FRACTALES

ÍNDICEAntecedentes ................................................................................................................. 2Introducción .................................................................................................................. 4

Unidad 1

Definición y características de un fractal

1.1 Definición de fractal ..................................................................................................... 6 1.2 Cálculo de la dimensión fractal .................................................................................... 7

1.3 Modelos fractales ......................................................................................................... 9

1.3.1 El conjunto de cantor (polvo de cantor) ........................................................ 91.3.2 Curvas poligonales de Koch ........................................................................ 101.3.3 Copos de nieve de Koch .............................................................................. 111.3.4 Triángulo de Sierpinski ............................................................................... 12

Unidad 2

Aplicación de los fractales a los materiales

2.1 Análisis de fracturas mecánicas ................................................................................. 132.1.1 Dimensión fractal en el análisis de fracturas mecánicas ............................. 132.1.2 Energía de fractura ....................................................................................... 152.1.3 Propiedades estadísticas de fracturas en materiales dañados ...................... 162.1.4 Superficies de fracturas en aluminio ......................................................... 24

2.2 Irregularidad en la microestructura de los materiales ................................................ 252.2.1 Coeficiente de rugosidad ............................................................................. 26

2.3 Características ópticas de los materiales .................................................................... 272.4 Análisis fractal de la microestructura dendrítica de una aleación de aluminio........... 28

2.5 Proceso de deposición eléctrica ................................................................................. 30

2.6 Técnicas de deposición PVD y MBE ........................................................................ 31

2.7 Uso de la adición de fractales al diseño y proceso de compuestos de matriz de polímetros .......................................................................................................................... 32

2.8 Red fractal del nanoporo del carbón .......................................................................... 33

2.9 Relación entre la dureza de la fractura de materiales frágiles con la dimensión fractal de superficies fracturadas .................................................................................... 34

AGRADECIMIENTOS

AGRADECEMOS: AL DR. ANTONIO QUIROZ GUTIÉRREZ POR HABERNOS MOTIVADO EN ESTE TEMA TAN MARAVILLOSO Y POR IR POR ESTAR CON NOSOTROS EN CADA PASO QUE REALIZÁBAMOS EN ESTA INVESTIGACIÓN, YA QUE ES UN TEMA NUEVO Y AUN FALTA MUCHO POR ESTUDIARLO.

Antecedentes

La geometría surgió para el hombre como una necesidad, con el objetivo de medir la tierra. Posteriormente olvidó, como tantas otras ciencias, sus orígenes. Hizo uso desde un principio de la intuición y el razonamiento y progresó durante siglos incursionando otras ciencias. Investigó además la medida y la forma del Universo, pero siempre pensando en un Universo estable y ordenado, aprehensible mediante la intuición, previsible y racional.

En el siglo XVIII la ciencia había tenido tal éxito en el descubrimiento de las leyes de la naturaleza que muchos pensaron que quedaba ya poco que revelar, pues leyes inmutables determinaban el movimiento de cada partícula del universo, al parecer, de forma exacta y para siempre. Pero llegó el siglo XX aportando dos grandes revoluciones que trastocó ese aparente orden, como ha sido el advenimiento de la física cuántica, y la segunda revolución atentó contra la imperturbabilidad del tiempo y del espacio como sistemas lineales.  Y podríamos decir, que en las ciencias físicas surgió una tercera revolución, a mediados de los setenta, fundamentada en las llamadas matemáticas del caos, y su prima hermana, la geometría fractal, que entre otras cosas ha dado pie a la elaboración de nuevas teorías del espacio y el tiempo fractal. Se trata de un descubrimiento espectacular cuyas implicaciones aún no ha producido todo su impacto en el pensamiento científico.. Lo que creíamos que era simple se convierte en complicado, en contrapartida, lo que se creía que era complicado puede volverse sencillo. 

Los fractales fueron concebidos aproximadamente en 1890 por el francés Henri Poincare. Sus ideas fueron extendidas mas tarde fundamentalmente por dos matemáticos también franceses, Gaston Julia y Pierre Fatou, hacia 1918. Se trabajó mucho en este campo durante varios años, pero el estudio quedó congelado en los años 20.  

El estudio fue renovado a partir de 1974 en IBM y fue fuertemente impulsado por el desarrollo de la computadora digital. El Dr. Mandelbrot, de la Universidad de Yale, con sus experimentos de computadora, es considerado como el padre de la geometría fractal (Fue el la IBM donde se fraguó la teoría de la Geometría Fractal). En honor a él, uno de los

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conjuntos que el investigó fue nombrado en su nombre.

Un problema traía de cabeza a los técnicos de comunicaciones de la compañía y era el ruido en las líneas telefónicas que usaban para transmitir información en su red de ordenadores. Ese ruido era insalvable, podían atenuarlo amplificando la señal pero siempre aparecían las interferencias y con ellas los errores continuos. Era como la radiación de fondo del Universo, siempre está presente, no desaparece.

Este hecho llegó a oídos de Mandelbrot, y ni corto ni perezoso ideó un método que describía la distribución errónea del flujo de información, el cual predecía las observaciones pero que era incapaz de pronosticar el promedio de errores por unidad de tiempo.

De hecho, en los periodos de aparición seguida de errores, por reducido que fuera, había siempre periodos de transmisión limpios de ruidos.

Se debe saber que el término “fractal” lo acuñó Mandelbrot al hojear un diccionario de latín de su hijo al fusionar las palabras fractus (romper) + fracture (fractura), dando pues una función doble (sustantivo/adjetivo) a su creación. 

Benoit Mandelbrot fue uno de tantos otros visionarios del caos y de los fractales, que tuvo la suerte de ver realizados sus sueños al materializar su engendro matemático y hacerle corresponder una realidad perteneciente a la naturaleza. Esto es lo único que lo distingue de otros matemáticos que ya en el siglo XIX se topaban con cualidades paradójicas e incomprensibles de ciertos objetos surgidos de sus pasatiempos y quehaceres matemáticos y todo ello gracias a una herramienta que le sirvió para tal fin a Mandelbrot: el ordenador.

Otros matemáticos, como Douady, Hubbard y Sullivan trabajaron también en esta área explorando más las matemáticas que sus aplicaciones.Desde la década del 70 este campo ha estado en la vanguardia de los matemáticos contemporáneos. Investigadores como el Dr. Robert L. Devaney, de la Universidad de Boston ha estado explorando esta rama de la matemática con la ayuda de las computadoras modernas.

Su aplicación al comportamiento estructural de los materiales. Los materiales poseen una superficie que determina ciertas características como su adhesión, expansión de roturas, desgaste, fricción, etc. la fractografia se encarga del estudio de las fracturas mediante el uso de patrones definidos llamados “factogramas”, en su análisis observa las características que pudieron provocar dicha fractura, por ejemplo, el tipo de carga. Mayormente, las fracturas siguen un patrón repetido, he ahí donde intervienen los fractales.

En 1978 Flook desarrolló el algoritmo de “Dilatación” para calcular las dimensiones fractales. Años después, en 1992, Laird y otros, aplicaron el análisis fractal al estudio de la morfología de los carburos en fundiciones de hierro.

En 1984, Mandelbroit y algunos compañeros estudiaron por primera vez la naturaleza fractal de las superficies de fractura en metales. Sus resultados sugirieron la existencia de una relación entre la energía de impacto y la dimensión fractal.

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En 1989, Hornbogen discute los principios de la aplicación del análisis fractal a diversos elementos microestructurales como fronteras de granos.

En 1994, Lu y Hellawell aplicaron también la geometría fractal a la caracterización del grafito en hierros fundidos y el análisis de dendritas de una aleación de aluminio y silicio. Un año después, Streitenberg reportó la naturaleza fractal de las fronteras de granos en muestras de Zinc utilizando la relación área-perímetro.

