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Cálculo integral Unidad 3. Métodos de integración

Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

1

Calculo integral

Unidad 3. Métodos de

integración



2

Tabla de contenidos

UNIDAD 3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 3

Presentación de la unidad 3

Consideraciones específicas de la unidad 3

Propósito de la unidad 4

Competencia específica 4

3.1. Integración por partes 5

3.1.1. Integrales por partes 5

Actividad 1. Métodos de integración 7

Actividad 2. Ejercicios de integración por partes 7

3.1.2. Sustitución para racionalizar 8

3.2. Integrales trigonométricas 8

3.2.1. Integrales trigonométricas 9

3.2.2. Integrales que contienen senos y cosenos 11

3.2.3. Integrales que contienen tangentes y secantes 14

Actividad 3. Resolución de problemas que contienen funciones trigonométricas 15

3.2.4. Sustitución trigonométrica 15

Actividad 4. Ejercicios de sustituciones trigonométricas 18

3.3. Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales 18

3.3.1. Q(x) es producto de factores lineales distintos 20

3.3.2. Q(x) contiene factores lineales, algunos se repiten 22

3.3.3. Q(x) contiene factores cuadráticos reducibles, ninguno se repite 24

3.3.4. Q(x) contiene un factor cuadrático irreductible repetido 26

Actividad 5. Integración mediante fracciones parciales 29

3.4. Estrategias de la integración por medio de tablas integrales 29

3.4.1. Tablas de fórmulas integrales 30

Actividad 6. Formulas de integración 31

3.4.2. Estrategias para integrar 31

Actividad 7. Resolución de integrales 32

3.5. Integrales impropias 32

3.5.1. Tipo 1. Intervalos infinitos 32

3.5.2. Tipo 2. Integrandos discontinuos 34

Evidencia de aprendizaje. Cálculo de una integral 37

Fuentes de consulta 37



3

UNIDAD 3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

Presentación de la unidad

En la unidad 1 hemos visto el teorema fundamental del cálculo, el cual menciona que es posible integrar

una función si conocemos su antiderivada, o su integral definida. También hemos adquirido habilidad para

resolver cierto tipo de integrales; sin embargo, existen integrales más complicadas que no es posible

resolverlas con las fórmulas y métodos hasta ahora expuestos. Por ello, en este capítulo abordaremos

diferentes técnicas y métodos para resolver integrales.

Entre los métodos que veremos están integración por partes, integración usando funciones trigonométricas,

integraciones por sustitución trigonométrica, integración de un cociente mediante la descomposición de

fracciones parciales entre sus diferentes casos. También veremos el cómo abordar cierto tipo de integrales

mediante tablas y/o aplicando algunas estrategias para realizar el proceso de integración con éxito. Incluso

abordaremos las integrales impropias en donde extenderemos el concepto de integral definida al caso

donde el intervalo es infinito y también al caso donde f tiene una discontinuidad infinita en un intervalo

[a, b].

Consideraciones específicas de la unidad

En esta sección requerimos el siguiente material:

Calculadora.

Tablas de integración. Existen libros en las bibliotecas que podrías utilizar o bien adquirir las tablas

de Internet. Te aconsejamos que lleves contigo las tablas para evaluar las integrales.

Es necesario que repases las fórmulas para encontrar áreas a figuras geométricas planas y

volumétricas comunes.

Es necesario que tengas conocimientos sobre:

Álgebra

Geometría analítica

Cálculo diferencial

Propiedades y reglas de las operaciones de sumatorias.



4

Propósito de la unidad

Al término de la unidad habrás incrementado tu competencia en

resolver integrales mediante diferentes métodos y reglas de

integración. Desarrollarás tu habilidad de escoger métodos

apropiados para resolver integrales. Identificarás integrales que

requieran el uso de tablas de integrales para su resolución.

Competencia específica

Utilizar métodos de integración para resolver integrales mediante reglas,

identidades, sustituciones, simplificaciones, definiciones, estrategias y

tablas, con base en ejercicios de práctica.



5

3.1. Integración por partes

Como inicio de la unidad empezaremos a estudiar el método de integración por partes. Dicho método es

una consecuencia inversa del proceso de derivación de un producto de funciones. Veremos también el

proceso de integración cuando tengamos funciones expresadas como raíces cuadradas.

3.1.1. Integrales por partes

La regla de integración por partes surge de la regla de derivación de un producto de dos funciones.

Supongamos que f y g son funciones derivables.

La regla de derivación de un producto de funciones establece:

)()()()()()( xfxgxgxfxgxfdx

d

Si aplicamos la integral al producto de funciones, tenemos:

dxxfxgxgxfdxxgxfdx

d )()()()()()(

En el primer término se cancela la integral.

dxxfxgdxxgxfxgxf )()()()()()(

Despejamos el primer término de la suma del lado derecho.

dxxfxgxgxfdxxgxf )()()()()()(

Llegamos a lo que se conoce como fórmula de integración por partes.

