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Un modello per interpretare, interagire e descrivere la realtà
LA GEOMETRIA EUCLIDEA
• Vogliamo conoscere le relazioni che sussistono tra gli oggetti geometrici quando subiscono trasformazioni
Le Trasformazioni Geometriche
Nota StoricaNota Storica
• Le trasformazioni (e i loro gruppi) furono introdotte da Felix Klein (1849 - 1925) per caratterizzare le varie branche in cui si suddividevano gli studi di geometria ottocenteschi
Nella visione gli oggetti subiscono trasformazioni.
Pensate a come il cervello cattura l’immagine, capovolgendola e rimpicciolendola nella retina. Siamo in grado di riconoscerlo e di descriverne le caratteristiche perché l’oggetto e l’immagine, hanno molti elementi invariati.
Nel disegno gli oggetti subiscono trasformazioni.
Il disegno ‘dal vero’ di una bottiglia, di un frutto è una rappresentazione a due dimensioni di un oggetto tridimensionale, quindi diverso da quello reale, tuttavia, affinché risulti realistico, deve conservare molte delle caratteristiche di quello reale.
Trasformazioni Geometriche
•Si chiama trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca fra i punti di un piano
•Una trasformazione geometrica è quindi una funzione che può essere rappresentata con la simbologia G’=f(G)
Trasformazioni Trasformazioni geometrichegeometriche• La trasformazione Identica o
Identità è quella che associa ad ogni punto se stesso
•Si dice involutoria una trasformazione che, applicata due volte, coincide con la trasformazione identità
•Si chiamano Invarianti le caratteristiche che rimangono inalterate
•Varianti le caratteristiche che si modificano
•Elementi Uniti gli elementi che hanno per trasformati se stessi
Trasformazioni Trasformazioni geometrichegeometriche
Gioco del Tangram:• In questo antico gioco cinese, si realizzano trasformazioni spezzettando una figura geometrica;
•Due figure diverse ottenute con il Tangram si scompongono negli stessi pezzi (Equiscomponibili) e quindi hanno come elemento invariato l’area.
Esempio di Tangram
Le principali caratteristiche che una trasformazione può lasciare invariate sono:
•La Lunghezza dei segmenti•L’ampiezza degli angoli•Il parallelismo•Le direzioni•Il rapporto tra i segmenti•L’orientamento dei punti del piano
Gli Invarianti
Una trasformazione presenta tale invariante se TUTTI i segmenti che si possono tracciare in una figura rimangono della stessa lunghezza dopo la trasformazione
Gli Invarianti: Lunghezza dei segmenti
Dalla F alla F’ la lunghezza dei segmenti è invariante(rotazione)Dalla F alla F’’ la lunghezza dei segmenti non è invariante (schiacciamento)
Gli Invarianti: L’ampiezza degli angoli
Una trasformazione presenta tale invariante se TUTTI gli angoli mantengono la stessa lunghezza dopo la trasformazione
La trasformazioneda F a F’ ha taleinvariante
La trasformazione da F a F’’ non presenta tale invariante
Gli Invarianti: Il parallelismo
Gli Invarianti: Le direzioni
Gli Invarianti: Il rapporto tra i segmenti
Gli Invarianti:
L’orientamento dei punti del piano
Trasformazioni geometricheSi possono suddividere in tre
categorie:• Trasformazioni che si ottengono mediante deformazioni (striscia di plastica)
• Trasformazioni che si ottengono per proiezioni (ombra di un oggetto)
•Trasformazioni che si ottengono mediante movimenti (immagine riflessa)
Inizieremo da quelle con minor elementi invarianti
Le trasformazioni TOPOLOGICHE
Se su un sottile foglio di plastica disegniamo alcune figure, deformando il foglio realizziamo una trasformazione topologica che non conserva né forma, né dimensioni delle figure
Da i risultati della trasformazione notiamo che:
• Le linee chiuse sono rimaste chiuse• I punti giacenti su una linea si ritrovano sulla
linea trasformata nello stesso ordine• I punti interni (o esterni) alla figura si
ritrovano interni (o esterni) nella trasformataLe caratteristiche che permangono prendono il
nome di invarianti topologiche
Le Trasformazioni TOPOLOGICHE
L’ombra prodotta da un oggetto colpito da un fascio di raggi luminosi è il risultato di una trasformazione proiettiva. Non conserva:
•Né parallelismo delle rette•Né lunghezza dei segmenti•Né ampiezza degli angoliMa solo le caratteristiche elencate per le topologiche alle quali aggiungiamo la caratteristica che:
– ogni retta di F viene trasformata in F’ ancora in una retta
Le Trasformazioni Proiettive
Particolari trasformazioni proiettive:
– Le trasformazioni affini
Un caso particolare di trasformazione affine è: L’omotetia
Da completare
Trasformazioni geometriche: LE ISOMETRIE
Sono trasformazioni geometriche nelle quali la figura trasformata rimane congruente alla figura iniziale, conservandone sia la Forma e sia la Dimensione.Le trasformazioni isometriche si ottengono mediante movimenti rigidi delle figure, che cambiano unicamente la loro posizione nel piano.