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INTRODUCCIÓN

Un fractal es un objeto que exhibe recursividad, o autosimilitud, a cualquier escala. En otras palabras, si enfocamos una porción cualquiera de un objeto fractal (imaginemos que utilizamos un magnificador, o hasta un microscopio, para ello), notaremos que tal sección resulta ser una réplica a menor escala de la figura principal. Otro aspecto importante sobre los fractales es que su dimensión es fraccionaria. Es decir, en vez de ser unidimensional, bidimensional o tridimensional (como es el para los objetos que nos son más familiares), la dimensión en la mayoría de los fractales no se ajusta a dichos conceptos tradicionales. Más aún, su valor raramente puede ser expresado con un número entero. Esto es, precisamente, lo que les ha dado su nombre. Muchas veces, los fractales se subscriben a la definición anterior. Otras no: en vez de observarse la misma estructura en proporciones menores de la figura principal que estemos observando, serán evidentes rasgos y patrones nuevos. Ello dependerá del tipo de fractal que examinemos y, como debe ser evidente, de la función matemática que hayamos utilizado para producirlo. Hay muchos objetos "ordinarios" que, debido a su estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales—aunque no los reconozcamos como tales de primera instancia. Las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos son fractales naturales; se diferencian de sus contrapartes matemáticos por ser entidades finitas en vez de infinitas. A parte de la utilidad que tienen para explicar ciertos resultados de la teoría del caos y en el estudio de los sistemas dinámicos (estudio de poblaciones), así como en el modelado de fenómenos naturales, una de las aplicaciones con más futuro de los fractales es la utilización de técnicas fractales para comprimir imágenes y secuencias de vídeo. Caos es comportamiento aparentemente impredecible resultante en un sistema determinístico debido a una gran sensibilidad a las condiciones iniciales. A parece en sistemas dinámicos si dos puntos de partida arbitrarios divergen exponencialmente, por lo que su comportamiento futuro es eventualmente impredecible .Lo que significa es que el comportamiento caótico, aunque parece al azar, proviene de una causa bastante rígida. También es altamente sensitivo a cualquier perturbación, porque todos los cambios en el sistema se compondrán con el tiempo. También, debido al extremo desorden, predecir el destino futuro del sistema es prácticamente imposible. Estrictamente hablando, la teoría del caos es el estudio de los sistemas no lineales, para los cuales el índice de cambio no es constante. Se caracterizan por su carácter impredecible. La climatología y el crecimiento poblacional son buenos ejemplos de sistemas no lineales; ambos, también, son fractales. Con el método de M.F.Barnsley, a partir de una imagen natural obtenemos una familia de contracciones que generan un fractal que se aproxima a la imagen natural tanto como queramos. Así, en vez de comprimir la información de cada punto de la imagen nos basta con guardar la familia de contracciones que generan el fractal. Para la compresión de imágenes mediante el método de M.F.Barnsley, Necesitamos funciones contractivas de R4, ya que en cada punto de la imagen trabajamos con (largo, alto, color, contraste). Los valores (numéricos) que se asignan a los parámetros que definen un fractal también pueden convertirse a notas musicales para generar composiciones intrigantes y refrescantes. Esto último se denomina, generalmente, música fractal. Gracias a los descubrimientos de la teoría del caos y de la geometría fractal, los científicos han podido comprender cómo sistemas que anteriormente se creían totalmente caóticos, ahora exhiben patrones predecibles. Una de las contribuciones más significativas de la geometría fractal ha sido su capacidad para modelar fenómenos naturales tales como las plantas, las nubes, las formaciones geológicas y los fenómenos atmosféricos. Esta teoría también ha contribuido a otros campos tan diversos como la lingüística, la Psicología, las técnicas de compresión de imágenes digitales, la

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superconductividad y otras aplicaciones electrónicas. Otras de las aplicaciones de los fractales son en las antenas; existen dos razones por las que el diseño fractal de antenas aparece tan atractivo. Primero: se espera que una antena autosemejante opere de forma similar en varias longitudes de onda, es decir, la antena debería mantener sus parámetros de radiación similares en diversas bandas. Segundo: debido a las buenas propiedades que poseen algunos fractales para rellenar el espacio, es previsible. La influencia fractal se da también en el campo de la Geología y Topología. Considerando un litoral cualquiera, con todas sus estribaciones, se dice que tiende a una longitud infinita, siendo su área finita (características propias de un fractal). Además, Mandelbrot propuso que galaxias y otros cuerpos semejantes se regían por el mismo concepto. La teoría de los fractales ha sido cada vez más aplicada en el campo de la ciencia material y de la ingeniería. Los modelos de líneas y de superficies fractal se han generado para describir las características microestructurales de materiales. El interés especial se pone sobre una descripción de la superficie de la fractura basada en una geometría fractal para entender la trayectoria de la grieta en materiales. Varios papeles han demostrado la relación entre la dimensión fractal de una superficie de la fractura y de los valores de la dureza de la aspereza y de la fractura. En este trabajo una extensión de la teoría de los fractales para los materiales de cerámica se propone, con los cuales el mecanismo del endurecimiento de la desviación de la grieta se piensa para ser relacionado. Para lograr este objetivo, una revisión que describe el concepto de fractales y de su relación con la dureza de la fractura se presenta. En la parte siguiente, una correlación entre la dimensión fractal, la energía total de la fractura y la resistencia media a la propagación de grieta se propone; todos estos parámetros que son dependientes en la historia y en la complejidad de la trayectoria de la propagación de grieta. El mundo fractal tiene muchas aplicaciones hoy en la actualidad por lo que llevaría mucho tiempo estudiando cada una de ellas.

Capitulo 1

Definición y Características de un Fractal

En este capitulo explicaremos en que consiste el término fractal así como sus características y la obtención de la dimensión fractal para algunos objetos, y añadiremos algunos modelos obtenidos por sus precursores desde los inicios de este campo de estudio.

DEFINICIÓN DE FRACTAL

Según B.Mandelbrot se considera fractal a aquel objeto o estructura que consta de fragmentos con orientación y tamaño variable pero de aspecto similar. En el cuerpo humano existen estructuras con geometría fractal, como son la red vascular, las ramificaciones bronquiales, la red neuronal, la disposición de las glándulas, etc.

fig. 1.1 Ejemplo de estructura fractal

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En un sentido más complejo; Un fractal es una representación matemática de números complejos (aquí no describiremos la formación de tales objetos desde un análisis de números complejos) y puede ser una serie de circunferencias que se coloquen una sobre el radio de la otra como si fuera su diámetro y así infinitamente. El área sería siempre semejante o aproximada a la de la circunferencia mayor, pero su longitud (considerándolas no como figuras independientes, sino como todas una sola), sería infinita.

Existen dos características propias a los fractales. Ellas son importantes para comprender su estructura y su concepción. Primero, su Área o Superficie es finita, es decir, tiene límites. Por el contrario y por paradójico que esto resulte, su Perímetro o Longitud es infinita, es decir, no tiene límites.

En la formación de fractales intervienen las denominadas iteraciones. Una iteración es la repetición de "algo" una cantidad "infinita" de veces. Entonces, los fractales se generan a través de iteraciones de un patrón geométrico establecido como fijo.

fig.1.2 fractal de Mandelbrot fig 1.3 fractal de Julia

Mandelbrot señala un punto importante dentro del concepto de Fractal. Un cuerpo de este estilo debía contar con una "dimensión", pero no como se puede pensar a primera vista, sino que una dimensión numérica. El mismo, adoptó el término "dimensión fractal" para reemplazar lo que se conoce como la dimensión de hausdorff-besicovitch

La dimensión fractal D, como se verá es una generalización de la dimensión euclidiana (DE), es un índice matemático que podemos calcular y que nos permite cuantificar las características de los objetos o fenómenos fractales.

CÁLCULO DE LA DIMENSIÓN FRACTAL

Si partimos de un segmento de longitud 1, y lo partimos en segmentos de longitud L obtendremos N(L) partes, de manera que

N(L)L^1 = 1

Cualquiera que sea L:

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fig. 1.4 división de un segmento de recta de longitud 1 en N(L) partes

Si el objeto inicial es un cuadrado de superficie 1, y lo comparamos con unidades cuadradas, cuyo lado tenga de longitud L, el número de unidades que es necesario para recubrirlo N(L), cumple

N(L).L^2 = 1 ,

cualquiera que sea L:

fig. 1.5 División de un cuadrado de área 1 en N(L) elementales de lado L

Si, por último, el objeto que tomamos es tridimensional, como, por ejemplo, un cubo de volumen 1, y lo medimos en relación con unidades que sean cubos de arista L, entonces se cumple que

N(L).L^3 = 1

Cualquiera que sea L:

fig. 1.6 División de un cubo de volumen 1 en N(L) cubos elementales de arista igual a L

De todo esto podemos generalizar que la dimensión fractal de un objeto geométrico es D si

N(L)*L^D = 1 ,

donde N(L) es el número de objetos elementales, o de unidades, de tamaño L que recubren, o que completan, el objeto.

