35
={��}= ��= = × = = × = []= [[]= [- ]+ [[]] - {[]}] = [[]{[]}]= [{[]}]= [{[]}]= [{[]}][[{}]{{}}] = [{��[��]}{- }]= [{[]��[��]}]= [[]]= [{[]��[��]}][] ��= [[ [[[[]] < || [[]] > ]{[]}]][��> [() ��() ��][����]] - �� ����

ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

  • Upload
    others

  • View
    14

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

����������������������������������������������������

�������������

���� = {�� ��� �� ��� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��

�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��

�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��

�� �� �� �� �� �� �� �� �� �}�

� = ����

�� = �����

� = � × ���

��� = ��

�� = � × ���

��� = ���

�[�] = ��

��[�[�] = �[� - �] + ����[[�]] - �� {�� �� ������[����]}]

����� = �����[�[�]� {�� �� ������[����]}]�

����� = �����[���� {�� �� ������[����]}]�

����� = �����[��� {�� �� ������[����]}]�

����� = �����[���� {�� �� ������[����]}]�

���������[���������[{����� ������ ������ �����}]�

������������� → {���������� {����� ������ ����� �����}}]

�� = ��������[������ ������ → ����� ��������� → {������ ���������[�����]}�

����������� → ���������� ��������� → {-�� ��}� ��������������� → ��������]�

�� = ��������[������ ��������� → {��������[�� �� �]� ���������[�����]}�

������ → ����� ��������������� → ��������]�

�� = ��������[������ ��������� → ��������[�� �� �]�

������ → ����� ��������������� → ��������]�

�� = ��������[������ ��������� → {��������[�� �� �]� ���������[�����]}�

������ → ����� ��������������� → ��������]�

����[��� ��� ��� ��� ��������������� → ����������������]

���������������������������� = ������[�����] × ����[

�����[��[�����[[�]] < ��� || �����[[�]] > ���� �� �]� {�� �� ������[�����]}]]�

��[���������������������������� > �� �����[������ �� (���) ��

����������������������������� � �����������(�) ������ ��� ������� ��������]�

�����[������ ��� �� ������������ ������ ��� ������� ��������]]

�� ��� �� ���� � � -�� ��� �� � �� ��� � � �� ��� �� � ��� ��� � � �� ��� � � �� ��� � � �� ��� � � �� ��� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ��

Page 2: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

�� � � ��� ���� � � ��� ���� � � �� ���� � � �� ���� � � �� ���� � � �� ���� � � �� ���� � � ��� ���� � � �� ���� � � �� ���� � � �� ���� � � �� ���� � � �� ���� � � �� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ���� � � ��� ��

2 ��� Ex-Cap10.nb

Page 3: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

●●

●●

●●●●●

●●●

●●●

●●●●●

●●

●●●●●●●

●●

●●●●

●●●

●●●

●●●●

●●●

●●●●●

●●●●

●●●●●

10 20 30 40 50 60 70

10

20

30

40

����� �� (���) �� �����������(�) ������ ��� ������� �������

��������������

� = ���

� = ����

χ[�_] = ���[��������������������[�� �]� �]�

� = ��

��� = ��

��� = ���

(* ��� (��������) ����������� ���������� ������ �� ��� �������� ������

����� ��� ������� �=[���]���=�������������������= [����(���)(�+�-�)]���=�������������������*)

(* � ����� �� ��� ����������� ���������� ������ �� ��� ��������� ������ ����� *)

� = �����[χ[� + � - �]�

{�� ���� ���}� {�� ���� ���}]�

����������[�����[�[�� �] × �����] * ������]

������ ������ ������ ������ ����� �� �� �� �������� ������ ������ ������ ������ ����� �� �� �������� ������ ������ ������ ������ ������ ����� �� �������� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ����� �������� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ����������� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ����������� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ �������� ����� ������ ������ ������ ������ ������ ������ �������� �� ����� ������ ������ ������ ������ ������ ������

��������������

� = ���

λ = �� × �����

���� = �������������������[λ]�

χ[�_] = ���[����� �]�

β[�_] = ���[����� �]�

� = ��

��� = ��

��� = ��

� = �����[��[� == �� β[� - �]� χ[� + � - �]]�

{�� ���� ���}� {�� ���� ���}]� (* ����� �������� (����)� *)

����������[�����[�[�� �] × �����] * ������]

������ ������ ������������ ������ ������������ ������ ������

Ex-Cap10.nb ���3

Page 4: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

���������������������������

����������

� = ����

�� = �����

� = ��

� = ��

�� = ��������� ��� �-��

�-�

��� (�-��) �(�-�) ��

== �� {�� ��� ��� �� �}�

�� = {�} /� ��������[��]�

�� = ��[[�]]

���������

����� = {�� ������ ������� ������ ������� ����� �� - ��� ����}�

����� = {����� ����� ���� ����� ���� ����}�

χ[�_� δ_] = ���[��������������������[�� δ]� �]�

β[�_� δ_] = ���[��������������������[�� δ]� �]�

�[δ_] = �����[��[� == �� β[� - �� δ]� χ[� + � - �� δ]]�

{�� �� �}� {�� �� �}]�

��������������������������

����������������(s)������×(��- �)× ���×(��- s+ �)�

�� = ��������������[� + �]�

��[�_� δ_� �_] �= �����[����� ���������[�] × �����[��[� == �� �� �]� {�� �� �}] �

�����������[�[�[δ]� ��]� � - �]������������[�������[�� - �[�[δ]� ��]]� �]]�

������������������������������������������������������������������������������s������������

��[�_� δ_� �] �= ��[�� δ� �]�

��[�_� δ_� �] �= ��[�� δ� �] + ��[�� δ� �]�

��[�_� δ_� �] �= ��[�� δ� �] + � × ��[�� δ� �] + ��[�� δ� �]�

��[�_� δ_� �] �= ��[�� δ� �] + � × ��[�� δ� �] + � × ��[�� δ� �] + ��[�� δ� �]�

�������������������������������������������������������������������������{��- E(��)}s������������

