This article was downloaded by: [University of Chicago Library]On: 07 October 2014, At: 06:58Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office: Mortimer House,37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK

Mathematische Operationsforschung und Statistik. SeriesOptimization: A Journal of Mathematical Programmingand Operations ResearchPublication details, including instructions for authors and subscription information:http://www.tandfonline.com/loi/gopt19

Über die lösung diskreter steuerungsproblerneHorst Hollatz aa Zentrum für Beehentechnik , AdW d. DDR , Rudower Chaussee 5-6. 25, Berlin, DDR 1199Published online: 05 Jul 2007.

To cite this article: Horst Hollatz (1977) Über die lösung diskreter steuerungsproblerne, Mathematische Operationsforschungund Statistik. Series Optimization: A Journal of Mathematical Programming and Operations Research, 8:3, 385-400

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Zusamnenfusszmg: Fiir diskrete Stenarungsprobleme niit Optimierung des Endzuut~t~~~t les wird ein Verfahren zuni Findeli stutionlirer Steueru~~ger: Legriindet, claW auf einem in [2] entwickelten Verfahren der zuliissigen Richtungen aufbuut,. WBhrend bei den biuherigen A~twendungen soicher Verfnhren in jede111 1iortlt.ior~u~cl~riti tlit: tT~riatior;ssuc1iprobic~:~t~ tlller Stufen gelost werdon 1nol3fen, wird hier n~~chgcwiesen, daB Iirrrn nur cine optinlul brauchbare Variation axis eivar Stufe in jctlern Iterntionssc~hritt benotigt,.

Diskrete Steuerungsprobleme spielen in vielen praktischen Anwendungen mathe, n~ntiscller Metlioden eine wichtige Rolle. So fiihren Aufgaben aus der C'hemie- i)konomie, der Teclmoiogie, der Operntionsforscl~ung unil aus clem btilitdl~esen oft mf &skrete Steuerungsprol~leme, weil der Zustnnd des zu modellierenden Prozesses meist nur in diskreten Zeitpunltten erkennbar unci beeinflul3bar ist. SchlieBlicli miissen stetige Steuerungsprozesse diskretisiert werden, will man sie tiuf Digitalreclmerr, lasen.

-41s mn,tt!~emahische Met'hode zur Behnndlung solcher Aufgaben war bis vor kurzem im wesentlichen llur das OptinlalitBts~)rinzil, von R. BELLMAN verfiigbar. I n den letzten Jaliren ist ein zweiter Zugang ausgearbeitet worden, der die urn das Naximumprinzip von L. S. PONTRJAGIN entwickelten ;\lethoden u rd die Tlleorie der nichtlinearen Gptimierung ausnutzt. Gruncllegende Aussagen zur Theorie diskreter Steuerungsprobleme sind in 1.51 und [I] niedergelegt (man vgl. aue'h clie dort als Anhang gegebenen ,,Kommentareu). Wie kaum eine andere mathematische Disziplin sol1 die Entwicltlung der Theorie optimaler, diskreter Steuerungsprobleme vor allem dem Losen von konkreten Aufgaben dienen. Eine groDe Klasse von praktisch wichtigen Verfahren sind die Verfehren der zulassigen Richtungen nus der nichtlinearen @ptimiexung ([2]? [ 3 ] , [GI). I n [i], [5] werden die Verfahren cler zuliissigen Richtungen nach ZOUTEWDIJK [GI auf &&i.ete Stei~ei-iongspro!'l""e ange~ondet. 3 s f e h h je&~!l die &nvergem- be~veise. Auch ist die clort vor.geschlagene Methocle uneffektiv, dn in jedem Iterntionsschritt so viele Opti~njerungsar~fgaben gelost werden sollen, wie Pro- zel3stufen existieren.

In clieser Arbeit wird - wfbauend auf dem in [3] entxickelten Verfahren cler zuliissigen Richtungen - ein Verfahren fiir eine relntiv grol3e Klnsse diskreter Steuerungsprobleme begriinhet.

