Uber eine Verallgemeinerung der Theorie der Kummer'schen Fl~che und ihrer Beziehungen zu den Thetafunctionen

zweier Variablen. Yon Dr. Wilhelm Wirtinger in Wien.

Die bereits yon B o r c h a r d t nnd C a y l e y -x:) consfa~ierte innige Beziehnng der K u m m e r'sehen Fliiche zu den Theta- funetionen zweier Variablen legt die Fra,ge nahe, ob diese Be- ziehung speeiell an die Zahl zwei gebunden ist oder ob w i r e s mit dem ersten Glied einer Reihe yon Gebilden zu thun haben, welehe zu den Thetafunetionen mehrerer Variablen in derselben Beziehung stehen, wie die K u m m e r ' s c h e Fl~,iehe zu denen zweier.

:Eine niihere Untersuehung dieser Fr~ge bei den Theta- Sunetionen dreier Variablen, die ieh auf VeranIassung des Herrn K l e i n unternahm, zeigte bald, dass fiir diesen Fall ein tier K u m m e r ' s e h e n Fliiehe in Bezug ant die Configuration der Singulariti~ten vollst~indig ana]oges Gebilde existiere, und dass aueh~ was besonders bemerkenswert erscheint, das yon Herrn K l e i n bei der K u m m e r ' s e h e n Fl~iche constatierte thndamen- tale Systeme yon Collineationen und Corre]ationen in seinen charakteristisehen Eigensehaften wiederkehre. ~-)

Die ]. e. an ein sloeeie]les A r o n h o 1 d'sehes Siebenersystem gekntipfte Darstellung ]Ssst sieh nun, unabhSngig davon, auf Thetafunetionen yon 50 Variab]en erweitern, ohne dass dieselben der Besehriinkung unterworfen zu werden brauehen, zu einem algebraisehen Gebilde yore Geschleehte/) zu gehSren.

Dass im fo]genden Rgume yon hbheren Dimensionen fort- wiihrend vervcendet werden, dtirfte sieh dureh die Klarheit und Einfaehheit der Resu]tate einerseits, dureh die Analogie mit dem gewShnlichen Raume andererseits reehtfertigen.

*) Crelle, Bd. 83, 84. **) Nachrichten der kgl. Gesellsehaft d. Wissensehaflen in G5ttingen vom

3. Aug. 1889. 8*

114 Wilh. Wirtinger : Verallgemeinerung d. Theorie d. Kumm er'schen

Zm' ]eiehteren Orlenfierung stellen wit die in der Folge gebrauchten Bezeichnungsweiscn aus der Geometrie des Raumes yon n I)imensionen zusammen.

Wir verstehen wle iiblich unter einem By des Raumes vol~ n Dimensionen eine dutch n - - v lineare Gleichungen zwisehen den homogenen Punktcoordinaten x~ definierte lineare Mannigfaltigkeit.

Die u der Coefficienten U~ der Gleichung eines R,,_~ bezeiehnen wir als die Coordinaten des R,,__~. Eine lineare Transformation des n dimm!sionalen Raumes in sich, bei wclcher jedem By wieder ein R,, zugewiesen wird, nennen wir eine Collineation.

Werden den Punkten des R~ dnreh n + 1 lineare Gleichungen n

yon nicht versehwindender Determinante (J~ = ~ ~7~ a~,~ x~, die 1

R,-1 desselben Ranmes zugewiesen, so nennen wit dies eine C o r r e l a t i o n . Wir nennen sie involutoriseh, wenn ihre zwei- malige Anwendnng auf ein beliebiges Gebilde dasselbe repro- duciert. Dann entspricht jedem dureh den Punkt x gehenden R,~_~ ein Punk% weleher in dem x entspreehenden R,_~ liegt.

Die involntorischen Correlationen zerfallen, wie bekannt, in zwei Classen, in solche, flit welehe die Covariante der ver-

st einigtenLage ~ U~x~ idenfiseh versehwindet, wenn fiir die Us

ihre Werte in den x~ gesetzt werden, und in solehe, wo dies nieht der Fall ist.

Die ersteren, wo jcder Punkt auf dem entsprechenden/~,~_~ liegt, nennen wir N n 11 s y s t e m e, die letzteren P o 1 a r s y s t e me.

Ein algebraisches Gebilde yon v Dimensionen, welches yon einem R~_~ in m Pnnkten geschnitten wird, soll kurz als M~ ~ be- zeichnet werden.

I.

Jdezeichnet man in iiblicher Weise den Zahlencomplex

I g,.q . . . . gp } kurz mit [~], setzt man ferner fiir die h glle g, h i h~ hp Combinationen yon Null und Eins, so gehih't zu jedem tier 2 ~s Complexe [s] als Charakteristik eine Thetafunction yon p Variablen v~ % . . . vp, welehe durch (lie Summe

(i)

( m ~ , = - - ~ . . . . - - 1, O, 1 , 2 . . . + oo) (i, k, l, g - - 1 . . . p )

Flaehe u. ihrer Beziehungen zu d. Thetafunetionen zweier Variablen. 1 15

WO die a.k nur den bekannten Convergenzbedingungen der Theta- reihe unterworfen sind, definiert ist und die wir mit ~ [el vT~ bezeichnen.