��[�_� δ_� �] �= ��[�� δ� �] - ��[�� δ� �]��

��[�_� δ_� �] �= ��[�� δ� �] - � × ��[�� δ� �] × ��[�� δ� �] + � × ��[�� δ� �]��

��[�_� δ_� �] �= ��[�� δ� �] - � × ��[�� δ� �] × ��[�� δ� �] +

� × ��[�� δ� �] × ��[�� δ� �]� - � × ��[�� δ� �]��

������������������������������

���[�_� δ_] �= ��[�� δ� �]�

���[�� �� + ��]

�������

4 ��� Ex-Cap10.nb

Page 5: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

����[���[�� �� + δ]� {δ� -���� ��}� ��������� → {�� �����}]

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

2000

4000

6000

8000

10000

�������������������������������������������������

����[�_� δ_] �= ��[�� δ� �] �

�������������������������������������������������������

����[�_� δ_] �=����[�� δ]

���[�� δ]�

��������������������������������������������������������������������������������

����[�_� δ_] �=��[�� δ� �]

����[�� δ]��

�������������������������������������������������������������������������������

����[�_� δ_] �=��[�� δ� �]

����[�� δ]�- ��

�������������������������������������

���������[���������[�����[{�����[[�]]�

���[�� �� + �����[[�]]]�

����[�� �� + �����[[�]]]�

����[�� �� + �����[[�]]]�

����[�� �� + �����[[�]]]�

����[�� �� + �����[[�]]]}� {�� �� ����������[�����][[�]]}]]�

��������������� -> {�����}]

� ����� ������ ����� ������ ���� ���������������� ������� ������� ������� ������� ������� �������������� ������� ������� ������� ������� ������� ��������������� �������� �������� �������� �������� �������� ��������������� ������� ������� ������ ������� ������� �������������� ������� ������� ������� ������� ������� �������

Ex-Cap10.nb ���5

Page 6: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

������α⨯������������������������������������������������

�[�_� �_� δ_] �=

�����[�����

�����[��[� == �� �� �]� {�� �� �}] � �����������[ �[�[δ]� ��]� �����[�]]]�

����������[���������[�����[

��[� == �� � = �]�

�����[

��[�[�� �� �� + �����[[�]]] <= � - �����[[�]]� �� �] == �� �++]�

�� {�� �� ����������[�����][[�]]}� {�� �� ����������[�����][[�]]}]]]

�� �� �� � � � � ���� ��� �� �� �� �� � ���� ��� ��� �� �� �� � ����� ��� ��� ��� �� �� � ����� ���� ��� ��� ��� �� �� ����� ���� ��� ��� ��� �� �� �

������������������������

����������������

� = ����

�� = �����

� = ��

��� = ��

�� = ��������� ��� �-��

�-�

��� (�-��) �(�-�) ��

== �� {�� ��� ��� �� �}�

�� = {�} /� ��������[��]�

�� = ��[[�]]

����� = {��� ������ ������� ������ ������� ����� ����� �� - ��� ����}�

���������

���������������������

β[���_� δ_] = � - ���[��������������������[���� δ]� ���]�

������������������������������

���[���_� δ_] �=�

�[β[���� δ]� ��]�

�������������������������������������������������

����[���_� δ_] �=� - �[β[���� δ]� ��]

�[β[���� δ]� ��]�

�������������������������������������������������������

����[���_� δ_] �= � - �[β[���� δ]� ��] �

6 ��� Ex-Cap10.nb

Page 7: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

��������������������������������������������������������������������

����[���_� δ_] �=� - �[β[���� δ]� ��]

� - �[β[���� δ]� ��]�

��������������������������������������������������������������������

����[���_� δ_] �= � +�

� - �[β[���� δ]� ��]+ � - �[β[���� δ]� ��]�

������������������������������

���������[���������[�����[{�����[[�]]�

���[�� �� + �����[[�]]]�

����[�� �� + �����[[�]]]�

����[�� �� + �����[[�]]]�

����[�� �� + �����[[�]]]�

����[�� �� + �����[[�]]]}� {�� �� ����������[�����][[�]]}]]�

��������������� -> {�����}]

�� ����� ������ ����� ������ ���� ���� ��������� ����������� ������� ������� ������� ������� ������� ������� ������� �������������� ������� ������� ������� ������� ������� ������� ������� ������

�������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� ������� ���������� �� �� �� ������� ������� ������� ������� ��������� �� �� ������� ������� ������� ������� ������� �������

�����������������������

�[�_� ���_� δ_] �= �����[� -�[β[���� δ]� ��]� ��[� < �� �� �����[�]]]�

������α⨯����������������������������������������

����� = {����� ����� ���� ����� ���� ����}�

����������[���������[�����[

��[� == �� � = �]�

�����[

��[�[�� �� �� + �����[[�]]] <= � - �����[[�]]� �� �] == �� �++]�

�� {�� �� ����������[�����][[�]]}� {�� �� ����������[�����][[�]]}]]]

�� �� �� �� � � � � ���� ��� ��� �� �� �� � � ���� ��� ��� ��� ��� �� �� �� ����� ���� ��� ��� ��� ��� �� �� ������ ���� ���� ��� ��� ��� �� �� ������ ���� ���� ��� ��� ��� �� �� ��

Ex-Cap10.nb ���7

Page 8: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

��������������������� = {����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����}�

������[����]

� = ��

μ� = �����

σ� = �� �

� = �

� = ��������

(* ��� ��-������� ��� �� ���� �������� ����� ����� ��� μ �� ������������� ���� ��� ������� ��������� �� �

