73986766 Metodos de Integracion

Raíces de ecuaciones no lineales Página 1

ANALISIS NUMERICO RAICEZ

E.S.I.M.E

UNIDAD ZACATENCO

CARRERA: ING EN COMUNICACIONES Y ELECTRONICA

MATERIA: ANALISIS NUMERICO

PROFESOR: FELIPE CALZADA SERAFIN

ALUMNO:DANIEL MORENO GALICIA

MATRICULA:2009302273

GRUPO:4C5V

I.P.N

ANALICIS NUMERICO ESIME

I.P.N


Índice

Introducción……………………………………………….3

Marco teórico……………………………………………..4

Resumen……………………………………………………..5

Integracion de Romberg ……………………..………..5

Cuadratura de Gauss..……….…………………..12

Conclusión………………………………………………..20

Glosario…………………………………………………….21


Introduccion

El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.

El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples.

Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.

Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto de estabilidad de los algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticas pueden llevarse adelante a través de la generación de una serie de números que a su vez alimentan de nuevo el algoritmo (feedback). Esto proporciona un poder de cálculo y refinamiento importantísimo a la máquina que a medida que va completando un ciclo va llegando a la solución. El problema ocurre en determinar hasta cuándo deberá continuar con el ciclo, o si nos estamos alejando de la solución del problema.

Finalmente, otro concepto paralelo al análisis numérico es el de la representación, tanto de los números como de otros conceptos matemáticos como los vectores, polinomios, etc. Por ejemplo, para la representación en ordenadores de números reales, se emplea el concepto de coma flotante que dista mucho del empleado por la matemática convencional.

En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por físicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de éstos de obtener soluciones, aunque la precisión no sea completa. Debe recordarse que la física experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente

iguales. .


Marco Teorico

Cálculo de los valores de una función

Uno de los problemas más sencillos es la evaluación de una función en un punto dado. Para polinomios, uno de los métodos más utilizados es el algoritmo de Horner, ya que reduce el número de operaciones a realizar. En general, es importante estimar y controlar los errores de redondeo que se producen por el uso de la aritmética de punto flotante.

La extrapolación es muy similar a la interpolación, excepto que ahora queremos encontrar el valor de la función desconocida en un punto que no está comprendido entre los puntos dados.

La regresión es también similar, pero tiene en cuenta que los datos son imprecisos. Dados algunos puntos, y una medida del valor de la función en los mismos (con un error debido a la medición), queremos determinar la función desconocida. El método de los mínimos cuadrados es una forma popular de conseguirlo.

Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones

Otro problema fundamental es calcular la solución de una ecuación o sistema de ecuaciones dado. Se distinguen dos casos dependiendo de si la ecuación o sistema de ecuaciones es o no lineal. Por ejemplo, la ecuación 2x + 5 = 3 es lineal mientras que la ecuación 2x2 + 5 = 3 no lo es.

Mucho esfuerzo se ha puesto en el desarrollo de métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Métodos directos, i.e., métodos que utilizan alguna factorización de la matriz son el método de eliminación de Gauss, la descomposición LU, la descomposición de Cholesky para matrices simétricas (o hermíticas) definidas positivas, y la descomposición QR. Métodos iterativos como el método de Jacobi, el método de Gauss-Seidel, el método de las aproximaciones sucesivas y el método del gradiente conjugado se utilizan frecuentemente para grandes sistemas.

En la resolución numérica de ecuaciones no lineales algunos de los métodos más conocidos son los métodos de bisección, de la secante y de la falsa posición. Si la función es además derivable y la derivada se conoce, el método de Newton es muy utilizado. Este método es un método de iteración de punto fijo. La linealización es otra técnica para resolver ecuaciones no lineales.