Versteht man unter der Summe mehrerer Charakterist iken [e J, [e'], . . [e(~)], wie gebriiuehlich, denjenigen Zahlencomplex, dessert einze]ne Zahlen aus den kleinsten positiven Resten modulo 2 der Summen der an correspondierenden Stellen in den einzelnen Complexen stehenden Zahlen gebildet sind, bezeichnet man ferner das GrSgensystem

~ , - - p

/ t = l

als ein zur Charakteristik [e'] gehSriges System ha]ber Perioden, so besteht die Relation

1 ~ (2) +

-- A--ai , kg"i9"~ 2-~9 k(?1~ -- ]t'z.)Z[ .--~ g'kVk +) i . k o l:

( k ~ 1 . . . T )

Es geht also die zur Charakteristil( [ ~ - ~'] gehSrige :Function aus der zur Charakteristik Is I gehSrigen dutch Ver- mehrung der Argumente um ein zu [s'] gehSriges System halber Perioden hervor, abgeseheu yon demVorzeichen mid einem Ex- ponentialfactor, weleher nnr yon [s/] abhgngu

Von den 2 2p so definierten Functionen sind wie bekannt. 4 p 2 p P 4 p -- 2P die ......... fiir welehe ~g~ ]~ :~ 1 mod 2 isL ungerade, die

2 ~ 2 P

mit ~g~]~ 0rood2 gerade. I

Die ungeraden Functionen verschwinden fiir die Nullwerte tier Argumente, dagegen sind fiir diese Argumente die geraden im allgemeinen nicht Null. Uberhaupt versehwindet, wie aus Formel (2) ersichtlich ist . eine be]iebige Thetafunction nur ffir diejenigen Systeme halber Pe~ioden. welehe zu Charakteristiken geh5ren, die gteieh der Charakterist ik der gegebenen Theta- function mehr einer ungeraden Charakterist ik sind.

Die Quadrate dieser 2 ~p Functionen sind Thetafunetionen 2 Ordnung, die sieh bei Vermehrung der Argumente um ein zusammengehSrlges System ganzer Perioden um denselben Ex- loonentialfaetor ~tndern und k5nnen daher siimmtlich nach be- kannten Sgtzen durch ein System yon 2~ linear unabhiinglgen nn te r ihnen l inear und homogen ausgedriiekt werden.

*) Man vergleiehe hierfiir etwa Prym, Untersuehungen tiber die R i e- m ann'sche ThetaformeI.

1 1 6 Wilh. W i r t i n g e r : Verallgemeinerung d. Theorie d. K u m m e r ' schen

Solche Systeme liefert die allgemeine Theorie der Charak- teristiken in den yon F r o b e n i u s sogenannten ,,G 5 p e l'sche~ Systemen" .-2)

Hier wo]len wlr u ,s damit begniigen, eine Rege] anzu- geben, welehe erlaubt, solche specie]le Systeme hinzuschreiben, welche die Eigensehafc, dass die zugehSrigen Thetaquadra.te linear unabh~ingig slnd, aueh dann noch beibehalten, wenn m den vorge]egten Thetafunctionen a~k-----0 fiir i ungleieh k ist, die Thetafunetionen also in Produete von lauter elliptisehen Theta's zerfallen.

Man nehme zwei Charakterlstiken an

von der Besehaffenheit ,. dass fiir kein i zugleieh .qi : g'i und h~ --: h'i ist.

Wir behaupten, dass die 2v Charakteristiken, welehe da- durch entstehen, dass n~an in der ersten beliebige g~, hi dureh die correspondierenden g'~, h'i der zweiten ersetzt, die in Rede stehende Eigensehaft haben.

Ffir den Beweis geniigt es nun offenbar zu zeigen, dass in dem oben erwghnten Speeialfa]le eine lineare Relation zwischea den zugehSrigen Thetaquadraten nieht bestehen kann, da j~..eine im allgemeinen Falle bestehende lineare Identit~it beim Uber- gang zum Speeialfall erhalten bleiben mfisste.

Dann gehen aber die zu den beiden Charakteristiken [a], [fl] gehSrigen Thetafunetionen fiber in Produete yon elliptischen Thetafunetionen.

[gi] and Bezeiehnen wir also die zur Charakteristik h~

der Periode a, gehSrige elliptisehe Thetafunction des einen Argumentes ui mit 0~i~)(u~} und dem entspreehend die zur

Charakteristik [~::i] und derselben Periode geh5rige mit 5'~ ) (~),

so versehwindet niemals ~ ) (u0 zugleieh mit .~I z~(u~). Irgend eine Thetafunetion unseres Systems yon 2p Funetionen besteht dann aus ~ Faetoren ~I '~' (u.i) undlo--v Faetoren b~ ~ (~tk), so class alle auftretenden unteren Indices i , /c yon einander versehieden sind.

Gibt man nun ~ Argumenten u~ solehe Werte, dass Funetionen ~:Z~ (u~) versehwinden und dan uk solehe Werte, dass

*) F r o b e n i u s , Untersuchungen tiber das Additionstheorem der Thetaz funetionen. C r e l l e , 89.

Die bier verwendeten Systeme sind specielle G S p e l ' s c h e , wie hier aus- driicklich bemerkt sei, da man sonst nach dem Folgenden vermuthen kSnnte, man kSnne ftir beliebige aik stets alle Thetafunefionen des Systems bis auf eine dureh ein passendes System halber Perioden zum Verschwinden bringen, was nicht der Fall ist.

Fl~che u. ihrer Beziehungen zu d. Thetafunetionen zweier Variablen. 117

~--vFunetionen (t~)(uk) ebenfalls versehwinden, wo i irgend v Zahlen aus der Reihe 1 . . . p bedeuten mag, k abet dann die iibrigen p- -v durehl~uft, so ist klar, dass dann alle Theta- funetionen des Systems his auf eine versehwinden. ]3ann miissen aber ihre Quadrate linear unabh~nglg sein, weil die eine nieht versehwindende beliebig gew~hlt werden kann.

]I.

Definiert man nun ein p dimensionales Gebilde des Raumes yon ~ u 2P-- 1 Dimenslonen dureh

wo die [e~] eines der im vorigen besproehenen Systeme bilden sollen, die x; aber homogene Punkteoordinaten des Raumes yon N Dimensionen bedeuten, so folgt zun~ehst, dass dieses Gebilde ein a l g e b r a i s e h e s ist.