De donde deducimos, despejando D, que

D = log (N(L))/log(1/L) (1)

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Sin embargo se suele aceptar, e incluso definir, que un objeto es fractal solo cuando su dimensión fractal es mayor que su dimensión euclidiana:

D>DE

La dimensión fraccionaria fractal mide el grado de escabrosidad y/o discontinuidad de un objeto presentando un grado de irregularidad constante a diferentes escalas (veremos como esa irregularidad se aplica al estudio de diversos materiales en el siguiente capitulo). Al final resulta una irregularidad regular.

El grado de irregularidad de un objeto no es otra cosa que su eficacia para ocupar espacio y resulta que hay líneas que son más eficaces que otras al ocupar espacio, como la curva de Koch que tiene dimensión 1.2618, ya que es un objeto entre la línea y la superficie. En cierta medida llega a doblegar la dimensión y obtener más de ella, como lo hace la curva espacio-tiempo en la Teoría de la Relatividad.

ALGUNOS MODELOS FRACTALES

El conjunto de Cantor (polvo de Cantor)

Este conjunto, o gráfico, está considerado como precursor de los fractales. Fue descrito por este matemático en 1983. Posee una serie de notables propiedades métricas, y es complejo de describir con el lenguaje de las matemáticas. Se trata de un conjunto difícil de aceptar conceptualmente porque se desvanece progresivamente hasta hacerse invisible (convertirse en polvo), aunque por otro lado se admite como una infinita sucesión de segmentos cuya longitud es distinta de cero.

fig. 1.7 polvo de Cantor

Se trata de un segmento de longitud fija al que se divide en tres partes, en él se suprime el tercio de segmento central. Este procedimiento se repite en los segmentos que resultan de cada división. Como se ve es un procedimiento recursivo, y el aspecto de un conjunto de Cantor de un nivel alto, es siempre el mismo independientemente del nivel de construcción en el que se encuentre. Se trata por tanto de lo que hemos definido como fractal.

La dimensión fractal del conjunto de Cantor es:

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D = log [N(L)] / [log(1/L)]=log[2] / log[1/(1/3)]=0'6309...

Pues dos objetos de longitud 1/3 del total cubren el segmento del nivel anterior de recursión.

Curvas poligonales de Koch.

Definidas por Helge von Koch en 1904, estas curvas se forman a partir de un segmento, por la sustitución de su tercio central por dos segmentos de longitud también un tercio, pero formando ángulos de 60º. Proceso que se repite recursivamente en cada segmento de las figuras que progresivamente se van obteniendo. Por tanto la poligonal de nivel 1 es un segmento:

Para NIVEL=1

Para NIVEL=2

Para NIVEL=3

Para NIVEL=4

Para NIVEL=5

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Para NIVEL=6

fig. 1.8 curvas poligonales de Koch obtenidas mediante iteracciones sucesivas

Copos de nieve de Koch

Los copos de nieve de Koch son generados por una sucesión infinita de adiciones. Empecemos con el limite de un triángulo equilátero con lado de largo 1; el primer paso en el proceso es remover el tercio central de los lados del triangulo. Después reemplazamos cada una de esas piezas por otras dos piezas de igual longitud dando origen a una estrella.

fig. 1.9 copos de nieve de Koch

Esta nueva figura tiene 12 lados cada una de 1/3 de largo. Ahora, nosotros iteramos este proceso. De cada uno de esos lados removemos el tercio central y lo sustituimos por un paso triangular formado por dos piezas de largo 1/9.Continuamos este proceso una y otra vez, obteniéndose el llamado copo de Koch. Claramente hay piezas en la figura que son autosimilares.

Para encontrar el número de lados del copo de Koch en la correspondiente etapa de construcción. Hacemos.

N0=3 donde N0= número de lados en la etapa 0 (es decir, al inicio);

N1=4*3=12

N2=4*12=42*3

...…Nn = 4Nn-1=4n *3

Este número aumenta rápidamente. Por ejemplo, N8 da 196,608 lados pequeños.

Ahora encontremos el perímetro de la figura en la n-esima etapa de construcción.

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Como la longitud de los segmentos en la etapa n-esima es 1/(3n), entonces el perímetro de la figura en esa etapa es Pn=Nn*Ln (Perímetro =número de lados por longitud de cada lado).

Así, Pn=Nn*Ln =(4n *3 )*1/(3n)= (4/3)n * 3

Triángulo de Sierpinski.

De la misma manera que los casos anteriores podemos producir un triangulo de Sierpinski, una figura inventada por el matemático polaco Waclaw Sierpinski en 1915.Para éste, se comienza con un triángulo equilátero. En su interior, se traza otro triángulo equilátero, cuyas puntas, o esquinas, deben coincidir con los puntos medios de cada lado del triángulo mayor. Esta nueva figura tendrá una orientación invertida con respecto a la primera. Seguido, se retira, o se elimina, de la figura ese nuevo triángulo invertido, tal que solamente se conserven los tres triángulos equiláteros menores—y similares—que se observan dentro del grande. Luego, realizamos el mismo procedimiento (de iteración) para cada triángulo pequeño, como resultado, un triangulo de Sierpinski.

     

     fig. 1.9 iteración de un triángulo de Sierpinski.

Hay que tener en cuenta que cuando decimos que se elimina ese nuevo triángulo no solamente significa que quitaremos ese triángulo del medio y nos olvidamos de él, sino que los puntos contenidos en esa área, específicamente, no pertenecen al conjunto de puntos comprendidos en el triángulo de Sierpinski; o dicho de otro modo, esa sección no pertenece al conjunto.

Técnicamente no hay una relación entre los campos de sistemas dinámicos y geometría fractal pero los fractales forman un sistema típico en el cual los sistemas dinámicos se comportan caóticamente.

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Unidad 2

Aplicaciones de los fractales a los materiales

Los fractales cada día incrementan su campo de aplicación en la ciencia en tales ramas como matemáticas, geografía, meteorología, música, ingeniería de fluidos, ciencia de materiales, entre otras.

Estas estructuras geométricas intervienen en las técnicas de análisis de fracturas mediante perfiles de superficies que surgen como consecuencia de la interacción con agentes externos a su estructura. Por ejemplo, algunas superficies e interfaces se forman como resultado de procesos de la deposición mientras que otras son producidas por los procesos de la recesión donde las superficies se contraen a través de la erosión. Algunas superficies son formadas por una combinación del crecimiento y de la recesión. Otros agentes son los tipos de carga a los que son expuestos,En el presente capitulo haremos énfasis a la descripción de superficies de fractura la cual se compone de fracturas propiamente dicho, fisuras, irregularidades intergranulares, etc.

ANÁLISIS DE FRACTURAS MECÁNICAS

- dimensión fractal en el análisis de fracturas mecánicas.

En años recientes, la geometría fractal se ha utilizado para caracterizar las formas irregulares de materiales fracturados usando una disciplina conocida como fractografía cuantitativa. Las características de la superficie de fractura (aquella que es expuesta a agentes externos como los esfuerzos) son determinadas por las características de los materiales y también por los tamaños iniciales de defectos y estados de tensión. La fractura es la ruptura de los enlaces atómicos, y la fractografía establece la relación entre el proceso de ruptura de los enlaces y la topografía de la superficie de la fractura.

Los procesos de fractura en sistemas metálicos y de cerámica tienen generalmente, en la microescala, un carácter (irregular) dando por resultado una geometría irregular de la superficie de la fractura.

Esta irregularidad de la superficie de la fractura refleja la multiplicidad de planos del deslizamiento y de la hendidura así como las variaciones en orientaciones del grano en materiales policristalinos. Las cantidades considerables de datos experimentales de superficies de la fractura demuestran esta clase de comportamiento de la fractura de una manera clara. Este hecho ha inspirado a varios investigadores en la literatura que apliquen análisis fractal en superficie de la fractura para poder interpretar la geometría de la superficie de la fractura en términos microestructurales. Además, se han hecho las tentativas más o menos acertadas de conectar las características fractales de la superficie de fractura con el comportamiento mecánico de materiales.

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Figura 2.1. Algunos de los perfiles que fueron obtenidos en el análisis de autosimilaridad. a) Imagen en 2-D de la figura,. b) diferentes perfiles

Como se definió en el capitulo 1,los objetos Fractales son caracterizados por su dimensión fractal, D, que es la dimensión en la cual la medida apropiada de un objeto fractal se hace. Por ejemplo, un cuadrado perfecto es bi-dimensional. En términos de la geometría fractal, un cuadrado con los "topes" que se señalan lejos de la superficie tiene una dimensión fraccionaria 2.D donde D es la parte fraccionaria de la dimensión fractal que representa el grado de aspereza del cuadrado. Un cuadrado con la dimensión de 2.001 (D = 0.001) es relativamente liso, pero un cuadrado que dimensión es 2.988 casi sería un objeto con volumen lleno.

