ÇUKUROVA ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ DOKTORA TEZ · Çukurova Ün vers tes fen b l mler enst tÜsÜ doktora tez gültekin akta˛ Önger lmel beton ve betonarme prefabr

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİFEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

DOKTORA TEZİ

Gültekin AKTAŞ

ÖNGERİLMELİ BETON ve BETONARME PREFABRİK YAPI ELEMANI ÜRETİMİ İÇİN BİLGİSAYAR DESTEKLİ KALIP TASARIMI

İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI

ADANA, 2005


Gültekin AKTAŞ

DOKTORA TEZİ


Bu tez 07 / 07 / 2005 Tarihinde Aşağıdaki Jüri Üyeleri Tarafından Oybirliği/Oyçokluğu İle Kabul Edilmiştir.

İmza:............................................ İmza:................................. İmza:..................................... Prof. Dr. A. Kamil TANRIKULU Prof. Dr. Naki TÜTÜNCÜ Doç. Dr. Cengiz Duran ATİŞ DANIŞMAN ÜYE ÜYE

İmza:........................................... İmza:............................................... Yrd. Doç. Dr. Beytullah TEMEL Yrd. Doç. Dr. Faruk Fırat ÇALIM ÜYE ÜYE

Bu tez Enstitümüz İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalında hazırlanmıştır.

Kod No:

Prof. Dr. Aziz ERTUNÇ Enstitü Müdürü İmza ve Mühür

Bu Çalışma Çukurova Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Birimi Tarafından Desteklenmiştir. Proje No: FBE 2002 D-180 Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge, şekil ve fotoğrafların

kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

ÖNGERİLMELİ BETON ve BETONARME PREFABRİK YAPI ELEMANIÜRETİMİ İÇİN BİLGİSAYAR DESTEKLİ KALIP TASARIMI

I

ÖZ

DOKTORA TEZİ

Gültekin AKTAŞ



Danışman: Prof. Dr. A. Kamil TANRIKULU

Yıl: 2005 Sayfa: 123

Jüri: Prof. Dr. A. Kamil TANRIKULU Prof. Dr. Naki TÜTÜNCÜ Doç. Dr. Cengiz Duran ATİŞ

Yrd. Doç. Dr. Beytullah TEMEL Yrd. Doç. Dr. Faruk Fırat ÇALIM

Bu çalışmanın amacı, prefabrik yapı elemanı üretiminde kullanılan kalıplarınbilgisayar destekli tasarım ilkelerinin belirlenmesidir. Bu amaçla, üretim sırasındauygulanan vibrasyon etkisindeki çelik kalıbın ve taze beton-kalıp dinamik etkileşim probleminin çözümü için taze betonun modellenmesi üzerinde durulmuştur. Çalışma deneysel ve teorik olarak yapılmıştır. Deneysel kısmı, Kambeton firmasına ait üretim tesislerindeki iki farklı prefabrik yapı elemanına ait kalıp üzerinde seçilen bazınoktalarda, kalıp yüzeyine dik doğrultuda deplasmanın ölçümleri yapılarak gerçekleştirilmiştir. Teorik kısmı ise, SAP2000® yazılımı kullanılarak, Sonlu Elemanlar Yöntemi ile yapılmıştır. Zaman Tanım Alanında analiz Mod Birleştirme Yöntemi ile, Özvektörler ve Ritz vektörleri kullanılarak gerçekleştirilmiş ve elde edilen sonuçlar karşılaştırılmıştır. Teorik analiz sonucu hesaplanan deplasman değerleri, deneysel olarak ölçülenlerle karşılaştırılmış ve bunların uyumlu olduklarıgörülmüştür. Çalışmada elde edilen veriler ışığı altında bilgisayar destekli bir kalıptasarım algoritması önerilmektedir. Anahtar Kelimeler: Prefabrik yapı elemanı, Deneysel ölçüm, Ritz-vektör analizi

Taze beton-kalıp etkileşimi, Bilgisayar destekli kalıp tasarımı

ÖNGERİLMELİ BETON ve BETONARME PREFABRİK YAPI ELEMANI ÜRETİMİ İÇİN BİLGİSAYAR DESTEKLİ KALIP TASARIMI

II

ABSTRACT

Ph.D THESIS

Gültekin AKTAŞ

DEPARTMENT OF CIVIL ENGINEERING INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES

UNIVERSITY OF ÇUKUROVA

Supervisor: Prof. Dr. A. Kamil TANRIKULU

Year: 2005 Pages: 123

Jury: Prof. Dr. A. Kamil TANRIKULU Prof. Dr. NakiTÜTÜNCÜ

Assoc. Prof. Dr. Cengiz Duran ATİŞ Assist. Prof. Dr. Beytullah TEMEL Assist. Prof. Dr. Faruk Fırat ÇALIM

The aim of this work is to determine the criteria of computer- aided design of the mould used in the production of precast concrete units. For this purpose, modeling of fresh concrete was performed to solve the problem of the effect of vibration applied on the steel mould during production and fresh concrete-mould dynamic interaction. The study was carried out experimentally and theoretically. The experimental part was realized at the production plant of Kambeton Company, by measuring the displacement normal to the mould surface at some points selected on the moulds of two different precast concrete members. The theoretical part was executed using Finite Element Method employed in SAP2000® software. Time History analysis was realized by mode-superposition method, in which load-dependent Ritz vectors and Eigenvectors were used and the obtained results were compared. The computational results of displacement histories were compared with the experimental ones and found in good agreement. The algorithm of computer-aided mould design is proposed in the light of the results obtained from this study. Keywords: Precast concrete unit, Experimental measurement, Ritz-vector analysis Fresh concrete-mould interaction, Computer-aided mould design

COMPUTER-AIDED MOULD DESIGN IN THE PRODUCTION OF PRESTRESSED and REINFORCED PRECAST CONCRETE UNITS

III

TEŞEKKÜR

Bana bu konuda çalışma olanağı sağlayan, çalışmalarımda beni yönlendiren,

bilgi ve ilgisini esirgemeyen sayın hocam, Prof. Dr. A. Kamil TANRIKULU’na

teşekkürlerimi sunarım.

Bölüm hocalarıma, çalışmalarımda bana yardımcı olan araştırma

görevlilerinden, başta Tarık BARAN olmak üzere, Cafer KAYADELEN, Serkan

TOKGÖZ, Taha TAŞKIRAN, M. Salih KESKİN, Selahattin KOCAMAN, Engin

EMSEN, İlker Fatih KARA, Hasan GÜZEL ve diğer araştırma görevlisi

arkadaşlarıma teşekkür ederim.

Kambeton Firması İmalat Müdürü-İnşaat Mühendisi Muhittin ŞAHİN’e

deneysel çalışmada yaptığı yardımdan dolayı teşekkür ederim.

Her zaman bana destek olan, her türlü yardım ve ilgilerini benden

esirgemeyen aileme de sevgi ve saygılarımı sunarım.

IV

İÇİNDEKİLER SAYFA NO

ÖZ …………………………………………………………………………………… I

ABSTRACT ………………………………………………………………………... II

TEŞEKKÜR ……………………………………………………………………….. III

ÇİZELGELER DİZİNİ …………………………………………………………… VII

ŞEKİLLER DİZİNİ……………………………………………………………… VIII

SİMGELER ve KISALTMALAR …………………………………………….… XIV

1. GİRİŞ ………………………………………………………………………….…. 1

2. ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR ……………………………………………………….. 7

2.1. Giriş ………………………………………………………………………….. 7

2.2. Deneysel ve Teorik Çalışmalar ……………………………………………… 7

2.3. Dış Vibratörler İle İlgili Çalışmalar ………………………………………... 10

3. YAPI SİSTEMLERİNİN SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ İLE ANALİZİ....14

3.1. Giriş ………………………………………………………………………… 14

3.2. Elastodinamikte Hareket Deneklemleri ve Sonlu Eleman Yaklaşımı ……... 14

3.3. Ağırlıklı Artıklar Yöntemiyle İntegral Forma Geçiş ………………………. 17

3.4. Referans Elemanları ………………………………………………………... 22

3.5. Referans Elemanı Üzerinde Yaklaşım ……………………………………... 22

3.6. Referans Elemanı Üzerinde Eleman İntegral Formu We …………………... 23

3.6.1. Türevlerin Dönüşümü ………………………………………………. 24

3.7. İntegral Bölgesinin Dönüşümü …………………………………………….. 25

3.8. Çubuk Sonlu Elemanı ………………………..…………………………….. 26

3.9. Plak ve Kabuk Sonlu Elemanları …………………………………………... 28

3.9.1. Plak Sonlu Elemanı …………………………………………………. 28

3.9.2. Kabuk Sonlu Elemanı ………………………………………………. 31

3.10. SAP2000 Bilgisayar Programı ……………………………………………. 34

3.10.1. Çubuk Elemanı ……………………….…………………………… 35

3.10.1.1. Yerel Koordinat Sistemi ………………………………… 35

3.10.1.2. Kütle …………………………………………………….. 36

3.10.2. Kabuk Elemanı ……………………………………………………. 36

V

3.10.2.1. Yerel Koordinat Sistemi ………………………………… 39

3.10.2.2. Kütle …………………………………………………….. 39

3.10.2.3. Üniform Yük ……………………………………………. 39

4. YAPI SİSTEMLERİNİN SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ İLE DİNAMİK

ANALİZİ……………………………………………………………………..… 40

4.1. Giriş ………………………………………………………………………… 40

4.2. Mod Birleştirme Yöntemi ………………………………………………….. 40

4.2.1. Klasik Mod Birleştirme Yönteminin Adımları ……………………... 41

4.2.2. Mod Birleştirme Yönteminin Ritz Vektörleri Kullanılarak

Uygulanması ………………………………………………………... 44

5. PREFABRİK YAPI ELEMANI ÜRETİM KALIPLARININ SONLU

ELEMANLAR İLE MODELLENMESİ……………………………………….. 46

5.1. Giriş ………………………………………………………………………… 46

5.2. Kalıbın Boş İken (betonsuz) Modellenmesi ……………………………….. 47

5.2.1. Dış Vibratörlerin Kalıba Uyguladığı Yük …………………………… 53

5.3. Kalıbın Taze Beton İle Dolu İken Modellenmesi ………………………….. 54

5.3.1. Taze Betonun Kalıba Uyguladığı Basınç Yükü ……………………... 55

5.3.1.1. Yere Bağlı b(s) Fonksiyonu ………………………………... 55

5.3.1.2. Zamana Bağlı w(t) Fonksiyonu …………………………….. 56

6. DENEYSEL ÇALIŞMA ………………………………………………………... 58

6.1. Donanım ……………………………………………………………………. 59

6.2. Yazılım ……………………………………………………………………... 60

6.3. Cihazın Kalibrasyonu ………………………………………………………. 60

6.4. Deneyin Yapılışı …………………………………………………………… 62

7. ARAŞTIRMA BULGULARI …………………………………………………... 64

7.1. Giriş ………………………………………………………………………… 64

7.2. Uygulamalar ………………………………………………………………... 64

7.2.1. Uygulama 1 …………………………………………………………. 64

7.2.2. Uygulama 2 …………………………………………………………. 69

7.2.3. Uygulama 3 …………………………………………………………. 70

7.2.4. Uygulama 4 …………………………………………………………. 77

VI

7.2.5. Uygulama 5 …………………………………………………………. 78

7.2.6. Uygulama 6 …………………………………………………………. 84

7.2.7. Uygulama 7 …………………………………………………………. 86

7.2.8. Uygulama 8 …………………………………………………………. 88

7.2.9. Uygulama 9 …………………………………………………………. 95

7.2.10. Uygulama 10 ………………………………………………………. 96

7.2.11. Uygulama 11 ……………………………………………………... 104

7.2.12. Uygulama 12 ……………………………………………………... 104

7.3. Bilgisayar Destekli Kalıp Tasarım Algoritması …………………………... 109

7.3.1. Kalıp Tasarım İlkeleri ……………………………………………... 109

7.3.2. Algoritma ………………………………………………………….. 110

7.4. Örnek Kalıp Tasarımı …………………………………………………….. 112

8. SONUÇLAR ve ÖNERİLER …………………………………………………. 118

KAYNAKLAR …………………………………………………………………... 120

ÖZGEÇMİŞ ……………………………………………………………………… 123

VII

ÇİZELGELER DİZİNİ SAYFA NO

Çizelge 6.1. Dış vibratörün özellikleri …………………………………………..… 58

Çizelge 6.2. Deplasman ölçüm cihazının kalibrasyon tablosu ………………….… 61

Çizelge 7.1. Boş halde Kutu menfez kalıbına ait serbest titreşim frekansları ….…. 69

Çizelge 7.2. Boş halde Kutu menfez kalıbına ait kütle katılım oranları ……….….. 70

Çizelge 7.3. Boş halde Kutu menfez kalıbına ait titreşim parametreleri ……….…. 70

Çizelge 7.4. Kutu menfez kalıbı boş iken deneysel ve teorik olarak elde edilen genlik

değerleri …………………………………………………………...…. 76

Çizelge 7.5. Taze beton ile dolu iken Kutu menfez kalıbına ait serbest titreşim

frekansları ……………………………………………………………. 77

Çizelge 7.6. Taze beton ile dolu iken Kutu menfez kalıbına ait kütle katılım

oranları ………………………………………………………….……. 78

Çizelge 7.7. Taze beton ile dolu iken Kutu menfez kalıbına ait titreşim

parametreleri ………………………………………………………… 78

Çizelge 7.8. Kutu menfez kalıbı taze beton ile dolu iken deneysel ve teorik olarak

elde edilen genlik değerleri …………………………………...……… 84

Çizelge 7.9. Boş halde Kolon kalıbına ait serbest titreşim frekansları ……………. 87

Çizelge 7.10. Boş halde Kolon kalıbına ait kütle katılım oranları ………………… 87

Çizelge 7.11. Boş halde Kolon kalıbına ait titreşim parametreleri ………………... 88

Çizelge 7.12. Faz farklarına göre genlikteki değişim …………………….……….. 95

Çizelge 7.13. Taze beton ile dolu iken Kolon kalıbına ait serbest titreşim

frekansları …………………………………………………..……… 95

Çizelge 7.14. Taze beton ile dolu iken Kolon kalıbına ait kütle katılım oranları …. 96

Çizelge 7.15. Taze beton ile dolu iken Kolon kalıbına ait titreşim parametreleri … 97

Çizelge 7.16. Kolon kalıbı taze beton ile dolu iken deneysel ve teorik olarak elde

edilen genlik değerleri …………………………………………..… 103

Çizelge 7.17. Örnek kalıbın vibrasyon uygulanan yüzeyinde seçilen bazı kritik

noktalarda 1 ve 2 adet vibratör kullanılarak elde edilen maksimum

genlik değerleri ................................................................................. 116

Çizelge 7.18. Örnek kalıba ait titreşim parametreleri ............................................. 117

Çizelge 7.19. Örnek kalıba ait serbest titreşim frekansları ..................................... 117

VIII

ŞEKİLLER DİZİNİ SAYFA NO

Şekil 2.1. Poisson Oranının zamanla değişimi …………………………………..… 10

Şekil 3.1. Tipik bir hacim elemanına etkiyen gerilmeler ………………………..… 15

Şekil 3.2. Yüzey gerilmeleri ve doğrultman kosinüsleri …………………………... 17

Şekil 3.3. 3 düğümlü izoparametrik, lineer sonlu eleman (a) Gerçek eleman

(b) Referans elemanı ………………………………………………….… 22

Şekil 3.4. 4 düğümlü izoparametrik, lineer sonlu eleman (a) Gerçek eleman

(b) Referans elemanı ………………………………………………….… 22

Şekil 3.5. Üç boyutlu prizmatik çubuk eleman ………………………………….… 26

Şekil 3.6. Lineer plak elemanı …………………………………………………….. 29

Şekil 3.7. Lineer kabuk elemanı …………………………………………………... 32

Şekil 3.8. Dörtgen kabuk elemanının düğüm bağlantısı ve yüzey tanımları ……… 37

Şekil 3.9. Üçgen kabuk elemanının düğüm bağlantısı ve yüzey tanımları ………... 38

Şekil 5.1. Kolon kalıbının üstten görünümü (h = 60cm) ………………………….. 46

Şekil 5.2. Kutu menfez kalıbının üstten görünümü (h = 97cm) ………………...… 47

Şekil 5.3. Kutu menfez kalıbına ait sonlu elemanlar ağının üç boyutlu görünümü…48

Şekil 5.4a. (a) yüzeyi detayı …………………………………………………….…. 48

Şekil 5.4b. (b) yüzeyi detayı …………………………………………………….… 49

Şekil 5.4c. (c) yüzeyi detayı ……………………………….…………………….… 49

Şekil 5.4d. (d) yüzeyi detayı …………………………………………………….… 49

Şekil 5.5. Kolon kalıbına ait sonlu elemanlar ağının üç boyutlu görünümü ………. 50

Şekil 5.6a. (a) yüzeyi detayı …………….……………………………………….… 50

Şekil 5.6b. (b) yüzeyi detayı …………………………………………………….… 51

Şekil 5.6c. (c), (d), (e) yüzeyleri detayı …………………………...………………. 51

Şekil 5.6d. (f), (g) yüzeyleri detayı ………………………………..…………….… 51

Şekil 5.6e. (h), (i), (j) yüzeyleri detayı ………………………………………….…. 51

Şekil 5.7. Vibratör kütlesinin düğüm noktalarına dağıtılmasında kullanılan αi

katsayıları ………………………………………………………………. 52

Şekil 5.8. Vibratör yükünün zamanla değişimi ……………………………………. 53

Şekil 5.9. Vibratör yükünün kalıp yüzeyine uygulanması ……………………….... 54

Şekil 5.10. (a) Yanal basıncın gerçek dağılımı, (b) Yanal basıncın simülasyonu … 56

IX

Şekil 5.11. w(t) fonksiyonunun zamanla değişimi …….…………………………... 57

Şekil 6.1. Dış vibratör ……………………………………………………………... 58

Şekil 6.2. (a) Dinamik şekil değiştirme ölçme cihazı, (b) Bağlantı kutusu ………... 59

Şekil 6.3. LVDT bağlantısı ……………………………..…………………………. 59

Şekil 6.4. Deplasman ölçüm cihazının kalibrasyon seti …………………………... 60

Şekil 6.5. Deplasman ölçüm cihazının kalibrasyon eğrisi ………………………… 61

Şekil 6.6. Kutu menfez kalıbı ………………………….………………………….. 62

Şekil 6.7. Kolon kalıbı…………………………………………………………….. 63

Şekil 7.1. Kutu menfez kalıbının ölçüm yüzeyi (Y-Z düzlemi, X = -145 cm) ……. 65

Şekil 7.2. Kalıp boş iken 1 nolu noktada deneysel olarak ölçülen deplasmanın

zamanla değişimi (Kutu menfez kalıbı) ……………………………...… 65

Şekil 7.3. Kalıp boş iken 2 nolu noktada deneysel olarak ölçülen deplasmanın

zamanla değişimi (Kutu menfez kalıbı) ………………………………... 66

Şekil 7.4. Kalıp dolu iken 1 nolu noktada deneysel olarak ölçülen deplasmanın


Şekil 7.5. Kalıp dolu iken 1 nolu noktada deneysel olarak ölçülen deplasmanın


Şekil 7.6. 1 nolu noktada kalıp boş ve dolu iken deneysel olarak ölçülen deplasmanın



zamanla değişimi (Kutu menfez kalıbı) ………………………………… 68

Şekil 7.8. 1 nolu noktada kalıp boş iken teorik olarak hesaplanan deplasmanın


Şekil 7.9. 2 nolu noktada kalıp boş iken teorik olarak hesaplanan deplasmanın


Şekil 7.10. 1 nolu noktada kalıp boş iken deneysel ve teorik olarak elde edilen

deplasmanın zamanla değişimi (t = 1-1.1 sn, Kutu menfez kalıbı) …… 72





X


deplasmanın zamanla değişimi (t = 4-4.08 sn, Kutu menfez kalıbı) ….. 74









Şekil 7.18. 1 nolu noktada kalıp dolu iken teorik olarak hesaplanan deplasmanın

zamanla değişimi (Kutu menfez kalıbı) …………………………….… 79

Şekil 7.19. 2 nolu noktada kalıp dolu iken teorik olarak hesaplanan deplasmanın

zamanla değişimi (Kutu menfez kalıbı) …………………………….… 79

Şekil 7.20. 1 nolu noktada kalıp dolu iken deneysel ve teorik olarak elde edilen
















Şekil 7.28. Kolon kalıbının ölçüm yüzeyi (Y-Z düzlemi, X = 30 cm) ……………. 84

XI

Şekil 7.29. A noktasında kalıp boş ve dolu iken deneysel olarak ölçülen deplasmanın

zamanla değişimi (Kolon kalıbı) ……………………………………… 85

Şekil 7.30. B noktasında kalıp boş ve dolu iken deneysel olarak ölçülen deplasmanın


Şekil 7.31. C noktasında kalıp boş ve dolu iken deneysel olarak ölçülen deplasmanın


Şekil 7.32. A noktasında kalıp boş iken deneysel ve teorik olarak elde edilen

deplasmanın zamanla değişimi (t = 1-1.1 sn, Kolon kalıbı) …………... 88






deplasmanın zamanla değişimi (t = 4-4.08 sn, Kolon kalıbı) ……….… 90

Şekil 7.36. B noktasında kalıp boş iken deneysel ve teorik olarak elde edilen







deplasmanın zamanla değişimi (t = 4-4.08 sn, Kolon kalıbı) …………. 92

Şekil 7.40. C noktasında kalıp boş iken deneysel ve teorik olarak elde edilen








XII

Şekil 7.44. A noktasında kalıp dolu iken deneysel ve teorik olarak elde edilen








Şekil 7.48. B noktasında kalıp dolu iken deneysel ve teorik olarak elde edilen

deplasmanın zamanla değişimi (t = 1-1.1 sn, Kolon kalıbı) ………...… 99


deplasmanın zamanla değişimi (t = 2-2.1 sn, Kolon kalıbı) ……….… 100




deplasmanın zamanla değişimi (t = 4-4.08 sn, Kolon kalıbı) ………... 101

Şekil 7.52. C noktasında kalıp dolu iken deneysel ve teorik olarak elde edilen







deplasmanın zamanla değişimi (t = 4-4.08 sn, Kolon kalıbı) ………... 103

Şekil 7.56. Kalıp boş iken vibrasyon uygulanan yüzeyde teorik olarak hesaplanan

genlik değerlerinin yüzey boyunca değişimi (mm)

