Undécimo 2014

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. 510.7 Grupo Fnix de Costa Rica

. G892m Matemtica 11: Teora y Prcticas Bachillerato / GrupoXI Fnix de Costa Rica. -- 1a ed. -- Alajuela, Costa Rica:

Grupo Fnix de Costa Rica, 2014150 p. : il. ; 27 cm.

ISBN 978-9930-9496-4-1

1. MATEMTICA - ENSEANZA - ENSEANZA MEDIA.2. MATEMTICAS -LIBROS DE TEXTO. I. Ttulo.

Copyright 2014Grupo Fnix

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin autorizacin escrita del Grupo Fnix.

Pedidos al 2494-8133; 8301-8947 8855-1678www.grupofenixcr.com

Diseo y armadoGrupo Fnix

Diseo de portadaGrupo Fnix

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* Aplican restricciones, ver condiciones en www.grupofenixcr.com

INTRODUCCINPrimero, es conveniente hacer una breve aclaracin sobre nuestro nombre y smbolo (Ave Fnix Tribal),

se tiene como referente histrico-ideolgico el mito del Ave Fnix que aliment varias doctrinas y concepcionesreligiosas de supervivencia en el Plus Ultra, pues el Fnix muere para renacer con toda su gloria. Se trataba deun ave fabulosa que se consuma por accin del fuego cada 500 aos, para luego resurgir de sus cenizas. Esdecir, el GRUPO FNIX representa un nuevo comienzo, un resurgimiento, levantarse de las cenizas, espor esta razn que es nuestro emblema.

Segundo, el presente texto pretende ser un material de apoyo en el proceso de enseanza yaprendizaje de la matemtica, exponiendo de forma pragmtica y didctica todos los Conocimientos yHabilidades Especficas, expuesta y vigentes en el Programa de Estudio de Matemticas (Transicin 2014), conbase en los Programas de Estudio de Matemtica aprobados por el Consejo Superior de Educacin el 21 demayo de 2012, considerando como referente metodolgico el enfoque con base en la resolucin de problemas,propuesto en los Nuevos Programas de Estudio.

Despus de muchos aos de trabajo en las aulas y en oficinas tcnicas del MEP, as como la bastaexperiencia en la elaboracin de libros de texto y material didctico, un grupo de profesionales en la Enseanzade la Matemtica nos propusimos elaborar una propuesta pragmtica y didctica basada en la resolucin deproblemas que propicie el desarrollo de competencias matemticas en el estudiante.

Un problema que consideramos sustantivo en el desarrollo del Programa de Estudio, consiste en quealgunos docentes guiados por otros textos, desconocen de forma fidedigna el Programa de Estudio con todossus elementos que lo conforman, llmese estos, Conocimientos, Habilidades Especficas e IndicacionesPuntuales, provocando que se trabaje en el aula contenidos que no estn en las directrices curriculares delMEP, o en su defecto, alcanzando niveles de profundizacin de temas que no se consideran importantes paralas habilidades generales previstas para el educando en cada ao de su respectivo ciclo. Es por este motivo,que hemos insertado textualmente dichos elementos y ms (en algunos casos planteamos incluso los mismosproblemas que citan en las Indicaciones Puntuales, nunca con el afn de atribuirnos tales derechos de autor,por el contrario, respetamos y citamos que tales problemas pertenecen a los Programas de Estudio deMatemticas del Ministerio de Educacin de Costa Rica), de modo que sean el verdadero referente para lasactividades de mediacin que el docente proponga.

Tercero, para esta nueva edicin 2014 se ha contemplado que el mayor nmero de habilidades adesarrollar tengan un problema al inicio, permitiendo al docente y al estudiante incursionar en la nueva temticapartiendo de un reto de la vida cotidiana, intentando aprehender del estudiante los conocimientos previos yfomentar para la vida el principio filosfico que consideramos eje transversal de la educacin en general losproblemas son para resolverlos. El material est constituido por niveles de conocimiento, en el cual la teora,los ejemplos y los trabajos cotidianos mantienen una dificultad partiendo de lo ms elemental a lo mscomplejo.

Cuarto y ltimo, en una investigacin previa realizada por el GRUPO FNIX con un grupo focal dedocentes de una Regin Educativa, nos dicta que en la mayora de los casos los estudiantes buscan primero lasrespuestas antes de resolver los ejercicios y problemas, incluso, algunos cuestionan y dudan de la capacidaddel docente cuando las respuestas de este ltimo no coinciden con las ofrecidas por el libro, a pesar que enmuchos casos son errores de los diagramadores a la hora de transcribir las respuestas en los formatos digitalesantes de ser impresos; por tanto, no se adjuntan las respuestas. Sin embargo, junto a nuestros librosofrecemos a cada docente la posibilidad de descargar* las respuestas en nuestra pgina webwww.grupofenixcr.com para que las utilice segn considere mejor con sus estudiantes, e incluimos unaserie de materiales de apoyo para el docente de matemtica trabajos extra clase, ejercicios deprofundizacin, planeamientos y pruebas escritas entre otros, que busca simplificar al menos un pocotanto trabajo que tiene sobre sus hombros cada docente en su ejemplar labor como formador de nuestrosjvenes estudiantes que participan en sus lecciones.

El estudio de la matemtica debe ser el comienzo del conocimiento depurado (Los autores, 2009)VERSIN WEB VE

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RECONOCIMIENTOSAda FigueroaProfesora de MatemticaLiceo Monseor Rubn Odio

Alexander FuentesProfesor de MatemticasLiceo Monseor Rubn Odio

Allan Correa MataProfesor de MatemticaColegio Marco Tulio SalazarTurrialba

Ana Lucia Araya UmaaProfesora de MatemticaC.T.P Dos Cerca

Alina Palacios ArauzProfesora de MatemticasLiceo Acadmico Diurno deCiudad Neily

lvaro Ortega lvarezProfesor de MatemticaUnida Pedaggica Jos FidelTristn

Allan MairenaProfesor de MatemticaLiceo San Jos

Andrea Madrigal GonzlezProfesora de MatemticaCTP Bolvar

Adrin Umaa DuranProfesor de MatemticaLiceo Escaz

Alejandra Araya QuirsProfesora de MatemticasColegio Marco Tulio Salazar:Liendo y Goicochea

Adriana Marn MoraProfesora de MatemticaIEGB Amrica Central

Andrea AriasProfesora de MatemticaColegio Vocacional de Heredia

Alex MoraProfesor de MatemticaC.T.P de Parrita

Ana Cristina Herrera VProfesora de MatemticaIEGB Andrs Bello Lpez

Adriana Vquez MirandaProfesora de MatemticaLiceo de Turrucares

Adriana Vargas ArguedasProfesora de MatemticaLiceo Samuel Senz

Agustn Mora PicadoProfesor de MatemticaLiceo Pacifico Sur

Ana Isabel Noguera EProfesora de MatemticaLiceo Santa Cruz

Alonso Caldern CorderoProfesor de MatemticasCTP Siquirres

Andrs Cubillo BarrantesProfesor de MatemticaColegio Teresiano San Enrique

Agustn Monge PiedraProfesor de MatemticaLiceo de Atenas

Andrs GarcaProfesor de MatemticasLiceo de Tarraz

Anita Vindas ChvezProfesora de MatemticaLiceo Manuel Benavides

Ana Grace Carranza AProfesora de MatemticaLiceo Rural de Cabeceras

Aida Segura ArroyoProfesora de MatemticasLiceo Gregorio Jos Ramrez

Ana Margarita Angulo CProfesora de MatemticaCTP 27 de Abril

Andreina Vsquez RojasProfesora de MatemticaCTP Bolvar

Arelis Arias VarelaProfesora de MatemticaIPEC de Puntarenas

Bartolom Palma BarrantesProfesor de MatemticaLiceo Nuevo de Limn

Bernal LunaProfesor de MatemticaLiceo Salvador Umaa

Bernard Carvajal SnchezProfesor de MatemticaColegio Acadmico de Gucimo

Bianca Chacn HernndezProfesora de MatemticaLiceo Diurno de Limn

Carlos Edo Gmez GarcaProfesor de MatemticaSindea Jcaral

Crissel Cspedes BadillaProfesora de MatemticaLiceo Rural Santiago de SanPedro

Carmen Saira Cubero VProfesora de MatemticaLiceo de Tucurrique

Csar Rodrguez LealProfesor de MatemticaLiceo de Ro Fro

Carlos Arce MurilloProfesor de MatemticasLiceo San Miguel deDesamparado

Cindy Obando GProfesora de MatemticaIPEC Sindea Arabela Jimnezde Volio

Carlos Jos SantamaraRamrezProfesor de MatemticaColegio de Florencia

Carmen Liley MonteroProfesora de MatemticaLiceo Experimental BilingeGrecia, Alajuela

Carlos Cordero CorderoProfesor de MatemticaCTP Mansin de Nicoya

Cristian Sancho CambroneroProfesora de MatemticaColegio Dr. Moreno Caas

Carlos Medina ObregnProfesor de MatemticaLiceo Pacifico Sur

Carolina FloresProfesora de MatemticaColegio Saint Benedict

Carlos GaliciaProfesor de MatemticaCentro Educativo Adventista dePaso Canoas

Cristiana Caldern MProfesora de MatemticaLiceo Julio Fonseca Gutirrez

Carlos Quesada GamboaProfesor de MatemticaCTP Osa

Cristian Peralta CruzProfesor de MatemticaLiceo El Carmen de Nandayure

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Carlos Gmez GarcaProfesor de MatemticaSindea Jcaral

Cristian Rojas CarrilloProfesor de MatemticasLiceo Experimental BilingeLos ngeles

