MECANICA DE SLIDOS

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MECANICA DE SLIDOS

DEFINICION DE MECANICA: La Mecnica es una ciencia que describe las condiciones de reposo o de movimiento de los cuerpos bajo la accin de fuerzas.

FLUIDOS

ESTATICA

RIGIDOS

CINEMATICA

MECANICA

DINAMICA

SLIDOS

CINETICA

RESISTENCIA DE MAT.

TEORIA DE ELASTICIDAD

DEFORMABLESCONFORMADO

PLASTICIDAD

PRINCIPIOS Y CONCEPTOS FUNDAMENTALES Los conceptos bsicos empleados en Mecnica son:

Espacio: Asociado a la posicin de una partcula o de un cuerpo

Tiempo

Masa: Asociado con la cantidad de materia de un cuerpo. En condiciones normales es constante.

Fuerza: Representa la accin de un cuerpo sobre otro. Es una magnitud de tipo vectorial que, para su definicin requiere indicar magnitud, direccin y sentido. Se representa habitualmente por una flecha.

Llamaremos partcula a una cantidad de materia cuyas dimensiones son despreciables con respecto al sistema en que acta. Un cuerpo rgido, es una combinacin de un gran nmero de partculas que no se deforman por la accin de las fuerzas aplicadas.

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

1) Principio del paralelogramo para la suma de fuerzas: Este principio establece que

P

3) Leyes de Newton: 3.1) Primera Ley: Si la fuerza resultante que acta sobre una partcula es cero, la partcula permanecer en reposo (si inicialmente estaba en reposo), o se mover en lnea recta con velocidad constante (si inicialmente estaba en movimiento).

3.2) Segunda Ley: Si la fuerza resultante que acta sobre una partcula no es cero, la partcula tendr una aceleracin proporcional a la magnitud de la fuerza resultante, en la direccin y sentido de ella.

3.3) Tercera Ley (Principio de Accin y Reaccin): Todo cuerpo que acta sobre otro, ejerce una fuerza sobre l (accin), haciendo que el segundo ejerza una fuerza de igual magnitud y de sentido contrario sobre el primero (reaccin).

SISTEMAS DE UNIDADES

MAGNITUDMtrico TcnicoSIIngls Tcnico

Fuerzakg, kgfN = kg*m/seg2Libra

MasaUTMkgSLUG

Tiemposegsegseg

Longitudmmpie

Velocidadm/segm/segpies/seg

Aceleracinm/seg2m/seg2pies/seg2

EQUIVALENCIAS

1 kg = 2,205 lbs;

1 lb = 0,454 kg

1 pie = 12 pulgadas

1 pulgada = 2,54 cm = 25,4 mm

1. FUNDAMENTOS DE LA ESTATICA 1.1 Fuerzas en un Plano

Una fuerza es un vector que tiene magnitud, direccin, sentido (y un punto de aplicacin.

1.2 Operaciones con Vectores Representacin matemtica de un vector:

Suma de Vectores

Producto Escalar (Producto Punto):

(Un escalar)

Producto Vectorial (Producto Cruz)

(Un vector)

El vector A es:

1.3 Descomposicin de una fuerza en componentes As como es posible obtener una resultante de dos o ms fuerzas, tambin es posible descomponer una fuerza en componentes.

Componentes Rectangulares

y

F = 1.000 kgf

Fx = 1.000cos( =1.000 x 0,8 = 800 kgf

(

3

Fy = 1.000sen( = 1.000 x 0,6 = 600 kgf

( 4

x

Vectorialmente:

La resultante de estas dos componentes es:

En general, la componente rectangular de una fuerza sobre un eje cualquiera, es igual al producto de la fuerza por el coseno del ngulo formado por la fuerza y el eje correspondiente.

Para el caso anterior:

Fx = Fcos(;

Fy = Fcos( = Fsen( Componentes No Rectangulares v

F

Fv

((

(

(

u

Fu

Utilizando la ley de los senos:

Adems, por la ley del coseno:

EJEMPLO:

Y Y

F2 = 120 kgf

( (

F1 = 100 kgf

30

X

(

X

Solucin:

1.