(Kutu menfez kalıbı) ............................................................................. 105

Şekil 7.57. Kalıp dolu iken vibrasyon uygulanan yüzeyde teorik olarak hesaplanan

genlik değerlerinin yüzey boyunca değişimi (mm)

(Kutu menfez kalıbı) ............................................................................. 106

XIII

Şekil 7.58. Kalıp boş iken vibrasyon uygulanan yüzeyde teorik olarak hesaplanan

genlik değerlerinin yüzey boyunca değişimi (mm) (Kolon kalıbı) ...... 107

Şekil 7.59. Kalıp dolu iken vibrasyon uygulanan yüzeyde teorik olarak hesaplanan

genlik değerlerinin yüzey boyunca değişimi (mm) (Kolon kalıbı) ...... 108

Şekil 7.60. Kalıp tasarım algoritması …………………………………………….. 111

Şekil 7.61. Örnek kalıbın boyutları ………………………………………………. 112

Şekil 7.62. Örnek kalıbın vibrasyon yüzeyi (Y-Z düzlemi, X = 10 cm) ............... 112

Şekil 7.63. Örnek kalıbın üstten görünümü …………………………………….... 112

Şekil 7.64. 1 adet vibratör kullanılarak vibrasyon uygulanması halinde vibrasyon

yüzeyinde oluşan maksimum genlik değerleri (mm) ……...……......... 113

Şekil 7.65. Örnek kalıbın vibrasyon yüzeyi (Y-Z düzlemi, X = 10 cm) ………... 114

Şekil 7.66. 2 adet vibratör kullanılarak vibrasyon uygulanması halinde vibrasyon

yüzeyinde oluşan maksimum genlik değerleri (mm) ………………… 115

XIV

SİMGELER ve KISALTMALAR

a : titreşim özvektörleri

A : kesit alanı

b : statik yanal basınç

bi : i. Ritz vektörü

B : şekil değiştirme matrisi

C : sönüm matrisi

D : malzeme matrisi

E : elastisite modülü

f : devirsel frekans

fs : yüzey çekme kuvvetleri

fv : hacim çekme kuvvetleri

G : kayma modülü

h : yükseklik

Ip : x ekseni etrafındaki kutupsal atalet momenti

Iy, Iz : y ve z eksenleri etrafındaki atalet momentleri

J : burulma atalet momenti

J : Jacobian

K : rijitlik matrisi

Ko : yanal basınç katsayısı

L : elemanın uzunluğu

M : kütle matrisi

msn : milisaniye

nx, ny, nz : x, y, z yönlerindeki doğrultman kosinüsleri

Ni : i. şekil fonksiyonu

P : yük vektörü

Po : yük genliği (vibratörün merkezkaç kuvveti)

Q : modal matris

t : plak kalınlığı

tx, ty, tz : x, y, z yönlerindeki yüzey gerilmeleri

T : periyot

XV

u : deplasman vektörü

u& : hız vektörü

u&& : ivme vektörü

ud : düğüm değerleri

ux, uy, uz : x, y, z yönlerindeki deplasmanlar

V : bölge, hacim

Ve : elemanın hacmi

W : global integral formu

We : eleman integral formu

x, y, z, 1, 2, 3 : yerel (lokal) eksenler

X, Y, Z : global eksenler

Y : modal deplasman vektörü

Z : fonksiyonlar vektörü

ξ, η, ζ : referans eksenleri

λ : karakteristik değer

ω : açısal frekans

ν : Poisson Oranı

δ : varyasyon

τ : kayma gerilmesi

τxy, τxz, τyz : xy, xz, yz düzlemlerindeki kayma gerilmeleri

τo : akma gerilmesi

µ : plastik viskozite

φ : malzemenin içsel sürtünme açısı

ρ : malzemenin kütlesel yoğunluğu

γ : malzemenin birim hacim ağırlığı

γ& : kayma hızı

γxy, γxz, γyz : xy, xz, yz düzlemlerindeki kayma şekil değiştirmeleri

θ1, θ2, θ3 : x, y, z yönlerindeki dönmeler

σx, σy, σz : x, y, z yönlerindeki normal gerilmeler

εx, εy, εz : x, y, z yönlerindeki şekil değiştirmeler

1. GİRİŞ Gültekin AKTAŞ

1

1. GİRİŞ

Öngerilmeli beton ve betonarme yapı elemanı üretiminde en önemli

hususlardan biri, taze betonun; kalıp içerisine boşluksuz olarak yerleşmesini ve

dolayısıyla betonun arzu edilen mukavemet özelliklerine (yoğunluk, dayanım,

dayanıklılık, geçirimsizlik vb.) sahip olmasını sağlamaktır.

Taze beton; çimento ve agregadan oluşan katı malzemelere su ilave edilince

plastik hale gelen çok bileşenli bir karışımdır. Taze beton, henüz tamamen

katılaşmamış, şekil verilebilir durumdaki betondur. Betonun taşınıp kalıplardaki

yerine yerleştirilmesi, sıkıştırılması, yüzeyinin düzeltilmesi gibi işlemler, beton şekil

verilebilir durumdayken yapılabilmektedir.

Beton malzemelerinin karılması ve taze betonun yerine yerleştirilmesi

işlemleri esnasında, beton karışımının içerisine kendiliğinden (istenmeden) bir miktar

hava da hapsolmaktadır. İçerisinde büyük miktarda hapsolmuş hava boşluğu

bulunduran taze beton, yerleştirdiği kalıbın içerisini tamamen doldurmamış ve

yoğunluğu az olan bir beton durumundadır; o haliyle sertleştiği taktirde, agregalarla

çimento hamuru arasında, betonla donatı arasında, veya betonla kalıp arasında

boşluklar bulunduran, su geçirgenliği yüksek, dayanımı ve dayanıklılığı düşük olan

bir beton elde edilmektedir.

Taze betonun içerisindeki hapsolmuş havanın dışarı çıkartılması işlemine

“betonun sıkıştırılması” denilmektedir. Taze betonun sıkıştırılmasında amaç, betonu

yerine yerleştirdikten hemen sonra, içerisinde yer alan hapsolmuş havanın mümkün

olabildiği kadar dışarı çıkartılmasıdır. Böylece beton daha yoğun hale gelmektedir.

Taze betonun akışkanlık davranışı ile ilgili olarak genelde Bingham modeli

benimsenmektedir. Taze beton için Bingham parametreleri (akma gerilmesi ve

plastik viskozite) çok yüksek olduğundan, taze betonun hareket kapasitesi düşüktür.

Taze betona hareket serbestliği sağlamak için titreşim (vibrasyon) uygulandığında,

Bingham fiziksel parametreleri titreşimin hızına bağlı olarak büyük oranda

azaldığından, beton daha akıcı bir hale gelip, agrega daneleri birbirlerinden ayrılarak,

bunların arasındaki hava boşlukları ve fazla suyun dışarı atılması sonucu, beton

boşluksuz ve yoğun bir hale gelerek, kompaksiyonu sağlanabilmektedir.


2

Taze betonun sıkıştırılması için çeşitli yöntemler uygulanmaktadır. Bu

yöntemlerden biri, taze beton akıcılığının, bazı kimyasal katkı maddeleri kullanılarak

arttırılması olup, kimyasalların çok pahalı olması nedeniyle yaygın olarak

kullanılamamaktadır.

Taze betonun kalıp içerisine boşluksuz olarak yerleşmesi ve kompaksiyonu

için yaygın olarak kullanılan yöntem, “Vibrasyon” tekniğidir. Bu yöntemde belli

başlı iki önemli hedef vardır.

a) Betonu kalıbın her tarafına yaymak ve donatıları devamlı bir şekilde kaplanmasını

sağlamak,

b) Betonu sıkıştırmak, böylelikle hava boşluklarını dışarıya çıkartarak kompasiteyi

artırmaktır.

Yerleştirme yöntemlerinin en pratiği ve en çok faydalı sonuçlar vereni

vibrasyondur. Vibratör denilen özel aletlerle beton titreşim haline sokulur.

Vibrasyona maruz kalan beton, bir sıvının karakteristiğine sahip olarak, kalıp

içerisinde kolaylıkla yayılır. Aynı zamanda betonu oluşturan daneler, kütle içinde

hareket ederek, kompasiteyi artıracak şekilde en uygun yerlerini alırlar. Başka bir

deyişle, vibrasyon betona geçici bir akışkanlık verir. Vibratörün hareketi

durdurulunca beton tekrar eski sıkı kıvamını kazanır.

Vibrasyonun esası betonu kuvvetli bir şekilde titreşime tabi tutmaktır.

Vibrasyon, bu amaçla kullanılan vibratör etkilerinin farklı olması nedeniyle, iç

vibrasyon, yüzeysel vibrasyon ve dış vibrasyon olmak üzere üç gruba ayrılır.

a) İç vibrasyon: Genellikle yerinde dökülen betonlarda kullanılmaktadır. Burada

kullanılan vibratörler doğrudan betona daldırılarak uygulanmaktadır.

b) Yüzeysel vibrasyon: Bu halde vibratör yalnız betonun yüzeyi ile temas

halindedir. Titreşim yapan bir tabla sayesinde betonda titreşim meydana getirilir. Yol

ve hava meydanlarında bu tip vibrasyon kullanılmaktadır.

c) Dış vibrasyon: Burada iki durum söz konusu olmaktadır:

Birinci halde dış vibratör (kalıp vibratörü) kalıba bağlıdır. Vibratörün

çalışması ile kalıbın titreşim yapması sağlanmakta ve bunun sayesinde de taze beton

vibrasyona maruz kalmaktadır. Bu yöntem özellikle çeper etkisi büyük olan yapı

elemanları için uygulanmaktadır.


3

İkinci halde vibrasyon, titreşim masaları vasıtasıyla uygulanmaktadır.

Titreşim masası üzerine yerleştirilen bir kalıbın içindeki beton, masanın titreşim

yapması ile vibrasyona maruz kalır. Bu şekilde esası beton olan bir çok yapı

malzemesi; briket, çimento borular, beton direkler v.b. elemanlar sıkıştırılarak

üretilmektedir.

Vibratördeki titreşimler genel olarak iki yöntem ile meydana getirilir. Birinci

yöntemde, belirli ağırlıkta bir kütlenin bir doğru boyunca alternatif hareket etmesi,

titreşim hareketini doğurur. Ufak bir pistonun sıkışmış hava vasıtasıyla bu şekilde

hareket etmesi ile çalışan vibratörler bulunmaktadır. İkinci yöntemde, eksantrik bir

kütlenin bir elektrik veya benzin motoru vasıtasıyla bir eksen etrafında dönmesi ile

de bir titreşim hareketi meydana gelir. Vibrasyon hareketi periyodik bir hareket olup,

sinüzoidal fonksiyon ile ifade edilir.

Dış vibratörler, yaygın olarak, prefabrik beton elemanlarının sıkıştırılmasında

kullanılmakta olup, çok ekonomik ve efektif olmaktadır. Burada dikkat edilmesi

gereken en önemli husus, yanlış frekans ve fazla süre ile uygulanacak vibrasyonun

taze betonda segregasyona ve aşırı terlemeye sebep olması riskidir.

Taze betonun içerisinde yer alan iri agrega ile çimento harcının herhangi bir

nedenle ayrışma göstermesi “segregasyon” olarak adlandırılmaktadır. Taze betonun

segregasyon yapması, beton yapısının heterojen olmasına yol açar; aynı beton

karışımının bazı bölgelerinde daha iri agregalar ve çimento hamuru birikmiş olur,

bazı bölgelerde ise, ince agrega ve çimento hamurundan oluşan çimento harcı yer

almış olur. Dolayısıyla dayanıklılık gibi önemli bazı özelliklerin farklı olmasına

neden olur.

Taze betonun yerine yerleştirilmesinden hemen sonra, katı parçacıkların

yerçekimi etkisiyle dibe doğru, ve suyun yukarı doğru hareket etme eğilimi

bulunmaktadır. Taze betonun üst yüzeyine kadar erişebilen bir miktar su, bazen çok

sığ bir su birikintisi oluşturup buharlaşmakta, bazen de doğrudan doğruya

buharlaşarak kaybolmaktadır. Beton üst yüzeyine ulaşamayan bir miktar su da,

yüzeye yakın bir bölgede toplanmış olmakta, ve dolayısıyla bu bölgenin zayıf bir

betondan oluşmasına yol açmaktadır. Taze beton içerisindeki suyun beton yüzeyine

çıkma eğilimine “terleme” (bleeding) denilmektedir. Bu olay, “kanama” veya “su


4

alma” olarak da anılmaktadır. Taze betonun terleme göstermesi, beton içerisinde yer

alan çimento ve agrega taneleri gibi katı maddelerin aşağı doğru çökme göstermesi

ve beton içerisindeki suyu kendilerine bağlanmış durumda tutamamalarından,

böylece, suyun yukarı doğru hareket edebilmesinden kaynaklanmaktadır. Terleme

sırasında çimento ve kum gibi bir kısım ince malzeme de yukarı çıkabilmektedir.

Terleme olayı aslında, su ile katı parçacıklar arasında bir nevi “segregasyon”

sayılabilmektedir.

Vibrasyon tekniğinde dikkate alınması gereken diğer önemli husus ise,

vibrasyonun kalıp üzerine uygulayacağı dinamik etkilerdir. Bu husus üretimde

kullanılacak kalıbın mukavemetini ve dolayısıyla tasarımını çok yakından

ilgilendirmektedir.

Kalıba yerleştirilmiş taze betona iç veya dış vibratör ile enerji vererek

kompaksiyonunun ne oranda sağlandığının tespiti için, yapılacak deneysel çalışma

sonuçlarının, pratikte otomasyon bakımından tek başına fazla bir önemi

olmayacağından, bunun teorik bir model ile uygunluğunun, kalıbın fiziksel

özelliklerinin de dikkate alınarak, belirlenmesi gerekmektedir.

Yukarıda açıklanan nedenlerle, vibrasyon tekniği uygulanarak üretilecek

öngerilmeli beton veya betonarme yapı elemanları için kalıp tasarımında:

(a) en uygun vibrasyon noktalarının, vibrasyon frekans ve sürelerinin belirlenmesi,

(b) kalıbın (a)’ da özellikleri belirlenen vibrasyon sonucu doğacak etkilere karşı

dinamik analizinin yapılması gerekmektedir.

Değişik boyut ve kesit özelliklerine sahip her kalıp için en uygun vibrasyon

parametrelerini (nokta, frekans ve süre) önceden kestirmek mümkün değildir. Bu

sebeple problemin tecrübeye dayalı bir ön tasarım ve iteratif bir analiz-tasarım

algoritması ile ele alınması gerekmektedir. Dolayısıyla kalıp tasarımının uygun bir

model ve algoritma ile bilgisayar destekli olarak yapılması zorunludur.

Bu tez çalışmasında, özellikle taze beton-kalıp dinamik etkileşim probleminin

modellenmesi üzerinde durulmuş ve bu model kullanılarak kalıp tasarım algoritması

hazırlanmıştır.

Dış vibrasyon, taze betonun kompaksiyonunu sağlamak üzere, prefabrik

üretim kalıplarının çeşitli noktalarına bağlanmış vibratörler kullanılarak, değişik


5

frekans ve sürelerde, yapı elemanının türüne göre üretim tesislerinde “deneme-

yanılma” yöntemine göre yapılmaktadır. Bu durum zaman ve ekonomi açısından

kayıplar oluşturmaktadır. Kalıp cinsine (sac kalınlığı, elastisite modülü, v.s.) uygun

olmayan frekans uygulandığında; kalıbın moleküler yapısı bozulmakta ve

segregasyon oluşmakta, fazla süre uygulandığında; taze betonun üst yüzeyinde fazla

terlemeden dolayı rötre ve segregasyon oluşmakta, ayrıca vibratör konumlarının

uygun yerleştirilmemesi, titreşimin kalıp yüzeyinde üniforma yakın yayılmamasına,

dolayısıyla, beton kompaksiyonunun bazı bölgelerde yeterli olmamasına yol

açmaktadır.

Yukarıda açıklanan nedenlerle dış vibratörler kullanılarak üretilecek

öngerilmeli beton veya betonarme yapı elemanları için kalıp tasarımında; en uygun

vibrasyon nokta, frekans ve sürelerinin belirlenmesi gerekmektedir. Değişik boyut ve

kesit özelliklerine sahip kalıplar için üretim tesislerindeki deneyimlerden de

yararlanarak, ön tasarım ve iteratif bir analiz-tasarım algoritması ile problemin ele

alınması gerekmektedir.

Bu tez çalışması sanayi’den (Kambeton firması, Adana) bilgisayar destekli

kalıp tasarımı konusunda gelen talep üzerine yapılmış olup, deneysel ve teorik

içerikli bir çalışmadır. Çalışmanın deneysel kısmı, bahsedilen firmanın üretim

tesislerinde gerçekleştirilmiştir. Teorik analizler ise, SAP2000 paket programıyla

“Sonlu Elemanlar Yöntemi” kullanılarak yapılmıştır. Elde edilen teorik sonuçlar,

deneysel bulgularla karşılaştırılmıştır.

Çalışmanın sunuluş düzeni şöyledir: İkinci bölümde, taze betonun titreşim

altındaki davranışına yönelik önceki çalışmalardan bahsedilmektedir. Üçüncü

bölümde, yapı sistemlerinin “Sonlu Elemanlar Yöntemi” ile analizi, Dördüncü

bölümde ise, yapıların dinamik analizi kısaca anlatılmaktadır. Beşinci bölümde, bu

çalışmada ele alınan iki adet prefabrik yapı elemanı üretim kalıbı tanıtılmakta ve

kalıpların teorik modelleme esasları sunulmaktadır. Altıncı bölümde, KAMBETON

firması üretim tesislerinde gerçekleştirilen deneysel çalışmanın detayları

aktarılmaktadır. Yedinci bölümde, deneysel ve teorik olarak elde edilen sonuçlar

kıyaslanarak yorumlanmaktadır. Bu bölümde ayrıca, üretim kalıplarının bilgisayar


6

destekli tasarımına yönelik bir tasarım algoritması önerilmektedir. Sekizinci

bölümde, çalışma ile ilgili sonuç ve öneriler yer almaktadır.

2. ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Gültekin AKTAŞ

7

2. ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR

2.1. Giriş

Literatürde, taze betonun titreşim altındaki davranışının belirlenmesine

yönelik teorik ve/veya deneysel, ayrıca, dış vibratörler ile ilgili çalışmalar mevcuttur.

Yapılan çalışmaların birçoğunda taze betonun, titreşimsiz durumda, Newton akışkanı

olmadığı ve Bingham modeline uyduğu belirtilmiştir.

2.2. Deneysel ve Teorik Çalışmalar

Alexandridis ve Gardner (1981), üç eksenli basınç cihazı kullanarak taze

betonun kayma mukavemet karakteristiklerini deneysel olarak çalışmışlardır. Deney

sonuçları, Mohr-Coulomb ve Rowe’nin kayma mukavemet teorisi ile analiz

edilmiştir. Taze betonun “içsel sürtünme açısı”, Mohr-Coulomb teorisi ile analiz

edildiğinde, beton karışımının sabit bir özelliği olarak 37o-41o arasında bulunmuştur.

Rowe teorisi ile analiz edildiğinde, 18o-21o arasında elde edilmiştir. Her iki teoride

de, taze betonun yapışmasının (kohezyon) başlangıçta sıfır ve zamana bağlı olarak

beton sertleştikçe arttığını göstermişlerdir.

Tattersal ve Baker (1988), titreşimsiz taze betonun akış davranışını aşağıdaki

Bingham modeli ile göstermişlerdir.

γµ+τ=τ &o (2.1)

Burada: τ kayma gerilmesi, τo akma gerilmesi, µ plastik viskozite, γ& kayma hızı

olmaktadır. Ayrıca, bir cihaz yardımıyla yaptıkları ölçümlerde, taze betona titreşim

uygulandığında, akma gerilmesinin değerini kaybettiğini, dolayısıyla taze betonun

Newton akışkanı (akma gerilmesi sıfır) özelliğini kazandığını ve plastik viskozite

değerinin azaldığını göstermişlerdir.

Tanigawa ve Mori (1989), taze betonun davranışı ile ilgili bir simülasyon

yöntemi önermişlerdir. Burada, taze betonun deformasyon ve akışını değerlendirmek


8

için, “Visko Plastik Sonlu Elemanlar Yöntemi” uygulanmış olup, Bingham modeline

uygun davrandığı belirtilmiştir. Slamp ve akış deneylerinden elde edilmiş bazı

akışkanlık sabitleri, teorik sonuçlarla karşılaştırılmış ve modelin doğru olduğu

sonucuna varılmıştır.

Tucek ve Bartak (1991), beton karışımının sıkıştırılmasını, matematiksel bir

model ile ifade etmişlerdir. Modelde beton karışımı, “Viskoelastik” ve Bingham tipi

malzeme olarak tanımlanmıştır. Ayrıca, beton karışımından hava kaçışı

incelenmiştir.

Murata ve Kikukawa (1992), taze betonun plastik viskozite katsayısının

belirlenmesi için ampirik bir bağıntı geliştirmişler ve deneysel çalışmalar yardımı ile,

bu bağıntının güvenilir sonuçlar verdiğini göstermişlerdir.

Larrard ve ark. (1997), ‘BTRHEOM’ denilen bir cihaz kullanarak, titreşim

altında taze betonun akma gerilmesinin yarıya indiğini, bazı durumlarda ise sıfıra

yaklaştığını, ayrıca plastik viskozite değerinin titreşimden etkilenmediğini

belirtmişlerdir.