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Gegehen sei ein X-stufiger EntscllelduligsprozelJ ; die k-te YrozeBstuie wird durch k k

einsli Zlcstandjveh-tor (Phasenvektor) s t R1', einen E7~tscheiduys1:ektw ti 5 Rr (auch Steuerungsvektor genmnt). zmei 3fengen Uk& Rr, X k g 2 2 2 1 . und eine ron k k z uncl u abhhgende, 7%-&~nensionale T;ektorfunktron f mit den Kon~pone:lte~: f: charakterisiert, die den Obergang zur ( k + 1)-ten Stufe beschreibt :

k +I k Y -L. =fk(5, 11), k=O, 1 , . . . , N-1 . ( 4 )

h Dabei sind jedocil nur Steuerungsvektoren ~1 E I 7 m g ~ i n s i e n Verinittels (*) ist

0 1 N - 1 k 0 11ei gegebener Folge {u , u , . . . , 26 ) mit u E Uk und gegebenerrl Anfangszustm~cl le der ProzeJ3ablauf vollstandig determiniert. Einc solche Folgc

0 1 x-1 U = { u , 26 , . . . , U )

0 heil3t bei gegebenem x zulcissiqe Steuerung, falls die nach (*) bereelmeten Zustnntls-

k . vekioren z In X" iieger~ ; k xcXk, k = l , . . . , N .

0 1 9 Die Folge X = ( x , x, . . . , x) heifit ckmn zulassige Trajektorie. AuBerdem, ist ein Zielfunktional J gein&B

0 1 Y O 1 W+1 J ( X , U ) = y ( x , x , . . . , x ; u , u , . . . , u )

gegeben. Die Aufgabe besteht nun darin, zu einem vorgegebenen Anfangszustsnd 0 x eine solche zulassige Steueivng U* zu bestimmen, dalj d a s Zielfunktional J fiir U* und die zugehorende zulassige Trajektorie X* einen msximalen Wert beziiglich aller zulassigen Steuerungen annimmt. U* heiBt dann optimale Steue- rung und X* optimale Trajektorie. Diese Aufgabe werde im folgenden kurz in der Form

0 1 N 0 1 J - 1 mas { J ( X , U ) I X=(x, x, . . . , x), U=(zc, u , . . . , u );

k f 1 k k 0 x = fk (x ,u ) , x = a , k=0, 1 , . . . , N - 1 ;

an, wBkrencl X k und UVurch

X k x U k = { ( x , u ) / p k ( x , u ) ~ O ) , k=O, 1, . . . , f l - 1

gegeben sei, Dabei sei,?, eine ~Nauimumfunktion, d. h.

~ J x , uj = max qki(x, u) 1EIk

mit IY={12 . . . , mk).

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IV. O p t i m i e r u n g cles ProzeBnblaufes , d . 11. in (1) hat tlss Zielfunbtional die Form

V. Opt i in ie rung m i t fes tenl Endzustancl . Ha t man etwa eine Aufgahe vum Typ IV ]nit festem Endzustand $L, so kmm man das Zielfunktional mie folgt aliindern: M m wahle anstelle von J ( S , 0) clas Bunktio~lnl

.A' ,V J 1 ( X , U ) = A jlx - x*lj + J ( S , U ) ,

worin A=-O eine hinreichend groBe, positive Zalzl ist. Damit hat nnlan aber eine Aufgabe mit freiem Enclzustand.

VI. Opt i in ie rung l i n e a r e r Sys teme. Die Aufga'he j i j Iauteb hier :

k E k Dnbei sincl A Matrizen vorn Typ (n, 71), B vom Typ (n, r ) , C' vom Typ (m,, n), Q f; k

D vom Typ (m,, r ) , hc Rmk, b<Rr rrnd (. , .) becleutet ctas Sknlizrproclulit.

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VTT O p t i m i e r u n g c luadrat ischer Z ie l funk t iona le b e i l i n e e r e n Sys temen . Eei diesern Typ von Adgaben i u t unter Eeciingungen ~ i e h i % Typ V I dns Ziei- funktionnl

k I. zu mrxuinieren; 0 sind (n, n)-Matrlzen und R vom Typ (n, r j Fat!, Lie Xengen Xk, Uk nicht leer. beschriinkt mid nbgeschlossen, @ und die Vektorlunktionen f k stetig in allen Argumenten sind sowie zu gegebenem Anfangs-

0 zustand z -T; a eine zul&ssige Steuerr?ng eristiert, d a m esistiert mcb eine oplininle Steuerung. Bei Problemen ohne Beschrsnkungen der Phasenkoordinaten ent- fallen die Voraussetzungen an X"[i]).

