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Kap. 7: Die quadratische Funktion – numerisch, graphisch, theoretisch
Dr. Dankwart Vogel
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Beispiel 1
Rohölreserven der Welt
Wann ist der Vorrat erschöpft?
Drei Beispiele
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Beachte: Nimmt der Verbrauch linear zu, so nimmt der Vorrat quadratisch ab.
Jahresverbrauch n Jahre nach 2007 in Mio. Barrel pro Tag:
Verbleibende Erdölreserven n Jahre nach 2007 in Mrd. Barrel:
Frage: Wann genau ist das Vorkommen erschöpft?
Die Antwort gibt zunächst Excel:
Numerisch:
mit 85,8... und 1,3...nv d e n d e= + × = =
( )0
2
1 3652 1000
...0,24... 31,10... 1143,36...
nn n
r r d n e
n n
æ ö- ÷ç ÷= - × + × ×ç ÷ç ÷çè ø== - × - × -
n Vorrat29 41,1
30 -4,0
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Weltölvorrat
y = -0,24x2 - 31,10x + 1143,36
0,0
400,0
800,0
1200,0
0 10 20 30
Jahre nach 2007
Mrd
. Bar
rel
Graphisch: Bereits 2037 ist das Erdölvorkommen erschöpft.
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Theoretisch
Gesucht ist die Lösung einer Gleichung der Form:
Beachte: Wir sind zum kontinuierlichen Modell übergegangen.
Interessiert uns nicht nur, wann das Ölvorkommen auf null, sondern wann es auf irgendeinen Wert gesunken ist, müssen wir die Funktion
umkehren.
Beide Probleme Lösen einer (quadratischen) Gleichung und Umkehren einer (quadratischen) Funktionkönnen wir graphisch, numerisch oder algebraisch angehen.
2 0at bt c+ + =
2( )t r t at bt c= + +a
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Auch die Umkehrfunktion lässt sich graphisch, numerisch und algebraisch finden.
Dabei ist jedoch zu beachten, dass die quadratische Funktionnur für
umkehrbar ist.
(bzw. )S Sx x x x£ ³
GraphischLies am Funktionsgraph zum gegebenen r-Wert den zugehörigen t-Wert ab.
Numerisch Mit TR oder Excel Tabellenfunktion Solver
Algebraisch quadratische Ergänzung p/q-Formel
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Beispiel Umkehrung der quadratischen Funktion
1. Durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden.
2. Durch Vertauschen von x und y und Auflösen nach x:
Die zweite Lösung (negative Wurzel) entfällt, da vorausgesetzt ist.
( ) [ [212( ) 2 1 in 2,g x x= - + ¥
( )
( )
( ) ( )
( )
212
212
2
2 1
2 12 2 1
2 2 1 , 1
y xx y
x y
y x
y x x
= - +«= - +
- = -= + - ³
2y ³
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Umkehrung der quadratischen Funktion allgemein
Durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden.
Durch Vertauschen von x und y und Auflösen nach x:
Eine der beiden Lösungen entfällt, je nach dem welcher Ast derFunktion g umzukehren ist.
( ) [ [ ] ]2( ) in , bzw. in ,S S S Sg x a x x y x x= - + ¥ - ¥
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
2 1
1 , falls 0,
S S
S S
S S
S S S
y a x x yx y
x a y x y
y x x ya
y x x y x y aa
= - +«= - +
- = -
= + - ³ >sonst .Sx y£
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Formen der quadratischen Gleichung
(1) Allgemeine Form
(2) Normalform
(3) Scheitelpunktform
(4)Produktdarstellung
(5) Drei-Punkte-Form
Jede dieser Formen hat ihre Berechtigung.Frage: Wann verwenden wir welche?
( )
2
2
2
1 2( )( )S S
y ax bx c
y x px q
y a x x yy a x x x x
= + += + += - += - -
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )
( )( )
B C A CA B
A B A C B A B C
A BC
C A C B
x x x x x x x xy y y
x x x x x x x x
x x x xy
x x x x
- - - -= +- - - -
- -+ - -
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Beweis: Da sich jedes quadratische Polynomin die Scheitelpunktsform bringen lässt, geht sein Graph durch Strecken und Verschieben aus der NP hervor – ist also eine Parabel.
Der Graph eines quadratischen Polynomsquadratisches Polynom Graph des Polynoms
Normalparabel (NP)
um a in y-Richtung gestreckt
zusätzlich um in y-Richtung verschoben
zusätzlich um in x-Richtung verschoben
Satz: Der Graph des quadratischen Polynoms ist eine Parabel.
2y ax bx c= + +
2y ax=
2Sy ax y= + Sy
( )2S Sy a x x y= - + Sx
2y x=
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Was man sich merken sollte
1. Die Streckung muss der Verschiebung in y-Richtung vorausgehen, sonst ist die Reihenfolge egal. (Warum?)
2. Die x-Koordinate von S ist , denn S liegt genau in der Mitte zwischen beiden Nullstellen. (Denke an die p/q-Formel!) Dies bleibt richtig, wenn die Parabel keine oder eine Nullstelle hat.
Die y-Koordinate ergibt sich dann durch Einsetzen. So erhält man schnell, mühelos und sicher die Scheitelpunktsform aus der Normalform.
3. Die p/q-Formel ersetzt nicht die Methode der quadratischen Ergänzung. (Wer dagegen die quadratische Ergänzung beherrscht, kann die p/q-Formel jederzeit herleiten, also entbehren.)
4. Jedes quadratische Polynom lässt sich auf die Form
bringen. An ihr lässt sich sofort ablesen, dass es bei sein Minimum (bzw. Maximum) annimmt, wenn (bzw. ) ist.
2p-
2( )a x b c+ +
0a >x b= -
0a <
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Aufgabe
Wie kann man allein aus dem Bild einer Parabel auf die Vorzeichen der Koeffizienten a, b, c in schließen?
Exploration
2y ax bx c= + +
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LösungDie Parabel ist nach oben geöffnet
Der Scheitelpunkt liegt links der y- Achse
Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist oberhalb O
0 ( 0 sonst)
0 ( 0 sonst)0 ( 0 sonst)
a ab ba ac c
Þ > £
Þ > £Þ > £
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P A U S E
