BI 1: I CNG V NG THNG V MT PHNG Vn 1 : TM GIAO TUYN CA HAI MT
PHNG V : Mun tm giao tuyn ca hai mt phng v ta i tm hai im chung I ;
J ca v = I J Khi tm im chung ta ch : J I Cch gi tn hai mt phng pht
hin im chung M d v d Ma b = M trong(P) a ; b
M l im chung
1. 1: 1) Cho t din ABCD c E l trung im ca AB. Hy xc nh giao tuyn
ca mt phng (ECD) vi cc mt phng (ABC) ; (ABD) ; (BCD) ; (ACD) B
E
A
C D S
2) Cho t din SABC v mt im I trn on SA; d l ng thng trong (ABC)
ct on AB; BC ti J ; K . Tm giao tuyn ca mt phng (I,d) vi cc mt phng
sau : (SAB) ; (SAC) ; (SBC) A I
K J C S
B
1. 2: 1) Cho t gic li ABCD sao cho AB AD cha t gic. Tm giao tuyn
ca : a) (SAC) v (SBD) b) (SAB) v (SCD) c) (SAD) v (SBC)
CD
BCv im S khng nm trong mt phng A C S D B
S 2) Cho hnh chp S.ABCDE. Hy xc nh giao tuyn ca mt phng (SAC) vi
cc mt phng (SAD) ; (SCE) A 1. 3: Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l mt t
gic li; E C M D D BC A B
M l im trn cnh CD. Tm giao tuyn ca cc mt phng : a)(SAM) v (SBD)
b)(SBM) ; (SAC)
1. 4: Cho t din ABCD; M l im nm trong ABC; N l im nm trong ACD.
Tm giao tuyn ca : a) (AMN) v (BCD) b) (CMN) v (ABD) K F 1. 5: Cho t
din ABCD .M nm trn AB sao cho AM =1 MB 4
A
M B R Q D A M N B I A I D N J S B D M C N C
; N nm trn AC sao cho AN = 3NC;
im I nm trong BCD. Tm giao tuyn ca : a) (MNI) v (BCD) b) (MNI) v
(ABD) c) (MNI) v (ACD) 1. 6: Cho t din ABCD ; gi I ; J ln lt l
trung im ca AD; BC . a) Tm giao tuyn ca : (IBC) v (JAD) b)M l im
trn AB; N l im trn AC. Tm giao tuyn ca (IBC) v (DMN) I 1. 7: Cho
hai ng thng a ; b (P) v im S khng thuc (P). Hy xc nh giao tuyn ca
mt phng cha a v S vi mt phng cha b v S ? M 1. 8: Cho t din ABCD ;
trn AB ; AC ln lt B D A O b N C a
C
ly hai im M v N sao cho :
AM AN MB NC
.
Tm giao tuyn ca (DMN) v (BCD)
A 1. 9; Cho bn im ABCD khng ng phng ; gi I ; K l trung im AD ;
BC . Xc nh giao tuyn ca hai mt phng (IBC) v (KAD) ? B D 1. 10 :
Trong mt phng cho hnh thang ABCD c y l AB ; CD ; S l im nm ngoi mt
phng hnh thang. Tm giao tuyn ca : a) (SAD) v (SBC) b) (SAC) v (SBD)
C 1.11. Hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh thang hai y l AD ; BC .Gi M ;
N l trung im AB ; CD v G l trng tm SAD. Tm giao tuyn ca : a) (GMN)
v (SAC) b) (GMN) v (SBC) A M B Vn 2: CHNG MINH BA IM THNG HNG V BA
NG THNG NG QUY A B
I K C
S
A
B D
S
G D N C
Chng minh A; B; C thng hng : Ch ra A ; B ; C Ch ra A ; B ; C Kt
lun : A; B; C C
A; B; C thng hngb
a P M N
Chng minh a ; b ; MN ng quy :
t a b = P Chng minh M ; N ; P thng hng Kt lun :MN ; a ; b ng quy
ti P 2. 1: Cho hai mt phng v ct nhau theo giao tuyn d .Trn ly hai
im A ; B nhng khng thuc d. O l im ngoi hai mt phng . Cc ng thng OA
; OB ln lt ct ti A ; B. AB ct d ti C a) Chng minh O; A; B khng thng
hng ? b) Chng minh A ; B ; C thng hng ? T suy ra AB ; AB; d ng quy
2. 2: Trong khng gian cho ba tia Ox ; Oy ; Oz khng ng phng. Trn Ox
ly A ; A ; trn Oy ly B ; B trn Oz ly C ; C sao cho AB ct AB ti D ;
BC ct BC ti E ; AC ct AC ti F. Chng minh D; E ; F thng hng ?
