Über einen neuen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Text of Über einen neuen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung

  • l~ber einen neuen Grenzwertsatz der Wahrseheinliehkeitsreeh n ung.

    Von

    A. Khintchine in Moskau.

    1. Problemstellung und Diskussion des Gaul~-Laplaceschen Verteilungsgesetzes.

    Im folgenclen soll die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A durchweg mit W(A) bezeichnet werden. Ist E ein Ereig~is, W(E)=p, 1--p~=q, werden n voneinandcr unabhi~ngigc Versuche angestellt und soll E dabei m-real auf~reten, so lautet der Laplacesche Grenzwertsatz

    t~

    (1) ,~.~lim W{taf2npq

  • 746 A. KhinC~hine.

    ist wenigstens zum Tell dadu~ch bedingt, da~ er iiber das zu untersuchende Verteilungsgesetz in den vom Mittelwert sehr entfernten Gebieten nur sehr wenig aussagt; n~mlich nut, dal~ die diesen Gebieten entspreehenden Wahr- scheinliehkeiten unendlich klein ausfaUen, ohne etwas N~heres fiber ihre Gr5Benordnung zu berichten. Die Limesgleichung (1), die bekanntlieh gleich- m~Big in t 1 und t~ stattfindet, sagt ja im Falle (in bezug auf n) unend- lieh groBer positiver ~1, t~ offenbax nichts anderes aus, als dab die links~ stehende Wahrscheinliehkeit unendlich klein sei; der reeht~tehende asym- ptotisehe Ausdruck, dessen Aufstellung doch das Hauptziel des Laplaceschen Sa~zes ist, wird in diesem Fall illusorisch, und der Grenzwertsatz behauptet nicht mehr wie der Satz yon Bernoulli: n~imlich nut, dab Abweichungen m--np, die unendlieh grog im Vergleieh mit der Streuung 0----]/npq' shad, unendlich kleine Wahrscheinlichkeiten haben.

    Es schien mir nun yon Interesse, eine ni~here Untersuchung iiber die Frage anzustellen, ob und in welchem Grade das Verteilungsgesetz yon m aueh im Gebiete unendlich groBer ti, t. dutch das GauB-Laplacesche Ver- teilungsgesetz wiedergegeben wird. Ms Ergebnis Iand ich einen neuen Grenzwertsatz, dessen ausfiihrlicher Beweis den Gegenstand des vorliegenden Artikels ausmaehen soll; der Formulierung des neuen Satzes muB jedoeh eine kurze Diskussion des GauB-Laplaceschen Verteilungsgesetzes voraus- gesehiclct werden.

    Geniigt eine Gr5Be x einem solchen Gesetz mit der Streuung a, so )st flit a __< b

    b ~u

    W(oa ~ x < ob)~-- ~ le--~dz; f _ .

    fiir unendlieh groBes t ~ 0 ist natiirlieh W(ot ~ x) unendlich klein, und a fortiori ist dabei flit t ~_ t 1 ~ t~ aueh W (~t I < x < ot~) unendlieh klein. .Wit kSnnen aber die Wahrscheinliehkeitsverteilung im Gebiete x > ot gut beherrsehen, indem wit Limesbeziehungen flit Verh~iltnisse der Gestalt

    W(ot~

  • Neuer Grenzwertsa~ der Wahrscheinliehkeitsreehnung. 747

    t

    und andererseits

    z s g2 1 g 11~ v~

    e-T dz -- t . [ d

    t+~ g~ t

    t~ t~ g'2 ~lZ -- -- ~2

    e-Z" re - re -~dy= e e

    gt 'gz t~ 2

    --{~ + o (1)} (~-,,-e-,o)-~ t 112~ '

    1 f z~ 1 f - (t+Y'~ W(ot

  • 748 h. Khintehine,

    chungen) das Verteilungsgesetz der GrSge m--np wesentlich dutch die Gaul~-Laplacesche Formel wiedergegeben wird, mud zwar in einem viel pr~iziseren Sinne als es der Lapls~sche Grenzwertsatz angibt. Freilich mul~ dabei, wie es denn auch yon vornherein ldar ist, der Paramete~ t in seinem Wachstum einer gewissen Einschrgnkung unterliegen. Denn falls t yon der GrSBenordnung }/; wird, kommen wi~ wegen a = 1 /~ zu solehen Gebieten, die yon m- -np gar nicht erreicht werden kSrmen, wo iolglieh die zugehSrigen Wahrseheinliehkeiten verschwinden. Es liegt also votl- st~indig in der Natur der Saehe, wenn wit t = o ( fn ) voraussetzen. Das ist aber auch die einzige Einsdariinkung, and es gilt Iolglieh der 8atz:

    . . e- -gz - - g-gl.

    Selbstverstgndlich gilt auch die ana]oge Beziehung Iiir die negativen Abweichungen.