El paso siguiente es relacionar la discusión antedicha con una superficie de ruptura. Un método para determinar la dimensión fractal para estos casos se conoce como la técnica de la isla de la raja. Por consiguiente, la longitud de la parte, o todo el contorno de una isla obtenida de pulir una superficie fracturada encajada se mide. La primera medida está en la superficie más alta de la fractura. Las medidas subsiguientes están en las superficies más bajas de la fractura. La selección del área que se medirá de la superficie fracturada entera es al azar. Los resultados experimentales han indicado que hay una relación definida entre el incremento dimensional fractal, D, y la dureza de la fractura de un material. Esta relación es representada por el factor crítico de la intensidad de la tensión, KIC:

KIC = E*a0*1/2(D)1/2 = Y(δ)*λf*c1/2 (2)

donde E es el modulo elástico o de Young, a0 es un parámetro medido en unidades de la longitud, Y(δ) es una constante geométrica que depende de la geometría de las condiciones de la grieta y de cargamento, λf es la tensión aplicada en la fractura y c es el tamaño de la grieta. La relación entre D y KIC es el resultado de la experimentación. La relación entre K IC y c se basa en la teoría de las fracturas mecánicas y de la corroboración experimental. Se ha utilizado el análisis fractal para estudiar el comportamiento de la fractura del nitruro de silicio (Si3N4), que se utiliza con frecuencia como material mecánico avanzado debido a sus altas características mecánicas intrínsecas en la temperatura elevada.

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Se ha observado que el análisis fractal es una técnica útil para correlacionar la dimensión fractal, D, a las características y a la topografía material de la superficie de fractura. Si una familia de materiales incluye solo cristales cualesquiera y materiales formado por enormes granos, o cerámica de cristal y materiales policristalinos de granos finos hay una relación directa (dentro de la misma familia) entre la dimensión fractal, D, y la dureza de la fractura. Algunos estudiadores han utilizado la técnica del contorno de la isla raja para medir las dimensiones fractal a partir de tres tipos de superficies de la fractura. Fue establecido experimentalmente que la superficie de la fractura tiene una dimensión fractal característica sin importar el estado de la tensión y la localización en la superficie de la fractura. Sus investigaciones, que eran consistentes con los resultados anteriores, validaron el uso del análisis fractal como un medio para caracterizar materiales.

-Energía de fractura

El acercamiento fractal puede también explicar cómo ocurren los procesos atómicos de la fractura y del desgaste. La energía macroscópica medida de la fractura es mucho más grande que lo calculada para romperse en enlace atómico. Las reglas del escalamiento para esta energía todavía no se han aclarado. Williford ha sugerido geometría fractal como acercamiento al escalamiento de la energía, para establecer una relación entre la energía de la fractura y la ruptura del enlace atómico. Por consiguiente, una conexión entre la porosidad y la geometría fractal primero fue introducida. Dentro de geometría fractal, el número de poros observados aumenta con una reducción de la escala de la observación. En realidad, la naturaleza de la porosidad depende de la escala. Esta porosidad crea una superficie de fractura áspera que en realidad es mucho más grande que el área computada para la fractura con ruptura de enlaces atómicos (cuando se asume que la superficie de la fractura es lisa). Williford analizaba los datos dúctiles de la fractura para una aleación de aluminio de baja-dureza (7075-T6) usando análisis fractal en el escalamiento de la energía:

E' = k * Dn (3)

donde E' es la energía de la fractura, D es la dimensión variable referente a la escala de observación, n es la dimensión fractal especifica al material, y k es la constante de proporcionalidad que depende del material.

La ecuación (3) considera la discrepancia entre la fractura calculada y las energías experimentales de la fractura, debido a la porosidad. El valor para n varía en función de la ductilidad del material, de n = 1.1- 1.3 para los perfiles de la superficie dúctil de la fractura de una aleación titanio hasta n = 2.3-2.5 para un acero de ultra fuerza, con valores más bajos correspondiendo a superficies más lisas y a una dureza más baja.

Las características microscópicas usadas en la actual experimentación eran las facetas de la fractura límite del grano (asumidas para ser mitad del tamaño de grano, en la gama 3-100 micrómetros). La siguiente escala de acercamiento, afectando la discrepancia entre la

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energía de fractura calculada y la energía de fractura experimental, implica dislocaciones de la escala del nanómetro. Williford no incluyó la dislocación en su análisis fractal.

En el acercamiento fractal, los materiales n-dimensionales conducen a las estructuras también n-dimensionales que son creadas en varias escalas mientras que se aplica la carga. n valores más pequeños corresponden a energías más pequeñas de la fractura y a estructuras más porosas. El acercamiento fractal condujo a la conclusión que la cerámica de alúmina, y los materiales frágiles en general, son más porosos en el nivel atómico que el metal de aluminio y otros materiales dúctiles.

Propiedades estadísticas de fracturas en materiales dañados

Entre los fenómenos que conducen a la formación de grietas en los materiales, las fracturas que se presentan de la desecación son extensas ambos en naturaleza, donde grietas de fango de diferentes longitudes están presentes en el paisaje y en la industria, donde la sequedad de la pintura y la disecación concreta se estudian intensivamente. A pesar de su importancia, el mecanismo y la dinámica de agrietarse por la disecación es, sin embargo, todavía confuso. Recientemente un trabajo experimental iluminó una vertiente sobre el problema. Según este trabajo, la fuente principal de la tensión es dada por la fricción local de la capa de material con el fondo del contenedor. Por otra parte, la escala característica de los patrones de la grieta varía linealmente con el grueso de la capa. En el límite cero del grosor los patrones de la grieta pierden su estructura poligonal (el tamaño característico de los polígonos es cero) y se convierten en fractales ramificados. En este texto introducimos extremadamente un modelo enrejado simplificado para la grieta de las capas finas del fango (o pintura). Muchos autómatas celulares modelan para la propagación presente en grietas como un ingrediente básico un campo magnético no local (campo eléctrico, corriente eléctrico) que conduce la formación de las grietas, actuando en una red sólida de los enlaces o de los sitios. En otros casos, el campo de la tensión se desarrolla guardando un mínimo de la energía del sistema. En tal caso los componentes de las ecuaciones vectoriales obtenidas son similares a las ecuaciones que describen la acción de un campo Laplaciano.En este modelo un campo Laplaciano no explicito está presente, puesto que la tensión es representada por un umbral que se rompe al azar local. En cada paso del tiempo, el enlace con el umbral más pequeño se quita del enrejado. Las correlaciones Corto-extendidas se introducen con un daño de los umbrales de los enlaces vecinos más cercanos a la unión quitado. En el definitiva este modelo que estamos conduciendo por la observación experimental susodicha nos dice que en una capa extremadamente delgada de fango o pintura, la única fuente de esfuerzo es la fricción local en el contenedor. Ningún campo Laplaciano aplicado globalmente parece estar presente. Por otra parte, puesto que el fango de sequía es una mezcla de un líquido y de una fase (generalmente amorfa) sólida, no hay relajación de largo alcance de la tensión presente, aunque la grieta creciente puede afectar las características del medio en su vecindad.

El modelo es definitiva como sigue: En un enrejado cuadrado una variable al azar apagada x I

se asigna a cada enlace i , donde los xI se extraen de una distribución uniforme entre 0 y 1. El enlace con el valor más bajo de la variable se selecciona y se quita. Entonces el daño se aplica, y se debilita a los vecinos más cercanos de los enlaces, es decir, un nuevo umbral x’ I

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se extrae con una probabilidad uniforme entre 0 y el valor anterior x I. Esto debe imitar la tensión que realza las extremidades próximas de la grieta. Entonces, el enlace siguiente con el valor mínimo del umbral se quita del sistema y un nuevo debilitamiento ocurre. El proceso continúa hasta que un racimo que se infiltra de fracturas divide la muestra en dos porciones separadas. Desde el punto de vista del fango que se agrieta, el enrejado de dos dimensiones representa una capa muy delgada del fango (pintura), y el desorden apagado considera la tensión local inducida por la disecación no homogénea de la muestra. La dinámica se asume para ser cuasiestática, puesto que asumimos la evolución de grietas en la disecación del fango por ser un proceso lento. En este modelo hemos eliminado la presencia explícita de un campo externo (tensión aplicada) y de la respuesta del material (tensión de enlaces).La única cantidad presente es el umbral que se rompe, cuya dinámica se elige para reproducir la evolución de grietas. Esto simula la presencia de un campo local de tensión, actuando no en los límites sino directamente en cada enlace.A pesar de la simplicidad de esta regla, los resultados son algo interesantes. Se han realizado simulaciones numéricas, con la simetría cilíndrica (condiciones de límite periódicas en la dirección horizontal) para varios tamaños L del sistema. La dinámica para tan pronto como aparezca una grieta que atraviesa el sistema en la dirección vertical aparece. En figura 2.2 se muestra un típico racimo que se infiltra.

