Un Experimento Con Agua

5/11/2018 Un Experimento Con Agua - slidepdf.com

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTAVICERRECTORADO ACADÉMICO

COORDINACIÓN DE EVALUACIÓN ACADÉMICAAREA DE MATEMATICA. CENTRO LOCAL CARABOBO

LAPSO 2008-2

TRABAJO UNICO

TEMAS

1. Dada una botella llena de agua. El agua fluye por un hueco a cierta alturadel fondo de la botella.

2. Seleccione uno o varios de los contenidos del Liceo Bolivariano

NOMBRE DEL ESTUDIANTE: ALBARO JOSE DUGARTE

CEDULA DE IDENTIDAD: V-4.492.667

CORREO ELECTRÓNICO: [email protected]

CE NTRO LOCAL: CARABOBO

CÓDIGO DEL CENTRO LOCAL: 0700

ASIGNATURA: MATEMATICAS Y CIENCIAS

ÓDIGO DE LA ASIGNATURA: 532

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mailto:[email protected]

mailto:[email protected]



Contenido Parte 01

Construir un modelo matemático de una situación que permita describir el

comportamiento (cualitativamente) de la altura de la superficie superior delagua respecto al tiempo.

Parte 02

Planificar la inclusión de la aplicación de las matemáticas para el caso particularde la enseñanza de un contenido durante una semana. La planificación debeincluir las estrategias de enseñanza, algunos ejemplos de los problemas que leserían propuestos a los estudiantes y de la manera en que se realizará laevaluación.

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Parte 01

Un experimento con agua

“Cuenta la leyenda en tierras de Holanda que Hansje Brinker, unniño de tan solo 12 años, con su dedito impidió que un dique serompiera e inundara la región”…pues aguantó con su indicito una

gran parte de mar del norte…

Anónimo

PreliminaresEl estudio cualitativo del desagüe (escape o evacuación) de una botella llena de agua a travésde un orificio debe ser mostrado a los estudiantes de una manera creativa, amena y en uncontexto que se preste a interpretaciones sencillas y a diálogos significativos (Explicación de lasobservaciones sin adentrarse en propuestas numéricas propiamente dichas al respecto). Debehacerse énfasis que este principio también es valido para envases más grandes, inclusive tanquesy/o represas de agua de gran magnitud.

El estudiante debe ser motivado a que busque respuestas razonadas para que al encontrarlas yatenga en mente el deseo de expresar cuantitativamente (a través de un modelo matemático) elhecho.

Lo más indicado y procedente es hacer una experiencia previa a nivel elemental, luegorepetírsela (para motivarlo a que indague concepciones y algunos tópicos referentes alexperimento) esto con el objetivo de estimular en él, la búsqueda de patrones representativos ysimbólicos que apunten a un modelo matemático sencillo de la situación entendida desde elpunto del razonamiento objetivo

Sobradas razones tenemos entonces en aclarar lo que es un modelo:

Es un prototipo práctico ideal de un suceso que se puede representar a través de diversasmaneras. El modelo sirve para explicar un comportamiento, las propiedades tantocualitativas como cuantitativas (razones y discernimientos lógicos) y no es mas complicadoque el mismo fenómeno

El modelo lo que busca es simplificar una realidad, ya que es el resultado de la abstracción decircunstancias cotidianas que culminan en propuestas del perfil del fenómeno

Contexto EscolarEste tipo de experiencia se propone para ser aplicado en el 10 mo grado de la Escuela Diversificaday profesional y durante el tercer lapso en Matemática, un período en el que los estudiantes yadeben haber visto temas similares en química y en física (Teorema del trabajo y la energía,presión hidrostática, Volumen, entre otros).

Con una Botella agujereada

Como se dijo previamente lo mejor es mostrarle al estudiante como son las cosas así quetomaremos una botella plástica de esas de refresco de 2 litros y le haremos una pequeñaperforación aproximadamente a 5 cms de su base, la cubrimos provisionalmente(con el dedo,tirro o cinta) y llenamos la botella completamente de agua, tapándola seguidamente.

