Hội nghị toàn quốc về Điều khiển và Tự động hoá - VCCA-2011

VCCA-2011

Ứng dụng tọa độ Plücker xem xét cấu hình đặc biệt của cơ cấu song song

Applying Plücker Coordinates taking into account Singularities of Parallel

Mechanisms

Nguyễn Minh Thạnh, Trần Công Tuấn1, Nguyễn Ngọc Lâm

2,

Nguyễn Minh Thi3, Phan Văn Đức

Trường ĐH Giao thông Vận tải TP.HCM, 1)

Trường Cao đẳng nghề CNTT iSPACE, 2)

Viện nghiên cứu Điện tử, Tin học và Tự động hóa, 3)Trường Cao đẳng nghề TP. HCM

e-Mail: minhthanhnguyen@vnn.vn, tuantc@ispace.edu.vn,

lamnguyenngoc_ne@yahoo.com.vn, nmthi@vnn.vn, chuduc095@yahoo.com

Tóm tắt Bài báo trình bày kết quả nghiên cứu các vấn đề về

cấu hình đặc biệt và khả năng tải của tay máy song

song với các chân dẫn động phụ phân bố ngoài không

gian làm việc, trong đó sử dụng phương pháp lý

thuyết vít và dùng toạ độ Plücker.

Bài báo cũng đề xuất các thuật toán xác định mô hình

cho cơ cấu này trên cơ sở lý thuyết vít, xác định được

sự ảnh hưởng của chuẩn số gần tiến tới các cấu hình

đặc biệt và ảnh hưởng căn bản tới kết quả mô hình

hóa cũng như khả năng chịu tải của cơ cấu song song.

Các kết quả nghiên cứu cho thấy việc áp dụng lý

thuyết vít và dùng toạ độ Plücker vào bài toán tay

máy song song là rất hiệu quả, đặc biệt trong xét các

cấu hình đặc biệt, cũng như khả năng chịu tải.

Abstract:

The research results on issues singularities

configurations and load capacity of the parallel

mechanism with actuators located outside the

workspace, which uses screw theory and used Plücker

coordinates are presented.

The algorithms to determine the model of mechanism

take into account configuration singularities based on

screw theory are proposed, the criterion of closeness

to singularity is determined, the basic impact

modeling results as well as load capacity of parallel

mechanisms.

The research results show that the application of

screw theory and used Plücker coordinates parallel

mechanisms problem is very effective, especially in

consideration of singularities configurations, as well

as load capacity.

1. Phần mở đầu Trong những năm gần đây, cơ cấu có cấu trúc song

song (cơ cấu song song) dành được sự quan tâm lớn

của cộng đồng Robotics. Chúng cũng được ứng dụng

ngày càng nhiều trong các lĩnh vực: máy công cụ, tổ

hợp cảng, mô phỏng bay, các công cụ định vị có tải

trọng lớn, độ chính xác cao. Giải bài toán về cơ cấu

song song có một vai trò đặc biệt, cho phép nâng cao

hiệu quả hoạt động của các thiết bị kỹ thuật mà nó

tham gia, đặc biệt là những vấn đề về khả năng tải

trọng và độ chính xác.

Đã có nhiều công trình được công bố quốc tế [10-13]

giới thiệu các kết quả nghiên cứu về cơ cấu song

song. Trong đó, nhiều phương pháp tính toán tối ưu

và điều khiển được áp dụng như các phương pháp mô

hình hoá sử dụng tập hợp tối ưu Pareto, thuật toán di

truyền, lý thuyết điều điều khiển hiện đại và điều

khiển thông minh, ... Tuy nhiên, do tiềm năng của lĩnh

vực này rất rộng lớn với hướng nghiên cứu mở và còn

nhiều vấn đề cần phải giải quyết.

Về tính đặc biệt của cơ cấu song song cũng được

nhiều nhà khoa học nghiên cứu và công bố [14-28],

trong đó việc xem xét ảnh hưởng của các vị trí đặc

biệt lên đặc trưng của vùng làm việc là hết sức quan

trọng.

Đối với mô hình cơ cấu song song có các dẫn động

được bố trí ngoài vùng làm việc, việc nỗ lực thiết lập

các chuỗi động học của chúng cũng đóng một vai trò

quan trọng cho các thiết bị hoạt động trong môi

trường ăn mòn, hoặc thiết bị dùng dưới nước. Do đặc

điểm ràng buộc về mặt hình học và kết cấu vật lý của

các chuỗi động liên kết của cơ cấu song song làm hạn

chế các thông số của vùng làm việc, cũng như yêu cầu

về khả năng tải và các đặc tính sẳn của nó có thể làm

suy giảm cạnh cấu hình đặc biệt (cấu hình suy biến).

Bài báo này trình bày cách giải quyết các vấn đề nêu

trên khi sử dụng lý thuyết vít và dùng toạ độ Plücker.

