Cantidad económica a ordenar (EOQ) con y sin faltantes.

Cantidad económica a producir (EPQ).

Determinación de puntos de reorden.

Modelos con descuentos por cantidad en todas las unidades e incrementales.

Modelos para múltiples productos con restricciones de dinero, espacio, tiempo, etc.

Modelo para múltiples productos con abastecimientos coordinados.

Modelo del tamaño del lote para múltiples productos que van a ser fabricados en un solo sistema de producción (Economic Lot Scheduling Problem)

cdkdhq

hqcd

q

kdq

2

2

Tamaño de la orden

Pedir

Ordenes

Mantener

Inventario

Total

q*

Costo

Total

d

qT

h

kdq

2

Demanda constante Reabasto instantáneo Balance entre costos de

abastecimiento, costos de compra y costos de almacenamiento

Inventario

Tiempo

q

2

q

Inventario promedio Tiempo promedio

d

q

2

Al-Bufeira Motors produce partes de repuesto para motores de avión en Arabia Saudita. Su componente Y02PN, producido en una planta localizada en Jiddah tiene una demanda de 220 unidades por año y un costo de producción por unidad de $1200. Manufacturar este producto requiere un tiempo de ajuste que cuesta $800. La tasa de interés anual es de 18%, ya incluyendo los costos de almacenamiento. Calcular q*, T* y (q*).

Tasa de producción (r) Esta tasa es mayor que la tasa de demanda (d)

Inventario

Tiempo

H

q*

r

dqH 1

r

dq

hcd

q

kdq 1

2

r

dh

kd

dr

r

h

kdq

1

22

Tamaño de una corrida de producción

Costo total

Tamaño óptimo de la corrida de producción

Una empresa local produce una memoria programable EPROM para varios clientes industriales. Dicha empresa ha experimentado una demanda relativamente constante de 2500 unidades por año. La EPROM se produce a una tasa de 10000 unidades por año. El departamento de contabilidad ha estimado que cuesta $50 iniciar una corrida de producción, que la fabricación de cada unidad le cuesta $2 y que el costo de mantener inventario se basa en una tasa anual de 30% de interés. Calcule el tamaño óptimo de una corrida de producción, su duración y el costo anual de inventario, compra y preparación.

Backorder es cuando un pedido no es entregado completo y se puede enviar la parte faltante en el siguiente pedido.

B es la cantidad de faltante [unidades]. b es el costo de faltante [$/unidad-tiempo]

Tiempo

q

B

Inventario

q

bB

q

Bqhcd

q

kdBq

22,

22

b

bh

h

kdq

2

bh

hqB

Un almacén regional compra herramientas manuales a varios proveedores y después las distribuye a vendedores al detalle de la región. El almacén trabaja cinco dias por semana y 52 semanas por año. Solo puede recibir pedidos cuando está en operación. Los siguientes son estimaciones para un tipo de taladro que se comercializa. Demanda diaria de 100 taladros, Costo por mantener en inventario de $9.40/u-año, Costo por hacer pedidos de $35/pedido. El almacén permite tener backorder con un costo de $12/u-año considerando costos administrativos y de oportunidad.

Calcular q*, B*, T* y (q*).

Dado que sabemos cuanto pedir, ahora necesitamos saber CUANDO pedir.

El supuesto era que al momento que pediamos inmediatamente se surtía de forma completa (EOQ) o se comenzaba a surtir a una tasa (EPQ).

¿Es esto siempre cierto?

Existe un retraso en el tiempo de entrega, i.e. no es instantáneo. LEADTIME (L)

Se tiene que marcar un punto de reorden (R) para solicitar con cierta anticipación el material.

BLdR *

Inventario

Tiempo

q*

R

L

L

R

Tiempo

q

B

Inventario

Se debe a que el L es mayor que el T=q/d.

En este caso se debe pedir

q = R

Con un tiempo entre órdenes de L.

Aquí desaparece el concepto de punto de reorden ya que en cuanto llega una orden se pide la siguiente.

Considerando que la demanda no tiene variación, no existiría problema.

Inventario

Tiempo

q=R q=R

Aquí se pide

R unidades

T = 0

O un ciclo anterior.

L

L

Considera el problema del almacén regional que distribuye herramientas.

Con un tiempo de entrega de 3 días, ¿cuál es el punto de reorden (R)?

En ocasiones los vendedores ofrecen descuentos por cantidad por varias razones, por ejemplo:

Para deshacerse de inventario.

Por el tamaño de sus lotes.

Para estimular las ventas.

Los descuentos pueden ser:

Totales.

Incrementales.