Die Quotienten a ~ [e~] (v~): 8 2 [ek] (vk) sind namlieh sfimmt- lich eindeutige 22-faeh periodisehe Funetionen der v~ mit den- selben Perioden, also naeh einem Satze des Herrn W e i e r- s t r a s s*) durch eine unter ihnen und ihre ersten partlellen Ableitungen nach den v rational darstellbar, w~hrend zwischen diesen letzteren und der Function selbst eine algebraisehe Gleic:nung besteht.

Die Frage naeh der Ordnung des Gebildes kSnnen wit mit ttilfe eines Satzes yon P o i n e a r ~ beantworten.

Darnach hat n~mlieh ein System yon 2 Gleiehungen 0 i (v) : O~ (v) . �9 �9 Op(v) = O, wo die O~ Thetafunctionen der- seIben a~k von den resp. Ordnungen rni bedeuten

m~. ~ . ~ . . . . mp "2 ! modulis den Perloden ineongruente LSsungen. **)

In unserem Falle ,entspreehen also den Sehnittpunkten des

dureh p Gleiehungen ~ b;~ x,-- 0 (1r 1 . . . / ) ) definiertenR~_p 2P .2) !

Wertsysteme der v, die man als LSsungen derjenigen Gleiehungen erhglt, welehe aus den Gleiehungen des Rs_~ dureh Substitu- tion yon 8~'[e~](vk) fiir xs herv0rgehen.

Da jedoch zugleieh mit (~,k) aueh (--vk) dieselben befriedigt, beide Argumentensysteme aber dieselben Wertsysteme der x~ definieren, so erhalten wir endlieh p [ 2~-* -- mals Ordnungszahl des fragliehen Gebildes.

�9 ) Monatsberiehte der kgl. Akademie za Berlin. 1869. C r e l l e s Jourual~ Bd. 89.

�9 *) Bulletin de la Soci~t~ math~maiique do France, Tome XI. Die An-- wendung auf den vorliegenden Fall hut Herr K1 e i n gegeben in der Leipziger, Vorlesung fiber hyperelliptisehe Functionen (Winter-Semester 1886,87); vergL aueh den Naehtrag zu R e i c h a r d t s Dissertation (Halle t887).

11~ Wilh. Wirtinger: Verallgemeinerung d. Theorie d. Kummer'schen

U n s e r e M; , wie wir in Hinkunft das Gebilde bezeichnen wollen, h a t n u n z u n E e h s t - - e n t s p r e c h e n d d e n 16 l~ngs K e g e l s e h n i t t e n b e r f i h r e n d e n E b e n e n d e r K u m m e r - s c h e n F l ~ t c h e - - 22p l ~ n g s j e e i n ~'" "~ e r lup_'l b e r f ih rendeR~_l .

Denn untersuchen wir das, ienige auf unserer M~ ' gelegene Gcbi]de, welches durch Nu]lsetzen irgend einer der 2 ~p Theta- function ,~ [o~](vj~} definiert ist, so hat es die angegebene Dimen- sion und Ordnungszahl und liegt wegen der ]inearen Darste]l- barkeit des Thetaquadrates durch unsere 4t2[e~](vk) in einem R~:I, dessen Gleichung man erh~ilt, wenn man in der Darstel- lung des gew~hlten ~2 dutch die ~- [~] (v~j die ]etzteren dureh die x~ ersetzt und das so erhaltene Polynom gleich Null setzt. Die M~:~ bildet doppel~ gez~hlt den vollst~ndigen Schnitt der R)--1 mit der M~ ~ und die Bezeichnung der Beziehung als Berfih- rung reehtfertigt sieh dadurch, dass der Berfihrungs-R~) eines

m Punktes der M "~ auf der Mp :~, d. h. derjenigeR~ we]cher in p

der Umgebung eines nicht singul~ren Punktes das Gebilde his auf GrSiten 2. Ordnung darste]lt, ganz in dem R:~_~ liegt, wie

Nd- 1

man dureh Differentiation der Gleichung ~2 [w] (v~:) =~a~&~ [e~](v~} i ~ l

nuch den v in Verbindung mit den Definitionsgleiehungen des Tangential /~

(.i=i N+0 1.~ d v k

WO die x~ den Rp durehlaufen, wenn die L.: alle mSglichen Werte almchmen, soibrt einsieht.

W e i t e r h i n g e h t u n s e r e M~ ~ d u r e h - - d i e I d e n - t i t ~ t m i t e i n g e r e c h n e t - - 2 ~ p C o l l i n e a t i o n e n , w e l e h e e i n e G r u p p e b i l d e n , in s i c h fiber.

Denn, wenn wir die v um ein System zusammengehSriger 1 halber Perioden ~ e~ 1nit der Charakteristik Is] vermehren, so

bleiben die neuen Functionen linear unabh~ngig and jeder Punkt des Gebildes geht in einen anderen desselben iiber.

Da nun zufolge der Formel (2) die O'~[e~](v~) " bei dieser Substitution bis auf einen allen gemeinsamen Factor in die ~[e~ + el (v~) fibergehen, die letzteren abet linear und homogen durch die ~ I-~;] (v~) darstellbar sind, so s dass unser Gebilde bei denjenigen Collineationen, welche einem Pnnkt x~ denjenigen Punkt ~ zuordnen~ dessen Coordinaten dureh Ersetzung der ,'t2 [e~] (v~) durch die x~ in den Ausdriicken der ~ [e~ + el (v~) dureh die ~ [e~](v~) erhalfen werden, in sich fibergeht.

Fl~tche u. ihrer Beziehungen zu d. Thetafunctionen zweier Variablen. 1 19

Da man s aus den Ausdriicken der O 2 [e~ + ~] (vl~) dutch die ,~- [ei] (vk) auch umgekehrt die letzteren durch die ersteren aus- gedriickt erhiilt, und zwar durch die niimlichen Formeln, wenn man die Argumente noeh einmal um das System halber Perioden 1 sl~ vermehrt, so fb]g~, dass�9 aueh die x~ dnreh dieselben Forme]n

in den ~ dargestellt werden wie umgekehrt, also die Collinea- 'donen involntorisch sin&

D i e s e s S y s t e m y o n 2-'p C o ] ] i n e a t i o n e n b i l d e t e i n e G r u p p e .