A O B
B C A F A D B E A C C B
A
C
2. 3: Cho A; B; C khng thng hng ngoi mt phng () . Gi M ; N ; P
ln lt l giao im AB ; BC ; AC vi (). Chng minh M; N; P thng hng ? S
2. 4: 1) Cho hnh chp S.ABCD y ABCD l hnh bnh hnh ; O l giao im hai
ng cho ; M ; N ln lt l trung im SA ; SD. Chng minh ba ng thng SO ;
BN ; CM ng quy D 2) Cho t din ABCD.Mt phng () khng song song AB ct
AC ; BC ; AD ; BD ln lt ti M; N; R; S Chng minh AB; MN; RS ng quy ?
2. 5: Chng minh trong mt t din cc ng thng ni nh vi trng tm mt i din
ng quy ? A M C D S N M A O P M
B
N
B C
R B N
2.6. Hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh thang hai y l AD ; BC .Gi M ;
N l trung im AB ; CD v G l trng tm SAD. Tm giao tuyn ca : a) (GMN)
v (SAB) b) (GMN) v (SCD) c) Gi giao im ca AB v CD l I ; J l giao im
ca hai giao tuyn ca cu a v cu b. Chng minh S ; I ; J thng hng? A M
B
S
G D N C I
Vn 3:
CHNG MINH HAI NG THNG CHO NHAU, V CC IM NG PHNG
Chng minh 2 ng thng a ; b cho nhau :
Gi s : a khng cho b T suy ra hai ng thng a v b nm trong cng mt
phng ( ng phng ) T suy ra iu mu thun vi ga thit hoc mu thun vi mt
iu ng no
b a
Chng minh A, B, C, D nm trong cng mt mt phng ng phng
Chng minh hai ng thng to thnh t bn im ct nhau hoc A song song vi
nhau
C
D
B A
C
D B
3. 1: Cho bn im A, B, C, D khng ng phng a) Chng minh ba trong s
4 im ny khng thng hng b) Chng minh AB cho vi CD ? 3. 2: Cho hai ng
thng cho nhau a v b.Trn a ly hai im A, B ; trn b ly hai im C, D B N
b B
A a A M D O C C
D
a)Chng minh AC cho BD ? b)Ly M nm trn on AC; N nm trn on BD. ng
thng MN c song song AB hoc CD khng ? c)O l trung im MN. Chng minh
A, O, C, N ng phng b c a
3. 3: Cho ng thng a ct hai ng thng b v c. Hi ba ng thng a, b, c
c ng phng khng ? Ti sao ?