Al destapar el agujero se observará que no sale agua. ¿A que se debe esto?...Se debe a que lapresión hidrostática del agua por encima del agujero es menor que la presión atmosférica delexterior del agujero, por ello el agua no puede salir contra la presión atmosférica. Este es unconcepto que tienen que tener claro1

1 La velocidad de salida de un líquido por un orificio practicado en su fondo es la misma que la que adquiereun cuerpo que cayese libremente en el vacío desde una altura h, siendo h la altura de la columna de fluido.

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Figura 01Esquemas del dispositivo experimental.

Ahora al destapar la botella agujereada se observara que sale un chorro de agua por el orificio.Si se realiza esta actividad colocando la botella sobre una superficie horizontal y se mide la

altura del orificio respecto de la superficie y el alcance del chorro, podremos determinar lavelocidad de salida del agua por consideraciones cinemáticas ¿Pero como determinar esavelocidad?

La respuesta a la pregunta anterior nos la da el Teorema de Torricelli que es una aplicación delprincipio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de unpequeño orificio, bajo la acción de la gravedad. A partir del teorema de Torricelli se puedecalcular el caudal de salida de un líquido por un orificio.

Donde:

• Vt es la velocidad teórica del líquido a la salida del orificio

• Vo es la velocidad de aproximación.• h es la distancia desde la superficie del líquido al centro del orificio.• g es la aceleración de la gravedad

Si llenamos de agua las tres cuartas partes de la botella agujereada y no cerramos la botella conel tapón, cuando destapemos el agujero el agua saldrá por el mismo. Pero si dejamos caerlibremente la botella observaremos que se interrumpe el chorro de agua que antes salía por elagujero.

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http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_Bernoulli

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADquido

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Orificio&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Gravedad

http://es.wikipedia.org/wiki/Torricelli

http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia

http://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n_de_la_gravedad

http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_Bernoulli

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADquido

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Orificio&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Gravedad

http://es.wikipedia.org/wiki/Torricelli

http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia

http://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n_de_la_gravedad



Cuando la botella (con el agua) está cayendo libremente, puede considerarse que la botellaconstituye un entorno de microgravedad (en la terminología de los astronautas), es decir, que lagravedad se ha reducido de tal manera que sus efectos no se notan. Como la velocidad de salidadel agua por el orificio depende de la aceleración de la gravedad, durante la caída libre no saldráagua (es decir, la velocidad de salida será nula). Esta sensación de microgravedad (o ingravidez)es la que se experimenta en los descensos bruscos de las montañas rusas y otras diversionessimilares (tipo emociones fuertes) de los parques de atracciones. También en el ascenso ydescenso de los aviones.

Hay cosas que existen y que nuestros ojos no ven. Una de esas cosas es el aire que todos damospor supuesto que existe. ¿Qué experimento sencillo harías para demostrar que el aire existeaunque no lo veamos? Por experimento se entiende aquel que se realiza con objetos de la vidacotidiana y por supuesto usando la capacidad de razonar y argumentar

Se trata de una esfera de cobre con un cuello abierto y pequeños agujeros en el fondo que sellena sumergiéndola en el agua. Si se saca del agua con el cuello sin tapar el agua se sale por losagujeros formando una pequeña ducha. Pero si se saca correctamente, tapando con el pulgar elcuello, el agua queda retenida2 dentro de la esfera hasta que uno levanta el dedo. Si uno trata dellenarlo con el dedo tapado el agua no entra. Ha de haber alguna sustancia material que impidael paso del agua. No podemos ver esa sustancia. ¿De qué se trata? Empédocles afirmó que sólopodía ser aire. Una cosa que somos incapaces de ver puede ejercer una presión, puede frustrar

mi deseo de llenar el cacharro con agua si dejo tontamente el dedo sobre el cuello. Empédocleshabía descubierto lo invisible. Pensó que el aire tenía que ser materia tan finamente dividida queera imposible verla