La dimensión fractal del racimo que se infiltra es computarizada con un método de “contado en caja”, y encontramos D = 1.77±0.002 para todos los valores L. Restringimos el análisis al racimo que atraviesa para reducir los efectos de tamaño finito presentes para los racimos más pequeños. Además, la distribución de los racimos finitos muestra una clara ley de la energía con un exponente σc =1.54±0.002 (vea la figura siguiente)

Fig. 2.2 Una típica fractura que atraviesa obtenida con el modelo. En las simulaciones nos ocupamos de la condición de frontera periódica en los lados, es decir a la izquierda y a la derecha la frontera coincide.

El interés reciente se ha centrado en la emisión acústica para entender si la ley de la energía en experimentos y en los modelos se relaciona con la criticalidad auto-Organizada (SOC, de las siglas en ingles). La presencia del SOC significaría que la dinámica de fracturas conduce la muestra a un estado constante donde la variación pequeña del campo externo puede accionar la reacción en cualquier escala de la longitud. En detalle el campo externo en este caso es la tensión aplicada, y la respuesta de la muestra se puede considerar como la energía lanzada (emisión acústica) por una avalancha de grietas, donde la avalancha

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significa una serie conectada causal de interrupciones. En esto simplificado modelo la tensión externa se puede considerar constante, puesto que el único cambio después de cualquier sola interrupción es el daño de los vecinos más cercanos. Entonces supervisamos, como una medida para la emisión acústica, el tamaño de una avalancha que es definida como sigue. Supongamos que un enlace i crece (es decir está quebrado) en el tiempo t; éste es el iniciador de una avalancha, que es definido como el sistema de acontecimientos geométrico y causal conectado con el inicial (enlace i). La conexión “Causal” se refiere al debilitamiento siguiendo cualquier enlace en rompimiento. En detalle, cuando el enlace i crece en el tiempo t, la avalancha se enciende en el tiempo t + 1,si un primer enlace j vecino de i es quitado. En el tiempo t + 2 la avalancha aumenta si un enlace k crece, donde k es un primer enlace vecino de i o j, etcétera. En la fig. 2.3b se muestra un diagrama lineal logarítmico de la distribución de la probabilidad del tamaño de la avalancha, contra el tamaño de muestra L. Conseguimos, después de un transeúnte de la ley de la energía, una distribución exponencial que señala que un tamaño característico exista para las avalanchas. Este resultado para las avalanchas es similar a ésos obtenidos para un modelo escalar de la interrupción dieléctrica, pero difieren del comportamiento de la avalancha en modelos de la fractura. La razón de ésa es doble. En primer lugar, en la actual definición de una avalancha, el umbral se cambia solamente para los vecinos más cercanos. Esto introduce una escala típica de la longitud, mientras que la otra definición considera como el umbral el cociente entre el campo y la resistividad, dando así la posibilidad de correlaciones en escalas grandes. En segundo lugar, en este modelo crecido los enlaces se quitan del sistema.

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Figura 2.3. a) distribución de probabilidad Dc(s) del tamaño de los racimos vs. el tamaño, para L = 64,128,256 junto con al menos un cuadro ajustado. b) distribución de tamaño de la avalancha D(s) para L = 128,256 mientras que la distribución de racimos obedece la ley la energía, la distribución de la avalancha es exponencial.

Esto representa una diferencia substancial con los modelos del SOC presentados en la literatura. Por ejemplo, en un simple modelo de juguete del SOC debido a Bak y a Sneppen (donde un similar esta presente para restaurar el umbral) la dinámica produce claras leyes de energía en la distribución de la avalancha. Allí, cada sitio (especie) suprimido es substituido por uno nuevo y no es definitivamente quitado. Esto es un punto crucial, puesto que el comportamiento de la ley de la energía en la presencia de un campo escalar parece estar relacionado con una “regla de reconstrucción "que permite se ocupe de un sistema donde los enlaces no se quitan sino que cambian su estado. Entonces solamente en el caso de la deformación plástica, uno está en presencia de un estado constante.

Desde que la evolución de la grieta se toma para ser extrema, es decir, el enlace con el umbral mínimo se quita del sistema, es permitido aplicar una herramienta teórica reciente, “RTS” (estadística del correr del tiempo) un modelo para predecir la probabilidad de la interrupción de un enlace y entonces de la resistencia del medio entero. Podemos asociar a cada enlace j una densidad de probabilidad efectiva p j,t (x) para el xj del umbral condicionado por la historia del crecimiento. Podemos escribir la probabilidad de crecimiento del enlace i en el tiempo t como:

μi ,t=∫0

1

μ i , t ( x )dx[∏k (≠i )

∂Ct

(∫x

1

pk ,t ( y )dy ) ](1)

En este caso (contrario a la filtración de invasión) ∂Ct es el conjunto sistema de enlaces no quebrados. Observe que en el tiempo t el número de enlaces en ∂Ct es (2L2-t).es decir, el total en laces 2L 2 con lados L en un enrejado cuadrado menos el numero de enlaces quebrados antes del tiempo t.Ahora podemos actualizar cada pj,t(x) acondicionándolos al evento de crecimiento más ultimo, lo que da pj,t+1(x). Llamamos mi,t+1(x) a la densidad efectiva en el tiempo t +1 del ultimo enlace crecido i. este es dado por:

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μi ,t +1 ( x )=1μi , t

pi ,t ( x )[∏k (≠i )

∂Ct

(∫x

1

pk , t ( y )dy ) ](2)

Para los enlaces restantes tenemos que distinguir entre los debilitados (los vecinos más cercanos de i) y el resto. Para los últimos tenemos

p j , t+1( x )=1μ i , t

p j , t( x )[ ∏k (≠i )

∂Ct

(∫x

1

pk , t( y )dy ) ](3)

mientras que para los anteriores obtenemos

p j , t+1( x )=∫0

1

θ( y−x )/ y { 1μi , t

p j , t( y )∫0

y

pi , t( z )dz[ ∏k (≠i , j )

∂Ct

(∫x

1

pk , t(u)du ) ]}(4)

Las ecuaciones (1)-(3) coinciden con los introducidos para el acercamiento de RTS a la filtración de la invasión (aparte de la diferente definición de la interfase de crecimiento ∂C t. La ecuación (4), por otro lugar, es nueva y se refiere a los vecinos más cercanos que se debilitan. Las ecuaciones (1)-(4) permiten que uno estudie la dinámica determinista extremadamente como proceso estocástico. En detalle,μi;t puede ser utilizado evaluar sistemáticamente el peso estadístico de una trayectoria fija del crecimiento, mientras que pj,t(x) almacena la información sobre la historia del crecimiento. Una cantidad muy importante para caracterizar las propiedades de la dinámica es la distribución empírica (o histograma) de umbrales no quebrados. Esta cantidad es definida como

ht ( x )= ∑j∈∂C t

p j , t (x )(5)

Donde ht(x)dx es el número de enlaces no quebrados entre x y x+dx en el tiempo t.