Si renombramos los términos )(xfu y )(xgv y sus respectivos diferenciales dxxfdu )( y

dxxgdv )( ; reescribimos la fórmula de integración por partes como:

duvuvdvu

Reescribiendo de esta manera una integral, es más sencillo resolverla. Escrita de esta manera te será más

fácil recordarla.



6

Ejemplo

Queremos determinar la integral de la forma dxxsenx .

Solución

Antes de realizar la integral identificamos a u y v .

u dv u v v du

Lo que está en rosa es lo que identificamos y lo que está en amarillo es lo que tenemos que encontrar para

poder aplicar la regla.

xu encontrar: dxdu

senxdxdv encontrar: xv cos

Sustituimos en nuestra fórmula de integración por partes, y procedemos a integrar las integrales faltantes.

En caso de que fuera necesario, volvemos nuevamente a aplicar la regla de integración por partes. En este

caso no es necesario.

Csenxxx

dxxxcoxx

dxxxsenxdxxduvvudvu

cos

cos

)cos()cos(

La integral del coseno la sacamos de las tablas de integrales.

El objetivo de la integración por partes es obtener una integral más fácil de resolver, en comparación con la

inicial.



7

Actividad 1. Métodos de integración

Instrucciones

En esta primera actividad deberás ingresar al foro y realizar lo que se te pide a continuación.

Instrucciones

1. Investiga por tu cuenta y responde:

¿Qué otros métodos de integración existen y en qué consisten?

Comparte tus conclusiones con tus compañeros(as).

Participa al menos dos veces y recuerda ser respetuoso(a) con tus compañeros(as). Tu

Facilitador(a) retroalimentará tu participación.

Consulta la Rúbrica general de participación del foro, que se encuentra en la sección Material de apoyo.

Actividad 2. Ejercicios de integración por partes

Instrucciones

1. En un documento de Word, integra por partes las siguientes integrales e intégralas:

1. dxxx 322 6. dxsenxx )ln(cos

2. d

2sec 7. dxxx cos

3. dxxe x

2 8. dxxx

5

1ln

4. dxex x

32

9. dxx2)(ln

5. dxxx ln 10. dxsenxex

2. Envía el archivo a tu Facilitador(a) a la sección de Tareas para que la revise y te retroalimente en

los siguientes días.

*Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 4 MB.



8

3.1.2. Sustitución para racionalizar

En esta sección evaluaremos integrales que tienen una expresión de la forma n xg )( , en la cual

efectuaremos una sustitución n xgu )( .

Ejemplo

Evaluar la integral

dxx

x 4

Solución

Haremos la sustitución de n xgu )( , es decir:

4 xu que es lo mismo que 42 xu , despejando x y determinando sus diferencias,

42 ux ; ududx 2

Sustituyendo en la integral, llegamos a:

duu

u

duu

uudu

u

udx

x

x

42

422

4

4

2

2

2

2

2

Este último término será evaluado usando fracciones parciales.

3.2. Integrales trigonométricas

En esta sección nos enfrentaremos a integrales que contienen funciones trigonométricas. Para ellos

conoceremos y aplicaremos algunas identidades trigonométricas frecuentemente usadas.



9

3.2.1. Integrales trigonométricas

Las identidades trigonométricas juegan un papel importante a la hora de integrar ciertas combinaciones de

funciones trigonométricas.

La idea central de este método consiste en reescribir una integral dada en una integral más accesible que

permita realizar el proceso de integración de forma práctica.

Podemos usar las siguientes identidades, según nuestra conveniencia a la hora de evaluar integrales.

1cossen 22 xx ó xx 22 cos1sen ó xx 22 sen1cos

xxen 2cos12

1s 2

xx 2cos12

1cos2

1sectan 22 xx

xx 2csccot1 2

Para evaluar integrales de la forma dxnxmx cossen , dxnxmx sen sen ó dxnxmx cos cos , puedes usar

las siguientes identidades.

)(sen )(sen 2

1cossen BABABA

)( c)( cos2

1sen sen BAosBABA

)( c)( cos2

1coscos BAosBABA

Además, podemos usar otras identidades como:

Identidades recíprocas

senxx

1csc

xx

cos

1sec



10

xx

tan

1cot

x

senxx

costan

senx

xx

coscot

Identidades pitagóricas

1cossen 22 xx

xxan 22 sec1t

xx 22 csccot1

Identidades de paridad

senxx )(sen

xxos cos)(c

xx tan)(tan

Ejemplo

Queremos evaluar la integral dxx cos3 . Como notarás, no la puedes evaluar directamente con los

métodos anteriormente vistos.

Solución

Por ello, utilizaremos las identidades anteriores para hacerla más fácil de resolver.

Para empezar, x3cos lo podemos reescribir con ayuda de las funciones trigonométricas como:

xxxxx cos) sen1(coscoscos 223

Reescribiendo la integral inicial con un cambio de variable xu sen y xdxdu cos



11

Cuu

du

dxxxdxx

3

2

23

3

1

)u1(

cos) sen1(cos

Regresamos a la variable inicial x, reemplazando xu sen

Cxxdxx 33 sen

3

1sen cos

3.2.2. Integrales que contienen senos y cosenos

En esta sección conocerás el método de evaluar integrales de la forma

dxxx n cos senm

Para evaluar este tipo de integrales, hay que considerar los siguientes tres casos:

CASO UNO. En el caso que tengamos 12 kn una potencia impar, descomponemos el xncos en

factores, posteriormente utilizamos la identidad xx 22 sen1cos con la intención de expresar los factores

restantes en términos de funciones trigonométricas senos.