Kitaoji ve ark. (1998), iç ve yüzey vibratör etkisindeki taze betonda dalga

yayılması problemi “Viskoplastik Sonlu Elemanlar Yöntemi” ile ele alınmış ve

betona ait Bingham parametreleri ile dalga yayılma özellikleri arasındaki ilişki

belirlenmiştir.

Krstulovic ve Juradin (1999), taze betonun titreşim altındaki davranışının

modellenmesi konusunda yaptıkları çalışmada, geliştirdikleri bir cihaz ve nümerik

yöntem yardımıyla, taze betonun plastik viskozite katsayısı gibi bazı akışkanlık

özelliklerini belirlemişlerdir. Ayrıca, bu çalışmada, ACI – committee 309 (1981)’ a

atıfta bulunularak, titreşimli beton ile ilgili yapılmış tüm çalışmalar göz önüne

alındığında, (a) vibrasyonun, hemen tüm beton inşaat türlerinde kullanılmış olmasına

rağmen, henüz teori bilgisi ve beton titreşiminin mekanizması konusundaki

araştırmaların son derece sınırlı kaldığı, (b) vibratör dahil tüm titreşim yöntemleri

için, taze beton karışımı ve kalıp etkisinin de çalışılması gerektiği sonuçlarına

varmışlardır.

Banfill ve ark. (1999), bir düşey boru aleti ile on farklı beton üzerinde deney

yapmışlardır. Borudaki akıntının hızı ile belirlenmiş titreşimli betonun akışkanlığı,


9

titreşimin pik hızı ile kontrol edilmiş ve sözkonusu akışkanlığın betonun titreşimsiz

akışkanlığına bağlı olduğu tespit edilmiştir. Çalışmada akışkanlığın, kritik bir

seviyeye kadar titreşimli pik hız ile orantılı olduğu, kritik hızın titreşmeyen betonun

akma değeriyle orantılı olduğu ve pik hızın titreşmeyen betonun plastik viskozitesi

ile ters orantılı olduğu belirtilmiştir.

Kurokawa ve ark. (2000), Kitaoji ve ark (1998) tarafından teorik olarak elde

edilmiş olan sonuçları, deneysel sonuçlar ile karşılaştırmışlardır.

Petrou ve ark. (2000), taze betonda agreganın yerleşmesini izlemek için

deneysel bir yöntem, nükleer tıp tekniği kullanmışlardır. Burada titreşimden dolayı

agrega yerleşmesinin gerçek-zaman görüntüleri elde edilmiştir. Bu görüntüler

titreşimli beton karışımının akışkanlık özelliklerini çalışmak için kullanılmıştır.

Ayrıca, agrega yerleşiminde titreşimin etkileri, vibratörün konumundan kaynaklanan

etkiler ve agreganın boyutu ve yoğunluğu dahil olmak üzere, gösterilmiştir.

U.S. Department of Transportation (2003), HIPERPAV isimli bir bilgisayar

yazılımında, taze betonun “Poisson oranı” bir denklem ile ifade edilmiştir. Plastik

durumda Poisson oranı, 0.40-0.45 arasında bulunmuştur. Zamanın bir fonksiyonu

olarak Poisson oranı denklem (2.2)’deki gibi ifade edilmiştir. Bu ifade ve

GERMANN Instruments, Inc. tarafından önerilen eğri, Şekil 2.1’de görülmektedir.

ν (t) = -0.05 ln (t + 1.11) + 0.425 ≤ 0.42 (2.2)

t = betonun hazırlandıktan sonra geçen süre (saat)


10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Zaman (saat)

Poi

sson

Ora

nı

- (t) = - 0.05 ln (t+1.11) + 0.425

GERMANN Instruments, Inc.

Şekil 2.1. Poisson Oranının zamanla değişimi

2.3. Dış Vibratörler İle İlgili Çalışmalar

Wenzel (1986a), taze betonun sıkıştırılması ile ilgili ilkeler, pratik, ve bazı

özel problemleri incelemiştir. Prefabrik yapı üretiminde betonun sıkıştırılması için

kullanılan dış vibratör titreşimlerinin, genellikle, 20 cm’den fazla nüfuz derinliğine

ulaşamadığı, bu nedenle, bundan büyük kesitlerde vibratörlerin iki tarafa bağlanması

gerektiği belirtilmiştir. 50 Hz’lik devirsel frekans betonun sıkıştırılması için kalıba

uygulandığında, büyük genlik oluştuğu için “segregasyona” neden olduğu,

görülmüştür. Bu durum iyi bir kompaksiyon etkisi elde etmek için, betonun daha

yüksek frekanslara maruz kalması görüşüne yol açmıştır. Bu amaçla en uygun

frekansların 75-200 Hz arasında olduğu tespit edilmiştir. Bunların kullanım alanları

ve özellikleri aşağıda özetlenmiştir.

75 Hz. Vibratörler: Kullanım alanları, özellikle büyük boyutlu, hafif beton

elemanlardır. Bu düşük frekansta “segregasyon” oluşmaya eğilimli olduğundan,

bunu en aza indirmek için, kompaksiyon işlemi mümkün en kısa süre olmalıdır.


11

100 Hz. Vibratörler: Duvar panelleri, kirişler, kolonlar, çatı kafesleri, sanayi bina

kısımları uygulama alanlarıdır. Bu vibratörlerin şimdi çok yaygın kullanılmasının

önemli bir nedeni 100Hz’lik dış vibratörlerin, 200Hz’lik konvertörler vasıtasıyla

güçlendirilmiş olan dört kutuplu (quadripolar) makineler olmalarıdır. Onların dönel

eksantrik ağırlık ile kalıpta meydana getirdikleri frekans 100Hz’dir. Böyle

konvertörlerin çıktı voltajı genellikle 42 ya da 250 volt’dur.

150 Hz. Vibratörler: Kalınlığı az olan döşeme bileşenleri, eşik, dış yüzey betonu,

laboratuar işleri vb. narin boyutlu elemanlarda kullanılmaktadır. Segregasyon riski

çok azdır.

200 Hz. Vibratörler: Bu frekansta çalışan dış vibratörler, iletim ortamında (kalıp,

v.s.) hızlıca tedricen ortadan kalkan, göreceli olarak küçük genlik oluşturmaktadırlar.

Bu nedenle, onların etki alanı çok sınırlıdır. Bu yüksek emme kapasitesine sahip

ahşap kalıplarda kullanılmasının uygun olmadığını göstermektedir. Bu vibratörler,

mükemmel titreşim iletim özelliklerine sahip olan çelik kalıplarda uygulansa bile,

bazı olumsuz etkiler oluştururlar. Yüksek frekans, çeliğin moleküler yapısının

bozulmasına sebep olur, öyle ki çok kısa bir sürede çelik kalıbı eskitir ve oldukça

zarar verir. Bu yüzden bu vibratörlerin sınırlı sayıda kullanım alanı vardır. Örneğin,

yaygın olarak yüksek frekanslı iç vibratörlerin kullanıldığı şantiye beton inşaatında

donatılar çok yoğun olup iç vibratörlerin girmesine elverişli değilse ya da

laboratuarda titreşim masalarıyla test küpleri yapmak için, kısa süreli uygulanmak

koşuluyla kullanılmaktadır.

Postacıoğlu (1987), vibrasyon yönteminde bazı kurallara uyulduğu taktirde

betonun yerleştirilmesinde ve kompaksiyonunda istenilen sonuçlara varılabileceğini

ifade etmiştir. Bu kuralların en önemlileri aşağıda sıralanmıştır:

a) Vibratörün frekansı en az 6000 devir/dakika (100 Hz) olmalıdır.

b) Vibrasyonla sıkıştırma işinde bütün beton kütlesinin titreşime maruz kalması

sağlanmalıdır.

c) Vibratörün uygulama süresinin en uygun değerinin saptanması gerekir. Vibrasyon

kısa bir süre için uygulanacak olursa kompaksiyonun yeter derecede

gerçekleşmeyeceği açıktır. Vibrasyon işleminin gereğinden fazla devam etmesi de,

aşırı terlemeye yol açacağından, sakıncalıdır. Eğer beton uzun süre vibrasyon altında


12

tutulacak olursa, betonun üst yüzeyinde önemli miktarda su ve bunun beraberinde

sürüklediği çimento toplanır. Buharlaşmaya zaten elverişli olan yüzey bölgesinde

fazla miktarda su ve çimentonun bulunması bu kısmın fazla rötre yapmasına yol açar.

Bunun sonucunda da yüzeyde çatlaklar meydana gelir. Ayrıca, dış vibrasyonla

üretilen prefabrik yapı elemanlarında kullanılan kalıplarda, aşırı deformasyon

ve/veya çökme olmaktadır. Yapılarda çoğu zaman, daha iyi bir sonuç elde etmek

ümidiyle, vibrasyon gereğinden fazla süre uygulanmakta ve böylelikle tamamen aksi

sonuçlar elde edilmektedir. Bu bakımdan vibrasyon süresinin gayet iyi bir şekilde

ayarlanması gerekmektedir. Bu süreyi etkileyen çok değişik faktörler bulunduğundan

bu konuda şu kurala göre hareket edilmelidir: Vibrasyon uygulanırken taze beton

yüzeyinde su toplamaya (terleme) başladığı vakit, ki bu beton yüzeyinde bir

parıltının görülmesiyle anlaşılır, vibratör derhal durdurulmalıdır.

d) Kalıplar sağlam yapılmalı ve yerleştirme sırasında aralanmamalıdır. Vibrasyona

maruz kalan beton kalıplara önemli basınç yapar ve bunun etkisi ile meydana gelen

aralıklardan, özellikle su ve bir miktar çimento dışarıya çıkar. Bu durum betonun

mukavemetinin önemli derecede azalmasına neden olmaktadır. Prefabrik yapı

elemanları üretiminde, aynı boyuttaki elemanın çok sayıda üretilmesi halinde, metal

kalıplara başvurulması faydalıdır. Burada kalıp, genellikle, 3-6 mm kalınlığında çelik

sacdan oluşturulmaktadır.

e) Vibrasyonla sıkıştırılan betonda karma suyu miktarının az olması gerekir, çünkü

fazla su sıkışmaya engel olmaktadır.

Erdoğan (2003), dış vibratörlerle ilgili bazı bilgiler vermiştir. Bunlar aşağıda

sıralanmıştır:

a) Bu tür vibratörler, beton kalıbının dış yüzeyine birkaç noktadan sıkıca bağlı

duruma getirilebilen ve kalıbın içerisine taze beton yerleştirildikten sonra

çalıştırılarak kalıbı titreştiren vibratörlerdir. Vibratörlerin çalıştırılmasıyla beton

kalıbına aktarılan titreşimin etkisi ile, kalıp içerisindeki taze betona da titreşim

uygulanmış olmaktadır.

b) Dış vibratörler, iç vibratörlere oranla, betonun sıkıştırılması işleminde daha çok

enerji harcamaktadırlar.


13

c) Dış vibratörler titreşim frekansları 3000-9000 devir/dakika arasında değişen

türlerde üretilmektedirler. Bu vibratörlerin kullanılacağı kalıpların sağlam ve su

sızdırmayan türden kalıplar olmaları gerekmektedir.

d) Dış vibratörle sıkıştırılacak betona uygulanacak vibratör süresi, genellikle, 2

dakikadan daha fazladır. Bazen bu süre 30 dakikaya kadar çıkmaktadır.

e) Dış vibratörler kalıp yüzeyine 1-3 m aralıkla bağlanmaktadır. Vibratörlerin

bağlandıkları noktalar arasındaki uzaklık istenilen düzeyde sıkıştırma sağlayamıyor

ise, bu uzaklık uygun tarzda tekrar ayarlanmalıdır.

f) Dış vibratörler, kalıba bağlanmış oldukları bölgeye denk düşen beton yüzünden

yaklaşık 40-45 cm içeriye kadar etkili olmaktadırlar.

g) Bazen dış vibratör kullanılır iken, donatı aralığı uygun ise, ayrıca iç vibratör de

kullanılabilmektedir.

i) Dış vibratörler, genellikle, prefabrik beton elemanlarının sıkıştırılmasında

kullanılmaktadır. Bu tür vibratörler, yerinde dökülen fakat kalıp şekli veya donatı

aralığı bakımından iç vibratörlerin uygulanması zor olan betonların veya ince kesitli

betonların sıkıştırılmasında da çok yararlı olmaktadırlar.

j) Taze betona ne kadar süreyle vibrasyon uygulamak gerektiği, betonun kıvamına,

betonun sıcaklığına ve kullanılacak vibratör tipine göre, değişmektedir. Gerçek

uygulamada, vibrasyon süresinin ne uzunlukta olması gerektiği, vibrasyon esnasında

betonun durumu gözlenerek kararlaştırılmaktadır. Dış vibratör uygulanmasında,

beton yüzeyinin çok sulu ve harçla kaplanmış bir durum almamasına dikkat edilmeli,

ve böyle bir durum başlar başlamaz vibrasyon işlemine son verilmelidir.

3. YAPI SİSTEMLERİNİN SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ İLE ANALİZİGültekin AKTAŞ

14

3. YAPI SİSTEMLERİNİN SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ İLE ANALİZİ

3.1. Giriş

Son yıllarda, bilgisayar teknolojisindeki ilerlemelere paralel olarak teorik

analizlerde sayısal çözümlerin önemi artmıştır. Sonlu elemanlar yöntemi, sayısal

çözüm yöntemlerinden en etkili ve sistematik olanıdır. Programlamaya uygun olan

bu yöntem; bir, iki ve üç boyutlu elemanlara uygulanabilen, genel amaçlı bir

yöntemdir. Yöntemin sistematikliği ve her türlü yapıya aynı işlemlerle uygulanması

en önemli üstünlüğüdür. Bu yöntemde, sürekli ortamlardan oluşan sistemler üzerinde

sonlu eleman ağı ile hayali düğümler oluşturulur. Düğümlerde denge, süreklilik ve

uygunluk şartları sağlayacak şekilde eleman kütle, rijitlik matrisleri ve yük vektörleri

oluşturulur. Kodlama tekniği ile sistem kütle, rijitlik matrisleri ve yük vektörleri

oluşturularak sistem hareket denklemi bulunur. Sistem hareket denklemi ise uygun

bir yöntemle çözülerek deplasman ve gerilmeler hesaplanır.

Sonlu elemanlar yönteminde, ağ modelindeki her eleman kendisine komşu

olan diğer elemanlara gerçekte sonsuz sayıda nokta ile bağlı olmasına rağmen bu

yöntemde sadece düğüm noktaları vasıtasıyla bağlanmaktadır. Böylece,

deplasmanların uygunluğu sadece bu noktalarda sağlanmaktadır. Dolayısıyla, büyük

yapılarda genellikle daha doğru sonuçlar elde etmek için çok fazla sayıda eleman

kullanmak gerekeceğinden, işlem hacminin büyümesi, dolayısıyla, çözüm süresinin

artması dezavantaj olarak görünse de bu olumsuzluk bilgisayar yardımı ile

aşılmaktadır. Son zamanlarda, yeterli hassasiyette sonuçlar veren ve bu tez

çalışmasında da kullanılan SAP2000 gibi sonlu elemanlar yöntemine dayalı bir çok

hazır paket program geliştirilmiştir.

3.2. Elastodinamikte Hareket Denklemleri ve Sonlu Eleman Yaklaşımı

Üç boyutlu elastodinamikte, tipik bir hacim elemanı (Şekil 3.1) dikkate

alındığında, elemana etkiyen kuvvetlere ait hareket denklemleri sırasıyla x, y ve z

yönlerinde aşağıdaki gibi bulunmaktadır.


15

0tuf

zyx 2

2

xxzxyx =

∂∂

ρ−+∂τ∂+

∂

τ∂+

∂σ∂

0tvf

zxy 2

2

yyzyxy =

∂∂

ρ−+∂

τ∂+

∂

τ∂+

∂

σ∂

0twf

yxz 2

2

zzyzxz =

∂∂

ρ−+∂

τ∂+

∂τ∂+

∂σ∂ (3.1)

Burada σx, σy ve σz sırasıyla x, y ve z doğrultularındaki normal gerilmeleri, τxy, τxz

ve τyz kayma gerilmelerini (izotropik malzeme özelliği, τxy = τyx, τxz = τzx, τyz = τzy),

fx, fy ve fz hacim kuvvetlerini, ρ malzemenin kütlesel yoğunluğunu, u, v ve w

sırasıyla x, y ve z yönlerindeki deplasmanları, t ise zamanı göstermektedir.

Şekil 3.1. Tipik bir hacim elemanına etkiyen gerilmeler

Şekil değiştirme ve deplasmanlar arasındaki bağıntılar aşağıdaki gibidir.

∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂

∂∂∂∂∂∂

=

=

xw/zu/yw/zv/xv/yu/

zw/yv/xu/

γγγεεε

xz

yz

xy

z

y

x

ε (3.2)

x

z

y τzx

σy

σz

σx

τxz

τxy

τyz

τyx

τzy

dz

dx

dy


16

Burada γxy = γyx, γxz = γzx, γyz = γzy eşitlikleri mevcuttur. Bünye denklemi aşağıdaki

bağıntı ile tanımlanmaktadır.

σ = D ε (3.3)

Burada D malzeme matrisini göstermektedir; gerilme ve şekil değiştirme vektörleri

ile malzeme matrisinin elemanları aşağıdaki ifadeler ile bulunmaktadır.

σ = { σx , σy , σz , τxy , τyz , τxz }T

ε = { εx , εy , εz , γxy , γyz , γxz }T (3.3a)

=

66

55

44

333231

232221

131211

D000000D000000D000000DDD000DDD000DDD

D (3.3b)

İzotrop malzeme halinde D sabitleri şöyledir.

)21()1()1(EDDD 332211 ν−ν+

ν−===

)21()1(EDDDDDD 323123211312 ν−ν+

ν======

)1(2EGDDD 665544 ν+

==== (3.3c)

Burada E ve G sırasıyla Elastisite ve kayma modülünü; ν ise Poisson oranını

göstermektedir. Cismin yüzeyinde bulunan herhangi bir noktadaki sınır şartları:


17

tx = σx nx + τxy ny + τxz nz

ty = σy ny + τyx nx + τyz nz

tz = σz nz + τzx nx + τzy ny (3.4)

şeklinde ifade edilmektedir. Burada tx, ty ve tz sırasıyla x, y ve z yönlerindeki yüzey

gerilmelerini gösterirken, nx, ny ve nz ise, doğrultman kosinüslerini göstermektedir

(Şekil 3.2).

Şekil 3.2. Yüzey gerilmeleri ve doğrultman kosinüsleri

3.3. Ağırlıklı Artıklar Yöntemiyle İntegral Forma Geçiş

Ağırlıklı artıklar yönteminde, herhangi bir diferansiyel denklem ψ ağırlık

fonksiyonuyla çarpılarak tipik bir eleman üzerinde integralin alınmasıyla, integral

forma geçilmektedir (Dhatt ve Touzot, 1985). Bu diferansiyel denklem tüm bölge

(V) üzerinde aşağıdaki ifade ile gösterilmektedir.

ℜ(u) + fv = 0 (3.5)

Burada ℜ(u) bilinmeyen u değişkeninin tüm türevlerini ve varsa kendisini içeren bir

diferansiyel operatörü, fv bölge üzerindeki kuvvetleri temsil etmektedir. Artık

fonksiyonu,

nt

.

z

x

y


18

R(u) = ℜ(u) + fv (3.6)

şeklinde tanımlanırsa, W sistem integral formu, aşağıdaki denklem ile verilmektedir:

0dV]f)u([ψW VV =+ℜ∫= (3.7)

Burada ψ ağırlık fonksiyonunu temsil etmektedir. Galerkin yönteminde, ağırlık

fonksiyonu olarak ψ = δu alınmaktadır. Burada δu, u’ nun varyasyonunu

göstermektedir. Tüm bölge üzerindeki integral, bölgeyi oluşturan elemanlar

üzerindeki integrallerin toplamı alınarak yapılmaktadır.

0dV]f)u([δuWW V

n

1eV

en

1e

eel

e

el

=+ℜ== ∑∫∑==

(3.8)

Burada We eleman integral formunu, nel eleman sayısını, V bir, iki ya da üç boyutlu

halde (doğru, alan, hacim) bölgeyi ifade etmektedir. Elemana ait ue ve δue, eleman

bölgesi üzerinde düğümsel yaklaşımla aşağıdaki bağıntılar ile verilmektedir.

ue = NT ud (3.9a)

δue = NT δud (3.9b)

Bu ifadelerde N şekil fonksiyonlarını, ud düğüm değerlerini göstermektedir. (3.9)

ifadeleri, (3.8) denkleminde yerine konursa elemana ait denklem,

( )∫ ∫+ℜδ= e eV V VdTT

de dVfdV)()(W NuNNu (3.10)

şeklinde elde edilir. (3.7) denkleminde bulunan en yüksek türevin mertebesini

azaltmak için, bu ifadeye kısmi integrasyon uygulanır. İntegral formu, δu’ nun

türevlerini ve bazı ilave sınır integralleri içerebilir. Eleman integral formu We, kararlı

(steady state) sistemler için, matris notasyonunda aşağıdaki gibi yazılmaktadır.


19

dSfδudV]fδu))δ(([W ef

e S SVT

Ve ∫∫ −−∂∂= uDu (3.11)

Burada:

LL 2

2T

xxu

∂∂

∂∂=∂

uuu

LL

∂∂

∂∂=∂ 2

2T

xδ

xδδu)δ( uuu

D lineer operatörler (ℜ) için, u ve u’nun türevlerinden bağımsız olan malzeme

matrisi,

fv ve fs : Hacim ve yüzey kuvvetleri (tractions),

Ve : Elemanın hacmi,

Sfe : Elemana ait bölge sınırının tüm bölge sınırı ile ortak kısmıdır.