Carlos Venegas SotoProfesor de MatemticaLiceo Ro Fro

Cristina Caldern MejasProfesora de MatemticaLiceo Julio Fonseca Gutirrez

Carlos Corrales ChavarraProfesor de MatemticaC.T.P Roberto Gamboa

Carlos Gonzlez A.Profesor de MatemticaLiceo de Cervantes

Carlos Villalobos SolsProfesor de MatemticaC.T.P Ambientalista IsaasRetana Arias

Carlos Chavarra VillalobosProfesor de MatemticaCTP Guatuso

Cecilia Prez SalasProfesora de MatemticaLiceo Poasito

Cesar Morales GranadosProfesor de MatemticaLiceo Jos M Gutirrez

Carmen Julia Ulate QuesadaProfesora de MatemticaLiceo San Jos

Danny ColumnaProfesor de MatemticaLiceo Len Corts Castro

Damaris Castillo BustosProfesora de MatemticaLiceo Duacary

Daniel Arguedas AlfaroProfesor de MatemticaTelesecundaria Boca del Ro

David Alfaro AlfaroProfesor de MatemticaLiceo Sta. Gertrudis Norte

Danny MongeProfesor de MatemticaLiceo de Coronado

Daniel Cruz CamposProfesor de MatemticaLiceo de San Jos

Danny Ruiz OrozcoProfesor de MatemticaLiceo Rural la Aldea

David Daniel Conejo AriasProfesor de MatemticaLiceo Nocturno Pacifico Sur

Diego Navarro TrejosProfesor de MatemticaLiceo Experimental Bilinge deAgua Buena

Daniel Alczar RamrezProfesor de MatemticaLiceo Capitn Manuel Quirs

Dariana Rodrguez IglesiaProfesora de MatemticaColegio Indgena Chiroles

Denia Salas NezProfesora de MatemticaColegio Patriarca San Jos

Dilsia Navarro DurnProfesora de MatemticaIEGB Limn

Diana Herrera AlfaroProfesora de MatemticaColegio el Carme

Diego GonzlezProfesor de MatemticaLiceo de Ro Fro

Dayana Gonzlez ChavesProfesora de MatemticaLiceo San Jos

Doris Bonilla UlateProfesora de MatemticaMarco Tulio Salazar:Puntarenas

Diego Araya AlpizarProfesor de MatemticaIPEC Agua Buena

Dennis Vallejos BarrantesProfesor de MatemticaColegio de Bagaces

Deborah Pierce CuberoProfesora de MatemticaColegio Bilinge Ecolgico SanMartin

Estrella Len HernndezProfesora de MatemticaLiceo Santa Cruz

Erika Daz LealProfesora de MatemticaSindea de Abangares

Eilyn Snchez FernndezProfesora de MatemticaCTP Gucimo

Eithel HerreraProfesor de MatemticaColegio el Carmen

Eithel Vega RodrguezProfesora de MatemticaColegio Redentorista SanAlfonso

Edwin Jimnez SalinasProfesor de MatemticaSEC Hojancha

Elin Vargas AriasProfesora de MatemticasColegio Concepcin de Pilas

Elizabeth Chavarra CProfesora de MatemticaLiceo Deportivo de Grecia

Enrique Montero MoreiraProfesor de MatemticaColegio Finca de Naranjo

Emmanuel Alvarado RProfesor de MatemticaTelesecundaria Baha Drake

Erick PaguagaProfesor de MatemticaCTP Puerto Viejo

Esteban Arguedas VargasProfesor de MatemticaC.T.P Granadilla

Evelyn Valverde ChacnProfesora de MatemticaLiceo de Puente Piedra

Esteban Blanco UrbinaProfesor de MatemticaCTP Osa

Eugenio RamrezProfesor de MatemticasLiceo El Roble

Fabin Villanueva SalasProfesor de MatemticaColegio Puente Piedra

Floribeth Jimnez HidalgoProfesora de MatemticaC.T.P Piedades del Sur

Fernando Chica RomeroProfesor de MatemticaC.T.P Ambientalista IsaasRetana Arias

Francisco CanessaProfesor de MatemticaLiceo Antonio Obando Chan

Fainier Jimnez MenaProfesor de MatemticaLiceo Julin Volio de Orente

Fabiana Ortiz AstorgaProfesora de MatemticaCTP Dulce Nombre de Cartago

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Flora FernndezProfesora de MatemticaColegio Internacional Canadiense

Gina Iveth Ramrez CerdasProfesora de MatemticaLiceo Rural de San Julin

Gabriela Mena RojasProfesora de MatemticaLiceo de Tarraz

Guiselle EspinozaProfesora de MatemticaLiceo Deportivo de Grecia

Gloria Badilla FonsecaProfesora de MatemticaColegio Pacto del Jocote

Gerardo RamrezProfesor de MatemticaLiceo Regional de Flores

Gloriela HidalgoProfesora de MatemticaLiceo de Heredia

Gabriel Martnez BorbnProfesor de MatemticaLiceo Platanillo de Bar

Gerardo Rodrguez BarriosProfesor de MatemticaLiceo Turrucares

Gabriela VargasProfesora de MatemticaCentro Educativo NuevoMilenium

Greivin Lpez GmezProfesor de MatemticaSINDEA de Hojancha

Grettel ArrietaProfesora de MatemticaSindea de Coopel

Guiselle OtrolaProfesora de MatemticaLiceo de Turrucares

Greivin Eduardo CorderoCorderoProfesor de MatemticaLiceo Rural Maz de los UVA

Gladys Masis BonillaProfesora de Matemtica

Guadalupe KoreaLakeside Internacional School

Greddy Gonzlez HenrquezProfesor de MatemticaJohn F Kennedy High School

Gaudy GonzlezProfesora de MatemticaLiceo de Heredia

Guiselle Pereira RiveraProfesora de MatemticaColegio Daniel Oduber Quirs

Herbert Ugalde LoboProfesor de MatemticaCTP Upala

Henry VillarrealProfesor de MatemticaColegio Los Delfines

Harold CamposProfesor de MatemticaCentro Educativo Catlico

Henry Rodrguez DelgadoProfesor de MatemticaC.T.P Mercedes Norte

Haidi CorralesProfesora de MatemticasInstituto CentroamericanoAdventista

Hannia Leiva FallasProfesora de MatemticaLiceo Sina Diurno

Imelda Senz PinedaProfesor de MatemticaSindea 28 Millas

Isabel VsquezProfesora de MatemticaLiceo Experimental Bilinge deGrecia

Idannia Chaves JimnezProfesora de MatemticaSINDEA de Venecia

Ileana Lezcano RProfesora de MatemticaCTP Talamanca Bibri Limn

Ignacio Jimnez GonzlezProfesor de MatemticaColegio Dulce Nombre

Ileana Naranjo MesenProfesora de MatemticaLiceo San Miguel deDesamparados

Javier Calvo CorderoProfesor de MatemticaLiceo Julio Fonseca

Juan Carlos QuesadaProfesor de MatemticaLiceo Nocturno de Desamparado

Javier Carballo RuzProfesor de MatemticaLiceo San Antonio deCoronado

Jerson Ruz VargasProfesor de Matemtica

Juan Carlos BarrantesMndezProfesor de MatemticaIPEC de Agua Buena

Jason Lagos CruzProfesor de MatemticaColegio Villareal

Jenny Burgos ValverdeProfesora de MatemticaLiceo de Puriscal

Jenny Naranjo NaranjoProfesora de MatemticaC.T.P Jos Daniel FloresZabaleta

Jenny Raquel RomeroBonillaProfesora de MatemticaSindea Bribri Satlite 13

Jessenia Guevara VarelaProfesora de MatemticaLiceo San Jose

Jess HidalgoProfesor de MatemticaColegio Santa Josefina

Johnny Sancho MoralesProfesor de MatemticaColegio Nocturno de Parrita

Jorge Bonilla VegaProfesor de MatemticaLiceo de San Vito

Jessica Villalobos RojasProfesora de MatemticaTelesecundaria el Llano

Jocelyn VindasProfesor de MatemticaEscuela Internacional Cristiana

Jordn Ros VargasProfesor de MatemticaC.T.P Puntarenas

Jorge Chacn VargasProfesor de MatemticaLiceo del Sur

Jorge Luis Quirs UgaldeProfesor de Matemtica

Jos Alberto QuesadaObandoProfesor de MatemticasColegio Acadmico de Costade Pjaro

Jos Francisco Rivera VargasProfesor de MatemticaLiceo Rural de Cederal

Jos Luis Prez OrtizProfesor de MatemticaLiceo Acadmico de Beln

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Jorge Mata AguilarProfesor de MatemticaLiceo Franco Costarricense

Jos Diomar Salinas PiaProfesor de Matemtica

Jos Javier Ramrez GutirrezProfesor de MatemticaLiceo Jos Antonio ObandoChan

Jos Mrquez GonzalesProfesor de MatemticaC.T.P Roberto Gamboa

Julio Marn SnchezProfesor de MatemticaLiceo de Cariari

Jairo Rojas VargasProfesor de MatemticaLiceo La Lucha

Johnny Villalta BalladaresProfesor de MatemticaLiceo Manuel Emilio RodrguezEchevarra

Jorge Arturo Calvo AlegraProfesor de MatemticaColegio Jos Mart

Karen Camacho EspinozaProfesora de MatemticaCentro Educativo Pasos deJuventud

Karol Snchez JimnezProfesora de MatemticaLiceo Nocturno Pacifico del Sur

Katherine Sand FallasProfesora de MatemticaLiceo de Mata de Pltano

Kimberly Abarca GmezProfesora de MatemticaCTP Santa Elena

Karla Araya ChavesProfesora de Matemtica

Karla Venegas ValverdeProfesora de MatemticaLiceo Experimental Bilinge

Kattya Castro FernndezProfesora de MatemticaSun Valley High School

Kendrich Vargas VsquezProfesor de MatemticaColegio Bil. De Palmares

Kattya Pizarro MoragaProfesora de MatemticaLiceo Acadmico de Beln

Kerlyn EsquivelProfesora de MatemticaColegio Puente de Piedra

Karla Guevara VillegasProfesora de MatemticaLiceo de Colorado de Abangares

Lineth Quesada MProfesora de MatemticaLiceo de Tucurrique

Luis Castillo SantamaraProfesor de MatemticaLiceo de Santa Ana

Lissette Ulate AriasProfesora de MatemticaColegio Marco Tulio Salazar:Simn Bolvar

Luis Alonso Ruiz TorresProfesor de MatemticaCTP Carrillo

Lucia Mata VindasProfesora de MatemticaLiceo Hernn Zamora Elizondo

Leonardo Lpez RodrguezProfesor de Matemtica

Luis Quesada AlvaradoProfesor de MatemticaC.T.P. Limn

Laura Cisneros FonsecaProfesora de MatemticaLiceo Santa Marta

Maricruz Granados MedinaProfesora de MatemticaLiceo de Paraso

Mauricio Pearanda FallasProfesor de MatemticaLiceo San Gabriel

Michael Chvez MadrigalProfesor de MatemticaCTP Cartagena Guanacaste

Mayra Martnez MuozProfesora de MatemticasIEGB Anselmo Gutirrez

Marvin Mndez CruzProfesor de MatemticaIPEC Agua Buena

Maril Rodrguez MoraProfesora de MatemticaLiceo Rural de Santo Domingo

Miguel ngel SnchezProfesor de MatemticaColegio La Aurora

Mirta BritoProfesora de MatemticaColegio Educativo Royal

Manrique Barrientos QProfesor de MatemticaLiceo de Miramar dePuntarenas

Manuel VillegasProfesor de MatemticaLiceo de San Roque

Marta Eugenia Castro UreaProfesora de MatemticaC.T.P Piedades del Sur

Mauricio Solano BolaosProfesor de MatemticaLiceo La Triga

Marta Eugenia Arce RojasProfesora de MatemticaInstituto Educativo Monte Carlo

Maricela Urea JimnezProfesora de MatemticaColegio Nocturno la Cuesta

Maureen Redondo BarqueroProfesora de MatemticaUnidad pedaggica BarrioNuevo

Mara Belermina Chacn V.Profesora de MatemticaInstituto de Guanacaste.