Sistema XY:Fx = 100cos 30 = 100 x 0,866 = 86,6 kgf

Fy = 100cos 60 = 100 x 0,5 = 50 kgf

Sistema XY:

EMBED Equation.3 (

Fx = 200 kgf; Fy = 173,21 kgf

2. Escribimos vectorialmente ambas fuerzas:

Luego: kgf

3.

1.4 Fuerzas en el espacioComo ya se ha indicado, si (, ( y (, son los ngulos que forma una fuerza de magnitud F, con los ejes x, y , z, respectivamente, entonces las componentes rectangulares de esta fuerza son:

Fx = Fcos(;Fy = Fcos(,

Fz = Fcos(Vectorialmente podemos escribir:

Por lo tanto la fuerza F, en forma vectorial, resulta ser:

La suma de fuerzas espaciales concurrentes, es simplemente la suma de las componentes vectoriales. Es decir:

1.5 Equilibrio de partculas en el espacio. Del mismo modo que en el plano, en el espacio, una partcula estar en equilibrio si la suma de todas las fuerzas que actan sobre ella es cero, es decir la resultante de las fuerzas es cero.

EJEMPLO:

SOLUCION:

Las fuerzas son concurrentes al punto D y todas las barras estn sometidas a dos fuerzas. Por consiguiente, haremos equilibrio del punto D, con la resultante de todas las fuerzas igual a

cero, y suponiendo que todas las barras trabajan a traccin, es decir, las fuerzas van desde el punto D a los apoyos correspondientes.

Igualando los coeficientes de cada vector unitario:

Reemplazando FDC en la primera ecuacin:

Resolviendo el sistema de dos ecuaciones:

FDA = 2332,3 kgf (Traccin)

FDB = - 367,6 kgf (Compresin)

FDC = - 3000 kgf (Compresin)

1.6 Cuerpos Rgidos.

Un cuerpo rgido no se deforma por la aplicacin de fuerzas externas. Sin embargo, esta hiptesis es una simplificacin, puesto que los cuerpos reales se deforman cuando son sometidos a fuerzas, aspecto que ser considerado en las unidades siguientes.

1.7 Momento de una fuerza respecto a un punto.

Para este ejemplo:

kgf

Caso especial de problemas bidimensionales (en el plano): En este caso particular, tanto el vector como la Fuerza tienen componentes slo en los ejes x e y. Por consiguiente:

Fy

rrr

Fx

O

rxEs decir:

El momento tiene slo componente en la direccin z, perpendicular al plano.

La magnitud del momento puede obtenerse multiplicando las componentes de la fuerza, por las distancias perpendiculares desde el punto a la lnea de accin de la fuerza.

1.8 Momento de una fuerza con respecto a un eje Cuando se tiene el momento de una fuerza con respecto a un punto, puede determinarse el momento de dicha fuerza con respecto a un eje que pasa por dicho punto, por ejemplo la recta OD en el ejercicio anterior. El clculo consiste, simplemente en hacer el producto escalar entre el vector momento y un vector unitario, , que define la direccin de la recta.

En el caso citado:

Por lo tanto:

1.9 Momento de un par

1.10 Sistemas de Fuerzas y Pares equivalentes.Dos sistemas de fuerzas son equivalentes, es decir, tienen el mismo efecto sobre un cuerpo rgido, si puede transformarse uno de ellos en el otro mediante una o varias de las siguientes operaciones:

Reemplazando dos fuerzas que actan sobre una misma partcula por su resultante.

Descomponiendo una fuerza en dos componentes.

Anulando dos fuerzas iguales y opuestas que actan sobre la misma partcula.

Asignando a la misma partcula dos fuerzas iguales y opuestas.

Moviendo una fuerza a lo largo de su lnea de accin.

