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5/17/2018 Una funci n es una relaci n entre dos magnitudes - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/una-funcion-es-una-relacion-entre-dos-magnitudes
Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le
corresponde un único valor de la segunda, llamada imagen.
El precio de un viaje en taxi viene dado por:
y = 3 + 0.5 x
Siendo x el tiempo en minutos que dura el viaje.Como podemos observar la función relaciona dos variables. x e y.
x es la variable independiente.
y es la variable dependiente (depende de los minutos que dure el viaje).
Las funciones se representan sobre unos ejes cartesianos para estudiar mejor su comportamiento.
x 10 20 30
y= 3 + 0.5x 8 13 18
La función lineal es del tipo:
y = mx
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.
y = 2x
x 0 1 2 3 4
y = 2x 0 2 4 6 8
Pendiente
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.
Si m > 0 la función es creciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX
es agudo.
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Formatted: No Spacing, Left, Lisingle
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Si m < 0 la función es decreciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX
es obtuso.
La función afín es del tipo:
y = mx + n
m es la pendiente. Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.
n es la ordenada en el o rigen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de
ordenadas.
La función constante es del tipo:
y = n
El criterio viene dado por un número real.
La pendiente es 0.
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas .
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El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.
D = {x / f (x)}
Conjunto inicial Conjunto final
Dominio Conjunto imagen o recorrido
Estudio del dominio de una función
Dominio de la función polinómica entera
El dominio es R , cualquier número real tiene imagen.
f(x)= x2
- 5x + 6 D=R
Dominio de la función racional
El dominio es R menos los valores que anulan al denominador (no puede existir un
número cuyo denominador sea cero).
Dominio de la función irracional de índice impar
El dominio es R.
Dominio de la función irrracional de índice par
El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea
mayor o igual que cero.
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Dominio de la función logarítmica
El dominio está formado por todos los va lores que hacen que el radicando sea
mayor que cero.
Dominio de la función exponencial
El dominio es R.
Dominio de la función seno
El dominio es R. Dominio de la función coseno
El dominio es R.
Dominio de la función tangente
Dominio de la función cotangente
Dominio de la función secante
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Dominio de la función cosecante
Dominio de operaciones con funciones
Si relizamos operaciones con funciones, el dominio de la función resultante será:
Simetría respecto del eje de ordenadas
Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas si ésta es una función par, es decir:
f(-x) = f(x)
Simetría respecto al origen
Una función f es simétrica respecto al origen si ésta es una función impar, es decir:f(-x) = -f(x)
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Encontrar las imagenes corresponde a encontrar el recorrido de la función, es decir todos los
números que resultan de evaluar (reemplazar "x") la función por un elemento de su dominio.
Por ejemplo:
f: R->R (función con Dominio en los reales y Codominio en los reales), definida por:
f(x)= 2x+1
recordemos que f(x)=y,
*El Dominio es el conjunto de todos los valores que puede tomar "x".
*Las preimagenes son cada uno de los elementos que del Dominio.
*El Recorrido es el conjunto de los valores que resultan de reemplazar "x" en "2x+1". (Evaluar la
función).*Las Imagenes son todos los elementos del conjunto Recorrido.
Entonces, si deceas saber la imagen de la función de una preimagen deveras simplemente evaluar
la función en esa preimagen. Por ejemplo:
Preimagen: 3 ¿Imagen de 3 en la función?:
f(3)=2(3)+1
f(3)=7, por lo tanto la imagen de 3 en la función "f(x)" es 7.
Ahora, teniendo esto claro, si deseas saber el conjunto de todas las imagenes debes sacar el
recorrido, que es lo mismo saber cuantos números pueden resultar de "x", entonces se debe
despejar "x":
f(x)= 2x+1
y=2x+1
(y-1) / 2=x
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Entonces el recorrido (conjunto de las imagenes) son todos los valores que puede tomar "y" que
no indeterminen la función. En este caso son todos los números reales (R)
Otro ejemplo:
g(x)= 4/ x
y=4/ x
yx= 4
x= 4/y
Entonces "y" no puede tomar el valor 0, pues 4/0 no existe (no está determinado), por lo cual el
recorrido es:
R- {0}............(los números reales menos el cero)
Lo que significa que las imagenes de g(x) pueden ser todos los valores en ese conjunto (R-{0})
Asíntotas
Se llama asíntota de una función f(x) a una recta t cuya distancia a la curva tiende a cero, cuando x
tiende a infinito o bien x tiende a un punto a.
Definición
Asíntota vertical
La recta x=a es asíntota vertical (AV) de f(x) si limx->a+ f(x) = inf olimx->a- f(x) = inf.
DefiniciónAsíntota horizontal
La recta y=b es asíntota horizontal (AH) de f(x) si limx->inf f(x) = b.
Ejemplo
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Formatted: No Spacing, Space Line spacing: single, Pattern: Cle
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f(x) = x/(x-1)
limx->1+ f(x) = +inf
limx->1- f(x) = -inf
=> x=1 es AV de f(x)
limx->inf f(x) = 1
=> y=1 es AH de f(x)
Definición
Asíntota oblicua
La recta y = mx + n es asíntota oblicua (AO) de f(x) si lim x->inf f(x) - (mx + n) = 0.
Ejemplo
f(x) = x + 1/x
limx->inf f(x) - x = limx->inf x + 1/x - x = 0
=> y=x es AO de f(x)
Además,
limx->0+ f(x) = +inf limx->0- f(x) = -inf
=> x=0 es AV de f(x)
Teorema
y = mx + n es asíntota oblicua de f(x) <=>
n = limx->inf f(x) - mx
m = limx->inf f(x)/x
Demostración:
Directo:
Por hipótesis lim f(x) - (mx + n) = 0
x->inf
=> lim f(x) - mx - n = 0
x->inf
=> lim f(x) - mx = n
x->inf
n
---^---
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Formatted: No Spacing, Space Line spacing: single, Pattern: Cle
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f(x) f(x) f(x) - mx
=> lim ---- = lim ---- - m + m = lim --------- + m = m
x->inf x x->inf x x->inf x
Recíproco:
lim f(x) - (mx + n) = lim f(x) - mx - n = 0x->inf x->inf
=> por definición y = mx + n es asíntota oblicua de f(x). Formatted: No Spacing