Úlohy, které mám rádPardubice, 18. září 2008

RNDr. Dag Hrubý, M.B.

edukátor transmisivní industriální školy

Gymnasium Jevíčko

a

KDM MFF UK Praha

Gymnázium Jevíčko, založeno 1897Gymnasium Jevíčko, založeno 1897

1. ÚT

2. ÚT

3. ÚT

MILÉTSKÁ ŠKOLA

Thalés (asi 624 – 545 př. n. l.)

28. květen 585 př. n. l.Oficiální den zrodu evropské vědy i filosofie

„Ty si myslíš Thaléte, že poznáš, co je na nebi, když nejsi s to, abys viděl, co je před tvýma nohama?

(posměch thrácké služky , když Thalés, zkoumaje hvězdy a hledě vzhůru, spadl do jámy)

Ούδείς άγεωμέτρητος εισίτω

Ακαδημία

Akademie

Ούδείς άγεωμέτρητος εισίτωNevstupuj, kdo neznáš geometrii.

Platonova tělesa

ABERO

Pozdrav matematikůSestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno

(a, b, ) - poloměr kružnice vepsané

ab

(a, b, ρ) (a, b, c)

c=c(a,b,ρ)

c3-(a+b)c2-[(a-b)2-4ρ2]c+[(a-b)2+4ρ2](a+b)=0

r

vvv

ttt

cba

cba

cba

,

,,

,,

,,

,,

220

364

Vážené a milé kolegyně, vážení a milí kolegové!

Požádali jsme pana ředitele Daga Hrubého, aby vám předal pozdrav od nás z CERMATu. Rády bychom vás pozdravily osobně, ale snažíme se zajíždět tam, kam nás pozvou. Věříme pak, že nás i rádi vidí. Současně ale uznáváme, že informace o tom, že společná část maturitní zkoušky opravdu BUDE vás může po tolika letech naplňovat oprávněnou nedůvěrou. Koneckonců opatrné v očekáváních jsme i my.

Někteří z vás vědí, že se CERMAT již několik let zabývá kromě přípravy maturit také „Hodnocením výsledků vzdělávání“ na ZŠ. Na jaře tohoto roku se konalo zatím poslední testování v 9. třídách ve zhruba 70 % ZŠ v republice. Chcete-li si vyzkoušet tímto testem, co umí vaši prváci, ozvěte se. Zadání testu vám obratem zašleme (lesakova@cermat.cz; ridka@cermat.cz ). Hlavním důvodem k tomu, proč jsme pana ředitele Hrubého obtěžovaly, jsou tematické testy, které jsou k dispozici všem mimopražským základním a středním školám na webu CERMATu (www.cermat.cz ).

Na každé základní a střední škole by od července 2006 měli mít informační dopis, v němž bylo i přístupové heslo přidělené každé škole k jejímu přihlašovacímu jménu (=IZO). Po zadání těchto kódů na stránkách CERMATu (konkrétně: Systémový projekt KVALITA I/přihlášení pro školy/) se vám otevřou testové soubory z téměř všech vyučovacích předmětů. Testy z matematiky jsme připravovaly ve spolupráci s kolegyněmi ze středních a základních škol a vybraly jsme společně nejproblematičtější pasáže učiva obou stupňů škol. Vznikly tak testy:•Pro SŠ: Algebraické úpravy, Slovní úlohy, Konstrukční úlohy (a malý bonus)•Pro ZŠ a víceletá gymnázia: Racionální čísla, Planimetrie, Konstrukční úlohy, Poměr, úměra a trojčlenka.Ke všem testům je připojen klíč s řešením a nabídkou klasifikace vzhledem k počtu získaných bodů.Tematické testy vznikaly jako evaluační pomůcka pro vyučující na školách a my se tedy už jen snažíme tuto informaci do škol rozšířit.Všechny známé i neznámé kolegyně a kolegy pozdravujeme! Užijte si vzácných chvil volna v Pardubicích a optimismus z prázdnin ať vám vydrží aspoň do vánoc!Zdraví Eva Lesáková a Eva Řídká (a těší se v Srní na viděnou!)

Konstruovatelná úsečka

Kvadratura kruhu

Trisekce úhlu

Reduplikace krychle

(Délský - Délfský problém)

Nejslavnější čísla v matematice

π e i 0 1

01 ie

Otázka „K čemu budu v životě potřebovat diskriminant kvadratické rovnice?“

„K čemu je nějaké vědy prakticky potřeba, to ptá se střízlivě lidstvo i jednotlivec na malém stupni kultury, kde je zájem pouze o hmotné potřeby. Čeho každý absolvent střední školy potřebuje, jest, aby se dovedl oholit, a tomu se na střední škole nenaučí. “

(PhDr. Vladimír Buben, str. 39 , Čapek, E.: 100 hlasů o reformě, Praha 1930)

Učitelé gymnáziíPro učitele gymnázií je nejdůležitější, aby měli

stálý syk s vědou, filosofií, uměním a praktickou činností. Bez tohoto styku se stává učitel řemeslníkem, spěje k formalismu a klesá na úroveň učebnice. Učitel bez všeobecného kulturního nadhledu má tendenci žáky přetěžovat.

