD.

Nun ist ki l t , dab r 1 in (U, V) ein Maximum und deshalb p ein Minimum hat. Es folgt dann~ dab in dem Punkte (U, V)

O~= 0,

q~ = 0

ist; trod wir kSnnen auch einen Kreis R innerhalb K 1 beschreiben, so dab

be positiv ist, wo B den Abstand in allen Punk~en, die auf /~ liegen, ~-~

zwisehen (U, V) und (u, v) bedeutet. Weil (C) befriedigt ist, fol~ leicht aus (I), dal~ das auf das Gebiet

innerhalb K~ erstrecl~e Integral

e ~ �9

4 dudv

gleich dem fiber R erstreck~en Integral

ist. Aber dies ist unmSglieh, weil das erste Integral kleiner und das zweite grSger als Null ist.

Damit ist gezeigt, dag Fall I nicht stattfinden kann.

Fa l l II.

Wir nehmen an, dab (U, V) entweder zu 9o gehSrt oder ein Grenz- punkt yon go ist.

Nennen wit (~, ~) diejenigen Ptmk~e (u, v), die weder zu go gehSren, noch Gren~punkto dieser Menge sind, d~nn mull, wenn

Lira r l(g , ~) h-= U, ~ = g

nicht existiert, ein Punkt ( ~ = U , ~=V)ex i s t i e ren , wo rl~,u,v ) ein Maxi- mum hat. Und mit dem Beweisverfahren yon Fall I werden wir auf einen Widerspruch gefiihrt.

Wenn Lira r 1 (~, @)

E = U, ~ = g

existier~, ist dieser Limes die obere Grenze yon rl(~ , ~), und es ist leicht zu sehen, dab wir den Punk~ (U, V) mit einem Kreise K~ so umgrenzen kSnnen, daft alle Punkte, die auf K~ liegen, P,mkte (~, V)sind and in

~e allen diesen P, mkten b--~. positiv ist. lnnerhalb K~ kSnnen wir einen be-

liebig kleinen Kreis /% beschreiben, so dab kein Punkt, welcher nicht ein P u n ~ (~, ~) ist, entweder zwischen k~ und K~ oder auf k~ liegt.

Nun is~ leicht zu sehen, daft, wie im Fall I, wir das folgende Re- sult~ bekomme, n:

t~ber Fl~chen konstanter Gaugscher Krfimmung. 207

Das fiber das Gebiet zwischen k~ mad K.~ erstreckte Integral

) ~'e- 2q _ e2q dudv

ist gleich der Summe der fiber k~ und K~ erstreckten Integrale

~ 1 ~ - ~ und , J ~ h (t-._0 (K~)

Weil k o und deshalb

beliebig klein gemacht werden kann, werden wir wie im Fall I auf einen Widerspruch geffihrt.

Der eben bewiesene Satz lehrt offenbar folgende Tatsache: Eine geschlossene _Fliiche, welche nicht eine Kugel ist, kann die oben

gegebenen Bedingungen (I), (II), (III) und (IV) hie fleichzeiti# befriedigen.

Uber Fliichen yon konstanter negativer Krfimmung.

3. Der Satz yon Herrn Hilbert fiber Ffiiehen konstanter negativer Krfimmmag lautet fblgendermafien:

Eine Fli~che konstanter negativer Krtimmung, die sich stetig und mit stetiger J~nderung ihrer Tangentialebene in der Umgebung jeder Stelle fiberallhin ausdehnt, kann nicht fiberall analytisch sein~

Ich verallgemeinere diesen Satz, indem ich die folgende Aussage mache: Eine_Fliici~e, welche sich stetig und mit stetiger Anderung ihrer Tan-

gentialebene in der Umgebung jeder Stelle iiberallhin ausdehnt, kann die [blgenden Bedingungen hie g~:chzeitig befriedigen:

(z) In allen Pmakten der Ffiiche, hSehstens mit Ausnahme der Punkte einer Menge go yore Inhalt Null, ist K = - 1.

(H) In allen Punkten einer fiberall dichten Menge ist

E = I , G = I ,

wo die Kurven u----const., v =-coast. Asymp~tenkurven*) sind; auch befriedigen x(u,v), y(u,v), z(u,v) die Bedingungen (A), (B), (C,).

(HI) In allen Punldren einer fiberall dichten Menge ist

E = I ,

*) Unter el.net Asymptotenkurve verstehe ich eine Kurve, welche dutch die

Differentialgleiehung D \ds-s] + 2 D" d--~- d-~ -4- ~ } = 0 definier~ ist.

2 ~ 8 G. Pa, s ~ .

wo u, v geodiitische Polarkoordinaten*) sind; auch befriedigen x(u, v), y(u, v), z(u, v) die, Sedingungen (h), (B), (C,).

Das folgende Beweisverfahren ist im wesentlichen dasjenige, das Herr Hilbert benutzt hat, um seinen Satz zu beweisen: ich berechne den ge- s~mten Inhalt der Fliiche auf zwei Wegen und werde dadurch zu einem Widerspmch gelangen.**)

Der ers te Weg:

Es folgt aus der Bedingung (n), da~, weil E und G kontinuierliche Funktionen yon u, v sind, in a/lcn P . n ~ e n

E = I ,

G = I

ist; und mithin gilt der Satz yon Dini und E n n e p e r : In jedem Vierecke, alas yon vier tksymptotenkurven der Fliiche ge-

bi|det wird, sind die gegentiberliegenden Bogen einander gleich. Well (B) befriedigt is~, kSnnen wir in der bekannten Weise die

GauBsche Fundamentalgleichung s diejenigen Puakte herleiten, die zu G 1 geh5ren. Deshalb ist in diesen P,mkten

(H) (Pro = sin (p, wo cp den Winkel zwischen den beiden hsymptotenkurven durch den Pnnlct u, v bedeutet. Weil (C~) befriedig~ ist, folg~ aus (II) der Satz von D a r b o u x :

Der Fl~cheniahalt eines aus hsymptotenkurven gebildeten Vierecks auf der Fliiche ist gleich der Summe der Winkel des Vierecks ver- mindert um 2~.

