SISTEMI DI PARTICELLE (PUNTI MATERIALI)

Insieme di n punti materiali soggetti ad interazioni interne (tra punti materiali del sistema considerato) o esterne (con punti materiali di altri sistemi)

Forze interne ed esterne:

risultante delle forze interne agenti sull'iesimo punto materiale

risultante delle forze esterne agenti sull'iesimo punto materiale

risultante di tutte le forze agenti sull'iesimo punto materiale

Proprietà:La risultante di tutte le forze agenti su di un sistema di punti materiali coincide con la risultante delle sole forze esterne applicate al sistema di punti amteriali.

QUANTITA' DI MOTO DI UN SISTEMA DI PUNTI MATERIALI

Dati n punti materiali la quantità di moto è:

Th: La risultante delle forze esterne applicate a un sistema di punti materiali è uguale alla derivata temporale della quantità di moto del sistema:

Sistemi di particelle, forze interne ed esterne.

Fisica Page 1

Th di conservazione della quantità di moto:In un sistema di punti materiali non soggetti ad interazioni con l'esterno , la quantità di moto del sistema si conserva

Anche se può accadere che sia cioè che sia costante, ma solo per un intervallo di tempo infinitesimo. Infatti:

La prima equazione cardinale descrive il moto traslatorio di un sistema. Un risultato importante dal punto di vista intuitivo è che il centro di massa si muove come un punto materiale di massa M pari alla massa totale del sistema e soggetto a una forza uguale alla risultante delle forze esterne agenti. Essa prende la forma:

Prima equazione cardinale della dinamica dei sistemi, conservazione della quantità di moto.

Fisica Page 1

CENTRO DI MASSA

Il centro di massa di un sistema di punti materiali è un punto dello spazio individuato dal vettore posizione

La non è altro che la media pesata delle posizioni dei punti materiali del sistema con i pesi proporzionali alle rispettive masse

Th del centro di massa:Il CM di un sistema di punti materiali si muove come un punto materiale di massa pari alla massa totale del sistema soggetto alla risultante di tutte le forze esterne agenti sul sistema

Dimostrazione:

Derivo ambo i membri rispetto al tempo:

Dato che:

Derivo ancora rispetto al tempo

Per un sistema non soggetto a forze esterne trovo:

Anche se in generale tutte le non saranno costanti nel tempo.

Centro di massa e teorema del moto del centro di massa.

Fisica Page 1

-SISTEMA TRASPOSTO (PER DUE PUNTI MATERIALI)-

Sistema assoluto Sistema relativo

MOMENTO RISULTANTE DELLE FORZE AGENTI SU UN SISTEMA DI PUNTI MATERIALI

Momento risultante delle sole forze esterne

Momento risultante delle sole forze interne

Th: 1° teorema di KönigIl momento angolare di un sistema di punti materiali rispetto ad un polo O fisso in un SdR inerziale è legato al momento angolare rispetto al suo centro di massa dalla seguente relazione:

Sistema di riferimento C (del CM in moto puramente traslazionale)

Energia cinetica di un sistema, teorema di König.

Fisica Page 1

ENERGIA CINETICA DI UN SISTEMA DI PUNTI MATERIALI

Th: 2° Teorema di KönigL'energia cinetica di un sistema di punti materiali in un SdR inerziale (assoluto) è legata all'energia cinetica

nel SdR C (del centro di massa, sistema relativo) dalla relazione seguente:

Dimostrazione

Essendo e per il sistema C così come l'abbiamo) definito

Il centro di massa è un ente sintetico del comportamento di un sistema di punti materiali non esaustivi:

Fisica Page 2

ENERGIA PROPRIA DI UN SISTEMA DI PUNTI MATERIALI

è propria perchè non dipende esplicitamente dalle forze esterne.

Th dell'energia cinetica (o delle forze vive) per un sistema di punti materiali.Se un sistema di punti materiali passa dallo stato A (individuato dalle sue coordinate) allo stato B, il lavoro compiuto dalla risultante di tutte le forze applicate al sistema (interne ed esterne) è pari alla variazione di energia cinetica tra A e B.