��������� ������� ��� ������ ���� ��� ��� ������ ����� �������� �� ��-������� �������� ���������� �� �� *)

��� = -��

�� = ��

��� = ��

�[�] = ��

���[�] = �[� - �] +����[[�]] - �

σ�

� {�� �� ������[����]}

����� = �����[�[�]� {�� �� ������[����]}]�

����� = �����[���� {�� �� ������[����]}]�

����� = �����[��� {�� �� ������[����]}]�

����� = �����[���� {�� �� ������[����]}]�

���������[���������[{����� ������ ������ �����}]�

������������� → {���������� {����� ������ ����� �����}}]

�� = ��������[������ ������ → ����� ��������� → {������ ���������[�����]}�

����������� → ���������� ��������� → {-��� ��}� ��������������� → ��������]�

�� = ��������[������ ������ → ����� ��������� →

{��������[�� �� �]� ���������[�����]}� ��������������� → ��������]�

�� = ��������[������ ������ → ����� ��������� → ��������[�� �� �]�

��������������� → ��������]�

�� = ��������[������ ������ → ����� ��������� →

{��������[�� �� �]� ���������[�����]}� ��������������� → ��������]�

����[��� ��� ��� ��� ��������������� → ����������������]

���������������������������� = ������[�����] × ����[

�����[��[�����[[�]] < ��� || �����[[�]] > ���� �� �]� {�� �� ������[�����]}]]�

��[���������������������������� > �� �����[������ �� (���) ��

����������������������������� � �����������(�) ������ ��� ������� ��������]�

�����[������ ��� �� ������������ ������ ��� ������� ��������]]

��

8 ��� Ex-Cap10.nb

Page 9: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

�� ��� �� ���� ���� -������ �������� ������� ���� -������ ������� ������� ���� -������ �������� ������� ���� -������ �������� ������� ��� -������ ������� ������� ���� -������ ������� ������� ���� -������ ������� ������� ���� -������ ������ ������� ���� -������ ������� �������� ���� -������ ������� �������� ���� -������ ������� �������� ���� -������ ������ �������� ���� -������ ������� �������� ��� -������ ������� �������� ���� -������ ������� �������� ���� -������ ������ �������� ���� -������ ������� �������� ���� -������ ������� �������� ��� -������ ������� �������� ���� -������ ������� �������� ���� -������ ������� �������� ���� -������ ������� �������� ���� -������ ������� �������� ���� -������ ������� ������

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

5 10 15 20

-20

-10

10

20

����� ��� �� ������������ ������ ��� ������� �������

�����������������Sample size and distribution function of the standard normal and the chi-square with

(n-1) degrees of freedom

� = ��

Φ[�_] = ���[������������������[�� �]� �]�

χ[�_] = ���[���������������������[� - �]� �]�

Definition of the sub-stochastic matrix Qμ(δ, θ) of the chart

CUSUM-μ

Ex-Cap10.nb ���9

Page 10: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

�μ = ��������

�μ = ����

�μ = ����μ[δ_� θ_] = �����

Φ�

θ× � �μ � + � - � +

� (� �μ + �) - δ � {�� -�μ� �μ}� {�� -�μ - �� �μ}�

�μ = �����[��[� == �� -�� ��[� == � + �� �� �]]� {�� -�μ� �μ + �}� {�� -�μ� �μ}]�

�μ[δ_� θ_] = �μ[δ� θ]��μ�

�����������������C-μi (δ� θ)�

��μ = ��������������[� �μ + �]�

�μ[δ_� θ_] �= �������[��μ - �μ[δ� θ]]�

��μ = �����[�� {�� -�μ� �μ}]�

�μ[�_] = �����[��[� == �� �� �]� {�� -�μ� �μ}]�

���μ[�_� δ_� θ_] �= �μ[�] � �μ[δ� θ] � ��μ�

��������������C-μ� (δ� θ)�����������������C-μ� (δ� �)�

���μ[�� �� �]

����[���μ[�� δ� �]� {δ� -�� �}� ��������� → ����� ���������� → {�� �}]

�������

-2 -1 1 2

100

200

300

400

500

10 ��� Ex-Cap10.nb

Page 11: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

��������������λ = {����� ���� ��}�

�� = �������������λ[[�]] (� - λ[[�]])�� {�� �� ��}�

��������� → {��������[�� �� �]� ���������[�����]}�

��������� → {�� ���}� ��������������� → ���������

�� = �������������λ[[�]] (� - λ[[�]])�� {�� �� ��}�

��������� → {��������[�� �� �]� ���������[�����]}�

��������� → {�� ���}� ��������������� → ���������

�� = �������������λ[[�]] (� - λ[[�]])�� {�� �� ��}�

��������� → {��������[�� �� �]� ���������[�����]}�

��������� → {�� ���}� ��������������� → ���������

����[��� ��� ��� ��������������� → ����������������]

0 2 4 6 8 10

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

λ = {����� ���� ��}�

�� = �������������λ[[�]] × (� - λ[[�]])�� {�� �� ��}�

��������� → {��������[�� �� �]� ���������[�����]}�

��������� → {�� ���}� ��������������� → ���������

�� = �������������λ[[�]] × (� - λ[[�]])�� {�� �� ��}�

��������� → {��������[�� �� �]� ���������[�����]}�

��������� → {�� ���}� ��������������� → ���������

�� = �������������λ[[�]] × (� - λ[[�]])�� {�� �� ��}�

��������� → {��������[�� �� �]� ���������[�����]}�

��������� → {�� ���}� ��������������� → ���������

����[��� ��� ��� ��������������� → ����������������]

0 2 4 6 8 10

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

Ex-Cap10.nb ���11

Page 12: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

��������������μ� = �����

�� = �

λ = ����

� = ��(*������ �������� ��������� �� ��� ������ ����*)