Minor Vargas VargasProfesor de MatemticaLiceo Rural de Cahuita

Mariela Cubero MoralesProfesora de MatemticaLiceo Alfaro Ruiz

Mauricio Gamboa GamboaProfesor de MatemticaLiceo de Tarrazu

Michael Tiffer ChavesProfesor de Matemticas

Marisol Ramos FloresProfesora de MatemticaInstituto de Alajuela Liceo elCarmen

Max Gerardo Araya SequeiraProfesor de MatemticaLiceo Rural de Londres

Melida Soto MoyaProfesora de MatemticaIPEC de San Jos

Mauricio Fallas RodrguezProfesor de Matemtica

Milagro SeguraProfesora de MatemticaC.T.P Santa Eulalia

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Maribel RamrezProfesora de MatemticaSaint Margaret School

Melania Alvarado AlvaradoProfesora de MatemticaLiceo Jos Mart

Manuel lvarez HernndezProfesor de MatemticaSindea Puerto Viejo

Mariela Alfaro HidalgoProfesora de MatemticaLiceo San Roque

Marcela CecilianoProfesora de MatemticaLiceo Hernn Zamora Elizondo

Marco Abarca AlvaradoProfesor de MatemticaColegio Acadmico La Palma

Marisol BonicheProfesora de MatemticaLiceo Experimental Bilinge deGrecia

Natalia Bonilla AstorgaProfesora de Matemtica

Norberto Montero SeguraProfesor de MatemticaColegio Tcnico San Joaqun deFlores

Noem Morera ChvezProfesora de MatemticaSindea de Venecia.

Nuria GarroProfesora de MatemticaConvi S.A

Nancy CastroProfesora de MatemticaLiceo de Santa Ana

Nelson Torres UmaaProfesor de MatemticaIEGB la Cruz.

Nelson Loria SnchezProfesor de MatemticaLiceo de Ticaban

Paolo AnguloProfesor de MatemticaGreen Valley

Pablo Coto BrenesProfesor de MatemticaIPEC Sindea Arabela Jimnezde Volio.

Omar Camacho AstuaProfesor de MatemticaC.T.P Mario Quirs Sasso

Paulo Paniagua DelgadoProfesor de MatemticaLiceo Manuel Benavides

Paulina Coto MataProfesora de MatemticasUnidad Pedaggica San Diego

Paola SolsProfesora de MatemticaColegio Marco Tulio Salazar

Rosario Mndez EsquivelProfesora de Matemtica

Ronald Jimnez GonzlezProfesor de MatemticaLiceo Sta. Gertrudis

Rafael Montero RodrguezProfesor de MatemticaColegio Internacional Sek

Randall Quirs BermdezProfesor de MatemticaLiceo de Cariari

Ral Badilla RamrezProfesor de MatemticaLiceo San Miguel DeDesamparados

Ral Badilla RamrezProfesor de MatemticaLiceo San Miguel

Rebeca Mora Oconitrillo.Profesora de MatemticaColegio Florida.

Robert Rojas BadillaProfesor de MatemticaColegio Madre del DivinoPastor

Rodney Ng BaltodanoProfesora de MatemticasLiceo de Tucurrique

Rody Arrieta SolanoProfesor de MatemticaCentro Educativo Jorge deBravo.

Romn Ruiz ContrerasProfesor de MatemticaLiceo Experimental BilingeSanta Cruz.

Ronald Villalobos AriasProfesor de MatemticaLiceo Ambientalista el Roble

Rosa Iris Centeno Ros.Profesora de Matemtica

Rolando Cascante R.Profesor de MatemticaSindea de Pejibaye

Ramn Jimnez SolsProfesor de MatemticaColegio Acadmico Republicade Italia

Rony Rodrguez ChavaraProfesor de MatemticaLiceo Rural Colonia del Valle

Rafael Gonzales PalaciosProfesor de MatemticaUnid. Pedaggica La Valencia

Rosa M. Soto PaladinaValley Forge High School.

Ricardo Mndez BlancoProfesor de MatemticaLiceo Rural de Cahuita

Shirley Marn AbarcaProfesora de MatemticaLiceo Santa Martha

Sterling Arce EspinozaProfesor de MatemticaC.T.P Castro Beer

Saray Gamboa CorralesProfesora de MatemticaLiceo de Chachagua

Siria Daz HernndezProfesora de MatemticaColegio Atlntico Siquirres

Sergio A. Madrigal CorderoProfesor de MatemticaLiceo de Tarrazu

Sergio Vanegas RojasProfesor de MatemticaLiceo Rural de Gandoca

Shirley Gonzlez AProfesora de MatemticaColegio Nocturno de Quepo

Shirley Cerdas PeaProfesora de MatemticaSindea Sardinal Carrillo

Shirley ValverdeProfesora de MatemticaLiceo de Atenas

Stephanie Herrera VargasProfesora de MatemticaC.T.P Las Palmitas

Teresita SnchezProfesora de MatemticaVocacional de Heredia

Tania CrdobaProfesora de MatemticaLiceo Joaqun Gutirrez Mangel

Tania RomeroProfesora de MatemticaUnidad Pedaggica Jos FidelTristnVERSIN WEB VE

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Thais Sandi MenaProfesora de MatemticaLiceo de Gravillas

Vctor RetanaProfesor de MatemticaLiceo del San Jos

Victoria Matarrita MndezProfesora de MatemticaColegio Marco Tulio: Holanda

Violeta LozanaProfesora de MatemticaCentro Educativo Adventista deLimn

Vicenta Laurence LpezProfesora de MatemticaLiceo Nocturno de Siquirres

Vanessa Gmez JimnezProfesora de MatemticaColegio Nocturno de Guay cara

Vialexca Membreo GonzlezProfesora de MatemticaC.T.P de Guatuso

Vctor Quirs OtrolaProfesor de MatemticaLiceo Finca Alajuela

Vernica Medrano RojasProfesora de MatemticasLiceo Judas de Chomes

Vernica Morales RamrezProfesor de MatemticaC.T.P Mario Quirs Sasso

William Guilln CarpioProfesor de MatemticaLiceo Ricardo FernndezGuardia

Wilberth Guido QuirsProfesor de Matemtica

Wendy Campos GuevaraProfesora de MatemticaLiceo Nocturno Paraso

Wayne Chacn BrenesProfesor de Matemtica

Wilmar Castro SolsProfesor de MatemticaLiceo Canan de Ros

Wilberth Altamirano SequeiraProfesor de MatemticaColegio Marco Tulio Salazar:Golfito

Xenia ParkerCentro EducativoAdventista de CR

Xinia EspinozaProfesora de MatemticaLiceo San Francisco de Ass

Xiomara Rivera LpezProfesora de MatemticaLiceo Eco turista Quepo

Yajaira Abarca SolsProfesora de MatemticaLiceo de Laguna

Yulissa SolsProfesora de Matemtica

Yendri Naranjo RodrguezProfesora de MatemticaLiceo Sixaola

Yamil Villanueva DazProfesor de MatemticaColegio Tepecue

Yohan Gmez GarroProfesor de MatemticaCTP Jcaral

Yogen Suarez GarcaProfesor de MatemticaSindea Huacas

Yuri Lobo HernndezProfesora de MatemticaColegio La Aurora

Yajaira Rodrguez Gonzales.Profesora de MatemticaLiceo Rural de Manzanillo

Zeidy ChvezProfesora de MatemticaLiceo Castro Madriz

Zeidy Jarquin CalvoProfesora de MatemticaLiceo Rural Nueva Guatemala

Zeidy Cordero NezProfesora de MatemticaColegio Artstico Felipe Prez

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NDICEUNIDAD I: GEOMETRA

1. Relaciones entre los elementos bsicos del crculo y la circunferencia. 122. Relaciones que se establecen entre circunferencias concntricas, circunferencias

tangentes y circunferencias secantes. 153. Teoremas relacionados con la congruencia de cuerdas y con la perpendicularidad

de la recta tangente. 204. Caractersticas de los polgonos regulares, inscritos o circunscritos. 295. Clculo del rea total y rea parcial del prisma, del cilindro, de la pirmide, del cono

y de la esfera, en la solucin de ejercicios y problemas. 39

UNIDAD II: RELACIONES Y LGEBRA6. Aplicacin de la trigonometra, en el avance cientfico y tecnolgico de la

humanidad. 557. ngulos en posicin estndar, a partir de arcos medidos en radianes. 568. Medida de un ngulo en grados o en radianes. 579. ngulos definidos en la circunferencia trigonomtrica. 6010. Funcin seno y la funcin coseno de acuerdo con su criterio, su dominio y su

codominio. 6711. Funcin tangente de acuerdo con su criterio, su dominio y su codominio. 7112. Relacin de reciprocidad de las funciones secante, cosecante y cotangente, con las

funciones coseno, seno y tangente, en la comprobacin de identidadestrigonomtricas.

83

13. Identidades trigonomtricas. 8814. Ecuaciones trigonomtricas sencillas. 91

UNIDAD III: RELACIONES Y LGEBRA 1015. Conceptos bsicos de funciones. 9516. Dominio mximo de funciones reales. 10317. Funcin lineal. 10718. Problemas relacionados con la ecuacin de la recta. 11319. Rectas paralelas y rectas perpendiculares. 11820. Funcin cuadrtica 12321. Problemas relacionados con funciones cuadrticas. 13222. Funcin inversa. 13623. Funcin exponencial y ecuaciones exponenciales. 14624. Funcin logartmica y ecuaciones logartmicas. 15125. Problemas relacionados con funciones exponenciales y funciones logartmicas. 15626. Ecuaciones cuadrticas y problemas mediante ecuaciones cuadrticas. 15827. Sistemas de ecuaciones lineales con una variable y problemas. 160

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UNIDAD IGEOMETRA

Conocimientos Habilidades especficaCrculo y circunferencia, elementos: radio centro cuerda dimetro ngulo central arco recta tangente recta secante

Circunferencias, posicin relativa: circunferencias concntricas circunferencias tangentes interiores circunferencias tangentes exteriores circunferencias secantes.

Circunferencias, relaciones: entre radios y tangentes entre cuerdas

Polgonos regulares: ngulo central ngulo interno ngulo externo lado apotema radio diagonal

Slidos: cubo prisma recto cilindro circular recto pirmide regular cono circular recto esfera rea total rea parcial

1. Reconocer diferentes elementos relacionados con lacircunferencia (radio, centro, cuerda, dimetro, ngulo central,arco, rectas tangentes, rectas secantes).

2. Aplicar la relacin entre la medida de un ngulo central y elarco que subtiende.

3. Aplicar las relaciones entre los elementos bsicos del crculo yla circunferencia (el dimetro y el radio, la cuerda de mayorlongitud y el dimetro, el ngulo central y el arco que subtiende)en la solucin de problemas y en situaciones del contexto.

4. Aplicar las relaciones que se establecen entre circunferenciasconcntricas, circunferencias tangentes y circunferenciassecantes, en la solucin de problemas y situaciones delentorno.

5. Aplicar que una recta es tangente a la circunferencia si y solo sies perpendicular al radio en su punto de tangencia

6. Aplicar que en una misma circunferencia, o en circunferenciascongruentes, dos cuerdas son congruentes si y solo siequidistan del centro.

