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UNIDAD 3.Análisis del error y solución de ecuaciones

3.1. Análisis del error.

3.1.1. Cifras significativas.

3.1.2. Exactitud y precisión.

3.1.3. Definición de error y tipos de error.

3.1.4. Propagación del error.

3.1.. Error de trunca!iento y serie de

"aylor.

3.2. #a$ces de ecuaciones.

3.2.1. %&todo gráfico.

3.2.2. %&todos cerrados' (isección) #egla

*alsa) +tros !&todos.

3.2.3. %&todos a,iertos' -teración de punto

*io) %&todo de la secante) /e0ton

#apson.

3.2.4. #a$ces !ltiples.

3.2.. #a$ces de polino!ios. %&todo de

%ller. %&todo de (airsto0

3.3. 5olución de siste!as de ecuaciones lineales y no lineales.

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3.3.1. %&todos para solución de ecuaciones lineales' 6aco,i. 7auss

5eidel) 7auss6ordan ) otros !&todos

3.3.2. %&todos de solución de siste!as de ecuaciones no lineales' -terativo secuencial) /e0ton. 

3.1 ANALISIS DE ERROR:

 

3.1.1 Cifras signicativas. Se le llaman cifras signicativas de un número a aquellas que pueden ser utilizadas conconabilidad, para estimar una medida. Por ejemplo en la gura Adjunta se observa una regla milimetrada con la cualse mide la longitud de un aller. Con una simple inspección se puede observar que la longitud del aller estacomprendida entre ! " # mil$metros, es decir que se tiene conanza en dos d$gitos. 3.1.2 Exactitud y Precisión. %os errores asociados con c&lculos " medidas se pueden catalogar e'aminando sue'actitud " precisión. %a (e'actitud) se reere a que tan cercano est& el valor calculado o medido con el valor

verdadero. %a (precisión) a que tan cercano est& un valor individual " medido o calculado con respecto a los otros. *.+.* enición de error- Si es una apro'imación del valor e'acto , el error absoluto de dic/a apro'imación es " elerror relativo es una medida de la e'actitud, el error absoluto no es tan signicativo como el error relativo, adem&spuede ser enga0oso. Por ejemplo un error de un gramo es muc/o m&s signicativo cuando se calcula la masa de unreactivo para una aleación qu$mica, que cuando se calcula la masa de un avión.

*.+.1 2ipos de 3rror. Al realizar c&lculos mediante algoritmos m&s o menos complejos, es inevitable cometer errores.3stos errores pueden ser de tres tipos-

•

3rrores en los datos de entrada- 3ste tipo de error viene causado por los errores alrealizar medicionesde magnitudes f$sicas.• 3rrores de redondeo- 3n este caso, el error aparece al operar con representaciones num4ricas nitas. Se puede

solucionar utilizando m&s decimales, pero esto conlleva utilizar m&s memoria 5recursos6.• 3rrores de truncamiento 5o discretización6- 3ste tipo de error se reere al error que se comete al utilizar un

algoritmo determinado. 3sto quiere decir que si se rena la discretización o se cambia el algoritmo, puededisminuir. 7enar la discretización generalmentre lleva a realizar m&s cuentas lo que equivale a incrementar elerror de redondeo " el tiempo de c&lculo.

3l primer tipo de error no es analizable matem&ticamente dado a que est& sujeto al avance tecnológico de losaparatos de medida. 3l segundo " el tercer tipo de errores se pueden cuanticar de una forma apro'imada utilizando

e'presiones adecuadas.

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*.+.8 P79PA:AC;9< 3% 37797- %os diferentes errores en los valores utilizados en una cadena de operacionessucesivas, de manera que que el error puede incrementarse o inclusive compensarse.Considerar dos números " con valores apro'imados " con errores " , respectivamente. %a suma de estos valores es

Por lo tanto, el error en una suma es la suma de los errores de los sumandos.

Adem&s de esto, en la resta de dos números casi iguales, se tiene una p4rdida de cifras signicativas, por ejemplo alsumar los valores " el valor , ambos con once cifras signicativas

el resultado tiene solo cinco cifras signicativas, con una p4rdida de seis.3rrores de truncamiento " la serie de 2a"lor

*.+.8 37797 3 27=<CA>;3<29-Cuando una e'presión matem&tica se reemplaza por una fórmula mas simple, se introduce un error, conocido

como error de truncamiento.

=na apro'imación a se obtiene al utilizar únicamente algunos de los t4rminos de la serie, introduciendo un error. 3s deesperar, que al aumentar el número de elementos de la serie en una apro'imación, la apro'imación obtenida tengamenos error.

 

3.2 RAICES DE ECUACI!ES

%a determinación de las ra$ces de una ecuación es uno de los problemas m&s antiguos en matem&ticas " se /anrealizado un gran número de esfuerzos en este sentido. Su importancia radica en que si podemos determinar las ra$cesde una ecuación tambi4n podemos determinar m&'imos " m$nimos, valores propios de matrices, resolver sistemas deecuaciones lineales " diferenciales, etc...%a determinación de las soluciones de una ecuación de f 5 x 6 ? @ puede llegar a ser un problema mu" dif$cil. Sif 5 x 6 esuna función polinómica de grado + ó , conocemos e'presiones simples que nos permitir&n determinar sus ra$ces. Parapolinomios de grado * ó 1 es necesario emplear m4todos complejos " laboriosos. Sin embargo, si f 5 x 6 es de gradoma"or de cuatro o bien no es polinómica, no /a" ninguna fórmula conocida que permita determinar los ceros de laecuación 5e'cepto en casos mu" particulares6.3'isten una serie de reglas que pueden a"udar a determinar las ra$ces de una ecuación-

• 3l teorema de olzano, que establece que si una función continua, f 5 x 6, toma en los e'tremos del intervalo Ba,bvalores de signo opuesto, entonces la función admite, al menos, una ra$z en dic/o intervalo.

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• 3n el caso en que f 5 x 6 sea una función algebraica 5polinómica6 de grado n " coecientes reales, podemos armarque tendr& n ra$ces reales o complejas.

• %a propiedad m&s importante que verican las ra$ces racionales de una ecuación algebraica establece quesi pDq es una ra$z racional de la ecuación de coecientes enteros-

3ntonces el denominador q divide al coecientes an " el numerador p divide al t4rmino independiente a@. *..+ >4todo del graco- =< >3299 S;>P%3 Para obtener una apro'imación de la ra$z de la ecuación f 5 x 6 ? @consiste en gracas la función " observar en donde cruza el eje '. este punto, que representa el valor de ' para elcual f 5 x 6 ? @ proporciona una apro'imación inicial de la ra$z. %as interpretaciones gracas adem&s de proporcionarapro'imaciones iniciales de la ra$z son /erramientas importantes en la comprensión de las propiedades de la funciónpreviniendo las fallas de los m4todos num4ricos. 

*.. >4todos cerrados Eisección- tambi4n conocido como de corte binario, de participación de intervalos o de olzano, es un tipo de

búsqueda incremental en el que el intervalo se divide siempre a la mitad. Si el valor de la función cambia de signo,sobre un intervalo, se evalua el valor de la función en el punto medio. %a posición de la ra$z se determina situ&ndola enel punto medio del subintervalo dentro del cual ocurre un cambio de signo. 3l proceso se repite /asta obtener unamejor apro'imación. F7egla falsa- 24cnica alternativa al m4todo de biseccion, consiste en unir f5 +6 " f5u6 con una l$nea rectta. %a

intersección de esta l$nea con el eje de las ' representa una mejor apro'imación de la ra$z. 3l ec/o de que que seremplace la curva por una l$nea recta da una falsa posición de la ra$zG de aqu$ el nombre de m4todo de la falsapoocicion o interpolación lineal. 

*..* >H299S A;3729S 5utilizan una formula para predecir la raiz6 

F>4todo del punto jo- 3l proceso b&sico consiste de lo siguiente- 

1. >odicar la función , para obtener las .2.  2eniendo las , se puede aplicar el m4todo de las iteraciones de punto jo para cada una de las

modicaciones " obtener el punto jo correspondiente a cada modicación.

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3. Se pueden gracar las funciones y  ? x  " una g5 x 6, " observar en que punto de intersección se cumple lacondición I gJ5 x 6 I K +. As$, en el punto de intersección que cumpla la condición anterior, es donde la g5 x 6 esconvergente por lo que a/$ estar& su único punto jo, p.