(*σ�=��*)

γ = ��

(*�=������[����]�*)

���� = {����� �� ��� ��� ����� ���� �� ��� ����� ����� ���� ���

����� ����� �� ���� �� ��� ��� �� ��� �� ��� ��� ��� �� ���� ��� ��� ��}�

� = ���������� (� - λ)�× �� +

�=�

�-�

λ × (� - λ)�× ����[[� - �]]� (* ����� �������� (�����)� *)

���� = �����[�[�]� {�� �� ������[����]}]�

�������� = �����μ� - γ × � × ����λ × � - (� - λ)� �

(� - λ)� {�� �� ������[����]}�

�� = �����[� {�� �� ������[����]}]�

�������� = �����μ� + γ × � × ����λ × � - (� - λ)� �

(� - λ)� {�� �� ������[����]}�

������������������[{����� ��������� ����� ��������}]�

������������� → ���������� ����� ������� ����� ������

�� = ��������[����� ������ → ����� ��������� → {������ ���������[�����]}�

����������� → ���������� ��������� → {�� ��}� ��������������� → ��������]�

�� = ��������[��������� ������ → ����� ��������� →

{��������[�� �� �]� ���������[�����]}� ��������������� → ��������]�

�� = ��������[��� ������ → ����� ��������� → ��������[�� �� �]�

��������������� → ��������]�

�� = ��������[��������� ������ → ����� ��������� →

{��������[�� �� �]� ���������[�����]}� ��������������� → ��������]�

����[��� ��� ��� ��� ��������������� → ����������������]

���������������������������� = ������[����] ×

����[�����[��[����[[�]] < ��������[[�]] || ����[[�]] > ��������[[�]]� �� �]�

{�� �� ������[����]}]]�

��[���������������������������� > �� �����[������ �� (���) ��

����������������������������� � �����������(�) ������ ��� ������� ��������]�

�����[������ ��� �� ������������ ������ ��� ������� ��������]]

12 ��� Ex-Cap10.nb

Page 13: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

�� ���� �� ����� ���� ��� ���� ����� � ������� ���� �������� �� ������� ����� ������� �� ������� ������ �������� ���� ������� ������� �������� ��� ������� ������� �������� � ������� ������� �������� �� ������� ������� �������� ���� ������ ������� ��������� ���� ������� ������� ��������� ��� ������� ������� ��������� �� ������� ������� ��������� ���� ������� ������ �������� ���� ������� ������� ��������� � ������� ������� ��������� ��� ������� ������� ��������� � ������� ������� ��������� �� ������� ������� ��������� �� ������� ������� ��������� � ������� ������� ��������� �� ������� ������� ��������� � ������� ������� ��������� �� ������� ������� ����� �� ������� ������� ����� �� ������� ������� ����� � ������� ������ ����� ��� ������� ������� ����� �� �� ������� ����� �� �� ������� ����� �� �� ������� ���

●●

●●

●●

●●

●●

●●

● ●

●● ●

5 10 15 20 25 30

9

10

11

12

����� ��� �� ������������ ������ ��� ������� �������

Ex-Cap10.nb ���13

Page 14: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

��������� = �����μ� - γ × � × ����λ

(� - λ)� {�� �� ������[����]}�

�� = �����[� {�� �� ������[����]}]�

��������� = �����μ� + γ × � × ����λ

(� - λ)� {�� �� ������[����]}�

������������������[{����� ���������� ����� ���������}]�

������������� → ���������� ����� ������� ����� ������

�� = ��������[����� ������ → ����� ��������� → {������ ���������[�����]}�

����������� → ���������� ��������� → {�� ��}� ��������������� → ��������]�

�� = ��������[���������� ������ → ����� ��������� →

{��������[�� �� �]� ���������[�����]}� ��������������� → ��������]�

�� = ��������[��� ������ → ����� ��������� → ��������[�� �� �]�

��������������� → ��������]�

�� = ��������[���������� ������ → ����� ��������� →

{��������[�� �� �]� ���������[�����]}� ��������������� → ��������]�

����[��� ��� ��� ��� ��������������� → ����������������]

���������������������������� = ������[����] ×

����[�����[��[����[[�]] < ���������[[�]] || ����[[�]] > ���������[[�]]� �� �]�

{�� �� ������[����]}]]�

��[���������������������������� > �� �����[������ �� (���) ��

����������������������������� � �����������(�) ������ ��� ������� ��������]�

�����[������ ��� �� ������������ ������ ��� ������� ��������]]

�� ���� �� ����� ���� �� ���� ���� � �� ���� ���� �� �� ����� ���� �� �� ������ ���� ���� �� ������� ���� ��� �� ������� ���� � �� ������� ���� �� �� ������� ���� ���� �� ������� ����� ���� �� ������� ����� ��� �� ������� ����� �� �� ������� ����� ���� �� ������ ����� ���� �� ������� ����� � �� ������� ����� ��� �� ������� ����� � �� ������� ����� �� �� ������� ����� �� �� ������� ����� � �� ������� ����� �� �� ������� ����� � �� ������� ����� �� �� ������� ����� �� �� ������� ����� �� �� ������� ����� � �� ������ ����� ��� �� ������� ����� �� �� ������� ����� �� �� ������� ����� �� �� ������� ���

14 ��� Ex-Cap10.nb

Page 15: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

●●

●●

●●

●●

●●

●●

● ●

●● ●

5 10 15 20 25 30

9

10

11

12

����� ��� �� ������������ ������ ��� ������� �������

��������������

������������������������������

Φ[�_] = ���[������������������[�� �]� �]�

� = ��

���μ = � / ������

γ�-μ = ��������[������������������[�� �]� � - ���μ]�

����-μ[δ_� θ_] =�

� - Φγ�-μ- δ

θ

����-μ[�� �]