Denn aus der Eindeutigkeit der Darstellung eines bestimmten Thetaquadrates dutch die ~2 [ell (@ fo]gt sofort, dass man die- selben Substitutionseoefficien~en erhglt, ob man jetzt ers~ die d2 [~ + e'] (vk) dureh die 4.~ Is ] (v~) ausdrfiekt, dann die Argu-

1 , mente um das Periodensystem V e~ vermehrt and so erst

~2[e~q- e -4- e'](vx:) durch die O~[e,](v~) ausdrtiekt oder ob man direct ~$2 [e~ + e + e'] (v~) dureh die ,~ [ell (vk) ausdriiekt.

Es folgt als dutch Zusammensetzung der zu [el gehSrigen Collineation mit der zu [e'] gehbrigen die zur Charakteristlk [e + e'] gehSrige.

Diese Gruppe yon Collineationen vertauscht nun offenbar die den einzelnen Thetafunctionen zugeordneten R.v-I unter- einander.

Denn die Cxleiehung des zur Charakteristik [~] geh~Srigen /?x-, geh~ dureh die zur Charakteristik [el gehSrige Collineation in die Gleiehung des zur Charakteristik [e + ~-I gehSrigen -R.v - t fiber.

Da nun bei gegebenen [,/] und Is +,i] aueh [el = [*i] + Is +*i] ist, so ist dadurch, dass ein gegebener der 2 ~' Beriihrungs-RN_~ in einen anderen fibergefiihrt werden soll, die Collineation schon vollst~indig und eindeutig bestimmt, die Grupt?e also genau ein- fach transitiv.

Die Collineationen der Gruppe vertauschen angerdem die- jenigen Punkte des Gebildes untereinander, deren Argmnent- werte gleich den za den einzelnen Charakteristiken gehbrigen Systemen halber Perioden sind.

D i e s e P u n k t e s i n d 2 ,~-Ifaehe des G e b i l d e s .

Da dureh die Collineationen alle aus irgend einem unter ihnen hervorgehen, so geniigt es, d ie Behauptung for einen ~mter ihnen zu beweisen, also z. B. denjenigen, ftir welehen alle Argumentwerte versehwinden.

Die Reihenentwicklungen der Thetaquadrate beginnen in der N~ihe dieser Stelle mit Gliedern zweiter Ordnung fiir Bin ungerades Jell, fiir Bin gerades [s;] dagegen mit Constanten.

120 Wilh. Wirtinger: Yerallgemeinertmg d. Theorie d. Kummer'schen

Ein durch den in Rede stehenden Punkt hindurchgelegter R~, p ist definiert duroh p lineare Gleichungen zwisehen den xi, welche, wenn wir die x~ dutch die ~52[eJ(v~) ersetzen und ftir diese die ]~eihenentwicklungen einsetzen, durchaus mit Gliedern zweiter Ordnung beginnen.

Daraus folgt, dass unsere Stelle eine 2pfaehe LSsung dieses Gleichungssystems ist und da durch simultanen Zeichen- wechsel s~mmtlicher v keine neuen Stellen erhalten werden, das Gebilde also bei unserer Darstellung doppelt iiberdeckt erhalten wird~ so folgt, dass unser Punkt ein 2p-:facher des Gebildes ist.

D i e s e 2 2p P u n k t e b i l d e n z u s a m m e n m i t d e n 2 ~P R~x~_l e i n e d e r K u m m e r ' s c h e n C o n f i g u r a t i o n (16)6

�9 4 p - 2 p a n a l o g e C o n f i g u r a t i o n , d e r a r t , d a s s j e - 2 - - P u n k t e

4P--2P RN-1 d u r c h e i n e n a u f e i n e m /~.~- : l i e g e n u n d j e - - - ~ - -

P u n k t g e h e n .

Denn es verschwinden die 4~------ 2~- ungeraden Thetafunc- 2

tionen fiir das aus lauter Nullen bestehende Argumentensystem, also t~effen sich wegen der Collineationsgruppe in jedem Pm&te ebensoviele R,~=-I.

Ferner verschwindet jede Thetafunction fiir die 4P--2P 2

Systeme halber Perioden, welehe durch Addition der Systeme mit ungerader Charakteristik zu dem zu ihrer eigenen Charak- teristik gehSrigen entstehen~ ~lso liegen auf jedem Rr_~ auch

4P-- 2P Punkte. 2

~Vir finden also zun~chst die K u m m e r'sche Configuration (16)6 als Configuration (2e~)2p-~(2p 1) wieder. Wir bezeichnen diese Configuration in der Folge als H a u p t c o n f i g u r a t i o n.

II[.

Es soll nun der ~achweis fiir folgende Behauptung geliefert werden :

D i e M ~ g e h t a u ~ e r d u r c h 2 2 p C o l l i n e a t i o n e n a u c h d u r e h 2 ~ ' C o r r e l a t i o n e n in s i e h f iber . U n t e r d i e s e n

s i n d 4 P - 2 ~ N u l l s y s t e m e u n d 4P+ 2~' P o l a r s y s t e m e . 2 2

D i e s e l b e n b i l d e n m i t d e n 2 - ~ ' C o l l i n e a t i o n e n d e r a r t e i n e G r u p p e , d a s s d i e P u n k t e u n d R N _ l de s t ~ a u m e s v o n i V D i m e n s i o n e n zu C o n f i g u r a t i o n e n (2~P)Bp-l(2p_l) z u s a m m e n g e o r d n e t w e r d e n .