Tuy lý thuyết này đã có từ lâu và đã có nhiều nhà

khoa học nghiên cứu ý tưởng của Plücker để đưa vào

giải quyết các vấn đề của mình [2-7].

Việc xây dựng các thuật toán và chương trình tự động

hoá thiết kế các cơ cấu song song có tính đến các đặc

điểm như không gian làm việc, khả năng tải, sự triệt

tiêu từ các cấu hình suy biến trên cơ sở lý thuyết vít

có thể đưa ra một cách giải quyết mới vấn đề đã nêu..

Từ các kết quả trên, có thể giải quyết một các kịp thời

và cấp thiết việc thiết lập hệ thống tự động hoá thiết

kế các cơ cấu song song có các dẫn động được phân

bố ngoài không gian làm việc [29].

2. Các khái niệm cơ bản tọa độ Plücker Trong phần này chúng ta xem xét các khái niệm cơ

bản của tọa độ Plücker (Plücker’s coordinates),

227

Hội nghị toàn quốc về Điều khiển và Tự động hoá - VCCA-2011

VCCA-2011

phương trình của Plücker đường (Plücker’s line), và

Plücker phức hợp tuyến tính (Plücker’s linear

complex) được đưa ra bởi Plücker [1]. Nó được ứng

dụng trong các phức hợp tuyến tính, cho phép ta biểu

diễn trường véc tơ trong chuyển động vít và làm sáng

tỏ về mặt hình học của phương trình mặt lưới và quá

trình kết hợp hai tham số.

2.1 Plücker đường

Một đường thẳng trong không gian được xác định bởi

một vector vị trí ro tại một điểm Mo của một đường

thẳng và một vector hướng song song với đường

thẳng (xem hình H.1). Các thông số thể hiện hướng

của một đường thẳng là:

;( 0),o o or r M M r a A (1)

Đường thẳng được định hướng tương ứng với ký hiệu

của thừa số vô hướng .

H. 1 Biểu diễn một đường thẳng

Nếu đường thẳng được giả định rằng một đi qua điểm

Mo, thì mômen của đường thẳng định hướng đối với

gốc O được xác định như sau:

a om r a (2)

Dễ dàng kiểm tra được rằng

o o ar a r a a r a m (3)

0am a r a a (4)

Từ đó, phương trình

, 0a o am r a r a m a (5)

thỏa mãn cho bất kỳ điểm tồn tại trên đường thẳng.

Những phương trình này xác định một đường thẳng

và được gọi là các phương trình Plücker của một

đường thẳng (Plücker đường) . Vì vậy, sáu tọa độ

((ax, ay, az), (mx, my, mz)) được gọi là tọa độ Plücker.

Chỉ có bốn trong số các tọa độ đó là độc lập tuyến

tính khi 0am a và có một thừa số chung vô

hướng. Cụ thể, chúng tôi có thể biểu diễn /oa a a

và *

a om r a thay cho điểm a và đường thẳng ma.

1.2 Plücker phức hợp tuyến tính của một đường

thẳng nằm trên mặt phẳng

Một mặt phẳng có thể được xác định bằng cách: (a)

một điểm Mo nằm trong mặt phẳng và (b) một véc tơ

pháp tuyến N đến mặt phẳng (xem hình H.2).

Một đường thẳng nằm trong mặt phẳng P được biểu

diễn:

, ( 0), 0or r a N a (6)

H. 2 Biểu diễn một đường thẳng trong một mặt phẳng

Từ phương trình (6)

( ) 0oN r r (7)

và mặt phẳng có thể biểu diễn bởi phương trình:

N r d (8)

Bây giờ chúng ta xem xét một đường thẳng (g, mg),

đường thẳng này nằm trong cùng một mặt phẳng nếu

các phương trình sau đây được thỏa mãn theo [8]:

gN g m d g g (9)

Dùng phép biến đổi trực tiếp phương trình (9), ta thu

được:

( )

( ) ( )

( ) ( )

gN g m N g r g

N r g g g N g

N r g g d g g

(10)

Khi g nằm trong mặt phẳng thì 0 gN

Tiếp theo, xét đường thẳng (a, ma) và (g, mg), chúng

ta có thể kiểm tra được rằng các cặp của đường thẳng

có thể giao nhau từng đôi một hoặc chúng song song

nếu các phương trình sau đây thỏa:

0g aa m m g (11)

Để minh chứng những vấn đề này được dựa trên

những điều sau đây:

(a) Dùng phép biến đổi trực tiếp phương trình (11), ta

thu được:

( ) 0g a a g

a r g r a g r r a g (12)

(b) Phương trình (12) thỏa mãn khi:

0, 0a gr r a g , có nghĩa là các đường thẳng có

một điểm chung.

, 0a gr r a g , có nghĩa là có hai đường thẳng

song song với nhau.

Phương trình (11) thể hiện Plücker phức hợp tuyến

tính của tất cả các đường thẳng (g, mg) được xác định

bởi một vector a và cặp (a, ma).