Su algoritmo es-;nicio

1. %eer '@, 3s, ni2. Lacer 3a ? +@@, i ? @3. >ientras 3a M 3s " i K ni /acer

4. '+ ? g5'@6. 3a ? I5'+ N '@6 D '+6 +@@8. i ? i E +9. '@ ? '+

:. Oin>ientras;. Si 3a K? 3s entonces

  %a ra$z apro'imada es '@  e lo contrario  <o /a" convergencia despu4s de ni iteraciones.

Oin 

>4todo de la secante- Se proponen dos valor inicial, x @ " '+, cercanos a la ra$z buscada 5paso importante6. Con 4stosse evalúa la función para obtener las coordenadas de los punto 5 x @, f 5 x @66 " 5 x +, f 5 x +66. Se proponen dos valorinicial, x @ " '+, cercanos a la ra$z buscada 5paso importante6. Con 4stos se evalúa la función para obtener lascoordenadas de los punto 5 x @, f 5 x @66 " 5 x +, f 5 x +66. Se proponen dos valor inicial, x @ " '+, cercanos a la ra$z buscada5paso importante6. Con 4stos se evalúa la función para obtener las coordenadas de los punto 5 x @, f 5 x @66 "5 x +, f 5 x +66. 3l procedimiento anterior se vuelve a repetir, ver la gura, de tal manera que en los puntos 5 x +, f 5 x +66 "5 x , f 5 x 66 se traza una nueva recta secante, que permite obtener una nueva apro'imación a la ra$z buscada,  x *. 3stanueva apro'imación se evalúa con la e'presión. 3ste proceso se repite n veces /asta que se obtenga una apro'imación que cumpla con algún criterio de paro.

>4todo de <eQton7ap/son- Se propone un valor inicial, x @, cercano a la ra$z buscada 5paso importante6. Con 4ste seevalúa la función para obtener las coordenadas del punto 5 x @, f 5 x @66. Se traza una recta tangente en el punto5 x @, f 5 x @66 " se prolonga /asta cortar al eje de las abscisas, con lo cual se obtiene las coordenadas de un nuevo punto,5 x +, @6, donde x + es la nueva apro'imación a la ra$z buscada. Rue es la ecuación de recurrencia del >4todo de <eQton7ap/son

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3l procedimiento anterior se vuelve a repetir, ver la gura, de tal manera que en el punto 5 x +, f 5 x +66 se traza una nuevarecta tangente que permite obtener una nueva apro'imación a la ra$z buscada, x .

=no de los criterios de paro, es bastante obvio " es cuando f 5 x 6 es menor o igual a un valor propuesto 5errorsugerido, Es6 tan peque0o como se quiera, por ejemplo +@ N . 9tro criterio es el error apro'imado porcentual 5Ea6.

9tro criterio de paro es el número de iteraciones. Se propone un número m&'imo de iteraciones, ni, que se compara

cada vez que se completa una iteración. 3ste criterio permite detener el proceso c$clico 5iterativo6 cuando el m4tododiverge 5se aleja de la ra$z buscada6. 

3.2.4.Raices multiples

<na ra$= !ltiple corresponde a un punto donde una función es tangente al ee x. Por ee!plo) una ra$= do,le resulta de> f?x@ ?x3@?x1@?x1@ !ultiplicando t&r!inos este polino!io luce co!o> f?x@ x3 x2 B 9x 3 

En la siguiente figura pode!os ver co!o la función toca tangencial!ente el ee de la x) en el punto donde existe la ra$= do,le. 

3.2.5Método de muller 

Este !&todo utili=ado para encontrar ra$ces de ecuaciones con ra$ces !ltiples) y consiste en o,tener los coeficientes de la pará,olaue pasa por tres puntos elegidos. Dicos coeficientes son sustituidos en la for!ula cuadrática para o,tener el valor donde la pará,olaintersecta al ee ' es decir) la ra$= esti!ada. Fa aproxi!ación se puede facilitar) si se escri,e la ecuación de la pará,ola en una for!a conveniente.<na de las !ayores ventaas de este !&todo) es ue al tra,aar con la for!ula cuadrática es

posi,le locali=ar tanto ra$ces reales) co!o ra$ces co!pleas.Fos tres valores iniciales necesitados son denotados co!o xG) xG1 y xG2. Fa pará,ola pasa a trav&s de los puntos> ?x G) f?xG@@) ?xG1) f?xG1@@y ?xG2) f?xG2@@) si se escri,e en la for!a de /e0ton) entonces> 

3.3 Método de Bairsto es un !&todo iterativo) ,asado en el !&todo de %ller y de /e0ton #apson. Dado un polinonio f n?x@ se encuentran dos factores) unpolino!io cuadrático f 2?x@ x2  rx s y f n2?x@. El procedi!iento general para el !&todo de (airsto0 es> 

+. Dado f n?x@ y r H y sH

. <tili=ando el !&todo de /# calcula!os f 2?x@ x2  r Hx sH y f n2?x@) tal ue) el residuo de f n?x@I f 2?x@ sea igual a cero.

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*. 5e deter!inan la ra$ces f 2?x@) utili=ando la for!ula general.1. 5e calcula f n2?x@ f n?x@I f 2?x@.8. Jace!os f n?x@ f n2?x@. 5i el grado del polino!io es !ayor ue tres regresa!os al paso 2!. 5i no ter!ina!os

 Fa principal diferencia de este !&todo) respecto a otros) es ue per!ite calcular todas las ra$ces de un polino!io ?reales e

i!aginarias@. 

3.3.!"aco#i o despla$amiento simultaneo

es un !&todo iterativo) usado para resolver siste!as de ecuaciones lineales del tipo Ax ,. Elalgorit!o to!a su no!,re del!ate!ático ale!án Carl 7ustav 6aGo, 6aco,i. El !&todo de 6aco,i consiste en usar fór!ulas co!o iteración de punto fio.

Fa sucesión se construye desco!poniendo la !atri= del siste!a en la for!a siguiente>

donde

) es una !atri= diagonal.) es una !atri= triangular  inferior.) es una !atri= triangular superior.

 

3.3.2 %auss&'ordan

El !&todo de 7auss6ordan para dar solución a siste!as lineales de ecuaciones es una !odificación del %&todo de gauss.

•  Con este !&todo la solución se o,tiene directa!ente sin la necesidad de la sustitución inversa ue utili=a el !&todo de7auss.

•  Con este procedi!iento de nor!ali=ación y eli!inación se puede o,tener) ade!ás la !atri= inversa de la !atri= decoeficientes) A1. 5i a la !atri= au!entada se le adiere o au!enta la !atri= unidad o identidad y se le aplica el !&todo de7auss6ordan.

Método de (auss&seidel o despla$amiento sucesi)o

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es un !&todo iterativo utili=ado para resolver siste!as de ecuaciones lineales. El !&todo se lla!a as$ en onor a los !ate!áticosale!anes Carl *riedric 7auss y Pilipp Fud0ig von 5eidel y es si!ilar al!&todo de 6aco,i.

 Al igual ue los !&todos de punto fio se de,e proponer una aproxi!ación inicial) sin e!,argo) &sta se propone igual a cero) en los!&todos !ultivaria,le. As$) H KH) HL  t) ?x1

H  H) x2H  H@.

lo ue significa ue se parte de una aproxi!ación inicial y se repite el proceso asta llegar a una solución con un !argen de error tanpeueMo co!o se uiera. (usca!os la solución a un siste!a de ecuaciones lineales) en notación !atricial>

Fa diferencia entre este !&todo y el de 6aco,i es ue) en este lti!o) las !eoras a las aproxi!aciones no se utili=an asta co!pletar las iteraciones.

 

%auss

El !&todo consiste en transfor!ar un siste!a de ecuaciones en otro euivalente de for!a ue este sea escalado.

Para facilitar el calculo se transfor!a el siste!a en una !atri=) en la ue pondre!os los coeficientes de las varia,les y los t&r!inosindependientes?separados por una recta@.

Neton

consiste en una lineali=ación de la función) es decir) f se ree!pla=a por una recta tal ue contiene al punto ?x H)f?xH@@ y cuya pendientecoincide con la derivada de la función en el punto) fN?xH@. Fa nueva aproxi!ación a la ra$=) x1) se o,tiene de la intersección de la funciónlinear con el ee de ordenadas.

Este !&todo parte de una aproxi!ación inicial xH y o,tiene una aproxi!ación !eor) x1.