7. Aplicar relaciones mtricas entre diversos elementos (ngulocentral, interno, externo, lado, apotema, radio, diagonal), de lospolgonos regulares, inscritos o circunscritos a unacircunferencia, en la solucin de problemas y situaciones delentorno.

8. Determinar y aplicar el permetro y rea de polgonos regularesen la solucin de problemas y situaciones del entorno.

9. Determinar y aplicar, en la resolucin de problemas ysituaciones del entorno, diversas relaciones entre elementos deun polgono regular (nmero de lados y nmero de diagonales,nmero de lados y la medida del ngulo externo, nmero delados y la medida del ngulo interno, nmero de lados y lasuma de las medidas de los ngulos internos, suma de lasmedidas de los ngulos externos).

10. Determinar y aplicar el rea total y rea parcial de cubos,prismas rectos, cilindros circulares rectos, pirmides regulares,conos circulares rectos y esferas, en la solucin de problemas ysituaciones del entorno.

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12 GEOMETRA

GRUPO FNIX

CRCULO Y CIRCUNFERENCIAEtapa 1: El aprendizaje de conocimientos

Pasos o fases AccinPaso 1. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar aresolverlo.Paso 2. Diseo Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionarun mtodo especfico.Paso 3. Control Monitorear el proceso y decidir cundo abandonar algn caminoque no resulte exitoso.Paso 4. Revisin y comprobacin Revisar el proceso de resolucin y evaluar la respuesta obtenida.Fuente: Programas de Estudio en Matemticas

Problema 1De acuerdo con los datos de la siguiente figura que representa una rueda de Chicago, si ladistancia del punto ms bajo de la rueda al suelo es de 3 metros y la distancia del puntoms alto de la rueda al suelo es 29 metros, entonces, cul es la longitud del radio de larueda de Chicago?

Problema 2La siguiente imagen corresponde a una arandela circular y a un tornillo que se puedeintroducir en ella:

Si la longitud del dimetro del orificio equivale a un tercio de la longitud del dimetro de laarandela, entonces, cules son las medidas posibles para el dimetro del tornillo?

Tomado y adaptado de: Prueba de Bachillerato Acadmico 2013

3m

12cm

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GEOMETRA 13

GRUPO FNIX

CRCULO Y CIRCUNFERENCIAEtapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos

Habilidad # 1: Reconocer diferentes elementos relacionados con la circunferencia (radio, centro, cuerda,dimetro, ngulo central, arco, rectas tangentes, rectas secantes).

Habilidad # 2: Aplicar la relacin entre la medida de un ngulo central y el arco que subtiende.Habilidad # 3: Aplicar las relaciones entre los elementos bsicos del crculo y la circunferencia (el dimetro y elradio, la cuerda de mayor longitud y el dimetro, el ngulo central y el arco que subtiende) en la solucin de

problemas y en situaciones del contexto.Crculo y circunferencia

Crculo CircunferenciaEs la superficie plana limitada por unacircunferencia y de todos sus puntosinteriores.

Es la curva geomtrica plana, cerrada,cuyos puntos son equidistantes de unpunto llamado centro, slo poseelongitud.

Elementos de la circunferenciaRepresentacin grfica Simblicamente Definicin

GH Recta Tangente: interseca la circunferenciaen un slo punto.CD Recta secante: interseca la circunferencia endos puntos.EF Cuerda: segmento que une dos puntos de lacircunferencia.O Centro del crculo: punto fijo del cualequidistan todos los puntos de la circunferenciaAB Dimetro: es la cuerda de mayor longitud,pasa por el centro.OB Radio: segmento que une el centro con unpunto cualquiera de la circunferencia.FB Arco: parte de la circunferencia comprendidaentre dos puntos.FOB ngulo central: Es un ngulo formado por dosradios, el vrtice es el centro del crculo.

A OBF

GE

HI

C D

VERSIN WEB VERSI

N WE

B

14 GEOMETRA

GRUPO FNIX

Trabajo cotidiano # 11. Complete los espacios con el nombre de cada elemento de la circunferencia.

a) EF

b) OGc) IBd) CH

e) FDf) BDg) IOG

_______________________________________________________________

2. Trace las rectas y segmentos indicados.

a) Radio OIb) Cuerda HDc) Dimetro ECd) Secante FB

e) Tangente en Gf) ngulo IOC

3. Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos.a) Un dimetro de un crculo es una secante de la circunferencia.b) Todos los radios de una circunferencia son congruentes entre si.c) Un radio es una cuerda de una circunferencia.d) Una secante de una circunferencia, interseca a sta en un solo punto.e) Una cuerda de un crculo contiene exactamente dos puntos de la circunferencia.f) Una secante de un crculo contiene exactamente dos puntos de ste.g) Toda recta tangente a una circunferencia contiene nicamente un punto del crculo.h) Toda cuerda de la circunferencia o del crculo es un dimetro.

D

O

B

C

F GE

IH

OB

C

F

G D

EI H

VERSIN WEB VERSI

N WE

B

GEOMETRA 15

GRUPO FNIX



Problema 1La Corona, antigua moneda de Noruega, tena un orificio circular en el centro, tal como lomuestra la siguiente figura (supngase la moneda circular). Si la medida del dimetro de lamoneda es de 23mm y la diferencia entre la medida del dimetro de la moneda y la deldimetro del orificio de esta es de 14mm , entonces, Cul es la medida del radio delorificio?

Paso 1:

Paso 2:

Paso 3:

Paso 4:

Tomado y adaptado de: Prueba de Bachillerato Acadmico 2013VERSIN WEB VE

RSIN

WEB

16 GEOMETRA

GRUPO FNIX


Habilidad # 4: Aplicar las relaciones que se establecen entre circunferencias concntricas, circunferenciastangentes y circunferencias secantes, en la solucin de problemas y situaciones del entorno.

Circunferencias concntricas, circunferencias tangentes y circunferencias secantesCircunferencias concntricas

Son coplanares interiores que tienen elmismo centro.

0k k : distancia entre los centros

Circunferencias tangentes interiores

Son coplanares y todos los puntos exceptouno de una circunferencia son puntosinteriores de la otra circunferencia.

k R r k : distancia entre los centros

Circunferencias tangentes exteriores

Son coplanares y tienen un punto en comn,la distancia de sus centros es igual a la suma

de sus radiosk R r

k : distancia entre los centrosCircunferencias secantes

Son coplanares y tienen dos puntos encomn. La distancia entre los centros es

menor que la suma de los radios.

k R r k : distancia entre los centros

R

r

R r

Rr

VERSIN WEB VERSI

N WE

B

GEOMETRA 17

GRUPO FNIX


Habilidad # 4: Aplicar las relaciones que se establecen entre circunferencias concntricas, circunferenciastangentes y circunferencias secantes, en la solucin de problemas y situaciones del entorno.

Circunferencias concntricas, circunferencias tangentes y circunferencias secantesEjemplo 1

Sea k la distancia entre los centros, " "R y " "r las medidas de los radios de doscircunferencias. Con base en la relacin que se establece entre los radios y la distanciaentre los centros de dos circunferencias, escriba una X identificando cada relacin.

Relacin Concntricas TangentesexterioresTangentesinteriores Secantes

0, 6, 4k R y r X10, 6, 4k R y r X2, 6, 4k R y r X10, 14, 5k R y r X

Trabajo cotidiano # 21. Sea k la distancia entre los centros, " "R y " "r las medidas de los radios de dos

circunferencias. Con base en la relacin que se establece entre los radios y la distanciaentre los centros de dos circunferencias, escriba una X identificando cada relacin.

Relacin Concntricas TangentesexterioresTangentesinteriores Secantes

a) 0, 12, 5k R y r __________ __________ __________ __________b) 10, 3, 7k R y r __________ __________ __________ __________c) 5, 10, 5k R y r __________ __________ __________ __________d) 10, 28, 10k R y r __________ __________ __________ __________e) 0, 12, 6k R y r __________ __________ __________ __________f) 32, 20, 12k R y r __________ __________ __________ __________g) 5, 14, 5k R y r __________ __________ __________ __________VERSIN WEB VER

SIN W

EB

18 GEOMETRA

GRUPO FNIX

2. Determine un posible valor de la distancia k entre los centros de dos circunferenciascuyos radios miden 6cm y 8cm respectivamente para que seana) Tangente exterior: ______k b) Tangente interior: ______k

c) Concntricas: ______k d) Secantes: ______k

3. Determine un posible valor de la distancia k entre los centros de dos circunferenciascuyos radios miden 12cm y 7cm respectivamente para que seana) Tangente exterior: ______k b) Tangente interior: ______k


4. Determine un posible valor de la distancia k entre los centros de dos circunferenciascongruentes cuyos radios miden 15cm respectivamente para que seana) Tangente exterior: ______k b) Tangente interior: ______k


5. Un valor de la distancia k de los centros de dos circunferencias es 30cm , y la medidade uno de los radios es 17cm , determine una medida posible de otro radio para que lascircunferencias sean:a) Tangente exterior: ______k b) Tangente interior: ______k


Trabajo extraclase # 16. Si 1r y 2r representan las medidas de los radios de las dos circunferencias tangentes

exteriormente, con 1r > 2r , entonces la distancia entre los centros tales esA) Igual que 1 2r rB) Igual que 1 2r r

C) Menor que 1 2r rD) Mayor que 1 2r r

7. Si 1r y 2r representan las medidas de los radios de las dos circunferencias tangentesinteriormente, con 1r > 2r , entonces la distancia entre los centros tales esA) Igual que 1 2r rB) Igual que 1 2r r

C) Menor que 1 2r rD) Mayor que 1 2r r

8. Si 1r y 2r representan las medidas de los radios de las dos circunferencias secantes,con 1r > 2r , entonces la distancia entre los centros tales esA) Igual que 1 2r rB) Igual que 1 2r r

C) Menor que 1 2r rD) Mayor que 1 2r rVERSIN WEB VE

RSIN

WEB

GEOMETRA 19

GRUPO FNIX

9. La distancia entre los centros de dos circunferencia es 14 ,si la medida del radio de unaes 8 y la del radio de la otra es 6 , entonces se cumple que la circunferencias sonA) Secantes.B) Concntricas.

C) Tangentes interiormente.D) Tangentes exteriormente.

10.En un mismo plano, la distancia entre los centros de dos circunferencias es de 10 . Si lamedida del radio de una de ellas es 13 y la medida de la otra es 3 , entonces secumple que las circunferencias sonA) SecantesB) Concntricas

C) Tangentes interiormenteD) Tangentes exteriormente

11.De acuerdo con los datos de la figura, si 1 2r r , entonces con certeza se cumple queA) 1 2OP r r B) 1 2OP r r C) 1 2OP r r D) 1 2OP r r

12.La distancia entre los centros de dos circunferencias (en el mismo plano) es 13 . Si lamedida del radio de una de ellas es 8 y la medida del radio de la otra es 5 , entonces,las circunferencias sonA) SecantesB) Concntricas


13.Sean 1 2C y C dos circunferencias coplanares cuyos centros son Q y P ,respectivamente. Si G es un punto de 1C tal que QGP es equiltero, entonces, secumple que 1 2C y C pueden ser circunferenciasA) SecantesB) Concntricas


14.La distancia entre los centros de dos circunferencias (en el mismo plano) es 9 . Si lamedida del radio de una de ellas es 14 y la medida del radio de la otra es 7 , entonces,las circunferencias sonA) SecantesB) Concntricas


1r 2rO P

1C 2C

O : centro de la circunferencia 1CP : centro de la circunferencia 2C

VERSIN WEB VERSI

N WE

B

20 GEOMETRA

GRUPO FNIX



Problema 1De acuerdo con los datos de la siguiente figura, si AD y CB son cuerdas que estn a lamisma distancia del centro de la circunferencia y AB = 10, entonces, cul es la distanciaentre el punto medio de AD y O ?