Finalmente, tenemos la integral con potencia par reescrita en términos de senos.

dxxxxdxxx kk cos)(cos sen cos sen 2m12m

Reemplazando nuestra identidad xx 22 sen1cos tenemos una integral de la forma,

dxxxxdxxx kk cos)sen1( sen cos sen 2m12m

Puedes resolver esta integral haciendo un cambio de variable xu sen y al hacer xdxosdu c . Al final

tendríamos que resolver una integral de la forma:

duuu mk

)1( 2

CASO DOS. Si te enfrentaras con integrales donde la potencia m es impar, 12 km . Usamos la misma

técnica que en el caso uno.

Descomponemos xnsen en factores, sustituimos la identidad xx 22 cos1sen



12

dxxxx

dxxxxdxxx

nk

nkn

cos sen )cos1(

cos sen )(sen cos sen

2

212k

Esta forma se puede resolver por medio de una sustitución, haciendo xosu c , senxdxdu . Como en la

expresión no tenemos un dxxsen )( multiplicamos ambos lados por -1 y nos queda la expresión

dxxsendu )( . Finalmente tendrás que calcular esta integral.

duuu nk

)1( 2

Como te darás cuenta esta integral es más fácil de resolver.

CASO TRES. Veremos que éste es más fácil, ya que se trata de un caso donde las potencias son pares,

tanto para el seno como para el coseno. En este caso tendremos que aplicar las siguientes identidades:

xxen 2cos12

1s 2

xx 2cos12

1cos2

xxx 2sen 2

1sen cos

Ejemplo

Determina

xdxxsen 25 cos

Solución

Podríamos convertir x2cos a xsen21 pero nos quedaríamos con una expresión en términos de senx sin

factor xcos extra. En vez de eso, separamos un sólo factor seno y reescribimos el factor xsen4 restante en

términos de xcos :

xsenxxxsenxxsenxxsen 22222245 cos)cos1(cos)(cos

Sustituyendo xu cos , tenemos senxdxdu luego



13

.

Otro ejemplo

Evaluar

=

=

=

=



14

3.2.3. Integrales que contienen tangentes y secantes

En esta sección nos interesa evaluar integrales de la forma: dxxx n sec tanm .

Tienes dos casos.

i) Cuando la potencia kn 2 es par: descompondrás xnsec en factores, manteniendo en un factor una

potencia igual a 2. Reemplazarás la identidad xx 22 tan1sec . Expresarás la integral en términos de

xtan .

dxxxx

dxxxxdxxx

k

kk

sec)tan1( tan

sec)(sec tan sec tan

212m

212m2m

Hacemos una sustitución y y la integral que evaluarás quedaría así:

duuudxxxan mk

k1

22m 1 sec t

ii) Cuando la potencia 12 km es impar: lo que harás será descomponer xk 12tan en factores,

manteniendo en un factor una potencia igual a 2. Después reemplazarás la identidad 1sectan 22 xx .

Posteriormente, expresarás la integral en términos de sec x.

dxxxxx

dxxxxxdxxx

nk

nkn

tansecsec)1sec(

tansecsec)tan( sec tan

12

1212k

Convertimos y y nos queda una forma más sencilla de integral:



15

Actividad 3. Resolución de problemas que contienen funciones trigonométricas

Instrucciones

1. En un documento de Word, calcula las siguientes integrales:

dxmxsen3

dxxx sectan2

dxxxsen45cos

dxxcsc

dxxsen 2)21(




3.2.4. Sustitución trigonométrica

En esta sección aprenderemos a integrar funciones de la forma dxxa 22 , siendo a una constante

MAYOR a cero.

Haremos un cambio de variable de x a mediante la sustitución asenx . Emplearemos la identidad

22 1cos sen con el objetivo de quitar la raíz, observa:

coscos)1( 222222222 aasenasenaaxa

Podrás ver que, con este cambio de variable, la integral se convierte en una más sencilla facilitando la

integración. Hemos eliminado la raíz que nos complicaba el trabajo.

A este tipo de sustitución se le llama sustitución inversa.

Existen otros casos en los que se puede emplear el mismo seguimiento. A continuación tenemos una tabla

donde se muestra la expresión y lo que puedes usar dependiendo de los signos de los términos del

radicando.



16

Forma del radical Sustitución Nuevo límite de integración Identidad empleada

1. 22 xa asenx

22

22 1cos sen

2. 22 xa tanax

22

22 tan1sec

3. 22 ax secax

20

ó

2

3

1sectan 22

En video puedes ver algunos ejemplos.

http://www.youtube.com/watch?v=g8mXuZD0Pb8

http://www.youtube.com/watch?v=MDzUKb46y-4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=uviuFSY2vzw&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=HxOfazuF3U4&feature=related

Ejemplo

Determina la integral

dxxx 4

122

Solución

Identificamos que se trata del segundo caso que se encuentra en la tabla. Entonces, la sustitución

empleada será tan2x definida en el intervalo 2/2/, . El diferencial de x es ddx 2sec2 .