����

Ex-Cap10.nb ���15

Page 16: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

������������������������������������������

γ�-μ = �������

λμ = ������

�μ = ���

Φ[�_] = ���[������������������[�� �]� �]�

� = ��

�μ[δ_� θ_] = �����

��� == -�� �� �

θγ�-μ � + � - (� - λμ) � +

� (�μ + �) λμ (� - λμ) - δ �

{�� �� �μ}� {�� -�� �μ}�

�μ = �����[��[� == �� -�� ��[� == � + �� �� �]]� {�� �� �μ + �}� {�� �� �μ}]�

�μ[δ_� θ_] = �μ[δ� θ]��μ�

��μ = ��������������[�μ + �]�

�μ[δ_� θ_] �= �������[��μ - �μ[δ� θ]]�

��μ = �����[�� {�� �� �μ}]�

����-μ[�_� δ_� θ_] �= �����[��[� == �� �� �]� {�� �� �μ}] � �μ[δ� θ] � ��μ�

����-μ[�� �� �]

����� =

{�� ����� ����� ����� ����� ����� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���}�

���������[�����[{�����[[�]]� ����-μ[�� �����[[�]]� �]� ����-μ[�����[[�]]� �]}�

{�� �� ������[�����]}]� ������������� → {���������� {�δ�� �����-μ�� �����-μ�}}]

(* ��� ������ ��� ��� ���� ��� �������� ������ *)

�������

δ ����-μ ����-μ� � ������� ����� ���� ������� �������� ��� ������� �������� ��� ������� ������� ��� ������� �������� ��� ������� �������� ��� ������� �������� ��� ������� ������ ��� ������� ��������� ��� ������� ��������� ��� ������� ��������� �� ������� ��������� ��� ������� ��������� �� ������� ��������� �� ������� ������

16 ��� Ex-Cap10.nb

Page 17: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���� � -����-μ[�� δ� �]

����-μ[δ� �]× ���� {δ� �� ��}

2 4 6 8 10

-50

50

Ex-Cap10.nb ���17

Page 18: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

��������������

������������������������������������������

� = ��

������ = ��

λσ = �����

����-σ = ��

����-σ = ���������

γ�-σ =����-σ - ���������

������������-�

� ×

λσ

�-λσ

χ[�_] = ���[���������������������[� - �]� �]�

�σ = ���

�σ[θ_] = �������� == -�� ��

χ� - �

θ�×

��� γ�-σ ×�����������

� - �

� � + � - (� - λσ) � +

� (�σ + �) λσ (� - λσ)

� {�� �� �σ}� {�� -�� �σ}�

�σ = �����[��[� == �� -�� ��[� == � + �� �� �]]� {�� �� �σ + �}� {�� �� �σ}]�

�σ[θ_] = �σ[θ]��σ�

��σ = ��������������[�σ + �]�

�σ[θ_] �= �������[��σ - �σ[θ]]�

��σ = �����[�� {�� �� �σ}]�

�σ[�_] = �����[��[� == �� �� �]� {�� �� �σ}]�

����-σ[�_� θ_] �= �σ[�]� �σ[θ] � ��σ�

����-σ[�� �]

�������

������������������������������

����-σ = ��������

γ�-σ = ����-σ ×� - �

��

����-σ[θ_] =�

� - χγ�-σ

θ�

����-σ[�]

�������

18 ��� Ex-Cap10.nb

Page 19: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���� � -����-σ[�� θ]

����-σ[θ]× ���� {θ� �� ��}� ���������� → {�� �}

2 4 6 8 10

-60

-40

-20

20

40

Ex-Cap10.nb ���19

Page 20: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

��������������� = ��

Φ[�_] = ���[������������������[�� �]� �]�

χ[�_] = ���[���������������������[� - �]� �]�

���μ = � / ������

γμ = ��������������������������[�� �]� � -���μ

��

���σ =�

������

γσ = ��������[���������������������[� - �]� � - ���σ]�

���μ[δ_� θ_] =�

� - Φγμ-δ

θ - Φ

-γμ-δ

θ

���σ[θ_] =�

� - χγσ

θ�

���μ�σ[δ_� θ_] = � � - Φγμ - δ

θ - Φ

-γμ - δ

θ × χ

γσ

θ� �

���μ[�� �]

���σ[�]

���μ�σ[�� �]

������[���[���μ�σ[δ� θ]]� {δ� �� �}� {θ� �� �}]

�����

�����

������

20 ��� Ex-Cap10.nb

Page 21: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

���μ�σ[δ_� θ_] =���μ[δ� θ] × ���σ[θ]

���μ[δ� θ] + ���σ[θ] - ��

(* �������� ��� ��� �� ��� ����� ������ ��� ����� ���� �� ��� ���������� ��������� *)

���μ[�� �]

���σ[�]

���μ�σ[�� �]

�����

�����

������

��������������� = ���

Φ[�_] = ���[������������������[�� �]� �]�

χ[�_] = ���[���������������������[� - �]� �]�

����μ = {����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����}�

����σ = {����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����

����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����}�

���μ = ������

γμ = ��������������������������[�� �]� � -���μ

��

���σ = ������

γσ = ��������[���������������������[� - �]� � - ���σ]�

μ� = ����[����μ]�

σ� = ����[����σ] �

���μ = μ� - γμ ×σ�

���μ = μ� + γμ ×σ�

���σ = �

���σ =σ�

� - �× γσ

��������

�������

�������

����������μ�σ[δ_� θ_] = � - Φγμ - δ

θ - Φ

-γμ - δ

θ × χ

γσ

�

����������μ�σ[�� �]

��������

Ex-Cap10.nb ���21

Page 22: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

��������������� = ����������μ�σ[���� ���]�

���� = ���������������������[���������������] �

(* geometric distribution for the number of trials before the first success,where the probability of success in a trial is � *)���[����� �� - �]