Đường thẳng (g, mg) có sáu tọa độ Plücker (gx , gy , gz,

mgx , mgy , mgz), nhưng chỉ có ba là độc lập tuyến tính

bởi vì một đường thẳng chỉ có bốn tọa độ Plücker độc

lập tuyến tính và có thêm một mối quan hệ giữa các

tọa độ được cho bởi bởi phương trình (11).

x

z

y

O

N

g

MoM

xa

z

y

M

oM

r

or

O

228

Hội nghị toàn quốc về Điều khiển và Tự động hoá - VCCA-2011

VCCA-2011

3. Các đặc điểm của cơ cấu song song có

các dẫn động nằm ngoài vùng làm việc 3.1 Đề xuất cơ cấu song song

Có nhiều cơ cấu song song với cấu trúc khác nhau có

thể mang lại vùng làm việc, vận tốc, khả năng tải cao

hơn cũng như đáp ứng môi trường làm việc nguy hại

khác với cơ cấu Stewart Platform (Hexapod). Cơ cấu

song song mà chúng tôi đề xuất trong nghiên cứu này

là một cơ cấu có các dẫn động được phân bố ngoài

vùng làm việc (xem hình H.3). Cơ cấu này có những

ưu điểm là có thể đáp ứng được điều kiện ứng dụng

khắc nghiệt của một thiết bị hoạt động trong môi

trường ăn mòn, hoặc thiết bị dùng dưới nước.

H. 3 Cơ cấu song song với bốn chuỗi động

Loại cơ cấu được lựa chọn này nhìn tổng quát thì có

thể đáp ứng đầy đủ các điều kiện cho mục tiêu ứng

dụng, nhưng vẫn tồn tại một số hạn chế. Một mặt, với

bốn chuỗi động nó đảm bảo độ cứng vững cao hơn,

khả năng tải và vận tốc cao hơn so với cơ cấu có ba

chuỗi động. Tuy nhiên, sự hiện diện bốn chuỗi động

có thể sẽ thu hẹp thể tích làm việc bởi một khâu nào

đó trong số chúng cản trở chuyển động tương hỗ của

các khâu khác.

Cấu trúc hình học của cơ cấu song song với bốn chuỗi

động và với các chuỗi động được thiết kế bằng cách

tạo các dẫn động bố trí ngoài vùng làm việc, đồng

thời khớp động được bố trí tại các điểm В1, …, В4 cho

phép chuyển dịch tuyến tính của các chân đối với nền,

ngoài ra, chúng còn thực hiện chuyển vị góc. Các

khớp động А1, …, А4 được bố trí ở khâu ra (tấm dịch

chuyển). Ngoài ra các khâu được bố trí giữa các điểm

А5 và В5, А6 và В6, đảm bảo cho hệ thống có số bậc tự

do mong muốn.

Vị trí tương hỗ của khâu ra so với nền được xác định

nhờ sự tồn tại của một ma trận biến đổi (4x4), ma trận

này mô tả ba chuyển động tịnh tiến và ba chuyển

được quay. Tọa độ tâm của các điểm ở các khớp của

khâu ra cũng được xác định trong hệ tọa độ di chuyển.

Ngoài ra, toạ độ của các điểm này cũng được xác định

trong hệ tọa độ cố định. Khoảng cách giữa các điểm

từ Ai đến Bi (i = 1,…, 4) được xác định là tọa độ suy

rộng. Đối với chuỗi động 5 và 6 bài toán được giải

quyết tương tự, chỉ có khác biệt là những điểm cố

định phía trên của dẫn động được bố trí trên chuỗi

động 1 và 4.

Chuyển động tuyến tính của các dẫn động được tạo ra

bằng cách dùng động cơ tuyến tính (linear motor)

hoặc động cơ quay kết hợp với bộ biến đổi chuyển

động quay thành chuyển động tịnh tiến (ví dụ: cơ cấu

bánh vít – trục vít hoặc bánh răng – thanh răng. Trong

trường hợp mất điện cơ cấu bánh vít – trục vít sẽ được

giữ nguyên vị trí. Cơ cấu bánh răng – thanh răng thì

có hiệu quả và phù hợp hơn cho các ứng dụng đòi hỏi

tốc độ cao).

3.2 Lựa chọn khớp động cho cơ cấu

Để có đủ số bậc tự do như mong muốn chuyển động

khâu ra trong không gian, người thiết kế phải tạo ra

một loại cơ cấu song song với các khớp nối giữa các

khâu của các dẫn động với tấm dịch chuyển.

Khi các dẫn động được gắn cố định, cơ cấu sẽ có bậc

tự do là zero, hay nói cách khác, tấm dịch chuyển sẽ

được cố định tại một vị trí.