Trabajando con el radical y realizando las sustituciones respectivas se tiene:

sec2sec2sec4)1(tan44 222 x

Reemplazamos en nuestra integral original:

d

d

xx

dx

222

2

22 tan

sec

4

1

)sec2)(tan2(

sec2

4

http://www.youtube.com/watch?v=g8mXuZD0Pb8

http://www.youtube.com/watch?v=MDzUKb46y-4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=uviuFSY2vzw&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=HxOfazuF3U4&feature=related



17

El integrando lo podemos reescribir de la siguiente forma:

22

2

2

coscos

cos

1

tan

sec

sensen

La integral queda:

d

send

xx

dx2222

cos

tan

sec

4

Realizando la sustitución senxu y su respectivo diferencial se tiene:

2222 4

1cos

4

1

4 u

dud

sendx

xx

dx

Resolviendo

CCsen

Cuu

du

4

csc

4

11

4

1

4

12

Emplearemos el triángulo siguiente para identificar los lados y la cosecante del ángulo en cuestión.

x

x 4csc

2

Cx

x

xx

dx

4

4

4

2

22



18

Actividad 4. Ejercicios de sustituciones trigonométricas

Instrucciones

1. En un documento de Word, calcula la integral mediante sustitución trigonométrica en cada caso y

dibuja el rectángulo asociado.

dxxx

9

122

dxxx

22 25

1

dxxx 423

dxx

x

2

5

42

dxxx

136

12




3.3. Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales

Revisaremos algunos métodos para calcular integrales racionales de la forma:

xQ

xPxf

En donde )(xP y )(xQ son polinomios.

Para integrar funciones con esta forma, lo que haremos es expresar a )(xf como una suma de fracciones

más sencillas, siempre que el grado del polinomio P sea de menor grado que el polinomio Q.

Nota:

Recordemos que un polinomio se puede expresar de la siguiente manera.

01

1

1 axaxaxaxP n

n

n

n

En donde 0na . El grado del polinomio está denotado por n .

Por otra parte, debemos considerar que una función propia )(xf es cuando el grado de )(xP es menor

que el grado de )(xQ . Y una impropia es cuando el grado de )(xP es mayor que el grado de )(xQ .



19

Considerando el caso que tengamos una función impropia, lo primero que haremos será realizar la división

de polinomios )(xP entre )(xQ hasta obtener el residuo. Es decir,

)(

)()(

)(

)()(

xQ

xRxS

xQ

xPxf

En donde )(xR y )(xS también son polinomios.

Revisemos el siguiente ejemplo para entenderlo mejor.

Ejemplo

Supongamos que nos piden determinar la integral racional de:

dxx

xx

1

3

Solución

Observemos. Se trata de una integral impropia, pues el grado del polinomio P es mayor que el grado del

polinomio Q.

Procedemos a realizar la división y la sustituimos dentro del radicando, tenemos:

dx

xxxdx

x

xx

1

22

1

23

Cxxxx

1ln2223

23

El cálculo de la integral fue más trivial al realizar la división.

Sin embargo, después de haber realizado la división, es posible que nos quedemos trabajando con el

cociente )(

)(

xQ

xR que pueda tener la forma de una función propia. El grado de )(xR es menor que el grado de

)(xQ .

)(

)(

xQ

xR

Cuando tengas esto, lo que debes hacer es descomponer el denominador Q(x) en factores, tanto como sea

posible para convertir nuestro cociente )(

)(

xQ

xR en una suma de fracciones parciales cuyos denominadores

son potencias de polinomios de grado menor o igual a dos.



20

rFFFxQ

xR 21

)(

)(

El siguiente paso consiste en expresar la función racional propia, )(

)(

xQ

xR como una suma de fracciones

parciales, dependiendo del factor que esté contenido en )(xQ .

ibax

A

ó

jcbxax

BAx

2

Esto siempre va a ser posible.

Veremos en las siguientes secciones los diferentes casos que se pueden encontrar para el denominador

)(xQ de la función propia.

3.3.1. Q(x) es producto de factores lineales distintos

Sea el caso que tengamos una función propia. El grado de )(xP es menor que el grado de )(xQ .

rFFFxQ

xR 21

)(

)(

Caso I, cuando el denominador Q(x) es un producto de factores lineales distintos.

Es decir, puedes representar tu polinomio )(xQ como producto de factores lineales, la potencia de cada

uno de ellos es uno.

kk babxabxaxQ 2211

No debe haber factores repetidos. Con esto es posible reescribir el cociente como:

kk

x

bxa

A

bxa

A

bxa

A

xQ

xR

22

2

11

1

donde kAAA ,,, 21 son constantes a encontrar.

Ejemplo

Resuelve la siguiente integral.

dxxxx

xx

232

1223

2



21

Solución

Se trata de una función propia, ya que el polinomio del denominador es de mayor grado que el polinomio

del numerador.