3. 4: Cho t din ABCD. Gi I ; J l trung im AD; BC. a) Chng minh
AB cho CD ? b) Chng minh IB cho JA ? B
A I D J C
Vn 4:
TM GIAO IM CA NG THNG D V MT PHNG d M
Gi s phi tm giao im d = ? Phng php 1: Tm a Ch ra c a ,d nm trong
cng mt phng v chng ct nhau ti M d = M ( hnh v ) Phng php 2: Tm cha
d thch hp Gii bi ton tm giao tuyn a ca v Trong : a d = M d = M (
hnh v b) 4. 1: Cho t din SABC; M ; N ln lt l cc im nm trong SAB ;
SBC. MN ct (ABC) ti P. Xc nh giao im P A
a
M d
a
S M N A MC B
4. 2: Cho t din ABCD ; M l trung im AB; N v PAN 3 = ; ln lt l cc
im nm trn AC; AD sao cho AC 4
N P D Q C
B
AP 2 = Tm giao im : AD 3
a) MN vi (BCD) b) BD vi (MNP) c) Gi Q l trung im NP.Tm giao im
ca MQ vi (BCD) A 4. 3: A; B ; C ; D l bn im khng ng phng. M; N ln
lt l trung im ca AC; BC. Trn on BD ly P sao cho BP = 2PD. Tm giao
im ca : a) CD vi (MNP) b) AD vi (MNP) 4. 4: Cho hnh chp SABC ; O l
im trong ABC ; D v E l cc im nm trn SB ; SC.Tm giao im ca a) DE vi
(SAO) b) SO vi (ADE) B 4. 5: Cho t din SABC. I ; H ln lt l trung im
SA; AB. Trn on SC ly im K sao cho CK = 3KS. a) Tm giao im ca ng
thng BC vi (IHK) ? b) Gi M l trung im HI. Tm giao im ca ng thng KM
vi (ABC) ? C 4. 6: Cho hnh chp SABCD y l hnh thang ABCD y ln AB. I;
J; K l ba im trn SA; SB; SC. Tm giao im IK v (SBD); giao im (IJK) v
SD; SC A I K B A I M H B A D O S K C S B N C E M P D
S
J
D A 4. 7: Gi I ; J ln lt l hai im nm trong ABC; ABD ca t din
ABCD. M l im tu trn CD. Tm giao im IJ v mt phng (AMB) B M D J I
C
C
4. 8: Hnh chp SABCD y l hnh bnh hnh ABCD. M l trung im SD a)Tm
giao im I ca BM v (SAC) ? Chng minh : BI = 2IM ? b)Tm giao im J ca
ca SA v (BCM) ? Chng minh J l trung im SA ? c) N l im tu trn BC. Tm
giao im ca MN vi (SAC) ? Vn 5: DIN D M
S
J A I N C B
THIT DIN TO BI MT PHNG VI KHI A
Ln lt xt giao tuyn ca vi cc mt ca khi a din ng thi xt giao im ca
cc cnh ca a din vi mt phng Khi cc on giao tuyn tm c khp kn thnh a
gic ta c thit din phi tm. Vic chng minh thit din c hnh dng c bit nh
hnh bnh hnh; hnh thang ; . . . trong mt phng cng nh vo qu trnh i tm
giao tuyn v giao im trn Trong phn ny ta ch xt hai cch lm c bn : I.
Xc nh thit din bng cch ko di cc giao tuyn II.Xc nh thit din bng cch
v giao tuyn ph 5. 1: 1) Cho hnh lp phng ABCDABCD. Gi M ; N ; P ln
lt l trung im AA ; AD; DC . Tm thit din to bi mt phng i qua M; N; P
vi hnh lp phng ? 2) Cho hnh hp ABCDABCD. Gi M; N; P ln lt l trung
im DC ; AD ; BB. Tm thit din to bi mt phng (MNP) vi hnh hp v giao
tuyn ca (MNP) vi mt phng (ABCD) P B B B B
B A C F E D
A M A
N C P
D
D C N C M
A
D
A C
D
5. 2: 1) Cho hnh chp S.ABCD y ABCD l hnh bnh hnh . Gi E; F; K ln
lt l trung im ca SA; AB ; BC. Xc nh thit din ca hnh chp v mt phng i
qua ba im E; F ; K D 2) Cho hnh chp S.ABCD. Gi A ; B ; C ln lt l cc
im nm trn SA ; SB; SC. Xc nh thit din to bi mt phng (ABC) vi hnh
chp A
S E A F B K S A B C B C
C 5. 3: Cho t din ABCD ; im I nm trn BD v ngoi BD sao cho ID =
3IB; M ; N l hai im thuc cnh AD ; DC sao cho MA =1 2
D
A M P D N C M D J C S I B A Q B I
MD ; ND =
1 2
NC
a)Tm giao tuyn PQ ca (IMN) vi (ABC) ? b)Xc dnh thit din to bi
(IMN) vi t din ? c) Chng minh MN ; PQ ; AC ng qui ? 5. 4: 1) Cho t
din ABCD ; im I ; J ln lt l trng tm ABC ; DBC ; M l trung im AD. Tm
thit din to bi (MJI) v t din ?
