UKURAN POSISI DAN

SIMPULAN DATA KATEGORIK

1

SIMPULAN DATA KATEGORIK

Ukuran Kuartil

• Bila suatu distribusi yang tersusun secara array dibagi 4 bagian hasil pengamatan yang sama.

• Kuartil I (K1) merupakan 25% dari seluruh distribusi. Kuartil II (K2) merupakan 50% atau sama dengan median.

• Kuartil III (K3) merupakan 75% dari seluruh

2

• Kuartil III (K3) merupakan 75% dari seluruh distribusi.

• Seperti halnya range, pengukuran kuartil pun hanya berdasarkan perbedaan dua nilai yaitu jarak antara K3 dan K1 yang disebut jarak antara kuartil (Inter Quartile Range = K3 – K1).

• Jarak antara kuartil

25%

25%

3

K1 K2 K3

25%

Kelebihan kuartil dari range:1. Dengan digunakannya 50% bagian tengah dari

distribusi, pengaruh nilai ekstrim dapat

dihilangkan.

2. Dengan adanya pembagian menjadi kuartil,

posisi hasil pengamatan pada

4

K1, K2 dan K3 dapat dihitung.

3. Dengan adanya K2 yang mempunyai posisi

sama dengan median, dapat dihitung

penyimpangan terhadap median.

4. Distribusi dengan interval kelas terbuka dapat

dihitung dispersinya.

Untuk data yang tidak

dikelompokkan

a. Letak dan nilai K1 ditentukan dengan

rumus:

Letak K1 = data ke ¼ (n + 1)

Nilai K = L + b(S – L)

5

Nilai K1 = L + b(S – L)

dimana L = nilai sebelum K1 tercapai

S = nilai dimana K1 berada

b = kekurangan unit untuk mencapai K1

b. Letak dan nilai K3 ditentukan dengan

rumus:

Letak K3 = ¾ (n + 1)

Nilai K1 = L + b(S – L)

dimana L = nilai sebelum K3 tercapai

S = nilai dimana K berada

6

S = nilai dimana K3 berada

b = kekurangan unit untuk mencapai K3

Contoh:Hasil pemeriksaan cholesterol darah 10 orang penderita hipertensi adalah sebagai berikut: 150, 152, 160, 165, 167, 169, 171, 174, 175, 598

K3 terletak pada data ke ¾ (10 + 1) = 8,25 (8 + 0,25)

Ini berarti terletak antara data ke-8 dan ke-9

Nilai K3 = 174 + 0,25 (175 – 174) = 174,25

K terletak pada data ke ¼ (10 + 1) = 2,75 (2 + 0,75)

7

K1 terletak pada data ke ¼ (10 + 1) = 2,75 (2 + 0,75)

Ini berarti terletak antara data ke-2 dan ke-3

Nilai K1 = 152 + 0,75 (160 – 152) = 152 + 6 = 158

Jarak antar kuartil = K3 – K1 = 174,25 – 158 = 16,25

Range dari distribusi di atas = 598 – 150 = 448

Ini merupakan suatu bukti bahwa dengan ukuran kuartil, pengaruh nilai ekstrim dapat dihilangkan.

Untuk data yang dikelompokkan

a. Kuartil diubah menjadi jumlah unit dengan

rumus:

x = ¼ (n )

dimana k = kuartil ke-1, 2, 3

n = jumlah pengamatan

8

b. Nilai kuartil ditentukan dengan rumus:

Kk = L + i(x – F)/f

dimana L = tepi bawah kelas dimana kuartil berada

i = interval kelas

F = frekuensi kumulatif sebelum kuartil

f = frekuensi dimana kuartil berada

Contoh:• Sebaran umur penderita hepatitis di suatu Rumah Sakit

adalah sebagai berikut

Golongan Umur Frekuensi f kum

10-19 2 2

20-29 23 25

30-39 15 40

9

30-39 15 40

40-49 11 51

50-59 9 60

60-69 5 65

70+ 2 67

Jumlah 67

• Letak K1 = ¼ (67) = 16,75 (terletak antara kelas ke-1 dan 2)