Nachdem wit die Giiltigkeit der Si~tze yon Dini-Enneper und Darboux f'dr nn~ere Fl~iche festgestellt haben, ist es leicht zu sehen, da~ wir die folgenden Siitze fiir unsere Fl~che wSrtlich in de~elben Weise aus den S~ikzen yon Dini-Enneper und Darboux herleiten kSnnen~ wie Herr Hilbert es fiir analytische Fl~ichen konstanter negativer K_rtimmung getan hat:

(1) ,,Es gibt auf unserer Fliiche keine geschlossene, d.h. in sich zu- rfickkehrende hsymptotenlcurve."

*) Hinsichtlich dieser Koordin~ten sei bemerkt, dab ich un~r einer geod~t~schen Linie eine Linie versf~he, welche dutch die Differentialgleichungen

2 k ds , - t- d s , / + ~ ~ - vkds / -F(2F,,--G~)kds/ = 0 wad

-d ds = o

defmier~ ist. .~) VgL Hflber~, (}rundlagen der Goome!a'ie, S. 167~172.

Uber Fl '~hen kons~nter Gaul~sche: Kriimmung. 209

(2) ,Irgend zwei durch einen Punkt gehende Asymp~o~enktu~en schneiden sich in keinem anderen Pl~nkte unserer Fl~che."

(3) ,,Eine Asymptotenkurve unserer Fliiche durchsetzt sich selbs~ an keiner Stello, d. h. sie besitzt keinen Doppelpn-k~."

(4) ,,Wenn wit dutch jeden Punkt einer Asympto~enkurve a die andere Asymptotenkurve ziehen und auf dieser nach der n~mlichen Seibe hi , eine bestimmte S~ecke s abtragen, so bilden die erhaltenen End- punkte eine neue Asymptotenkurve b, die die ursprtingliche Asymptoten- kurve a an keiner SteUo schneider."

Aus diesen S~itzen folg~ sofort das folgende Resultat: ,,Die s~imtlichen Asym:ptotenkurven unserer _Fliiche zerfallen in zwei

Scharen. Irgend zwei dersdben Schar angehgrende Asymptotenkurven schnei- den Mch nicht; dagegen schneiden sich je zwei Asymptotenkurven, die ver- schiedenen Scharen angehSren, stets in einem und nut einem Punkte der ~ " . (~')

Nun bezeichnen wir mi~ I(u, v) den Fli4cheDinhalt desjenigen aus Asymptotenkurven gebildeten Vierecks auf unserer Ffiiche, dessert Ecken durch die Koordinaten

bestimmt sind; so folgt leicht aus (IY), dab der Gesamtinhalt der F1;4che

Lira I(% v)

ist. Abet es folgr aus dem Satze yon Darboux, dab 1(% v ) < 2~ ist, wie grol~ u, v auch sein mSgen; also muB der Gesamtinhalt unserer Fliiche _~ 2u sein.

Der zwei~e Weg.

Es folgt aus der Bedingung (m), dal~, weil /i~ eine kontinuierliche Funk~ion yon u, v ist~ in allen Punk~en

E = I

ist. Well (B) befriedig~ ist, kiinnen wit in der bekann~en Weise die Gaul~sche Fundamentalgleichung ftir diejenigen Punkte herleiten, die zu G~ gehSren. Deshalb ist in diesen Pnn~ben

Weft (C~) befriedigt fist, folgt aus (Ill) der Satz yon GauB: Der Fl~cheninhal~ eines aus geod~tischen Linien gebfldeten Dreiecks

auf der Fli4che ist gleich dem Fehlbefxag der Winkelsnmme ~u z. Aus diesem Satze en~ehmen wir die folgende Tatsache: Irgend zwei yon don Anfangspunkte ausgehvnde geodS~ische Linien

sehra~l~ sich in "~m~n andere~ 2unld, e unserer .Fl~]ce~ (TIT') Nun bezeichnen wit mit l (u) den Fl~cheninhalg des geod~ischen

:Mathoma,tia~o A.aa~ea. LXI. 14

210 O. P~s~v. t~roer FD.chen konstanter GauBscher Krfimmung.

Kreises yon dem Radius u, so folgt aus (HI'), dat~ der Gesamtinhalt der Fliiche

Lira I(u)

isk Aber g ~ u

0 0

,,.~a ,~ f o ~ ~u~ (u O ,~a (c~), aa8 2 ~ u 2 ~

f f ~ ~ o ~ u ~ f ( w ) o ~ ~ - 2 0 0 0

ist; auch ist leicht zu sehen, dab 2 g

Lira ~ V ~ d v =

ist~ well die lbmlrtion ( ] / - ~ die folgenden Sigenschaften besitzt: 1. Ihre Diskontinui~ten in bezug auf u kSnnen nur yon der zweiten

Art sei~ 2. Diejenigen Punk~e, in welchen sie nicht kontinuierlich in (u, v)

ist~ bilden eine Menge yore Inha[~ Nnll. 3. In jedem l~ml~te einer fiberall dichten Menge ist

f ~ ) ~ > O. Der GesamtTinha]~ vnserer Fl~che muff claimer unendlich groB sein. Damit sind wit zu dem verlaugten Widersprueh g e f f ~ .

Al lahabad, den 13. Januar 1905.