 

-terativos secuencial"rata de resolver un pro,le!a ?co!o una ecuación o un siste!a de ecuaciones@ !edianteaproxi!aciones sucesivas a la solución)e!pe=ando desde una esti!ación inicial. Esta aproxi!ación contrasta con los !&todos directos) ue tratan de resolver el pro,le!a deuna sola ve= ?co!o resolver un siste!a de ecuaciones Ax b encontrando la inversa de la !atri= A@. Fos !&todos iterativos son tilespara resolver pro,le!as ue involucran un n!ero grande de varia,les ?a veces del orden de !illones@) donde los !&todos directostendr$an un coste proi,itivo incluso con la potencia del !eor co!putador disponi,le.

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UNIDAD *. e(resión+ interpolación y deri)ación numérica

4.1. Análisis de #egresión.

4.1.1. *unda!entos estad$sticos.

4.1.2. %&todo de !$ni!os cuadrados.

4.1.2.1. #egresión lineal si!ple.

4.1.2.2. #egresión polino!ial.

4.1.2.3. #egresión lineal !ltiple.

4.1.2.4. #egresión no lineal

4.2. -nterpolación.

4.2.1. Polino!ios de interpolación con diferencias divididas de /e0ton.

4.2.2. Polino!ios de interpolación de Fagrange.

4.3. Derivación nu!&rica' Diferencias finitas.

4.1A/AF-5-5 DE #E7#E5-+/

En un Análisis de #egresión si!ple existe una varia,le respuesta o dependiente ?y@ ue puede ser el n!ero de especies) laa,undancia o la presenciaausencia de una sola especie y una varia,le explicativa o independiente ?x@. El propósito es o,tener unafunción sencilla de la varia,le explicativa) ue sea capa= de descri,ir lo !ás austada!ente posi,le la variación de la varia,ledependiente. Co!o los valores o,servados de la varia,le dependiente difieren general!ente de los ue predice la función) &sta poseeun error. Fa función !ás efica= es auella ue descri,e la varia,le dependiente con el !enor error posi,le o) dico en otras pala,ras)con la !enor diferencia entre los valores o,servados y predicos. Fa diferencia entre los valores o,servados y predicos ?el error de lafunción@ se deno!ina variación residual o residuos. Para esti!ar los pará!etros de la función se utili=a el auste por !$ni!oscuadrados. Es decir) se trata de encontrar la función en la cual la su!a de los cuadrados de las diferencias entre los valoreso,servados y esperados sea !enor. 5in e!,argo) con este tipo de estrategia es necesario ue los residuos o errores est&ndistri,uidos nor!al!ente y ue var$en de !odo si!ilar a lo largo de todo el rango de valores de la varia,le dependiente. Estassuposiciones pueden co!pro,arse exa!inando la distri,ución de los residuos y su relación con la varia,le dependiente.

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  4.1.1 *</DA%E/"+5 E5"AD-5"-C+5

Fa estad$stica es el conunto de t&cnicas ue se e!plean para la recolección) organi=ación) análisis e interpretación de datos. Fosdatos pueden ser cuantitativos) con valores expresados nu!&rica!ente) o cualitativos) en cuyo caso se ta,ulan las caracter$sticas delas o,servaciones. Fas estad$sticas sirven en ad!inistración y econo!$a para to!ar !eores decisiones a partir de la co!prensión delas fuentes de variación y de la detección de patrones y relaciones en datos econó!icos y ad!inistrativos.

El pro,le!a de descri,ir) resu!ir y anali=ar grandes cantidades de datos conduo a la creación de !&todos ue constituyen lo ueaora se deno!ina estad$stica.

Existen diversas definiciones de estad$stica) sin e!,argo nosotros descri,ire!os la estad$stica co!o Oel conunto de procedi!ientoscient$ficos ue per!ite captar) clasificar) organi=ar) resu!ir y anali=ar datos) as$ co!o para sacar conclusioens váslidas y to!ar decisiones ra=ona,les ,asado en tal análisis.

,lasi-icación de la stad/stica

Fa Estad$stica se clasifica en>

Estadística Descriptiva (deductiva):

Parte ue da los procedi!ientos para transfor!ar los datos o,tenidos en for!a !ás tiles para descri,ir la naturale=a de los datos.7eneral!ente los datos de una !uestra pueden descri,irse de tres !aneras ta,ulares) gráficas y arit!&ticas.

a. 0a descripción ta#ula> se lleva a ca,o !ediante la construcción de ta,las.

#. 0a descripción (rá-ica> reuiere la ela,oración de esue!as o gráfica ue descri,an de una !anera !ás o,etiva la naturale=ade los datos.

c. Descripción Aritmético> es necesario calcular deter!inados n!eros cuya interpretación proporciona aspectos de la naturale=adel conunto de datos.

 

4.1.2. %&todo de !$ni!os cuadrados.

%$ni!os cuadrados es una t&cnica de análisis nu!&rico encuadrada dentro de la opti!i=ación !ate!ática) en la ue) dados unconunto de pares ?o ternas) etc@) se intenta encontrar la función ue !eor se aproxi!e a los datos ?un Q!eor austeQ@) de acuerdo con

el criterio de !$ni!o error cuadrático.

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En su for!a !ás si!ple) intenta !ini!i=ar  la su!a de cuadrados de las diferencias ordenadas ?lla!adas residuos@ entre los puntosgenerados por la función y los correspondientes en los datos. Espec$fica!ente) se lla!a !$ni!os cuadrados pro!edio ?F%5@ cuandoel n!ero de datos !edidos es 1 y se usa el !&todo de descenso por gradiente para !ini!i=ar el residuo cuadrado. 5e puedede!ostrar ue F%5 !ini!i=a el residuo cuadrado esperado) con el !$ni!o de operaciones ?por iteración@) pero reuiere un grann!ero de iteraciones para converger.

Fa t&cnica de !$ni!os cuadrados se usa co!n!ente en el auste de curvas. %ucos otros pro,le!as de opti!i=ación pueden

expresarse ta!,i&n en for!a de !$ni!os cuadrados) !ini!i=ando la energ$a o !axi!i=ando la entrop$a.

4.1.2.1. #egresión lineal si!ple.

"iene co!o o,eto estudiar có!o los ca!,ios en una varia,le) no aleatoria) afectan a una varia,le aleatoria) en el caso de existir unarelación funcional entre a!,as varia,les ue puede ser esta,lecida por una expresión lineal) es decir) su representación gráfica esuna l$nea recta. Cuando la relación lineal concierne al valor !edio o esperado de la varia,le aleatoria) esta!os ante un !odeloderegresión lineal si!ple. Fa respuesta aleatoria al valor x de la varia,le controlada se designa por Rx y)

De manera equivalente, otra formulación del modelo de regresión lineal simple sería: si xi es un valor de la variable predictora e Yi la

variable respuesta que le corresponde.

 

4.1.2.2. #egresión polino!ial.

cuando la relación entre las varia,les dependientes e independientes es no lineal) es til incluir t&r!inos polino!iales para ayudar a explicar la variación de

nuestra varia,le dependiente.

Fos t&r!inos polino!iales se incluyen para todos los efectos en nuestro !odelo) por eso puede ser calculada una esti!ación y un pvalue) y a partir de estos

resultados se puede deter!inar si la curva polino!ial ue esta!os asu!iendo es estadistica!ente significativa para nuestros datos.

 

4.1.2.3. #egresión lineal !ltiple.

Fa regresion lineal nos per!ite tra,aar con una varia,le a nivel de intervalo o ra=ón) as$ ta!,i&n se puede co!prender la relación dedos o !ás varia,les y nos per!itirá relacionar !ediante ecuaciones) una varia,le en relación a otras varia,les lla!ándose #egresión!ltiple. Constante!ente en la práctica de la investigación estad$stica) se encuentran varia,les ue de alguna !anera estánrelacionados entre si) por lo ue es posi,le ue una de las varia,les puedan relacionarse !ate!ática!ente en función de otra u otrasvaria,les.

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4.1.2.4. #egresión no lineal

 A veces los datos di,uan una curva no lineal y se utili=an varios trucos para usar t&cnicas de regresión lineal para pro,le!as nolineales.

Fo !ás fácil es escri,ir R co!o una polino!ial.

"ratando a x y a x2 co!o varia,les independientes en lineal 2H 1 2un !odelo lineal.