*2) Cho hnh chp S.ABCDE. Ly ba im M ; N ; K trn SA ; BC ; SD. Xc
nh thit din to bi mt phng (MNK) vi hnh chp A
M B N C D
K E
` S 5. 5: Hnh chp SABCD c y ABCD l hnh thang vi AB l y . Gi M ;
N l trung im SB ; SC . a)Tm giao tuyn ca (SAD) v (SBC) ? b)Tm giao
im ca SD vi mt phng (AMN) ? c)Tm thit din to bi mt phng (AMN) vi
hnh chp *5. 6: Hnh chp SABCD c y ABCD l hnh bnh hnh. S M l trung im
SC a)Tm giao im I ca AM vi (SBD) ? Chng minh IA = 2IM b)Tm giao im
F ca SD vi (AMB) ? I F Chng minh F l trung im SD ? A c)Xc nh hnh
dng thit din to bi (AMB) vi hnh chp d)Gi N l mt im trn cnh AB . D
Tm giao im ca MN vi (SBD) ? *5.7. Cho hnh chp S.ABCD c y l hnh bnh
hnh tm O. Gi M ; N ; P ln lt l trung im SB ; SD ; OC a) Tm giao
tuyn ca (MNP) vi (SAC) ? b) Dng thit din ca (MNP) vi hnh chp ? c)
Tnh t s m (MNP) chia cnh SA ; BC ; CD ? S: c) 3 : 1 ; 1 : 1 ; 1 : 1
5.8. Cho hnh chp S.ABCD c y l hnh bnh hnh; gi M l trung im SB ; G l
trng tm SAD a) Tm giao im I ca GM vi (ABCD) ? b) Chng minh (CGM)
cha ng thng CD ? c) Chng minh (CGM) i qua trung im SA ? d) Dng thit
din ca (CGM) vi hnh chp ? *5.9. Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh
bnh hnh tm O ; I ; J l trng tm SAB ; SAD a) Tm giao im ca JI vi
(SAC) ? b) Dng thit din to bi (JIO) vi hnh chp B I A O C B J D S A
C M G D D M N A O P S C B A D N M B
C
M B C S
S 5.10. Cho hnh chp SABCD. Gi I ; M ; N l ba im trn SA ; AB ; CD
a) Tm giao tuyn ca (SAN) v (SDM) ? b) Hy xc nh thit din to bi (IMN)
vi hnh chp A D BI TP TNG HP 1: Cho t din ABCD ; I l im nm ngoi on
BD. Mt phng () qua I ct AB; BC; CD; DA ti M; N; P; Q. a) Chng minh
I ; M ; Q thng hng v ba im I ; N ; P cng thng hng ? b) Chng minh
MN; AC; PQ ng qui ? I B N S 2: Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh
bnh hnh. M l trung im SD; E l im trn cnh BC a) Tm giao im N ca SC
vi (AME)? b) Tm giao tuyn ca (AME) vi (SAC)? c) Tm giao im ca K ca
SA vi (MBC)? Chng minh K l trung im SA 3: Cho hnh chp S.ABCD c y
ABCD l hnh bnh hnh .F l trung im CD; E l im trn cnh SC sao cho SE =
2EC .Tm thit din to bi (AEF) vi hnh chp. 4: Cho hnh chp S.ABCD c y
ABCD l hnh bnh hnh .I l trung im SD; E l im trn cnh SB sao cho SE =
3EB . a) Tm giao im F ca CD vi mt phng (AIE) ? A I E B D A S F E C
B D S C M A E B C P D M M I B
N A
C Q
D
C
b) Tm giao tuyn d ca (AIE) vi (SBC) ? c) Chng minh BC ; AF ; d
ng qui ? S 5: Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l t gic li. F l trung im
SC; E l im trn cnh BC sao cho BE = 2EC . a) Tm thit din to bi (AEF)
vi hnh chp ? b) Tm giao im ca SB vi (AEF)? A D 6: Hnh chp S.ABCD c
y ABCD l hnh bnh hnh tm O ; M l trung im SB; G l trng tm SAD a) Tm
giao im I ca GM vi (ABCD) v chng minh: I nm trn ng thng CD v IC =
2ID ? b) Tm giao im J ca (OMG) vi AD ? Tnh t s c)Tm giao im K ca
(OMG) vi SA ? Tnh HD: b) 2 c) 2 7: Cho t din ABCD; trn AD ly N sao
cho AN = 2ND ; M l trung im AC ; trn BC ly Q sao cho BQ =1 BC 4 KA
KS JA JD
F B E C
S
M G A O D A M B Q N C C B
a) Tm giao im I ca MN vi (BCD) ? Tnh IC:ID b) Tm giao im J ca BD
vi (MNP) ? Tnh JB:JD A 8 Cho t din ABCD. Gi I ; J l hai im c nh nm
trn AB ; AC v IJ khng song song vi BC. Mt phng () I quay quanh IJ
ct cnh CD ; BD ti M ; N a) Chng minh MN lun i qua mt im c nh ? B b)
Tm tp hp giao im ca IN v JM ? c)Tm tp hp giao im ca IM v JN ? N 9.