Descuentos totales (sobre todas las unidades) (A MAYOR CANTIDAD MAYOR DESCUENTO)

q

c (q) (q)

q

Descuentos totales (sobre todas las unidades)

1. Calcular q* para cada intervalo de costo 2. Definir si es realizable dicho pedido de acuerdo a

su intervalo de unidades. 3. Escoger las q* realizables. 4. Comparar el costo total de las q* realizables

contra los puntos límite de la política de descuentos.

5. Escoger la cantidad con el menor costo total (q).

Celomex tiene la siguiente tabla de precios para sus bolsas grandes. Para pedidos de menos de 500 bolsas, $0.30 cada una; para pedidos de 500 o más, pero menos de 1000, $0.29 cada una; y para 1000 o más bolsas, $0.28 cada una. El esquema de descuento es sobre todas las unidades, porque el descuento se aplica a todas las unidades en un pedido. Oxxo Universidad tiene una demanda de 600 bolsas por año. El costo de poner un pedido es de $8 y el costo de inventario se basa en una tasa anual de 20%. Calcule el tamaño de orden óptimo con esta política de descuentos.

Descuentos incrementales

q

c (q) (q)

q

Descuentos incrementales

1. Establecer la función c (q) para cada intervalo.

2. Establecer la función de costo unitario c (q)/q para cada intervalo.

3. Con la función de costo unitario establecer la función (q) para cada intervalo.

4. Calcular la expresión para q* a cada intervalo.

5. Determinar cuales de las q* son realizables y calcular sus costos (q).

6. Escoger la q* realizable de menor costo total.

Use el mismo ejemplo de Celomex y Oxxo Universidad, pero ahora considere una política de descuentos incrementales.

Para pedidos de menos de 500 bolsas, $0.30 cada una; Para pedidos ≥ 500 pero menos de 1000, $0.30 las primeras

499 más $0.29 cada una adicional Para 1000 o más bolsas, $0.30 las primeras 499 más $0.29 las

500 siguientes más $0.28 cada una adicional. Demanda de 600 bolsas por año. El costo de poner un pedido es de $8 y el costo de inventario

se basa en una tasa anual de 20%. Calcule el tamaño de orden óptimo con esta política de

descuentos.

Se tiene un límite físico o económico para el inventario que se puede tener en un almacén (M).

Se tienen j productos para almacenarse en dicho almacén.

Se tiene que buscar el tamaño de la orden qj , tal que todos los productos satisfagan dicho limite con el menor costo total.

n

j

jj Mqa1

n

j

jj q1

min

S.T.

0jq j = 1, …, n

Técnicas de Programación No-Lineal (p.e. gradiente conjugado)

Uso de una heurística si la restricción de capacidad es lineal y las tasas de interés son idénticas para todos los artículos

Paso 0: Calcular el tamaño de la orden usando

la fórmula del EOQ. Si la restricción de capacidad se satisface, ALTO.

Paso 1: Si no se satisface la restricción de

capacidad, calcular un pequeño incremento de la tasa de interés. Calcular nuevamente el tamaño de la orden. Si la restricción de capacidad se satisface, ALTO.

Paso 2:

Si no se satisface la restricción de capacidad, incrementar el valor de * en 10% en cada paso hasta que se satisfaga la restricción de capacidad.

njpc

dkq

j

jj

j ,,1 ,2

j

jj

j

n

j j

jj

j

cp

dkq

pc

dka

M

*

*

2

1

2

21

New Frontier distribuye mochilas y portafolios en la mayoría de los estados de EUA. Sus modelos más exitosos son la mochila Zeist y el portafolio Targone. La primera tiene una demanda anual de 150,000 unidades, un valor de $30. El segundo tiene una demanda anual de 100,000 unidades, un valor de $45. En ambos casos el costo de poner una orden es de $250 y la tasa de inventario anual es de 20% . La gerencia de la compañía requiere que el valor de producto en el almacén no exceda físicamente $150,000.

Calcule q1 y q2.

¿Que haría si tiene más de una restricción?

Un distribuidor de electrónicos compra tres artículos de Asia, Europa y Sudamérica cada uno. Los artículos tienen un costo de ordenar de $30, $50 y $80 por pedido. Sus demandas son de 5000, 2000 y 3000 unidades respectivamente. Los costos unitarios son de $20, $25 y $15 respectivamente. El distribuidor les ha asignado tasas de inventario de 20, 30 y 40% anual. Estos artículos ocupan 4, 6 y 8 ft2 de espacio en el almacén respectivamente. El almacén del distribuidor cuenta con 3000 ft2.

Calcule las cantidades a ordenar de cada artículo.

Use un método de programación matemática.

Varios productos se podrían pedir de manera independiente o de manera conjunta.

Se tiene que considerar que una parte del costo fijo de ordenar depende del tipo de producto.