Como comentamos anteriormente, tenemos que expresar el denominador en términos de factores de grado

uno.

212232232 223 xxxxxxxxx

Mira, lo hemos puesto con TRES FACTORES LINEALES DISTINTOS, con polinomios de grado uno. ¿Soy

muy redundante? Pues, sí, ¡que no se te olvide que el grado de cada factor es uno!

Entonces, ahora reescribimos nuestro cociente como el resultado de fracciones parciales, en términos de

las constantes A, B y C .

212212

122

x

C

x

B

x

A

xxx

xx

Lo que haremos ahora es hallar las constantes A , B y C . Para lograrlo multiplicamos ambos lados de la

expresión por

212 xxx .

122212122 xCxxBxxxAxx

Reordenado para conseguir la igualación de literales.

AxCBEAxCBAxx 222212 22

Encontramos que los coeficientes en ambas ecuaciones tienen que ser iguales.

CBA 221

CBEA 22

A21

Es un sistema de ecuaciones que hay que resolver para encontrar los valores de A , B y C . Puedes usar

cualquier método que desees para resolverlo.

Resolviendo el sistema de ecuaciones se encontraron los siguientes valores



22

Al resolver el sistema obtenemos: 2

1A ,

5

1B y

10

1C

Finalmente, podemos reescribir nuestra integral original en términos de fracciones parciales

212212

122

x

C

x

B

x

A

xxx

xx

Cxxx

dxxxx

dxxxx

xx

210

112ln

10

1ln

2

1

2

1

10

1

12

1

5

11

2

1

232

1223

2

Recalcando, el denominador )(xQ se escribió como un producto de factores lineales distintos

kk babxabxaxQ 2211

3.3.2. Q(x) contiene factores lineales, algunos se repiten

Si )(

)()(

)(

)()(

xQ

xRxS

xQ

xPxf , analizaremos el caso II, cuando el denominador Q(x) es un producto de

factores lineales, algunos de los cuales se repiten.

Sea el cociente de polinomios

rFFFxQ

xR 21

)(

)(

El cual es una función propia, donde descomponemos el denominador Q(x) en un producto de factores

lineales, algunos de los cuales se repiten.

rr

bxa

A

bxa

A

bxa

A

11

2

11

2

11

1

Observa que los factores )( 11 bxa se repiten r veces.

Un ejemplo claro es el siguiente:

32232

3

1111

1

x

E

x

D

x

C

x

B

x

A

xx

xx



23

Hicimos esto, ya que el factor x es lineal y se repite 2r veces, por lo que se escriben los términos x

A y

2x

B. Y también el factor )1( x es lineal y se repite 3r , por lo que puedes escribir tres términos

)1( x

C,

2)1( x

D y

)1( x

E

Analicemos un ejemplo de integración.

Ejemplo

Determine la integral

dx

xxx

xxx

1

14223

4

Solución

El primer paso es dividir para obtener el cociente de la forma anteriormente vista

)(

)()(

)(

)()(

xQ

xRxS

xQ

xPxf

Dividiendo resulta

1

41

1

1422323

4

xxx

xx

xxx

xxx

El segundo paso es expresar a 123 xxxxQ en factores.

Factorizamos, dado que 1 es solución de 0123 xxx tenemos el primer factor )1( x , también a

)1( 2 x lo podemos descomponer en dos factores )1( x )1( x . Reescribiendo tenemos:

11

111111

2

223

xx

xxxxxxxx

El factor lineal 1x , aparece dos veces.

Con esto ya podemos trabajar con la parte )(

)(

xQ

xR así que este cociente queda expresado como:

11111

422

x

C

x

B

x

A

xx

x



24

Realizando la misma técnica del ejemplo anterior para hallar las constantes, multiplicamos por el mínimo

común denominador 112

xx y obtenemos

CBAxCBxCA

xCxBxxAx

2

11114

2

2

Igualamos coeficientes en relación con las literales:

0

42

0

CBA

CB

CA

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos:

1A , 2B y 1C

Una vez que hemos hallado el valor de las constantes procedemos a sustituirlas en nuestras fracciones

parciales y reescribimos nuestra integral para resolverlas.

Cx

xin

xx

x

Cxinx

xinxx

dxxxx

xdxxxx

xxx

1

1

1

2

2

11

21

2

1

1

1

2

1

11

1

142

2

2

223

24

Una vez más hemos descompuesto el denominador Q(x) en un producto de factores lineales, algunos de

los cuales se repiten.

rr

bxa

A

bxa

A

bxa

A

11

2

11

2

11

1

3.3.3. Q(x) contiene factores cuadráticos reducibles, ninguno se repite

Caso III. Es el caso tal que la descomposición de xQ contiene factores cuadráticos irreducibles, de los

cuales ninguno se repite. Esto es cuando xQ posee el factor cbxax 2, en donde 042 acb . El

cociente )(

)(

xQ

xR tendrá un término de la forma:

cbxax

BAx

2



25

Siendo Ay B constantes a ser determinadas. Considera que es posible que xQ contenga términos lineales

y no lineales.