Cho hnh chp SABC. Gi A ; B ; C l cc D im di ng trn SA ; SB ; SC tho
: SA = a) Chng minh AB i qua mt im c nh I v AC i qua im c nh J khi
n thay i ?1 SA n +1
D J M C
; SB =
1 2n + 1
SB ; SC =
1 SC 3n + 1
b) Chng minh (ABC) cha mt ng thng c nh HD: a) dng nh l menelaus
b) ng IJ BI 2: HAI NG THNG SONG SONG Vn 1: Chng minh ng thng song
song vi mt phng `Phng php : C th dng mt trong cc cch sau : - Chng
minh hai ng thng ng phng , ri p dng phng php chng minh song song
rong hnh hc phng (nh tnh cht ng trung bnh, nh l o ca nh l Ta-lt
...) - Chng minh hai ng thng cng song song song vi ng thng th 3. -
p dng nh l v giao tuyn . A Bi 1: Cho t din ABCD. Gi I, J ln lt l
trng tm cc tam gic ABC v ABD. Chng minh IJ// CD C I J D
B Bi 2: Cho hnh chp SABCD c y l hnh thang vi cc cnh y AB v CD
(CD > AB). Gi M, N ln lt l trung im ca SA, SB. a, Chng minh: MN
// CD. D b, Tm giao im P ca SC v mp(AND). Ko di AN v DP ct nhau ti
I. Chng minh SI // AB // CD. T gic SABI l hnh g? A Bi 3: Cho t din
ABCD. Gi M, N, P, Q, R, S ln lt l trung im ca AB, CD, BC, AD, AC,
BD a, Chng minh MSNR l hnh bnh hnh M R N C N A B M S P N C I
Q b, Chng minh MN, PQ, RS ct nhau ti trung im mi on P B S D M Bi
4: Cho tam gic ABC nm trong mp(P). Gi Bx; Cy l 2 na ng thng song
song v nm v cng pha i vi mp(P). M v N l 2 im di ng ln lt trn Bx, Cy
sao cho CN = 2BM B a, Chng minh rng MN lun iI qua im c nh E A
C F
I khi M, N di ng
b, E l im thuc on AM v EM = EA . Gi F l giao im ca IE v AN, Q l
giao im ca BE v CF. Chng minh rng AQ//Bx//Cy v (QMN) cha ng thng c
nh khi M, N di ng S Bi 5: Cho hnh chp SABCD c y l hnh bnh hnh. Gi
M, N, P, Q l cc im trn BC, SC, SD v AD sao cho MN//SB, NP//CD,
MQ//CD a, Chng minh PQ//SA K
1 3
A N M C E N A M
B
P b, Gi K l giao im ca MN v PQ. Chng minh SK//AD//BC Q c, Qua Q
dng Qx//SC; Qy//SB. Tm giao im ca D Qx v mp(SAB); giao im ca Qy v
mp(SCD) F Bi 6: Cho hai hnh bnh hnh ABCD v ABEF khng cng nm trong
mt phng . Trn hai ng thng cho nhau AC v BF ln lt ly hai im M ; N
sao cho AM : AC = BN : BF = 1: 3 . Chng minh MN // DE D
B
C
Bi 7: Cho hai hnh bnh hnh ABCD v ABEF khng cng nm trong mt phng
. Trn hai ng thng cho nhau AC v BF ln lt ly hai im M ; N sao cho AM
: AC = BN : BF = 5 . Dng MM' // AB vi M' trn AD; NN' // AB vi N'
trn AF. Chng minh : a) MM' v NN' //// CD b) MN//// DF
Vn 2: Tm giao tuyn ca hai mt phng Thit din qua mt im v song song
vi ng thng cho trc Bi 1: Cho hnh chp SABCD c y l hnh thang y ln AB.