We nin ayrık formunu elde etmek için, eleman bölgesinde u, δu ve bunların

türevleri sonlu eleman yaklaşımında kullanılır. Bu ifadeler aşağıdaki gibi

bulunmaktadır.

u = NT ud

δu = NT δud = (δud)T N

u,x = (N,x)T ud , u,y = (N,y)T ud , u,z = (N,z)T ud (3.12a)

ddT

z

Ty

Tx

z

y

x

),(),(),(

u,u,u,

uBuNNN

=

=

ddT

z

Ty

Tx

z

y

x

),(),(),(

u,u,u,

uBuNNN

δ=δ

=

δδδ

⇒ < δu,x , δu,y , δu,z > = (δud)T BT (3.12b)


20

Burada < > transpoz vektörü göstermekte, B eleman şekil değiştirme matrisi olarak

adlandırılmaktadır. Bulunan bu ifadeler (3.11) denkleminde yerine konursa:

−−δ= ∫∫∫434214342144 344 21

s

ef

v

ee

f

S S

f

V Vd

k

VTT

de dSfNdVfNudVBDBuW )( (3.13)

eleman integral formu elde edilir. Bu denklemde ilk terim eleman matrisini, ikinci

terim elemanda ağırlık nedeniyle oluşan yük vektörünü, üçüncü terim yüzey

kuvvetlerinden oluşan eleman düğüm yük vektörünü göstermektedir:

∫= eVT

(nxn) dVBDBk (eleman matrisi) (3.13a)

∫= eV V(nx1) v dVfNf (eleman ağırlık yük vektörü) (3.13b)

dSff efS S(nx1) s ∫= N (eleman yüzey kuvvetleri yük vektörü) (3.13c)

mekanik problemlerde k eleman matrisi, rijitlik matrisine karşılık gelirken; n

elemanın serbestlik derecesini belirtmektedir. Eleman integral formu, eleman rijitlik

matrisi ve yük vektörü cinsinden aşağıdaki gibi yazılabilir.

We = (δud)T ( k ud – f ) = 0 (3.14)

Bölgedeki elemanların toplanması işleminden sonra global integral formu:

0.K.K.GWWeln

1e

e =+=∑=

W = (δUd)T ( K Ud – F ) = 0 (3.15a)


21

şeklinde bulunur. Burada G.K.K. geriye kalan kısım, δUd aradığımız büyüklüğün

varyasyonu olup, bir değere sahip olduğundan denklemin sağlanması için parantez

içindeki ifade sıfır olmalıdır. Buradan:

K Ud = F (3.15b)

denklemi kararlı (steady state) sistemler için elde edilir.

Kararsız (unsteady) problemler için ∂u/∂t ve ∂2u/∂t2 terimleri varsa, eleman

integral formunda bunlara karşı gelen ilave ifadeler oluşmaktadır:

dVtuuWvedV

tuuW 2

e2e

Ve

ee

Ve

ee ∂∂

δ∫=∂∂

δ∫= (3.16a)

(3.9) bağıntıları uygulandıktan sonra bu ek terimler,

dV

dtd

)δ(Wvedt

d)δ(W

eV

2d

2T

dedT

de

TNNmc

umuucu

∫==

=

=

(3.16b)

şeklinde bulunmaktadır. Burada m eleman kütle matrisi, c eleman sönüm matrisini

göstermektedir. Eleman artık fonksiyonu, aşağıdaki denklem ile tanımlanmaktadır.

r = f – k ud (3.16c)

Sistem artık fonksiyonu aşağıdaki denklem ile verilmektedir.

∑=

−==eln

1edUKFrR (3.16d)

Ud , (3.15b) denkleminin tam çözümü olduğu zaman, bu son artıklar yok olurlar.


22

3.4. Referans Elemanları

İki boyutlu problemlerde üçgen veya dörtgen referans elemanları

kullanılmaktadır. Referans elemanı, eğer gerçek eleman üçgen ise ikizkenar dik

üçgen, eleman dörtgen ise kare olarak seçilmektedir (Şekil 3.3 ve 3.4).

Şekil 3.3. 3 düğümlü izoparametrik, lineer sonlu eleman (a) Gerçek eleman (b) Referans elemanı

Şekil 3.4. 4 düğümlü izoparametrik, lineer sonlu eleman (a) Gerçek eleman (b) Referans elemanı

3.5. Referans Elemanı Üzerinde Yaklaşım

Üçgen elemanda herhangi bir noktadaki deplasman değeri, düğüm noktası

deplasmanları (u i , u j , u k) ve şekil fonksiyonları Ni (ξ, η) cinsinden,

x

y

x i x j

x k

1 2

3

η

(0,0) ξ

Be

Br

(0,1)

(1,0) (a) (b)

ji

k

x

y

x i

η

Br

ξx j

x kx l

Be

(1,1)

(1,-1) (-1,-1)

(-1,1)

(0,0)

(b) (a)

l

k

i j2

43

1


23

>ηξηξηξ<=ηξ

k

j

i

321

uuu

),(N),,(N),,(N),(u (3.17)

denklemi ile ifade edilmektedir. Burada şekil fonksiyonları,

N1 (ξ, η) = 1 - ξ - η

N2 (ξ, η) = ξ (3.18)

N3 (ξ, η) = η

olarak elde edilmektedir. Kare elemanda ise, elemanın dört düğüm noktası olması

sebebiyle denklem,

>ηξηξηξηξ<=ηξ

l

k

j

i

4321

uuuu

),(N),,(N),,(N),,(N),(u (3.19)

şeklini almaktadır. Burada:

N1 (ξ, η) = (1- ξ - η + ξη) / 4

N2 (ξ, η) = (1+ ξ - η - ξη) / 4

N3 (ξ, η) = (1+ ξ + η + ξη) / 4

N4 (ξ, η) = (1- ξ + η - ξη) / 4 (3.20)

olarak bulunmaktadır.

3.6. Referans Elemanı Üzerinde Eleman İntegral Formu We

Gerçek eleman üzerinde yazılmış olan u ve δu; ud ve δud düğümsel

değişkenler ve varsa bunların türevleri; gerçek eleman uzayındaki integrasyonların

tümü Referans elemanı üzerine dönüştürülmelidir.


24

3.6.1. Türevlerin Dönüşümü

u,x , u,y , u,z , u,xx ,L ifadeleri geometrik dönüşümden yararlanılarak, Jacobian

matrisi yardımıyla u,ξ , u,η , u,ζ , u,ξξ , L olarak dönüştürülür.

Örneğin, bir boyutlu durumda referans ekseni ξ alındığında aşağıdaki

dönüşümler yardımıyla,

x = x (ξ)

u(ξ) = N(ξ)T ud

dT)),((

dxdξ

dxdξ

dξdu

dxdu uN ξξ==

gerçek eleman için B matrisi, 1

dxdξ −= J ( J = Jacobian), J -1 = Q eşdeğerleri ile,

B = Q Bξ (3.21)

şeklinde elde edilir. İki boyutlu durumda B şekil değiştirme matrisi,

x = x (ξ, η), y = y (ξ, η), koordinat dönüşümleri kullanılarak,

><><

=y

x

,,

NN

B , veya açık olarak,

∂η∂∂ξ∂∂η∂∂ξ∂

=

>∂η∂+∂ξ∂<>∂η∂+∂ξ∂<

=η

ξ

ηξ

ηξ

,,

yyxx

y,y,x,x,

NN

NNNN

B

B = J -1 Bξ = Q Bξ

şeklinde yazılabilir. Sonsuz küçük bir alan ise,

dAe = dx dy = | J | dξ dη

η∂∂η∂∂ξ∂∂ξ∂∂

=yxyx

J

Jacobian matrisine bağlı olarak ifade edilmektedir. Referans elemanı için rijitlik

matrisi aşağıdaki şekilde elde edilmektedir.

ηξ∫= ξξ dd||eA JBQDQBk TT (3.22)


25

3.7. İntegral Bölgesinin Dönüşümü

Gerçek eleman bölgesi üzerindeki integrasyon, referans elemanı üzerindeki

integrasyona dönüştürülür. Eleman matrisi

∫= eVT dVBDBk , şeklinde idi.

Bir boyutlu hal:

∫∫=

−=

=

==

1ξ

1ξ

xx

xxdξ||)(dx)(2

1JLL

İki boyutlu hal:

Üçgen eleman,

x = x (ξ, η)

y = y (ξ, η)

∂∂∂∂∂∂∂∂

=ηyηxξyξx

J

∫ ∫ ∫=

−

==eA

1

0ξ

ξ1

0ηdηdξ||)(dydx)( JLL | J | = det J

Dörtgen eleman,

∫ ∫ ∫−= −==eA

1

1ξ

1

1ηdηdξ||)(dydx)( JLL

şeklinde elde edilmektedir. İntegralin içi ya analitik (kapalı) olarak ya da sayısal

yöntemlerle, örneğin Gauss sayısal integral yöntemi ile hesaplanır. Eşitliğin sağ

tarafındaki integrallerde parantez içindeki ifadeler ξ, η değişkenlerine bağlıdır.

xx1 x2

x = x(ξ)

Gerçek eleman Referans elemanı

ξξ=0 ξ=1ξ=-1

η

(0,0) ξ

(0,1)

(1,0)

η=1-ξ

η

ξ

(1,1)

(1,-1) (-1,-1)

(-1,1)


26

3.8. Çubuk Sonlu Elemanı

Aşağıda görülen, üç boyutlu prizmatik, sabit kesitli bir çubuk eleman, x, y, z

yerel koordinat takımında gözönüne alınmıştır (Şekil 3.5).

Şekil 3.5. Üç boyutlu prizmatik çubuk eleman

Şekildeki çubuk elemana ait terimlerin tanımı aşağıda verilmiştir.

E: Elastisite modülü

G: Kayma modülü

ρ: Birim hacmin kütlesi

A: Kesit alanı

L: Elemanın uzunluğu

J: Burulma atalet momenti

Iy, Iz: y ve z eksenleri etrafındaki atalet momentleri

Ip: x ekseni etrafındaki kutupsal atalet momenti (Ip = Iy + Iz).

Çubuk, iki düğümden oluşmakta; her iki düğümde de altı serbestlik

derecesine sahip olmaktadır (üç ötelenme ux, uy, uz ve üç dönme θx, θy, θz).

Deplasman ve dönmeler Ni şekil fonksiyonları ve ud düğüm değerleri cinsinden

aşağıdaki gibi yazılabilir.

E G ρ A L J Iy

y

z

Iz Ip

xi=1 i=2

θy1

uz1 uz2

uy2

ux2

uy1

ux1

θz1θx1 θz2

θy2

θx2


27

ux = ∑ Ni uxi

uy = ∑ Ni uyi

uz = ∑ Ni uzi

θx = ∑ Ni θxi

θy = ∑ Ni θyi

θz = ∑ Ni θzi (3.23)

Burada:

Ni = [N1, N2] (3.24)

olmaktadır. Şekil değiştirme bileşenleri altı adet olup, aşağıda verilmiştir.

ε = {εx , εy , εz , γxy , γyz , γxz}T (3.25)

Burada γxy = γyx, γxz = γzx, γyz = γzy eşitlikleri mevcuttur. Şekil değiştirme ve

deplasmanlar arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir.

ε = B ud (3.26)

Burada B şekil değiştirme matrisini, ud düğüm değerlerini göstermektedir. Elemanın

düğüm değerleri aşağıda tanımlanmıştır.

ud = {ux1, ux2, uy1, uy2, uz1, uz2, θx1, θx2, θy1, θy2, θz1, θz2}T (3.27)

Gerilmeler ile şekil değiştirmeler arasındaki bağıntı aşağıdaki gibidir.

σ = D ε (3.28)


28

Burada D malzeme matrisini temsil etmektedir. Elemana ait rijitlik ve kütle

matrisleri,

dzdydxT BDBk ∫∫∫=

dzdydxT NNm ρ∫∫∫= (3.29)

olarak elde edilmektedir.

3.9. Plak ve Kabuk Sonlu Elemanları

Plak ve kabuk elemanlarının analizleri için, kabuk yüzeyine dik olan şekil

değiştirme ve gerilmeler sıfır kabul edilebilir (Beer ve Watson, 1994). Bu kabul ile

formülasyonu yapılan bir eleman üç boyutlu (solid) cisimden daha az serbestlik

derecesine sahip olmaktadır. İnce plak ve kabuk elemanı kalınlığının diğer iki boyuta

oranı çok küçük olmaktadır.

3.9.1. Plak Sonlu Elemanı

Hughes ve ark. (1977), plak analizinin temel kavramlarını tanıtmak için, plak

eğilmesi tartışılmıştır. Şekil 3.6’da görülen plak elemanı lineer üç boyutlu elemandan

elde edilmiştir. Düğümler plağın orta düzleminde bulunmakta ve her düğümde üç

serbestlik derecesi kabul edilmektedir (bir deplasman uz ve iki dönme θ1, θ2).

Eleman toplam 12 serbestlik derecesine sahip olmaktadır. Plak formülasyonunda,

membran etkisi ve kalınlık yönündeki gerilme ihmal edilmektedir. Deplasman ve

dönmeler Ni şekil fonksiyonları ve düğüm değerleri cinsinden aşağıdaki gibi

yazılabilmektedir.

uz = ∑ Ni uzi

θ1 = ∑ Ni θ1i

θ2 = ∑ Ni θ2i (3.30)


29

Şekil 3.6. Lineer plak elemanı

Şekil 3.6’da z = 0 plak orta düzlemi olarak tarif edilmektedir. Plak içinde herhangi

bir noktadaki ux ve uy deplasmanları aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

ux = θ2 z = ( ∑ Ni θ2i ) z

uy = - θ1 z = - ( ∑ Ni θ1i ) z (3.31)

z yönündeki normal şekil değiştirme εz = 0 kabul edildiği için sadece beş şekil

değiştirme bileşeni mevcut olmaktadır.

∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂

∂∂∂∂

=

=

x/uz/uy/uz/uy/ux/u

y/ux/u

γγγεε

zx

zy

xy

y

x

xz

yz

xy

y

x

ε (3.32)

(3.32) şekil değiştirme vektörü,

=

xy

y

x

B

γεε

ε ,

=xz

yzS γ

γε (3.33)

1

4

uyi

orta düzlem

3

i = 2

uzi

uxi θ2i

θ1i

z y

x

ηξ


30

olarak eğilme ve enine kayma terimlerine ayrılırsa, şekil değiştirme ve deplasmanlar

arasında aşağıdaki bağıntılar yazılabilir.

dBB uBε =

dSS uBε = (3.34)

Burada BB ve BS sırasıyla eğilme ve kayma halleri için şekil değiştirme matrisleri

olup, aşağıdaki gibi yazılabilir.

∂∂∂∂−∂∂−

∂∂=

yxy

xzB

N/N/00N/0

N/00B (3.35)

∂∂

−∂∂=

N0N/0NN/

Bxy

S (3.36)

Yukarıdaki denklemlerde:

N = [ N1, N2, N3, N4 ]

∂N/∂x = [ ∂N1/∂x, ∂N2/∂x, ∂N3/∂x, ∂N4/∂x ]

∂N/∂y = [ ∂N1/∂y, ∂N2/∂y, ∂N3/∂y, ∂N4/∂y ] (3.37)

ve 0, 4x1 boyutunda sıfır matristir. Genelleştirilmiş deplasman vektörü aşağıdaki

bağıntı ile tanımlanmaktadır.

ud = {uz1 L uz4, θ11 L θ14, θ21 L θ24}T (3.38)

Plaktaki gerilmelerin şekil değiştirmelerle ilişkisi aşağıdaki gibidir.

σB = DB εB

σS = DS εS (3.39)


31

Burada, DB eğilme hali için ve DS ise kayma hali için malzeme matrisleridir.

ν−ν

ν

ν−=

2)1(000101

1E

2BD

(3.40)

CG00G

S

=D

Burada G kayma modülüdür ve C amacı kayma gerilmesini plak kalınlığı içerisinde

temsil eden düzeltme faktörüdür. BS matrisinde (3.36) görüldüğü gibi, enine kayma

terimleri z den bağımsızdır, yani, enine kaymanın kalınlık yönünde sabit olduğu

kabul edilmektedir; oysa, gerçekte dağılım yaklaşık olarak paraboliktir. C değeri

genellikle 5/6 olarak alınmaktadır. Rijitlik matrisi aşağıda verilmiştir.

dzdydxdzdydx SSTSBB

TB BDBBDBK ∫∫∫∫∫∫ += (3.41)

z yönündeki integrasyon, analitik olarak hesaplanabilir.

tdzve12tdzz

2/t

2/t

32/t

2/t

2 == ∫∫+

−

+

−(3.42)

Diğer iki yöndeki integrasyon yerel ξ, η doğrultularında yapılmaktadır. 3.41

denkleminin ikinci integrali için 2x2 Gauss noktası almak yeterli olmaktadır.

3.9.2. Kabuk Sonlu Elemanı

Kabuk elemanında membran ve eğilme etkileri birbirinden bağımsız oldukları

için ayrı ayrı ele alınabilmektedir. Şekil 3.7’de biçimi değişmiş lineer bir kabuk

elemanında, kabuk yüzeyine dik yönde üçüncü bir yerel eksen, ζ, tanımlanmaktadır.


32

Kabuk elemanın orta düzleminde ζ=0’dır. Membran etkisi dikkate alındığından

elemanın her düğümünde iki ilave serbestlik derecesi uxi ve uyi oluşmaktadır. Ayrıca,

kabuk elemanının konumu herhangi bir yönde olabileceğinden, her düğüm

noktasında yerel bir ortogonal vektör sistemi tanımlanmaktadır.

Şekil 3.7. Lineer kabuk elemanı

v1 ve v2 vektörleri aşağıdaki gibi belirtilir: v3 vektörünün kabuk kalınlığı boyunca

Şekil 3.7’de görüldüğü gibi birim vektör olduğunu kabul edelim.

v1 = v3 x vy

v2 = v1 x v3 (3.43)

Burada vy, y yönündeki birim vektördür. Eğer v3, vy yönündeyse (3.43) vektörel

çarpımı sıfır vektörü verir ve bu durumda v1 aşağıdaki gibi hesaplanır.

v1 = v3 x vx (3.44)

Burada vx, x yönünde birim vektördür. Kabuktaki deplasmanlar genelleştirilmiş

düğüm deplasmanları cinsinden yazılabilir.

1

4

uyi

orta düzlem

3

i = 2

uzi

uxi θ2i

θ1i

zy

x

η

ξ

x’

v1i

v3i

v2i

ζ y’ z’


33

2i1ii1i2ii

zi

yi

xi

i

z

y

x

θvζ2tθvζ

2t

uuu

uuu

∑∑∑ +−

=

NNN (3.45)

Şekil değiştirmeleri tanımlarken kabuk kalınlığı yönünde şekil değiştirme ve

gerilmenin ihmal edildiği kabul edilmektedir. Bu ε şekil değiştirme vektörünün z'

ekseni, kabuk yüzeyine dik vektöre (v3) paralel olan, x', y', z' yerel eksen takımında

tanımlanması gerektiği anlamındadır.

Yerel x', y', z' yönlerindeki şekil değiştirmeler, ε', global şekil değiştirmeler

cinsinden aşağıdaki gibi elde edilmektedir.

ε' = (Tε)-1 ε (3.46)

Burada Tε şekil değiştirme dönüşüm matrisidir. Şekil değiştirmeler sistem koordinat

takımında aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır.

=

xz

yz

xy

z

y

x

γγγεεε

ε (3.47)

Şekil değiştirmeler ise yerel koordinat takımında aşağıdaki gibidir.

=

z'x'

z'y'

y'x'

y'

x'

γγγ

0εε

'ε (3.48)


34

Burada önemli olan husus, kabuk yüzeyine dik şekil değiştirmenin, εz', sıfır

olduğudur. Global şekil değiştirme bileşenleri aşağıdaki gibi hesaplanabilir.

ε = B ud (3.49)

Burada ud , aşağıdaki gibi verilmektedir.

ud = {ux1 … ux4, uy1 … uy4, uz1 … uz4, θ11 … θ14, θ21 … θ24}T (3.50)

Yerel şekil değiştirme vektörü ise, aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır.

ε' = B' ud (3.51)

Burada,

B' = (Tε) -1 B (3.52)

şeklinde olmaktadır. Kabuk elemanı için rijitlik matrisi aşağıdaki gibi elde

edilmektedir:

dζdηdξ||')'(eV

T JBDBK ∫= (3.53)

Burada |J| Jacobian matrisin determinantını göstermektedir. Genel kabuk

uygulamalarında, özellikle kalın kabuk için, kalınlık yönündeki integrasyon artık

analitik olarak hesaplanamamakta ve Gauss sayısal yöntemi kullanılmaktadır.

3.10. SAP2000 Bilgisayar Programı

SAP2000 (Structural Analysis Program, Integrated Finite Element Analysis

and Design of Structures), yapı mühendisliğindeki deformasyon ve stabilite


35

problemlerinin sonlu elemanlar yöntemi ile analiz edilebilmesi için hazırlanmış bir

bilgisayar programıdır.

Bu çalışmada, SAP2000 6.11 versiyonu kullanılmıştır. Çubuk ve Kabuk

elemanları kullanılarak yapı modellenmiştir. Bu elemanlardan aşağıda kısaca

bahsedilecektir.

3.10.1. Çubuk Elemanı

Bu çalışmada, Şekil 3.5’de görülen üç boyutlu prizmatik (eleman uzunluğu

boyunca tüm kesit özellikleri sabit) çubuk elemanı kullanılmıştır. Çubuk elemanı,

düzlem ve üç boyutlu yapılarda kiriş-kolon ve kafes davranışını modellemek için

kullanılmaktadır (Bathe ve Wilson, 1976).

Çubuk eleman formülasyonu, iki eksen doğrultusunda eğilme ve kayma;

ayrıca, burulma ve eksenel deformasyon içerecek şekilde üç boyutlu olarak

yapılmıştır. Bu eleman ile aşağıdaki yapılar modellenebilir:

a) Üç boyutlu çerçeveler,

b) Üç boyutlu kafesler,

c) Düzlem çerçeveler,

d) Düzlem temel ızgaraları,

e) Düzlem kafesler.