Theo [9], số bậc tự do của cơ cấu được tính như sau:

1

( 1)j

i d

i

w l j f I

(13)

trong đó là bậc tự do trong không gian ( = 6); l là

số khâu của cơ cấu; j: số khớp của cơ cấu; fi: số bậc tự

do của khớp thứ i; Id: số bậc tự do thừa của cơ cấu.

Giả sử cả hai đầu mỗi một khâu được gắn với các

khớp cầu có một bậc tự do thừa, trong trường hợp

này, chúng ta cần phải xem xét đến bậc tự do thụ

động Id.

Xét cơ cấu song song có n khâu, các dẫn động được

gắn cố định. Khi đó, = 6, l = n + 1 + 1 (sáu khâu,

tấm dịch chuyển và bệ), j = 2·n (số khớp trong cơ

cấu). Vì tất cả các khớp đều là khớp cầu, nên fi = 3

(mỗi khớp có 3 bậc tự do). Mỗi khâu được gắn với hai

khớp cầu, Id = n bậc tự do thụ động. Từ (13), số bậc

tự do của cơ cấu sẽ được tính:

w = 6(n+1+1-2·n-1) + 2·n·3 – n = 6–n (14)

Tiếp theo, nếu chúng ta dùng khớp Các-đăng và khớp

lăng trụ dọc trên trục mỗi khâu, thay vì dùng các khớp

cầu như trên. Ta có, = 6, l = n + 1 + 1 = 8, j = 3·n.

Khi đó, cơ cấu sẽ có 12 khớp Các-đăng với 2 bậc tự

do cho mỗi khớp (fi = 2, với i = 1,…, 2n) và 6 khớp

lăng trụ với một bậc tự do cho mỗi khớp (fi = 1, với I

= 2n+1,..., 3n), và Id = 0. Trong trường hợp này, theo

(13) số bậc tự do của cơ cấu sẽ được tính:

w = 6(2·n+1+1-3·n-1)+2·n·2+n·1= 6-n (15)

Từ phương trình (14), (15) ta thấy cơ cấu sẽ được

định vị một cách vững chắc nếu có n = 6 khâu, khi đó

bậc tự do của tấm dịch chuyển sẽ là zero.

4. Tác động tương hỗ của chuỗi động và

khâu ra Sự tồn tại của các cấu hình đặc biệt (cấu hình kỳ dị,

cấu hình suy biến) có thể ảnh hưởng một cách căn bản

đến các chức năng làm việc của cơ cấu song song.

Trong các cấu hình đặc biệt, hệ thống vít lực đặc

trưng sự tác động tương hỗ giữa các chuỗi động và

khâu ra bị suy biến. Việc tìm thấy vít động – gradien

y z

x

O

A1

A2

A3

B1

B3

B2

A5

B5

A4

B4

A6

B6

229

Hội nghị toàn quốc về Điều khiển và Tự động hoá - VCCA-2011

VCCA-2011

đưa hệ thống tới gần cấu hình đặc biệt. chính vì thế,

phân tích bài toán xác định vít động đưa cơ cấu ra

khỏi vị trí đặc biệt là cần thiết.

Chúng ta tiến hành xác định các vít lực biểu diễn sự

tác động tương hỗ của chuỗi động và khâu ra.

H. 4 Một chuỗi động phụ

Xem xét một chuỗi động phụ thứ i (xem hình H.4),

dẫn động của chuyển vị tuyến tính được bố trí dưới

góc gần thanh nối. Trong trường hợp tổng quát khi

dẫn động bị hãm trục của vít lực thuộc mặt phẳng

được đặc trưng bởi các đoạn AiBj và BjCj đi qua Cj và

hướng thẳng góc với phương chuyển vị có thể của Cj,

được xác định bằng phép quay của Bj xung quanh tâm

khớp cầu của Ai. Khi xem xét sự chuyển động có thể

của Cj trong mặt phẳng được đặc trưng bởi các đoạn

AiBj và BjCj thì ta sẽ tìm thấy tâm vận tốc tức thời của

chuỗi động BjCj tại Fi. Chuyển dịch có thể của Cj ở

khâu ra thẳng góc với đoạn FiCj, cho nên trục thẳng

được định ra bởi đoạn này là trục của vít lực cần phải

tìm.

Vétơ của vít lực:

* **

i i ip p p

/ / / . /i j j j j i j j j

AC s d l f l d AC DC d DC (16)

trong đó pi là véc tơ vít lực thứ i; pi*, pi** là các hình

chiếu của véc tơ pi song song và thẳng góc với véc tơ

BCj; ACi, DCj là các véc tơ được sắp xếp giữa các

điểm Ai và Cj, Dj và Cj tương ứng; sj, dj, fj là chiều dài

các vétơ BCj, DCj, BDj; (với j=1 và i=1, 2, 3; j=2 và

i=4, 5; j=3 và i=6).