��������

���μ[δ_� θ_] =�

� - Φγμ-δ

θ - Φ

-γμ-δ

θ

���σ[θ_] =�

� - χγσ

θ�

���μ�σ[δ_� θ_] =���μ[δ� θ] × ���σ[θ]

���μ[δ� θ] + ���σ[θ] - ��

���μ[�� �]

���σ[�]

���μ�σ[�� �]

������[���[���μ�σ[δ� θ]]� {δ� �� �}� {θ� �� �}]

����

����

������

22 ��� Ex-Cap10.nb

Page 23: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

�������������������������������������������� = ��

Φ[�_] = ���[������������������[�� �]� �]�

χ[�_] = ���[���������������������[� - �]� �]�

���μ = � / ������

γμ = ��������������������������[�� �]� � -���μ

��

���σ = � / ������

γσ = ��������[���������������������[� - �]� � - ���σ]�

������[θ_] = � - Φγμ

θ - Φ-

γμ

θ

χγσ

θ�

- Φγμ

θ - Φ-

γμ

θ �

����� = {����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����}�

���������[�����[{�����[[�]]� ������[�����[[�]]]}� {�� �� ������[�����]}]�

������������� → {���������� {�θ�� ��������}}]

����[{������[θ]}� {θ� ������ �}� ���������� -> {�� �}]

�����[δ_] =� - χ[γσ]

�(Φ[γμ-δ]-Φ[-γμ-δ])

- χ[γσ]

����� =

{����� ����� ����� ����� ����� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���}�

���������[�����[{�����[[�]]� �����[�����[[�]]]}� {�� �� ������[�����]}]�

������������� → {���������� {�δ�� �������}}]

����[{�����[δ]}� {δ� ������ �}� ���������� -> {�� �}]

θ ������� ���� ��������� ���� ��������� ���� ��������� ��� ��������� ��� ��������� ��� ��������� ��� ��������� ��� ��������� ��� ���������� ��� ���������� ��� ����������� ��� ����������� �� ����������� �� ���������

Ex-Cap10.nb ���23

Page 24: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

1.5 2.0 2.5 3.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

δ ������ ���� ��������� ��� �������� ��� ��������� ��� ��������� ��� ��������� ��� ��������� ��� ��������� ��� ��������� ��� ���������� ��� ���������� �� ����������� ��� ����������� �� ����������� �� ����������

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

24 ��� Ex-Cap10.nb

Page 25: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

��������������� = ��

Φ[�_] = ���[������������������[�� �]� �]�

χ[�_] = ���[���������������������[� - �]� �]�

���μ = � / ������

γμ = ��������[������������������[�� �]� � - ���μ]�

���σ = � / ������

γσ = ��������[���������������������[� - �]� � - ���σ]�

������[θ_] =� - Φ

γμ

θ

χγσ

θ�

- Φγμ

θ

����� = {����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����}�

���������[�����[{�����[[�]]� ������[�����[[�]]]}� {�� �� ������[�����]}]�

������������� → {���������� {�θ�� ��������}}]

����[{������[θ]}� {θ� ������ �}� ���������� -> {�� �}]

�����[δ_] =� - χ[γσ]

�Φ[γμ-δ]

- χ[γσ]

����� =

{����� ����� ����� ����� ����� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���}�

���������[�����[{�����[[�]]� �����[�����[[�]]]}� {�� �� ������[�����]}]�

������������� → {���������� {�δ�� �������}}]

����[{�����[δ]}� {δ� ������ �}� ���������� -> {�� �}]

θ ������� ���� ��������� ���� ��������� ���� ��������� ��� ��������� ��� ��������� ��� ��������� ��� ��������� ��� ��������� ��� ���������� ��� ��������� ��� ���������� ��� ���������� �� ��������� �� �������

Ex-Cap10.nb ���25

Page 26: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

1.5 2.0 2.5 3.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

δ ������ ���� ��������� ��� ��������� ��� ��������� ��� ��������� ��� ��������� ��� ��������� ��� ��������� ��� �������� ��� ����������� ��� ���������� �� ����������� ��� ����������� �� ������������ �� ����������

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Sample size and distribution function of the standard normal and the chi-square with

(n-1) degrees of freedom

� = ��

Φ[�_] = ���[������������������[�� �]� �]�

χ[�_] = ���[���������������������[� - �]� �]�

Definition of the sub-stochastic matrix Qμ(δ, θ) of the chart

EWMA-μ

26 ��� Ex-Cap10.nb

Page 27: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

γμ = �������

λμ = ������

�μ = ����μ[δ_� θ_] = �����

��� == -�� �� �

θ× γμ � + � - (� - λμ) � +

� (�μ + �) λμ (� - λμ) - δ �

{�� �� �μ}� {�� -�� �μ}�

�μ = �����[��[� == �� -�� ��[� == � + �� �� �]]� {�� �� �μ + �}� {�� �� �μ}]�

�μ[δ_� θ_] = �μ[δ� θ]��μ�

�����������������E-μi (δ� θ)�

��μ = ��������������[�μ + �]�

�μ[δ_� θ_] �= �������[��μ - �μ[δ� θ]]�

��μ = �����[�� {�� �� �μ}]�

�μ[�_] = �����[��[� == �� �� �]� {�� �� �μ}]�

���μ[�_� δ_� θ_] �= �μ[�] � �μ[δ� θ] � ��μ�

���μ[�� �� �]

�������

Definition of the sub-stochastic matrix Qσ(θ) of the chart EWMA-σ

γσ = �������

λσ = ������

�σ = ����σ[θ_] = �������� == -�� ��

χ� - �

θ�×

��� γσ ×�����������

� - �

� � + � - (� - λσ) � +

� (�σ + �) λσ (� - λσ)