Doğru eksenli olarak kabul edilen çubuk, her iki ucunda bulunan birer düğüm

noktası (I, J) ile tanımlanmaktadır. Her iki düğümde de altı serbestlik derecesi (üç

ötelenme ve üç dönme) mevcut olup, toplam 12 serbestlik derecesine sahiptir.

3.10.1.1. Yerel Koordinat Sistemi

Her çubuk elemanı kesit özelliklerini ve yükleri tanımlamak ve sonuçları

yorumlamak için, kendi yerel (lokal) koordinat sistemine sahip olmaktadır. Bu yerel

sistemin eksenleri 1, 2 ve 3 ile gösterilmektedir. 1 ekseni (pozitif yönü I ucundan J

ucuna) elemanın uzunluğu yönünde olup, diğer iki eksen eleman boyuna dik

düzlemde olmaktadır. Elemanın yerel 1-2-3 koordinat sistemi ve onun global X-Y-Z


36

koordinat sistemiyle ilişkisinin tanımı önem arz etmektedir. Her iki koordinat sistemi

de sağ-el kuralına dayanmaktadır. Yerel sistem, veri girişini ve sonuçların yorumunu

basitleştirmek için değişik şekilde tanımlanabilmektedir.

3.10.1.2. Kütle

Bilindiği gibi dinamik analizde, yapının kütlesi atalet kuvvetlerini

hesaplamak için kullanılmaktadır. SAP2000’de çubuk elemanına ait kütlenin i ve j

düğümlerinde toplanmış olduğu kabul edilmektedir. Yani elemanın kendi bünyesinde

atalet etkileri dikkate alınmamaktadır. Elemanın toplam kütlesi, kütlesel yoğunluğun

elemanın hacmi ile çarpılmasıyla elde edilmektedir. Toplam kütle, üç ötelenme

serbestlik derecesi yönlerinde (UX, UY ve UZ) uygulanmaktadır. Dönme serbestlik

dereceleri için kütlesel atalet momentleri hesaplanmamaktadır.

3.10.2. Kabuk Elemanı

Kabuk elemanı; kabuk, membran (ince zar) ve plak eğilmesi davranışını

modellemek için düzlem ve üç boyutlu yapılarda kullanılmaktadır. Bu eleman, ayrı

membran ve plak eğilme davranışını birleştiren üç ve dört düğümlü elemanlardır.

SAP2000’de Membran davranışı için, düzlemde ötelenme rijitlik bileşeni ve

eleman düzlemine dik yönde dönme rijitlik bileşeni içeren bir izoparametrik

formülasyon kullanılmaktadır (Taylor ve Simo, 1985; Ibrahimbegovic ve Wilson,

1991). Plak eğilme davranışı ise, Kirchhoff hipotezleri gözönüne alınarak

belirlenmektedir. Silindirik tank, kubbe, ince ve kalın plak döşeme, perde gibi iki ve

üç boyutlu taşıyıcı elemanlar, kabuk elemanı ile modellenebilmektedir.

Yapıdaki yüzeysel taşıyıcı elemanlar için, sadece membran veya sadece plak,

ya da tamamen kabuk davranışı modellemede kullanılabilir. Tamamen kabuk

davranışı, tüm yapı düzlemsel ve yeterince mesnetli olmadıkça önerilmektedir. Bu

çalışmada, tamamen kabuk davranışı kullanılmıştır.

Her kabuk elemanı, malzeme özelliklerini, yükleri tanımlamak ve sonuçları

yorumlamak için kendi yerel koordinat sistemine sahiptir. Her eleman herhangi bir


37

yönde yerçekimi ve üniform yükler; üstte, altta ve yan yüzeylerde yüzey basınç ve

sıcaklık değişiminden kaynaklanan yükler ile yüklenebilmektedir.

Eleman yerel koordinat sisteminde, gerilmeler, iç kuvvet ve momentler, 2x2

Gauss integrasyon noktalarında elde edilmekte ve elemanın düğümlerine

aktarılmaktadır. Elemanın gerilme ve iç kuvvetlerinde bir yaklaşık hata, genel bir

düğüme bağlı farklı elemanlardan hesaplanan değerlerdeki farktan, hesaplanabilir.

Bu durum, seçilen sonlu eleman yaklaşımının doğruluğunun derecesini verecektir ve

daha sonra seçilecek yeni ve daha doğru sonlu eleman ağının temelini oluşturacaktır.

SAP2000’de kabuk elemanları dörtgen veya üçgen şeklinde alınabilmektedir.

Dörtgen şeklindeki kabuk elemanları köşe noktalarına yerleştirilen 4, üçgen

şeklindeki kabuk elemanları ise köşe noktalarına yerleştirilen 3 düğüm ile

tanımlanmaktadır (Şekil 3.8, 3.9).

Şekil 3.8. Dörtgen kabuk elemanının düğüm bağlantısı ve yüzey tanımları

j2

Eksen 2

Eksen 3

Eksen 1

j1

j3

j4

Yüzey 1

Yüzey 4

Yüzey 3

Yüzey 2

Yüzey 6: Üst yüzey

Yüzey 5: Alt yüzey


38

Şekil 3.9. Üçgen kabuk elemanının düğüm bağlantısı ve yüzey tanımları

Düğümlerin konumları aşağıdaki geometrik koşulları karşılamaya uygun

seçilmelidir.

a) Her köşede iç açı 180o den az olmalıdır. Dörtgen için en iyi sonuçlar, bu açılar 90o

ye yakın yada en azından 45o-135o aralığında olduğu zaman elde edilmektedir.

b) Elemanın kenarları arasındaki oran çok büyük olmamalıdır. Üçgen için bu, en

uzun kenarın en kısa kenara oranıdır. Dörtgen için, zıt kenarların orta noktaları

arasında daha uzun olanın daha kısa olana oranıdır. En iyi sonuçlar birim orana yakın

olduğunda, ya da en azından 4’den küçük olduğunda elde edilmektedir. Bu oran 10’u

aşmamalıdır.

c) Dörtgen için dört düğüm aynı düzlemde olmayabilir.

Kabuk elemanının düğümlerinde daima altı serbestlik derecesi mevcut

olmaktadır. Bütün üç boyutlu yapılar için, tamamen kabuk davranışının (plak artı

membran) kullanımı önerilmektedir.

Eksen 1Eksen 3

Yüzey 3

j1

j3

j2

Yüzey 1

Yüzey 2 Eksen 2

Yüzey 6: Üst yüzey

Yüzey 5: Alt yüzey


39

3.10.2.1. Yerel Koordinat Sistemi

Her kabuk elemanı kesit özelliklerini ve yükleri tanımlamak ve sonuçları

yorumlamak için, kendi yerel (lokal) koordinat sistemine sahip olmaktadır. Bu yerel

sistemin eksenleri 1, 2 ve 3 ile gösterilmektedir. İlk iki eksen eleman düzleminde

bulunmakta, üçüncü eksen ise bu düzleme dik olmaktadır. Elemanın yerel koordinat

ve global koordinat sistemleri, sağ-el kuralına dayanmaktadır. Yerel sistem, veri

girişini ve sonuçların yorumunu basitleştirmek için, değişik şekilde

tanımlanabilmektedir.

3.10.2.2. Kütle

Dinamik analizde, yapının kütlesi atalet kuvvetlerini hesaplamak için

kullanılmaktadır. Kabuk elemanından kaynaklanan kütle eleman düğümlerinde

toplanmıştır. Yani elemanın kendi bünyesinde atalet etkileri dikkate alınmamaktadır.

Elemanın toplam kütlesi, kütlesel yoğunluğun elemanın hacmi ile çarpılmasıyla elde

edilmektedir. Toplam kütle, üç ötelenme serbestlik derecesine (UX, UY ve UZ)

uygulanmaktadır. Dönme serbestlik dereceleri için ise kütlesel atalet momentleri

hesaplanmamaktadır.

3.10.2.3. Üniform Yük

Üniform yükler (birim alana gelen kuvvet), kabuk elemanlarının orta

yüzeylerine, düzgün yayılı kuvvetleri uygulamak için kullanılmaktadır. Yüklemenin

yönü, elemanın yerel koordinat ya da global koordinat sisteminde

belirtilebilmektedir.

4. YAPI SİSTEMLERİNİN SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ İLE DİNAMİKANALİZİ Gültekin AKTAŞ

40

4. YAPI SİSTEMLERİNİN SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ İLE DİNAMİK

ANALİZİ

4.1. Giriş

Sonlu sayıda eleman ile modellenmiş serbestlik derecesi N olan bir yapısal

sistemin hareket denklemi, düğüm deplasmanları cinsinden

)ts,(PuKuCuM =++ &&& (4.1)

şeklinde yazılabilmektedir. Burada M , C ve K sistemin NxN boyutlu kütle, sönüm

ve rijitlik matrislerini, u&& , u& ve u sırasıyla sistemin Nx1 boyutlu zamana bağlı ivme,

hız ve deplasman vektörlerini, P(s, t) ise, yer ve zamanla değişen Nx1 boyutlu yük

vektörünü göstermektedir.

Bu çalışmada, dinamik yük altında davranışı (4.1) denklemi ile tanımlanan bir

yapısal sistemin zaman tanım alanında analizi (time history analysis), Mod

Birleştirme Yöntemi ile yapılmıştır. Aşağıda Mod Birleştirme Yönteminin alternatif

uygulama biçimleri ile ilgili özet bilgiler verilmektedir.

4.2. Mod Birleştirme Yöntemi

Tüm yapıda hareketin dinamik denklemlerini çözmek için, “mod birleştirme

yöntemi” kullanılmaktadır. Kullanılan mod vektörleri sönümsüz serbest titreşim

modları (özvektörler) ya da yüke bağlı Ritz vektörleri olabilmektedir. Tüm uzaysal

yük vektörlerinin, Ritz vektör analizi için başlangıç yük vektörü olarak kullanılması

halinde Ritz vektörlerinin, aynı sayıda özvektörlerin (eigenvectors) kullanılması

durumundakinden, daima daha doğru sonuçlar ürettiği yönünde bulgular elde

edilmiştir (Wilson ve ark. 1982). Ritz vektör algoritması, özvektör algoritmasından

daha hızlı olduğu için, Ritz vektör analizi “zaman tanım alanında analiz” için

önerilmektedir.


41

Mod birleştirme yöntemiyle analizde, yapının gerçek davranışına yakın

sonuçlar elde edilebilmesi için:

1) Yeterli sayıda Modun hesaplanması,

2) Modların yeterli frekans aralığını kapsaması,

3) Kütle katılım oranlarının yeterli olması,

4) Mod şekillerinin arzu edilen tüm deformasyonları belirtiyor olması,

gerekmektedir.

4.2.1. Klasik Mod Birleştirme Yönteminin Adımları

Mod birleştirme yönteminde u deplasmanları Yk modal deplasmanları ve

özvektörler cinsinden,

u = a1 Y1 + a2 + Y2 + L + aM YM (4.2)

açılımına tabi tutulmaktadır. (4.2) denkleminde M yeterli kütle katılım oranını

sağlamak için hesaba katılması gereken mod sayısını (M ≤ N) göstermektedir.

Burada ak (k = 1...M) titreşim özvektörlerini göstermekte olup bu vektörler,

( K - λ M ) a = 0 (4.3)

karakteristik özdeğer problemi çözülerek bulunabilmektedir. (4.3) denkleminde λ,

karakteristik değeri temsil etmekte olup, serbest titreşim frekansı ω’ya

λ = ω2 (4.4)

denklemi ile bağlıdır. Her özdeğer-özvektör çifti yapının doğal bir Titreşim Modu

olarak adlandırılmaktadır. (4.2) denklemi kompakt formda yazılırsa

u = Q Y (4.5)


42

ifadesi elde edilir. Burada,

u : Deplasman vektörü’nü,

Y : Modal deplasman vektörü’nü,

Q : Mod vektörleri’ni içeren “Modal Matris”i,

göstermektedir. (4.5) denklemi iki kez zamana göre türetilip,

YQu && = (4.5a)

YQu &&&& = (4.5b)

bağıntıları bulunduktan sonra, (4.1) denkleminde yerlerine yazılıp QT matrisi ile

soldan çarpılırsa,

PQYQKQYQCQYQMQ TTTT )()()( =++ &&& (4.6)

ifadesi elde edilir. Özvektörler, K ve M matrislerine göre ortogonaldir. Bu

vektörlerin C’ye göre de ortogonal olduğu kabul edilirse, (4.6) denklemindeki üçlü

matris çarpımları sonucunda,

=

M

1

T

m

m

O

O

O

0

0QMQ , i

Tiim aMa= (4.6a)

=

M

1

T

c

c

O

O

O

0

0QCQ , i

Tiic aCa= (4.6b)


43

=

M

1

T

k

k

O

O

O

0

0QKQ , i

Tiik aKa= (4.6c)

şeklinde hesaplanan diyagonal matrisler elde edilmektedir. Denklemin sağ

tarafındaki çarpma işleminden,

=

M

1T

p

pMPQ , Pa T

iip = ( =ip modal kuvvetler) (4.6d)

ifadesi elde edilir. Bu ifadeler yerlerine yazılırsa, (4.6) denklem takımı, her

denkleminde bir bilinmeyen içeren “girişimsiz denklem takımına” dönüşmektedir.

Bu denklemlerin her biri:

iiiiiii pYkYcYm =++ &&& (i = 1...M) (4.7)

formundadır. (4.7) denkleminde bütün terimler mi’ye bölünerek, ci /mi = 2ξi ωi ve

ki /mi = ωi2 eşdeğerleri konursa,

i

ii

2iiiii m

pYY2Y =ω+ωξ+ &&& (i = 1...M) (4.8)

denklemi bulunur. Burada:

Yi : i nci mod için modal deplasman,

ξi : Sönüm oranı (bütün modlar için aynı olduğu kabul edilmektedir),

ωi : i nci mod için serbest titreşim frekansı,

iTiim aMa= ,


44

anlamındadır. (4.8) ifadesi ile tanımlanan, indirgenmiş lineer, ikinci mertebe, adi

diferansiyel denklemler, bazı standart sayısal yöntemlerle (Runge-Kutta, Newmark

v.b.), bilinmeyen zaman fonksiyonları [Yi (t)] için, çözülebilmektedir. Böylece Yi (t)

modal deplasmanları bulunduktan sonra u = Q Y denkleminden u = u (t) zamana

bağlı gerçek deplasman değerleri bulunabilmektedir.

4.2.2. Mod Birleştirme Yönteminin Ritz Vektörleri Kullanılarak Uygulanması

Taşıyıcı sisteme ait hareket denkleminin Ritz vektörleri kullanılarak Mod

Birleştirme Yöntemi ile çözümü için, (4.1) denkleminin sağ tarafındaki yük vektörü,

yer ve zamana bağlı iki fonksiyonun çarpımı şeklinde yazılmaktadır.

P(s, t) = f(s) g(t) (4.9)

u deplasman vektörü ise, zamana bağlı Zi fonksiyonları ve bi Ritz vektörleri

cinsinden:

u = b1 Z1 + b2 Z2 + L + bL ZL (4.10)

açılımına tabi tutulmaktadır. Burada L, hesaba katılması gereken Ritz vektörü

sayısını (L ≤ N) göstermektedir. (4.10) denklemi kompakt formda

u = B Z (4.11)

şeklinde gösterilirse, sisteme ait hız ve ivme vektörleri için

ZBu && =

(4.12)

ZBu &&&& =


45

ifadeleri yazılabilmektedir. (4.11) ve (4.12) ifadelerinde B, (NxL) boyutlu Ritz

vektörleri matrisini, Z ise (1xL) boyutunda zamana bağlı fonksiyonlar vektörünü

göstermektedir. (4.9), (4.11) ve (4.12) ifadeleri (4.1) denkleminde yerine yazılıp

soldan BT ile çarpılırsa:

)t(g**** PZKZCZM =++ &&& (4.13)

denklemi elde edilmektedir. Burada:

M* = BT M B

C* = BT C B

K* = BT K B

P* = BT f(s) (4.14)

şeklinde hesaplanmaktadır. B matrisinin Ritz vektörlerini içeriyor olması nedeniyle,

klasik Mod Birleştirme Yönteminden farklı olarak (LxL) boyutlu M*, C*, ve K*

matrisleri diyagonal olmamakta, yani, (4.13) denklem sistemi “girişimli” olmaktadır.

Bu girişimli denklem sisteminin çözümünün uygun bir adım-adım integrasyon

yöntemi veya dönüşüm tekniği kullanılarak yapılması gerekmektedir. L değerinin M

değerinden her zaman daha küçük olması (L < M) nedeniyle (Wilson ve ark., 1982),

Ritz vektörleri ile çözümün, özvektörler ile yapılacak çözüme göre çok daha az hesap

yükü getireceği açıktır.

Ritz vektörleri, taşıyıcı sisteme etkiyen dinamik yükün f(s) vektörü ile

tanımlanan konumuna ve kütle dağılımına bağlı olarak basit bir prosedür ile elde

edilmektedir (Wilson ve ark., 1982). Burada en önemli husus, bu yöntem ile, temel

yükleme tarafından harekete geçirilmeyecek hiç bir mod şekil vektörünün

hesaplamalara girmeyecek olmasıdır.

5. PREFABRİK YAPI ELEMANI ÜRETİM KALIPLARININ SONLU ELEMANLAR İLE MODELLENMESİ Gültekin AKTAŞ

46

5. PREFABRİK YAPI ELEMANI ÜRETİM KALIPLARININ SONLU

ELEMANLAR İLE MODELLENMESİ

5.1. Giriş

Daha önce de ifade edildiği gibi, bu çalışmanın amacı, prefabrik yapı elemanı

üretiminde kullanılan ve uygulanan vibrasyon nedeniyle dinamik yük altında bulunan

kalıpların bilgisayar destekli tasarım ilkelerinin belirlenmesidir. Kalıp tasarımında en

önemli husus, vibrasyon noktalarının uygun bir biçimde seçilmesidir. Pratikte, kalıp

üzerindeki vibrasyon noktaları, her yeni tip ve boyuttaki kalıp için deneme-yanılma

yöntemi ile belirlenmekte olup oldukça masraflı ve zaman alıcı bir süreci

gerektirmektedir.

Tasarım sırasında kalıbın sonlu elemanlar yöntemi ile modellenmesi ve

titreşim hareketinin bilgisayar yardımıyla simüle edilmesi, kalıp tasarımını büyük

ölçüde kolaylaştıracaktır. Ancak, öncelikle, kalıp için sonlu elemanlar kullanılarak

oluşturulacak modelin, gerçek kalıp davranışını ne ölçüde yansıtacağının

belirlenmesi gerekmektedir. Bu amaçla, KAMBETON firması tarafından prefabrik

yapı elemanlarının üretiminde kullanılan ve üzerinde deneysel çalışma yapılabilecek

iki adet çelik kalıp (kolon ve kutu menfez kalıbı) sonlu elemanlar yardımı ile

modellenmiştir. Kolon ve Kutu menfez kalıplarının üstten görünüşü ve boyutları (cm

cinsinden) Şekil 5.1 ve Şekil 5.2’de görülmektedir.

Şekil 5.1. Kolon kalıbının üstten görünümü (h = 60 cm)

60

30 840

3050

741

80 148

40

120 Y

X

Z

30 129

1029 cm


47

Şekil 5.2. Kutu menfez kalıbının üstten görünümü (h = 97 cm)

5.2. Kalıbın Boş İken (betonsuz) Modellenmesi

Kalıp gövdeleri, 5 mm kalınlığında çelik sacdan imal edilmiş olup, ayrıca,

kalıbı güçlendirici değişik boyut ve kesite sahip çelik profiller yatay, düşey ve

diyagonal olarak kalıba bağlanmıştır. Dolayısıyla kalıplar, kabuk ve çubuk

elemanlarından oluşturulmuştur.

Kabuk sonlu elemanları geometriye bağlı olarak yaklaşık 10x10 cm dört

düğümlü kare, dikdörtgen, trapez ve bağlantı amaçlı üç düğümlü üçgen

elemanlarından oluşturulmuştur. Çubuk elemanları kabuk elemanlarıyla ortak düğüm

noktaları kullanılarak elde edilmiştir.

Kutu menfez kalıbına ait üç boyutlu sonlu eleman ağı Şekil 5.3’de, detaylı

kalıp boyutlarını ve kalıp yüzeylerindeki güçlendirme elemanlarını gösteren şemalar

Şekil 5.4a-5.4d’de görülmektedir. Kolon kalıbına ait detaylar ise Şekil 5.5 ve 5.6a-

5.6e’de sunulmaktadır.