Un modelo para el problema Ya se dijo que un modelo es la descripción o la representación ideal de un suceso o fenómeno dela vida real y que sirve para explicar3 un comportamiento y no es tan complicado4 como el mismoevento. El modelo simplemente lo que busca es simplificar una circunstancia…es el producto dela abstracción de una situación cotidiana que culmina en la propuesta de una representaciónsimbólica del asunto. Un ejemplo es cuando se abre poco a poco un grifo, se forma un pequeñochorro de agua, un hilo cuyo radio va disminuyendo con la distancia al grifo y que al final, serompe formando gotas

Figura 02

Un modelo cualitativo para el problema

En nuestro caso específico estamos trabajando con una variación de altura (Figura 02).

2 Esto es algo parecido a cuando uno introduce un vaso plástico(o de otro material) de esos para beber aguacon la boca destapada en un recipiente con agua, ¿cierto o no?…el agua no entra al vaso ya que el aire seopone 3 Propiedades cualitativas y discernimientos lógicos4 Esta razón debe ser digerida por el estudiante para que no sienta que esta ante algo difícil

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∆h = y2 - y1

En la práctica una manera muy sencilla de detener el agua en un estanque cuando el aire empujaa esta es a través de una llave de paso (llamada llave de bola o de retención) la cual regula elpaso del agua según se quiera tener grandes o bajas salidas.Nuestro principal objetivo ha de ser la de inducir una actividad dirigida con acierto de partenuestra como docentes, colocando al estudiante en una situación participativa de manera quesienta orgullo de descubrir a través de modelos sencillos lo que grandes físicos-matemáticos(Torrecelli, Bernoulli entre otros) lograron con tesón y esfuerzo.

La finalidad de la realidad planteada es la de dar a conocer una explicación aproximada demanera cualitativa del porque y como se despliega el fenómeno. Para ello se hace elexperimento con la botella Plástica agujereada.

Explicación del modelo

En lo visto anteriormente se le plantea al estudiante la situación a manera general paramotivarlo, comenzando incluso con la reseña del niño holandés que impide que un dique inundeuna región5 es decir un aspecto preliminar que lo imbuya en el tema y le explique de manerasencilla una experiencia diagramada e interpretada sin propuestas cuantitativas (ecuaciones )para al final proponerle que experimentar un fenómeno es ponerse a nivel de los hombres quelograron ser protagonista de una historia metiendo sus trabajos en los anales de la Matemática ylas ciencias y que estos trabajos no salieron de la nada pues en aquellas épocas formaron partede situaciones reales, cotidianas y del contexto donde ellos laboraban, que son tan iguales a lasde hoy día.

Vamos a partir suponiendo el siguiente concepto como axiomático6 “La velocidad de un fluido esalta cuando su presión es baja y es baja cuando su presión es alta”. Esto al principio puedesonarnos extraño ya que estamos acostumbrados a relacionar situaciones tales como “a mayortamaño mayor volumen”, “a mayor velocidad mas distancia recorrida” entre otras frases en lasque la proporción de algo aumenta a medida que aumenta otro parámetro. Esto es lo queconocemos que un parámetro es directamente proporcional a otro. En este caso es a la inversa.Vamos a estudiar la siguiente figura semejante a un tanque de agua y análoga a la botellaplástica.