R SH BS1 BS 2R S S

El o,etivo de la regresión no lineal se puede clarificar al considerar el caso de la regresión polino!ial) la cual es !eor no tratar co!oun caso de regresión no lineal. Cuando la función f to!a la for!a>

f?x@ ax2 B ,x B c

la función f es no lineal en función de x pero lineal en función de los pará!etros desconocidos a) ,) yc. Este es el sentido del t&r!ino

QlinealQ en el contexto de la regresión estad$stica. Fos procedi!ientos co!putacionales para la regresión polino!ial sonprocedi!ientos de regresión lineal ?!ltiple@) en este caso con dos varia,les predictoras x y x 2. 5in e!,argo) en ocasiones se sugiereue la regresión no lineal es necesaria para austar polino!ios. Fas consecuencias prácticas de esta !ala interpretación conducen aue un procedi!iento de opti!i=ación no lineal sea usado cuando en realidad ay una solución disponi,le en t&r!inos de regresiónlineal. Pauetes ?soft0are@ estad$sticos consideran) por lo general) !ás alternativas de regresión lineal ue de regresión no lineal ensus procedi!ientos.

 

4.2. -nterpolación.

Fa interpolación consiste en allar un dato dentro de un intervalo en el ue conoce!os los valores en los extre!os.

El pro,le!a general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan una función de la cual solo conoce!os una serie de puntosde la !is!a>

?xo) yo@) ?x1) y1@).........) ?xn) yn@

y se pide allar el valor de un punto x ?inter!edio de xH y xn@ de esta función.

Fa interpolación se dirá lineal cuando sólo se to!en dos puntos y cuadrática cuando se to!en tres.

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4.2.1. Polino!ios de interpolación con diferencias divididas de /e0ton.

El polinomio de interpolación con diferencias divididas de Newton, entre otros es la forma más popular además de las más útil.

-nterpolación Fineal Fa for!a !ás si!ple de interpolar es la de conectar dos puntos con una l$nea recta. Este !&todo) lla!adointerpolación lineal.La cual es una formula de interpolación lineal. La notación f 1(X) indica que se trata de un polinomio de interpolación de primer orden.

Es una aproximación de diferencias divididas finitas a la primera derivada. En general, entre más pequeño sea el intervalo entre dos puntos, más exacta será la

aproximación.-nterpolación Cuadrática <na estrategia ue !eora la aproxi!ación es la introducir cierta curvatura en la l$nea ue conecta a lospuntos. 5i se dispone de tres datos) lo anterior se puede llevar a ca,o con un polino!io de segundo orden ?lla!ado ta!,i&n polino!iocuadrático o pará,ola@. 

4.2.2. Polino!ios de interpolación de Fagrange.

el polino!io de Fagrange) lla!ado as$ en onor a 6osepFouis de Fagrange) es el polino!io ueinterpola un conunto de puntos dadoen la for!a de Fagrange. *ue descu,ierto por  Ed0ard Taring en199; y redescu,ierto !ás tarde por Feonard Euler  en 19:3.

Dado ue existe un nico polino!io interpolador  para un deter!inado conunto de puntos) resulta algo confuso lla!ar a este polino!ioel polino!io interpolador de Fagrange. <n no!,re !ás conciso es interpolación polinó!ica en la for!a de Fagrange.

4.3. Derivación nu!&rica' Diferencias finitas.

Fa derivación nu!&rica es una t&cnica de análisis nu!&rico para calcular una aproxi!ación a laderivada de una función en un puntoutili=ando los valores y propiedades de la !is!a.

Diferencias finitas

El !&todo de diferencias finitas es un clásica aproxi!ación para encontrar la solución nu!&rica de las ecuaciones ue go,iernan el!odelo !ate!ático de un siste!a continuo. Es valioso fa!iliari=arse con &sta aproxi!ación porue tal conoci!iento refor=ará laco!prensión de los procedi!ientos de ele!entos finitos.

(ásica!ente) en una solución por diferencias finitas) las derivadas son ree!pla=adas por aproxi!aciones en diferencias finitas)convirtiendo entonces un pro,le!a de ecuaciones diferenciales en un pro,le!a alge,raico fácil!ente resolu,le por !edios co!unes?especial!ente !atriciales@.

 

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UNIDAD 5. Inte(ración y solución de ecuaciones di-erenciales ordinarias 

.1. -ntegración nu!&rica.

.1.1. -ntegración nu!&rica si!ple' %&todo del trapecio) %&todos de 5i!pson)

-ntegración de #o!,erg. Cuadratura gausiana.

.1.1.1. -ntegración nu!&rica !ltiple.

.1.1.2. -ntegrales de datos con error.

.2. 5olución de ecuaciones diferenciales.

.2.1. %&todo de Euler.

.2.2. %&todos de #ungeUutta.

.2.3. 5iste!as de ecuaciones diferenciales ordinarias con valores iniciales.

.2.4. %&todos adaptativos de #unge Uutta.

.3. Ecuaciones diferenciales r$gidas. 

5.1. Integración numérica.

 Constituye una a!plia ga!a de algorit!os para calcular el valor nu!&rico de una integral definida y) por extensión) el t&r!ino se usa aveces para descri,ir algorit!os nu!&ricos para resolver ecuaciones diferenciales. El t&r!ino cuadratura nu!&rica es !ás o !enossinóni!o de integración numérica) especial!ente si se aplica a integrales de una di!ensión a pesar de ue para el caso de dos o !ásdi!ensiones ?integral !ltiple@ ta!,i&n se utili=an.Fos !&todos de integración nu!&rica pueden ser descritos general!ente co!o co!,inación de evaluaciones del integrando parao,tener una aproxi!ación a la integral. <na parte i!portante del análisis de cualuier !&todo de integración nu!&rica es estudiar elco!porta!iento del error de aproxi!ación co!o una función del n!ero de evaluaciones del integrando. <n !&todo ue produce unpeueMo error para un peueMo n!ero de evaluaciones es nor!al!ente considerado superior. #educiendo el n!ero deevaluaciones del integrando se reduce el n!ero de operaciones arit!&ticas involucradas) y por tanto se reduce el error deredondeo total. "a!,i&n) cada evaluación cuesta tie!po) y el integrando puede ser ar,itraria!ente co!plicad 

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o  -ntegral definida> Cálculo

o  *ór!ula de los "rapecios

o  #egla de 5i!pson

o  -ntegración de #o!,erg

o  +tros !&todos ?/e0tonCotes) 7auss@

 

5.1.1. Integración numérica simple 

El métoo e los trapecios El método de los trapecios es muy simple y se puede explicar fácilmente.

Cuanto mayor sea el número de divisiones del intervalo [a, b] que hagamos, menor será h, y más nos aproximaremos al valor exacto de la integral.Sin emargo, no podremos disminuir h tanto como queramos, ya que el ordenador mane!a números de precisi"n limitada.

 

!étoos e Simpson

#ara cualquier regla interpoladora, se puede hacer una aproximaci"n más precisa dividiendo el intervalo en algún número de suintervalos, hallando

una aproximaci"n para cada suintervalo, y finalmente sumando todos los resultados. $as reglas que surgen de hacer esto se llaman reglascompuestas, y se caracteri%an por perder un orden de precisi"n gloal frente a las correspondientes simples, si ien gloalmente dan valores más

 precisos de la integral, a costa eso s& de incrementar significativamente el coste operativo del método.

Integración e rom"erg

$a precisi"n de un método de integraci"n del tipo 'e(ton)Cotes es generalmente una funci"n del número de puntos de evaluaci"n. El resultado es

usualmente más preciso cuando el número de puntos de evaluaci"n aumenta, o, equivalentemente, cuando la anchura del paso entre puntos decrece.

*+ué pasa cuando la anchura del paso tiende a cero Esto puede responderse extrapolando el resultado de dos o más anchuras de paso -extrapolaci"nde ichardson/. $a funci"n de extrapolaci"n puede ser un polinomio o una funci"n racional. $os métodos de extrapolaci"n están descritos en más

detalle por Stoer y 0ulirsch -Secci"n 1.2/. En particular, al aplicar el método de extrapolaci"n de ichardson a la regla del trapecio compuesta seotiene el método de omerg.

#uaratura gausiana

Si se permite variar los intervalos entre los puntos de interpolaci"n, se encuentra otro grupo de f"rmulas de integraci"n, llamadas f"rmulas de

cuadratura de 3auss. 4na regla de cuadratura de 3auss es t&picamente más precisa que una regla de 'e(ton)Cotes que requiera el mismo número deevaluaciones del integrando, si el integrando es suave -es decir, si se puede derivar muchas veces

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5.1.1.1. Integración numérica m$ltiple. 

Las integrales múltiples se utilizan a menudo en la ingeniería. Al numerador se le llama integral doble.