Considere el efecto del crecimiento del enlace i en el tiempo t en esta cantidad

ht +1 ( x )=h t( x )−mi , t+1( x )−∑j(i)p j , t ( x )+∑

j ( i )p j , t+1( x ) ,

(6)

donde j(i) indica el conjunto vecino de enlaces j no quebrados más cercano a i y mi,t+1(x) y pj,t+1(x) están dados respectivamente por la ecuación 2 y la ecuación 4.para evaluar las

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propiedades estadísticas en orden, hemos promediado todas las posible curvas de crecimientos hasta el tiempo t+1. introduciendo la notación ‹…›para este promedio el promedio en la ecuación 6 puede ser representada como

⟨ht+1( x )⟩=‖∂C t‖φt +1 ( x )=[N−( t+1)]φt+1 (x ), (7)

donde N=2L2 es el numero total de enlaces en el racimo y φ t representa la distribución del umbral sobre los enlaces no quebrados en el tiempo t. por la ecuación (6) la principal

dificultad surge en la evaluación de ⟨mi , t+1( x )⟩ y

⟨∑j ( i )p j , t+1( x )⟩

. Siguiendo con el análisis podemos escribir

⟨mi , t+1( x )⟩≈ [N−t )]φt ( x )e−(N−t )∫

0

∞φt ( y )dy

, (8)

Asumiendo que x es un número independiente del número n t de enlaces debilitados en el

tiempo t y aplicando el mismo sentido de aproximación usado para obtener la ecuación 8, tenemos

⟨∑j ( i )p j , t (x )⟩=nt φt ( x ) ,

(9)

mientras que para los enlaces recocidos obtenemos después de un análisis:

⟨∑j ( i)p j , t+1( x )⟩=

nt (N−t )N−t−1 ∫

x

1 φ t ( y )dyy

[1−e−(N−t )∫0

yφt ( z)dz ]

(10)

entonces podemos escribir la siguiente ecuación para φ t+1( x ) :

φ t+1( x )=N− t−ntN−t−1 φ t( x )−

N− tN−t−1 φ t( x )e

−(N−t )∫0

∞φ t( y )dy

+ntN−t

(N−t−1)2∫x

1 φt ( y )dyy

[1−e−(N−t )∫

0

yφt ( z)dz ]

… (11)

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note que igual en la filtración N-t es un número largo. Por esta razón, los términos en la ecuación 11 la cual contiene el exponencial que es insignificante apara esos valores de x por lo cual es finito (mas largo que 1/(N-t)). Es fácil demostrar que el limite continuo de la ecuación 11 para tales valores de x es invariante bajo el escalamientoL→AL (es decir, N→a2N) y a→a2N ; este resultado es basado en la suposición de que

nt(L) = na2t(aL)

La simulación numérica sugiere la siguiente forma de escalamiento para n t(L):

nt (L)=nmax [1

1+t /AL2]β ,

donde β =0.23±0.002 y nmax = 6 es el número coordinado de racimos. Esta forma para n t la ecuación (12).

Podemos entonces hacer tres predicciones importantes: En primer lugar, nosotros encontramos ambos analíticamente, de la solución numérica de la ecuación (11), y de simulaciones de computadora una discontinuidad en el histograma (la siguiente figura), señalando que el sistema de i se desarrolla de una manera por ejemplo de quitar todos los enlaces con el umbral más pequeño que un cierto valor crítico. En segundo lugar, de las características de la simetría de la ecuación (11) deducimos que el número tsp(L) de enlaces quebrados en la filtración el tiempo es proporcional a L2, aunque el racimo que se infiltra es fractal. Se deduce este resultado suponiendo que en el tiempo de la filtración la forma del histograma es independiente de L lo cual es verificado por las simulaciones numéricas (fig 2.4a). El análisis numérico de este resultado se presenta en la fig 2.5a. En tercer lugar, presentamos un resultado cualitativo para el valor medio de los umbrales (es decir la

resistencia del material) ⟨ x ⟩( t ). Para tiempos individualizados tenemos.

⟨ x ⟩( t+1)=(1−nt−2

2(N−t−1 ))⟨ x⟩ ( t )+

1+nt / [2(N−t )]N− t−1 ∫

0

1

e−(N−t )∫

0

xφt ( y )dy

dx(14)

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Fig. 2.4. {solución de la ecuación (11) para el Φt (x) del histograma en el tiempo que atraviesa (b), comparado con las simulaciones (a).

Fig. 2.5. a) Tiempo que atraviesa contra el tamaño L del sistema . Podemos ver un buena relación con la ley de escalamiento tsp (L2) . b)solución de la ecuación 14 comparada con la simulación numérica

Es posible demostrar que ⟨ x ⟩( t+1)<⟨ x⟩ ( t ) aunque ⟨ x ⟩( t ) es exponencialmente más pequeño en N-t.Esto significa en promedio que el medio se debilita durante la evolución incluso si el enlace más débil es en cualquier paso del tiempo. En la fig 2.5b demostramos la evolución del

tiempo de ⟨ x ⟩( t ) obtenida de las simulaciones de computadora, comparadas con la solución de la ecuación (14. Nuestros resultados analíticos están en acuerdo agradable con las simulaciones numéricas.

-Superficies de fracturas en aluminio

Para estas pruebas el material empleado consistió en una aleación de aluminio (a319). La superficie fracturada se obtuvo mediante impactos sucesivos, y su análisis se desarrollo mediante el empleo de tres técnicas: análisis mediante microscopio de fuerza atómica, perfilometrìa y microscopia electrónica de barrido. Esta ultima técnica toma una cara de la

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muestra fracturada y la recubre con una capa de níquel para después pulirse en un plano perpendicular a la dirección de propagación de la fractura. De la técnica de microscopia electrónica se obtuvieron imágenes que proporcionaron el análisis de los perfiles de altura.

La técnica de perfilografía se utilizó para cubrir escalas de longitud del orden de milímetros. Aquí, se utilizo el método de ventana de ancho variable; la cual consiste en dividir un perfil de longitud L en ventanas o intervalos de ancho r. Se obtiene la desviación estandar (D) de las alturas y se obtiene el promedio de todas las bandas posibles (con r constante), mediante la siguiente formula.

P =(1/N )∑i=1

N

Ddonde N es el número de puntos de altura obtenidos.

el exponente de rugosidad ζ se obtiene de un grafico logarítmico de P-vs-r de acuerdo con la ecuación: P = rζ

Fig 2.5 ejemplos de perfiles de altura

Aquí, el criterio a evaluar es la diferencia entre la altura máxima y mínima Δz calculada en cada banda entre todas las bandas posibles.

P =(1/N )∑i=1

N

ΔZ

el exponente de rugosidad se obtiene también de un grafico logarítmico de Δz -vs-rde acuerdo con la ecuación

Δz = rζ

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fig 2.6 Imagen de Microscopia Electrónica de Barrido mostrando una capa de Niquel sobre una superficie de aluminio y abajo el perfil de altura correspondiente

Estas técnicas se aplican a otros materiales como plásticos y cerámicas donde el grado de cristalinidad afecta al exponente de rugosidad

IRREGULARIDAD EN LA MICROESTRUCTURA DE LOS MATERIALES

Las estructuras de los materiales se describen mediante “granos” (definidos en la sección anterior), generalmente las fronteras de estas partículas son irregulares; un ejemplo de ello, es la siguiente figura que representa un grano de acero inoxidable, vista mediante microscopia óptica con bajo índice de magnificación (baja ampliación microscópica de la muestra), la frontera del grano no se muestra irregular, sino que las líneas de la frontera son aparentemente rectas.

Fig 2.7 Fig 2.8Fig.2.7 Frontera de grano irregular en una muestra de acero inoxidable.Fig.2.8 Microestructura de un acero inoxidable; las fronteras muestran ser aparentemente rectas.

Así, al observar las microestructuras de la mayoría de los materiales en grados de magnificación cada vez mayores, se concluye que la longitud de las fronteras aumenta.

Si hacemos un grafico cuyos ejes muestren la resolución utilizada para hacer la medición contra las medidas obtenidas para un grano de acero (llamado gráfico de Richardson), se observara que la pendiente de una recta asintótica aumentara debido a la irregularidad de la frontera del grano.

En la siguiente figura se observa una muestra de acero con dos dimensiones fractales en intervalos de resolución diferentes. Aquí, a la dimensión que se muestra en el intervalo de menor resolución (a la derecha) se le llama dimensión fractal de estructura, pues describe la morfología general del grano. la

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dimensión fractal de mayor resolución (izquierda), se llama dimensión fractal de textura y nos proporciona el grado de irregularidad de los detalles finos de la frontera de grano.

Fig.2.9. Gráfico de Richardson para un grano que manifiesta dos dimensiones fractales; la de estructura (en el intervalo de menor resolución) y la de textura (en el intervalo de mayor resolución)

Se puede analizar la dimensión fractal mediante la relación D = 1-m ; donde m es la pendiente de la curva de regresión (segmentos de recta izquierdo y derecho).

-coeficiente de rugosidad

Este coeficiente se relaciona con la dimensión fractal mediante la siguiente expresión D = 3-H donde H es el coeficiente de rugosidad.En la siguiente figura se muestran los perfiles obtenidos de las superficies de fracturas de una aleación de níquel con dos tamaños de granos diferentes. En esta figura, la diferencia de tamaños de los granos provoca un cambio en la amplitud de las rugosidades, pero el coeficiente de rugosidad permanece constante e igual a 0.8 aunque la dimensión fractal sea diferenta para ambos casos. cabe añadir, que aunque el tamaño de los granos varía por esfuerzos externos, los cambios en las fronteras no modifican significativamente la dimensión fractal

Fig 2.10.Perfiles sobre superficie de fractura en muestras de Niquel con diferentes tamaños de grano.