2. Optirnierung des Endzastandes ohne Besehriinkungen der Phasenkoordinaten

Es sei das Probiem vom Typ I1 vorgegeben und P d u r c i l Gngieichungen beschrieben :

Dabei seien di undfk stetig differenzierbsr nach h e n Argumenten und fur jecles k die JIenge

U6 = {u 1 cp,(u) 1 0 ) bescllrbnkt . o hT - ,

2, L

Fur eine zulLssige Steuerung U = { u , . . . , zc 1. uncl die zugehorende zulkssige 1 iv

Trajektorie X = (a, x, . . . , x) definiert man das zu k + l k k 0 x =fk(x ,u): 0 1 , . . . - 1 ; x=n (2)

adjungierte System b 6 k k f l N N p = V , $ ( x , z ~ ) ~ p , k = N - 1 , . . . , 1 ; p = V @ ( x ) (3)

mit Rn ( V bedeutet ~ rad ien tb i ' ldun~) und

Mit AT hezeichnen wir die z i l A transl)anierte Matrix. Wie auch Lei stetigen Prozessen wird hier eine H ! a n ~ o ~ - F u n k t i o n definiert :

k C 1 k k k + l k k Q k ( p , R:,u)=( P , f k ( x , u ) ) .

Damit haben (2) und (3) die Form k t 1 k + l k P 2 = O p Q k ( p ; x , u ) , k=O, I , . . . , N - 1

k k + l k k p = VZQk( p , 2, u), k = N - l ; . . . , I 0' ,V AT x=a; p= V@(Z) .

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0 -V-1 Eine I~inreiclteid kleine Al ic~erun~ Z = ( z . . . . , z j (Variation) einer zuliissigen

0 S-1 Steuerung li= { Z L , . . . . Z L ) erzeugt wegen der stetigen Differerlzierbarkeit aller

0 geniigb :;lit y = !I.

1 9 - 1 N 3' 3 Mit tier zu U i ~ n t l S gehorenrlen P-Folge P = J , p . . . . , p , pj mit p = J O ( 5 ) ( ~ ~ a c h ( 3 ) ) folgt claraus ([A], S. 169):

y -J -Y - 1 k J 1 k k k (c=@(x), g )= 2 ( p , 7,,f'-(27, ?i) .) .

P =O

I V̂ ,lT rnit - O(CI) -8 fiir Z-. + 0 gilt, wird dux11 (VO(x), y) lokal iiber die Zu- oder

a

rnit konvesen, 'clifferenzierbtwen Punktionen gki und { p k ( ) 0 , E=0, . . . , N - 1

gilt. Dann kann man nlit cler Indesrnenge I,(u) = {i j gni(u) = 0 )

die fo!gewk Oyt im:llita tshedingung nussprecllen L-41: 0 1 s - 1 1 14'

Wenn U * = {u,, u,, . . . , z ~ , ) eine optimale Steeceruny ist, I* ={a, x,, . . . , x,) 9 .V -1 I

die zugehorertcle optimale Trajektorie uncl P'"{ V@(r,), p , , . . . , p,) die ent- sprechende P-Fnlge aus clew System (4), clam gilt

k C 1 3, k max mas{(V,Qk(p,,x,,u,),~~))=O

O S k S X - I 0

P k beziiglich sller v niit ( Vgki(u,), 27) s 0, i E Ik(u,) .

Ohne f i ~ r ~ ~ o x - F u n k t i o n l w t e t diese Bedingung ([4], S. 174) : ki-1 P %

max ~ n a l v ( ~ ~ j ( p , , T j ' , , f ! . ' j n ' , t ~ ) ~ \ ~ ~ . OLLLX-1

/ - L P >

k 1

( V , J ~ ~ ( , ~ * ) > D ) G , Ctlk\Lb*))=:!. T 1 - s

Eine zultissige Steuerung U*:, fiir ctie zussmmen mit X* und P* die Beclingung (7) erfiillt ist, heiBe in Anlehnung an die konvexe Optimierung stationiir ; entsprechend heiBe X* stationare Trajektorie uncl P* stationare P-Polge.

k k Die Indexnlenge Ik(u*j ksnn leer ocler nicht leer sein, jt: nacliciem, oh ?,ju,) -: 0

k oder q,(u,) = 0 gilt. Es sei dmum

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Wir beweisen nun &e folgende Sussage: 0 1 *=ir - 1