Si el denominador contiene factores lineales, utilizarás el método de la sección anterior para determinar las

fracciones parciales debido a los términos lineales. Y para determinar la forma de las fracciones parciales

cuando los factores del denominador tienen factores cuadráticos, usarás el método expuesto en esta

sección.

El siguiente ejemplo lo ilustra mejor.

Ejemplo

La función 412 22

xxx

xxf descompuesta en fracciones parciales queda de la siguiente

manera:

412412 2222

x

EDx

x

CBx

x

A

xxx

x

Las fracciones parciales 12

x

CBxy

42

x

EDxsurgen debido a los factores cuadráticos 12 x y 42 x

respectivamente; y la fracción 2x

Aes consecuencia del término lineal )2( x .

Veamos un ejemplo donde se tenga que integrar una función racional.

Ejemplo

Calcule la siguiente integral dxxx

xx

4

423

2

Solución

Procedemos a descomponer )4(4)( 23 xxxxxQ y reescribimos el cociente (surgen dos fracciones,

una debido a un factor lineal y otra debido al factor cuadrático).

44

4222

2

x

CBx

x

A

xx

xx

Igual que en los ejemplos anteriores multiplicamos por 42 xx para resolver los valores de A, B y C.

ACxxBA

xCBxxAxx

4

442

2

22



26

Resolviendo llegamos a los valores

1A 1B , 1C

Entonces, al reemplazar estos valores para A, B, y C, la integral toma la forma:

dxx

x

xdx

xx

xx

4

11

4

4223

2

Fíjate que esta integral, ahora está expresada como la integral de una suma, que es lo mismo que la suma

de dos integrales.

dxx

xdx

xdx

xx

xx

4

11

4

4223

2

El cálculo del primer término es trivial; sin embargo, el segundo término lo podemos expresar en dos partes

como:

dx

xdx

x

xdx

x

x

4

1

44

1222

La primera integral la resolvemos usando una sustitución de variable con 42 xu y xdxdu 2

respectivamente. En la segunda integral se usa la integral:

Ca

x

aax

dx

1

22tan

1

Identificamos que 2a . Observemos que finalmente nuestra integral original puede ser descompuesta en

tres fracciones parciales, una lineal y dos cuadráticas.

CxxInxIn

dxx

dxx

xdx

xdx

xx

xx

2tan4

4

1

4

1

4

42

1

212

21

223

2

3.3.4. Q(x) contiene un factor cuadrático irreductible repetido

En este tópico tendremos el caso IV en el cual el denominador )(xQ se puede descomponer en el factor

rcdxax 2 repetido r veces.

)(

)(

xQ

xRse descompone en las fracciones parciales de la forma:



27

rrr

cbxax

BxA

cbxax

BxA

cbxax

BxA

22

22

2

11

Ejemplo

Descompón en fracciones parciales el siguiente cociente:

322

23

111

1

xxxxx

xx

Solución

322222322

23

11111111

1

x

JIx

x

HGx

x

FEx

xx

DCx

x

B

x

A

xxxxx

xx

El factor x es lineal y tiene potencia 1r , por lo que se escribe el término x

A, el factor )1( x es lineal y

tiene potencia 1r , por lo que también se escribe el término )1( x

B.

El factor )1( 2 xx es cuadrático y tiene potencia 1r , por lo que se escribe el término )1( 2

xx

DCx .

Ahora pon mucha atención, como el factor 32 )1( x no es lineal y tiene una potencia 3r , es posible

escribir tres factores de la forma:

)1( 2

x

FEx,

22 )1(

x

HGx y

32 )1(

x

JIx.

Ejemplo

Determinar

dxxx

xxx

22

32

1

21

Solución

Para la descomposición de fracciones, debemos poner atención en la potencia r de cada factor )(xQ .

El factor x es lineal y tiene potencia 1r , por lo que se escribe el término x

A; sin embargo, el factor

)1( 2 x no es lineal y tiene potencia 1r , entonces se escribe el término )1( 2

x

CBx y el término

22 )1(

x

DDx.



28

Entonces tenemos que el cociente )(

)(

xQ

xR es:

22222

32

1112

21

x

EDx

x

CBx

x

A

x

xxx

Multiplicamos por 22 1xx para hacer una igualación de coeficientes:

AxECxDBACxxBA

ExDxxxCxxBxxA

xEDxxxCBxxAxxx

234

232424

22223

2

12

1112

Se tiene:

0 BA 1C 22 DBA 1 EC 1A

Resolviendo el sistema de ecuaciones se llega a las soluciones:

1A 1B 1C 1D 0E

Sustituyendo los valores de las constantes, llegarás a:

Cx

xxx

x

xdx

x

dxdx

x

x

x

dx

dxx

x

x

x

xdx

xx

xxx

12

1tan1lnln

111

11

11

1

21

2

12

21

2222

22222

32



29

Actividad 5. Integración mediante fracciones parciales

Instrucciones

1. En un documento de Word, evalúa cada una de las siguientes integrales usando el método de

descomposición de fracciones parciales:

dxxx

x

2

2 1

dxx

x

3

2

1

dxxx

xx

23

2

2

235

dxxx

xxx

45

1224

23

dxxx

xx

11

1222

2




3.4. Estrategias de la integración por medio de tablas integrales

Dado que la integración ofrece más retos que la diferenciación, daremos unos puntos que debes tener en

consideración cuando trates de resolver integrales.

