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un sistema rigido di punti materiali
un sistema rigido di punti materialiUn Un sistema rigido di punti materiali sistema rigido di punti materiali è capace di è capace di ruotareruotare mantenendo tutte mantenendo tutte le distanze tra una coppia qualsiasi di due particelle reciprocamente le distanze tra una coppia qualsiasi di due particelle reciprocamente invariate fra di loro,e quindi mantenendo la sua forma.invariate fra di loro,e quindi mantenendo la sua forma.
Un sistema composto da Un sistema composto da moltemolte particelle è particelle è rigidorigido soltanto quando le soltanto quando le distanze tra le particelle non cambiano sotto l’azione di una distanze tra le particelle non cambiano sotto l’azione di una forzaforza o di un o di un momento meccanicomomento meccanico
se se PPi i e Pe Pjj sono due punti qualsiasi del sistema, la condizione di rigidità è: sono due punti qualsiasi del sistema, la condizione di rigidità è:
tPP ji cos
osservazione
• cercheremo subito di definire alcune variabili che tengono conto delle proprietà del sistema rigido di punti materiali nel suo insieme
• tali variabili permettono di semplificare molto le equazioni che descrivono la dinamica e la statica di questi insiemi
• queste considerazioni sono applicabili anche ad un corpo rigido, continuo
Energia cinetica rotazionale di un corpo rigido e momento di inerzia
UN ESEMPIO
La lama di una sega circolare che gira ad alta velocità ha una energia cinetica rotazionale. Come calcolarla?
Considereremo la lama un insieme di punti materiali ognuno dotato della sua velocità, e calcoleremo la sua energia cinetica nel solito modo:
......2
1
2
1........ 2
22211321 vmvmKKKK
2222
2
1
2
1
2
1 iiiiii rmrmvmK2
2
1 IK
x
z
yo iri
sistema rigido di punti materiali, sistema rigido di punti materiali,
velocità , masse, posizioni etc diversevelocità , masse, posizioni etc diverse
i=1,2,...17
,.....,,, iiii avmr
2222
2
1)(
2
1
2
1iiiiii rmrmvmK
energia cinetica rotazionale di tutto il sistema è energia cinetica rotazionale di tutto il sistema è uguale alla somma delle energie cinetiche singoli uguale alla somma delle energie cinetiche singoli puntipunti
ma ogni punto iesimo ha una stessa velocità angolarema ogni punto iesimo ha una stessa velocità angolare
iii IrmI 2
2
2
1 IK
L’energia L’energia necessaria per necessaria per
ruotare un corpo ruotare un corpo rigido dipende rigido dipende
anche dalla anche dalla distribuzione distribuzione
della sua massa della sua massa attorno all’asse attorno all’asse
di rotazionedi rotazione
momento di inerzia di un sistema di punti
materiali
2.mkgI
il centro di massa di un sistema di punti materiali
x
z
yo
iicm
iicm
iicm
mzM
z
myM
y
mxM
x
1
;1
1
iicm mrM
r 1
ir imMcmr
im
sistema di punti materiali
Centro di Massa CM
Momento di Inerzia I
iicm mrM
r 1
imM
iii IrmI 2
il momento di inerzia di un insieme di punti materiali calcolato rispetto ad un asse fisso è dato dalla somma dei singoli momenti di inerzia di ogni punto materiale, dove ri è la distanza del punto i dalla retta di rotazione
.....
......
222
211
21
rmrm
III
che,scritto in forma compatta, diventa 2
iirmI
x
y
z
iir
im
ku
momento di inerzia rispetto ad un asse
se l’asse di rotazione è coincidente con l’asse
z
22iii yxmI
raggio giratore
• Il raggio giratore del corpo Rg è dato dalla relazione
• Rg è la distanza dall’asse di rotazione di un punto materiale ideale nel quale è concentrata tutta la massa M del sistema, avente il momento di inerzia I del sistema rigido
• Il raggio girtore è spesso indicato con la lettera K
2; gg MRIM
IR
2; MKIM
IKRg
Alcuni esempi
• la molecola di bromuro di potassio KBr
• un sistema di punti materiali
moto del CM un sistema rigido di punti materiali
iii vmpP
dt
vdm
dt
vdmamF iiiiiinet
dt
Pd
dt
pdF inet
In un sistema isolato e In un sistema isolato e
chiuso (F=0) la quantita’ chiuso (F=0) la quantita’ di moto di moto P si conservaP si conserva..