Wenn eine zulassige Sfeuerung I.'= (ZL. u. . . . , zc ) nlit

a k min min (G, ( f gki(a,), w) s u,, i E Ik(u,) ; /

kFR(17+) p+i 11 k jP* , B,P(X*~ u*) w) 0) = 0

k + l b k max max/y , : VJb(z,:u:,)v\,=O

kbR(O*) v ~ ~ < r I

erfiillt sincl, dann ist U* stationtire Steuerung. Nehrnei~ ivir an, e k e Aussage Ist falsch; d a m erristieren ein s c R(U*) und ein

v E Rr rnit

Wegen der Xionvexitat von ys gilt fur die Ricl~tungsableitung 9; im Punl<te ;, die Ungleichung [3]

Beriicksichtigt man, daB y8 eine ~Iaximumfunktion ist und claher

(11) ( VgSi($, *+ 0, i&*) S 8

rnit 6 = u - ZL*. Wegen (9a) existiert eine echte K o n v e x k o m i n t i o v* aus fi und v mit

S f 1 8 S

(p* , O,fs(x*, a*) v*) z 0 . (12) ,4us ( l i j unci (9b) fdgt aber

< ag SL\ ./E * ) v*)<G, i c ~ , ( & ~ . (13)

Die Ungleichungen (12) und (13) zeigen, daR die erste Bedingung aus (8) fiir U* nicllt erfiillt ist, was aber vorausgesetzt war. Folglich mu13 U* stationar sein.

Die soeben bewiesene Aussage kann man auch so interpretieren: a

I m Falle Ik(u,) =t O sincl beziiglich einer Stufe die beiden Bedingungen

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k k P

D e f I ni t i on : E i ~ i Elerrm~t z = v + A,w, 2, z 0 heifit b,raz~chbure Variation con U z z u Stzge k: falls folgende Bedingungen erfiillt sind:

1" k ist z~115ssig 1111. die Aufyabe W ( U ) und liefert dart einen positiven Eel- f unktionswert.

k k F I m FaIle I,(ZL) = 0 ist IU = 0 , I., = 0 .

k k I m Falle I,(zL) + B ist z;. zu!$ssig fiir &e Aufgelje 3 k ( U ) , Ilefert dort einen r~eg~t, iven Z i e ! f r ? n k t , i ~ w uncl =- 0.

k Eine braucllbare Vnriation von U zur Stufe k heil3t optinzcrl brazcchbar, falls v , 3bximalpunkt von ? f k ( U ) und irn Falle I,(;) + O w Minirnalpon1;t von 3" U) k t .

0 A'-1 Eine Polge Z= {z, . . . , z ) heiljt brauchbare (optimal brauchlmre) Variation von

k k U , falls jecles z + 0 brauchblzre Variation von U zur Stufe k ist (falls jedes z $0

k brtmchbare und mindestens ein z optimal brauchbare Vnria;tion von U zur Stufe k jst).

Fiir brauchbare Variationen gilt folgendes Fundamentallemma.

L e m m a 1 : 3 s sei U eine zulLissiye h?ezcerzmy z~nd Z ei.tze 6rawhhare Varicction *eon U . Dann gibt es ein uo>O clerart, dab

0 0 1 - '-1 U(,)={u+,z,. . , . -'u f u z )=Uf uZ

fiir ulle v.E[O. K,] zzcl6ssige Stezcerzcng von ( 1 ) ist und fur die ztcgehorencle T r u - jektorie

q&)) >c&, o c u sr*" , 0 1 N

zcobei X = {z, s. . . . , x) die zzc U gehorende azdassi~e Trqiektorie ist .

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1 mit - O,(a) - 0 fiir Y. - + O existied daltheu ein a; >- O mit

a S S

1 + I 1) 5 - a '

Darsus folgt . k k .

O<a = lnin mas {a, j q, (2~+a~zj~i))-=0-7 * ~ e f . OSk5.X -1

und k k

pk ( u + K z ) s O , O S B S C / . * , k=0, . . . , N-I . &ii: -;;%!:!e ::u:: a = Q, ;: 5 , ~ , 9 0 Irkin, && f i ~ r die Vil,riation Z = &e Gleicliiiiigeii in dari T$ariatioileii gelten, c!. h.

2: fl k k k k k k y = V z f ( x , u ) y + V J X ' ( z , u ) x , k = O , i , . . . , N - I .

k Nach (5) folgt daraus (mit der Definition von z )

-V-1 k k k ( om(:), $)=. 2 ($l , o.p(~, U ) Z)

k =o

= at>O. Def.