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CARACTERÍSTICAS ÓPTICAS DE LOS MATERIALES

En algunos casos, fractales se pueden utilizar para ayudar a caracterizar las características dieléctricas y ópticas de estructuras fractales porosas. Ciertos procesos ópticos de formación de capas exigen la evaporación de partículas metálicas ultra finas en un gas inerte. Las partículas formadas así, se unen en los racimos grandes que se pueden describir por una dimensión fractal, la cual se compara escaladamente con la dimensión calculada. La evaporación del gas es una técnica usada con frecuencia para producir partículas pequeñas del metal. La evaporación ocurre en algunos gases inertes (tales como helio, argón, o nitrógeno. Los átomos del metal chocan con otros átomos que pierden así su energía en “racimos”. La fusión ocurre en altas temperaturas (200-400°C). En temperaturas más bajas, los racimos forman los agregados muy porosos que se pueden transportar con la convección del gas en el compartimiento de la evaporación y se pueden recoger en un substrato. Para aclarar si existe una estructura fractal cuando ocurre la deposición de los agregados del metal, G. A. Niklasson examinó las micrografías de capas amorfas depositadas de aluminio, de cromo, y de partículas del níquel. Una cantidad pequeña de oxígeno estaba presente, para obtener un óxido que cubría las partículas del metal. Cierta área del micrografía fue elegida para calcular las distancias de centro a centro entre todas las partículas del área seleccionada. Determinando la función de correlación del par, fue demostrado que las capas gas-evaporadas de varias partículas del metal se pueden describir por una dimensión fractal en la gama 1.75-1.90. Finalmente, una teoría de la filtración fue derivada del análisis fractal, relacionando la fase sólida y el espacio poroso con el racimo que se infiltraba.

Niklasson ha utilizado teoría fractal de la dimensión para predecir las características ópticas de capas gas-evaporadas. Las características ópticas de capas gas-evaporadas tales como partículas con recubrimiento de óxido, y la conductividad eléctrica de las capas puras del metal fueron descritas por una dimensión fractal en la gama 1.75-1.90 para las capas que consistían en varias partículas del metal.

ANÁLISIS FRACTAL DE LA MICROESTRUCTURA DENDRÍTICA DE UNA ALEACIÓN DE ALUMINIO.En el siguiente análisis se utilizó una muestra de aleación de aluminio (A319) igual que en el caso anterior. Esta muestra se llevó al microscopio óptico para obtener imágenes a diferentes grados de magnificación; estas imágenes se llevaron al equipo analizador de imágenes para medir las áreas y perímetros de las dendritas contenidas en la muestra. La dimensión fractal se obtuvo a partir de la relación área-perímetro.

Una dendrita se asemeja a un árbol, figura siguiente de modo que su corte longitudinal mostrará la longitud del tronco y ramas. Su corte transversal mostrará el diámetro del tronco.

Para su análisis se utilizó un microscopio óptico metalogràfico conectado a un analizador de imágenes a diferentes magnificaciones. Para una magnificación de 50 X, se obtuvo una imagen; para una magnificación de 100X se obtuvieron 4 imágenes, para 200X, 16 imágenes y para 400X, 64 imágenes. Aunque el numero de imágenes variò, el campo de observación fue el mismo para dendritas pequeñas, presentando asì, un comportamiento fractal.

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En el proceso se utilizó un factor de calibración (δ) del equipo de observación, el cual proporciona una medida de la resolución utilizada a diferentes grados de magnificación. Los valores obtenidos para ese factor fueron

δ MAGNIFICACIÓN

1.904

50X

0.952

100X

0.479

200X

0.236

400X

El factor de calibración (o de forma) se puede relacionar con el área y perímetro de una dendrita mediante la relación:

δ = P/A1/2

para poder encontrar así la dimensión fractal. Se realizaron gráficos cuyos ejes contienen P contra A1/2 y la dimensión fractal se obtuvo usando la relación

log(P/ δ) = D log(A1/2/δ) + D log (δ) ,

donde D log(δ) es una constante (la ordenada al origen de una recta) obtenida por medio de un gráfico logarítmico A1/2 contra P/ δ. La dimensión fractal es la pendiente de dicha recta.

Fig.2.11 esquema de una dendrita mostrando el eje principal y las ramas.

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Fig. 2.12 obtención de la dimensión fractal a partir de la relación Área-Perímetro.

En las siguientes figuras se muestra el corte longitudinal (fig 2.13) y corte transversal (fig 2.14b) para las dendritas, cuyas dimensiones fractales fueron 1.41 y 1.65, respectivamente.

Fig.2.13 Imagen global longitudinal de un cúmulo de dendritas

Fig. 2.14 Imagen global transversal de un cúmulo de dendritas

PROCESO DE DEPOSICIÓN ELECTROQUÍMICA

El siguiente ejemplo explora las superficies que son obtenidas por la deposición electroquímica. Dependiendo del uso, este proceso puede ser cíclico en naturaleza. Tal caso son los ciclos internos de carga y descarga experimentados por las baterías recargables. En las baterías, el metal del ánodo se consume con la liberación de los iones del metal de su superficie. Estos iones entonces se mueven a través del electrolito donde se depositan sobre el cátodo. En las baterías recargables, el potencial electromotor puede ser invertido. Esto es, se libera el material acumulado del cátodo y permite a la parte posterior ser depositado

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nuevamente sobre el ánodo. La falta de baterías ocurre cuando el suficiente metal se acumula en un electrodo para inducir el mecanismo. La comprensión de este comportamiento cíclico con análisis fractal puede conducir al diseño de la prueba y de la mejora aceleradas del funcionamiento de tales sistemas.

Dos investigadores de la universidad de Rochester; Yonathan Shapir y Jacob Jorne, desarrollaron el modelo cíclico basado en sus observaciones del crecimiento de sistemas orgánicos e inorgánicos. Notaron una correlación entre estos sistemas y los conceptos fractales. Específicamente, observaron que el crecimiento en colonias bacterianas, erosión y sedimentación en los ríos, e incluso crecimiento del tumor se podría modelar usando conceptos fractales. Shapir y Jacobs concluyeron que es posible aplicar el acercamiento del escalamiento a los procesos cíclicos del crecimiento, con tal que el número de ciclos, n, substituye a la variable del tiempo, t, en las relaciones del escalamiento. Su grupo de investigación generalizó el comportamiento del escalamiento de procesos cíclicos relacionándolos con el escalamiento de los procesos primarios o de los procesos genéricos más simples del crecimiento. El paso siguiente en sus investigaciones era aplicar sus metodologías para examinar el crecimiento cíclico del metal durante ciclos múltiples de la disolución de electro- deposición y solución de la plata. En este caso, el análisis del proceso del electro-deposición se utiliza para establecer el comportamiento del escalamiento del crecimiento superficial. Para lograr esto, los ciclos múltiples fueron conducidos usando los substratos de plata vapor-depositados. La aspereza de la superficie crecida se comportó en función de n, el número de ciclos, variando, en este caso, a partir la 1 a 20.

La línea recta en la figura 2.15 indica que los asimientos de la teoría del escalamiento que proporciona el tiempo es substituido por el número de ciclos.

Fig.2.15 rugosidad vs. El número de ciclos en el crecimiento cíclico electro-químico de la plata.

En la figura 2.16 indica que la aspereza de la superficie de plata aumenta con el número de los ciclos (1, 5, y 20).

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Fig.2.16. la rugosidad de la superficie de la plata se incrementa con el número de ciclos.

-Técnicas de deposición PVD y MBE

La fractura produce superficies características así que este fenómeno es también descrito mediante el análisis fractal. Debe ser observado que las superficies pueden cambiar sus características morfológicas por la exposición a las influencias o a los ambientes externos. La deposición de una película fina, marca un caso para la teoría fractal. Antes de proceder, déjenos primero examinar dos diversos métodos para depositar las películas finas, el epítasis de viga molecular (MBE;”Molecular Beam Epitaxy”) y la farfulla. MBE es una técnica usada para depositar las capas altamente pedidas en los substratos del semiconductor . Este proceso se emplea típicamente para desarrollar material electrónico de alto rendimiento. Una película depositada usando MBE está de la calidad extrema que posee una estructura cristalina casi perfecta. Se pone en contraste con esto otra técnica que también se conoce como deposición física del vapor (PVD). Similar a MBE, PVD puede depositar las películas sobre un substrato pero la calidad y el propósito de estas películas son sumamente diferentes. MBE deposita los átomos en un proceso controlado que permita que la película tenga una estructura cristalina. Inversamente, PVD bombardea una superficie con un plasma que acelere los iones a tal velocidad que se convierten en parte del substrato. La diferencia principal en este método es que las plasmas tienen una tendencia a grabar al agua fuerte o a quitar el material de la superficie mientras que en el mismo tiempo que agrega el nuevo material.