Newton:Newton: “ “ la la variazione della variazione della quantita’ di moto quantita’ di moto di una particella di una particella e’ proporzionale e’ proporzionale alla forza netta alla forza netta che agisce su che agisce su quel punto ed ha quel punto ed ha la stessa la stessa direzione della direzione della forzaforza””
dt
pdF inet
conservazione della quantità di moto (o momento linerare) in conservazione della quantità di moto (o momento linerare) in un sistema di punti materailiun sistema di punti materaili
forza esterna netta e quantità di moto totale per un insieme di forza esterna netta e quantità di moto totale per un insieme di punti materialipunti materiali
cmMP
dt
PdFnet
iii vmpP
dt
drm ii
dt
rmd ii
iicm mrM
r 1
dt
drM CM
Per un sistema di punti materiali Per un sistema di punti materiali od un corpo rigido di massa M la od un corpo rigido di massa M la quantita di moto del sistema e’ quantita di moto del sistema e’ uguale alla massa del sistema per uguale alla massa del sistema per la velocita del CM. la velocita del CM.
Dal punto di vista delle forze Dal punto di vista delle forze esterne,l’intero sistema si esterne,l’intero sistema si comporta come se tutta la comporta come se tutta la massa fosse concentrata nel CMmassa fosse concentrata nel CM
cmCM
net aMdt
dMF
realazione tra centro di massa e quantità di moto totalerealazione tra centro di massa e quantità di moto totale
cmnet aMF
Nell’esplosione di un razzo, Nell’esplosione di un razzo, trascurando la resistenza dell’aria,trascurando la resistenza dell’aria, FFnetnet e’ la forza di gravita`. Le forze e’ la forza di gravita`. Le forze
dell’esplosione sonodell’esplosione sono interneinterne. . Il Il CMCM si si muove in un campo di forza muove in un campo di forza gravitazionalegravitazionale g.g.
netF
risultante risultante forze esterneforze esterne
Un esempio: esplosione di un razzoUn esempio: esplosione di un razzo
Energia di un sistema di punti materiali
• l’energia di un sistema di punti materiali è data dalla somma :
• della energia cinetica interna, calcolata dalle velocità dei singoli punti rispetto alla velocità del centro di massa
++• l’energia cinetica di traslazione del
CM 22
2
1
2
1CMii vMmK
dinamica di rotazione
• Il centro di massa di un sistema segue la traiettoria che dipende dalla Forza Risultante Esterna Fnet
• Massa e centro di massa però non caratterizzano completamente il moto di un sistema di particelle.
• La dinamica di rotazione di un sistema di particelle rigido deve tenere conto della distribuzione delle masse: dovremo tener conto del momento di inerzia
il momento meccanico di un sistema di particelle
II legge di Newton II legge di Newton per la rotazioneper la rotazione
Il momento netto delle forze è uguale al momento di inerzia per la accelerazione angolare del sistema rigido di punti materiali
II leggedi Newoton per il moto rotatorio
n.b.: angoli in radianti!
n
iii
n
iinet Fr
11
ii I
iII
in un sistema rigido in moto rotatorio tutti i punti hanno la
stessa velocità e la stessa accelerazione angolare
il momento meccanico di un sistema di il momento meccanico di un sistema di particelleparticelle
il momento meccanico netto ( o risultante) di un sistema di punti materiali è dato dalla somma vettoriale dei singoli moment meccanici dei singoli punti materili
inet I
Inet
il ruolo del momento meccanico
• Il momento meccanico svolge nel moto rotatorio un ruolo analogo a quello della forza nel moto traslatorio
• Utilizzando questa grandezza, potremo scrivere una equazione del moto (analoga a quella di Newton per il moto traslatorio), che fornisce una accelerazione angolare e permette di calcolare le variazioni della posizione angolare e della velocità angolare
un esercizio sul momento meccanico di un sistema di punti materiali
momentomomento angolare di un sistema di particelle
iL
.....21
x
z
yo
dt
d
dt
Ld i
idt
Ld
netdt
Ld
iii pr
momento angolare momento angolare iesima particellaiesima particella
momento momento angolare totaleangolare totale
ii
dt
d
momento momento meccanico iesima meccanico iesima particellaparticella
la somma risultante la somma risultante netnet di tutti i vettori momento di tutti i vettori momento meccanico meccanico ii delle singole particelle è uguale alla delle singole particelle è uguale alla variazione temporale del momento angolare di tutto il variazione temporale del momento angolare di tutto il sistema stessosistema stesso
i
j
ir ip
netCM FaMdt
Pd
netIdt
Ld
le equazioni cardinali del moto di un sistema di punti materiali soggetto ad una forza risultante esterna Fnet e ad un momento meccanico net
0dt
Ld
se il sistema di punti materiali se il sistema di punti materiali non è soggetto ad un non è soggetto ad un momento meccanico esterno, momento meccanico esterno, il momento angolare si il momento angolare si conservaconserva
0net
0dt
Pd
0netF
se il sistema di punti materiali se il sistema di punti materiali non è soggetto ad una forza non è soggetto ad una forza risultante esterna, la quantità risultante esterna, la quantità di moto si conservadi moto si conserva
leggileggi conservativeconservative
esercizi sulla composizione di momenti angolari di sistemi di punti
materiali• il momento angolare del bromuro di
potassio
• due particelle su un piano in moto rettilineo uniforme
• il manubrio
• manubrio con asse di rotazione inclinato
Una domanda teorica
le forze che originano i cicloni