    2. Beweis des Satzes.

    Ich setze m- np-~ ax = ~ x und will zuniichst unter der Vor- aussetzung x = o (I/n) eine passende Abschgtzung fiir die Wahrscheinlich- keit eines bestimmten m-Wertes, also fiir die GrSBe

    aufstellen; dabei werden alle Absch~tzungen auf Konstanten bezogen, die hSchstens yon p abhiingen diirfen. Die Anwendung der Stirlingschen Formel ergibt teicht

    lg P~ = t x .

    Ntm ist fiir groBe n wegen x = o (~fn)

    oo c~

    9 0

    o~

    Z

  • Neuer Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung, 749

    und ganz ~hntich

    (nq--xz = _ nq/

    also

    k

    xo \[n,] k=2

    -~lg2ztpqn n~_ k(k 11) [ \~) ' : _ _ ~=. (~) o (~) ,

    wenn wit noch O(n )'~" gegeniiber O(1,~ ) vernachliissigen diirfen, was bier f

    immer geschehen kann, well wir x fortan immer unendlich grol~ denken; ich setze noch

    k k

    (k>l),

    und erhalte

    Ist nun

    ~o

    k=. o

    1 ,.+o(~) e

    x=t

    darin g > 0 konstant und t = o (]Sn) unendlich groB, so ist fiir k > 1

    -~- \ f . /

    mit 0 < O, = O~ (n, t, 9) < 1; deswegen wird

    (~) f . (~)=f~( t )+g+gZ~C~ ] t~i ~ ~ 2 ~tV) k=3 k=~

    =f~(t ) 247 t ~,

    und fo]glich

    , ( ( ' )

    Daher erhalt~ ich fiir konstante positive gl, g.~ ~ gt

  • 750 A. Khint~hine.

    1+0 + ~t~J e-f"(t) 2 e-g.

    Nun w~chst g offenbar um t wenn mum 1 grSl~er wird; daraus fo]gt (~

    17. g~

    g=gl g~

    wenn von bier an die Konstanten, auf die die Absch~tztmgen bezogen werden, auger p noch von g~ abh~ngen diiffen. Somit erhalte ich

    e -f'* Ct) w(g~, g~) = ~2---~- (e-~, - e-~o)(1+ oO)) .

    Der Beweis wird offenbar erledig% wofern ich noch zeigen kann, dab diese Formel auch flit den Grenzfall g~ = 0, g~---~ @ o0 zutrifft; denn dann finder man tmmittelbar

    W(q~, ~) --~ e-g, -- e-g~ W(O, oo)

    ~iir n--~cx~, t-+co, t= o )in, was ja genau die Behauptung des zu be- weisenden Satzes ausmacht.

    Nun ist, wem~ e > 0 beliebig klein abet fes~ gewiihlt ist, fiir s : t ~ g t ' g > 0 konstant, t > 0 und t - - o (]/-n) unendlich groB,

    W(g, oz) = Z P , ,= 2 P,, + Z P,~.

    Bezeichnen wir hierin die beiden Summen reohts mit X I bzw. -Y~, s~ haben wit

    s

  • Neuer Grenzwertsatz der Wahrseheinliohkeitsrechnung. 751

    also fiir geniigend kleines , 1

    f~,(x) > 7~x;

    da ferner dabei, wie man leieht einsieht, f " (x )> 0 ist, so erhalten wir

    1 f . (x ) -- f,,(s) > (x -- s) f ' ( s ) > ~s(x -- s),

    und folglich

    l e_if.(~)_f. 0 angegeben werden kann, so dab

    .S~ < ne-r ist. Wir finden also

    e - f,, (s ) W(s, cx~) < ~ q- ne-~";

    diese Abschhtzung gilt, wofern n geniigend groin, a = o (}/-n) und ~ eine

    geeignete positive Konstante ist, Da wir nun s ~- t -~-~ gesetzt haben,

    dabei t ~ o(Vn ) positiv unendlich gro$ und g > 0 konstant, so 'haben wit wegen (3)

    e -f" (t) W(s, cx~) < ~ e-g{ l+o(1)}+ne- :n ;

    wegen

    2 O(,'l:o(nl f . (t) = n T~ ~- k=2 ~. I /

    ist aber f e - f " (t) l

    ne- r I ,

    1) Some problems of diophantine approximation, Aeta Math. $7 (1914), p. 188, Lemma 1. 442.

  • 752 A. Khintchino. Neuer Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

    una fo~gUch e - f" (t)

    w(a, o~) < - -w- e-, {1 + o (1)).

    Nun ist andererseiks w,o=Wo.=-Wo.~,

    und folgtich, da wit schon e-& (t)

    W(O, g) = },2x~(1-- e -g ) ( l@o(1) )

    festgestellt haben und da g beliebig grog sein dar~

    e -f'~ (t) W(O, 0o) = -}- -~ ,{1 @ o (1)},

    womit nun alles bewiesen ist.

    GStt ingen, 7.7.1928.

    (Eingegangen am 29. 9. 1928.)