10)Un varilla delgada de longitud L est ubicada sobre el eje x

PAGE 1

Unidad 1 Problema 10 explicado

10)Un varilla delgada de longitud L est ubicada sobre el eje x. Est cargada unifomemente con una densidad lineal de carga ((carga por unidad de longitud). Determinar el campo elctrico en un punto del eje x ubicado a una distancia d de uno de los extremos de la varilla.

En el esquema adjunto se muestra la varilla ubicada sobre el eje x con su centro coincidiendo con el origen de coordenadas. Nuestro problema es determinar el campo elctrico en un punto ubicado en el eje x a una distancia d de uno de los extremos de la varilla.La carga de la varilla est dada por

EMBED Equation.3 ya que la densidad de carga es constante a lo largo de la varilla. Si la densidad de carga dependiera de x, es decir si (=((x), entonces ( quedara dentro del integrando.A partir de la ley de Coulomb y de la definicin de campo elctrico podemos calcular el campo elctrico en un punto del espacio provocado por una carga puntual:

EMBED Equation.3 Si la carga puntual est ubicada sobre el eje x y deseamos calcular el campo en un punto del mismo eje, la expresin anterior nos queda:

En esta expresin x es la posicin del punto en el que se desea calcular el campo (punto campo) y x` es la posicin en la que est ubicada la carga puntual q (punto fuente).

Antes de resolver completamente el problema de la varilla, vamos a resolver un problema que en cierta forma es anlogo, pero que posiblemente nos ayude a entender mejor la integracin que realizaremos despus.

_________ . ___________

Supongamos que en lugar de la varilla continua tuviramos cuatro cargas puntuales cada una de valor Q/4 ubicadas como se indica en la siguiente figura. Cmo calcularamos el campo en el punto P?

Debemos calcular el campo que produce cada carga en el punto P y luego realizar la suma vectorial de estos cuatro vectores. Es decir, podemos aplicar el principio de superposicin.

Est claro que esta distribucin de cuatro cargas puntuales no es equivalente a la varilla, pero si la varilla la dividimos en cuatro segmentos iguales y a cada uno de ellos lo consideramos como una carga puntual, obtenemos esta distribucin y podemos esperar que el valor del campo en P calculado de este modo se aproxime al correcto.Determinemos los cuatro vectores:

Aplicando el principio de superposicin obtenemos:

_________ . ___________

Este resultado se puede mejorar si consideramos a la varilla formada por N cargas puntuales. Si N( ( cada carga puntual es ahora una fraccin infinitesimal de la carga Q, que denominamos dq y la sumatoria se transforma en una integral:

Es importante observar que la variable de integracin es x` es decir la posicin de cada carga puntual dq y la integral se extiende a toda la regin donde hay carga: la porcin del eje x entre L/2 y L/2 (la varilla).En la integral x es una constante igual a (d+ L/2), la posicin del punto P.

Resolucin de la integral:

Analicemos la expresin obtenida. Vemos que el campo en el punto P depende de la carga total de la varilla Q = (L. Tambin depende de la distancia d. Cuanto mayor sea esta distancia el campo es ms dbil.

En particular si d >> L podemos considerar que d+L ( d , entonces:

Es decir, si el punto en el cual evaluamos el campo est muy lejos de la varilla, d >> L, entonces la frmula coincide con el caso de una carga puntual Q ubicada a una distancia d del punto P. Dicho de manera muy imprecisa: desde un punto P ubicado muy lejos, la varilla de longitud L se ve como un punto.

Para pensar1) Se puede verificar en qu grado la expresin de la sumatoria se aproxima al valor exacto obtenido por integracin?

2) Se puede demostrar que el lmite de la sumatoria para N( ( coincide con la expresin hallada por integracin?

3) Si hubiramos ubicado a la varilla en otra posicin o, dicho de otro modo, hubiramos elegido otro sistema de referencia, obtendramos el mismo resultado? Por ejemplo si la varilla se ubica entre x = 0 y x = L, cambia el resultado?4) Si la densidad de carga no fuera uniforme, es decir si ( = ((x), qu tendramos que cambiar en nuestra deduccin?

5) Cmo debemos proceder para calcular el campo elctrico en puntos del eje y? Qu direccin tendr el campo elctrico en este caso?( con ( uniforme)

6) Determinar el campo para puntos del eje y en el caso en que ( = ax donde a es una constante. Cunto vale la carga total de la varilla en este caso?

7) A partir de la expresin hallada en (6), encontrar una expresin aproximada para el caso en que d >> L (En este caso d = y)

Ayudas

1) Para evitar el clculo algebraico que puede resultar muy engorroso se puede probar con valores. Por ejemplo si L = 0,80 m y d = 5 m calcular el resultado de la sumatoria y comparar con el resultado obtenido por clculo integral.

2) Lo que habra que hacer es y debera dar igual a con la condicin

3) En este caso la integral se debe extender para x` desde 0 hasta L y x = L + d4) No se puede sacar ( fuera de la integral. Tampoco es correcto que .

5) En este caso el versor que va desde cada elemento infinitesimal dq de la varilla (puntos fuente) hacia el punto del eje y (punto campo) es variable y por lo tanto forma parte del integrando. Pero se pueden aprovechar las condiciones de simetra para simplificar el clculo. Cada carga puntual dq produce un campo infinitesimal pero al integrar (al sumar lo infinitos ) obtenemos un campo que slo puede tener componente en la direccin y.

6) Bueno, si pudiste comprender la explicacin y adems resolver los tems anteriores ests en condiciones de enfrentar este desafo.

7) En este caso la varilla est dividida en dos mitades con igual carga en valor absoluto pero con distinto signo. Es decir, es un dipolo elctrico. Una de las caractersticas del campo producido por una distribucin bipolar de carga es que para grandes distancias, en comparacin con las dimensiones del dipolo, es que su mdulo disminuye en forma inversamente proporcional al cubo de la distancia.

Si el efecto (el campo) es una funcin lineal de la causa (la carga) el campo producido por varias cargas se puede calcular sumando (vectorialmente, ya que el campo es una magnitud vectorial) los campos producidos por cada una de las cargas individualmente.

Por ejemplo se puede resolver el problema considerando que ( = ax donde a es una constante.

La carga total de la varilla es nula.

_1278153346.unknown

_1278161899.unknown

_1278163429.unknown

_1278163780.unknown

_1278164046.unknown

_1278164170.unknown

_1278163480.unknown

_1278163323.unknown

_1278160256.unknown

_1278160930.unknown

_1278160088.unknown

_1278148454.unknown

_1278148848.unknown

_1278152879.unknown

_1278148475.unknown

_1278147818.unknown

_1278148252.unknown

_1278147738.unknown