• Nilai K1 = 19,5 + 10 (16,75 - 2)/23 = 19,5 + 6,4 = 25,9

• Letak K3 = ¾ (67) = 50,25 (terletak antara kelas ke-3 dan 4)

• Nilai K = 39,5 + 10 (50,25 - 40)/11 = 39,5

10

• Nilai K3 = 39,5 + 10 (50,25 - 40)/11 = 39,5 + 9,3 = 48,8

• Jarak antar kuartil = K3 – K1 = 48,8 – 25,9 = 22,9

• Dengan range, distribusi ini tidak dapat dihitung.

Deviasi Kuartil

(Quartile Deviation)

• Rumus

• Deviasi Kuartil = Dk = = setengah

jarak antar kuartil

• Median atau K dapat dirumuskan

2

KK 13 −

11

• Median atau K2 dapat dirumuskan

sebagai: 2

KK 13 +

• Dari contoh sebelumnya:

a. Untuk data yang tidak dikelompokkan:

Deviasi Kuartil = = 8,125

Median = = 166,125

Ini berarti deviasi kuartil terhadap

2

16,25

2

158174,25 +

12

Ini berarti deviasi kuartil terhadap

median adalah 8,125

b. Untuk data yang dikelompokkan:

Deviasi Kuartil = = 11,45

Median = = 37,35

Ini berarti deviasi kuartil terhadap median

2

22,9

2

25,948,8 +

13

Ini berarti deviasi kuartil terhadap median

adalah 11,45

Ukuran Desil (Decile)

• Bila distribusi yang tersusun secara array

dibagi menjadi 10 bagian yang sama.

Prinsip perhitungan sama dengan kuartil,

tetapi dengan desil.

14

tetapi dengan desil.

Untuk data yang tidak

dikelompokkan

a. Letak Dd = data ke (n + 1)

d = desil ke-1, 2, 3, ..., 9

n = jumlah pengamatan

b. Nilai D = L + b(S – L)

10

d

15

b. Nilai Dd = L + b(S – L)

dimana L = nilai observasi sebelum Dd

S = nilai dimana Dd berada

b = kekurangan unit untuk

mencapai Dd

Untuk data yang dikelompokkan

a. Letak Dd = x = data ke (n)

d = desil ke-1, 2, 3, ..., 9

n = jumlah pengamatan

Jadi desil terletak pada unit ke-x

b. Nilai D = L + i(x – F)/f

10

d

16

b. Nilai Dd = L + i(x – F)/f

dimana L =tepi bawah kelas dimana Dd berada

i = interval kelas

F = frekuensi kumulatif sebelum Dd

f = frekuensi dimana Dd berada

Ukuran Persentil (Percentile)• Bila distribusi yang tersusun secara array dibagi menjadi

100 bagian yang sama.

• Prinsip perhitungan sama dengan kuartil atau desil.

• Posisi relatif dari suatu hasil pengamatan yang menyatakan nilai di bawahnya disebut jenjang persentil (percentile rank).

• Misalnya, hasil pemeriksaan Hb terhadap 200 orang ibu

17

• Misalnya, hasil pemeriksaan Hb terhadap 200 orang ibu hamil yang datanya disusun secara array.

• Bila seorang ibu dengan Hb 11 gr% terletak pada posisi ke-50, berarti bahwa 25% ibu-ibu tersebut mempunyai Hb kurang dari 11 gr% atau 75% ibu-ibu tersebut mempunyai Hb lebih dari 11 gr%.

• Dalam hal ini dikatakan bahwa ibu itu mempunyai jenjang persentil 25%. Nilai dari suatu jenjang persentil disebut persentil.