Fl~ehe u. ihrer Beziehungen zu d. Thetafunct ionen zweier Variablen. 1 2 1

W e n n w i r s a g e n , dass d ie M~ d a b e i in s i e h i i b e r g e h t , so i s t d ies so zu v e r s t e h e n , das s d ie P u n k t e d e r s e l b e n mi t g e w i s s e n RN--~ z u s a m m e n ge- o r d n e t w e r d e n , w e l c h e im d u a l i s t i s c h e n S i n n e a l s d e r M 7 a n g e h S r i g b e t r a c h t e t w e r d e n k 5 n n e n .

Die R.v_l s ind u n t e r a l l e n R.v-1 des R a u m e s y o n N D i m e n s i o n e n d a d u r c h a u s g e z e i c h n e t , d a s s s i e d i e

~ ~ " : ~ be- M~ l ~ n g s e i n e r in e i n e m /~.v-p-~ g e l e g e n e n - , ~ p - 2 r i i h r e n , d. h. dass f i i r die M~'~_I, i n w e l e h e r s ie d i e M ~

m : 4 t r e f f e n , d ie S t e l l e n d e r M , - 2 D o p p e l s t e l l e n s ind.

D u t c h j e d e n P u n k t der M~ gehen ~v-1 s o l e h e r R.v-1, d a r u n t e r co,-" den T a n g e n t i a l R e des P u n k t e s

m : 4 e n t h a l t e n d e , d e r e n B e r i i h r u n g s - M v _ ~ d u r e h den P u n k t h i n d u r e h g e h e n .

Die co~ 1 M a n n i g f a l t i g k e i t y o n s o l c h e n R~-I d u r c h e i n e n P u n k t de r M~ i s t so b e s e h a f f e n , d a s s d u r e h j e d e n Rp_~ m s o l e h e r R.v-1 h i n d u r c h g e h e n .

Die cc~-~ M a n n i g f a l t i g k e i t de r d e n T a n g e n t i a l Rp e n t h a t t e n d e n R.v:~ d a g e g e n i s t so b e s e h a f f e n , d a s s

d u t c h j e d e n Rp-3 ~ y o n i h n e n h i n d u r c h g e h e n .

Die B e z i e h u n g z w i s e h e n d e n P u n k t e n undRN_~ i s t a l so e i n e d u r c h a u s d u u l i s t i s e h u m k e h r b ~ r e .

Zum Beweise erinnern wir zun~chst daran, dass, wennman die zur Charakteristik (0o . . . o~ gehSrige Thetafunetion kurz mit ,~(v) bezeichnet, eine Gleich'ung~'" ";

(i, h _--- 1 . . . N + I ) besteht.

Da die linke Seite bei Vertausehung yon u und v unge- ~ndert bleibt~ so s alh ~ ah~.

Fiihren wir nun die Bezeiehnung ein

(i : 1 . . . N+I)

so wird die obige Formei zu-

(3) a + v) a - v) = o , i

h

Die O~(w) sind nun ebenfalls linear unabh~ngig. Denn, wenn man s v, resp. u die Systeme halber Perioden mit den

122 Wilh. W i r t i n g e r : Yerallgemeinerung d. Theorie d. Kummer'schen

Charakteristiken e; setzt, so erhKlt man ant der linken Seite die N linear unabhgngigen Functionen ~s [e,] (u~), resp. :~=~ [e,] (vk~ dureh die Oi[uk), resp. Oi rz~ ausgedrfickt.

Setzen wir nun in Formel (3) fiir die uk die Werte 1 1 u k - 2 ~7~, w o ~ ~k das zur Charakteristik (~ gehSrige System

halber Perioden bedeutet, so erhalten wir unter Q den aus Formel (2) zu entnehmenden Exponentialfaetor verstanden

1

1 Die (9~(uk + ~ k ) kSnnen wit ausdr~ieken in der Form

(a, O~ (uk + ,~ [a) i t

Ferner sei dementspreehend dureh die Gleiehungen

S r ' (: .~=1 . . . N+I"~ = ] ~'+U' h

wo die G die Coordinaten eines R,,__~ bedeuten, .jeder Charak- teristik ~o eine Correlation zugewiesen.

2P Diese Correlationen siM s die 4~"~- ungeraden Charak-

teristiken Nullsysteme, fiir die 4p + 2~ geraden Charakteristiken 2

Polarsysteme.

Denkt man sich n~imlieh in Formel (4) die (9,(u~. + 2wk)

dureh die ~2[e,](uk) ausgedr~iekt, so ist f~ir ungerades e~, wegen des bei Vertausehung der u und v aug der linken Seite au$- tretenden Zeichenwechsels a ~ - - - - a / ~ , also is~ die Bedingung des Nullsystems erffillt.

Ffir gerades a~ ~o]gt durch Vertausehung der u mit den v: a~ = a~, also ist die Bedlngung des Polarsystems efffillt.

Da zwischen den O~ ('~3 keine lineare Relation besteht, so sind die Determinanten s~mmtlieher Null- und Polarsysteme yon Null versehieden, die Correlationen also eigentliehe.

Diese Correlationen fiihren die Punkte der ttaupteonfigu- ration in deren _~_~ fiber und umgekehrt. Denn ~fir u~ gleich einem System halber Perioden mit der Charakteristik [~] werden

1 O~(u~o + <2-~) proportional den Coordinaten des zur Charakteri-

stik [w + ~] gehSrigen R~_~, wie Formel (4) ohneweiters zeigt. Nun ist zu zeigen, dass unsere Correlationen zusammen

mit den Collineationen eine Gruppe bilden.

FI:iche u. ihrer Beziehungen zu d. Thetafunctionen zweier Variablen. 123

Aus den Formeln a) ist sofort 'ersiehtlieh, dass, wenn man zuerst die zur Charakteristik [~o] gehSrige Collineation und dann die zur Charakteristik [w'] gehSrige Correlation anwendet, man die zur Charakteristik [~o + to'] gehSrige Correlation erh~tlt. Be- zeiehnen wir nun naeh Analogie der Substitutionentheorie die zur Charakteristik [~o] gehSrige Collineation mit S~o, die zur selben Charakterist ik gehSrige Correlation abet mit I'~, so ist zun~tehst wegen des involutorisehen Charakters beider Opera- tionen ~o) = S m , leo m T m .