Véc tơ vít lực thứ i:

/i i i

r p p (17)

Mômen vít lực ri0 sẽ bằng tích vétơ:

0

ji C ir r (18)

trong đó ri0 là mômen vít lực thứ i;

jC là bán kính

véc tơ của Сj ở khâu ra.

5. Ảnh hưởng của cấu hình đặc biệt lên

các thông số của vùng làm việc

Ảnh hưởng của cấu hình đặc biệt lên các thông số

vùng làm việc của cơ cấu song song là một vấn đề rất

quan trọng cần được xem xét. Ta cần phải định ra các

cơ sở để xác định cấu hình đặc biệt. Ở đây, chúng ta

có thể xem xét giá trị tiêu chuẩn (chuẩn số) hoạt động

đối với tọa độ trục các dẫn động tuyến tính của cơ

cấu. Đồng thời phải xem xét các ma trận được thiết

lập từ tọa đã nêu, toạ độ này được xác định là tọa độ

Plücker, được tìm trên cơ sở lý thuyết vít.

Khi tay máy di chuyển đến cấu hình đặc biệt, tay máy

sẽ mất điều khiển, gây ảnh hưởng xấu đến các chức

năng của các hệ thống. Vì thế rất cần phải phân tích và

tìm cách xác định sự tồn tại của các cấu hình đặc biệt

ảnh hưởng đến các thông số của không gian làm việc.

Việc tìm các giới hạn của các giá trị chuẩn số có thể

cần được xem xét.

Các thông số của cơ cấu song song (xem hình H.3):

Bi, Ai là các điểm kẹt chặt ở trên nền và khâu ra. si

(sxi, syi, szi), ri(rxi, ryi, rzi) là các vectơ xác định giữa

gốc tọa độ O đến các đến điểm được đề cập Bi, Ai (si

là hằng số).

Vít lực tác động lên khâu ra được định vị dọc trục trên

các chuỗi động với Ei=ei+eoi, (i=1,…,6), ở đây Ei

là được biết đến như là tọa độ Plücker, là các hệ số

Clifford, 2=0 (đối với một véc tơ, eie

oi=0). Các tọa

độ của véc tơ ei được thể hiện thông qua tọa độ của

các điểm: (xBi–xAi)/Li, (yBi –yAi)/Li, (zBi –zAi)/Li, ở

đây xAi, yAi, zAi, xBi, yBi, zBi là tọa độ của điểm Ai và

Bi.

Chúng ta hãy xem xét định thức của ma trận (T) (ký

hiệu det(T)) được tạo từ các tọa độ Plücker của các vít

đơn vị Ei, (i = 1,…,6) các trục của vít lực tác động từ

các chuỗi động học đến khâu ra. Ma trận của Plücker

được biễu diễn:

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

6 6 6 6 6 6

. . . . . .( )

. . . . . .

. . . . . .

o o o

x y z x y z

o o o

x y z x y z

o o o

x y z x y z

e e e

e e e e

e e e e e e

e e e

e e

T

(19)

Cấu hình của cơ cấu song song là đặc biệt khi định

thức của ma trận (T) tiến đến zero, nghĩa là:

det(T) = 0 (20)

Cấu hình đặc biệt sẽ được tìm thấy nếu tất cả các

véctơ trên trục của các dẫn động là phụ thuộc tuyến

tính.

Ví dụ, chúng ta thiết lập thuật toán ban đầu, với các

tọa độ tham số của các điểm Bi (i = 1,…,6) trong hệ

tọa độ tương ứng với nền là (m): 1.5

0

0

1

0

1.5

0

1

0

1.5

0

1

1.5

0

0

1

1.5

1.5

0

1

1.5

1.5

0

1

abi

abi*

Bj

abi**

Dj Ai

pi ri pi

*

pi**

Fi Cj

230

Hội nghị toàn quốc về Điều khiển và Tự động hoá - VCCA-2011

VCCA-2011

Tọa độ tham số của các điểm Ai (i = 1,…,6) trong hệ

tọa độ tương ứng với khâu ra có giá trị (ở đây cột 5 và

6 tương ứng với cột 1 và 4) (m): 0.8

0

0

1

0

1

0

1

0

0.8

0

1

1

0

0

1

0.8

0

0

1

1

0

0

1

Tọa độ Plücker của các trục được tìm thấy dựa trên

bài toán động học ngược và được xác định bởi ma

trận (T):

T

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0.423

0.906

0

0

0

0.725

0.316

0.949

0

0

0

0.949

Định thức của ma trận (T) ở trên là bằng zero:

det(T)=0. Như vậy cấu hình đặc biệt của cơ cấu đã

được tìm thấy.

Bây giờ ta xét đến ảnh hưởng của cấu hình đặc biệt lên

vùng làm việc của cơ cấu song song đề xuất. Vùng làm

việc của cơ cấu được giới hạn khoảng dịch chuyển của

các dẫn động, nghĩa là giới hạn dịch chuyển của tọa độ

suy rộng. Ở đây cần quan tâm đến mối liên hệ giữa

giới hạn của tọa độ suy rộng và tọa độ tuyệt đối trong

không gian tham số. Trong trường hợp này chúng ta

giải bài toán và kiểm tra giới hạn trong tọa độ suy

rộng, cũng như giới hạn cấu trúc cơ cấu.