Anlogamente, dos pares que tienen el mismo momento , son equivalentes. En general, no varan los efectos de un par si:

Gira en su plano de accin

Se mueve en su plano hasta una posicin paralela

Se desplaza el par a un plano paralelo

Si se modifican F y d siempre que:

F1d1 = F2d2 = M

1.11 Descomposicin de una fuerza dada en una fuerza en O y una par

F

MO

=

=

Consideremos una fuerza F que acta en un punto A, definido por el vector de posicin con respecto al punto O. La fuerza F slo se puede mover siguiendo su lnea de accin, sin embargo, podemos poner dos fuerzas iguales y opuestas en O, de magnitud F, una de las cuales forma un par de momento .

Por ejemplo, en el ejercicio anterior, podemos sustituir la fuerza aplicada en el punto D, por la misma fuerza aplicada en O, ms un momento .

Del mismo modo, si en lugar de una fuerza se tiene que actan varias fuerzas sobre un cuerpo rgido, en distintos puntos, pueden trasladarse todas a un punto O, de modo que la fuerza en O es igual a la suma vectorial de todas las fuerzas y el momento en O es la suma vectorial de los momentos de cada una de las fuerzas involucradas. Es decir:

;

Ejemplo:

400 N

200 N

4 m

M = 1.800 N*m

A

B

SOLUCION:

a)

b)

600 N

600 N

MB

MA = 1.800 200 x 4 = 1.000 N*m

MB = 1.800 + 400 x 4 = 3.400 N*m

1.12 Equilibrio de cuerpos rgidos Para el equilibrio de un cuerpo rgido es necesario que la suma de todas las fuerzas y de los momentos respecto a cualquier punto debe ser cero. Es decir:

Las dos ecuaciones vectoriales anteriores, dan origen, cada una de ellas, a tres ecuaciones escalares, haciendo cero las componentes x, y, z, respectivamente. Es decir:

(Fx = 0

(Mx = 0

(Fy = 0

(My = 0

(Fz = 0

(Mz = 0

1.13 Diagramas de cuerpo libre y reacciones Un diagrama de cuerpo libre consiste en hacer un dibujo de un cuerpo, separado del suelo y de otros cuerpos, los que se reemplazan por las fuerzas o reacciones con que estos ltimos actan sobre el primero. Un aspecto fundamental es la comprensin del tipo de reacciones que se originan bajo diferentes tipos de apoyo o de conexiones. En general, puede afirmarse que se originan fuerzas y/o momentos de reaccin cuando existen limitaciones al desplazamiento o al giro, respectivamente.

a) Reacciones en un sistema bidimensional o en el plano

Ejemplo: La gra de la figura est sometida a una fuerza F = 1.300 kgf en la direccin que se muestra. Determinar las componentes de la reaccin en A para cada uno de los tipos de apoyo.

a)

b)

c)

3 m

Cable

1

12

3

5

A

F 60 A A

SOLUCION:

Empotramiento Rgido

a)

Rx

12

5

Ax

1.300 kgf

Ay

b)

60

T

1.300 kgf

Ax

Ay

c)

MA Ax

b) Reacciones en tres dimensiones

Ejemplo:

SOLUCION:

DCL:

Cy

FA FA

FBG

Cx

Cz

Como en C hay una rtula, escribimos la reaccin en C como una fuerza con tres componentes:

Ahora hacemos suma de momentos en C igual a cero:

Desarrollando tenemos:

De donde:

FA = 666,67 kgf;

FBG = 845,18 kgf

1.14 Anlisis de Estructuras En esta seccin se estudian estructuras en que, adems de las reacciones exteriores, es necesario determinar las fuerzas sobre los componentes de dicha estructura. Por ejemplo, consideremos el caso de la gra ya estudiado.

Cable

60

:

Como la estructura completa est en equilibrio, cada uno de sus componentes tambin debe estar en equilibrio. Por lo tanto, disponemos de nuevas ecuaciones al hacer suma de fuerzas y de momentos para cada componente individual, adems de las ecuaciones provenientes del equilibrio de la estructura completa.

a) Armaduras

La armadura o cercha es un tipo de estructura utilizado en ingeniera. Est constituida por elementos rectos que se conectan en nudos articulados. Los elementos de la armadura slo estn conectados en sus extremos y las cargas se aplican en los nudos.

