Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.1

Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.1

Frontespizio del trattato di algebra di Al-Khwarizmi


Risoluzione dell’equazione x2+10x = 39 nel trattato di algebra di Al-Khwarizmi.

Risoluzione dell’equazione x2+10x = 39 dalla versione latina di G. Libri (1838)Il problema è che questo censo (x2) e dieci radici (10x) sono uguali a 39 dracme. Sia quindi una superficie quadrata di lati sconosciuti, la quale è il censo, il quale e le radici del quale vogliamo conoscere: sia essa la superficie a.b e ciascuno dei lati del quadrato è la sua radice. Si moltiplica ciascun lato del quadrato per un certo numero (un segmento), allora il numero (un’area) che è stato aggiunto è il numero delle radici (10) che sono proprio la radice di quella superficie.


Risoluzione dell’equazione x2+10x = 39 dalla versione latina di Libri (segue)

Dopo che si è detto che con il censo ci sono dieci radici, prenderò la quarta parte di dieci, che è 2,5. E farò la superficie con ciascun quarto e con uno dei lati della superficie del quadrato [sta costruendo un rettangolo su ciascun lato del quadrato]: ci saranno dunque con la prima superficie, che è la superficie a.b quattro superfici uguali, la lunghezza di ciascuna delle quali, è uguale alla radice di a.b, e la larghezza è 2,5; le quali sono le superfici g. h. t. k. Alla radice della superficie che è di lati uguali e ignoti (cioè il quadrato che sta costruendo come completamento di quello iniziale a.b), manca ciò che è tolto dai 4 angoli.


d h

a

b

k e

t gcensus


x2+10x = 39


Il quadrato ab ha area x2. I quattro rettangoli t, h, g, k hanno lati x e 10/4. L’area del poligono a croce è x2 + 4(10/4), che vale 39. Se completiamo la figura con i quattro quadratini di lato 10/4, otteniamo un quadrato di lato x + 2(10/4) e di area 39+4(10/4)2

x2+10x = 39

Usa l’ipotesi che il quadrato AB più i quattro rettangoli t, k, g, h sono uguali a 39. Differenza coi Greci:• l’analisi• sono coinvolti numeri (identifica segmenti, rettangoli, ...) con le loro misure (10, x, 39, ...)• si può parlare di dimostrazione non numerica all’interno di una “aritmetica delle grandezze”• si usa una teoria “intuitiva” della misura


Diversi modi di scrivere la formula3x3 6x2 = 4x + 5forma retorica: Sei volte il quadrato del mio numero si sottrae tre volte il cubo del numero e chiedo uguale a quattro volte il numero più cinqueforma sincopata: 3cu m 6ce ae 4co p 5 (Luca Pacioli, 1494)forma simbolica: 3 Acu 6Aq aequatur 4A + 5 (Viète, 1591)3xxx 6xx 4x + 5 (Descartes, 1637)3 x3 6 xx + 4x + 5 (Wallis, 1693)


Una pagina di Viète


François Viète (1540-1603) espone il suo programma nel trattato In artem analyticen isagoge (1591). Il suo scopo principale è di riabilitare, restaurare e migliorare l’analisi degli antichi. Distingue tre parti o funzioni dell’arte analitica:1) la messa in equazione sotto una forma ordinata che permette di trovare una proporzione corrispondente (“Zetetica” )2) la verifica della validità di (1), cioè che si può fare il percorso in senso inverso, chiamato sintesi (“Poristica”)3) la soluzione effettiva del problema, sotto forma numerica o geometrica secondo i casi (“Esegetica”, “Retica”)


Viète usa la “logistica speciosa” o calcolo sui simboli (usati sia per incognite che per dati, in contrapposizione alla “logistica numerale”)

L’opera di Viète è di difficile lettura per l’uso di neologismi (in greco, ...), le intenzioni, il metodo ...


Elementi fondamentali del calcolo algebrico in Viète:

1) “antitesi” (trasporto di un membro da un termine all’altro di un’equazione)2) “ipobalismo” (soppressione di un fattore comune a tutti i termini di un’equazione)3) “parabolismo” (divisione di tutti i termini di un’equazione per un termine arbitrario)


Nella tradizione euclidea il linguaggio delle proporzioni era il più generale strumento di espressione matematica e Viète ne è impregnato. Indica, però, l’equivalenza fondamentale tra le proporzioni e le equazioni Viète è un prodotto dell’ambienteumanistico del suo tempo Secondo l’umanista Petrus Ramus laconoscenza deve essere organizzata in argomenti che dovrebbero essere intrisecamente omogenei. L’algebra, dipendendo dalla geometria e dall’aritmetica, non soddisfa questo principio..


In Viète permane la preoccupazione perl’omogeneità. Viète stabilisce una doppia nomenclatura sugli scalari o potenze da una parte (lato, quadrato, cubo, quadrato di quadrato, quadrato in cubo, ...) e dall’altra, sulle grandezze che possono essere loro paragonate (lunghezza, o larghezza, piano, solido, piano-piano, piano-solido, ...) La manipolazione algebrica deve dunqueaccompagnarsi a ciò che noi chiameremmo la dimensione questa omogeneità è una sorta di “garanteontologico” delle operazione ed un “regolatore semantico”. Si tratta di una condizione pesante abbandonata già da Harriot e Ghetaldi.