Gi I; J l trung im ca AD v BC. Gi G l trng tm ca tam gic SAB a, Tm
giao tuyn ca (SAB) v (IJG)
b, Xc nh thit din ca hnh chp vi mp(IJG). Thit din l hnh g? Tm iu
kin i vi AB v CD thit din l hnh bnh hnh
Bi 2: Cho hnh chp SABCD c y hnh hnh bnh hnh. Gi I, J l trng tm
cc tam gic SAB v SAD v M l trung im ca CD. Xc nh thit din ca hnh
chp ct bi mp(IJM)
Bi 3: Cho hnh chp SABCD c y l hnh thang vi cc cnh y AD v BC. Gi
I; J l trng tm cc tam gic SAD v SBC a. Tm giao tuyn ca (ADJ) vi
(SBC); b. Tm giao tuyn ca (BCI) v (SAD) c. Tm giao tuyn ca 2 mt
phng (ADJ) v (BCI).
Bi 4: Cho t din u ABCD cnh a. Gi I v J ln lt l trung im ca AC v
BC. Gi K l mt im trn cnh BD vi KB = 2KD. a, Xc nh thit din ca t din
vi mp(IJK). Chng minh thit din l hnh thang cn b, Tnh din tch ca
thit din theo a
Bi 5: Cho hnh chp SABCD c y l hnh vung tm O cnh a. Mt bn SAB l
tam gic u, SAD = 900 . Gi Dx l ng thng qua D v song song vi SC. a,
Tm giao im I ca Dx v mp(SAB). Chng minh AI//SB b, Tm thit din ca
hnh chp ct bi mp(AIC) v tnh din tch ca thit din
Bi 6: Cho hnh chp SABCD c y l hnh bnh hnh; I, J ln lt l trung im
ca SA v AB. M l im bt k trn na ng thng Ax cha C. Bin lun theo v tr
ca M trn Ax cc dng ca thit din ca hnh chp ct bi mp(IJM)
Bi 7: Cho hnh chp SABCD y l hnh vung cnh a; mt bn SAB l tam gic
u; SC = SD = a 3 . Gi H v K ln lt l trung im ca SA; SB. M l im trn
cnh AD. Mt phng (HKM) ct BC ti N a,Chng minh HKMN l hnh thang cn b,
t AM = x ( 0 x a) . Tnh din tch t gic HKMN theo a v x. Tm x din tch
ny nh nht c, Tm tp hp giao im ca HM v KN; HN v KM
Bi 8: Cho t din u ABCD cnh a, ly M trn cnh BA; P trn cnh CD sao
cho AM = DP = . Xc nh thit din ca t din v mt phng qua MP v song
song vi AC. Tnh din tch thit din a 3
BI 3: NG THNG SONG SONG VI MT PHNG Vn 1: NG THNG SONG SONG VI MT
PHNG Phng php chng minh ng thng d song song vi mt phng P Ta chng
minh d khng nm trong (P) v song song vi ng thng a cha trong (P) .
Ghi ch : Nu a khng c sn trong hnh th ta chn mt mt phng (Q) cha d v
ly a l giao tuyn ca (P) v (Q) . Bi1. Cho t din SABC c I, J ln lt l
trung im ca AB v BC. CMR: vi M SB (M B) ta u c IJ // (ACM)
Bi 2. Cho t din ABCD gi M v N ln lt l trng tm ABD v ACD. CMR: MN
// (BCD) v MN // (ABC)
Bi 3. Cho hai hnh bnh hnh ABCD v ABEF c chung cnh AB v khng ng
phng. Trn cc cnh AD, BE ln lt ly cc im M, N sao choAM BN = = k (0
AD BE
< k < 1). Chng minh rng MN // (CDE)
Bi 1: Cho hnh chp SABCD c y l hnh bnh hnh.
Gi M, N ln lt l trung im ca AB v CD a, Chng minh MN // mp( SBC)
v MN // mp( SAD) b, Gi P l trung im ca SA. Chng minh SB v SC song
song vi mp(MNP) c, Gi G1 v G2 ln lt l trng tm cc tam gic ABC v SBC.