Paso 1:

Paso 2:

Paso 3:

Paso 4:

Tomado y adaptado de: Prueba de Bachillerato Acadmico 2013

B

C

O

D

30AO: centro de la circunferencia

A O B

VERSIN WEB VERSI

N WE

B

GEOMETRA 21

GRUPO FNIX


Habilidad # 5: Aplicar que una recta es tangente a la circunferencia si y solo si es perpendicular al radio en supunto de tangencia

Habilidad # 6: Aplicar que en una misma circunferencia, o en circunferencias congruentes, dos cuerdas soncongruentes si y solo si equidistan del centro.

Teoremas relacionados con la perpendicularidad de la recta tangenteTeoremas Figura

1. Una recta perpendicular a un radio en supunto de interseccin con lacircunferencia, es tangente a lacircunferencia.

2. Toda tangente a la circunferencia esperpendicular al radio en su punto detangencia.

Ejemplo 1

En la figura adjunta9 30AC y m AOC , calcule la

medida de OC y AO .

O centro de la circunferenciaSolucin del ejemplo

1. Utilizando ley de senos9

90 309 90

3018

OCsen sen

senOC senOC

2. Utilizando Teorema de Pitgoras

2 2 2

2 2 2

218 9324 81

2439 3

AO CO ACAOAOAOAO

O

CA

VERSIN WEB VERSI

N WE

B

22 GEOMETRA

GRUPO FNIX


Habilidad # 5: Aplicar que una recta es tangente a la circunferencia si y solo si es perpendicular al radio en supunto de tangencia

Teoremas relacionados con la perpendicularidad de la recta tangenteEjemplo 2

En la siguiente figura si 60m DOA y18AD cm , determine la medida de los

segmentos AO y ODO centro de la circunferencia

Solucin1. Utilizando ley de senos

1890 60

18 9060

12 3

AOsen sen

senAO senAO


22 2

2

12 3 18432 324108

6 3

DODODODO

Trabajo cotidiano # 31. En la siguiente figura la recta m es tangente a la circunferencia en A , Calcule lo que se

le solicita, con base en la informacin brindada.a) Si 38 ,m COA m ACO ____________b) Si 20 , 12,m COA CA CO ________c) Si 50 , 15,m OCA OA OC ________d) Si 30, 20,OC CA AO _____________e) Si 7, 12,AO CA OC _____________ O centro de la circunferencia

2. En la siguiente figura la recta n es tangente a la circunferencia en A , Calcule lo que sele solicita, con base en la informacin brindada.a) Si 70 ,m BAC m CAD ____________b) Si 240 ,m CAB m CBA ____________c) Si 50 , 12,m CAB CB AB _________d) Si 14, 8,BA BC CA _______________e) Si 10, 10,OB CA BC ______________ O centro de la circunferencia

O

C

Am

DO A

C

B

n

A O

D

VERSIN WEB VERSI

N WE

B

GEOMETRA 23

GRUPO FNIX



Teoremas relacionados con la congruencia de cuerdasTeoremas Figuras

1. En una misma circunferencia, o encircunferencias congruentes, dos cuerdascongruentes equidistan del centro.

2. En una misma circunferencia o encircunferencias congruentes, las cuerdasequidistantes del centro son congruentes.

Ejemplo 1

En la figura adjunta AE EO y 12AO cm ,determine la medida de AE y CD .

O centro de la circunferencia

Solucin

1. Utilizando ley de senos, AEOissceles

1245 90

12 4590

6 2

AEsen sen

senAE senAE

2. Como AE , mide 6 2 , lomultiplicamos por 2 , y obtenemos

12 2AB , segn los teoremascitados AB y CD , soncongruentes, por lo tanto

12 2CD .

A

BDO

C

E

VERSIN WEB VERSI

N WE

B

24 GEOMETRA

GRUPO FNIX



Teoremas relacionados con la congruencia de cuerdasEjemplo 2

En la figura adjunta la cuerda AB BC , si4 3BC cm y la 60m DOB , calcule la

medida de los segmentos OB y DOO centro de la circunferencia

Solucin1. Si AB mide 4 3 , entonces

2 3DB , aplicando ley de senoscalculamos OB .

2 390 60

2 3 9060

4

OBsen sen

senOB senOB


22 2

2

4 2 316 12

42

DODODODO

Trabajo cotidiano # 41. En la figura adjunta EO OF , en cada caso calcule lo indicado.

a) Si 40 , 12,m ECO CB OF ________b) Si 37 , 10,m ABC ED CB ________c) Si 35 ,m ECO m COF ____________d) Si 20, 20,OC CD OF _____________e) Si 30, 26,CB AB OE _____________ O centro de la circunferencia

2. En la siguiente figura 120m DOF y AB BG , calcule lo indicado.a) Si 12,DB OB __________b) Si 13,DO BF __________c) Si 5 3,BF OF _________d) Si 18,AB BE ___________e) Si 12,OF OE ____________

O centro de la circunferencia

DA BO

EC

A

BDO

C

E F

DA BO

E FGVERSIN WEB VE

RSIN

WEB

GEOMETRA 25

GRUPO FNIX

3. En una circunferencia con radio 25cm . de longitud, se traza una cuerda que mide 48cm .Determinar la distancia del centro de la circunferencia a la cuerda.

4. En una circunferencia con radio 10cm . de longitud, se traza una cuerda que mide 16cm .Determinar la distancia del centro de la circunferencia a la cuerda.

5. En una circunferencia con radio 15cm . de longitud, se traza una cuerda, si la distancia delcentro de la circunferencia a la cuerda es de 12cm . Determinar la longitud de la cuerda.

6. En una circunferencia con radio 50cm . de longitud, se traza una cuerda, si la distancia delcentro de la circunferencia a la cuerda es de 30cm . Determinar la longitud de la cuerda.

7. En una circunferencia de dimetro 20cm , si la distancia de una cuerda al centro es de8cm , Cul es la medida de la cuerda?

8. Los dimetros de dos circunferencias concntricas miden 24 12cm y cm . Determine lalongitud de la cuerda de la circunferencia mayor que es tangente a la circunferenciamenor.

9. Una cuerda de 36cm est a 20cm del centro de la circunferencia. Determine la medidadel dimetro.

10.Una cuerda de una circunferencia mide 16cm y dista 8cmdel centro. Determine la medidadel dimetro.

11.El dimetro de una circunferencia mide 60cm , la distancia de una cuerda al centro es24cm , cul es la longitud de la cuerda?

12.Un dimetro y una cuerda tienen un extremo comn. Si el dimetro mide 40cm y lacuerda 24cm . Determine la distancia que est la cuerda del centro del crculo.

13.En una circunferencia se traza una cuerda perpendicular a un dimetro de 56cm , ladistancia de la interseccin de la cuerda al extremo del radio en la circunferencia es de10cm . Determine la longitud de la cuerda.

Trabajo extraclase # 214.Si las circunferencias de centros O y P son tangentes interiormente, 45m BAO

y 20AB , entonces la medida de OP esA) 10B) 20C) 5 2D) 10 23

BO

A

PVERSIN WEB VERSI

N WE

B

26 GEOMETRA

GRUPO FNIX

15.Si las circunferencias de centro O y P son tangentes exteriormente, 4OQ , 3PT ,18AM y QT es tangente a dichas circunferencias en Q y T respectivamente,

entonces la medida de QM esA) 8 13B) 16 3C) 12 7D) 609

16.Si O es el centro de la circunferencia 8OF y AB DO , entonces, la medida delEF es aproximadamenteA) 6,93B) 11,31C) 14,93D) 16,94

17.Si AD y CB son cuerdas equidistantes del centro y 8AB , entonces las medidasde AD esA) 2B) 4C) 2 2D) 4 2

18.Si OR OS , entonces con certeza se cumple queA) OS SNB) OM RNC) 2MR SND) 2RN MR

19.Si 1C de centro O y 2C de centro P son tangentes exteriores, PQ es tangente a 1C

en Q , 5QP y 12OQ , entonces la medida del dimetro de 2C esA) 1B) 2C) 13D) 24

AD FOBE

O : centro de la circunferencia

OM R S

Q

N

QP2C

O

1C

Q

P A

T

O M

Q T M O P A P A M

A O B O : centro de la circunferencia

C

BA

D

45O

VERSIN WEB VERSI

N WE

B

GEOMETRA 27

GRUPO FNIX

20.La distancia del centro de una circunferencia a un punto P es 15 . Si QP estangente a esa circunferencia en Q y la medida de QP que exede en tres a lamedida del radio, entonces, cul es la medida del radio de esa circunferencia?A) 9B) 36C) 152D) 6 3

21.Si AM es tangente a la circunferencia en M , 60m AMB y 18MB ,entonces la medida del radio esA) 6B) 62C) 2 6

D)182

22.En la circunferencia de centro O , si 12BC y 60mBC , entonces la medida deAB esA) 12B) 24C) 8 3D) 12 3

23.En la circunferencia de centro O , si 60m ABO y 8AB , entonces Cul es lamedida de del dimetro de la circunferencia?A) 8B) 16C) 4 3D) 8 3

24.De acuerdo con los datos de la figura, si 7OP OR , 8OQ , entonces Cul es lamedida de BC ?A) 8B) 14C) 2 15D) 2 113

AM

OB

C

A

B

A B

O

Q P O B R C A P B

O : centro de los crculos

A

B

C

O

Q P

RVERSIN WEB VERSI

N WEB

28 GEOMETRA

GRUPO FNIX

25.La medida del radio de una circunferencia de centro P es 10 . Si QR es una cuerdatal que 16QR , entonces, Cul es la distancia de la cuerda al punto P ?A) 4B) 6C) 8D) 10

26.En la circunferencias de centro O , si AE BD , FC BD , 6BD , 4OH yAE OC , entonces la medida de GH es aproximadamenteA) 8,00B) 8,33C) 9,33D) 10,24

27.Si BMON es un cuadrado y la medida del radio de la circunferencia es 5 2 , entonces,cul es la longitud de BC ?A) 5B) 10C) 5 2D) 10 2

A

CB

OD

EGF

H

O: centro dela circunferencia

B M AB N C

C

M

N

A

OB

VERSIN WEB VERSI

N WE

B

GEOMETRA 29

GRUPO FNIX

POLGONOS REGULARESEtapa 1: El aprendizaje de conocimientos


Problema 1La siguiente imagen es de un mosaico del siglo XI y se localiz en una excavacin en laantigua Iglesia de San Orso (Italia): El mosaico tiene forma cuadrada y un crculo inscrito deradio 1,5 metros. Cul es el permetro de ese mosaico?