La altura de la superficie obtenida por la deposición de partículas es representada, en cualquier momento, por el valor de una función h(x). Esta función esta auto-afinidad si obedece: h(x) ≈ b-αh*(bx) , (1)

donde α se llama el exponente de la aspereza de la auto-afinidad, o exponente sostenedor y este cuantifica la aspereza de la función auto-afinidad.

La ecuación arriba indica que el crecimiento es diferente vertical y horizontalmente. Verticalmente, el escalamiento es representado por el factor bα (h → h*bα ), y horizontalmente el factor de la transformación es b(x→bx ). Los factores de escalonamiento, b y bα son tales que el objeto transformado (en la nueva generación) traslapa el objeto en la

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generación anterior. Por consiguiente, el exponente de la aspereza α es suficiente para caracterizar la morfología de superficies ásperas (aunque de manera mas complicada, al multi-afinar las interfaces no se siguen siempre las mismas leyes del crecimiento). Muchos de los ciclos de crecimiento y de la recesión se pueden describir con la ayuda de soluciones fractales. Según lo discutido arriba, algunos procesos de la deposición de la película incluyen la acumulación y la subdivisión cíclicas de materiales.

Uso de la adición de fractales al diseño y proceso de compuestos de matriz de polímeros

Los fractales se usan para modelar y predecir micro estructuras y características materiales en el diseño y el proceso de los materiales compuestos de matriz de polímeros. En una aplicación, los fractales se utilizan para describir la topografía de la superficie áspera de las cintas termoplásticas que son usadas en la fabricación de compuestos de matriz termoplástica.

Crítico en el proceso es el desarrollo de la vinculación diedra entre las capas termoplásticas que entran en contacto cuando se sujetan al calor y a la presión. La vinculación interlaminar, alternadamente, depende del desarrollo diedro del área de contacto que se presenta de aplanar las estructuras de la aspereza de la superficie durante el proceso. El grupo de investigación del doctor Pitchumani ha desarrollado modelos utilizando las características fractales de estructuras ásperas para describir la evolución en enlace interlaminar de la fuerza del contacto durante el proceso de los compuestos de la matriz termoplástica. Los modelos se han utilizado en el diseño óptimo de materiales y de parámetros del proceso. Otros usos de fractales han consistido en el moldeado de compuestos líquidos y en la evaluación de las características termales de materiales compuestos.

Red fractal del nanoporo del Carbón

El carbón activado, material poroso semejante del carbón de leña, realiza funciones industriales importantes tales como aire de filtración, quitando los vapores tóxicos, y purificando nuestro alimento y bebidas. Por esa razón, una colaboración de científicos (de las universidades de Missouri y New México) precisó aprender más sobre la estructura interna del material. A su sorpresa descubrieron una red fractal de canales uniformes, el cuál es quizás el primer poro fractal documentado. Los investigadores toman hoyos de olivas verdes, "los carbonizan " y después los tratan en vapor a 750 0C. Cómo es irónico, en este caso hay agua utilizada normalmente para apagar el fuego, por lo tanto, se sostiene la combustión proporcionando el oxígeno para quemarse con la superficie del carbón.

Lo que sucede no es el retiro de capa tras capa o el tallado de los agujeros de varios tamaños sino que por el contrario ocurre el derrumbamiento de las paredes del poro para formar los canales del tamaño uniforme, cerca de 2 nm de par en par. Este proceso de oxidación entonces ramificará precipitadamente en una nueva dirección.

Cuando está todo sobre el sólido se encuentra con un laberinto gobernado por una geometría fractal. Dispersando rayos x del material se establece una "dimensión fractal" de

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casi 3, significando que la superficie de la red interna del poro llena prácticamente todo el espacio interior. La naturaleza fractal de formas sólidas se ha medido muchas veces, pero ésta pudo ser la primera vez que el mapa fractal se ha realizado para el espacio vacío dentro de un vacío, a saber la red del nanoporo. (Para la comparación del poro, de la superficie, y de los fractals sólidos, vea las siguientes figuras.) El área superficial de este gran reino interior se resuelve cerca de 1000 metros cuadrados (o a un campo del balompié) por gramo.

Los investigadores cuentan con que el metano y otros combustibles se puedan almacenar en esta clase de estructura (las moléculas son tomadas fácilmente en los callejones de ramificación por la atracción débil de las fuerzas inducidas "van Der Waals" del dipolo eléctrico), y en las presiones mucho menores que las 200 atmósferas necesitadas para almacenar el metano en los cilindros de acero. La separación del gas puede también ser lograda porque los canales estrechos son negociados más fácilmente por una cierta especie molecular que otras. El almacenaje de la electricidad pudo ser logrado construyendo los condensadores realzados por capas intermedias de redes activadas del carbón llenadas de un líquido que conducía iónes.

Fig 2.17.un sólido puede tener una superficie fractal en tres direcciones diferentes. En esta superficie fractal, solo el contorno rojo es fractal.

Fig.2.18.Esta figura es un sólido fractal (color negro) y su superficie es fractal

Fig. 2.19.Poro fractal con espacios entre poros (color blanco) y su superficie fractal (rojo).

Los fractals superficiales y los fractals totales se han sabido durante mucho tiempo. Los científicos ahora han descubierto el primer caso de un poro fractal. El sólido es carbón, y el espacio de poro fractal fuerza las moléculas (círculos azules) para moverse a lo largo de una trayectoria fractal. La trayectoria fractal asciende al movimiento en un espacio con la dimensión fractal.

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RELACIÓN ENTRE LA DUREZA DE LA FRACTURA DE MATERIALES FRÁGILES CON LA DIMENSIÓN FRACTAL DE SUPERFICIES FRACTURADAS

Experimentalmente se ha mostrado que la fuerza critica de la extensión de la grieta o la dureza de la fractura se incrementó con el aumento de la dimensión fractal de la superficie fracturada, la dureza es lineal en relación con la dimensión fractal de las superficies fracturadas. Esta relación basada en fracturas lineales elásticas se asienta en muchas medidas experimentales para materiales frágiles. En los materiales, el comportamiento fractal de las superficies fracturadas es la contribución total de muchos procesos elementales. Cada microestructura elemental contribuye a su comportamiento fractal o no fractal en su gama de escalas.

Conclusión

La ciencia de Fractal es un campo rápidamente de desarrollo. Sin embargo, la cuestión de sí el nuevo concepto de la invariación de la escala puede conducir mejor al resto de los científicos y tecnológicos importantes. Los principios de la invariación abstracta de la escala crean el modelo para una teoría del grupo, poniendo así conceptos fractales en esa categoría. En las aplicaciones, observamos la gran área de influencia de la dimensión fractal en lo que respecta al análisis de materiales, incluyendo fracturas, grietas, estudio de perfiles, etc.

La presente tesina, hizo un análisis del basto campo estudiado hasta ahora en los materiales y de la creciente influencia que cada día lleva la intervención fractal para explicar la formación sucesiva de fenómenos naturales. Se analizaron varias técnicas para determinar la dimensión fractal y relacionarla así con las características de: propagación de las fracturas, los perfiles obtenidos al analizar la rugosidad y las técnicas del campo de la química para formar nuevos materiales a partir de la deposición de partículas en diferentes formas.

REFERENCIAS:

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www.sciencedirect.com

REVISTAS Y ARTICULOS :

Revistas

- Regular & Chaotic Dinamic- Chaos, solitions and fractals

Volumen 24, issue2, april 2005, pages 423, 441 pages 443-445- Title: The quantitative analysis of fracture surfaces using fractals

Autor: Alexander, A, J.Publicación date: 1998 jun 01

- Fractal Analysis of fracture surfaces in ceramic materialFeb 13, 1998

Articulos: Fractales: fundamentos y aplicaciones

Parte II: Aplicaciones en ingeniería de materialesCarlos Guerrero, Virgilio Gonzáles

Geometría de fractales y autoafinidad en ciencia de materialesOsvaldo Ortiz MéndezMoisés Hinojosa RiveraApplication of fractals to material science Brigitte Battat, David Rose

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