Por ejemplo, la carga y recepción de productos incurre en un costo por cada tipo de producto por:

Actualización del inventario

Almacenamiento en zonas distintas

Manejo especial

Caso 1: Cada producto se pide en ordenes independientes

Caso 2: Todos los productos se piden en la misma orden

Caso 3: Se hacen ordenes conjuntas, pero la frecuencia varía de acuerdo al producto

qi = cantidad a re-ordenar del producto i

ni = número de veces que se va a re-ordenar el producto i

di = demanda del producto i

K = costo fijo de ordenar, independiente del tipo de producto

ki = costo fijo de ordenar del producto i

Tres productos:

d1 = 12000 u/año, k1 = $1000, c1 [$/u] = 500

d2 = 1200 u/año, k2 = $1000, c2 [$/u] = 500

d3 = 120 u/año, k3 = $1000, c3 [$/u] = 500

K = $4000

p [%/100-año] = 0.20

Se usa la fórmula de EOQ para cada producto.

k*i = K + ki

Ver solución Caso 1.

Ver solución Caso 2.

ni

ikKK,,1

K

cdp

nni

ii

2

,,1

Si las tasas de interés son diferentes para cada producto se debe de meter a la

sumatoria como p(i)

Heurística:

Paso 1: encontrar la máxima frecuencia entre los productos

Paso 2: calcular el número de pedidos para los productos menos frecuentes

Paso 3: recalcular la máxima frecuencia

Paso 4: recalcular el resto de las frecuencias

n

n

ii mn ,ˆ

in

Paso 1:

Paso 2:

i

iii

kK

dpcn

2

i

iii

k

dpcn

2ˆ

i

i nnmˆ

Paso 3:

Paso 4:

Ver solución Caso 3.

ni i

i

ni

ii

m

kK

dcp

n

,,1

,,1

2

ii m

nn

Se logra un menor costo con abastecimientos coordinados con diferente frecuencia.

Hay que revisar el costo entre pedir con la misma frecuencia y pedir con diferente frecuencia.

Abastecimiento coordinado (con la misma frecuencia y diferente frecuencia) es mejor que abastecimiento coordinado con órdenes independientes.

Este problema es una extensión del modelo de cantidad económica de producción (EPQ) para el problema de fabricar n productos en una sola máquina.

dj = demanda del producto j rj = tasa de producción del producto j hj = costo de inventario para el producto j kj = costo de preparación para fabricar el producto j

El objetivo es determinar el procedimiento óptimo para procesar n productos en la máquina de tal manera que se minimice el costo de inventario y de preparación, y garantizar que no haya agotamientos de inventarios durante el ciclo de producción.

Se debe confirmar que:

Además, se adopta una política de ciclo de rotación. Esto significa que en cada ciclo hay exactamente una preparación para cada producto, y los productos se fabrican en la misma secuencia para cada ciclo de producción.

11

n

j

jj rd

Durante el tiempo de ciclo T se fabrican exactamente un lote de cada producto. El tiempo óptimo de ciclo T* se calcula por:

n

j j

j

jj

n

j

j

r

ddh

k

T

1

1

1

2

*dj/rj tasa de

utilización

Debido a la existencia de tiempos de preparación sj debe calcularse el tiempo de ciclo mínimo Tmin.

n

j

jj

n

j

j

rd

s

T

1

1

min

1

Finalmente se escoge como tiempo de ciclo T

el mayor valor entre Tmin y T*. La cantidad a producir en cada ciclo para cada producto j es:

Tdq jj

Bali produce varios estilos de calzado para dama y caballero en una instalación cercana a Bérgamo, Italia. La piel para las cubiertas y suelas se corta en una sola máquina. Esta planta fabrica siete estilos y varios colores de cada uno. Debe programar el corte de los zapatos recurriendo a una política de rotación que cumpla con toda la demanda y minimice los costos de preparación e inventario. Los costos de preparación son proporcionales a los tiempos de preparación en una tasa de $110/hr. Los costos de inventario se basan en una tasa anual de 22%. Considere un año laboral de 250 días y 8 horas por día.

Ballou R. H. (2004). Business Logistics / Supply Chain Management. Pearson-Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, USA.

Chopra S., Meindl P. (2007). Supply Chain Management: Strategy, Planning and Operation. Pearson- Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, USA.

Collier D.A., Evans J.R. (2009). Administración de Operaciones: Bienes, Servicios y Cadenas de Valor. Cengage, México, DF, México.

Ghiani G., Laporte G., Musmanno R. (2004). Introduction to Logistics Systems Planning and Control. Wiley, Chichester, England, UK.

Nahmias S. (2007). Análisis de la Producción y las Operaciones. McGraw Hill, México, DF, México.