Problema 2La siguiente figura muestra la pintura del hombre de Vitrubio, famoso dibujo de Leonardo daVince (1490). Con las medidas del individuo se inscribe un pentgono regular en unacircunferencia. Asimismo, el ombligo del hombre coincide con el centro de la circunferencia.Si en una rplica de la figura, el hombre de Vitrubio mide desde sus pies hasta el ombligo20cm, entonces, cul es el permetro aproximado del pentgono inscrito?

Tomado y adaptado de: Prueba de Bachillerato Acadmico 2013 y Prueba de Bachillerato Tcnicos 2013VERSIN WEB VERSI

N WE

B

30 GEOMETRA

GRUPO FNIX

POLGONOS REGULARESEtapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos

Habilidad # 7: Aplicar relaciones mtricas entre diversos elementos (ngulo central, interno, externo, lado, apotema, radio,diagonal), de los polgonos regulares, inscritos o circunscritos a una circunferencia, en la solucin de problemas y

situaciones del entorno.Habilidad # 9: Determinar y aplicar, en la resolucin de problemas y situaciones del entorno, diversas relaciones entreelementos de un polgono regular (nmero de lados y nmero de diagonales, nmero de lados y la medida del ngulo

externo, nmero de lados y la medida del ngulo interno, nmero de lados y la suma de las medidas de los ngulos internos,suma de las medidas de los ngulos externos).

Polgonos regulares inscritos o circunscritos y sus elementosPolgono regular inscrito Polgono regular circunscrito

: , : , :a apotema lado d diagonal : , : , :r radio del polgono lado d diagonal

Relaciones mtricas entre los elementos de los polgonos: , :n nmero de lados P permetro

Elementos Relacin mtrica Ejemplo y nombre del polgono

Medida de un ngulocentral

360m EOD n Pentgono3605

= 72c

c

mm

Medida de un ngulointerno

180 2nm BCD n Nongono

180 9 29

140i

i

mm

Suma de las medidasde los ngulos

internos 180 2im n Octgono 180 8 21080

i

i

mm

Medida de un nguloexterno

360m CBG n Hexgono3606

= 60e

e

mm

Nmero dediagonales de un

vrtice3D n Decgono 10 37

DD

Nmero dediagonales de todos

los vrtices 3

2n nD Endecgono

11 11 32

44DD

Permetro n 2P area

:r radio del polgono y la circunferencia :a apotema del polgono y radio de la circunferencia

A B

C

DE

F Oar r

dGA B

C

DE

F Oar r

dG

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N WE

B

GEOMETRA 31

GRUPO FNIX

Trabajo cotidiano # 51. Determine la medida de un ngulo central de un hexgono.2. Determine la medida de un ngulo central de un endecgono.3. Determine la medida de un ngulo interno de un octgono.4. Determine la medida de un ngulo interno de un dodecgono.5. Determine la suma de las medidas de los ngulos internos de un enegono.6. Determine la suma de las medidas de los ngulos internos de un Tetra decgono.7. Determine la medida de un ngulo externo de un heptgono.8. Determine la medida de un ngulo externo de un pentadecgono.9. Determine el nmero de diagonales que se trazan de un vrtice de un decgono.10.Determine el nmero de diagonales que se trazan de un vrtice de un heptadecgono.11.Determine las diagonales que se trazan de todos los vrtices de un pentgono.12.Determine las diagonales que se trazan de todos los vrtices de un dodecgono13.Determine el rea y permetro de un octgono si un lado mide 12cm , la apotema 8cm14.Determine el rea y permetro de un octgono si un lado mide 15cm , la apotema 10cm15.Determine el rea y permetro de un hexgono si un lado mide 12cm , la apotema 8cm16.Determine el rea y permetro de un enegono si un lado mide 24cm , la apotema 9cm17.Determine el rea y permetro de un hexgono si un lado mide 8cm

18.Determine el rea y permetro de un hexgono si la apotema mide 2 3 cm

19.Determine el rea y permetro de un hexgono si la apotema mide 5 32 cm

20.Determine el rea y permetro de un hexgono si un lado mide 2 3 cm

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N WE

B

32 GEOMETRA

GRUPO FNIX

POLGONOS REGULARESEtapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos

Habilidad # 7: Aplicar relaciones mtricas entre diversos elementos (ngulo central, interno, externo, lado, apotema, radio,diagonal), de los polgonos regulares, inscritos o circunscritos a una circunferencia, en la solucin de problemas y

situaciones del entorno.Habilidad # 8: Determinar y aplicar el permetro y rea de polgonos regulares en la solucin de problemas y situaciones del

entorno.Ejercicios y problemas de polgonos regulares inscritos o circunscritos y sus

elementosEjemplo 1 Ejemplo 2

Determine el rea de un hexgono inscritoen una circunferencia si su radio mide 10cm .

Determine el rea de un pentgonocircunscrito en una circunferencia si suapotema mide 6cm .

Por ser un hexgono r Forma operativa Forma operativa

1. Se calcula el ngulo central 60GOD2. Se aplica ley de senos para calcular OG

3. Se calcula el permetro

4. Se calcula el rea

1. Se calcula el ngulo central 72DOC 2. Se aplica ley de senos para calcular FC

3. Se calcula el permetro

4. Se calcula el rea

a

A

B

CD

E Or

FG

A B

C

DE

F Oa r

r54

O

F C6 3610

60

O

G Da 30

636 54

6 3654

4,35

FCsen sen

senFC senFC

1060 90

10 6090

5 3

OGsen sen

senOG senOG

2

260 5 3

2259,80

P aA

AA cm

5 8,7043,5

P nPP

2

243,5 6

2130,5

P aA

AA cm

6 1060

P nPP

VERSIN WEB VERSI

N WE

B

GEOMETRA 33

GRUPO FNIX

Trabajo cotidiano # 61. El permetro de un tringulo equiltero mide 36cm y est inscrito en una circunferencia.

Calcule:a) Medida de la apotema del tringulob) Medida del radio del tringuloc) Longitud de la circunferenciad) rea de la circunferencia.e) rea del tringulo

2. Un cuadrado est circunscrito en una circunferencia cuyo radio mide 30cm . Calcule:a) Medida de la apotema del polgonob) Medida del radio del polgonoc) Longitud de la circunferenciad) rea de la circunferencia.e) rea del polgono

3. La apotema de un pentgono inscrito en una circunferencia mide 7cm . Calcule:a) Medida del radio del polgonob) Longitud de la circunferenciac) Medida del lado del polgonod) rea de la circunferencia.e) rea del polgono

4. El permetro de un hexgono circunscrito en una circunferencia mide 12 3cm . Calcule:a) Medida del radio de la circunferenciab) Longitud de la circunferenciac) Medida del lado del polgonod) rea de la circunferencia.e) rea del polgono

5. La apotema de un heptgono inscrito en una circunscrito mide 9cm . Calcule:a) Medida del radio de la circunferenciab) Medida del lado del polgonoc) Longitud de la circunferenciad) rea de la circunferencia.e) rea del polgono

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N WE

B

34 GEOMETRA

GRUPO FNIX

6. Calcular la apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia si el lado del cuadradomide 3 2m

7. Calcular el apotema de un tringulo equiltero inscrito en una circunferencia de 3 2 hmde radio.

8. 9. Sabiendo que el lado del hexgono regular inscrito en una circunferencia es de 9hm ,hallar el lado del hexgono regular circunscrito a la misma circunferencia.

9. Sabiendo que el lado del cuadrado inscrito en una circunferencia es de 7 2 cm hallar ellado del cuadrado circunscrito a la misma circunferencia.

10.Calcular el lado del tringulo equiltero inscrito en una circunferencia de 8m de radio.11.El lado de un tringulo equiltero inscrito en una circunferencia mide 2 3dmHallar el

radio de dicha circunferencia.12.Calcular el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 24m de radio.13.El permetro de un cuadrado inscrito en una circunferencia es de 12 2 cmcalcule la

medida del dimetro de la circunferencia.14.Calcule la medida del lado de un pentgono regular inscrito en una circunferencia de

11m15.Si el permetro de un hexgono regular inscrito en una circunferencia mide 24cm

centmetros, calcule el dimetro de dicha circunferencia.16.Calcular el lado de un octgono regular inscrito en una circunferencia cuyo radio

mide10cm .17.Encontrar el valor del lado de un decgono inscrito en una circunferencia de dimetro

15cm .18.La longitud del lado de un hexgono regular circunscrito a una circunferencia mide 15cm

Determine: la medida del radio de la circunferencia y del polgono.19.La apotema de un cuadrado circunscrito a una circunferencia mide 20cm . Encontrar el

permetro del cuadrado y la medida del radio de la circunferencia inscrita en el cuadrado.20.En una circunferencia cuyo radio mide 8cmse ha inscrito un triangulo equiltero. Cul

es la medida de su lado y la del lado del hexgono regular inscrito en la mismacircunferencia?

21.Una circunferencia tiene inscritos una tringulo y un hexgono. Los tres vrtices deltringulo coinciden con tres de los vrtices del hexgono, si la medida del lado deltringulo es 8cm . Hallar el permetro del tringulo y del hexgono y compararlo con lamedida de la circunferencia circunscrita.

22.Un cuadrado se halla circunscrito a una circunferencia y su medida de lado es 16cm .Encuentre la medida de la circunferencia inscrita y el permetro del cuadrado.