Es ist dann naeh dem obigen So, To,' = T,o + ~o',

we die Opera, tionen in der Reihenfolge yon ]inks naeh reehts anzuwenden sine1.

Daraus folgt ' 7' W - i T 80,---- , o+o , ' -~ : ~,+~, 'To ,

oder wenn man beaehtet, dass [~o] ---- [{o + co'] + [~o'] ist und [to"] fiir [o~ + o/] sehreibt

~co, S~' + ~" = 1'o~ . . . .

so dass also die successive Anwendung der zu den Charakteri- stiken [~o']i [~o"] gehSrigen Correlationen die zur Charakterist ik [~o'+ ~"] gehSrige Collineation erzeugt.

Wendet man ferner auf beiden Seiten die Operation T~'" an, so erhRlt man

f <o" + o~" + o;'" : 8a/ + ~o'" T<,"" = T,," . Ta/ Toj'" : To;" 8~o" +co'" oder wenn man i'iir [ ~ ' + co'"] nur [~,,] sehreibt

: /~+~" = 5/'~" S~o. Da nun die Collineationen fiir sieh eine Gruppe bilden

und die Correlation, wie eben gezeigt, beliebig unter sich nnd mit Collineationen verbunden nur bereits vorhandene Oloerationen liefern, so ist damit die Gruploeneigensehaft erwiesen.

Aus der Grulopeneigensehaft folgt nun welter, dass sich die Punkte nnd B~- : des R,~ zu Configurationen, ~thnlieh der Hauloteonfigura.tion , zusammenordnen. Denn aus irgend einem .Punkte entsteht dureh die 0perationen unserer Gruppe ein Aggregat von 2 ~ Punkten und ebensovielen R . ~ 1 und durch keine Combination cler Operationen kann man einen weiteren Punk t oder einen weiteren R~_: erhalten.

Dann miissen abcr wegen der 4P--2P Nullsysteme dureh 2

jeden der 22v Punkte 4P--27' R~v_: gehen und umgekehrt in ' 2

jedem Rx : 4v--2P Punkte liegen, so class also die 2 ~p Punkte 2

und 2 ~p R.v 1 eine Configuration (2~P)2p-~(2~,_l) bilden.

124 Wilh. W i r t i n g e r : Yerallgemeinerung d. Theorie d. Kummer ' schen

Naehdem wir so die Analogie unseres Systems von Trans- formationen zu dem bei der K u m m e r ' s c h e n Fl~ehe auftreten- den, in welches es ffir p ~ 2 iihergeht, erkannt haben, gehen wir dazu fiber, dasienige Gebilde n~iher zu untersuchen~ in welches unsere M~ durch das System yon Correlationen fibergefiihrt wird.

Man kann dieses offenbar durch die Gleichungen

U~ = r O~ (~k)

definleren, wo die U~ die Coordinaten eines R.~:~ bedeuten. Dies erhellt daraus, dass dieses zun~chst durch die zur Charakteristik (ooo o) 0 0 gehSrige Correlation aus M~ entstehende Gebilde in sich fibergeht, wen~ die Argumente um ein System halber Perioden mit der Charakteristik [co] vermehrt werden, wobei die Gleichungen desselben abet in die G]eiehungen des durch die zur Charakteristik [~] gehSrigen Correlation aus M~ her- vorgehenden Gebildes iibergehen, durch alle Correlationen also dasselbe Gebilde erhalten wird.

Wi t untersuehen nun zun~chst den Schnitt eines so deft- nierten R~_~ mit der M~. Die Gleichung zwischen den Para '

N

metern des Sehnittgebildes erhalten wir, wenn wir in ~ U~ x~ : 0 1

die xi durch die 0 ,~ levi(w), die 5~ durch die Oi(uk) ersetzen.

Nach Formel (3) geht aber dann diese Gleichung fiber in (v~ + vk)-~ (u~-- vk) : 0. Die beiden Factoren ]iefern jedoeh

dasselbe Gebilde auf der M~, da, wenn ein System v der ersten geniigt, alas System - - v der zweiten genfigt, beide Systeme aber dieselbe Stelle auf der M~ definieren.

In der Umgebung derjenigen Stellen aber, flit welehe beide Factoren simultan versehwinden, verh~lt sieh das Gebilde offenbar so, wie zwei verschiedene Zweige eines und desselben Gebildes, and die Stellen sind Doppe]stellen in Ubereinstimmung damit,

class die Entwieklung yon ~,: O~ (~) ~2[e~] (v~) in der Umgebung l

dieser Stellen nach Potenzen der v mit Gliedern 2. Ordnung beginnt, deren Aggregat in zwei im allgemeinen versehiedene Faetoren zerfS]lt. Die Gesammtheit dieser Stellen in der R~. 1

~n:4 bildet naeh dem P o i n e a r g % e h e n Satze eine Mp-2. Diese ~ : a Mp_~ ]iegt in einem ]inearen Raume yon N--2~--I

Dimensionen. Denn dureh Differentiation yon Formel I I I naeh den u erh~lt mit Formel I I I zusammen p § ] unabh:~ingige

, M p _ ~ ge- Gleiehungen denen die ~[e~] (v) fiir d~e Ste]len der ~:4 nfigen. Dieser R . ~ - I kann daher aueh a]s Schnitt yon p un- endlich benaehbarten R~. ~ des Gebildes aufg'efasst werden.