I movimenti da studiare sono:
• Traslazioni• Rotazioni• Ribaltamenti
Le principali isometrie sono:
• Traslazioni• Rotazioni• Simmetria assiale• Simmetria centrale
Le Isometrie
La Traslazione
La figura F con un lato appoggiato sulla retta r è stata spostata con un movimento rigido ottenendo F’.
Il movimento che ha portato F in F’ è una traslazione: ogni punto di F si è spostato della stessa lunghezza (5 cm), nella stessa direzione (parallelo ad r) e nello stesso verso ( a destra) dando origine ad F’.
FF’
La Traslazione
Gli elementi che caratterizzano la traslazione sono quindi tre:• La sua lunghezza (5 cm)• La sua direzione (parallela ad r)• Il suo verso (da sinistra a destra)Queste tre caratteristiche definiscono un segmento orientato, chiamato vettore, indicato con v o con AB
La Traslazione
Per individuare un vettore occorre indicare:•La sua direzione, cioè la retta a cui appartiene•Il suo verso, che indica il senso di percorrenza•La sua intensità o modulo, che rappresenta la lunghezza del segmento AB
Ampliare con la costruzione del traslato Di un punto P mediante il vettore di traslazione v.
La Traslazione
Teorema: la traslazione è un’isometria
Con questo teorema affermiamo che due figure che si corrispondono in una traslazione sono congruenti.
La Traslazione
Inoltre la traslazione ha come caratteristiche invarianti:
• L’allineamento dei punti (collineazione)• La lunghezza dei segmenti• L’ampiezza degli angoli• Il parallelismo• Le direzioni• Il rapporto tra segmenti• L’orientamento dei punti del piano
La Rotazione
Un’altra trasformazione che mantiene invariate tutte le misure lineari e angolari è la rotazione attorno ad un punto.Per definire una rotazione è necessario che siano dati:
• Un punto, detto centro di rotazione•L’ampiezza dell’angolo di rotazione•Il verso di rotazione (orario o antiorario)
La Rotazione
Costruzione del punto P’ corrispondente di P nella rotazione di centro C e ampiezza .
Teorema: la rotazione è un’isometria
La rotazione quindi ha le proprietà delle isometrie ed in particolare trasforma una figura in un’altra ad essa congruente.