� {�� �� �σ}� {�� -�� �σ}�

�σ = �����[��[� == �� -�� ��[� == � + �� �� �]]� {�� �� �σ + �}� {�� �� �σ}]�

�σ[θ_] = �σ[θ]��σ�

�����������������E-σi (θ)�

��σ = ��������������[�σ + �]�

�σ[θ_] �= �������[��σ - �σ[θ]]�

��σ = �����[�� {�� �� �σ}]�

�σ[�_] = �����[��[� == �� �� �]� {�� �� �σ}]�

����-σ[�_� θ_] �= �σ[�]� �σ[θ] � ��σ�

����-σ[�� �]

�������

Survival function of RLE-μi (δ, θ)

Ex-Cap10.nb ���27

Page 28: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

FRLE-μi δ,θ (k)

�μ[�_� �_� δ_� θ_] �= �μ[�] ������������[ �μ[δ� θ]� ��[� ≥ �� �����[�]� �]] � ��μ�

Survival function of RLE-σj (θ)

FRLE-σj(θ)

(k)

�σ[�_� �_� θ_] �=

�σ[�] ������������[ �σ[θ]� ��[� ≥ �� �����[�]� �]] � ��σ�

"Probability of Misleading Signals" — EE+

Type III — PMSEE+(III; θ)HSμ = 0%, HSσ = 0%

����� = {����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����}�

����μ = {�}�

����σ = {�}�

28 ��� Ex-Cap10.nb

Page 29: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

��[��[��[{

δ = ��

θ = �����[[�]]�

� = ����μ[[�]]�

� = ����σ[[�]]�

��μ = �μ[δ� θ]�

��σ = �σ[θ]�

��� = ���������

���� = � ����

������ = ��

����μ = ��μ�

����μ = ��μ �

���σ = ��σ�

�������μ = �μ[�] �(����μ - ����μ) � ��μ�

�������σ = �σ[�] ����σ � ��σ�

������� = �������μ * �������σ�

����� = ��

�����[���� > ���� {���� = ������ + ��������

���� = ���[(���� - ������) / ����]�

������ = �����

�������μ = ����μ�

������σ = ���σ�

����μ = ����μ�

����μ = ��μ��������μ�

���σ = ��σ�������σ�

�������μ = �μ[�] �(����μ - ����μ) � ��μ�

�������σ = �σ[�] ����σ � ��σ�

������� = �������μ * �������σ�

����� = ����� + ��

��[���[����� - �� ���] == �� �����[

�����=�� ����� - ��

� ���� �����=�� �����

� ����� �����=�� �������

� δ=�� δ� � θ=�� θ]]}]�

������[�� �� θ] = �������

����[�� �� θ] = ����� - ��

�����[

� δ=�� δ� � θ=�� θ�

� �=�� �� � �=�� ��

� ���������� �����=�� �������

� ����������=�� ����� - ��

� �������� �����=�� ����]}�

{�� �� ����������[����σ][[�]]}]� {�� �� ����������[�����][[�]]}]�

{�� �� ����������[����μ][[�]]}]

Ex-Cap10.nb ���29

Page 30: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

����=��� ���� �����=����������� ����� �����=�������� δ=� θ=����

����=���� ���� �����=������������ ����� �����=������� δ=� θ=����

����=���� ���� �����=������� × ��-� ����� �����=������� δ=� θ=����

δ=� θ=���� �=� �=� ���������� �����=

�������� ����������=���� �������� �����=������� × ��-�

����=��� ���� �����=����������� ����� �����=�������� δ=� θ=����

����=���� ���� �����=������� × ��-� ����� �����=������� δ=� θ=����

δ=� θ=���� �=� �=� ���������� �����=

�������� ����������=���� �������� �����=������� × ��-�

����=��� ���� �����=������������ ����� �����=�������� δ=� θ=����

δ=� θ=���� �=� �=� ���������� �����=

�������� ����������=��� �������� �����=������� × ��-�

����=��� ���� �����=������� × ��-� ����� �����=�������� δ=� θ=���

δ=� θ=��� �=� �=� ���������� �����=

�������� ����������=��� �������� �����=������� × ��-�

δ=� θ=��� �=� �=� ���������� �����=

�������� ����������=��� �������� �����=������� × ��-�

δ=� θ=��� �=� �=� ���������� �����=

��������� ����������=��� �������� �����=������� × ��-�

δ=� θ=��� �=� �=� ���������� �����=

��������� ����������=�� �������� �����=������� × ��-�

δ=� θ=��� �=� �=� ���������� �����=

�������� ����������=�� �������� �����=������� × ��-�

δ=� θ=��� �=� �=� ���������� �����=

��������� ����������=�� �������� �����=������� × ��-�

δ=� θ=��� �=� �=� ���������� �����=

��������� ����������=�� �������� �����=������� × ��-�

δ=� θ=��� �=� �=� ���������� �����=

��������� ����������=�� �������� �����=������� × ��-�

δ=� θ=��� �=� �=� ���������� �����=

�������� ����������=�� �������� �����=������� × ��-�

δ=� θ=�� �=� �=� ���������� �����=

��������� ����������=�� �������� �����=������� × ��-�

δ=� θ=�� �=� �=� ���������� �����=

��������� ����������=� �������� �����=������� × ��-�

30 ��� Ex-Cap10.nb

Page 31: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

����������[�����[{

�����[[�]]�

(* ����μ[[�]]�

����σ[[�]]�

����[����μ[[�]]�����σ[[�]]������[[�]]]� *)

������[����μ[[�]]� ����σ[[�]]� �����[[�]]]}�

{�� �� ����������[����σ][[�]]}�

{�� �� ����������[����μ][[�]]}�

{�� �� ����������[�����][[�]]}]]