Figura 03

El volumen del agua que pasa por el punto 1 es

∆L1 .A1

Siendo ∆L1 la distancia que avanza el fluido en un ∆t y como la velocidad del agua en ese puntoes medida por

V1 = ∆L1/∆tEl flujo de masa de agua que pasa por el punto 1 es

∆m/∆t = ρ 1. ∆L1 .A1/∆t

5 Esto debe ser motivo de indagación por parte del alumno sobre lo que en realidad dice la leyenda6 Algo que se toma como lo evidente sin demostración

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y como

∆L1/∆t = V1

∆m/∆t = ρ 1.A1.V1

De igual manera en el punto 2 se deduce que

∆m/∆t = ρ

2.A2.V2

Y como la cantidad de agua que pasa por las distintas secciones en un intervalo de tiemposemejante es la misma, entonces se tiene que los flujos son iguales

ρ 1.A1.V1 = ρ 2.A2.V2

Además como las presiones son iguales

ρ 1 = ρ 2 = ρ atmosférica

Entonces la presión del liquido es constante y se tendrá que

A1.V1 = A2.V2

Observemos que A1 > A2 V1 = A2.V2/ A1 y V2 = A1.V1/ A2 V1< V2

Y esto mismo sucede con un tanque, balde de agua y/o botella plástica como en nuestro caso

Lo más importante que un estudiante debe asimilar con la construcción del modelo dado es quecontiene constantes como la presión atmosférica y la densidad del fluido (en este caso la delAgua) y variables como son las alturas, el tiempo, las secciones de tuberías y/o envases y lasvelocidades del agua. Respecto a la presión esta es considerada la presión del ambiente.

Por otro lado debe ver que el caudal es el mismo (cantidad de agua que entra es igual a la quesale) y que lo que hará variar la experiencia es la altura a la que se encuentra el agua junto a laconstante de la gravedad. En el anexo al final se produce un procedimiento matemático queexplica este modelo a través del teorema de Torrecelli basado en la ecuación de Bernoulli.

El modelo a través de la experimentación

En una botella de refresco hacemos un orificio de aproximadamente un cm de diámetro lo masposible cerca del fondo (entre 5-7 cms)

1. Se coloca la botella sobre un mesón cerca de un desagüe(para no mojar el piso opavimento)

2. Utilizamos un recipiente (en este caso usamos una de las bandejas del drenaje delfregadero de la cocina). Véase fotos anexas

3. Se tapa el orificio de salida y se llena de agua la botella (es importante medir el volumende agua 1.5 -1.8 lts)

4. Se mide la columna de agua(es decir la altura de la misma hasta el orificio de salida)

5. Destapa el orificio de abajo manteniendo tapada la botella ¿Qué observas?... ¡Verdadque no sale agua!

6. Ahora se destapa la botella ¿Qué observas?... ¡Verdad que comienza a salir el agua enforma de chorro, cuya distancia horizontal es mayor al principio y va disminuyendo amedida que se va terminando el liquido. ¿Esto ultimo a que se deberá?

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7. Ahora medimos el agua que se deposita en el recipiente 02 en un determinado tiempo.

Foto 01 Foto 02

Foto 03 Foto 04

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Foto 05 Foto 06

Foto 07 Foto 08

Parte 02

Selección de un contenido de Matemática del liceo Bolivariano y Planificar la aplicación de suconocimiento durante una semana de clase. Dicho contenido debe estar inmerso dentro de unasestrategias, con ejemplos relacionados con la realidad. Además debe contemplarse su evaluacióna través de criterios bien claros.

Preliminares al respecto

Antes de seleccionar el contenido es necesario tener en cuenta los siguientes criterios para suescogencia

1) El contenido debe prestarse para la trasmisión sistemática de un razonamiento efectivo pararesolver problemas relacionados a contextos verdaderos

2) La(s) estrategia(s) a utilizar deben prestarse para que el estudiante:- Active su capacidad mental- Ejercite su creatividad- Que adquiera confianza en si mismo- Que se divierta aprendiendo- Que relacione lo aprendido con las novedades de la actualidad

3) Que el contenido induzca en el estudiante autonomía para resolver situaciones cotidianas4) Respecto a las estrategias se deben proponer situaciones basadas en:

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- Problemas de índole históricos- Aplicaciones comprensibles de los contenidos

- Relaciones con modelos existentes

Todo lo anterior produciría en el estudiante una situación participativa en la que se le induce adescubrir novedades de tal manera que perciban el placer que pudieron haber experimentado losmatemáticos de la época tras su esfuerzo cognitivo.