Flache u. ihrer Beziehungen zu d. Thetafunctionen zweier Variablen. 125

H~lt man nun die vk und xi lest , und betruehtet die U,: und uk als ver~nderlich, so erh~lt man die zu dem vorigen dualistisehen S~tze. Dem vorigen RN-p-1 entspricht der Tan- gentia] Rp des Punktes mit den Parametern v, dem Sehnitt des Rx--1 eine c~p 1 Munnigfaltigkeit yon dureh x gehenden Rx-1,

m ' 4 der Doppel-Mp_'~ eine c~p-2 ]gannigfaltigkeit RN_~, welehe dureh den Tangential Rp yon x hindurchgehen und deren Be-

rn ', 4 ~lt riihrungs-Mp_~ den Punkt x~ enth~lt und yon denen u dureh jeden Rp_s hindurehgehen.

Es ergibt sieh nun unmittelbar der Satz, d a s s d u r e h u n s e r S y s t e m y o n C o r r e l a t i o n e n u n d C o l l i n e a - t i o n e n a u s e i n e m P u n k t e d e r M~ e i n e d e r s e l b e n ein- u n d u m g e s c h r i e b e n e C o n f i g u r a t i o n e n t s t e h t .

Das Gesagte soll dureh einen kurzen Hinweis auf die K u m m e r'sehe Fl~ehe verdeutlieht werden.

Fiir p --=- 2 wird unsere M~ zur K u m m e r'sehen Fl~ehe und die Gesammtheit der ]~unkte derselben wird dureh die ]6 Correlationen in eine Ges~mmthelt yon Ebenen iibergefiihrt, welehe die Xummer"sehe Fl~ehe in einer Curve mit Doppel- punkt ( N - - p - 1 ~--0) treffen, a]so in die Tangenti~lebenen der Flgehe. Dureh jeden Punkt gehen unendlieh viele so]ehe Ebenen. darunter eine, welehe in ihm selbst beriihrt. Dureh jeden Punkt des R~umes gehen 4 Tangenti~lebenen des Tangentenkegels aus dem gegebenen Punkt auf der M~, und da ein R,_ s fiir io = 2 nieht existiert, so f~llt der ]etzte Theil unserer allgemeinen Be- hauptung weg.

Die eingangs ~usgesproehene Vermuthung, dgss die Kum- m e r'sche F]gehe nur das erste einer Reihe yon Gebilden sei, welehe den Thet~functionen von p-Variablen ebenso zugeordnet sind, wie diese denen yon 2 Variablen und analoge Eigen- sehaften, besitzen, hat sieh also vollkommen bestgtigt.

IV.

Zum Schlusse sollen noeh dleienigen Verh~ltnisse be- sprochen werden, welehe in gewissen Speeialf~]len eintreten.

Wenn man die Zahlen 1, 2, 3 . . . p so in mehrere Gruppen vertheilt, dass die Zahlen der einze]nen Gruppe sowohl unter sieh a l s yon denen der anderen Gruppen versehieden sind, und alle bei k, deren i und ]c nicht derselben Gruppe angehSren, versehwinden, Sb zerfal]en die 2 ~p Thetafunetionen shmmtliehin Produete ~-oleher vo~l weniger als p Variablen.

Sei dann

126 Wilh. Wirtinger: VerallgemMnerung d. Theorie d. Kummer'schen

WO die einzelnen Charakteristiken [e~k)] dann aus den den Vari- ablen der entspreehenden Thetafunetionen zugeh~rigen gl, t~i der Charakteristik Is] bestehen in der n~mlichen Anordnung.

Da nun naeh unserer friiheren Darstellung die yon uns zugrunde gelegten 2p Thetaquadrate aueh ffir den speeiel]sten Fall des Zerfallens in lauter elliptisehe Thetaquadrate linear unabhiingig bleiben, so bleiben alle frCiheren blo~ auf das System der Co]lineationen und Correlationen beziigliehen S~itze in Kraft. Das Gebilde dagegen und die Configuration werden speeialisiert.

Zungehst ist bei tier Bestimmung der Ordnung des Ge- b~ldes zu beaehten, class nieht bloi~ ein simultaner Zeiehen- weehsel s~mmtlieher Variablen, sondern bereits ein soleher innerhalb der Variablen eines der Faetoren die Stelle des Ge- bildes unverSndert l~isst.

Dies ergibt, wenn r die Anzahl der Faetoren ist, die Ordnung des Gebildes gleieh p! 2 p-'.

L~sst man ferner nur die /c Variablen der 9 ten Faetoren sieh iindern, h~it dagegen die iibrigen fest, so erh~lt man eine

m~. Mk ~, m~----]~! 2~-% welehe zu den Thetafunetionen yon k Vari- ablen gehSrt und arts der allgemeinen M~I ~ fiir p : k hervorgeht.

Indem man nun aueh die fibrigen Variablen ver~ndert,

erh~lt man Bin ganzes System yon cop -k soleher M~"k, sodass 7I/ir ~/s diejenigen Punkte, welehe auf den einzelnen ,,~ des Systems

gleiehe Parameterwerte u haben, eine - - wenn r ~ 2 un-

eigentliehe - - M ~ ~ bilden. ~an sieht nun aueh leieht Bin, dass die Collineationen,

welche die M ~'7~ ~"~-:~ k in sich iiberfiihren, die ,,,~ 1, unter sieh ver- tausehen nnd umgekehrt. Da man ferner fiir r ~ 2 auf mannig- faehe Art die Factoren in 2 Gruppen zusammenfassen kann, so erhi~lt man den Satz:

I m v o r l i e g e n d e n S p e c i a l f a l l k a n n d ie -..s;14P!2P-~ a u f m a n n i g f a e h e A r t d u r e h d i e zu n i e d r i g e r e m l o

g e h S r i g e n M~ ~ e r z e u g t w e r d e n . J e z w e i s o ] c h e r Er - z e u g u n g s w e i s e n s i n d i m m e r c o n j u g i e r t , d e r a r t ,

d a s s d i e 2 u n k t e g l e i e h e r P a r a m e t e r w e r t e d e r M ~ ~ ~18 mP -k d es e i n e n S y s t e m s a u f d e n ~,,~_~ d e s a n d e r e n Sy-

s t e m s l i e g e n . D i e C o l l i n e a t i o n e n , w e l e h e d i e G e b i l d e des

e i n e n S y s t e m s in s i e h ~ i b e r f i i h r e n , v e r t a u s e h e n d i e d e s a n d e r e n u n t e r s i e h u n d u m g e k e h r t .