Tipos de armaduras

Pratt

Howe

Warren

b) Anlisis de armaduras por el mtodo de los nudos Como ya se ha sealado, los componentes de las armaduras siempre son barras sometidas a dos fuerzas, por lo que la direccin de la fuerza coincide con la direccin de la barra, pudiendo ser fuerzas de traccin cuando apuntan hacia afuera de la barra o de compresin cuando apuntan hacia adentro. Por consiguiente, como cada nudo debe estar en equilibrio, se dispone de dos ecuaciones para cada nudo ((Fx = 0 y (Fy = 0).

Para mayores detalles veamos la armadura sencilla siguiente:

PB

B

Ax A C

D

Ay

PC

Dy

NUDO A:

NUDO B:

NUDO C:

NUDO: D

Ay FAB

PB

FBC

FBD Dy Ax FAC

FAC

FCD

FAB FBC FBD PC

Cada uno de estos nudos nos provee de dos ecuaciones, adems de las tres ecuaciones de equilibrio de la estructura completa.

c) Anlisis de armaduras por el mtodo de secciones El mtodo de los nudos es ms eficiente cuando se deben determinar las fuerzas en todos los elementos de una armadura. Sin embargo, si slo se desea la fuerza en un solo elemento o en un nmero muy reducido de ellos, es ms eficiente el mtodo de las secciones.

P1 P2

B D

A

C E F

P1

P2

FBD

O bien:

Ax FBE

FCE

Ay

Fy

Ejemplo:

1,6 m 1,6 m 1,6m

A B D G

4 C

3,6 m

3

E

3.000 kgf

H

SOLUCION:

a) NUDO A:

FAC

1.800

FAB

2.400

b)

A B FBD

1.800

FCD

C

FCE

2.400 kgf

c) Barra BC por simple inspeccin soporta fuerza cero.

FBC = 0

d) Estructuras y Mquinas A diferencia de las armaduras, que estn constituidas slo por elementos sometidos a dos fuerzas, en las estructuras y mquinas, a lo menos uno de sus componentes est sometido a tres fuerzas, como se mostr en el modelo de la primera parte de esta seccin.

Ejemplo: .

T

50 50 kgf

La barra BC est sometida a dos fuerzas, por lo que las fuerzas que actan sobre ella tienen la misma direccin de la barra, es decir, son colineales. Adems la fuerza T que acta sobre el cable superior es la misma que acta en D. Por lo tanto, para el sistema completo se tiene el esquema siguiente:

o bien:

By = 200 kp (

b) La fuerza que acta sobre el cable en D es T = 100 kp.

) Sobre la barra BC acta la fuerza B = 256,12 kp, en

compresin, como se muestra.

B

1.15 Centros de Gravedad Generalmente se supone que la atraccin que ejerce la Tierra sobre un cuerpo rgido puede representarse por una sola fuerza , llamada fuerza de gravedad o peso del cuerpo y que se aplica en el centro de gravedad del cuerpo. a) Centro de Gravedad de un cuerpo bidimensional

b) Centros de gravedad de figuras conocidas.

TRIANGULO:

Area:

SEMICIRCULO

Area:

CUADRANTE DE CIRCULO:

Area: ;

CUADRANTE DE ELIPSE:

Area: ;

;

CUADRANTE DE PARBOLA:

Area: ;

;

TIMPANO DE PARBOLA:

Area:

;

;

Del mismo modo que las lneas, puede determinarse el centro de gravedad de reas compuestas usando las ecuaciones siguientes:

Ejemplo:

FIGURAAREA cm2

Rectngulo240- 20- 48248

Tringulo181218366108

Crculo- 3,1400004- 12,56

TOTAL38,8618- 12143,43

Luego:

a) Las coordenadas del Centro de Gravedad con respecto a los ejes x e y son:

b) El Momento Esttico respecto al eje x es:

1.16 MOMENTOS DE INERCIA DE REAS PLANAS La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a continuar movindose en lnea recta a la misma velocidad. El momento de inercia es, entonces, masa rotacional. Cuanto ms lejos est la masa del centro de rotacin, mayor es el momento de inercia.