Dimostrazione

Sommando sull'indice i da 1 a n

ENERGIA POTENZIALE INTERNA (DELLE FORZE INTERNE)Se le forze interne ad un sistema di punti materiali sono conservative definiremo energia potenziale interna l'indice di stato fisico:

Consideriamo un sistema di punti materiali interagenti tra di loro (attraverso forze interne) e con l'esterno (attraverso forze esterne)

Se è conservativo potrò introdurre un'energia potenziale interna

Per un sistema di n punti materiali posso ripetere i medesimi argomenti a ciascuna coppia del sistema

Quindi associare a

la differenza

Sistema di punti materiali rigidi (corpi rigidi)

Teorema dell'energia cinetica e conservazione dell'energia per i sistemi di particelle.

Fisica Page 1

è propria perchè non dipende esplicitamente dalle forze esterne.In realtà dipende fisicamente espli citamente dalle forze esterne attraverso

Se anche le forze esterne sono conservative allora:

ENERGIA MECCANICA DEL SISTEMA

Th di conservazione dell'energia meccanicaIn un sistema di punti materiali soggetto unicamente a forze conservative l'energia meccanica è una costante del moto (si conserva)

Dimostrazione:Abbiamo visto che

Se ora diciamo che cioè che le forze esterne sono conservative allora:

ENERGIA INTERNA DI UN SISTEMA DI PUNTI MATERIALI

Fisica Page 2

-MOMENTO ANGOLARE DI UN SISTEMA DI PUNTI MATERIALI-

Con momento angolare dell'iesimo punto materiale rispetto a . In questo caso

è il momento angolare NON il lavoro

Th: 2° equazione cardinale della dinamica dei sistemi:La derivata temporale del momento angolare del sistema dei punti materiali rispetto a un sistema di polo è uguale alla risultante dei momenti agenti sul sistema spemre agenti nello stess polo:

Dimostrazione:

Consideriamo l'iesimo punto materiale, per esso vale la 2° equazione cardinale del punto materiale

. Sommando sull'indice i da 1 a n ambo i membri:

Sistema isolato quando:

Quindi un sistema isolato conserva sia la quantità di moto che il momento angolare

Th conservazione del momento angolare

In un SdR inerziale un sistema di punti materiali non soggetto a momenti di forze esterni il

moemento angolare si conserva.

2° EQUAZIONE CARDINALE RISPETTO A D UN POLO MOBILE

SdR inerziale (sistema assoluto)

Sommando sull'indice n ho:

Seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi. Conservazione del momento angolare.

Fisica Page 1

Riassumendo:

I equazione II equazione

Per il caso di n punti materiali a parte il diverso (in generale) significato di e di si ha in particolare che:

Fisica Page 2

Th dell'impulsol'impulso di una forza è uguale alla variazione della quantità di mot del sistema su cui essa agisce

Dimostrazione

Con il termine impulso si indica il cambiamento di quantità di moto di un determinato corpo in un intervallo di tempo . L'introduzione del concetto di impulso permette di enunciare il teorema dell'impulso, utilizzato in particolare nel campo degli urti, della diffusione e per lo studio delle forze impulsive. Grazie alla legge di conservazione della quantità di moto si può dedurre che in un sistema isolato l'impulso totale è nullo.

Impulso di una forza e teorema dell'impulso.

Fisica Page 1

URTO TRA PUNTI MATERIALI

È un interazione molto breve e molto intensa tra punti materiali (particelle)

Moto indipendente iniziale delle particelle urtanti (interazione di urto non ancora presente, in pratica è trascurabile);

1.

Interazione vera e propria (contatto più deformazione e rilascio della deformazione);2.Moto indipendente finale delle particelle urtanti.3.

Si distinguono fenomenologicamente tre fasi in un moto:

La fase 2 dura un (intervallo di tempo) molto breve durante il quale si sviluppano interazioni interne forti tipicamente impulsive

Impulso agente sull'iesimo punto materiale (dovuto alla risultante delle forze interne agenti sull'iesimo punto materiale)

Per il Th dell'impulso per un singolo punto materiale si avrà:

Quindi l'iesimo punto materiale modifica la sua quantità di moto in ragione dell'impulso

Ruolo delle forze esterne:In generale durante l'urto i punti materiali urtanti non sono isolati. Tuttavia se le forze esterne non hanno natura impulsiva esse non possono modificare la quantità di moto dei punti materiali in un molto piccolo (idealmente ).

Perfettamente elastici: conservano l'energia cinetica del sistema;•

Perfettamente anelastici: cioè

;○

Anelastici: una parte dell'energia cinetica iniziale viene dissipata•

Superelastici: conversione di energia non meccanica in energia cinetica.•

Classificazione di moti:

Fenomeni d'urto.

Fisica Page 1