Selección del contenido

Tomado del texto guía:SUBSISTEMA EDUCACION SECUNDARIA BOLIVARIANA LICEOS BOLIVARIANOS.Currículo y orientaciones metodologicas

Áreas de aprendizaje: Segundo añoÁrea: Ser humano y su interacción con otros componentes del ambienteComponente: Los procesos matemáticos y su importancia en la comprensión del entornoContenido general: Estudio de patrones, formas, y diseños ambientalesContenido especifico: Estudio de pendientes en construcciones de autopistas, calles y en loscortes realizados por carpinteros, herreros y albañiles.

Justificación de la escogencia de estrategias distintas a las tradicionales

Uno de los mayores problemas a los que se enfrentan los estudiantes de matemática es eldesconocimiento de la aplicación que esta tiene en la cotidianidad de sus vidas.

Como docentes hemos escuchado preguntas como ¿Quien invento esto? Y sus respuestas… ¡seguroque era alguien que no tenía algo que hacer! y/o ¿De que vale saber tanta matemática si esto nose usa en lo que yo voy a trabajar?... y así por el estilo, los chicos (jóvenes y adolescentes)tienden cada día a tenerle fobia y cierta apatía a esta asignatura. Por tal razón una de lasmejores estrategias para que los estudiantes le encuentren significado, sentido y gusto a loscontenidos matemáticos es hacerles entender que esta tiene mil y un usos en el ambiente, en locotidiano y en lo más frecuente donde ellos se desenvuelven y viven. Además les ayuda a

solucionar dificultades en las que ellos la mayoría de las veces están involucrados como entrabajos vacacionales, aprendices de algún oficio, y en su casa en cuestiones domesticas.

Programación según horas estipuladas

Periodo de aplicación: 1 SemanaNumero de horas: 05 horas académicasHoras de campo: 03 horas académicas Horas de aula: 02 horas académicas

Nota: Dentro de las estrategias se aconseja visitas a sitios específicos en horas no académicas(actividad complementaria con otros profesores de áreas afines)

Descripción detallada de la programación según los contenidos

En la horas de clase

Definir pendiente como la relación que hay entre una longitud y una altura dada. Para lograresto es bueno dar algunos ejemplos y representaciones graficas tales como partes que existen enlo cotidiano y en los cuales esta presente esa relación

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Escribamos algunos ejemplos tales como

1. Escaleras, rampas, teatros auditorios2. Vertientes de techos inclinados

3. Una escuadra y algunos triángulos. El desnivel que puede haber en una calle4. Acueductos y redes de cloacas dentro de las edificaciones5. Algunos ornamentos arquitectónicos elaborados en madera y en hierro

6. Levantamientos de topografía y altimetría

Hay que comenzar aclarando que una pendiente es simplemente una relación de orden queestablece una proporción entre dos medidas y que también tiene precisa relación con losporcentajes sencillos y por ende con las reglas de tres aprendidas en la aritmética básica.

Lo más importante que hay que resaltar en la primera hora de clase son ejemplos de lo queconstituyen las pendientes y la relación matemática con los porcentajes y las proporciones.

Pendiente, medida de la inclinación de una recta7 dada

A continuación se les puede leer textos que hacen alusión al contenido y se les pueden mostrarfotos

“La vertiente sur presenta mayores dificultades para su escalada, pues tiene pendientesmás bruscas y escarpadas; se alcanza a través del valle y la laguna de los Horcones,hasta alcanzar la Plaza de Mulas….“Cuando los surcos se excavan siguiendo la pendiente, colina arriba y abajo, el agua

tiende a fluir a lo largo de ellos”...“pueden criarse peces en jaulas y torrenteras, estanques en tierra o cemento largos yestrechos que reciben agua de arroyo o riachuelo próximos que a menudo se construyenen serie siguiendo la pendiente de una colina…Mar adentro desde la plataforma continental, en el llamado talud marítimo, el fondomarino desciende con rapidez unos 3.500 mts del fondo oceánico profundo, formandoabismales pendientes….