VERSIN WEB VERSI

N WE

B

GEOMETRA 35

GRUPO FNIX

Trabajo extraclase # 323.Si el heptgono regular est inscrito en la circunferencia y SZ es tangente en S a la

circunferencia, entonces m RSZ es aproximadamenteA) 22,50B) 25,71C) 51,43D) 64,29

24.Cul es el rea de un tringulo equiltero circunscrito en una circunferencia cuya medidadel radio es 7 ?A) 147 3B) 196 33

C) 294 3D) 147 34

25.Si ABCD es un cuadrado y la medida de la apotema del hexgono regularCDEFGH es de 3 , entonces, cul es el rea de la regin destacada con gris?A) 6B) 6 3 4C) 3 3 4

D) 9 3 32

26.Si la medida de la apotema de un tringulo equiltero es 12, entonces el permetro deltringulo esA) 24 3B) 48 3

C) 54 3D) 72 3

27.Si la medida del dimetro de la circunferencia inscrita en un hexgono regular es 10entonces cul es el permetro del hexgono?A) 30B) 60

C) 20 3D) 40 3

O : centro de la circunferencia

O R

S

Z

FGE

DC

H

AB

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N WE

B

36 GEOMETRA

GRUPO FNIX

28.De acuerdo con los datos de la figura, si el hexgono ABCDEF es regular, FBD esequiltero y 6FE , entonces el rea de la regin destacada con gris esA) 18 3B) 27 3C) 45 3D) 54 3

29.Si un polgono regular tiene en total 27 diagonales, entonces lamedida en grados de unngulo externo de este polgono esA) 4B) 40

C) 60D) 140

30.Cul es la longitud de la circunferencia inscrita en un hexagono regular cuyo permetroes 12 3 ?A) 6B) 12

C) 8 3D) 4 3

31.Si el rea del cuadrado circunscrito a la circunferencia de centro O es 64 , entonces,Cul es el rea del crculo?A) 8B) 16C) 32D) 64

32.Si la medida de un ngulo externo de un polgono regular es 40 , entonces el nmerode lados del polgono esA) 9B) 10

C) 18D) 20

33.El hexgono regular ABCDEF esta inscrito en el crculo de centro O y dimetro24 . Cul es el rea de la regin destacade con gris?A) 108 3B) 216 3C) 432 3D) 864 3

A

B C

D

EF

BA

CD

O

O

C

A D

EF

B

VERSIN WEB VERSI

N WE

B

GEOMETRA 37

GRUPO FNIX

34.Un hexgono regular est circunscrito en una circunferencia de radio 2 3 . Cul es elrea aproximada del hexgono?A) 31,18B) 41,57

C) 48,50D) 62,35

35.Un cuadrado est circunscrito en una circunferencia. Si la medida de la apotema delcuadrado es 4 entonces, la longitud de la circunferencia esA) 4B) 8

C) 16D) 4 2

36.Si la longitud de una circunferencia inscrita en un tringulo equiltero es 12 , entonces,cul es el permetro de ese tringulo?A) 18B) 36 C) 18 3D) 36 3

37.Cul es la medida de la diafgonal de un cuadrado circunscrito a una circunferencia cuyodimetro mide 6 2 ?A) 6B) 12

C) 3 2D) 6 2

38.Un hexgono regular esta inscrito en una circunferencia, si la apotema del hexgono es2 3 , entonces, Cul es la longitud de la circunferencia?A) 4B) 8

C) 32D) 4 3

39.Si la medida del lado de un tringulo equiltero inscrito en una circunferencia es 12entonces, Cul es la medida del dimetro de la circunferencia?A) 2 3B) 4 3

C) 6 3D) 8 3

40.Si el permetro de un cuadrado es 16 2 entonces la medida de su apotema esA) 2B) 2 2

C) 4 2D) 8 2

41.Si 1c es la circunferencia circunscrita al cuadrado ABCD , 2c es la circunferenciainscrita a dicho cuadrado, entonces considere las siguientes premisas:

I. La medida del radio 1c es 22BD

II. La medida del apotema del cuadrado es igual a lamedida del radio de 2c

De ellas, Cules son verdaderas?A) AmbasB) Ninguna

C) Solo la ID) Solo la II

BA

CDVERSIN WEB VE

RSIN

WEB

38 GEOMETRA

GRUPO FNIX

42.Tablero de ajedrez es un cuadrado subdividido en 64 cuadrados de igual rea llamadosescaque (32 de color blanco y 32 de color negro) tal como lo muestra la siguiente imagen.Si el rea de cada escaque es de 25 centmetros cuadrados, entonces el permetro delcuadrado correspondiente al tablero de ajedrez esA) 40B) 160C) 800D) 1600

43.En el mercado el tamao de una pantalla plana se determina por las pulgadas que midesu diagonal, tal como lo ilustra la siguiente imagen. Con base en los datos de la figuraadjunta y suponiendo que la pantalla es cuadrada, Cul es el rea de esta, en pulgadascuadradas?A) 64B) 128C) 512D) 1024

44.En un jardn de nios se construye un carrusel en forma de polgono regular; se colocanseis caballitos en total, uno en cada vrtice. Si al girarlo sobre su eje central, el carruseldescribe una circunferencia de longitud 12 , entonces, cul es el permetro delcarrusel?A) 36B) 72

C) 36D) 72

45.Una mquina podadora de csped utiliza una cuchilla especial constituida por una placatriangular. Si cada uno de los tres lados de la cuchilla miden 6 cm, entonces, en un girocompleto de la cuchilla (entorno a su centro de gravedad), cunta superficie, encentmetros cuadrados, se puede podar?A) 12B) 27

C) 4 3D) 6 3

46.En la siguiente imagen, se observa un corte transversal de un tronco de madera(supngase circular), que ser utilizado para construir el asiento cuadrado de una silla. Sise pretende aprovechar la mxima superficie y se sabe que el dimetro de la pieza es12 3 cm, entonces, cul es la medida del lado del asiento de la silla?A) 6B) 12C) 6 2D) 12 2

32 pulgadas

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GEOMETRA 39

GRUPO FNIX

SLIDOSEtapa 1: El aprendizaje de conocimientos


Problema 1Las sandas cuadradas son una creacin de un agricultor japons. Se trata de colocar lasanda en un envase de vidrio cbico para que tome esa forma. Tal como ilustra la imagensiguiente, con ello, se gana espacio, y facilita la manipulacin. De acuerdo con lainformacin, si estas sandas se empacan en cajas cbicas de 25cm de arista, entonces,cul es el rea total, en centmetros cuadrados, de cada caja?

(Tomado de Http://techtastico.com/post/sandia-cuadrada)

Problema 2En el Parque Nacional Barra Honda (Guanacaste) existen estalactitas; estas son estructurassalinas que cuelgan de los techos de las cavernas y generalmente, presentan formas decono circular recto. En una de las cavernas del parque se localiza una estalactita (no huecay con forma de cono circular recto) con un rea basal de 64 y generatriz de 17 Cul esel rea lateral de esa estalactita?

Tomado y adaptado de: Prueba de Bachillerato Tcnicos 2013VERSIN WEB VERSI

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40 GEOMETRA

GRUPO FNIX

SLIDOSEtapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos

Habilidad # 10: Determinar y aplicar el rea total y rea parcial de cubos, prismas rectos, cilindros circularesrectos, pirmides regulares, conos circulares rectos y esferas, en la solucin de problemas y situaciones del

entorno.rea total y rea parcial del cubo

Un cubo o hexaedro regular es un poliedro de seis caras cuadradas congruentesElementos del cubo

: lado o arista del cubo:d diagonal del cubo

3d

rea de la base rea Basal rea lateral rea total

bA 2 BA 2 bA LA 24 TA 26 Ejemplo

Con base en las medidas de la figura determine el rea de la base, el rea basal y el realateral y total del cubo.

Figura bA BA LA TA2

239

b

b

b

AAA

22 918

B b

B

B

A AAA

244 936

L

L

L

AAA

2

266 354

T

T

T

AAA

Trabajo cotidiano # 71. Calcule el rea de la base, rea basal, rea lateral y rea total de un cubo si 5cm .2. Calcule el rea de la base, rea basal, rea lateral y rea total de un cubo si 2 3cm .3. Calcule el rea de la base, rea basal, rea lateral y rea total de un cubo si la diagonal

de la base mide 8 2cm .4. Calcule el rea de la base, rea basal, rea lateral y rea total de un cubo si la diagonal

del cubo mide 11 3cm .5. Calcule el rea de la base, rea basal, rea lateral y rea total de un cubo si la diagonal

del cubo mide 12cm .

3

d

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GEOMETRA 41

GRUPO FNIX



entorno.rea total y rea parcial del prisma

Un prisma es un cuerpo limitado por dos polgonos planos, paralelos e iguales, llamadosbases, y por tantos paralelogramos como lados tenga cada una de las bases

Elementos de un prisma

:h altura del prisma

:a apotema del polgono

:a lado del polgono de la base

Prisma cuyabase es

rea de la base rea Basal rea lateral rea totalbA BA LA TA

Tringuloequiltero

2 34

2 bA bP h L BA A

Cuadrado 2Rectngulo naHexgono 23 3

2

Pentgono2

P aHeptgono

na : ancho, a :apotema, P : permetro, bP : permetro de la base, bA : rea de la baseObservacin: Cuando la base es un polgono de ocho lados o ms, se calcula de forma anloga que elpentgono y el heptgono.

h

a

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B

42 GEOMETRA

GRUPO FNIX



entorno.rea total y rea parcial del prisma

EjemplosCon base en las medidas de cada figura determine el rea de la base, rea lateral, reabasal y rea total de cada prisma.

Prisma rea de la base rea Basal rea lateral rea totalbA 2B bA A L bA P h T L BA A A 2

2

34

8 34

16 3

b

b

b

A

AA

22 16 332 3

B b

B

B

A AAA

24 6

144

L b

L

L

A P hAA

144 32 3

T L B

T

A A AA

2

2525

b

b

b

AAA

22 2550

B b

B

B

A AAA

20 7

140

L b

L

L

A P hAA

140 50

195

T L B

T

T

A A AAA

12 10120

b n

b

b

A aAA

22 120240

B b

B

B

A AAA

44 4

176

L b

L

L

A P hAA

176 240

416

T L B

T

T

A A AAA

2

2

3 32

3 6 32

54 3

b

b

b

A

AA

22 54 3108 3

B b

B

B

A AAA

36 12

432

L b

L

L

A P hAA

432 108 3

T L B

T

A A AA

230 32

45

b

b

b

P aA

AA

22 4590

B b

B

B

A AAA

30 10

300

L b

L

L

A P hAA

300 90

390

T L B

T

T

A A AAA

5

75

1012

4

12

6

3 6

10

8

6

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B

GEOMETRA 43

GRUPO FNIX

Trabajo cotidiano # 81. Determine el rea de la base, el rea basal, el rea lateral y el rea total de un prisma, si

la base es un tringulo equiltero cuyo lado mide 7cm y la altura 11cm2. Calcule el rea de la base, el rea basal, el rea lateral y el rea total de un prisma, si la

base es un tringulo equiltero cuyo lado mide 12cm y la altura 15cm3. Determine el rea de la base, el rea basal, el rea lateral y el rea total de un prisma, si

la base es un cuadrado cuyo lado mide 13cm y la altura 17cm4. Determine el rea de la base, el rea basal, el rea lateral y el rea total de un prisma, si

la base es un cuadrado cuyo lado mide 20cm y la altura 27cm5. Calcule el rea de la base, el rea basal, el rea lateral y el rea total de un prisma, si la

base es un rectngulo que mide de ancho 15cm y de largo 32cm6. Determine el rea de la base, el rea basal, el rea lateral y el rea total de un prisma, si

la base es un rectngulo que mide de ancho 17cm ,de largo 36cm y de altura 10cm7. Calcule el rea de la base, el rea basal, el rea lateral y el rea total de un prisma, si la

base es un hexgono de lado 6 3cm y la altura 10cm8. Determine el rea de la base, el rea basal, el rea lateral y el rea total de un prisma, si

la base es un hexgono de lado 12 3cm y la altura 15 3cm9. Calcule el rea de la base, el rea basal, el rea lateral y el rea total de un prisma, si la

base es un pentgono de lado 12cm y la altura 15cm10.Determine el rea de la base, el rea basal, el rea lateral y el rea total de un prisma, si

la base es un heptgono cuyo radio mide 8cm y la altura 15cm11.Determine el rea de la base, el rea basal, el rea lateral y el rea total de un prisma, si

la base es un tringulo equiltero que mide de apotema 4cm y la altura 15cm12.Determine el rea de la base, el rea basal, el rea lateral y el rea total de un prisma, si

la base es un cuadrado cuya diagonal mide 15 2cm 20cm13.Determine el rea de la base, el rea basal, el rea lateral y el rea total de un prisma, si

la base es un octgono cuyo lado mide 10cm y la altura 18cm14.Determine el rea de la base, el rea basal, el rea lateral y el rea total de un prisma, si

la base es un pentgono con una diagonal que mide 20cm altura 13cm

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B

44 GEOMETRA

GRUPO FNIX



entorno.rea total y rea parcial del cilindro

Es una figura conformada por dos caras paralelas circulares (bases) y el conjunto de todoslos segmentos de lnea recta perpendiculares a sus caras y comprendidos entre ellas.