E n t s p r e e h e n d d e n v e r s e h i e d e n e n E r z e u g u n g s - w e i s e n de s G e b i l d e s s e t z t s i e h a u e h d i e 1-[aupt-

Fl~che u. ihrer Beziehungen zu d. Ttietafunetionen zweier Variablen. ] 2 7

c o n f i g u r a t i o n , w e l c h e d e g e n e r i e r t , u n d m i t i h r a l l e d u r e h u n s e r e T r a n s f o r m a t i o n s g r u p p e er- z e u g t e n C o n f i g u r a t i o n e n a u f m a n n i g f a e h e A r t a u s s o l e h e n C o n f i g u r a t i o n e n z u s a m m e n , w e l c h e zu n i e d r i g e r e m l o g e h g r e n . D a r u n t e r s i n d w i e d e r je z w e i A r t e n c o n j u g i e r t .

Das letztere erhglt man einfach dadureh, dass man mit diem zu irgend einer Charakteristik gehSrigen System halber Perioden beginnend, erst die Variablen der ersten Faetoren, dann die der zweiten etc. die ihnen zugehSrigen Systeme halber Perioden durchlaufen lgsst.

Seien nun die a Variablen in v Gruppen yon je Z,, )..~, Zi, ~-1, Z~ Variablen vertheitt, und gibt man s~mmtliehen Argumenten den Wert Null, so versehwinden alle Thetafunetionen der io Variablen, bis auf diejenigen, welehe nur aus geraden Thetafunctionen der Variablen der einzelnen Gruppen zusammen- gesetzt sind. Daher gehen durch den Punkt, dessen s~mmtliehe Parameter gleieh Null sind, und wegen den Collineationen dann dureh jeden Punkt der ttaupteonfiguration

1

RN-i und wegen der Nullsysteme liegen auf jedem -R.v-1 so viele Punkte.

Betrachten wir, um einen ansehauliehen Fall zu haben, wieder die X u m m e r ' s e h e Fl~che, wenn ihre Thetafunetionen in elliptisehe Faetoren zerfallen.

Man kann dann setzen:

322 "--- e a0 2 (~1 ; T) ~1 2 ('/2 ; T s) .~ = e a l ~" ( ~ ; ~) ao~ ( ~ ; ~') ~ = e ~1 ~ ( ~ ; ~) a,~ ( ~ ; ~')

a~ (u ; v) in der iiblichen Bezeichnungsweise der elliptisehen Funetionen zu verstehen ist.

Die K u m m e r'sehe Fl~ehe degeneriert dann in Uberein- stimmung mit dem obigen in das Hyperboloid x, xs - - x~ x4 -- 0. *)

Da das zu p = 1 gehSrige Gebilde eine Gerade- mit 4 aus, gezeiehneten Punkten ist, so sieht man, dass den beiden Systemen yon Erzeugenden das Paar nach dem obigen eonjugierter Er- zeugungsweisen entsprieht.

Die Configuration besteht aus den 1~ Schnittpunkten yon 4 Erzeugenden des einen Systems mit 4 des anderen. Durch jeden Punkt gehen 7 Ebenen und in jeder Ebene liege, 7 Punkte.

*) R oh n, Mfinchener Dissertation 1878. Betrachtungen fiber die K u ra- m e r'sche Fli~ehe etc.

~lonatsh. f. Mathematik u. Physik. L Jahrg., 3. Heft. 9

128 Wilh. Wirtinger: Verallgemeinerung d. Theorie d. Kummer'schen etc.

Fiir p - - 3 betraehten wir zungehst den Fal l , dass die Thetafunctionen in Producte yon elliptlsehen mit hyperellip- tisehen zerfallen.

Dann ]iegen auf dem Gebilde 12. Ordnung c~1 K u m m e r - ache Fl~chen, deren entspreehende Puhkte auf e~ 2 Geraden liegen, und zwar so, dass, wenn x und y je zwei Punkte einer and derselben K u m m e r'schen Flfiehe sind, die auf zwei Ge- raden Gx und G U Hegen, die Punktreihen x und y projeetiv sind.

Die I-Iauptconfiguration degenerlert so, dass 34 Ro dureh einen Punkt gehen, anstatt den 28 des allgemeinen Falles and sie besteht aus 4 K u m m e r ' s c h e n Configurationen (16),~ deren entspreehende Punkte zu je 4 auf 16 Geraden ]iegen.

Zerfallen aber die Thetafunetionen in lauter elHptische Factoren, so erhglt das Gebilde die Ordnung 6, and es treten an Stelle der K u m m e r'schen Fliiehen des vorigen Falls Hyper- boloide, so dass drei Systeme yon co: Geraden yon der Be- sehaffenheit auftreten, dass sieh die Geraden yon je 2 Systemen zu einer Reihe yon Hyperboloiden zusammensehliel3en.

Die Singularltfitenconfiguration l~isst sich dann auf 3 Arten in 4 speeielle ] (ummer ' sche zer]egen, deren s:~immtliehe 16 Punkte auf einem Hyperboloid liegen, and sich auf ebensoviele Arten aus Quadrupeln auf Geraden zusammensetzen und jede dieser ]etzteren Arten ist mit einer ersteren conjugiert. Statt der 28 Ii,, des allgemeinen Falles gehen 37 R~ dutch einen Punkt und liegen je 37 Punkte in einem R~.

Y b b s l im September 1889.

Vcran twor t l . Redact~ure : Prof. G. v, Evcllcr~ch an4 Era. W e y r . - Druck yon Gottlleb Gi~,tel&ComT. in Wien.