Las técnicas estudiadas en este capítulo (y en el siguiente) se utilizan para evaluar integrales múltiples. Un ejemplo sencillo seria obtener la

integral doble de una funcin sobre un !rea rectangular. "ecuerde del c!lculo de dic#as integrales se pueden calcular como integrales iteradas.

$rimero se evalúa la integral en una de las dimensiones y el resultado de esta primera integracin se incorpora en la segunda integracin.

Una integral numérica doble estar! basada en la misma idea. $rimero se aplican métodos% como la regla de &impson o del trapecio para segmentosmúltiples % a la primera dimensin manteniendo constante los valores de la segunda dimensin. 'l procedimiento se ilustra en el ejemplo

siguiente.

 

5.%. Solución e ecuaciones i&erenciales.

Ecuación i&erencial

4na ecuaci"n diferencial es una ecuaci"n en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. 5ependiendo del número de

variales independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en6

• Ecuaciones diferenciales ordinarias6 aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variale independiente.

Ecuaciones en derivadas parciales6 aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variales.

4na ecuaci"n diferencial es una ecuaci"n que incluye expresiones o términos que involucran a una funci"n matemática inc"gnita y sus derivadas.7lgunos e!emplos de ecuaciones diferenciales son6

Oren e la ecuación

El orden de la derivada más alta en una ecuaci"n diferencial se denomina orden de la ecuaci"n.

'rao e la ecuación

Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuaci"n, siempre y cuando la ecuaci"n esté en forma polin"mica, de no ser as& se

considera que no tiene grado.

Ecuación i&erencial lineal

Se dice que una ecuaci"n es lineal si tiene la forma, es decir6

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E(emplos:

 Es una ecuaci"n diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones, con 8 un número real cualquiera.

Es una ecuaci"n diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones, con a y reales.

 Es una ecuaci"n diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones, con a y reales.

 

5.%.1. !étoo e Euler. En !ate!ática y co!putación) el método de uler ) lla!ado as$ en onor de Feonard Euler ) es un procedi!iento de integraciónnu!&rica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.El método de uler  es el !ás si!ple de los !&todos nu!&ricos. 

5.%.%. !étoos e Runge)*utta.

Es un método genérico de resoluci"n numérica de ecuaciones diferenciales. Este con!unto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del

a9o :;<< por los matemáticos C. unge y =. >. ?utta.

$os métodos de unge)?utta -?/ son un con!unto de métodos iterativos -impl&citos y expl&citos/ para la aproximaci"n de soluciones de ecuaciones

diferenciales ordinarias, concretamente, del prolema de valor inicial.

Existen variantes del método de unge)?utta clásico, tamién llamado unge)?utta expl&cito, tales como la versi"n impl&cita del procedimiento o las

 pare!as de métodos unge)?utta -o métodos unge)?utta)@ehlerg/.

Este último consiste en ir aproximando la soluci"n de la ecuaci"n mediante dos algoritmos unge)?utta de "rdenes diferentes, para as& mantener el

error acotado y hacer una uena elecci"n de paso.

El método de unge)?utta no es s"lo un único método, sino una importante familia de métodos iterativos, tanto impl&citos como expl&citos, para

aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias -E.5.ABs/ estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de :;<< por los matemáticosalemanes Carl 5avid Dolmé unge y =artin >ilhelm ?utta.

 

5.%.3. Sistemas e ecuaciones i&erenciales orinarias con +alores iniciales.$as ecuaciones diferenciales aparecen naturalmente al modelar situaciones f&sicas en las ciencias naturales, ingenier&a, y otras disciplinas, donde hay

envueltas ra%ones de camio de una " varias funciones desconocidas con respecto a una " varias variales independientes. Estos modelos var&an entre

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los más sencillos que envuelven una sola ecuaci"n diferencial para una funci"n desconocida, hasta otros más comple!os que envuelven sistemas deecuaciones diferenciales acopladas para varias funciones desconocidas.

#or e!emplo, la ley de enfriamiento de 'e(ton y las leyes mecánicas que rigen el movimiento de los cuerpos, al ponerse en términos matemáticos

dan lugar a ecuaciones diferenciales.4sualmente estas ecuaciones están acompa9adas de una condici"n adicional que especifica el estado del sistema en un tiempo o posici"n inicial. Esto

se conoce como la condición inicial  y !unto con la ecuaci"n diferencial forman lo que se conoce como el  problema de valor inicial . #or lo general, lasoluci"n exacta de un prolema de valor inicial es imposile " dif&cil de otener en forma anal&tica.

#or tal ra%"n los métodos numéricos se utili%an para aproximar dichas soluciones. Comen%aremos discutiendo los métodos para ecuaciones escalaresy luego generali%amos los mismos a sistemas de ecuaciones.

5.%.,. !étoos aaptati+os e Runge) *utta

4no de los casos en que el método adaptativo es especialmente útil es el caso de trayectorias fuertemente el&pticas en el caso de atracci"ngravitacional. El programa orit.cpp calcula la "rita de un cometa por diferentes métodos6 Euler, Euler)Cromer, ?2 y ?2 adaptativo. 4no de los

test de "ritas es la conservaci"n de la energ&a. Si un método tiene errores numéricos importantes o es inestale no conserva la energ&a.

 

5.3. Ecuaciones i&erenciales r-gias.4n con!unto de ecuaciones diferenciales es r&gida numéricamente cuando hay una gran diferencia entre los autovalores de frecuencia altos y a!os, al

mismo tiempo que los primeros sufren una amortiguaci"n excesiva. $a velocidad de la soluci"n de las ecuaciones de movimiento depende de larigide% numérica de las mismas. Cuanto más r&gidas, más lenta será la soluci"n.

$a integraci"n r&gida es un método de cálculo eficiente para solucionar sistemas r&gidos. #ara calcular las soluciones de forma eficiente y rápida, las

ecuaciones diferenciales r&gidas requieren métodos de integraci"n r&gida.

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UNIDAD I. Introducción a la programación

1.1. Importancia del modelamiento matemático y de los métodos numéricos.

1.2. Lenguaje de programación.

1.2.1. Introducción y orígenes del lenguaje.

1.2.2. Estructura básica de un programa.

1.2.3. Tipos de datos.

1.2.4. Identificadores.

1.2.5. Proposición de asignación.

1.2.6. Operadores, operandos y expresiones.

1.2.7. Prioridad de operadores, evaluación de expresiones.

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1.2.8. Entrada y Salida de datos.

1.1 IMPORTANCIA DE MODELAMIENTO MATEMATICO Y DE METODOS NUMERICOSmétodos numéricos son técnicas para encontrar soluciones aproximadas a numerosos problemas

científicos y de ingeniería, los que se formulan para que puedan resolverse, utilizando únicamente

operaciones aritméticas.

Y para hacer el gran numero de cálculos aritmatico utilizaremos la computadora para ayudarnos a

hacer este trabajo. Las computadoras han incrementado la importancia de los métodos numéricos en

la solución de problemas científicos y de ingeniería. La solución de un problema de ingieneria tienetres fases; formulación solución e interpretación.

Se disponen de métodos exactos o directos como lo es la regla de Cramer, la gran cantidad de

cálculos que se requieren para evaluar los determinantes, aunque el sistema sea de bajo orden, es

mucho mayor que el número de operaciones que requiere por ejemplo un método aproximado como

lo es el método de eliminación de Gauss, digamos que para n = 10 la aplicación de la regla de

Cramer requiere aproximadamente 40 000 000 multiplicaciones, en tanto que el método de Gaussrequiere aproximadamente 300 multiplicaciones y divisiones.

Estamos hablando de métodos exactos y Métodos aproximados, cuando lo correcto es hablar de

Métodos analíticos y Métodos numéricos respectivamente, puesto que exacto hay muy poco en la

vida. Digamos que cuando decimos que el largo de una mesa es de 4m. , esa medida no es exacta,

pues ella incluye un cierto error, me refiero al error que introducen los ojos como órganos de la visión

más el error del propio instrumento de medición que se use. La Importancia del modelamiento

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matemático: Estos son de mucha importancia ya que estos expresan en términos reales (cifras)

como puede ser una ecuación esta es sencilla, fácil.

1.2 LENGUAJE DE PROGRAMACIÓN

Un lenguaje de programación" es un lenguaje diseñado para describir el conjunto de accionesconsecutivas que un equipo debe ejecutar. Por lo tanto, un lenguaje de programación es un modo

práctico para que los seres humanos puedan dar instrucciones a un equipo.