Để minh chứng các giá trị chuẩn số suy biến có ảnh

hưởng đến các thông số của vùng làm việc, ta tiến

hành kiểm tra giá trị của chuẩn số với

|det(T)|0.000001. Vùng làm việc của cơ cấu song

song với góc hướng thay đổi trong trường hợp giới hạn

của tọa độ suy rộng cho trước là 2.5 ≤ li ≤ 4.5(m) đối

với chuỗi động 1, 2, 3, 4 (i=1,…,4) và 0.8 ≤ li ≤ 2.2(m)

đối với chuỗi động 5 và 6 (i=5, 6). Giá trị đầu và cuối

của tọa độ tuyệt đối x và y thay đổi trong phạm vi từ –

3.5 đến 3.5(m) và tọa độ tuyệt đối z là từ 0 đến 3(m).

Góc hướng khâu ra thay đổi từ π/6 đến -π/6. Số bước

quét trong không gian tham số đối với x, y là 5 và đối

với z, α, β, γ là 4. Kết quả vùng làm việc của cơ cấu:

workspace

0 1 2 3 4 5 6 7 8

6394

6395

6396

6397

6398

6399

3.5 3.5 3 0 0.524 0.175 0.175 961 27

3.5 3.5 3 0 0.524 0.175 0.524 961 27

3.5 3.5 3 0 0.524 0.524 -0.524 961 27

3.5 3.5 3 0 0.524 0.524 -0.175 961 27

3.5 3.5 3 0 0.524 0.524 0.175 961 27

3.5 3.5 3 0 0.524 0.524 0.524 961 27

Quan sát vào kết quả trên ta thấy cấu hình đạt được là

961 và vị trí tâm khâu ra đạt được là 27. Vị trí tâm

khâu ra thể hiện trong vùng làm việc được trình bày

trên hình H. 5.

Tiếp theo, ta lần lượt xét giá trị của các chuẩn số suy

biến ảnh hưởng đến vùng làm việc của cơ cấu thể hiện

qua số cấu hình cơ cấu và vị trí của tâm khâu ra đạt

được. Kết quả đạt được thể hiện trên Bảng 1.

X Y Z( ) H. 5 Vị trí của tâm khâu ra

Bảng 1. Kết quả khảo sát các giá trị của chuẩn số suy biến

|det(T)| Cấu hình Tâm khâu ra

0.00001 961 27

0.0001 956 27

0.001 883 27

0.01 497 21

0.1 0 0

Quan sát trên Bảng 1. chúng ta có thể tìm thấy giới

hạn các giá trị chuẩn số xác định cấu hình đặc biệt của

cơ cấu song song, từ đó chúng ta có thể điều khiển tay

máy song song ra khỏi cấu hình đặc biệt tồn tại trong

vùng làm việc của chúng.

6. Khả năng chịu tải của cơ cấu Khả năng chịu tải của cơ cấu song song có thể được

xác định trên cơ sở giá trị trung bình của cấu hình có

thể và vị trí tâm khâu ra ở thời điểm tức thời. Đây

cũng có thể là một chuẩn số mà chúng ta cần xem xét,

vì nó phản ánh được khả năng chịu tải của cơ cấu.

Chuẩn số đó là giá trị định thức được lập ra từ tọa độ

của các dẫn động. Giả sử có một lực tác động lên tấm

dịch chuyển, mà nó có thể biểu diễn dưới dạng một

véctơ sáu chiều, hoặc vít lực được đặc trưng bởi véctơ

lực và véctơ mômen:

(R) = (F,M) (21)

Lực này có thể phân chia ra các lực thành phần trong

từng dẫn động. Để có được điều đó, cần có một ma

trận (T) được lập ra từ tọa độ các dẫn động:

(R) = (T)(f) (22)

trong đó (f) là véc tơ lực trong các dẫn động, có hệ

thức:

(f) = (Т)-1

(R) (26)

trong đó (Т)-1

là ma trận nghịch đảo.

Từ hệ thức trên, rõ ràng rằng các lực trong các dẫn

động đạt được giá trị vô cùng trong các cấu hình suy

biến khi định thức ma trận |det(T)| = 0. Định thức

càng lớn thì lực cần có trong các dẫn động càng nhỏ

và khả năng tải trọng càng lớn. Chính vì thế hệ thức

trên có thể được tiếp nhận như chuẩn số khả năng tải

trọng.