���� ������������ ������������ ����������� ����������� ����������� ������������ ������������ ����������� ������������ ������������ ������������ ���������� ����������� ���������

Type IV — PMSEE+(IV; δ)HSμ = 0%, HSσ = 0%

����� = {����� ����� ����� ����� ����� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���}�

����μ = {�}�

����σ = {�}�

Ex-Cap10.nb ���31

Page 32: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

��[��[��[{

δ = �����[[�]]�

θ = ��

� = ����μ[[�]]�

� = ����σ[[�]]�

��μ = �μ[δ� θ]�

��σ = �σ[θ]�

��� = ���������

���� = � ����

������ = ��

����σ = ��σ�

����σ = ��σ �

���μ = ��μ�

�������σ = �σ[�] �(����σ - ����σ) � ��σ�

�������μ = �μ[�] ����μ � ��μ�

������� = �������μ * �������σ�

����� = ��

�����[���� > ���� {���� = ������ + ��������

��[����� > �� ���� = ���[(���� - ������) / ����]]�

������ = �����

�������σ = ����σ�

������μ = ���μ�

����σ = ����σ�

����σ = ��σ��������σ�

���μ = ��μ�������μ�

�������σ = �σ[�] �(����σ - ����σ) � ��σ�

�������μ = �μ[�] ����μ � ��μ�

������� = �������μ * �������σ�

����� = ����� + ��

��[���[����� - �� ���] == �� �����[

�����=�� ����� - ��

� ���� �����=�� �����

� ����� �����=�� �������

� δ=�� δ� � θ=�� θ]]}]�

�����[�� �� δ] = �������

����[�� �� δ] = ����� - ��

�����[

� δ=�� δ� � θ=�� θ�

� �=�� �� � �=�� ��

� ���������� �����=�� �������

� ����������=�� ����� - ��

� �������� �����=�� ����]}�

{�� �� ����������[����σ][[�]]}]� {�� �� ����������[�����][[�]]}]�

{�� �� ����������[����μ][[�]]}]

32 ��� Ex-Cap10.nb

Page 33: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

����=��� ���� �����=����������� ����� �����=�������� δ=���� θ=�

����=���� ���� �����=������������ ����� �����=�������� δ=���� θ=�

����=���� ���� �����=������� × ��-� ����� �����=�������� δ=���� θ=�

δ=���� θ=� �=� �=� ���������� �����=

�������� ����������=���� �������� �����=������ × ��-�

����=��� ���� �����=����������� ����� �����=�������� δ=��� θ=�

����=���� ���� �����=������������ ����� �����=�������� δ=��� θ=�

δ=��� θ=� �=� �=� ���������� �����=

�������� ����������=���� �������� �����=������� × ��-�

����=��� ���� �����=������������ ����� �����=�������� δ=��� θ=�

δ=��� θ=� �=� �=� ���������� �����=

�������� ����������=��� �������� �����=������� × ��-�

����=��� ���� �����=������� × ��-� ����� �����=�������� δ=��� θ=�

δ=��� θ=� �=� �=� ���������� �����=

������� ����������=��� �������� �����=������� × ��-�

δ=��� θ=� �=� �=� ���������� �����=

��������� ����������=��� �������� �����=������� × ��-�

δ=��� θ=� �=� �=� ���������� �����=

��������� ����������=��� �������� �����=������� × ��-�

δ=��� θ=� �=� �=� ���������� �����=

��������� ����������=��� �������� �����=������� × ��-�

δ=��� θ=� �=� �=� ���������� �����=

��������� ����������=��� �������� �����=������� × ��-�

δ=��� θ=� �=� �=� ���������� �����=

��������� ����������=�� �������� �����=������� × ��-�

δ=��� θ=� �=� �=� ���������� �����=

���������� ����������=�� �������� �����=������� × ��-�

δ=�� θ=� �=� �=� ���������� �����=

���������� ����������=�� �������� �����=������� × ��-�

δ=��� θ=� �=� �=� ���������� �����=

���������� ����������=�� �������� �����=������� × ��-�

δ=�� θ=� �=� �=� ���������� �����=

����������� ����������=�� �������� �����=������� × ��-�

δ=�� θ=� �=� �=� ���������� �����=

������� × ��-� ����������=� �������� �����=������� × ��-�

Ex-Cap10.nb ���33

Page 34: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

����������[�����[{

�����[[�]]�

(* ����μ[[�]]�

����σ[[�]]�

����[����μ[[�]]�����σ[[�]]������[[�]]]� *)

�����[����μ[[�]]� ����σ[[�]]� �����[[�]]]}�

{�� �� ����������[����σ][[�]]}�

{�� �� ����������[����μ][[�]]}�

{�� �� ����������[�����][[�]]}]]

���� ����������� ����������� ����������� ���������� ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������� ������������ �����������

�� ������� × ��-�

��������������� = ���

χ[�_] = ���[���������������������[� - �]� �]�

���σ = � / ������

γσ = ��������[���������������������[� - �]� � - ���σ]�

� - χγσ

���

����������

���σ = � / ������

� = �����������������������������[� - �]����σ

��

� = �����������������������������[� - �]� � -���σ

��

� - χ�

��� - χ

���

���������

34 ��� Ex-Cap10.nb

Page 35: ULisboa · ULisboa ... = -χ γσ =

������������������������� = � - χγσ

����

���� = ���������������������[�������������������������] �

(* geometric distribution for the number of trials before the first success,where the probability of success in a trial is � *)���[����� ��� - �]

���������������������������� = � - χ�

��� - χ

��� �

���� = ���������������������[����������������������������] �

(* geometric distribution for the number of trials before the first success,where the probability of success in a trial is � *)���[����� ��� - �]

��������

��������

Ex-Cap10.nb ���35