La palabra programación se define como el proceso de creación deun programa de computadora,

mediante la aplicación de procedimientos lógicos, a través de los siguientes pasos:

el desarrollo lógico del programa para resolver un problema en particular.

escritura de la lógica del programa empleando un lenguaje de programación específico (codificación

del programa).

ensamblaje o compilación del programa hasta convertirlo en lenguaje de máquina.

prueba y depuración del programa.

desarrollo de la documentación.El lenguaje utilizado por el procesador se denomina lenguaje máquina. Se trata de datos tal como

llegan al procesador, que consisten en una serie de 0 y 1 (datos binarios).

Un lenguaje de programación tiene varias ventajas:

es mucho más fácil de comprender que un lenguaje máquina:

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permite mayor portabilidad, es decir que puede adaptarse fácilmente para ejecutarse en diferentes

tipos de equipos.

1.2.1 INTRODUCCIÓN Y ORÍGENES DEL LENGUAJE

C es un lenguaje de programación de propósito general que ofrece como ventajas: economía deexpresión, control de flujo y estructuras de datos modernos, así como un rico conjunto de operadores

para el cálculo y la manipulación de datos. Además, permite al programador "acercarse a la

máquina" al suministrar posibilidades similares al lenguaje ensamblador. Su parte central en la

programación son los punteros o apuntadores a espacios de memoria. Los punteros proporcionan

una aritmética de direcciones independiente de la máquina. C ofrece una amplia variedad de familias

de punteros. No está especializado en alguna área especial de aplicación. Este lenguaje fueoriginalmente utilizado para realizar implementaciones de sistemas operativos. El sistema operativo

UNIX está implementado en C. También, es una herramienta valiosa para el ingeniero de software

sofisticado, porque contiene potentes posibilidades que le dan una considerable flexibilidad. La

programación en C está apoyada por una biblioteca de funciones estándar para realizar operaciones

de entrada y salida de datos hacia o desde dispositivos periféricos, accesos al sistema operativo, la

administración de memoria, la manipulación de cadenas, cálculos matemáticos y otras tareas. Ellenguaje C no está ligado a ningún hardware o sistema en particular y es fácil escribir programas que

correrán sin modificaciones en cualquier máquina que lo maneje. No proporciona características

avanzadas tales como multiprogramación, operaciones paralelas, sincronización ni co-rutinas. C es

un lenguaje de tamaño modesto y tiene sus beneficios reales. Se puede programar en C disponiendo

de una computadora con capacidades limitadas en: memoria, medios de almacenamiento, etc. Es un

lenguaje agradable, expresivo y versátil para una amplia variedad de programas de aplicación. Es

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fácil de aprender y se obtienen mejores resultados a medida que aumenta nuestra experiencia con

él.

Los orígenes del lenguaje C

 Los orígenes de C se remontan al año 1972, en los laboratorios Bell de la compañía AT&T, ubicadaen Murray Hill, New Jersey, en Estados Unidos. C surgió de la mente de un solo hombre, Dennis

Ritchie, que por aquel entonces trabajaba en la citada compañia. No es posible hablar de sus

orígenes sin hacer mención al sistema operativo UNIX. Los años 70 fueron testigos del nacimiento

de UNIX, el cual, posteriormente, se convierte en un estándar de 'de facto' (una forma que, sin tener

carácter de ley, es aceptada casi universalmente) para los sistemas operativos multiusuario en el

campo de los grandes ordenadores. UNIX proporciona a sus usuarios una serie de herramientaspara ayudar a la confección de programas; C era una de esas herramientas, y muy pronto se

convirtió en ̀la' herramienta, hasta el punto de que el propio compilador de C y la mayor parte de

UNIX se reescribieron en dicho lenguaje. Vemos ya aquí un aspecto de C sobre su capacidad para la

creación de Software de Sistemas. La primera implementación de C ocurre en 1971, en la

computadora DEC PDP-11. Tenía solamente 24 Kbytes de memoria, de la cual el sistema UNIX

utilizaba 16 Kbytes, y un disco fijo de 512 Kbytes.

Los antecesores del lenguaje C han sido:

1960 -- ALGOL 60 (Algorithmic Language) - Diseñado por un Comité Internacional

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1963 -- CPL (Combined Programming Language) - Desarrollado tanto en Cambridge como en la

Universidad de Londres

1967 -- BCPL (Basic Combined Programming Language) - Creado por Martin Richards en la

Universidad de Cambridge

1970 -- B - Creado por Ken Thompson, de Laboratorios Bell

1972 -- C - Creado por Dennis Ritchie, de Laboratorios Bell

ALGOL es el segundo 'gran lenguaje' de programación desarrollado en la era informática. FORTRANfue el primero, y ALGOL intentó mejorarlo en sus muchos puntos débiles, cuidando especialmente la

sintáxis y proporcionando una estructura modular. El resultado fue un lenguaje demasiado abstracto

y general, por lo que nunca disfrutó de gran aceptación. CPL intentó, sobre las bases de ALGOL,

traer las cosas más próximas a la realidad; de cualquier manera, ALGOL todavía estaba demasiado

presente, por lo que el nuevo lenguaje seguía siendo difícil de aprender e implementar.

1.2.2 ESTRUCTURA DE UN PROGRAMA

Un programa tiene una estructura básica o general como una plantilla para realizar un programa

esta es :

 a) .-comentarios

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un comentario son frases que no causan ningún efecto en el programa, son como anotaciones dentro

del código para ayudar a comprenderlo mejor. En C un comentario se pone después de "//" ( dos

diagonales) si el comentario abarca una sola linea, pero si el comentario abarca mas de una linea se

coloca al principio del párrafo un "/*" (diagonal asterisco) para indicar el inicio del comentario y al final

del párrafoun "*/" (asterisco diagonal) para indicar el fin del comentario.

  b).-librerías

las librerías en c son como su nombre lo dice como librerías en las cuales contienen las funciones de

las cuales se hablaran en el siguiente tema

estas se incluyen con un #include < librería > donde dice librería se pone el nombre de la librería

  c).-declaración de constantes

aquí se ponen las constantes por así decirlo

se incluyen con un gato mas la palabra define (#define valor)

  d)-menú principaleste es el inicio del programa

y se pone asi:

tipo main (parametros)

Dentro de main

declaración de variables

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para declarar las variables hay que saber que existen varios tipos de datos:

TIPO DE DATO--------------TAMAÑO-------------------RANGO

void-------------------------vacio----------------------vacio

int--------------------------16bits---------------------32,768 a 32,767int long----------------------32bits---------------2,147,483,648 a 2,147,483,647

char-------------------------8bits--------------------128 a 127

float------------------------32bits-------------3.4 x 10-38 a 3.4 x 10+38 (decimales)

char es para un caracter (letras nimeros signos), existen mas pero estas son las mas importanstes,

esta es toda la estructura de un programa. 

1.2.3 TIPOS DE DATOS

El tipo de un dato es el conjunto de valores que puede tomar durante el programa. Si se le intenta dar

un valor fuera del conjunto se producirá un error.

La asignación de tipos a los datos tiene dos objetivos principales:Por un lado, detectar errores en las operaciones

Por el otro, determinar cómo ejecutar estas operaciones

Existen muchas clasificaciones para los tipos de datos, y dependiendo de la fuente que mires, te

mostrarán una u otra. A continuacón tienes una de las posibles clasificaciones.:

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Dinámicos

Estáticos Tipos estáticos

Casi todos los tipos de datos son estáticos, la excepción son los punteros y no se tratarán debido a

su complejidad.

Que un tipo de datos sea estático quiere decir que el tamaño que ocupa en memoria no puede variar

durante la ejecución del programa.

Tipos dinámicos

Dentro de esta categoría entra sólamente el tipo puntero. Este tipo te permite tener un mayor control

sobre la gestión de memoria en tus programas. Con ellos puedes manejar el tamaño de tus variablesen tiempo de ejecución, o sea, cuando el programa se está ejecutando.

Los punteros quizás sean el concepto más complejo a la hora de aprender un lenguaje de

programación, sobre todo si es el primero que aprendes. Debido a esto, no lo trataremos. Además,

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lenguajes que están muy de moda (por ejemplo Java) no permiten al programador trabajar con

punteros.

1.2.4 IDENTIFICADORES

Se utilizan para los nombres de los programas, los nombres de los procedimientos y los nombres de

las funciones, así como para las etiquetas, constantes y variables.