El momento de inercia o inercia rotacional es una magnitud que da cuenta de cmo es la distribucin de masas de un cuerpo o un sistema de partculas alrededor de uno de sus puntos.En los problemas de torsin y de flexin que se vern ms adelante, aparece una nueva propiedad de las reas planas, denominada Momento de segundo orden o Momento de Inercia, el cual se define de la forma siguiente:

dA

y

y

donde x e y son las coordenadas del CG

x

del rea elemental dA.

Xa) Momentos de inercia de reas conocidas.

RECTNGULO:

TRIANGULO:

CIRCUNFERENCIA

y

y

x

x

SEMICIRCUNFERENCIA:

1.17 Teorema de Steiner o de los ejes paralelos

y yG

dx

xG

dy

x

1.18 Momentos de Inercia de Areas Compuestas.

Para el caso de reas compuestas, igual como en la determinacin del CG, se divide la figura compuesta en figuras geomtricas simples y se suman algebraicamente los momentos de inercia, aplicando el Teorema de los ejes paralelos cuando sea necesario.

Ejemplo:

SOLUCION:

a)

b)Determinamos primero la coordenada del centro de gravedad, utilizando como referencia la arista inferior.

FIGURAArea, cm2, cm

RECTANGULO48296

SEMICIRCULO- 14,141,27- 18

TRIANGULO-121,33-16

TOTAL21,8662

Ahora aplicamos el Teorema de Steiner:

c)Para el clculo del momento de inercia respecto de la arista superior, aplicamos nuevamente el Teorema de Steiner:

1.19 Radio de Giro de un rea El radio de giro de un rea, k, con respecto a un eje, se define simplemente de la forma siguiente:

Por ejemplo, para el caso del ejemplo anterior, el radio de giro respecto a un eje horizontal que pasa por la arista inferior es:

cmEl radio de giro con respecto a un eje horizontal que pasa el CG:

cmFinalmente, con respecto a un eje horizontal que pasa por la arista superior, el radio de giro es:

cm

dos fuerzas EMBED Equation.3 que actan sobre una partcula P, pueden reemplazarse por una fuerza nica, llamada RESULTANTE, que se obtiene dibujando la diagonal del paralelogramo cuyos lados son iguales a las fuerzas.

2) Principio de Transmisibilidad: Establece que la condicin de equilibrio o de movimiento de un cuerpo rgido no se altera si una fuerza que acta en un punto se traslada a otro punto siguiendo su lnea de accin.

60

90

Considerando la figura, con ( = 30, determine:

Las componentes de la fuerza F1 en el sistema de coordenadas XY y XY.

La fuerza resultante de F1 y F2, en forma vectorial.

La magnitud y direccin de la resultante calculada en el punto anterior.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

En muchos problemas, las fuerza se definen por su magnitud y su direccino queda dada por las coordenadas de dos puntos u otra forma. En este caso, calculamos la magnitud de la diagonal D:

EMBED Equation.3

Entonces, los cosenos directores de F, respecto a los ejes x, y, z, respectivamente, son:

B

En la figura, AD, BD y CD son barras rgidas sujetas a la pared mediante rtulas esfricas en A, B y C, y unidas en D mediante otra rtula.. Determinar las fuerzas que actan sobre cada una de las barras, cuando acta la Fuerza EMBED Equation.3 .

1

Fsicamente, el momento de una fuerza respecto a un punto O, representa la tendencia a girar del cuerpo respecto a dicho punto. En forma matemtica, el vector momento, se define como el producto vectorial:

EMBED Equation.3

Donde el vector EMBED Equation.3 va desde O, el punto donde se calcula el momento, hasta algn punto de la lnea de accin de la fuerza (D, en este caso).

z

ry EMBED Equation.3

Se dice que dos fuerzas EMBED Equation.3 , que tienen la misma magnitud, lneas de accin paralelas y sentidos opuestos, forman un par de fuerzas. El momento de estas fuerzas con respecto a O es:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Su magnitud es:

M = Frsen( = Fd

O

A

EMBED Equation.3

Para la viga de la figura, reemplazar el sistema de fuerzas por un sistema fuerza par en: a) A; b) B.

+ EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Rx = 1.275 kgf (

EMBED Equation.3

Ax = 775 kgf (

EMBED Equation.3 ;

Ay =1.200 kgf (

c

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

T = 2.550 kgf

EMBED Equation.3

Ax = 775 kgf (

EMBED Equation.3

Ay = 3.408,36 kgf (

B

EMBED Equation.3 ; MA = 5.100 kg*m

EMBED Equation.3 ;Ax = - 500 kgf (

EMBED Equation.3 ;Ay = 1.200 kgf (

El tubo ABC de la figura, de 1,2 m de largo, se sostiene mediante un apoyo de rtula en C y por dos cables BG y DBE, ambos sujetos a la pared contenida en el plano x y. El cable DBE pasa por una polea sin roce en A. Determinar la fuerza que se ejerce sobre cada cable y las componentes de la reaccin en C.

Supongamos que se desea conocer la fuerza que acta sobre la barra BD. Entonces, hacemos un corte imaginario, cortando la barra BD y no ms de otras dos, como se muestra con la lnea segmentada. A continuacin se dibuja cualesquiera de los dos lados cortados y se toma momentos respecto a algn punto conveniente (en este caso en E), y se calcula directamente FBD.

Como el cable DBE es nico, la magnitud de la fuerza queacta sobre l es la misma, es decir, FAE = FAD = FA. Por otro lado, los cables slo pueden soportar fuerzas de traccin. Despus de este razonamiento, escribiremos las fuerzas en forma vectorial:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Para la estructura de la figura, determinar las fuerzas en las siguientes barras, indicando si son fuerzas de traccin o de compresin: a) Barras AB y AC, por mtodo de Nudos; Barras BD, CD y CE por mtodo de Secciones; c). Barra BC, por simple inspeccin.

EMBED Equation.3

FCE = - 4.000 kgf (Compresin)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

FBD = 1.400 kgf (Traccin)

Tanto FAC como FAB se han supuesto en compresin.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

FAB = - 1.400 kgf (Traccin)

Para el sistema en equilibrio de la figura, determine:

a). Reacciones en los apoyos A y B

b). La fuerza que acta sobre el cable en D.

c). La fuerza que acta sobre la barra BC.

SOLUCION:

a) La fuerza que acta sobre ambas ramas del cable inferior debe ser igual. Por lo tanto, se tiene el siguiente D.C.L para la polea:

z

(W

y

x

1

z

3 cm

y

x

2 cm

FX

FY

F1

x

Para el rea sombreada, determinar: a) Coordenadas del Centro de Gravedad con respecto a los ejes x,y; b) Momento esttico del rea respecto al eje x.

3 cm

b

b

a

h

b

h

b

h

4

xG

y

h

Este Teorema establece que el momento de inercia con respecto a un eje cualquiera x, es igual al momento de inercia con respecto a un eje que pasa por el CG y que es paralelo al eje x, ms el producto del rea por el cuadrado de la distancia que separa ambos ejes. Es decir:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Para la parte sombreada de la figura, determine el momento de inercia axial respecto a un eje horizontal que pase por: a) La arista inferior; b) El Centro de Gravedad de la figura; c) La arista superior.

6 cm

6 cm

30

2

F=3.000 kgf

17,5

y

25

60 cm

80

A

z

C

x

D

EMBED Equation.3

2 cm

2

y

F=1.000 kgf

x

O

D

4

3

EMBED Equation.3 33

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

x

y

(

rA - rB

rB

rA

O

z

1,2

0,9

0,6 m

y

EMBED Equation.3

D

E

C

G

0,8 m

x

z

B

A

40 cm

50 kgf

50 cm

30 cm

4

5

D

C

B

A

4

5

Ax

Ay

B

100 kgf

z

G

W

y

x

x

y

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

x

4 cm

x

6 cm

y

1

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