Resumen

La integración numérica, también conocida como cuadratura numérica, busca calcular el valor de una integral definida. Métodos populares utilizan alguna de las fórmulas de Newton–Cotes (como la regla del rectángulo o la regla de Simpson) o de cuadratura gaussiana. Estos métodos se basan en una estrategia de "divide y vencerás", dividiendo el intervalo de integración en subintervalos y calculando la integral como la suma de las integrales en cada subintervalo, pudiéndose mejorar posteriormente el valor de la integral obtenido mediante el método de Romberg. Para el cálculo de integrales múltiples estos métodos requieren demasiado esfuerzo computacional, siendo útil el método de Monte Carlo.

Ecuaciones diferenciales

El análisis numérico también puede calcular soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales, bien ecuaciones diferenciales ordinarias, bien ecuaciones en derivadas parciales. Los métodos utilizados suelen basarse en discretizar la ecuación correspondiente. Es útil ver la derivación numérica.

Para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias los métodos más utilizados son el método de Euler y los métodos de Runge-Kutta.

Las ecuaciones en derivadas parciales se resuelven primero discretizando la ecuación, llevándola a un subespacio de dimensión finita. Esto puede hacerse mediante un método de los elementos finitos.

MÉTODO DE INTEGRACIÓN DE ROMBERG

Sea el valor de la integral que aproxima a ,

mediante una partición de subintervalos de longitud y

usando la regla del trapecio. Entonces,

donde es el error de truncamiento que se comete al aplicar la

regla.

El método de extrapolación de Richardson combina dos

aproximaciones de integración numérica, para obtener un tercer valor más exacto.


El algoritmo más eficiente dentro de éste método, se llama

Integración de Romberg , la cual es una fórmula recursiva.

Supongamos que tenemos dos aproximaciomnes : e

Se puede demostrar que el error que se comete con la regla del

trapecio para n subintervalos está dado por las siguientes fórmulas:

donde es un promedio de la doble derivada entre ciertos valores

que pertenecen a cada uno de los subintervalos.

Ahora bien, si suponemos que el valor de es constante, entonces

:

Sustituyendo esto último en nuestra primera igualdad, tenemos que:

De aquí podemos despejar :


En el caso especial cuando (que es el algoritmo de

Romberg), tenemos :

Esta fórmula es solo una parte del algoritmo de Romberg. Para

entender el método, es conveniente pensar que se trabaja en niveles de aproximación. En un primer nivel, es cuando aplicamos la regla del

Trapecio, y para poder usar la fórmula anterior, debemos de duplicar cada vez el número de subintervalos: así, podemos comenzar con un

subintervalo, luego con dos, cuatro, ocho, etc, hasta donde se desee.

Posteriormente, pasamos al segundo nivel de aproximación, que es

donde se usa la fórmula anterior, tomando las parejas contiguas de

aproximación del nivel anterior, y que corresponden cuando .

Después pasamos al nivel tres de aproximación, pero aquí cambia la fórmula de Romberg, y así sucesivamente hasta el último nivel, que

se alcanza cuando solo contamos con una pareja del nivel anterior.

Desde luego, el número de niveles de aproximación que se alcanzan,

depende de las aproximaciones que se hicieron en el nivel 1. En general, si en el primer nivel, iniciamos con n aproximaciones,

entonces alcanzaremos a llegar hasta el nivel de aproximación n.

Hacemos un diagrama para explicar un poco más lo anterior.


Ejemplo 1. Usar el algoritmo de Romberg, para aproximar la integral

usando segmentos de longitud .

Solución.

Primero calculamos las integrales del nivel 1, usando la regla del trapecio para las longitudes de segmentos indicadas:

Con estos datos, tenemos:


Ahora pasamos al segundo nivel de aproximación donde usaremos la fórmula que se dedujo anteriormente:

donde es la integral menos exacta (la que usa menos

subintervalos) e es la más exacta (la que usa el doble de

subintervalos).