Las reglas para formar los identificadores en pascal son las siguientes :

pueden estar compuestos de caracteres alfabéticos, numéricos y el carácter de subrayado (_).deben comenzar con un carácter alfabético o el carácter de subrayado.

puede ser de cualquier longitud (sólo los 63 primeros caracteres son significativos).

no se hace distinción entre mayúsculas y minúsculas.

no se permite el uso de los identificadores reservados en los nombres de variables, constantes,

programas o sub-programas.

Identificadores válidos

Ø Nombre

Ø Cadena

Ø Edad_maxima

Ø x_y_z

Ø etiqueta2

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Identificadores no válidos

 Ø num&dias : carácter & no válido

Ø x nombre : contiene un blanco

Ø begin : es una palabra reservada

Ø eje@s : carácter @ no válido

Elección de identificadores

La elección de identificadores permite una mejor lectura y comprensión de un programa. No es

aconsejable utilizar identificadores que no sugieran ningún significado.

1.2.5 PROPOSICIÓN DE ASIGNACIÓN

El signo de igualdad (=) es el operador básico de asignación. Un ejemplo de una “expresión” de

asignación es: i=7. A la variable i se le asigna el valor de 7 y la expresión como un todo toma ese

valor.

Las proposiciones de asignación simples tiene la siguiente sintaxis:

Variable=expresión;

Cuando la expresión va seguida de un punto y coma (;) se convierte en una proposición.

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Ejemplo de preposiciones:

i=7;

x=3.1 + sin (10.8);

1.2.6. OPERADORES, OPERANDOS Y EXPRESIONES

Los operadores especifican el tipo de cálculo que se desea realizar con los elementos de una

fórmula. Microsoft Excel incluye cuatro tipos diferentes de operadores de cálculo: aritmético,comparación y referencia.

* Operadores aritméticos

Para ejecutar las operaciones matemáticas básicas como suma, resta o multiplicación, combinar

números y generar resultados numéricos, utilice los siguientes operadores aritméticos.

* Operadores de comparación

Se pueden comparar dos valores con los siguientes operadores. Cuando se comparan dos valores

utilizando estos operadores, el resultado es un valor lógico: VERDADERO o FALSO.

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* Operadores de referencia

Combinan rangos de celdas para los cálculos.

OPERANDO: En matemáticas, un operando es una de las entradas (argumentos) de un operador.

1.2.7PRIORIDAD DE OPERADORES, EVALUACIÓN DE EXPRESIONES

Determina el orden en que habrán de realizarse las operaciones en una expresión determinada. Para

obtener la prioridad se deben conocer las siguientes reglas: Las operaciones que están encerradas

entre paréntesis se evalúan primero. Si existen diferentes paréntesis anidados (interiores unos aotros), las expresiones más internas se evalúan primero.En caso de coincidir varios operadores de

igual prioridad en una expresión o subexpresión encerrada entre paréntesis, el orden de prioridad en

este caso es de izquierda a derecha 1.2.8. ENTRADA Y SALIDA DE DATOS

En cpmputación, entrada/salida, también abreviado E/S o I/O (del original en inglés input/output), esla colección de interfaces que usan las distintasunidades funcionales(subsistemas) de un sistema de

procesamiento de información para comunicarse unas con otras, o lasseñales(información) enviadas

a través de esas interfaces. Las entradas son las señales recibidas por la unidad, mientras que las

salidas son las señales enviadas por ésta.

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El término puede ser usado para describir una acción; "realizar una entrada/salida" se refiere a

ejecutar una operación de entrada o de salida. Los dispositivos de E/S los usa una persona u otro

sistema para comunicarse con una computadora. De hecho, a lostecladoa y ratones se los considera

dispositivos de entrada de una computadora, mientras que losmonitores e impresoras son vistos

como dispositivos de salida de una computadora. Los dispositivos típicos para la comunicación entrecomputadoras realizan las dos operaciones, tanto entrada como salida, y entre otros se encuentran

los módems y tarjetas de red.

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Unidad II

UNIDAD 2. 1unciones+ estructuras de control y arre(los 

2.1. *unciones.

2.1.1. *unciones estándar.

2.1.2. *unciones definidas por el usuario.

2.1.3. Pase de pará!etros por valor y por referencia.

2.2. Estructuras selectivas.

2.2.1. 5electiva si!ple.

2.2.2. 5electiva do,le.

2.2.3. 5electiva anidada.

2.2.4. 5electiva !ltiple.

2.3. Estructuras de repetición.

2.3.1. #epetir !ientras.

2.3.2. #epetir asta.

2.3.3. #epetir desde.

2.3.4. #epetir desde asta.

2.4. Arreglos.

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2.4.1. Arreglo <nidi!ensionales.

2.4.2. Conceptos ,ásicos.

2.4.3. Arreglo (idi!ensionales.

2.4.4. Arreglos !ultidi!ensionales.

2.! 1UN,IN

Una funcion es un conunto de l$neas de código ue reali=an una tarea especifica y puede retornar su valor. Fas

funciones pueden to!ar pará!etros ue !odifiuen su funciona!iento. Fas funciones son utili=adas para desco!poner 

grandes pro,le!as en tareas si!ples y para i!ple!entar operaciones ue son co!n!ente utili=adas durante un

progra!as y de esta !anera reducir la cantidad de código. Cuando una función es invocada se le pasa el control a la

!is!a) una ve= ue esta finali=o con su tarea el control es devuelto al punto desde el cual la función fue lla!ada.

2.!.!1UN,IN 4NDAR

printf?@ es lo ue se deno!ina una función estándar de C) es decir) una función ue está incluida con el co!pilador. Para

poder usarla dentro de un progra!a ay ue decir en el !is!o co!o es su for!a> eso se ace incluyendo la

l$nea Vinclude Wstdio.X al principio.

Para poder tra,aar o lla!ar a una función estándar ay ue conocer ue necesita y u& ace. De la función printf ay

ue sa,er>

5u no!,re cada ve= ue se coloca printf  en un progra!a le esta!os diciendo al co!pilador de C ue uere!os usar 

esta función.

Fo ue se uiere i!pri!ir) ue irá entre los par&ntesis

En general) la expresión ?n!eros o texto@ ue va entre los par&ntesis de una función se lla!an pará!etros de la

función.

En lenguae C) algunas funciones necesitan ue le de!os datos para poder acer su tra,ao y otras no. Por ee!plo)printf necesita el texto ue ay ue !ostrar por pantalla ?el cual se entreco!illa@) pero para la función principal !ain no

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es o,ligatorio.Yu& ace y có!o funciona printf?@ escri,e texto en la pantalla del co!putador. Fos detalles de funciona!iento aparecenen el !anual del co!pilador ue se est& usando. El !anual nos dice) por ee!plo) ue si coloca!os el código Zn dentrodel pará!etro de printf?@) se i!pri!irá un salto de l$nea.

<n co!pilador suele tener decenas de funciones estándar) aunue su n!ero exacto y los detalles concretos defunciona!iento de las funciones estándar de C dependen de cada co!pilador.

2.!.21UN,IN D1INIDA 6R 0 UUARI

 Algunos o,etos per!iten especificar funciones ue serán evaluadas durante la renderi=ación para deter!inar la

superficie de estos o,etos. En este aspecto las funciones son ,astante diferentes de las !acros) ue se evaluan durante

el tie!po de análisis ?parse ti!e@ pero no afectan de ninguna otra !anera a la renderi=ación. Adicional!ente) se puede

lla!ar a estas funciones en cualuier lugar en el ue se per!ita utili=ar una función en co!a flotante) incluso durante el

análisis. Fa sintaxis es id&ntica a las expresiones en co!a flotante) sin e!,argo solo pueden usarse funciones en co!a

flotante ue se apliuen a valores en co!a flotante. 5e excluyen por ee!plo strlen o vlengt.

2.!.36ARM4R

 Fos pará!etros de una función se pueden definir de dos !aneras> Por valor o por referencia.

 2.!.3.!6A 6R 7A0R

Este !&todo copia el valor de los argu!entos so,re los pará!etros for!ales) de !anera ue los ca!,ios de valor de lospará!etros no afectan a las varia,les utili=adas co!o argu!entos en la lla!ada.

Fo i!portante en el paso por valor es el )alor del argu!ento) por eso es indiferente si este argu!ento es una varia,le)una constante o una expresión.

 2.!.3.2 6A 6R R1RN,IA N ,88.