Históricamente las pendientes fueron utilizadas por los matemáticos para auxiliar a losarquitectos e ingenieros que deseaban lograr obras de cierta envergadura. Aquí es oportunomostrar algunas fotos alusivas a grandes obras tanto actuales como antiguas. También esmomento de definir el concepto geométrico de lo que es una pendiente y su relación con lasproporciones

En los anexos al final se incluyen los contenidos matemáticos que podrían darse para lograr elobjetivo así como algunos problemas resueltos y propuestos como asignación

En las horas de campo

Hay que prever visitas a los lugares típicos que presentan este tipo de situaciones. Se les pedirá alos estudiantes que lleven cintas métricas, lápices de grafito, papel y reglas milimetradas parahacer cotejos en sitio con la finalidad de resolver problemas reales.

7 El termino recta aquí es alusivo a longitud, altura, ancho, es decir a una medida rectilínea

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Canal de riego Acueducto de Segovia

El primer acueducto romano que transportaba el agua sobre la superficie del suelo fue el AquaMarcia, en Roma; tenía una longitud de 90 Km. y su altura mínima era de 2mts. En aquel

entonces se utilizaba pendientes para el agua de 0.5 %. ¿Podrías calcular la altura máxima deeste acueducto?

Forma de evaluar

La forma de evaluar será mediante un informe de campo por equipo con valor del 40% en el cualdeben exponer los pormenores de la clase y aspectos resaltantes sobre las visitas hechas aalgunas edificaciones (teatros, auditorios, salones de clase con desniveles, entre otras) talleresde ensamblaje de viguetas, viviendas de una sola planta con techos inclinados. Durante las visitaslos estudiantes harán levantamientos alusivos a situaciones donde el calcular pendientes, susporcentajes y proporcionalidad geométrica sean relevantes.

En la última clase se volverá a explicar las situaciones con problemas sacados de realidades dadas

durante la primera clase. Al final se dejara como tarea problemas como los planteados en losanexos cuyo valor será del 30%, dejándose para la siguiente hora un examen de 2 problemasalusivos a lo s vistos en toda la jornada (tanto teórica como de practica en campo) cuyo valorserá del 30% sobre la nota total.

Anexo 01

Relativo a la parte 01

Teorema de Torricelli

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Un depósito cilíndrico, de sección S1 tiene un orificio muy pequeño en el fondo de sección S2

mucho más pequeña que S1. Aplicamos el teorema de Bernoulli a los puntos (1) y (2) situados enla superficie libre del fluido y en el centro del orificio inferior.

suponiendo que la velocidad del fluido en la sección mayor S1 es despreciable v1= 0 comparada

con la velocidad del fluido v2 en la sección menor S2.

Por otra parte, el elemento de fluido delimitado por lassecciones S1 y S2 está en contacto con el aire a la mismapresión. Luego, p1=p2=p0.

La diferencia de alturas es y1-y2=h. Siendo h la altura de

la columna de fluido

Con estos datos la ecuación de Bernoulli se escribe

De acuerdo con el teorema de Torricelli, la velocidad de salida de un líquido por un orificiopracticado en su fondo es la misma que la que adquiere un cuerpo que cayese libremente en elvacío desde una altura h, siendo h la altura de la columna de fluido

A medida que el fluido sale por el orificio, la altura h de fluido en el depósito va disminuyendo. SiS es la sección del orificio, el gasto Sv, o volumen de fluido que sale por el orificio en la unidadde tiempo no es constante.

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http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/dinamica/bernoulli/bernouilli.htm#Ecuaci%C3%B3n%20de%20Bernoulli

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/dinamica/bernoulli/bernouilli.htm#Ecuaci%C3%B3n%20de%20Bernoulli

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Un Experimento Con Agua