En un diagrama vemos lo siguiente:

Para avanzar al siguiente nivel, debemos conocer la fómula correspondiente. De forma similar a la deducción de la fórmula,

se puede ver que la fórmula para el siguiente nivel de aproximación (nivel 3) queda como sigue:

donde:

es la integral más exacta

es la integral menos exacta

En el siguiente nivel (nivel 4) se tiene la fórmula


En el ejemplo anterior, obtenemos la aproximación en el nivel 3

como sigue:

Así, podemos concluir que el valor de la aproximación, obtenido con el método de Romberg en el ejemplo 1, es:

Ejemplo 2.

Usar el algoritmo de Romberg para aproximar la integral:

Agregando a la tabla anterior donde .

Solución.

Calculamos con la regla del trapecio:

Tenemos entonces la siguiente tabla:

De donde concluímos que la aproximación buscada es:


Ejemplo 3.

Aproximar la siguiente integral:

usando el método de Romberg con segmentos de longitud

, , ,

Solución.

Igual que arriba, primero usamos la regla del trapecio (con los valores de h indicados) para llenar el nivel 1. Tenemos entonces

que:

A continuación, usamos las fórmulas de Romberg para cada nivel y obtenemos la siguiente tabla:

De donde concluímos que la aproximación buscada es:

Podemos escribir una fórmula general para calcular las aproximaciones en cada uno de los niveles como sigue:


ALGORITMO DE INTEGRACIÓN DE ROMBERG

Los coeficientes en cada una de las fórmulas en el método de Romberg, deben sumar 1.

Así se tiene la siguiente fórmula recursiva:

donde:

es la integral más exacta

es la integral menos exacta

y el indice k indica el nivel de integración o de aproximación. Por ejemplo, digamos que , entonces tenemos:

que es nuestra fórmula del nivel 2 de aproximación.

Como todo proceso iterativo, éste se detiene cuando se obtiene una

aproximación suficientemente buena. En este caso se pide que:

donde es la cota suficiente.

Ejemplo 1.

Aplicar el algoritmo de integración de Romberg a la integral:

tomando

Solución.

En este caso no sabemos exactamente cuantas aproximaciones

debemos hacer con la regla del trapecio. Así que para comenzar hacemos los cálculos correspondientes a uno, dos, cuatro y ocho

subintervalos:


Con estos datos, podemos hacer los cálculos hasta el nivel 4. Tenemos la siguiente tabla:

Haciendo los cálculos de los errores, nos damos cuenta que

efectivamente la aproximación se obtiene hasta el nivel 4, donde

.

Por lo tanto, concluímos que la aproximación buscada es:

Cuadratura Gaussiana

Cuadratura gaussiana:

Las fórmulas de Trapecios y Simpson utilizan nodos equidistantes y dan valores exactos para polinomios de grado menor o igual que n (n = 1 en el caso de Trapecios y n = 2 en el caso de Simpson).La elección de puntos equidistantes no es la mejor. Puede seleccionarse los puntos de manera que mejore la aproximación.

La cuadratura gaussiana selecciona los puntos de manera óptima.

El método consiste en seleccionar los nodos x1, x2,. . ., xn en [a, b] y los coeficientes c1, c2,. . ., cn que minimicen el error de la aproximación


Reglas de Cuadrátura Gaussiana: Consideramos por el momento integrales de la forma

Note que si el integral esta dado en un intervalo arbitrario [a,b] entonces mediante el cambio de variables

tenemos que

lo cual nos da una integral en [-1,1]. Asi que sin perdida de generalidad podemos asumir que el integral es en [-1,1].

Sean x1,x2,…,xn puntos (no necesariamente uniformemente distribuidos) en [-1,1] y w1,w2,…,wn números llamados pesos ("weights"). Los puntos xj's y los pesos wj's se determinan de modo que la fórmula de integración numérica

sea exacta para polinomios de grado a lo más 2n-1, i.e., In(p)=I(p) para todo polinomio p de grado a lo más 2n-1. Como In é I son operadores lineales, basta verificar que

Caso n=1: Aqui I1(f)=w1f(x1) y requerimos que I1(1)=I(1), I1(x)=I(x). Pero I(1)=2 y I1(1)=w1 de modo que w1=2. Además I(x)=0 y I1(x)=2x1, de donde obtenemos que x1=0. Tenemos pues la fómula numérica I1(f)=2f(0) lo cúal se conoce como la fórmula del punto medio.