Wegen (6) ergibt sich

womit das Lemma bewiesen ist. E s sei qk 2 0 und

Wir betrachten die mit der Indexmenge I?(:) enveiterten Variationssuclr- probleme

k k B ( vqlti(?4), '2&)+g;ci(21,) S O j c , i ~ 1 : ~ ( ? 6 ) 3 '. .

k k k k Es sei pk(qk, z , 'ZL) cler Optimalmert von M,k,(U) uncl a,(%, x, 26) entsprechend von 8 t k ( U ) . Mnn 11;ann leicht rnit den obigen Betrachtungen zeigen, dalj eine Steuerung

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6 E entsprechend der obigen Defmition, \TO in clieseln Falle 1,ju) durcll l p ( u ) zu erset,zen ist.

Hier x-ircl dlts folgende Verfahrer; zum Finclen einer st:ttiondren Stcuerung fur die 14ufg;~l>e ( 1) begriinclet ,

0 A-l 0. >Is11 bestimme eine zuldssigc Anfangsstcuerung U0 = (.uO, . . , , uO) , die

0 zogeeh6~~iale zul8ssige Tr;tjektorle X O = {xu, . . . , $,) mit T: = a ~ I ~ L U / L (1) und me

( N O ,A I?

entsprechende P-Folge Po= ~ p ~ , . . . , po) ]nit pO= 3@(x0) nach (3). AuBerciem seien 7 , > 0, . . . . "17, > 0 vorgegeben.

ii 1. Angenommen, Urn, X, und P, sincl bereits konstruiert. Wenn pL(q6, z,,

k zc,) = 0 (0 s k S N - I), bricht das Verfnhren tab, cla U , stationdre Steuerung ist. Anclernfalls hestimme man eine optimal brauchbare Variation 2, von U,:

- ..o i V - 1 zm = iZ,,, . . . . Z;,, j >

wobei die Variationssuchproble~ne $$&(Urn) u~icl a & ( U i ) zu; benutzen sincl und clie folgende 2usa;tzregel beachtet wird: piir jedes k (0 s k s N - 1) gilt: Nach hijch- stens N Iterationen wird eine optimal brttuchbare Variation zur Stufe k in 2, beriicksichti@, sofern eine solche existiert.

2. Man lose die Aufgi~Le

ist cr,, Jfasimalelernent, so setze man

Urn + I = Urn a,nZm . Das Verf ahren werde nun naher untersucht. Es sei s (0 s s s iV - 1) ein Index,

fiir den die Beclingung

nicht crfullt k t . 1Vkhlt man k als 3faximaleleinent der Aufgabe I ,8(Um), hm im

Falle I ~ ( & , J + @ als Yinimalelelnent der Aufgabe 8t6(Urn) und Am > 0 (sonst

dm = 0, 1, = 0), dann ist 2, mit

eine optimal bri~ucllhare Variation. I m folgenden wircl stets angenoinmen, dal3 die henutzte optiiud 1,r:auc:hl)are Variation 2, in1 Punkte Urn die Forni (15) hat.

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Es xerde nun die Trajektorie X(x) l)etrnchtet, die sic11 m s dein System

k f l P X: z ( a ) = f ( x ( a ) , t ~ , ) ( s + l ~ k ~ N - I ) .

Man ersetze in

-V -1 ,--2 _V-2 N - 2 x ( u ) durch f- ( x ( a ) , u,) ; sodann ersetze man in dem entstehenden Ausdruck

3 - 2 8L1

x ( u ) entsprechend der Puaktionalgleich~~~ig usw. bis x ( a ) ; schliel3lich erhalt man

und damit N

@(x ( x ) ) =@(P*(u) ) , momus sieh

ergibt. Die Aufgabe (14) reduziert sic11 damit auf

mas {@(F8(u ) ) 1 rp, (&+a;,) SO, 0 s a 5 I ) Bestimmt man zuniichst

E=max {cn y, ( ~ , , + u ~ , ) s o , O S U S ~ ) , so ist die Funktion @ ( P y a ) ) im Interval1 [ O , a] zu marimieren. Nach Lemma 1 w i d das Xaxirnum fC~r cn,=-O angenommen. Fiir das Verfdiren geniigt es aber im Falle, da13 mehrere Mnsima existieren, dasjenige lokale 8Jnximum zu bestim- men, das dem Nullpunkt nm nkchsten lie@. Als notwendige Bedingung hat man in jedein Falle

" a@ d~:('x) 2 Z&,=O. 1 =I

Piir Aufgaben des Typs (14') scheint moglicherweise die Methode des goldenen Sclmittes gut geeignet.