Untuk data yang tidak

dikelompokkan

a. Letak Pp = data ke (n + 1)

p = desil ke-1, 2, 3, ..., 99

n = jumlah pengamatan

b. Nilai P = L + b(S – L)

100

p

18

b. Nilai Pp = L + b(S – L)

dimana L = nilai observasi sebelum Pp

S = nilai dimana Pp berada

b = kekurangan unit untuk

mencapai Pp

Contoh:Pemeriksaan berat badan (kg) 15 orang calon mahasiswa sebagai berikut: 45, 46, 47, 48, 50, 51, 54, 55, 56, 57, 59, 60, 61, 63, 65

Bila seorang mahasiswa dikatakan mempunyai berat badan dimana 30% terletak di bawahnya, berapakah berat badan mahasiswa tersebut?

19

P30 terletak pada data ke (15 + 1) = 4,8 = 4 + 0,8

Nilai P30 = 48 + 0,8 (50 – 48) = 48 + 1,6 = 49,6 kg

100

30

Untuk data yang dikelompokkan

a. Letak Pp = x = data ke (n)

p = desil ke-1, 2, 3, ..., 99

n = jumlah pengamatan

Jadi desil terletak pada unit ke-x

b. Nilai P = L + i(x – F)/f

100

p

20

b. Nilai Pp = L + i(x – F)/f

dimana L =tepi bawah kelas dimana Pp berada

i = interval kelas

F = frekuensi kumulatif sebelum Pp

f = frekuensi dimana Pp berada

Contoh:

Pemeriksaan Hb terhadap 50 orang dewasa

dan telah diperkirakan bahwa 30%

menderita anemia. Hb berapakah yang

dianggap anemia?

Hasil pemeriksaan adalah sebagai berikut:

21

Hasil pemeriksaan adalah sebagai berikut:

Hb (gr%) f f kum7 – 8 4 4

9 – 10 6 10

11 – 12 20 30

13 – 14 15 45

15 – 16 5 50

Jumlah 50

22

• P30 terletak pada data ke (50) = 15

• Berarti terletak pada kelas interval ke-2 dan ke-3

• Nilai P30 = 10,5 + 2(15 – 10)/20 = 10,5 + 0,5 = 11 gr%

Jumlah 50

100

30

• Sebaliknya bila ditentukan bahwa Hb 11 gr% adalah anemia, berapa jenjang persentilnya?

• Jenjang persentil =

=

= 30

[ ]{ }100

n

fFL)/2(11 kum ×+×−

[ ]{ }100

50

102010,5)/2(11×

+×−

23

= 30

• Kesimpulan: Hb 11 gr% mempunyai jenjang persentil 30 atau 30% dari 50 orang tersebut mempunyai HB kurang dari 11 gr%.

50

Simpulan Data Kategori

• Data kategori dapat juga disusun distribusi

frekuensinya. Nilai simpulan yang dapat

digunakan untuk data kategori hanyalah

nilai modus (mode).

24

nilai modus (mode).

Contoh:Jumlah seluruh penderita yang dirawat

di Rumah Sakit “X” pada tahun 1999

Bagian Jumlah

Penyakit Dalam 152

Anak 120

Kebidanan 105

25

Kebidanan 105

Bedah 98

Syaraf 73

THT 65

Penyakit jiwa 57

Jumlah 580

• Ketika variabel diukur untuk sejumlah

individu, data yang dihasilkan dapat

diringkas dengan menghitung rata-rata

dan variasinya. Namun, kadang-kadang

ukuran kemencengan juga berguna.

Bentuk nilai tengah dan ukuran variasi

tergantung pada bentuk variabel dan

26

tergantung pada bentuk variabel dan

bentuk distribusinya.

Tabel 1. Contoh pemakaian ukuran nilai tengah

dan ukuran variasi

Variabel Bentuk

distribusi

Ukuran nilai

tengah

Ukuran

variasi

Kontinus atau

diskrit

Simetris,

unimodal

Mean Simpangan

baku

Kontinus atau Menceng, Median Jarak antar

27

Kontinus atau

diskrit

Menceng,

unimodal

Median Jarak antar

kuartil

Kategori Modus