Caso n=2: Tenemos ahora que I2(f)= w1f(x1)+ w2f(x2) y se requiere que I2(xi)=I(xi) para i=0,1,2,3. Esto nos lleva al siguiente sistema nolineal para x1,x2,w1,w2:


Suponiendo que x1, x2 son conocidas, resolvemos la tercera y cuarta ecuación (que son lineales en los w's) mediante la regla de Cramer para w1, w2 obteniendo asi que

Sustituyendo estas expresiones en la primera y segunda ecuación y resolviendo para x1, x2 obtenemos que

Asi que nuestra fórmula numérica en el caso n=2 lee como sigue:

Caso n>2: Al aplicar las condiciones se obtiene un sistema no lineal de 2n ecuaciones en 2n desconocidas (las x's y las w's). Este sistema se puede resolver numéricamente usando el método de Newton para sistemas no lineales. Pero en lugar de proceder de esta forma se utiliza el hecho de que se puede demostrar que los xi's son los ceros del n-esimo polinomio de Legendre Ln(x). Estos polinomios se definen por la recursión

En particular tenemos que L2(x)=(3/2)x2-(1/2) cuyos ceros son ððððð que fueron los x's que determinamos en el caso n=2. También

de donde podemos obtener los x's para las fórmulas de los casos n=3,4 respectivamente. Teniendo los x's podemos ahora calcular los w's resolviendo un sistema lineal de ecuaciones.


Ejemplo 2: Aproximamos

usando la regla de cuadrátura con n=2. Primero hacemos un cambio de variables de modo que el integral sea en el intervalo de [-1,1]. Para esto usamos el cambio de variables discutido al principio de esta sección lo que resulta en:

Tenemos ahora que

Hay 2n parámetros que elegir. Si los coeficientes de un polinomio se consideran parámetros, un polinomio de grado 2n - 1 también tiene 2n parámetros. Este es el tipo de polinomios de mayor grado para el cual se puede esperar que la solución sea exacta.

Caso n = 2 e intervalo [-1, 1]

Queremos determinar x1, x2, c1 y c2 para que la fórmula

de un resultado exacto siempre que f(x) sea un

polinomio de grado 2 · 2 - 1 = 3 o menor


Hay que demostrar que la fórmula produce resultados exactos cuando f(x) es 1, x, x2 y x3.

Este sistema de ecuaciones tiene solución única

La siguiente fórmula da resultados exactos para polinomios de grado _ 3

_ Caso general Para n _ 2 e intervalo [-1, 1] el cálculo de los xi y ci se realizan utilizando los polinomios de Legendre y sus raíces.


Las constantes ci y las raíces de los polinomios de Legendre están tabuladas

Así:

Para el caso general de un intervalo cualquiera [a, b] se realiza un cambio de variable en la integral:



Conclusion

En la ultima parte del curso se aprendieron métodos de integración y

solución de ecuaciones diferenciales para implementar cuando las

funciones a integrar sean complicadas y con estos métodos facilitar el

trabajo a pesar de que no son métodos exactos los resultados

obtenidos son muy buenos


Glosario

Extrapolación: Deducción del valor de una variable en una magnitud a partir de otros valores no incluidos en dicha magnitud.

Tabular: Expresar valores, magnitudes u otros datos por medio de tablas

Polinomio: Expresión algebraica compuesta de dos o más términos llamados monomios unidos por los signos más o menos.

Bibliografias

http://www.uaem.mx/posgrado/mcruz/cursos/mn/intromberg.pdf http://docentes.uacj.mx/gtapia/AN/Unidad5/Romberg/Romberg.htm

http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r45638.DOC

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