La Rotazione
Valgono le seguenti proprietà:• Il solo punto unito è il centro di
rotazione• Non esistono rette unite se non quelle
che si corrispondono in una rotazione pari ad un angolo piatto
• La rotazione di ampiezza pari ad un angolo giro coincide con la trasformazione identità
La RotazioneLa rotazione ha i seguenti
invarianti:• L’allineamento dei punti (collineazione)• La lunghezza dei segmenti• Il parallelismo• L’ampiezza degli angoli• Il rapporto tra segmenti• L’orientamento dei punti del piano
E’ una trasformazione involutoria
Una Rotazione Particolare:
La Simmetria CentraleUna rotazione di 180° attorno ad un punto C è una simmetria centrale.Il centro di simmetria è il centro della rotazioneTeorema: la simmetria centrale è un’isometria
Questo teorema garantisce che due figure simmetriche rispetto ad un punto sono congruenti
Una Rotazione Particolare:
La Simmetria Centrale•Ogni retta passante per il centro è una retta unita, ma non fissa perché cambia l’ordinamento dei suoi punti
•Come in ogni rotazione l’unico punto fisso è il centro
•Due segmenti, o rette che si corrispondono in una simmetria centrale sono paralleli
•La simmetria centrale è involutoria•L’ordinamento dei punti è invariante•Per gli altri si rimanda alla rotazione
Una Rotazione Particolare:
La Simmetria CentraleFigure geometriche simmetriche rispetto a un loro punto:
•La circonferenza •Il rettangolo •Tutti i parallelogrammi sono quadrilateri a simmetria centrale
•Un quadrilatero è simmetrico centralmente se e solo se è un parallelogramma
Il Ribaltamento:La Simmetria Assiale
Le isometrie finora esaminate (traslazioni e rotazioni) hanno tutte la caratteristica di mantenere invariato l’orientamento dei punti del piano.
Ma abbiamo visto che esistono situazioni in cui le figure mantengono le loro misure, ma si ‘ribaltano’ generando figure simmetriche rispetto ad un asse.
Costruzione del punto P’ simmetrico di P rispetto alla retta r.
Disegnare un triangolo e il suo simmetrico rispetto ad r in cabrì
Il Ribaltamento:La Simmetria Assiale
Tra le isometrie distinguiamo, perciò, due classi, a seconda che si mantenga o meno l’orientamento dei punti del piano:
•Isometrie dirette: che mantengono l’orientamento dei punti del piano
• Isometrie invertenti: che non mantengono l’orientamento dei punti del piano
Il Ribaltamento:La Simmetria Assiale
Definizione: si dice simmetria assiale la trasformazione che, data una retta r, associa ad un punto P il suo simmetrico rispetto ad r.La retta r prende il nome di asse di simmetria.Teorema: la simmetria assiale è un’isometriaQuesto teorema ci permette di dire che due figure che si corrispondono in una simmetria assiale sono congruenti.
Il Ribaltamento:La Simmetria Assiale
La simmetria assiale gode inoltre delle seguenti proprietà:
• I punti che appartengono all’asse sono punti uniti
• Una retta a incidente in un punto Q all’asse di simmetria e che forma con tale asse un angolo ha per trasformata una retta ’ che passa ancora per Q e che forma con l’asse di simmetria un angolo congruente ad
(Mostrare la proprietà descritta in cabrì)
Il Ribaltamento:La Simmetria Assiale
Diapositiva sommario
• Il Ribaltamento e La Simmetria Assiale
• Una retta a perpendicolare all’asse di simmetria ha per trasformata se stessa ed è quindi una retta unita;Attenzione però: non è una retta di punti uniti perché ciascun punto della retta non ha come trasformato se stesso. •Una retta a // all’asse di simmetria ha per trasformata una retta a’ ancora // all’asse e quindi a a stessa.
Il Ribaltamento:La Simmetria Assiale
• Se A’ è il trasformato di A nella simmetria di asse r, il trasformato di A’ è ancora A e quindi la trasformazione è involutoria;• Se i vertici del triangolo ABC si susseguono in senso orario, i loro corrispondenti A’B’C’ si susseguono in senso antiorario e quindi l’ordinamento dei punti non è un’invariante;
(Mostrare la proprietà descritta in cabrì)
Il Ribaltamento E La Simmetria Assiale
Poche sono figure geometriche che hanno un asse di simmetria:
• Un segmento ha come asse di simmetria il suo asse
• Un angolo ha come asse di simmetria la sua bisettrice
• Un triangolo ha un asse di simmetria solo se è isoscele
• Il rombo ha due assi di simmetria (diagonali)• Il cerchio infiniti assi di simmetria
Il Ribaltamento:La Simmetria Assiale
Gli invarianti della simmetria assiale sono:•L’allineamento dei punti (collineazione)•La lunghezza dei segmenti•Il parallelismo•Il rapporto tra segmenti•L’orientamento dei punti del piano• È un’isometria invertente
Il Ribaltamento:La Simmetria Assiale
Che scomposto può essere visto così
E trasformarsi così e così via
Provate a comporli da soli