Chúng ta đi tìm biểu thức biểu diễn cho độ cứng và sự

biến dạng của cơ cấu. Để có hệ thức của chuyển vị

đàn hồi trong các dẫn động thì cần phải tăng lực trên

ma trận tính để biến dạng (С)-1

:

231

Hội nghị toàn quốc về Điều khiển và Tự động hoá - VCCA-2011

VCCA-2011

(q) = (C)-1

(f) (27)

trong đó (C)-1

là ma trận chéo, vì vậy:

(C)-1

= (1/C) (28)

Sự chuyển dịch trong các dẫn động lúc này có thể

được biểu thị qua lực tác động lên tâm dịch chuyển:

(q) = (C)-1

(f) = (C)-1

(Т)-1

(R) (29)

Tiếp theo ta có thể tìm thấy sự chuyển dịch của tấm

dịch chuyển bao gồm hai thành phần: chuyển vị tuyến

tính và chuyển vị góc.

(W) = (r,φ) = (Т)-1

(q) = (Т)-1

(C)-1

(Т)-1

(R) (30)

Từ đó ma trận biến dạng được tìm thấy: (G)-1

= (Т)-

1(C)

-1(Т)

-1, trong ma trận này cũng có sự hiện diện của

tọa độ trục các dẫn động. Ma trận độ cứng sẽ là:

(G) = (Т)(C)(Т) (31)

Từ những điều trên đây có thể đưa ra kết luận rằng ma

trận (T), cũng như định thức của nó có thể là hệ số

khả năng tải trọng và độ cứng cơ cấu song song.

7. Kết luận Nghiên cứu những khái niệm cơ bản của lý thuyết vít

và dùng toạ độ Plücker, ứng dụng chúng để giải quyết

một số vấn đề cho cơ cấu song song có các dẫn động

phân bố ngoài vùng làm việc đã cho một số kết quả cơ

bản sau:

Các thuật toán được đề xuất trên cơ sở lý thuyết vít

cho phép xác định mô hình cơ cấu song song có các

dẫn động được bố trí ngoài vùng làm việc có tính đến

các cấu hình đặc biệt .

Trên cơ sở các thuật toán đã đưa ra, việc xác định

được sự ảnh hưởng của chuẩn số gần tiến tới các cấu

hình đặc biệt đã được thực hiện. Hệ thức được lập từ

tọa độ các trục dẫn động tuyến tính của cơ cấu song

song có thể sử dụng một các hiệu quả cả khi mô hình

hóa. Giá trị của chuẩn số tiến gần đến các cấu hình

đặc biệt ảnh hưởng căn bản tới kết quả mô hình hóa

cũng như khả năng chịu tải của cơ cấu song song.

Các kết quả nghiên cứu cho thấy việc áp dụng lý

thuyết vít và dùng toạ độ Plücker vào bài toán tay

máy song song là rất hiệu quả, đặc biệt trong xét các

cấu hình đặc biệt và khả năng chịu tải.

Tài liệu tham khảo [1] Plücker J., On a New Geometry of Space,

Philosophical Transactions of the Royal Society,

Vol. 155, pp. 725–791, 1865.

[2] Ball, R., A Treatise on the Theory of Screws,

Cambridge at the University Press, 1900.

[3] Klein F., Elementary Mathematics From an

Advanced Standpoint, Dover Publications, New

York, 1939.

[4] Bottema O., Roth B., Theoretical Kinematics,

North-Holland Publishing Co. 1979.

[5] Karger, A., Novak, J., Space Kinematics and Lie

Groups, Gordon and Breach Science Publishers,

New York. ISBN 2-88124-023-2, 1978.

[6] F. Dimentberg, The Screw Calculus and its

Applications in Mechanics, Nauka, 1965

(English translation: AD680993, Clearinghouse

for Federal Technical and Scientific

Information, Virginia).

[7] Lipkin, H., Geometry and Mappings of screws

with applications to the hybrid control of

robotic manipulators, PhD thesis, University of

Florida, 1985.

[8] Merkin D.R., Algebra of Free and Sliding

Vectors”, Fizmatgis, 1962 (in Russian).

[9] Yang D.C.H., Lee T.W., Feasibility Study of a

Platform Type of Robotic Manipulators from a

Kinematic Viewpoint. Journal of Mechanisms,

Transmissions, and Automation in Design, June

1984, Vol 106, 191-198.

[10] J. Angeles, The Qualitative Synthesis of the

parallel Manipulators, Journal of Mechanical

Design. Vol. 126, 2004, pp. 617-624.

[11] J.-P. Merlet, Parallel Robots, Kluwer Academic

Publishers, 2006, 394p.

[12] M. Ceccarelli, Fundamentals of Mechanics of

Robotic Manipulation, Kluwer Academic

Publishers, 2004, 310p.

[13] V. Parenti-Castelli, C. Innocenti, Direct

Displacement Analysis for Some Classes of

Spatial Parallel Mechanisms, Proceedings, VIII

CISM-IFToMM Symposium on Theory and

Practice of Robots and Manipulators, Cracow,

Poland, 1990, pp. 123-130.