Es de mucha ayuda tener tablas de integrales y es muy aconsejable tratar de memorizarlas, por lo menos

las fórmulas básicas de integración.



30

3.4.1. Tablas de fórmulas integrales

La tabla siguiente te será de mucha ayuda a la hora de resolver integrales.

Tabla de fórmulas de integración

1.

1

1

n

xdxx

nn

con )1( n 11. xxdxx tanseclnsec

2. xIndxx

1

12. xxdxx cotcsclncsc

3. xx edxe 13. xIndxx sectan

4. a

adxa

xx

ln

14. senxIndxxcot

5. sen x xdx cos 15. xdxxsenh cosh

6. xsendxxcos 16. xsenhdxxcosh

7. xdxx tansec2 17.

a

x

aax

dx 1

22tan

1

8. xdxx cotcsc2 18.

a

xsen

xa

dx 1

22

9. xdxxx sectansec 19.

ax

ax

aax

dxln

2

122

10. xdxxx csccotcsc 20.

22

22ln axx

ax

dx



31

Actividad 6. Formulas de integración

Ingresa al foro y realiza lo que se te pide a continuación.

Instrucciones

1. Investiga por tu cuenta y agrega más fórmulas de integración que puedan ser útiles para integrar.

Compártelas con tus compañeros(as).

Participa al menos dos veces y recuerda ser respetuoso(a) con tus compañeros(as). Tu

Facilitador(a) retroalimentará tu participación.

2. Consulta la Rúbrica general de participación del foro, que se encuentra en la sección Material de

apoyo.

3.4.2. Estrategias para integrar

Hemos visto varias técnicas de integración; sin embargo, es necesario tener una estrategia para enfrentar

las integrales.

Para resolver una integral, lo primero que tienes que hacer es:

1. Simplificar el integrando en lo posible.

2. Detectar si existe una sustitución obvia.

3. Clasificar el integrando de acuerdo a la forma que tenga, para aplicar los métodos apropiados de

integración ya sean:

a. Integración de funciones trigonométricas

b. Integración de funciones racionales

c. Integración por partes

d. Integración de radicales

4. Intentar de nuevo si no se ha llegado a la respuesta con los primeros pasos, se puede intentar con

lo básico, por sustitución o por partes.

a. Prueba la sustitución

b. Intenta integrar por partes

c. Intenta integrar modificando el integrando

d. Relaciona integrales con problemas resueltos anteriormente, considera que la experiencia es

muy importante.

e. Utiliza varios métodos de integración, a veces no se llega al resultado con un método.

Una manera más eficiente que te ayudará a incrementar tus habilidades para resolver integrales es la

experiencia, por lo cual te recomiendo que resuelvas tantos integrales como te sea posible para cada uno

de los métodos vistos a lo largo del curso y en especial de esta unidad.



32

¡Ánimo!, sigue resolviendo muchas integrales.

Actividad 7. Resolución de integrales

Instrucciones

1. Evalúa las siguientes integrales:

dxx 8

13

dxe

ex

x

1

1

dxx 21ln

dxaxsen

dxxx seccosh




3.5. Integrales impropias

Una integral impropia es aquella que se encuentra en el caso que está definida en un intervalo infinito y

también en el caso donde existe una discontinuidad infinita en [a, b].

Estudiemos ambos casos.

3.5.1. Tipo 1. Intervalos infinitos

Consideremos una integral en un intervalo infinito. Por ejemplo, la curva descrita por la función 2

1

xy .

La región S está acotada por la función 2

1

xy y el eje x , acotada en el lado izquierdo por la recta vertical

1x en el lado derecho hasta el infinito. En principio se pensaría que el área S es infinita; sin embargo,

esto no es así.



33

El área de una región acotada por la vertical 1x y por la recta vertical movible en el eje tx está dada

por:

tx

dxx

tA

tt 1

111

11

Si nos ponemos a hacer cálculo variando t , sin importar qué tan grande sea, notaremos que el área no

rebasa el valor de una unidad, por lo tanto, concluimos que 1)( tA .

Observamos también, que si calculamos el límite cuando t , llegamos a un valor diferente de infinito.

11

1limlim

ttA

tt

El área de la región es igual a uno y esto lo podemos escribir como:

11lim1

1 21 2

dxxt

dxx

t

Este ejemplo te dio una noción intuitiva de que el área no es infinita; sin embargo, considera la definición

siguiente, la cual te expone tres casos:

Definición de una integral impropia de tipo 1

i) Si te enfrentaras a una integral que existe de la forma dxxft

a para cualquier at

, entonces:

dxxfdxxft

ata

lim

¡Mucho ojo! Siempre y cuando exista el límite como un número finito.

ii) Si te enfrentaras a una integral que existe de la forma dxxfb

t para cualquier

bt , entonces:

dxxfdxxfb

tt

b

lim


Estos dos casos de integrales impropias nos permiten nombrarlas como

convergentes si existe dicho límite y divergentes si no lo hay.