Es sei nun angenommen. da13 die durch das Verfalzren entstehende Folge {U,) zulassiger Steuerungen unendlich ist.

S a t z : W e n n irn Verfahren bei W7, 3 0 stets A s L, 5 2 -=m mit A z 0 gilt, dann ist jeder Haz~zcng.spzmkt der Polge {U,) stationtire Stezcerzmg fiir das diskrete Stez~e- rzcnqsprobiem ( i j 2 .

N E a sei bemerkt, (In13 die Menge {s ; @(z) &@(.zo)) als s te t~gesBdd ainer lioinpitlrte1131~-nge sclbst kompnkt 1st.

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mit

m i n ~ 0 , ( a ) - 0 fur a - + 0 . t

Wahlt man q w O so klein, clnn

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A-us beitlen Ah~chdtzungen folgt, daB ein a,>O euistiert rnit

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Reriicl;i;irl~tigen XI-ir (17) : S O Eolgt arln (IS): dal3 es ein Z > i i gibt mit u1 +iiztE Z;S 1m cl

s *Y A- @ ( q l i - ~ y ~ ) = r @ ( x ~ f C Z , Z > O .

N d u s dieser Abschatzunq folgt, da13 dna Funktional cf, auf der Folge {x,) unendlich

oft urn die von 91% unabhkngige Crolje zunirnmt, was wegen

~inii~iiglinh i s t . Dnniit ist gezeigt, &LR fiir jede Stufe s. hei tler die b'olge (i,) unendlirh vide optimd I)rnucllbare Variakionen xur Stuie s entl~kit. die Beziehung

k t k ( Vyki(um), v) + gk,(u,). i C I;Ik(u,)) = O .

Diese Beziehung zeigt! daU fiir jeden Hdufungspunkt U* cler Folge (U,) zu- sammen mit der entsprecllenden P-Folge P, uncl cler zugetiorenclen zuliissigen Trajektorie X, die Beclingung (7') erfiillt ist. d. 11. CJ* ist st:~tiondre Steuelung der Aufgabe (I), q, e, d.

Zur Bestimmung einer zul~isuigen Anfmgsstenerung Uo h a t man die treien - -. M ulimumprobieme

zu betrachten. %fit einern iier Verfahren ituv [ 2 ] , [3] erlldlt man zu jedem dieser Probleme nach endlicll vielen Schritten einen zuldssigen Anfangspunlit.

3. Anwendung snf Problerne nit beschriinkten Phasenkoortlinaten

Zusatzlich mogen im Problem (1) die Phasenl~oc~rdinnten clurch Ungleicllungen beschrhkt sein :

,- N k + I ,, k k , ? . rnnxt@(z) 1 x = j " ( ~ , u ) ; p 7 ~ j u ~ j s u , z = u , . . . , N - i ; (is)

0 b x = u ; yk(x)5O, k=l, . . . , N ) .

Dabei seien f,; yr wie oben; y, sei :~nalog eine M:~xirnumfmilition

~ J x ) = max hgi(x), -Ik = (1, . . . , nk) ii TI. , --.,

]nit konvesen, differenzierbaren Funktionen h k j uncl cier Voraussetzung

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0 1 .'V-l 1 S Es sei U = (u, u, . . . , u ) eine zuldssige Steuerung und S = (a, x, . . . , s) die zu- gellorende Trajektorie. Vnn setze

k ergibt. Xan wkhle nun eine zulBssige Variation v von U zur Stufe k ; fiir diem mu13 zi~nixhst gelten

1 2'"'

Die clndurch erzeugto Variation Y = (0, y, . . . , y der zulassigen Trajektorie X muI3 gewissm Beriirqu9gen gendgen; clamit &e entstehende ileue Trajektoric,

wiedt.?. z~~ldssig kt.; Z~.~~:ii.r.hst hernerkt manj d d nur die 2:jstiinrlle $ mit s r k k

durcll die zulassige Variation v beeinflul3t werden, also ist = 0 fLir s ~ k . Es mu6