[14] C. Gosselin, J. Angeles, Singularity Analysis of

Closed Loop Kinematic Chains, In IEEE Trans.

on Robotics and Automation, 1990, 6(3): 281-

290.

[15] H. Funabashi, Y. Takeda, Determination of

Singular Points and Their Vicinity in Parallel

Manipulators Based on the Transmission Index,

In Proceedings of the 9th World Congress on the

TMM, Milano, Italy, 1995, pp. 1977-1981.

[16] Y.N. Sarkissyan, T.F. Parikyan, Analysis of

Special Configurations of the parallel Topology

Manipulators, In: Eight CISM-IFMoMM Symp.

of Robots and Manipulators, Krakow, Poland,

1990, pp. 156-163.

[17] D. Zlatanov, R.G. Fenton, B. Benhabib,

Identification and Classification of the Singular

Configurations of the mechanisms, Mechanism

and Machine Theory, Vol. 33, 1998, No 6, pp.

743-760.

[18] A.F. Kraynev, V.A. Glazunov, Parallel

Structure Mechanisms in Robotics, In

MERO’91, Sympos. Nation. de Roboti Industr.,

Bucuresti, Romania, 1991, 1: 104-111.

[19] V.A. Glazunov, A.S. Koliskor, A.F. Kraynev,

Spatial Parallel Structure Mechanisms,

Moscow, Nauka, 1991, 96p. (in rus.).

[20] V.A Glazunov, A.F. Kraynev, G.V. Rashoyan,

A.N. Trifonova, Singular Zones of the parallel

Structure Mechanisms, In Proceeding of the

10th World Congress on TMM, Oulu, Finland,

1999, pp. 2710-2715.

232

Hội nghị toàn quốc về Điều khiển và Tự động hoá - VCCA-2011

VCCA-2011

[21] V.A. Glazunov, A.F. Krainev, G.V. Rashoyan,

A.N. Trifonova, and M.G. Esina, Modeling the

zones of singular positions of the parallel-

structure manipulators, Journal of Machinery

Manufacture and Reliability, Allerton Press Inc.,

2000, No. 2, pp. 85-91.

[22] V.A. Glazunov, Twists of Movements of the

parallel Mechanisms Inside Their Singularities,

In Mechanism and Machine Theory, 2006, 41:

1185-1195.

[23] Victor Glazunov, Roman Gruntovich, Alexey

Lastochkin, Nguyen Minh Thanh,

Representations of constraints imposed by

kinematic chains of parallel mechanisms, In

Proceedings of the 12th IFToMM World

Congress in Mechanism and Machine Science,

France, June 17-21, 2007, Vol. 1, pp. 380-385.

[24] Victor Glazunov, Nguyen Minh Thanh,

Determination of the parameters and the Twists

Inside Singularity of the parallel Manipulators

with Actuators Situated on the Base,

ROMANSY 17, Robot Design, Dynamics, and

Control. In Proceedings of the Seventeenth

CISM-IFToMM Symposium, Tokyo, Japan,

2008, pp. 467-474.

[25] Nguyen Minh Thanh, Victor Glazunov, Lu Nhat

Vinh, Nguyen Cong Mau, Parametrical

optimization of parallel mechanisms while

taking into account singularities, In ICARCV

2008 Proceedings, Hanoi, Vietnam, 2008,

International Conference on Control,

Automation, Robotics and Vision, IEEE 2008,

pp. 1872-1877.

[26] Nguyen Minh Thanh, Le Hoai Quoc, Victor

Glazunov, Constraints analysis, determination

twists inside singularity and parametrical

optimization of the parallel mechanisms by

means the theory of screws, In Proceedings of

the (CEE 2009) 6th International Conference on

Electrical Engineering, Computing Science and

Automatic Control, IEEE 2009, Toluca, Mexico,

2009, pp. 89-95.

[27] Victor Glazunov, Nguyen Ngoc Hue, Nguyen

Minh Thanh, Singular configuration analysis of

the parallel mechanisms, In Journal of

Machinery and Engineering Education, ISSN

1815-1051, No. 4, 2009, pp. 11-16.

[28] Nguyen Minh Thanh, Victor Glazunov, Lu Nhat

Vinh, Determination of Constraint Wrenches

and Design of Parallel Mechanisms. In CCE

2010 Proceedings, Tuxtla Gutiérrez, Mexico,

2010, International Conference on Electrical

Engineering, Computing Science and Automatic

Control, IEEE 2010, pp. 46-53.

[29] Nguyen Minh Thanh, Victor Glazunov, Tran

Cong Tuan, Nguyen Xuan Vinh, Multi-criteria

optimization of the parallel mechanism with

actuators located outside working space. In

ICARCV 2010 Proceedings, Singapore, 2010,

International Conference on Control,

Automation, Robotics and Vision, IEEE 2010,

pp. 1772-1778.

233