34

iii) Si en ambas integrales dxxfa

y dxxfb

de los casos anteriores, son

divergentes, entonces por definición se tiene la suma de integrales:

dxxfdxxfdxxfa

a

Ejemplo

Determina si la integral es divergente o convergente dxx

1

Solución

De acuerdo con la definición anterior, la integral se amolda al caso i.

tt

xdxx

dxx

tt

t

t

t

t

lnlim1lnlnlim

lnlim1

lim1

111

El valor es infinito, no es un número finito, por lo tanto de la definición podemos concluir que la integral

impropia diverge.

Si tuvieses una integral impropia de la forma:

1

1dx

x p

Será convergente siempre y cuando 1p y divergente cuando 1p .

3.5.2. Tipo 2. Integrandos discontinuos

Tenemos abajo una tabla que define las integrales impropias con integrandos discontinuos.

Definición de una integral impropia de tipo 2

i) Si te enfrentaras a una integral cuya f es continua en [a, b) y discontinua en b.

dxxfdxxft

abt

b

a lim




35

ii) Si te enfrentaras a una integral cuya f es continua en (a, b] y discontinua en a.

dxxfdxxfb

tat

b

a lim


Estos dos casos de integrales impropias nos permiten llamarlas como convergentes

si existe dicho límite y divergentes si no lo hay.

iii) Si tienes una discontinuidad en c que está entre los intervalos a y b , y además son

convergentes las integrales dxxfc

a y dxxfb

c , por definición tendrás:

dxxfdxxfdxxfb

c

c

a

b

a



36

Ejemplo

Determina la integral dxx

5

2 2

1

Solución

La gráfica de la función es la siguiente.

Observa y veras que tiene una asíntota vertical en 2x . La discontinuidad es infinita marcada en 2x . De

la definición ii) de esta sección, se tiene:

32

232lim

22lim

2lim

2

2

5

2

5

2

5

2

t

x

x

dx

x

dx

t

tt

tt

Por lo tanto, podemos concluir que se trata de una integral impropia convergente. El área es región

sombreada de la región.



37

Evidencia de aprendizaje. Cálculo de una integral

Instrucciones

1. Escribe tu nombre, fecha de nacimiento y edad.

2. Sean a y b dos constantes definidas por:

a= la suma de los dígitos que forman tu fecha de nacimiento.

b= la suma de los dos dígitos que forman tu edad.

Ejemplo:

23 de junio, implica que:

a=2+3=5

18 años, implica que:

b=1+8=9

3. Sustituye los valores a y b en la integral original antes de empezarla a evaluar.

4. Resuelve la siguiente integral mediante los métodos necesarios abordados en la unidad 3.

a

a

ba

bxeabx

baxbx

b

a

xxabxb

bxax

xbxa

xbaxx

dxxsen ba

12

2

233

22

2

7

2)(

)(tansec

cos

5. Escribe tu desarrollo.

6. Escribe en una lista los métodos de integración usados.

1. Guarda tu reporte con la siguiente nomenclatura CIN_EA_U3_XXYZ

2. Envíalo a tu Facilitador(a) a través del Portafolio de Evidencias y espera la retroalimentación

correspondiente.

Es importante que atiendas las observaciones del (la) Facilitador(a) para mejorar tu evidencia de

aprendizaje antes de volverla a enviar.



38

3. Descarga la Escala de evaluación para conocer los criterios de evaluación de la evidencia de

aprendizaje.

*Además de enviar tu archivo anterior, debes agregar tu Autorreflexión en el Foro diseñado para tal fin.

Ingresa a ésta y genera un comentario a partir de las preguntas proporcionadas por tu Facilitador(a) en

ese mismo espacio.

Cierre de la unidad

En esta unidad aprendiste que dentro de los métodos de integración trigonométrica existen algunas

técnicas de integración que te servirán para resolver integrales trigonométricas que contienen senos,

cosenos, tangentes y secantes; otros más, te ayudarán a realizar sustituciones trigonométricas en el

cálculo de integrales, así como en los diferentes casos donde el método se use para integrar funciones

racionales mediante fracciones parciales.

Recuerda estudiar de manera constante, ya que el desarrollo de estas habilidades matemáticas son

necesarias para la resolución de problemas de cálculo en áreas afines comoTelemática, Desarrollo de

Software, Biotecnología, Energías renovables, entre otras.

Ahora es momento de que resuelvas tu Examen final que es parte de la calificación global de la asignatura.

¡Continúa esforzándote!

Fuentes de consulta

Apostol, T. M. (2008). Calculus. España: Reverté.

Larson, R. E. (2005). Cálculo. México: Mc Graw Hill.

Leithold, L. (2009). El Cálculo. México: Oxford University Press.

Stewart, James. (2008). Cálculo. Trascendentes tempranas. México: Cengage Learning.

Documents

Unidad 3. Metodos de integracion(2).pdf