20

20

25 25

290 cm

10

10

230

300 cm

230 1010

X

YZ


48

Şekil 5.3. Kutu menfez kalıbına ait sonlu elemanlar ağının üç boyutlu görünümü

Şekil 5.4a. (a) yüzeyi detayı

(c)

(d)

(b)

Ölçüm yüzeyi

(a)

U100

Z

Y

47 20 4746 454847

300 cm

4750

97cm

Çelik levha (t = 5 mm)Dış Vibratör

12

1 (Y = -81Z = 72)

2 (Y = -32Z = 23)

U200U200

Lama (10x100 mm)

U100

U100

U100


49

Şekil 5.4b. (b) yüzeyi detayı

Şekil 5.4c. (c) yüzeyi detayı

Şekil 5.4d. (d) yüzeyi detayı

U100

Z

X

48 20 4040 444850

290 cm

4750

97cm

U200U200

Lama (10x100 mm)

U100

U100

U100

Lama (10x100 mm)

U100

U100

U200U200 U100

35 30 50 35 3050Y

Z

230 cm

50

97cm

47

Y = 90 cmY = -90 cm

X = 85 cm

Lama (10x100 mm)

U100

U100

U200U200 U100

40 30 45 40 3045X

Z

230 cm

50

97cm

47

X = -85 cm


50

Şekil 5.5. Kolon kalıbına ait sonlu elemanlar ağının üç boyutlu görünümü

Şekil 5.6a. (a) yüzeyi detayı

Z

X

Y

(h)

(c)

(d)

(i)

(b)

(j)

(e)

(f)

(g)

(a) Ölçüm yüzeyi

I65

Dış Vibratör

60cm

453 cm

Y

C (Y = 850.5Z = 40)

Çelik levha (t = 5mm)U65

A BDış Vibratör

(Y = 266.3Z = 30)

(Y = 453Z = 30)

U65

3520 51 50 50 48 49 50 5050 32 51 47 4920

U65

U65

I65I65

652 cm


51

Şekil 5.6b. (b) yüzeyi detayı

Şekil 5.6c. (c), (d), (e) yüzeyleri detayı

Şekil 5.6d. (f), (g) yüzeyleri detayı

Şekil 5.6e. (h), (i), (j) yüzeyleri detayı

L6560

cm

741 cm

Y

U65

U65 I65

575117 51 46 36 51 51 47 5151 5244 44 522020

L65

L65

I65

60cm

50 cm

U65

I65

L65

148 cm

U65

24 4751 26

60cm U65 U65

Y

(c)

Y

60cm

L65

I65 50cm

(d)

I65

10

L65

20

30cm

Y

60cm

U65Z(e)

I65

U65

U65

42.4cm

60cm

21.221.2

(i)

(j)

Lama (100x10 mm)

60cm L65

I65

L65X

U65 Z

3030 30 30120 cm

(f)

L65

X

L65

I65

60cm

40cm

(g)

60cm

60 cm

U65

Z

X

(h)


52

Vibratörler 20x25cm boyutunda rijit bir plakaya bağlı olup bu plaka

vasıtasıyla kalıp yüzeyine sabitlenmektedir. Vibratör kütlesi (mv), sonlu eleman

ağında bu alana isabet eden düğüm noktalarına

α i m v (5.1)

ifadesi yardımıyla, noktasal kütle olarak dağıtılmaktadır. Her düğüm için kullanılan

αi katsayıları Şekil 5.7’de görülmektedir.

Şekil 5.7. Vibratör kütlesinin düğüm noktalarına dağıtılmasında kullanılan αikatsayıları

1/4 1/8

1/8

1/16 1/16

1/161/16

1/8

1/8

10 cm 10 cm

12.5 cm

12.5 cm

Kalıp yüzeyi

Rijit plaka (20x25cm)(t = 1 cm)


53

5.2.1. Dış Vibratörlerin Kalıba Uyguladığı Yük

Dış vibratörler, bağlı bulundukları kalıp yüzeyine

P (t) = Po Sin ω t (5.2)

değerinde, yüzeye dik sinüzoidal bir dinamik yük uygulamaktadır. Burada

Po : Yükün genliğini,

ω : Yükün açısal frekansını (zorlama frekansı),

t : Zamanı,

göstermektedir. Yükün periyodu (T) ve devirsel frekansı (f) ise, açısal frekans

cinsinden

ωπ= 2T

T1

2f =

πω= (Hz) (5.3)

şeklinde yazılabilmektedir. 100 Hz’lik bir devirsel frekans değeri için yükün zamanla

değişimi Şekil 5.8’de görülmektedir.

-1

0

1

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

Zaman (sn)

Vib

ratö

ryük

ü

Po

-Po

Şekil 5.8. Vibratör yükünün zamanla değişimi


54

Bu çalışmada boş kalıp üzerinde yapılan analizlerde, vibratör yükünün,

vibratörün bağlı bulunduğu plaka ile temas eden kabuk eleman yüzeylerine düzgün

yayılı bir basınç yükü olarak etkidiği kabul edilmektedir (Şekil 5.9).

20x25t)(ωSinP

P oi = ( i = 1...4 )

Şekil 5.9. Vibratör yükünün kalıp yüzeyine uygulanması

5.3. Kalıbın Taze Beton İle Dolu İken Modellenmesi

Kalıba dökülen taze beton, boş duruma kıyasla kalıp davranışını büyük

ölçüde değiştirmekte olup modellemede taze beton-kalıp etkileşiminin dikkate

alınması gerekmektedir. Bu amaçla:

a) Taze betonun kalıp yüzeyine şiddeti zamana ve yere bağlı olarak değişen bir

basınç yükü uyguladığı,

10 cm 10 cm

12.5 cm

12.5 cm

Rijit plaka (20x25cm)(t = 1 cm)

Kalıp yüzeyi

1 2

3 4


55

b) Beton kütlesinin, kalıp yüzeyindeki düğüm noktalarında toplanmış çok sayıda

noktasal kütleler şeklinde tanımlanabileceği,

kabul edilmektedir.

Kalıbın ve vibratör yükünün modellenmesi boş kalıpta olduğu gibidir.

5.3.1. Taze Betonun Kalıba Uyguladığı Basınç Yükü

Taze beton tarafından kalıba uygulanan basınç yükü,

P(s, t) = b(s) w(t) (5.4)

şeklinde, yere [b(s)] ve zamana [w(t)] bağlı iki fonksiyonun çarpımı olarak ifade

edilmektedir. Bu fonksiyonlar aşağıda tanımlanmaktadır.

5.3.1.1. Yere Bağlı b(s) Fonksiyonu

b(s) fonksiyonu, katı olmayan taze betonun kalıba uyguladığı yanal statik

basıncı göstermekte olup

b(s) = Ko γ h (5.5)

Ko = 1 – Sin φ (5.5a)

Ko = ν / (1 - ν) (5.5b)

ifadeleri ile tanımlanmaktadır. Burada:

b : Statik yanal basınç (kuvvet/alan),

Ko : Yanal basınç katsayısı,

γ : Malzemenin birim hacim ağırlığı,

h : Yükseklik,

φ : Malzemenin içsel sürtünme açısı,

ν : Malzemenin Poisson Oranı,


56

anlamındadır. Ko, 0 ile 1 arasında değişen bir katsayı olup denklem (5.5a)’da

görüldüğü gibi malzemenin içsel sürtünme açısına bağlı veya denklem (5.5b)’de

olduğu gibi malzemenin Poisson Oranına bağlı olmak üzere iki farklı biçimde ifade

edilmektedir. Taze betonun Poisson Oranı, zamana bağlı olarak değişmekte olup

ν (t) = - 0.05 ln (t + 1.11) + 0.425 ≤ 0.42 (5.6)

ifadesi ile tanımlanmaktadır (U.S. Department of Transportation, 2003).

Statik yanal basıncın kalıp yüksekliği boyunca gerçek dağılımı Şekil 5.10a’da

görülmektedir. Kalıbın yükseklik boyunca n adet kabuk elemanına bölündüğü

varsayılırsa, her bir eleman için uygulanacak üniform basınç yükü değerleri ise Şekil

5.10b’de açıklandığı gibi hesaplanmaktadır.

Şekil 5.10. (a) Yanal basıncın gerçek dağılımı, (b) Yanal basıncın simülasyonu

5.3.1.2. Zamana Bağlı w(t) Fonksiyonu

Vibrasyon işlemi sırasında, taze betonun kalıp yüzeyine uyguladığı basıncın

zamanla değişiminin belirlenmesi amacıyla, kalıp boş ve dolu iken gerçekleştirilen

deneysel ölçüm sonuçları değerlendirilmiştir. Ayrıca, ANSYS® programında beton

Bingham viskozitesi modeli ile akışkan olarak modellenmiş ve vibratör fonksiyonu

akışkan modelinin sınırında basınç kuvveti olarak uygulanmıştır. Taze betonun

Ko γ hn

h1

Ko γ h1

Ko γ h2

Ko γ hn-1

hn-1

h2

hn

(a)

hn-2

Ko γ hn-2

Ko γ (h1/2)

Ko γ [(h1+h2)/2]

Ko γ [(hn-2+hn-1)/2]

Ko γ [(hn-1+hn)/2]

(b)


57

akışkan olarak modellenmesine olanak veren elemanda gerekli olan akma (yield)

gerilmesi ve viskozite parametreleri literatürdeki deneysel çalışmadan (Banfill, 2003)

alınmıştır. Bu yolla iki boyutlu olarak modellenen taze betonun yüzeylerde

oluşturduğu tepki kuvvetinin zamanla değişimini ifade eden w(t) fonksiyonu, Şekil

5.11’de görüldüğü gibi periyodik bir fonksiyon olarak seçilmiştir. θ, vibrasyon yükü

ile beton tepkisi arasındaki faz farkını göstermektedir.

Şekil 5.11. w(t) fonksiyonunun zamanla değişimi

θ

t1 (vibrasyon periyodu)

0.65 t10.2 t10.15 t1

-0.2

0

1

0

w(t)

6. DENEYSEL ÇALIŞMA Gültekin AKTAŞ

58

6. DENEYSEL ÇALIŞMA

Bu çalışmada, boyutları ve sonlu eleman modelleri önceki bölümde verilen ve

Kambeton firmasına ait üretim tesislerinde, yapı elemanı üretiminde kullanılmakta

olan iki farklı kalıp üzerinde bir seri deney gerçekleştirilmiştir. Üretimde kullanılan

dış vibratöre ait özellikler Çizelge 6.1’de, vibratör ise Şekil 6.1’de sunulmuştur.

Çizelge 6.1. Dış vibratörün özellikleri

Mekanik Özellikler Elektrik Özellikleri Vibratör tipi Merkezkaç kuvvet Ağırlık Mak. girdi güç Mak. akım ADevir/dak. kg kN kg W 42V 250V

6000-200Hz 1157 11.34 25 1200 23 -

Şekil 6.1. Dış vibratör

Bu deneysel çalışmanın amacı, kalıplar için sonlu eleman yöntemi ile teorik

olarak elde edilen dinamik analiz sonuçlarının denetlenmesidir. Çalışmada kullanılan

deney seti (veri toplama sistemi, VTS) aşağıda tanıtılmaktadır.


59

6.1. Donanım

a) Dinamik şekil değiştirme (gerinme) ölçme cihazı (dynamic strain meter), Tokyo

Sokki Kenkyujo Co., Ltd. adlı firmaya ait bu cihazın DA-32D tipi (Şekil 6.2a)

b) RC-Electronics, Inc. adlı firmaya ait 16 kanallı ISC-16 PCI veri toplama kartı

c) LVDT (Deplasman Transduceri) (Şekil 6.3).

Şekil 6.2. (a) Dinamik şekil değiştirme ölçme cihazı, (b) Bağlantı kutusu

Şekil 6.3. LVDT bağlantısı

(a)

(b)


60

6.2. Yazılım

RC-Electronics, Inc. ISC-16 PCI veri toplama kartına uygun, Ziegler-

Instruments GmbH, Germany (1990), isimli firmanın SIGNALYS adlı programı.

6.3. Cihazın Kalibrasyonu

Deneyler sırasında deplasman ölçümlerinin doğru bir şekilde yapılabilmesi

için cihazın kalibrasyonu yapılmıştır. Burada, 1/100 mm hassasiyetli okuma saati

(dial gage) yardımıyla, sıfır değeri ile başlanıp belli deplasman artımlarına karşılık

gelen dijital okuma değerleri elde edilmiştir. Kalibrasyon katsayısı,

deplasman/okuma eğimleri bulunup, bunların ortalaması alınarak hesaplanmıştır.

Cihazın kalibrasyon seti Şekil 6.4’de görülmekte olup ölçüm değerleri

Çizelge 6.2’de, kalibrasyon grafiği ise Şekil 6.5’de sunulmaktadır.

Şekil 6.4. Deplasman ölçüm cihazının kalibrasyon seti


61

Çizelge 6.2. Deplasman ölçüm cihazının kalibrasyon tablosu

Deplasman (mm)

Dijital Okuma ( 500x10-6/V )

0.0 2051 0.1 1992 0.2 1922 0.3 1858 0.4 1794 0.5 1727 0.6 1664 0.7 1598 0.8 1536 0.9 1473 1.0 1407 1.2 1278 1.4 1155 1.6 1026 1.8 901 2.0 782 3.0 161 4.0 0

y = -632.56x + 2044.8R2 = 0.9999

0

500

1000

1500

2000

2500

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Deplasman (mm)

Dig

italO

kum

a(5

00x1

0-6/V

)

Şekil 6.5. Deplasman ölçüm cihazının kalibrasyon eğrisi


62

6.4. Deneyin Yapılışı

Deneyler, iki farklı çelik kalıp (kutu menfez ve kolon) üzerinde, kalıpların

boş (içinde beton yok iken) ve dolu (içinde taze beton var iken) olması durumları için

ayrı ayrı yapılmıştır. Kutu menfez ve Kolon kalıpları sırasıyla Şekil 6.6 ve 6.7’de

görülmektedir. Deneyler sırasında kalıp dış yüzeyinde seçilen bazı noktalarda, kalıp

yüzeyine dik deplasmanın zamanla değişimi, 0.5 msn (milisaniye) okuma aralığında

4.096 sn süre ile kaydedilmiştir.

Şekil 6.6. Kutu menfez kalıbı


63

Şekil 6.7. Kolon kalıbı

7. ARAŞTIRMA BULGULARI Gültekin AKTAŞ

64

7. ARAŞTIRMA BULGULARI

7.1. Giriş

Bu bölümde, Kambeton firmasınca prefabrik Kutu menfez ve Kolon

elemanları üretiminde kullanılan iki farklı çelik kalıp üzerinde yapılan deneysel ve

teorik çalışmalardan elde edilen bulgular sunulmakta ve değerlendirilmektedir.

Teorik analizler SAP2000® paket programı kullanılarak gerçekleştirilmiştir.

Kalıpların üretildiği çelik ve betona ait bazı parametre değerleri aşağıdaki

gibi seçilmiştir.

Çelik birim hacim ağırlığı : 7.682x10 –5 N/mm3

Çelik Elastisite modülü : 199948 N/mm2

Çelik Poisson oranı : 0.3

Sönüm oranı : % 5 (tüm modlar için)

Taze beton birim hacim ağırlığı : 2.45 t/m3

Taze beton içsel sürtünme açısı (φ) : 18o

Taze beton Poisson Oranı : 0.4

Taze beton yanal basınç katsayısı (Ko) : 0.75

Vibrasyon yükü ile beton tepkisi arasındaki faz farkı (θ) : 4.5 msn (milisaniye)

Taze beton yanal basınç katsayısı (Ko)’ın seçiminde içsel sürtünme açısına

bağlı (5.5a) denklemi ve taze beton Poisson Oranına bağlı (5.5b) ile (5.6)

denklemlerinden yararlanılmıştır.

7.2. Uygulamalar

7.2.1. Uygulama 1

Bu uygulamada, özellikleri 5. Bölümde tanımlanan Kutu Menfez kalıbı

deneysel olarak ele alınmış, kalıbın ölçüm yüzeyinde bulunan bir dış vibratör etkisi

altında 1 ve 2 nolu noktalarda (Şekil 7.1) kalıp yüzeyine dik doğrultudaki

deplasmanın zamanla değişimi ölçülmüştür. Ölçümler, kalıbın boş ve dolu olması


65

durumları için ayrı ayrı kaydedilmiştir. Elde edilen sonuçlar aşağıda özetlenmekte

olup, bu ve bundan sonraki bütün uygulamalarda, deplasmanın pozitif yönü kalıp

yüzeyinden içeriye doğru seçilmiştir.

Şekil 7.1. Kutu menfez kalıbının ölçüm yüzeyi (Y-Z düzlemi, X = - 145 cm)

a) Boş ve dolu halde, titreşim hareketinin başlangıç döneminde, kalıp davranışının

Şekil 7.2-7.5’de görüldüğü gibi düzensiz olduğu, ancak bu düzensizliğin kısa sürede

ortadan kalktığı ve hareketin düzenli hale geldiği belirlenmiştir.

-0.6

-0.3

0

0.3

0.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Şekil 7.2. Kalıp boş iken 1 nolu noktada deneysel olarak ölçülen deplasmanınzamanla değişimi (Kutu menfez kalıbı)

97cm

300 cm

1 (Y = - 81cm, Z = 72 cm)

2 (Y = - 32 cm, Z = 23 cm)

Dış Vibratör

Z

Y


66

-0.6

-0.3

0

0.3

0.6

0 0.15 0.3 0.45 0.6 0.75

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Şekil 7.3. Kalıp boş iken 2 nolu noktada deneysel olarak ölçülen deplasmanınzamanla değişimi (Kutu menfez kalıbı)

-0.7

-0.35

0

0.35

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Şekil 7.4. Kalıp dolu iken 1 nolu noktada deneysel olarak ölçülen deplasmanınzamanla değişimi (Kutu menfez kalıbı)


67

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Şekil 7.5. Kalıp dolu iken 2 nolu noktada deneysel olarak ölçülen deplasmanınzamanla değişimi (Kutu menfez kalıbı)

Bu nedenle, bundan sonraki grafikler davranışın düzenli hale geldiği tipik

zaman dilimleri için verilmektedir.

b) Kalıbın taze beton ile dolu olması halinde davranışın önemli ölçüde değiştiği

anlaşılmaktadır. Kalıp boş ve dolu iken 1 ve 2 nolu noktalarda deneysel olarak

ölçülen deplasmanın zamanla değişimi, tipik bir zaman dilimi için sırasıyla Şekil 7.6

ve Şekil 7.7’de karşılaştırılmaktadır.


68

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

1 1.05 1.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Betonsuz Betonlu


zamanla değişimi (Kutu menfez kalıbı)

-0.25

-0.125

0

0.125

0.25

1 1.05 1.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Betonsuz Betonlu


zamanla değişimi (Kutu menfez kalıbı)


69

Şekillerin incelenmesinden görüleceği gibi, 2 nolu noktaya kıyasla vibratöre

daha uzak, ancak, kalıp üst seviyesine daha yakın konumda bulunan 1 nolu noktada

kalıbın boş veya dolu olması halinde genlikteki değişim sınırlı kalmış olmasına

rağmen, kalıbın taze beton ile dolu olması durumunda 2 nolu noktadaki genlik büyük

ölçüde azalmaktadır.

7.2.2. Uygulama 2

Bu uygulamada, Kutu menfez kalıbı boş halde iken, serbest titreşim analizi

gerçekleştirilmiştir. Kalıbın ilk altı titreşim moduna ait devirsel frekans değerleri

Çizelge 7.1’de görülmektedir.

Çizelge 7.1. Boş halde Kutu menfez kalıbına ait serbest titreşim frekansları

Mod No Frekans (Hz) 1 31.642 41.903 41.994 45.655 49.006 50.89

Frekans değerlerinin incelenmesinden görüleceği gibi, kalıba ait en etkili

frekans değerleri, 100Hz olan vibratör frekansına göre çok küçük kalmaktadır.

Dolayısıyla, kalıba 100Hz’lik vibratörler yardımıyla titreşim uygulanmasının

rezonansa sebep olmayacağı ve kalıp stabilitesini bozmayacağı anlaşılmaktadır.

Bu uygulamada ayrıca, Mod Birleştirme Yönteminde alternatif olarak

kullanılabilecek olan Özvektör ve Ritz vektörlerinin kümülatif kütle katılım oranına

katkısı incelenmiştir. Mod sayısına göre kütle katılım oranlarının yönlere göre

değişimi Çizelge 7.2’de görülmektedir.


70

Çizelge 7.2. Boş halde Kutu menfez kalıbına ait kütle katılım oranları

Kütle katılım oranları (%) Mod sayısı

Vektör tipi X yönü Y yönü Z yönü

Özvektör 27.81 28.94 0.01 50 Ritz vektörü 92.53 93.48 98.84 Özvektör 35.01 31.44 0.02 100 Ritz vektörü 98.30 98.08 99.63 Özvektör 52.35 50.66 0.18 150 Ritz vektörü 99.37 99.29 99.84 Özvektör 59.84 59.89 5.50 250 Ritz vektörü 99.81 99.82 99.95 Özvektör 69.42 73.74 86.95 500 Ritz vektörü ≅ 100 ≅ 100 ≅ 100 Özvektör 80.68 81.09 92.86 650 Ritz vektörü ≅ 100 ≅ 100 ≅ 100

Çizelgenin incelenmesinden görüleceği gibi, Ritz vektörleri kullanılarak elde

edilen kütle katılım oranlarının, Özvektörler ile elde edilenlere kıyasla çok daha

yüksek olduğu anlaşılmaktadır.

7.2.3. Uygulama 3

Bu uygulamada, Kutu menfez kalıbı boş halde iken, teorik titreşim analizi

gerçekleştirilmekte ve sonuçlar deneysel veriler ile karşılaştırılmaktadır.

Kalıbın zaman tanım alanındaki analizi, seksen adet Ritz vektörü kullanılarak

yapılmıştır. Başlangıç Ritz vektörleri olarak; vibratörün kalıba uyguladığı basınç

yükü ve global eksen takımındaki ivme vektörleri (UX, UY, UZ) kullanılmıştır.

Kalıba ait titreşim parametreleri, Çizelge 7.3’de görülmektedir.

Çizelge 7.3. Boş halde Kutu menfez kalıbına ait titreşim parametreleri

Dinamik serbestlik

derecesi sayısıKümülatif kütle katılım oranları (%)

(Ritz vektörü sayısı = 80)X yönü Y yönü Z yönü 7353 97.14 97.10 99.42


71

Yapılan dinamik analiz yardımıyla, kalıp yüzeyindeki 1 ve 2 nolu noktalarda,

kalıba dik doğrultudaki deplasmanın zamanla değişimi hesaplanmıştır. 1 ve 2

noktalarındaki deplasmanın [0-0.3] sn aralığındaki değişimi sırasıyla Şekil 7.8 ve

7.9’da sunulmaktadır.

Titreşim hareketinin başlangıç devresinde-deney sonuçlarında da dikkat

çekildiği gibi-düzensiz olduğu, ancak kısa süre içinde düzenli hale geldiği

görülmektedir.