 A diferencia del paso por valor) en el paso por referencia los pará!etros no copian el valor del argu!ento) sino ueco!parten su valor. Por lo ue cuando ca!,ia el valor del pará!etro ta!,i&n ca!,ia el valor de la varia,le utili=adaco!o argu!ento en la lla!ada.

Fa for!a de indicar un pará!etro por referencia es anexar el s/m#olo 9 al final del no!,re de la varia,le de tipo en lalista de pará!etros for!ales) tanto en el prototipo de la función co!o en el enca,e=ado de su definición.

 2.2 4RU,4URA 0,4I7A

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Fas estructuras selectivas nos per!iten reali=ar bifurcaciones. Esto es) escoger las instrucciones ue se eecutaránsegn se cu!pla o no una deter!inada condición.

2.2.! 4RU,4URA 0,4I7A IM60.

5e identifican porue están co!puestos nica!ente de una condición. Fa estructura si entonces evala la condición y

en tal caso>

5i la condición es verdadera) entonces eecuta la acción 5i ?o acciones si son varias@.

5i la condición es falsa) entonces no se ace nada.

 Al llegar a la pala,ra reservada if) se evala la condición. 5i &sta es cierta) se eecutan las instrucciones ue ay dentrode ese if y si fuera falsa) se saltan estas instrucciones pasando directa!ente al end . En a!,os casos) continuará coninstr(. Por tanto) la diferencia está en reali=ar las instrucciones dentro del if.

<na condición es una expresión ue se evala a cierto o falso. Fa condición puede estar for!ada por una nica

expresión lógica) utili=ando operadores relacionales) por ee!plo> a X ,. + ,ien) puede ser la co!,inación de variasexpresiones lógicas) por ee!plo> ?aX, [ ,Xc@ \ ?cXa@. Fas distintas expresiones se co!,inan utili=ando los operadoreslógicos.

 2.2.2 0,4I7A DB0. :I1 ; 4<N ; 0=

 Fa siguiente sentencia nos per!ite escoger entre dos alternativas segn el resultado de evaluar la condición.

instrA

if condicion

instrucciones1

else

instrucciones2 

end

instrB

"ras reali=ar la instrucción instrA) se evala la condición. 5i esta fuera cierta) se eecutar$an las instrucciones indicadas

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con instrucciones1) por el contrario si fuera falsa) se eecutar$an las instrucciones

instrucciones2. "ras elegir unas u otras) continuará con instr(.

 2.2.3 0,4I7AANIDADA

<na estructura de selección ?i- @ puede tener anidada a otra y &sta a otra y as$ sucesiva!ente) se tiene un i-  principal el

cual tiene anidado en el t>en un i- ) !is!o ue funge co!o un instrucción) por lo tanto) no lleva ? ?punto y co!a@ al final.

Por el else ta!,i&n ay un i-  anidado) el cual funge co!o una instrucción) despu&s del cual va el ? ?punto y co!a@ ue

indica el fin de la instrucción y del i-  principal.

+tra alternativa de anidación es el caso ue se tenga el i-  anidado por el t>en) !ientras ue por el else se tiene una

instrucción si!ple.

 2.2.* 0,4I7A M@04I60Fa sentencia s0itc reali=a una función análoga a un conunto de ifelseif encadenados. En pri!er lugar) se evala laexpresión del s0itc) cuyo resultado de,e ser un n!ero escalar o una cadena de caracteres. Este resultado se co!paracon los valores de cada uno de los case y se eecutan las instrucciones del case cuyo valor coincida. 5ólo se eecutará elue coincida. 5i ningn valor de los case coincide) entonces se eecutarán las instrucciones indicadas en oter0ise.+,servar ue se puede agrupar !ás de un valor en un case.

En todos los casos) es posi,le ue las instrucciones ue se eecutan dentro de un if) ifelse) ifelseif o s0itc) sean a suve= nuevas sentencias de selección ?anida!iento@.

2.3 4RU,4URA D R64I,IN

Fas estructuras de repetición sirven para for!ar ,ucles o ciclos en los ue se eecuta repetida!ente un ,loue deinstrucciones.

 2.3.!. R64IR MIN4RA.

Fas sentencias ?una o !ás@ del cuerpo del la=o se eecutan !ientras la condición ?expresión lógica@ es cierta. Cuando lacondición es falsa) ter!ina la eecución del la=o.

5e pregunta al principio por la condición) por tanto el la=o se eecuta cero ?si la pri!era ve= la condición es falsa@ o !as

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veces. 5i la condición nunca se ace falsa) el progra!a entraen un Ola=o infinito) es decir) las sentencias del cuerpo della=o se eecutarán indefinida!ente.

Jay ue estar pendientes de iniciali=ar las varia,les ue intervienen en la condición antes de eecutar el la=o por pri!erave=) ya ue lo pri!ero ue ace la

estructura es evaluar la condición.

Jay ue estar pendientes de %+D-*-CA# dentro del cuerpo del la=o los valores de las varia,les ue intervienen en lacondición) para garanti=ar ue en algn

!o!ento &sta se aga falsa y el la=o pueda ter!inar su eecución y as$ tratar ue el la=o no sea infinito.

2.3.2. R64IR <A4A.

Esta estructura es caracteristica de lenguaes co!o PA5CAF) y su uso es !uy sencillo) se especifica un valor de

partida?logica!ente@ y un valor de parada?por eso es Oasta@ ue es el valor li!ite asta el cual se reali=ara cierta

instruccion utili=ando co!o ,ase el valor de repeticion. Esta estructura es !aneada por PA5CAF co!o una estructuraaparte.

2.3.3. R64IR DD.

#eali=a la acción o conunto de acciones) luego evala una condición) de resultar cierta vuelve a reali=ar las acciónes.Cuando sea falsa se sale del ciclo. 5u sintaxis es>

Do ) Tile

Fa diferencia funda!ental) entre el ciclo 0ile y do] 0ile es ue en este lti!o) las sentencias se reali=arán por lo

!enos una ve=) en ca!,io) con 0ile) solo se cu!plirán !ientras se cu!pla la condición) lo cual puede ser nunca

2.3.*. R64IR DD <A4A.

#eali=a la acción o conunto de acciones) luego evala una condición) de resultar cierta vuelve a reali=ar las acciónes se

especifica un valor de partida?logica!ente@ y un valor de parada?por eso es Oasta@ ue es el valor li!ite asta el cual se

reali=ara cierta instruccion utili=ando co!o ,ase el valor de repeticion.

2.*. ARR%0.

<n arreglo es una secuencia de datos del !is!o tipo ue ocupa un lugar contiguo en !e!oria. Fas posiciones

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consecutivas ue ocupa el arreglo se deno!inan ele!entos del arreglo y se enu!eran sucesiva!ente. El tipo de

infor!ación ue se al!acena en un arreglo puede contener la edad de alu!nos de una clase) las te!peraturas de cada

dia del !es)etc.

 2.*.!. ARR%0 UNIDIMNINA0.

Fos arreglos unidi!ensionales sirven para !anear vectores) la pala,ra unidi!ensional no indica ue se trata de unvectores en espacio de di!ensión uno' indica ue su !aneo se ace !ediante un su,$ndice.

2.*.2. ,N,64 BI,.

<n arreglo es un conunto de ele!entos del !is!o tipo agrupados en una sola varia,le. Para ingresar a un ele!ento enparticular) utili=a!os un $ndice y se al!acenan en !e!oria continua.

Existen arreglos unidi!ensionales) ,idi!ensionales y tridi!ensionales.

2.*.3. ARR%0 BIDIMNINA0.El arreglo ,idi!ensional o de dos di!ensiones) está for!ado por un conunto de ele!entos de un !is!o tipo de datos

ue se al!acenan ,aa un !is!o no!,re y ue al igual ue en el unidi!ensional) se diferencian por la posición ue

tiene cada ele!ento dentro del arreglo de datos) con la aclaración de ue la disposición de los ele!entos es en

for!a rectangular ocuadrada) donde la pri!era di!ensión está dada por los renglones y la segunda por las colu!nas.

<n arreglo de este tipo) ta!,i&n conocido co!o !atri=) es de orden % x /) donde % es el n!ero de renglones y / es el

n!ero de colu!nas) es decir) en for!a de ta,la.

2.*.*. ARR%0 MU04IDIMNINA0.

Fos arreglos !ultidi!ensionales tienen !ás de una di!ensión. En CV) las di!ensiones se !anean por !edio de un par 

de corcetes) dentro de los ue se escri,en los valores de cada di!ensión) separados por co!as.