. k+l k k k 4 1 - fklv ZL) Y - UJ \->

uncl fiir s > k S+l y = ~/,f"(i, tl) ;

d. 11. zusammen

k Beriicksichtigt inan ( 2 2 ) , so folgt aus (23) eine Beclingung an v aus der s-ten Stufe fiir s>k:

s s-1 k+l k k J d (Oh,,(x), A . - - A Bv)+hsj(x)zO, j ~ J , ~ ( x j . (-31)

(20), (2) uncl (24) liefern zusanlmen das Variationssuchproblem %t,k,k(U) zum Problem ( 19) (ilk > 0 ) :

k k k

( Pglci(?c), v) 4- gki(zc) S 0, i E Ilk(?&) ; s 2-1 k

( 'Jh,,(x), A - - . A Bv) + hs,(z) s O ,

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Hierauu gewinnt lllsn leicl~t clss zweite Varintionssuchproblem : S S-1 L i l I;

3,:,,(U) : niin {G, / T@(z) 3 - . ..A B, zo) z 0 , w E HrL; L k k

/ " s v q k i ( . ~ ) : zo )+qkQu)~ck7 i ~ I ~ ? ( u ) ;

j F_ J:.(;), s = L Z ~ - I, . . . , 11 . >kt diesen A d g L ~ l x l ~ k ~ n n man das Verfahren aus -3. tluc!~ auf dns (iis2i;l.c-ti: Steuerungsproblem (19) anv enden, wol~ei man in Ahnlicher Weise die Konvergenz gegen e lm stationare Steuerung beweisen kunn.

Ulx eme zulissige Aniangssteuerung zu erhalten, kann man wiecler em Ver- fahren i ~ u s [2], [3] benutzen, das hier auf clas Problem

;ulsl~mc?~c!cn is$. Fn!Is zirie zu!;,ssige Ar>3s11gss.te1~er?~111g exist-&, er]~$~!t. :ri:i.n naci!l encllich vielen Schritten eine solcl~e.

1st Z, gemdB (15) eine optimal brauchbare Variation von Urn, so ergibt sic11 bier f < ~ r die Ailc1erung cier Trajektorie X,, zu X,,(y.) :

k k xrn(x) = x,,, ( 0 s k S )

s f 1 8 8

zrn (z) =?(X,, U, 4- dm) Def. = Fl(a) , ~ + e s +l z,(x) = f S + l ( F : ( ~ ) , 26,) = F : i i ( x ) ,

Def. pJ.1 1.

krn ( ) = f k ( F ( ) 6 ) = F ) (E=-s) . Def.

Als Schritt~veitenprobleln (14') hat man somit die Aufgshe

Literatur

[ I ] BITTXER, L.: BegrC~ndung des sogenunnten diskreten ;;SIaximnmprinzips. Z. Wahr- scheinlichkeitstheorie verlv. Geb. 10 (196S), 259-304.

121 D E ~ J A N O ~ , W. F., urld I\-. N. MALOSENOW: Einfijhrung in Minimax. Moskau i972 (Russisch).

[3] HOLLATZ, H.: Ein ullgelneirle~s Verfahren der zulilssigen Richtungen fur diskrete Minimax-Aofg:\bt:1: ],:it besvhriinkteri Para:netern. Mat1ie:n. Operationsforsch. u. Statist. 6 (1975) 4, 535-547.

[4] PROPOI, A. I.: Methotlcn tler zuliissigen Richtungen fur diskrete Steuemngssystcme- Avton:atika i Tc1einec:llaniki~ (1967) 2: 69-79 (Russisch).

[ 5 ] PROPOI, A. I.: Elemcb:lte der Theorie optilnaler, cliskreter Prozusse. Moskau 1973 (Russisch).

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In this paper a 111ethod for finding stationary controls of discrete control problems is foundeii. This nlethoci is based on a method of feasible directions derived in j2j. W!lerras irk prex-ious itpplietttions of these rnethocls i t was neesssary to solve the veriationa! problem

. . of a!! stages for ei;& iteration step, here it L", GL, ...a +b,.+ , "b, ,.. . .. "L'C --,, "yL;,L'*l ,.-+ ..-.- a U ; L a h l G " ..,?" - ...,..... " ' z L > a L L " . L ' .r>., of one stage for each iteration step is necessary.

Eingereicht bei rler Redilktion: 17. 9. 1973; encigiiltige Vilssung: 39. 10. 1976

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