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

0 0.1 0.2 0.3

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Şekil 7.8. 1 nolu noktada kalıp boş iken teorik olarak hesaplanan deplasmanınzamanla değişimi (Kutu menfez kalıbı)


72

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0 0.1 0.2 0.3

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Şekil 7.9. 2 nolu noktada kalıp boş iken teorik olarak hesaplanan deplasmanınzamanla değişimi (Kutu menfez kalıbı)

1 ve 2 noktalarında teorik olarak elde edilen deplasmanın zamanla değişimi,

aynı noktalarda elde edilen deneysel veriler ile, değişik zaman dilimleri için Şekil

7.10-7.17’de karşılaştırılmaktadır. Şekillerin incelenmesinden, teorik ve deneysel

sonuçların uyum içinde olduğu görülmektedir.

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

1 1.05 1.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik


deplasmanın zamanla değişimi (t = 1-1.1 sn, Kutu menfez kalıbı)


73

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

2 2.05 2.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik



-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

3 3.05 3.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik




74

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

4 4.04 4.08

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik



-0.25

-0.125

0

0.125

0.25

1 1.05 1.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik




75

-0.25

-0.125

0

0.125

0.25

2 2.05 2.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik



-0.25

-0.125

0

0.125

0.25

3 3.05 3.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik




76

-0.25

-0.125

0

0.125

0.25

4 4.04 4.08

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik



1 ve 2 nolu noktalarda teorik olarak hesaplanan ve deneysel olarak ölçülen

deplasman genlikleri Çizelge 7.4’de sunulmaktadır.

Çizelge 7.4. Kutu menfez kalıbı boş iken deneysel ve teorik olarak elde edilen genlik değerleri

Genlik değerleri (mm) Nokta No Teorik Deneysel

1 0.38 0.392 0.19 0.19

Çizelgenin incelenmesinden, vibrasyon noktasına göre, 2 nolu nokta 1 nolu

noktadan daha yakın olmasına rağmen, 2 nolu noktada daha küçük genlik elde

edilmektedir. Burada 2 nolu noktanın 1 nolu noktaya göre, kalıbın en alt seviyesine

daha yakın olması rol oynamaktadır. Bu durum, vibrasyon işleminde, vibrasyon


77

noktalarının, kalıbın yüksekliği de dikkate alınarak, doğru ve yeterli sayıda

belirlenmesinin önemini ortaya koymaktadır.

7.2.4. Uygulama 4

Bu uygulamada, Kutu menfez kalıbı dolu halde iken, serbest titreşim analizi



Çizelge 7.5. Taze beton ile dolu iken Kutu menfez kalıbına ait serbest titreşim frekansları

Mod No Frekans (Hz) 1 18.492 21.773 21.824 25.485 25.946 27.98

Frekans değerlerinin incelenmesinden görüleceği üzere, kalıba ait en etkili


Ayrıca, kalıbın boş haline göre de daha küçük olmaktadır (Çizelge 7.1). Dolayısıyla,

kalıba 100Hz’lik vibratörler yardımıyla titreşim uygulanmasının rezonansa sebep

olmayacağı ve kalıp stabilitesini bozmayacağı anlaşılmaktadır.




değişimi Çizelge 7.6’da görülmektedir.


78

Çizelge 7.6. Taze beton ile dolu iken Kutu menfez kalıbına ait kütle katılım oranları

Kütle katılım oranları (%) Mod

sayısı

Vektör

tipi X yönü Y yönü Z yönü Özvektör 29.08 31.03 0.00550 Ritz vektörü 88.64 87.15 98.15 Özvektör 34.78 34.52 0.01100 Ritz vektörü 96.05 95.87 99.17 Özvektör 35.54 37.18 0.05150 Ritz vektörü 97.91 97.82 99.65

Çizelgenin incelenmesinden, Ritz vektörleri kullanılarak elde edilen kütle

katılım oranlarının, Özvektörler ile elde edilenlere göre çok daha yüksek olduğu

anlaşılmaktadır.

7.2.5. Uygulama 5

Bu uygulamada, Kutu menfez kalıbı taze beton ile dolu iken, teorik titreşim

analizi gerçekleştirilmekte ve sonuçlar deneysel veriler ile karşılaştırılmaktadır.

Kalıbın zaman tanım alanındaki analizi, “doksan beş” adet Ritz vektörü

kullanılarak yapılmıştır. Başlangıç Ritz vektörleri olarak; vibratörün kalıba

uyguladığı basınç yükü, taze betonun kalıba uyguladığı basınç yükü ve global eksen

takımındaki ivme vektörleri (UX, UY, UZ) kullanılmıştır. Kalıba ait titreşim

parametreleri, Çizelge 7.7’de görülmektedir.

Çizelge 7.7. Taze beton ile dolu iken Kutu menfez kalıbına ait titreşim parametreleri

Dinamik serbestlik

derecesi sayısıKümülatif kütle katılım oranları (%)

(Ritz vektörü sayısı = 95)X yönü Y yönü Z yönü7353 95.67 95.44 99.11

Yapılan dinamik analiz yardımıyla, kalıp yüzeyindeki 1 ve 2 nolu noktalarda,

kalıba dik doğrultudaki deplasmanın zamanla değişimi hesaplanmıştır. 1 ve 2

noktalarındaki deplasmanın [0-0.3] sn aralığındaki değişimi sırasıyla Şekil 7.18 ve

7.19’da sunulmaktadır.


79

Titreşim hareketinin başlangıç devresinde-deney sonuçlarında da dikkat

çekildiği gibi-düzensiz olduğu, ancak kısa süre içinde düzenli hale geldiği

görülmektedir.

-0.6

-0.3

0

0.3

0.6

0 0.1 0.2 0.3

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Şekil 7.18. 1 nolu noktada kalıp dolu iken teorik olarak hesaplanan deplasmanınzamanla değişimi (Kutu menfez kalıbı)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.1 0.2 0.3

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Şekil 7.19. 2 nolu noktada kalıp dolu iken teorik olarak hesaplanan deplasmanınzamanla değişimi (Kutu menfez kalıbı)


80

1 ve 2 noktalarında teorik olarak elde edilen deplasmanın zamanla değişimi,

aynı noktalarda elde edilen deneysel veriler ile, değişik zaman dilimleri için Şekil

7.20-7.27’de karşılaştırılmaktadır. Şekillerin incelenmesinden, teorik ve deneysel

sonuçların uyum içinde olduğu görülmektedir.

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

1 1.05 1.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik



-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

2 2.05 2.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik




81

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

3 3.05 3.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik



-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

4 4.04 4.08

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik




82

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

1 1.05 1.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik



-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

2 2.05 2.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik




83

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

3 3.05 3.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik



-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

4 4.04 4.08

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik




84

1 ve 2 nolu noktalarda teorik olarak hesaplanan ve deneysel olarak ölçülen

deplasman genlikleri, Çizelge 7.8’de sunulmaktadır.

Çizelge 7.8. Kutu menfez kalıbı taze beton ile dolu iken deneysel ve teorik olarak elde edilen genlik değerleri

Genlik değerleri (mm) Nokta No Teorik Deneysel

0.23 0.241-0.32 -0.40 0.02 0.022

-0.17 -0.15

Çizelgenin incelenmesinden, 2 nolu noktada betonun kalıba uyguladığı basınç

yükü 1 noktasına göre daha büyük olduğu için, 2 noktasındaki deplasman genliğinin

büyük oranda azaldığı görülmektedir.

7.2.6. Uygulama 6

Bu uygulamada, özellikleri 5. Bölümde tanımlanan Kolon kalıbı deneysel

olarak ele alınmış, kalıbın ölçüm yüzeyinde bulunan iki dış vibratör etkisi altında A,

B ve C noktalarında (Şekil 7.28) kalıp yüzeyine dik doğrultudaki deplasmanın

zamanla değişimi ölçülmüştür. Ölçümler, kalıbın boş ve dolu olması durumları için

ayrı ayrı kaydedilmiştir. Elde edilen sonuçlar aşağıda özetlenmektedir.

Şekil 7.28. Kolon kalıbının ölçüm yüzeyi (Y-Z düzlemi, X = 30 cm)

60cm

453 cm

Dış Vibratör A (Y = 266.3cm, Z = 30cm)

B (Y = 453cm, Z = 30cm)

Dış Vibratör

Y

C (Y = 850.5cmZ = 40cm)


85

Kalıbın taze beton ile dolu olması halinde davranışın önemli ölçüde değiştiği

anlaşılmaktadır. Kalıp boş ve dolu iken A, B ve C noktalarında deneysel olarak

ölçülen deplasmanın zamanla değişimi, tipik bir zaman dilimi için sırasıyla Şekil

7.29, Şekil 7.30 ve Şekil 7.31’de karşılaştırılmaktadır.

-0.6

-0.3

0

0.3

0.6

1 1.05 1.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Betonsuz Betonlu

Şekil 7.29. A noktasında kalıp boş ve dolu iken deneysel olarak ölçülen deplasmanınzamanla değişimi (Kolon kalıbı)

-0.3

-0.15

0

0.15

0.3

1 1.05 1.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Betonsuz Betonlu

Şekil 7.30. B noktasında kalıp boş ve dolu iken deneysel olarak ölçülen deplasmanın

zamanla değişimi (Kolon kalıbı)


86

-0.25

-0.125

0

0.125

0.25

1 1.05 1.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Betonsuz Betonlu

Şekil 7.31. C noktasında kalıp boş ve dolu iken deneysel olarak ölçülen deplasmanınzamanla değişimi (Kolon kalıbı)

Şekillerin incelenmesinden, vibratöre daha yakın konumda bulunan A

noktasında genlikteki değişim sınırlı kalmış olmasına rağmen, kalıbın boş ve taze

beton ile dolu olması durumunda B ve C noktalarındaki genlik değerleri, büyük

ölçüde azalmaktadır.

7.2.7. Uygulama 7

Bu uygulamada, Kolon kalıbı boş halde iken, serbest titreşim analizi


Çizelge 7.9’da görülmektedir.


87

Çizelge 7.9. Boş halde Kolon kalıbına ait serbest titreşim frekansları

Mod No Frekans (Hz) 1 8.692 12.423 15.234 16.545 21.596 39.37



Dolayısıyla, kalıba 100Hz’lik vibratörler yardımıyla titreşim uygulanmasının





değişimi Çizelge 7.10’da görülmektedir.

Çizelge 7.10. Boş halde Kolon kalıbına ait kütle katılım oranları



Özvektör 72.00 1.36 4.51 50 Ritz vektörü 94.12 89.94 96.89 Özvektör 74.46 2.49 29.42 100 Ritz vektörü 98.50 95.67 99.40 Özvektör 76.10 4.67 37.14 150 Ritz vektörü 99.51 98.20 99.77


katılım oranlarının, Özvektörler yardımıyla elde edilenlere kıyasla çok daha yüksek

olduğu anlaşılmaktadır.


88

7.2.8. Uygulama 8

Bu uygulamada, Kolon kalıbı boş halde iken, teorik titreşim analizi


Kalıbın zaman tanım alanındaki analizi, seksen adet Ritz vektörü kullanılarak

yapılmıştır. Başlangıç Ritz vektörleri olarak; vibratörün kalıba uyguladığı basınç

yükü ve global eksen takımındaki ivme vektörleri (UX, UY, UZ) kullanılmıştır.

Kalıba ait titreşim parametreleri, Çizelge 7.11’de görülmektedir.

Çizelge 7.11. Boş halde Kolon kalıbına ait titreşim parametreleri

Dinamik serbestlik derecesi sayısı

Kümülatif kütle katılım oranları (%) (Ritz vektörü sayısı = 80)

X yönü Y yönü Z yönü6330 97.62 93.67 99.04

A, B ve C noktalarında teorik olarak elde edilen deplasmanın zamanla

değişimi, aynı noktalarda elde edilen deneysel veriler ile, değişik zaman dilimleri

için Şekil 7.32-7.43’de karşılaştırılmaktadır. Şekillerin incelenmesinden, teorik ve

deneysel sonuçların uyum içinde olduğu görülmektedir.

-0.6

-0.3

0

0.3

0.6

1 1.05 1.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik


deplasmanın zamanla değişimi (t = 1-1.1 sn, Kolon kalıbı)


89

-0.6

-0.3

0

0.3

0.6

2 2.05 2.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik



-0.6

-0.3

0

0.3

0.6

3 3.05 3.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik

Şekil 7.34. A noktasında kalıp boş iken deneysel ve teorik olarak elde edilen deplasmanın zamanla değişimi (t = 3-3.1 sn, Kolon kalıbı)


90

-0.6

-0.3

0

0.3

0.6

4 4.04 4.08

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik



-0.3

-0.15

0

0.15

0.3

1 1.05 1.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik




91

-0.3

-0.15

0

0.15

0.3

2 2.05 2.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik



-0.3

-0.15

0

0.15

0.3

3 3.05 3.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik




92

-0.3

-0.15

0

0.15

0.3

4 4.04 4.08

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik



-0.25

-0.125

0

0.125

0.25

1 1.05 1.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik




93

-0.25

-0.125

0

0.125

0.25

2 2.05 2.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik



-0.25

-0.125

0

0.125

0.25

3 3.05 3.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik




94

-0.25

-0.125

0

0.125

0.25

4 4.04 4.08

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik

Şekil 7.43. C noktasında kalıp boş iken deneysel ve teorik olarak elde edilen deplasmanın zamanla değişimi (t = 4-4.08 sn, Kolon kalıbı)

Bu uygulamada, iki vibratör kullanıldığından bunların arasında faz farkı

oluşabilmektedir. Çeşitli faz farkı değerlerine göre genlikteki değişimin

belirlenebilmesi için analizler yapılmış, sonuçlar, Çizelge 7.12’de verilmiştir.

Çizelgeden görüleceği üzere, vibratörler arasındaki faz farkı deplasman

genliklerini önemli ölçüde etkilememektedir. Faz farklarına göre genlikteki değişim

küçük ve tam olarak bilinmediğinden dolayı, teorik analizde işlemlerin gereksiz

uzamaması için vibratörlere faz farkı verilmemiştir; yani, vibratörlerin aynı anda

harekete geçtiği kabul edilmiştir.


95

Çizelge 7.12. Faz farklarına göre genlikteki değişim

Genlik (mm) Faz Farkı(msn) A B C

0.0 0.4633 0.2026 0.1537 0.5 0.4630 0.2023 0.1538 1.0 0.4625 0.1998 0.1557 1.5 0.4619 0.1954 0.1596 2.0 0.4612 0.1894 0.1650 2.5 0.4606 0.1825 0.1714 3.0 0.4600 0.1753 0.1781 3.5 0.4595 0.1686 0.1846 4.0 0.4592 0.1630 0.1901 4.5 0.4591 0.1590 0.1941 5.0 0.4592 0.1571 0.1964 5.5 0.4595 0.1574 0.1963 6.0 0.4600 0.1599 0.1944

7.2.9. Uygulama 9

Bu uygulamada, Kolon kalıbı dolu halde iken, serbest titreşim analizi



Çizelge 7.13. Taze beton ile dolu iken Kolon kalıbına ait serbest titreşim frekansları

Mod No Frekans (Hz) 1 7.422 9.783 12.384 13.385 14.606 17.16


96


frekans değerleri 100Hz olan vibratör frekansına göre çok küçük kalmaktadır.

Ayrıca, kalıbın boş haline göre de daha küçük olmaktadır (Çizelge 7.9). Dolayısıyla,

kalıba 100Hz’lik vibratörler yardımıyla titreşim uygulanmasının rezonansa sebep

olmayacağı ve kalıp stabilitesini bozmayacağı anlaşılmaktadır.




değişimi Çizelge 7.14’de görülmektedir.

Çizelge 7.14. Taze beton ile dolu iken Kolon kalıbına ait kütle katılım oranları



Özvektör 48.47 4.00 15.43 50 Ritz vektörü 84.42 75.80 89.27




katılım oranlarının, Özvektörler ile elde edilenlere nazaran çok daha yüksek olduğu

anlaşılmaktadır.

7.2.10. Uygulama 10

Bu uygulamada, Kolon kalıbı taze beton ile dolu iken, teorik titreşim analizi


Kalıbın zaman tanım alanındaki analizi, “yüz yirmi beş” adet Ritz vektörü

kullanılarak yapılmıştır. Başlangıç Ritz vektörleri olarak; vibratörün kalıba

uyguladığı basınç yükü, taze betonun kalıba uyguladığı basınç yükü ve global eksen

takımındaki ivme vektörleri (UX, UY, UZ) kullanılmıştır. Kalıba ait titreşim

parametreleri, Çizelge 7.15’de görülmektedir.


97

Çizelge 7.15. Taze beton ile dolu iken Kolon kalıbına ait titreşim parametreleri

Dinamik serbestlik derecesi sayısı


X yönü Y yönü Z yönü 6330 96.67 92.08 98.78

A, B ve C noktalarında teorik olarak elde edilen deplasmanın zamanla

değişimi, aynı noktalarda elde edilen deneysel veriler ile, değişik zaman dilimleri

için Şekil 7.44-7.55’de karşılaştırılmaktadır. Şekillerin incelenmesinden, teorik ve

deneysel sonuçların uyum içinde olduğu görülmektedir.

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

1 1.05 1.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik

Şekil 7.44. A noktasında kalıp dolu iken deneysel ve teorik olarak elde edilen deplasmanın zamanla değişimi (t = 1-1.1 sn, Kolon kalıbı)


98

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

2 2.05 2.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik



-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

3 3.05 3.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik




99

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

4 4.04 4.08

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik



-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

1 1.05 1.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik




100

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

2 2.05 2.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik



-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

3 3.05 3.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik




101

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

4 4.04 4.08

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik



-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

1 1.05 1.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik

Şekil 7.52. C noktasında kalıp dolu iken deneysel ve teorik olarak elde edilen deplasmanın zamanla değişimi (t = 1-1.1 sn, Kolon kalıbı)


102

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

2 2.05 2.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik



-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

3 3.05 3.1

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik




103

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

4 4.04 4.08

Zaman (sn)

Dep

lasm

an(m

m)

Deneysel Teorik



A, B ve C noktalarında teorik olarak hesaplanan ve deneysel olarak ölçülen

deplasman genlikleri Çizelge 7.16’da sunulmaktadır.

Çizelge 7.16. Kolon kalıbı taze beton ile dolu iken deneysel ve teorik olarak elde edilen genlik değerleri

Genlik değerleri (mm) Teorik Deneysel

0.30 0.34A noktası-0.41 -0.40 0.04 0.05B noktası

-0.11 -0.12 0.05 0.06C noktası

-0.12 -0.11

Çizelgenin incelenmesinden, vibrasyon noktasından uzaklaştıkça deplasman

genliğinin büyük oranda azaldığı görülmektedir. Bu durum, daha önce de ifade

edildiği gibi, vibrasyon işleminde, vibrasyon noktalarının doğru ve yeterli sayıda

belirlenmesinin önemini ortaya koymaktadır.


104

7.2.11. Uygulama 11

Bu uygulamada, kutu menfez kalıbı teorik olarak ele alınmakta ve kalıp boş

ve dolu halde iken, kalıbın vibrasyon uygulanan yüzeyindeki titreşim genliğinin

yüzey boyunca değişimi incelenmektedir. Söz konusu yüzey üzerinde, kalıbın boş

olması halinde hesaplanan en büyük genlik değerleri Şekil 7.56’da, dolu olması

halinde hesaplanan en büyük genlik değerleri ise Şekil 7.57’de verilmektedir.

7.2.12. Uygulama 12

Bu uygulamada, kolon kalıbı teorik olarak ele alınmakta ve kalıp boş ve dolu

halde iken, kalıbın vibrasyon uygulanan yüzeyindeki titreşim genliğinin yüzey

boyunca değişimi incelenmektedir. Sözkonusu yüzey üzerinde, kalıbın boş olması

halinde hesaplanan en büyük genlik değerleri Şekil 7.58’de, dolu olması halinde

hesaplanan en büyük genlik değerleri ise Şekil 7.59’da verilmektedir.

Şekillerin (Şekil 7.56, 7.57, 7.58, 7.59) incelenmesinden, vibrasyon

noktasından ve kalıp üst seviyesinden uzaklaştıkça genlik değerlerinin düştüğü

görülmektedir.


105

Şeki

l7.5

6.K

alıp

boşi

ken

vibr

asyo

nuy

gula

nan

yüze

yde

teor

ikol

arak

hesa

plan

ange

nlik

değe

rlerin

inyü

zey

boyu

nca

değişi

mi(

mm

)(K

utu

men

fez

kalıbı)

Dış

vibr

atör


106

Şeki

l7.5

7.K

alıp

dolu

iken

vibr

asyo

nuy

gula

nan

yüze

yde

teor

ikol

arak

hesa

plan

ange

nlik

değe

rlerin

inyü

zey

boyu

nca

değişi

mi(

mm

)(K

utu

men

fez

kalıbı)

Dış

vibr

atör


107

Şeki

l7.5

8.K

alıp

boşi

ken

vibr

asyo

nuy

gula

nan

yüze

yde

teor

ikol

arak

hesa

plan

ange

nlik

değe

rlerin

inyü

zey

boyu

nca

değişi

mi(

mm

)(K

olon

kalıbı)

Dış

vibr

atör

Dış

vibr

atör


108

Şeki

l7.5

9.K

alıp

dolu

iken

vibr

asyo

nuy

gula

nan

yüze

yde

teor

ikol

arak

hesa

plan

ange

nlik

değe

rlerin

inyü

zey

boyu

nca

değişi

mi(

mm

)(K

olon

kalıbı)

Dış

vibr

atör

Dış

vibr

atör


109

7.3. Bilgisayar Destekli Kalıp Tasarım Algoritması

Bu tez çalışmasında yapılan teorik ve deneysel çalışmalar, üretim kalıplarının

bilgisayar ortamında modellenmesinin mümkün olduğunu ve gerçeğe çok yakın

sonuçlar elde edilebildiğini göstermektedir. Bu bölümde önce, bu çalışma ve

literatürde mevcut diğer çalışmalardan elde edilen tasarım ilkeleri özetlenecek daha

sonra, bu tasarım ilkelerine uygun Bilgisayar destekli kalıp tasarımına yönelik bir

algoritma önerisi sunulacaktır.