Un esempio di problema in Viète

Viète, Zeteticorum, libro I

“Data la differenza di due lati e la loro somma, trovare i lati.Sia B la differenza dei due lati e D la loro somma; è richiesto di trovare i lati.Sia A il lato minore; allora il maggiore sarà A + B. Dunque la somma dei due lati sarà A2 + B. Ma la somma dei lati è data come D. Allora A2 + B = D. e per antitesi, A2 sarà uguale a D B, e se essi sono dimezzati, A sarà uguale a D1/2 + B1/2.Oppure, sia E il lato maggiore. Allora il minore sarà E B.”


Viète, Zeteticorum, libro I

“Dunque la somma dei lati sarà E2 B. Ma la stessa somma è data come D. Dunque E2 B uguaglia D, e per antitesi, E2 uguaglia D + B, se essi sono dimezzati, e sarà uguale a D1/2 + B1/2.”Dunque, con la differenza e la somma di due lati data, i lati sono trovati.Infatti, metà somma dei lati meno metà della loro differenza è uguale al lato minore, e metà della loro somma più metà della loro differenza è uguale al maggiore.Quod ipsum ...La qual cosa stessa è mostrata dalla Zetesis.”


“In artem analyticem Isagoge Serosim excussa ab opere restitutae Mathematicae Analyseos, seu, Algebra nova”

Vaulézard:“Introduction en l’art analytic ou nouvelle algèbre”


Riflessioni didattiche

che cosa resta nella nostra scuola di questo programma?

il metodo (l’analisi) viene prima; lo strumento (il linguaggio algebrico) deve essere ben padroneggiato, ma al fine di servire.

il metodo di analisi è trasversale nella matematica l’analisi favorisce l’interdisciplinarità



Discours sur la méthode, Leida, 1637 (Descartes, 1966, parte II, pp.134-135):

“Quanto poi all’Analisi degli antichi e all’Algebra dei moderni, oltre a riferirsi esclusivamente a materie astrattissime e che sembrano inutili, la prima è sempre talmente vincolata alla considerazione delle figure da non poter esercitare l’intelletto senza affaticare molto l’immaginazione, e la seconda è talmente assoggettata a certe regole e a certe cifre da divenire un’arte confusa e oscura, che confonde la mente invece che coltivarla. Per tutto questo stimai necessario cercare qualche altro Metodo che, comprendendo i vantaggi di queste tre scienze [Logica, Algebra, Analisi dei Geometri] fosse esente dai loro difetti. [...]”


Discours sur la méthode, Leida, 1637 (Descartes, 1966, parte II, pp.134-135, segue)Il secondo [precetto da osservare nel lavorare] consisteva nel dividere ciascuna difficoltà che stessi esaminando in tante piccole parti quante fosse possibile e necessario per giungere alla migliore soluzione di essa. [...]Erano state quelle lunghe catene di ragionamenti, tutti semplici e facili, di cui di solito si servono i Geometri nelle loro più difficili dimostrazioni, che mi avevan dato motivo a pensare che tutte le cose conoscibili dall’uomo si susseguissero nello stesso modo, e che [...] non potessero darsi conoscenze così remote da non poter infine essere raggiunte né così nascoste che non potessero scoprirsi. [...] in tale modo avrei preso quanto di meglio offrivano l’Analisi dei Geometri e l’Algebra e avrei corretto i difetti dell’una per mezzo dell’altra.


Il pensiero di DescartesOgni problema geometrico può facilmente essere ridotto a tali termini che una conoscenza di lunghezze di certe rette è sufficiente per la sua costruzione.Infine, per essere sicuri di ricordare i nomi di queste rette, dovrebbe essere sempre fatta una lista separata ogni qualvolta i nomi sono assegnati o cambiati, per esempio, possiamo scrivere, AB = 1, cioè AB è uguale a 1; GH = a, BD = b e così via.


Il pensiero di Descartes (segue)

Se, allora, vogliamo risolvere un problema, dapprima supponiamo la soluzione già trovata e diamo dei nomi a tutte le rette che sembrano utili per la loro costruzione, a quelle che sono ignote come a quelle che sono note. Poi, non facendo nessuna distinzione tra rette note e ignote, dobbiamo districare la difficoltà in qualunque modo che mostri più naturalmente le relazioni [quelle che portano a equazioni] tra queste rette, finché troviamo possibile esprimere una singola quantità in due modi. Questo costituisce un’equazione, poiché i termini di una di queste due espressioni sono insieme uguali ai termini dell’altra.”dell’altra”.


Descartes parla di relazioni;che tipo di relazioni?- equazioni e proporzioni- non quelle che ha in mente Mahoney, che sono più generali- però con la non distinzione tra rette note e incognite l’algebra di Descartes è già proiettata verso l’algebra delle strutture

Riguardo alle questioni ontologiche:- non tratta rette, ma misure di rette

L’algebra di Descartes è basata sulla misura di grandezze geometriche e relazioni tra queste misure


Situazione quando arriviamo a Descartes: la teoria delle proporzioni è ancora in auge esiste ancora la necessità per una teoria di essere omogenea

La discussione su Descartes fa emergere due elementi fondamentali nella storia dell’algebra:

il pensiero analitico la teoria della misura


EpilogoEpilogo

la nostra lettura della storia porta a concludere che

l’algebra non è solo un’estensione del dominio numerico l’algebra non è solo una questione di usare simboli l’algebra è un modo di manipolare relazioni

il metodo di analisi è il cuore dell’algebra


una lettura darwinista della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento ci porta a parlare di una selezione naturale delle idee. Risultano vincenti quelle legate all’analisi.


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