Chng minh G1G2//mp(SAC)
Bi 2: Cho t din ABCD. G l trng tm tam gic ABD, M trn BC sao cho
MB = 2MC. Chng minh MG//mp(ACD)
Bi 3: Cho t din ABCD. Gi O v O ln lt l tm ng trn ni tip cc tam
gic ABC v ABD. Chng minh: a, iu kin cn v OO//mp(BCD) l b, iu kin cn
v OO//mp(BCD) v mp(ACD) l BC = BD v AC = ADBC AB + AC = BD AB +
AD
Bi 4: Cho hai hnh bnh hnh ABCD v ABEF khng cng nm trong mt mt
phng a, Gi O v O ln lt l tm ca ABCD v ABEF. Chng minh OO// (ADF);
OO//(BCE) b, Trn AE v BD ly M v N sao cho AM = AE; BN = BD . Chng
minh MN//mp(CDEF)1 3 1 3
Bi 5: Cho t din ABCD . Trn cnh AD ly trung im M ; trn BC ly im N
bt k. Gi () l mt phng cha ng thng MN v song song vi CD . a)Tm thit
din ca t din ABCD vi () ? b)Xc nh v tr ca N trn BC sao cho thit din
l hnh bnh hnh ?
Bi 6: Cho hnh chp SABCD vi y ABCD l hnh thang c y ln l AD. Gi M
l im bt k trn cnh AB. () l mt phng qua M v song song AD v SD.
a)Mt phng () ct SABCD theo thit din l hnh g ? b)Chng minh SA //
()
Bi 7: Cho hnh chp SABCD. c y ABCD l hnh bnh hnh. Mt phng () di
ng lun lun song song BC v ng thi i qua trung im C ca SC . a)Mt phng
() ct cac cnh SA ; SB ; SD ln lt ti A ; B ; D thit din ABCD l hnh g
? b)Chng minh rng () khi chuyn ng lun lun cha mt ng thng c nh c)Gi
M l giao im ca AC v BD .Chng minh khi () di ng th M di ng trn ng
thng c nh
Bi 8: Cho hnh chp S.ABCD y l bnh hnh.Gi M l im di ng trn cnh SC;
mt phng () cha AM v // BD a)Chng minh () lun lun i qua mt ng thng c
nh khi M chuyn ng trn cnh SC b) () ct SB v SD ti E ; F .Trnh by cch
dng E v F ? c)Gi I l giao im ca ME v CB; J l giao im ca MF v CD .
Chng minh ba im I ; J ; A thng hng
Bi9: Cho hnh chp S.ABCD c y l hnh bnh hnh tm O. 1) T mt im M di
ng trn on SA dng ng thng song song vi AD ct SD ti N, NB ct SO ti P.
Chng minh MP i qua mt im c nh
CQ SM = . Chng minh MQ CD SA lun sonh song vi mt mt phng c nh.
3) Tm v tr ca M trn SA MNQ c din tch ln nht? 2) Trn cnh CD ly im Q
sao cho:
Bi10: Cho t gic ABCD nm trong mp (P). Hai ng thng AB v CD ct
nhau ti E; AD v BC ct nhau ti F. Mt im S nm ngoi mt phng (P) v mt
mt phng (Q) di ng ct SA, SB, SC ti I, J, K. 1) Tm giao im L ca (Q)
v SD 2) Chng minh rng iu kin cn v IJ // KL l SE // (Q) 3) Tm iu kin
gia SF v (Q) IL // JK. Chng minh rng nu IJKL lun l hnh bnh hnh th
(Q) lun song song vi mt mt phng c nh
Bi11: Cho hnh vung ABCD c cnh a v tam gic vung cn ADF (AD = AF)
nm trong hai mt phng khc nhau. Bit BF = a 2 , trn cc on AC, FD ln
lt ly hai im M, N di ng sao cho: AM = FN = x (0 < x < a 2 ).