7.3.1. Kalıp Tasarım İlkeleri

Yeterli kompaksiyona ve dolayısıyla istenen ölçüde dayanıma sahip yapı

elemanı üretiminde kullanılacak kalıpların tasarımında aşağıdaki hususlar dikkate

alınmalıdır.

a) Kalıp, içine yerleştirilen beton ve uygulanan vibrasyon yükleri altında yeterli

dayanıma sahip olmalı, eleman boyutlarını istenmeyen ölçüde değiştirecek derecede

deforme olmamalıdır. Bu amaçla kalıp yüzeyi tercihen 3-6mm kalınlıklı çelik

plakalar ile teşkil edilmeli, çelik profiller ile desteklenmelidir. Kalıp yüzeyleri belli

aralıklarla birbirine bağlanmalıdır. Ancak, kalıbın çok rijit olmasının vibrasyonu

zorlaştıracağı ve maliyetini arttıracağı unutulmamalıdır.

b) Kalınlığı 20cm’ye kadar olan elemanların üretiminde kalıbın sadece bir yüzüne,

20-40cm kalınlıklı elemanların üretiminde ise kalıbın her iki yüzüne vibratör

yerleştirilmelidir. 40cm’den kalın eleman üretiminde ayrıca iç vibratör

kullanılmalıdır.

c) Vibrasyonun frekansı, uygulama alanı dikkate alınarak seçilmelidir (Wenzel,

1986a). Örneğin, duvar panelleri, kiriş, kolon vb. yapı elemanları için en uygun

devirsel frekans 100 Hz’dir.

d) Yeterli düzeyde kompaksiyonun sağlanması için kalıp yüzeyinin her noktasında,

kalıp yüzeyine dik doğrultuda minimum bir deplasman genliğine ulaşılması

gerekmektedir. Minimum genlik değeri, eleman kalınlığına bağlı olarak tasarımcı

tarafından belirlenmelidir.


110

e) Değişik boyut ve kesit özelliklerine sahip her kalıp için en uygun vibrasyon

parametrelerini (vibratör konumu, sayısı ve frekans) önceden en uygun şekilde

kestirmek mümkün değildir. Bu nedenle problem, tecrübeye dayalı bir ön tasarım ve

iteratif bir analiz-tasarım algoritması ile ele alınmalıdır.

7.3.2. Algoritma

Yukarıda sıralanan tasarım ilkelerinin ışığı altında, bilgisayar destekli kalıp

tasarımı aşağıda sıralanan işlem basamaklarıyla gerçekleştirilebilmektedir:

a) Tecrübeye dayalı olarak kalıp sac kalınlığının, güçlendirme profillerinin

belirlenmesi, kalıbın bilgisayarda modellenmesi.

b) Vibrasyon uygulanacak yüzeylerin, vibratör tipinin ve minimum vibrasyon

genliğinin seçilmesi.

c) Başlangıç için vibratör konumlarının belirlenmesi.

d) Kalıbın dinamik analizinin yapılarak gerekli tahkiklerin (en az genlik ve gerilme

kontrolleri) yapılması.

e) Tahkiklerin sağlanmaması halinde, kalıp boyutlarının ve/veya vibrasyon

parametrelerinin yeniden seçilerek analizin tekrarlanması.

f) Tahkiklerin sağlanması halinde, kalıp imalatının gerçekleştirilmesi.

Tasarımı tamamlanmış kalıp ile yapı elemanının üretimi esnasında

uygulanacak vibrasyon süresi, beton yüzeyinde su toplanmaya başladığı zamana

kadar geçen süre olmalıdır. Bu süre her yapı elemanı için farklılık gösterecektir ve

dikkatli bir gözlem sonucu uygulama esnasında belirlenmelidir.

Bilgisayar destekli kalıp tasarım algoritmasına ait akış diyagramı Şekil

7.60’da görülmektedir.


111

Şekil 7.60. Kalıp tasarım algoritması

Ön tasarım için kalıp sonlu eleman modelinin oluşturulması (sac kalınlığı, güçlendirici profiller,

üst bağlantılar ve mesnet durumları)

Vibrasyonun, yapı elemanının kesiti dikkate alınarak, hangi yüzey(ler)de uygulanacağının

tespit edilmesi

Vibrasyon frekansının, yapı tipine göre, belirlenmesi

Vibratör konumlarının teşkil edilmesi

5

4

3

2

1

Başla

Ön tasarımı yapılan yapının analizi sonucunda gerekli tahkiklerin (en az

genlik ve gerilme kontrolleri) yapılarak, bunların sağlanıp, sağlanmadığının

incelenmesi?

Tasarımı tamamlanmış yapı elemanı için, üretim tabakalar halinde yapılıyorsa, vibrasyon süresi, bir tabaka için gözlenerek (beton yüzeyinde su toplanması) belirlenip, bunun sonraki tabakalar için kullanılması

Son

Hayır

Evet


112

7.4. Örnek Kalıp Tasarımı

Örnek olarak, 1000x20x80 cm boyutlarında kiriş üretimi için kullanılacak bir

kalıp ele alınmaktadır (Şekil 7.61). Bu kalıp üzerinde, kalıp tasarımı hakkında

yukarıda açıklanan bilgiler ışığında adım adım işlemler yapılacaktır.

Şekil 7.61. Örnek kalıbın boyutları

1. Adım: Başlangıç için 100 Hz’lik 1 adet dış vibratör kullanılarak, sac kalınlığı,

güçlendirme profilleri, üst bağlantı profilleri, mesnet (sabit) konumları ve vibratör

konumu Şekil 7.62-7.63’deki gibi seçilen kalıp gözönüne alınmaktadır. Kalıbın sonlu

eleman ağı 10x10cm kare kabuk elemanlar ile oluşturulmuş, çubuk sonlu elemanları

kabuk elemanları ile ortak düğüm noktaları kullanılarak tanımlanmıştır. 7.3.1.

bölümünde bahsedilen minimum genlik değeri 0.05 mm olarak seçilmiştir.

Şekil 7.62. Örnek kalıbın vibrasyon yüzeyi (Y-Z düzlemi, X = 10 cm)

Şekil 7.63. Örnek kalıbın üstten görünümü

20

Güçlendirme profilleri (U100)

80cm

Çelik levha (t = 5 mm)Dış Vibratör

10 m

4040

YZ

50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 5050 5040 50405 m5 m

φ30U100

U100100 100100100 100

10 m

100100100100100

20

A-A kesiti

20cm

Z

X80cm

10 m AY

Z A

80cm


113

Şeki

l7.6

4.1

adet

vibr

atör

kulla

nıla

rak

vibr

asyo

nuy

gula

nmasıh

alin

devi

bras

yon

yüze

yind

eol

uşan

mak

sim

umge

nlik

değe

rleri

(mm

)

Dış

vibr

atör


114

Örnek kalıp, teorik olarak ele alınmış ve kalıp taze beton ile dolu halde iken,

kalıbın vibrasyon uygulanan yüzeyindeki titreşim genliğinin yüzey boyunca değişimi

incelenmiştir. Sözkonusu yüzey üzerinde hesaplanan maksimum genlik değerleri

Şekil 7.64’de verilmektedir.

Şekil 7.64’ün incelenmesinden görüleceği üzere, tek vibratör kullanılması

halinde kalıp yüzeyinin tamamında istenilen genlik değerlerine ulaşılamamaktadır.

Bu durumda iki farklı çözüm yöntemi düşünülebilir.

a) Kalıp rijitliğinin azaltılması,

b) Vibratör sayısının arttırılması.

Bu örnek tasarım çalışması için vibratör sayısının arttırılması tercih edilmiştir.

2. Adım: 1. Adımdaki kalıp parametreleri (sac kalınlığı, mesnet durumu vb.) aynı

olmak üzere, konumları Şekil 7.65’deki gibi seçilen 100 Hz’lik iki dış vibratör

kullanılarak, kalıbın dinamik analizi tekrarlanmış, kalıbın vibrasyon uygulanan

yüzeyindeki titreşim genliğinin yüzey boyunca değişimi incelenmiştir. Sözkonusu

yüzey üzerinde hesaplanan maksimum genlik değerleri Şekil 7.66’da verilmektedir.

Şekil 7.65. Örnek kalıbın vibrasyon yüzeyi (Y-Z düzlemi, X = 10 cm)

Güçlendirme profilleri (U100)

80cm

Çelik levha (t = 5 mm)

10 m

4040

YZ

50 50 50 50

5 m2.5 m

50 50 50 50 50 50 5050 50502040 40 2040 40

2.5 m

50 50

Dış Vibratör Dış Vibratör


115

Şeki

l7.6

6.2

adet

vibr

atör

kulla

nıla

rak

vibr

asyo

nuy

gula

nmasıh

alin

devi

bras

yon

yüze

yind

eol

uşan

mak

sim

umge

nlik

değe

rleri

(mm

)

Dış

vibr

atör

Dış

vibr

atör


116

Şekil 7.66’nın incelenmesinden görüleceği üzere, iki vibratör kullanılması

halinde kalıbın vibrasyon yüzeyinde oluşan deplasman genlik değerleri, tasarım için

belirlenen minimum genlik değerlerini sağlamaktadır. Dolayısıyla, vibratör sayısı ve

konumlarının uygun ve yeterli olduğu anlaşılmakta ve kalıp tasarımı tamamlanmış

olmaktadır.

Örnek kalıpta, bir ve iki vibratör kullanılarak vibrasyon uygulanan yüzeydeki

bazı kritik noktalarda elde edilen maksimum genlik değerleri Çizelge 7.17’de,

titreşim parametreleri Çizelge 7.18’de, serbest titreşim analizi sonuçları Çizelge

7.19’da karşılaştırılmaktadır.

Çizelge 7.17. Örnek kalıbın vibrasyon uygulanan yüzeyinde seçilen bazı kritik noktalarda 1 ve 2 adet vibratör kullanılarak elde edilen maksimum genlik değerleri

Koordinat (cm, X = 10) Maksimum genlik (mm) Nokta No

Y Z 1. Adım(1 vibratör)

2. Adım(2 vibratör)

308 10 10 0.04 0.20 404 490 10 0.09 0.08 920 10 40 0.01 0.06 922 20 40 0.02 0.06 924 30 40 0.03 0.09 926 40 40 0.03 0.13 928 50 40 0.03 0.15 316 50 10 0.01 0.06 520 50 20 0.02 0.07 1624 470 70 0.60 0.08 1630 500 70 0.64 0.06 1574 220 70 0.06 0.90 1580 250 70 0.04 1.14 1626 480 70 0.22 0.16


117

Çizelge 7.18. Örnek kalıba ait titreşim parametreleri


Dinamik serbestlik

derecesi sayısı X yönü Y yönü Z yönü 1. Adım 98.45 94.45 98.66 5760 2. Adım 98.38 94.41 98.49

Çizelge 7.19. Örnek kalıba ait serbest titreşim frekansları

Mod No Frekans (Hz) 1. Adım

Frekans (Hz) 2. Adım

1 9.47 10.442 11.35 11.343 12.44 12.894 15.13 15.125 17.61 17.976 21.36 21.31

Frekans değerlerinin incelenmesinden görüleceği üzere, kalıba ait en etkili

frekans değerleri, 100 Hz olan vibratör frekansına göre çok küçük kalmaktadır.

Dolayısıyla kalıba 100 Hz’lik vibratörler yardımıyla titreşim uygulanmasının


8. SONUÇLAR ve ÖNERİLER Gültekin AKTAŞ

118

8. SONUÇLAR ve ÖNERİLER

Prefabrik yapı elemanı üretiminde yaşanan şantiye deneyimleri, kalıba

dökülen taze betonun yeterli ölçüde sıkıştırılmasının, titreşim için kullanılan dış

vibratörün tipine ve konumuna bağlı olduğunu göstermiştir. Vibratör tipi ve

konumunun deneme-yanılma yöntemi ile belirlenmesi zaman kaybına yol açmakta ve

her zaman en iyi sonucu vermemektedir. Bu nedenle bilgisayar destekli kalıp

tasarımına ihtiyaç duyulmaktadır.

Bu çalışma, deneysel ve teorik olarak hazırlanmıştır. Dış vibratörler

kullanılarak üretilen prefabrik yapı elemanlarında şantiye deneyleri, Kambeton

firmasının (Adana) üretim tesislerinde veri toplama sistemi (VTS) kullanılarak,

gerçekleştirilmiştir. İki farklı prefabrik yapı elemanında (kutu menfez ve kolon)

deneyler, bu elemanları oluşturan çelik kalıpların yüzeyinde seçilen bazı kritik

noktalarda, hem kalıbın boş (betonsuz) hem de taze beton ile dolu olması hallerinde

ayrı ayrı ölçümler alınarak gerçekleştirilmiştir. Deneyler sırasında kalıp dış

yüzeyinde seçilen bazı noktalarda, kalıp yüzeyine dik deplasmanın zamanla değişimi,

0.5 msn okuma aralığında 4.096 sn süre ile kaydedilmiştir. Deneysel bulgular, kalıp

içine dökülen taze betonun, kalıp davranışını önemli ölçüde değiştirdiğini ve

bilgisayar destekli kalıp tasarımında, taze beton-kalıp etkileşiminin mutlaka

gözönüne alınması gerektiğini göstermektedir.

Teorik titreşim analizi, SAP2000® bilgisayar yazılımı kullanılarak, Sonlu

Elemanlar Yöntemi ile yapılmıştır. Zaman Tanım Alanında analiz, deneylerdeki gibi

0.5 msn okuma aralığında ve 4.096 sn süre ile, Mod Birleştirme Yöntem’inde Ritz

vektörleri kullanılarak gerçekleştirilmiş; ayrıca, Özvektörler ile bulunan sonuçlarla

karşılaştırılmıştır.

Dinamik mod birleştirme analizinde, aynı sayıda mod kullanılması koşuluyla,

Ritz vektörleri kullanılarak yapılan analizlerin tamamlanma süresi (computer time)

Özvektörlerin kullanılmasına göre çok önemli oranda azalmaktadır; ayrıca, dinamik

kütle katılım oranları büyük ölçüde artmaktadır. Bu nedenle, binlerce dinamik

serbestlik derecesine sahip karmaşık kalıp sistemleri için, dinamik mod birleştirme

analizinde, Ritz vektörlerinin kullanılması önerilmektedir.

8. SONUÇLAR ve ÖNERİLER Gültekin AKTAŞ

119

Önce boş kalıpta deneysel olarak ölçülen zamana bağlı deplasman değerleri,

teorik titreşim analizi ile hesaplanan sonuçlarla karşılaştırılmış ve bunların uyumlu

olduğu görülmüştür. Daha sonra kalıbın dolu olması halinde, taze betonun etkisi

dikkate alınarak, taze beton-kalıp etkileşimi için bir model hazırlanmıştır. Bu model

kullanılarak hesaplanan değerler, deneysel olarak ölçülenler ile karşılaştırılmış,

sonuçların uyumlu olduğu görülmüştür.

Yapılan deneysel, teorik ve literatürdeki çalışmalar ışığında, prefabrik yapı

elemanları üretimi için bir kalıp tasarım algoritması hazırlanmıştır. Bu algoritma

kullanılarak, örnek bir kalıp sisteminin kalıp tasarımı teorik olarak yapılmıştır.

120

KAYNAKLAR

ACI Committee 309, 1981. Behavior of Fresh Concrete during Vibrations. ACI

Journal, 78(1), 36-53.

ALEXSANDRIDIS, A., ve GARDNER, N.J., 1981. Mechanical Behaviour of Fresh

Concrete. Cement and Concrete Research, 11(3), 323-339.

BANFILL, P.F.G., YONGMO, X., ve DOMONE, P.L.J., 1999. Relationship

between the Rheology of Unvibrated Fresh Concrete and its Flow under

Vibration in A Vertical Pipe Apparatus. Magazine of Concrete Research,

51(3), 181-190.

BANFILL, P.F.G., 2003. The Rheology of Fresh Cement and Concrete-A Review.

11. International Cement Chemistry Congress, Durban, May 2003.

BATHE, K.J., ve WILSON, E:L., 1976. Numerical Methods in Finite Element

Analysis. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J.

BEER, G., ve WATSON, J.O., 1994. Introduction to Finite and Boundary Element

Methods for Engineers. John Wiley&Sons, New York, 509s.

DHATT, G., ve TOUZOT, G., 1985. The Finite Element Method. A Wiley-

Interscience Publication, New York, 503s.

ERDOĞAN, T.Y., 2003. Beton. ODTÜ Geliştirme Vakfı Yayıncılık ve İletişim A.Ş.

Yayını, Ankara, 714s.

GERMANN Instruments, Inc., 1998. “4c-Temperature & Stress; Temperature and

Stress Simulation during Hardening – User Manual”. GERMANN

Instruments, Inc., Evanston, Illinois.

HU, C., ve LARRARD, F.D., 1996. Rheology of Fresh High-performance Concrete.

Cement and Concrete Research, 26(2), 283-294.

HUGHES, R.J.R., TAYLOR, R.L., ve KANOKNUKULCHAI, W., 1977. A simple

and efficient element for plate bending. Int. J. Num. Meth. Eng., 11, 1529-43.

IBRAHIMBEGOVIC, A., ve WILSON, E.L., 1991. A Unified Formulation for

Triangular and Quadrilateral Flat Shell Finite Elements with Six Nodal

Degrees of Freedom. Communications in Applied Numerical Methods, 7,1-9.

121

KITAOJI, H., TANIGAWA, Y., MORI, H., ve KUROKAWA, Y., 1998. Analytical

Study on Vibration Transmission Properties of Fresh Concrete. Transactions

of the Japan Concrete Institute, 20, 1-8.

KRSTULOVIC, P., ve JURADIN, S., 1999. Modelling of Fresh Concrete Behaviour

under Vibration. International Journal for Engineering Modelling, 12(1), 43-

51.

KUROKAWA, Y., TANIGAWA, Y., MORI, H., ve WATANABE, T., 2000.

Experimental and Analytical Studies on Propagation of Vibration in Fresh

Concrete. Transactions of the Japan Concrete Institute, 22, 27-34.

LARRARD, F.D., HU, C., SEDRAN, T., SZITKAR, J.C., JOLT, M., CLAUX, F., ve

DERKX, F., 1997. New Rheometer for soft-to-fluid Fresh Concrete. ACI

Materials Journal, 94(3), 234-243.

MURATA, J., ve KIKUKAWA, H., 1992. Viskosity Equation for Fresh Concrete.

ACI Materials Journal (American Concrete Institute), 89(3), 230-237.

PAULINI, P., ve GRATL, N., October 1994. Stiffness Formation on Early Age

Concrete. Procedings of the International RILEM Symposium, Munich, E &

FN Spon, Germany.

PETROU, M. F., HARRIES, K. A., GADALA-MARIA, F., ve KOLLI, V.G., 2000.

A Unique Experimental Method for Monitoring Aggregate Settlement in

Concrete. Cement and Concrete Research, 30(5), 809-816.

POSTACIOĞLU, B., 1987. Beton. Teknik Kitaplar Yayınevi, İstanbul, 404s.

SAP2000, 1999. Integrated Finite Element Analysis and Design of Structures.

Computers and Structures, Inc., Berkeley, California, USA.

TANIGAWA, Y., ve MORI, H., 1989. Analytical Study on Deformation of Fresh

Concrete. Journal of Engineering Mechanics, 115(3), 493-508.

TATTERSALL, G.H., ve BAKER, P.H., 1988. Effect of Vibration on the

Rheological Properties of Fresh Concrete. Magazine of Concrete Research,

40(143), 79-89.

TAYLOR, R.L., ve SIMO, J.C., 1985. Bending and Membrane Elements for

Analysis of Thick and Thin Shells. Proceedings of the NUMEETA

Conference, Swansea, Wales.

122

TUCEK, A., ve BARTAK, J., 1991. Mathematical Modelling of The Dynamics of

the Concrete Mix. Cement and Concrete Research, 21, 21-30.

U.S. Department of Transportation, 2003. Poission’s Ratio and Temperature

Gradient Adjustments. HIPERPAV Validation Model Summary. Federal

Highway Administration Research, Technology, and Development Turner-

Fairbank Highway Research Center 6300 Georgetown Pike McLean, Virginia

22101-2296. 1-4.

WENZEL, D., 1986a. Compaction of concrete-Principles, practice, special problems.

Betonwerk und Fertigteil - Technik, 52(3), 153-158.

WILSON, E.L., YUAN, M.W., ve DICKENS, J.M., 1982. Dynamic Analysis by

Direct Superposition of Ritz Vectors. Earthquake Eng. and Structural

Dynamics, 10, 813-823.

123

ÖZGEÇMİŞ

1966 yılında Diyarbakır’ın Ergani ilçesinde doğdum. İlk ve orta öğrenimimi

Ergani’de tamamladım. 1983 yılında İstanbul Teknik Üniversitesi İnşaat

Mühendisliği Bölümünde Lisans öğrenimime başlayıp Mart-1988’de mezun oldum.

1988-1995 yılları arasında özel sektörde çalıştım. 1995 yılında Dicle Üniversitesi

Müh. Mim. Fak. İnş. Müh. Bölümü’ne Araştırma Görevlisi olarak atandım; aynı yıl

Çukurova Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İnşaat Mühendisliği Anabilim

Dalında Yüksek Lisans öğrenimime başlayıp 1998’de tamamladım. Bir Üniversite

(Dicle Ünv.) adına başka bir Üniversite’de Lisansüstü öğrenim yapmak üzere, 2000

yılında Ç.Ü. F.B.E. İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalında Doktora öğrenimime

başladım. Evli ve bir çocuk babasıyım.

Documents

ÇUKUROVA ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ DOKTORA TEZ · Çukurova Ün vers tes fen b l mler enst tÜsÜ doktora tez gültekin akta˛ Önger lmel beton ve betonarme prefabr