„Profesor odborník v dobrém slova smyslu, ten, který svou látku miluje a sám si ji stále myšlenkově zpracovává a rozšiřuje, který si své hodiny pečlivě připravuje, který svou nauku považuje za tak krásnou a životu potřebnou, že poctivě hledí žákům podat z ní to nejcennější a ideově nejvyšší, je dobrý a dokonalý pedagog, i kdyby koktal a byl prchlý jako švec; a pravím, žáci ho budou milovat a poslouchat jako božího slova.“Karel Čapek: Místo pro Jonathana! Symposium, Praha 1970.

Úloha 1

Sestrojte graf relace

Pojem relace je fundamentální pojem moderní algebry. Je proto překvapivé, že současné učebnice matematiky pro střední školy tento pojem skoro neznají.

1|||| yx

)(|| xfy

x

y

x

y

x'y'

4

1|'||'|

cossin'

sincos'

yx

yxy

yxx

2

122

22

22

22

14

cos4

sin4

sin4

cos

1|'||'|

yxyx

yxyx

yxyx

yx

x

y

x'y'

x

y

x'

y‘

1''2

2

2

2

ay

ax

2

2

122

22

22

22

1''

2

222

2

2

2

2

2

2

2

2

axy

ayxyx

a

yx

a

yx

ay

ax

Úloha 2

Dokažte, že pro obsah pravoúhlého trojúhelníku ABC platí S = xy, kde x, y jsou velikosti úseků na přeponě určené bodem dotyku kružnice trojúhelníku vepsané.

x y

Úloha 3Určete minimum funkce

1: 2 xxyf

Pierre Fermat, 1638 Toulouse

)()(

)()(

bftbf

bftbf

Úloha 4

abaabb

eeaabbdyeaabbdxx abb

a

yb

a

lnln

lnlnlnlnln lnlnln

ln

a b

ln aln b

22

2

2

22

222

)3(922

622)(22

6

6)(

4

21

cS

cccbaS

cba

cba

cba

uab

Jaký největší objem může mít hranol s obsahempodstavy 1 a délkou tělesové úhlopříčky 2?

Úloha 5

ab

u

Úloha 6Co se mi nedávno přihodilo ve 2. BV letošním roce vyučuji matematiku ve druhém ročníku čtyřletého gymnázia. Když jsme probírali racionální lomené funkce, přišel za mnou student Mlynář s tím, že si doma zkoušel nalézt minimum funkce

tak, že si nakreslil do jedné soustavy souřadnic grafy funkcí

Řekl mi, že minimum je v bodě

a že to tak vyjde vždy.

xx

y4

2

xy

xy

42

8240 x

Úloha 7Jak počítal limity student Černý

Černý: „No, podívejte se. Když to x bude moc velké, tak ta sedmička, ale ani pětka na to nemají žádný vliv, takže je můžu klidně škrtnout. Tím se mně zkrátí to x , no a je to hotový.“Hrubý: „Děkuji Vám, posaďte se. Má někdo jiný názor, než Černý.“ Vidím, že nemá.Černý sice nepoužil věty o počítání limit, které jsou v učebnici, ale jinakto nebyla špatná úvaha. Až ale budete Černý na fakultě, tak si dejte pozor, tam by Vám to asi neprošlo.“

32

32

lim5372

lim

xx

xx

xx

Úloha 8Jak nosila studentka Henslová vodu v konvi.

A

B

Úloha 9Věta studenta Exnera

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

A B C A B A C

A B C A B A C

x y z x y x z

x y z x y x z

Úloha 10Zajímavé rovnice

2

3 2

2 (6 ) 8

2

2

2

x

x

x

x

x x

ax b

cx d

ax bx c

ax bx cx d

Úloha 11

1 1 1

1

α β γ

α + β + γ = ?

1 1 1

1

α β γ

1+i 2+i 3+i

(1 ) (2 ) (3 ) 10

2

i i i i

Real

Im

Úloha 12Úloha na extrém

1

1

xp2

min min

4 4 1 4 1

3, 1 3 2 2

3

y x p x x

x y

Učební plán Gymnázia JevíčkoMatematika v současné době

Matematika v připravovaných ŠVP

1 2 3 4 5/1 6/2 7/3 8/4 Hod

G8 5 5 5 5 4 4 4 4 36

G4v 4 4 4 4 16

G4h 3 3 3 3 12

MS 2 2 4

1 2 3 4 5 6 7 8 Hod

G8 5 4 4 5 4 4 4 4 34

G4v 4 4 4 4 16

G4h 3 3 3 3 12

MS 2 2 4