1) Chng minh rng MM // (ABF). 2) Chng minh: AN = MN = BM. c) Tnh di
MN theo a v x. Xc nh x MN c dai nh nht
Vn 2: . Tm giao tuyn ca hai mt phng Thit din song song vi ng
thng cho trc Bi 1: Cho hnh chp SABCD. Gi M v N l hai im bt k trn SB
v CD. ( ) l mt phng qua MN v song song vi SC a, Tm giao tuyn ca mp
( ) vi cc mt phng (SBC); (SCD); (SAC) b, Xc nh thit din ca hnh chp
to bi mp ( ) Bi 2: Cho t din ABCD c AB = a; CD = b. Gi I, J ln lt l
trung im ca AB v CD. (P) l mt phng qua M trn IJ v song song vi AB v
CD a, Tm giao tuyn ca mp(P) vi mp(IJD) b, Xc nh thit din ca hnh chp
ct bi mp(P). Thit din l hnh g? Bi 3: Cho hnh chp SABCD c y l hnh
bnh hnh. Gi C l trung im ca SC; M l im di ng trn SA, (P) l mt phng
di ng lun i qua CM v song song vi BC a, Chng minh (P) lun cha mt ng
thng c nh b, Xc nh thit din cua hinh chp ct bi mp(P). Xc nh v tr im
M thit din l hnh bnh hnh c, Tm tp hp giao im ca hai cnh i ca thit
din khi M di chuyn trn cnh SA Bi 4: Cho hnh chp SABCD y l hnh thang
vi y ln BC = 2a; AD = a v AB = b. Mt bn SAD l ta, gic u, (P) l mt
phng qua im M trn on AB v song song vi SA v BC, pm(P) ct CD; SC; SB
ln lt ti I; J; K a, Chng minh MIJK l hnh thang cn b, Tnh din tch
thit din ca hnh chp ct bi mp(P) theo a v x = AM. Bi 5: Cho hnh chp
SABCD. Gi M v N l hai im trn AB v CD v (P) l mt phng qua MN v song
song vi SA a, Tm cc giao tuyn ca (P) vi (SAB) v (SAC) b, Xc nh thit
din ca hnh chp ct bi mp(P) c, Tm iu kin ca M; N thit din l hnh
thang Bi 6: Cho hnh chp SABCD c y l hnh bnh hnh tm O; M l im di ng
trn SC v (P) l mt phng qua AM v song song vi BD a, Chng minh (P)
lun cha mt ng thng c nh b, Tm cc giao im H v K ca (P) vi SB v SD.
Chng minh c, Thit din ca hnh chp vi mp(P) c th l hnh thang c hay
khngSB SD SC + l mt hng s SH SK SM
Bi 7: Cho t din u ABCD cnh a; M v P l hai im di ng trn cc cnh AD
v BC sao cho AM=CP=x (0 < x < a). Mt mt phng qua MP v song
song vi CD ct t din theo mt thit din a, Chng minh thit din thng
thng l hnh thang cn b, Tnh x din tch thit din nh nht Bi 8. Bi 9.
Cho hnh chp S.ABCD y ABCD l hnh bnh hnh tm O. M l trung im ca SB.
Xc nh thit din ca hnh chp SABCD to bi mt phng () bit a. () qua M v
song song SO v AD b. () qua O v song song AM v SC Bi 10. Cho hnh
chp S.ABCD; G l trng tm ABC; M, N, P, Q, R, H ln lt l trung im ca
SA, SC, CB, BA, QN, AG a. Chng minh rng: S, R, G thng hng v SH =
2MH = 4RG b. G1 l trng tm SBC. Chng minh rng GG1 // (SAB); GG1 //
(SAC) c. mt phng () qua GG1 v song song BC. Xc nh thit din ca hnh
chp to bi mt phng () Bi 11. Bi 12. Cho t din ABCD u cnh a. I l
trung im ca AC , J AD sao cho AJ = 2JD. M l mt im di ng trong BCD
sao cho mt phng (MIJ) lun song song AB a. Tm tp hp im M b. Tnh din
tch thit din ca t din to bi mt phng (MIJ) Bi13: Cho t din ABCD
trong AB vung gc vi CD v AB = AC = CD = a; M l mt im trn cnh AC vi
AM = x (0 < x < a); () l mt phng qua M song song vi AB v CD.
1) Xc nh thit din ca t din to bi mt phng (). Thit din l hnh g? 2)
Tnh din tchthit din theo a v x. Xc nh x din tch thit din ny ln nht.
S = x(a - x) 0