Elementos del cilindro

:r radio del crculo:h altura del crculo

rea de la base rea Basal rea lateral rea total2

bA r 22BA r 2LA r h T L BA A A

EjemploCon base en las medidas de la figura determine el rea de la base, el rea basal y el realateral y total del cilindro.

Figura bA BA LA TA2

2416

b

b

b

A rAA

22

2 1632

B

B

B

A rAA

22 4 1080

L

L

L

A r hAA

80 32

112

T L B

T

T

A A AAA

Trabajo cotidiano # 91. Calcule el rea de la base, rea basal, rea lateral y rea total de un cilindro, si la altura

es de 15cm y el radio 8cm .2. Calcule el rea de la base, rea basal, rea lateral y rea total de un cilindro, si la altura

es de 19cm y el radio 11cm .3. Si el rea de la base de un cilindro es de 236 cm y la altura es de 3 3cm , determine: el

rea basal, rea lateral y rea total del cilindro.4. Si la longitud de una circunferencia de la base de un cilindro es de 22 cm y la altura del

cilindro es7 7cm , determine el rea basal, rea lateral y rea total del cilindro.5. Si la longitud de la circunferencia de la base de un cilindro es de 16cm y la altura es de

8 5cm , determine el rea basal, rea lateral y rea total del cilindro.

h

r

104

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B

GEOMETRA 45

GRUPO FNIX



entorno.rea total y rea parcial de una pirmide

Una pirmide es un poliedro, cuya base es un polgono cualquiera y cuyas caras lateralesson tringulos con un vrtice comn, que es el vrtice de la pirmide.

Elementos de la pirmide

:pa apotema de la piramide

:a apotema del polgono:h altura de la pirmide: lado del polgono

Pirmide cuyabase es

rea de la base rea Basal rea lateral rea totalbA bA LA TA

Tringuloequiltero

2 34

bA 2b pP a

L BA A

Cuadrado 2

Hexgono 23 32

Pentgono

2P a

Heptgono

na : ancho, a :apotema, P : permetro, bP : permetro de la base, bA : rea de la baseObservacin: Cuando la base es un polgono de ocho lados o ms, se calcula de forma anloga que elpentgono y el heptgono.

base

h ap

a

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B

46 GEOMETRA

GRUPO FNIX



entorno.rea total y rea parcial de una pirmide

EjemplosCon base en las medidas de cada figura determine el rea lateral, rea basal y rea total decada prisma. Considere que en todos los casos las bases son polgonos regulares.

Pirmiderea de la base rea Basal rea lateral rea total

bA B bA A 2b pP a

L BA A

2

2

34

6 34

9 3

b

b

b

A

AA

9 3B b

B

A AA

218 92

81

b pL

L

L

P aA

AA

81 9 3T L B

T

A A AA

2

2749

b

b

b

AAA

49

B b

B

A AA

228 10

2140

b pL

L

L

P aA

AA

140 49189

T L B

T

T

A A AAA

2

2

3 32

3 8 32

96 3

b

b

b

A

AA

96 3B b

B

A AA

248 5

2120

b pL

L

L

P aA

AA

120 96 3T L B

T

A A AA

260 62

180

b

b

b

P aA

AA

180B b

B

A AA

260 18

2540

b pL

L

L

P aA

AA

540 180720

T L B

T

T

A A AAA

10

7

5

8

12

18

6

6

9

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B

GEOMETRA 47

GRUPO FNIX

Trabajo cotidiano # 101. Determine el rea de la base, el rea basal y el rea total de una pirmide, si la base es

un tringulo equiltero cuyo lado mide 10cm y la apotema de la pirmide mide 8cm2. Calcule el rea de la base, el rea lateral y el rea total de una pirmide, si la base es un

tringulo equiltero cuyo lado mide 6cm y la altura 4cm3. Calcule el rea de la base, el rea lateral y el rea total de una pirmide, si la base es un

cuadrado cuyo lado mide 14cm y la apotema de la pirmide mide 9cm4. Calcule el rea de la base, el rea lateral y el rea total de una pirmide, si la base es un

cuadrado cuyo lado mide 16cm y la altura 11cm5. Calcule el rea de la base, el rea lateral y el rea total de una pirmide, si la base es un

cuadrado cuya diagonal mide 20cm y la altura 5 6cm6. Calcule el rea de la base, el rea lateral y el rea total de una pirmide, si la base es el

hexgono ABCDEF donde 24CF m y la altura de la pirmide mide 18m7. Calcule el rea de la base, el rea lateral y el rea total de una pirmide, si la base es un

pentgono cuyo lado mide 20cm , la apotema de la base 13m y la apotema de lapirmide 17m

8. Calcule el rea de la base, rea lateral y el rea total de una pirmide, si la base es unpentgono y la apotema de la base es 13cm y la apotema de la pirmide mide 22cm

9. Calcule el rea de la base, rea lateral y el rea total de una pirmide, si la base es unheptgono cuyo lado mide 19cmy la altura de la pirmide mide 29cm

10.Calcule el rea de la base, rea lateral y el rea total de una pirmide, si la base es unoctgono cuyo lado mide 20cm y la apotema de la pirmide 15cm

11.Calcule el rea de la base, rea lateral y el rea total de una pirmide, si la base es undecgono cuyo radio mide 7cm y la altura de la pirmide 13cm

12.Calcule el rea de la base, rea lateral y el rea total de una pirmide, si la base es unendecgono cuyo radio mide 4cm y la apotema de la pirmide 12cm

13.Calcule el rea de la base, rea lateral y el rea total de una pirmide, si la base es unpentadecgono cuyo lado mide 22cm y la altura de la pirmide 30cm

14.Calcule el rea de la base, rea lateral y el rea total de una pirmide, si la base es unpentgono con una diagonal que mide 12cm y altura de la pirmide mide 8cm

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B

48 GEOMETRA

GRUPO FNIX



entorno.rea total y rea parcial del cono

Es el cuerpo de revolucin obtenido al hacer girar un tringulo rectngulo alrededor de unode sus catetos.

Elementos del cono circular recto

:r radio de la base:h altura del cono:g generatriz del cono

rea de la base rea lateral rea total2

bA r LA r g T L bA A A

EjemploCon base en las medidas de la figura determine el rea de la base y el rea lateral y total delcilindro.

Figura bA LA TA2

2636

b

b

b

A rAA

6 1060

L

L

L

A r gAA

36 60

96

T b L

T

T

A A AAA

Trabajo cotidiano # 111. Calcule el rea de la base, rea lateral y rea total de un cono si el radio es de 8cm y la

generatriz mide 10cm .2. Calcule el rea de la base, rea lateral y rea total de un cono, si el radio es de 5cm y la

generatriz mide 6 2cm .3. Calcule el rea de la base, rea lateral y rea total de un cono, si el radio es de 7 5cm

y la generatriz mide 9 7cm .4. Si la altura de un cono mide 12cm y el radio de la base 9cm , determine el rea de la base,

rea lateral y rea total.5. Si la longitud de la circunferencia de la base de un cono es de 24 cm y la altura es de

17cm , determine el rea de la base, rea lateral y rea total del cono.

h

r

g

86

10

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N WE

B

GEOMETRA 49

GRUPO FNIX



entorno.rea total de una esfera

Una esfera es un slido cerrado delimitado por una superficie en la que todos los puntos seencuentran equidistantes de un punto central llamado centro.

Elementos de la esfera

:r radio de la esfera

rea total24TA r

EjemploCon base en la informacin dada determine el rea de la esfera

Esfera TA24 r

24 464

24 r 24 2 580

Trabajo cotidiano # 121. Calcule el rea de una esfera si el radio mide 13cm .2. Calcule el rea de una esfera si el radio mide 19cm .3. Calcule el rea de una esfera si el radio mide 13 7cm .4. Si el rea de una esfera es de 2144 cm , cul es la medida del radio?5. Si el rea de una esfera es de 2196 cm , cul es la medida del radio?6. Si el rea de una esfera es de 2256 cm , cul es la medida del radio?

r

2 5

4

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B

50 GEOMETRA

GRUPO FNIX

Trabajo extraclase # 41. El rea total de un cilindro circular recto es 144 . Si el radio de la base es congruente

con la altura del cilindro, entonces, Cul es el volumen de dicho cilindro?A) 84B) 216C) 512D) 729

2. Si la media del radio de una esfera se aumenta en 3 , entonces, su rea es 196 . Cules la medida del radio de la esfera original?A) 3B) 4C) 7D) 7 3

3. Si la medida de la diagonal de un cubo es 18 , entonces la medida del rea lateral dedicho cubo es igual aA) 72B) 168C) 432D) 648

4. Si el rea lateral de una pirmide recta de base cuadrada es 432 y la medida de laapotema de la pirmide es 18 , entonces el volumen de la pirmide corresponde aA) 288 5B) 576 2C) 4608 7D) 5184 2

5. El volumen de un cono circular recto es de 729 y la altura es el triple del radio de labase. Cul es el rea lateral del cono?A) 243B) 81 10C) 162 10D) 729 10

6. Cul es el rea lateral de una pirmide recta de bse cuadrada, si la medida de cadauno de los lados de la base es 10 y la medida de la altura de la pirmide es 12?A) 240B) 260C) 312D) 624

VERSIN WEB VERSI

N WE

B

GEOMETRA 51

GRUPO FNIX

7. El rea basal de un cono circular recto es 14 . Si la medida de la altura es 5 2 ,entonces el rea lateral de dicho cono esA) 4 2B) 8 14C) 5 28D) 70 2

8. En un prisma recto, la base es un cuadrado cuya medida de la diagonal es 18 , si laaltura del prisma es 2 3 , entonces, Cul es su volumen?A) 6 6B) 9 3C) 18 3D) 36 3

9. Si en una pirmide cuadrangular recta la medida de su apotema es 3 y la del lado de subase es de 2,5 entonces el rea total esA) 10B) 15C) 21,25D) 36,25

10.La siguiente fotografa corresponde a una de las esferas del Delta del Diqus (Osa, Surdel pas). Estas corresponden a obras construidas en piedra, con extraordinariaprecisin, por antiguos habitantes de esa regin. Varios cientficos han indicado que lascondiciones ambientales estn deteriorando las esferas y que lo ms op

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Undécimo 2014