Unidad 4 Eigenvalores y Eigenvectores - …galia.fc.uaslp.mx/~rmariela/algebra/L5.pdf · Unidad 4 Eigenvalores y Eigenvectores Propedéutico 2010 Facultad de Ciencias 1 Propedéutico

Unidad 4Eigenvalores y Eigenvectores

Propedéutico 2010 Facultad de Ciencias 1

Eigenvalores y Eigenvectores

Propedéutico 2010Dra. Ruth M. Aguilar Ponce

Facultad de CienciasDepartamento de Electrónica

Ecuación del Valor Propio

• Sea A una matriz de n × n, su ecuación de eigenvalor es

xxArr λ=


• El número λ є C, es un eigenvalor o autovalor o valor propio.

• Mientras que el vector x es el eigenvector o autovector o vector propio asociado a λ.

• El espacio nulo de A-λI debe contener vectores diferentes de cero. Por lo tanto, A-λI debe ser singular.

Polinomio Característico y Valor Propio

• Sea A una matriz de n × n y sea λ un escalar. Entonces, el polinomio característico de A se define como

( ) ( )IAp λλ −= det


• Entonces λ0 es un valor propio de A si y solo si

( ) ( )IAp λλ −= det

( ) ( ) 0det 00 =−= IAp λλ

Multiplicidad Algebraica

• Si A es una matriz de n × n con eigenvalores λ1, λ2, …, λm,entonces su polinomio característico p(λ) puede factorizarse como

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mr

m

rrnp λλλλλλλ −−−−= L21

211


• donde r1,…, rm son las multiplicidades algebraicas de los eigenvalores λ1, λ2, …, λm, y cumplen que r1+r2+…+rm = n.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )mp λλλλλλλ −−−−= L211

Polinomio Característico

( )( )

( ) ( )cdadad

cddadc

badet

2

2

−++−=

−+−−=

−−−=

−−

λλλλλ

λλλ

λ


( ) ( )( ) ( )AAtr

bcadda

det2

2

+−=−++−=

λλλλ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )AAtrp nnnndet11 11 ++−+−= −−

Lλλλ

Encontrando los valores y vectores propios

1. Obtener el determinante de A-λI

• Este determinante es un polinomio de grado n, que comienza con λn

2. Encontrar las raíces de este polinomio• Las n raíces son los valores propios de A


• Las n raíces son los valores propios de A

3. Para cada valor propio resolver la ecuación (A-λI)x = 0

• Debido a que el determinante es cero existen soluciones además de x = 0. Estas soluciones son los vectores propios

Propiedades de los Valores Propios

• Sea A una matriz de n× n. La suma de sus nvalores propios es igual a la traza de la matriz.

( ) nnn aaaAtr +++=++= LL 221121 λλλ


• El producto de n valores propios es igual al determinante de A

( ) nnn 221121

( ) ∏=

==n

i

inA1

21det λλλλ L

Espacio propio

• Sea A una matriz de n × n, y sea λ un eigenvalor de A, entonces el subespacio definido por

• es el espacio propio de A correspondiente al eigenvalor

{ } ( )IA�uvvAvE n λλλ −==∈= rrr:C


• es el espacio propio de A correspondiente al eigenvalor λ.

• La multiplicidad geométrica de un eigenvalor λ de una matriz A es la dimensión del espacio propio correspondiente a λ

( )IAE λνλ −=dim

Vectores Propios

• Sea A una matriz de n × n, y sean λ1, λ2, …, λm, valores propios distintos de A con vectores propios correspondientes v1, v2, … , vm. Entonces, v1, v2, … , vm. son linealmente independientes.


• Si A es una matriz de n × n, entonces A tiene n vectores propios linealmente independientes si y solo si la multiplicidad geométrica de cada valor propio es igual a su multiplicidad algebraica.

Diagonalizacion de una matriz

• Sea A una matriz de n × n con n vectores propios linealmente independientes.

• Si estos vectores propios son las columnas de la matriz S, entonces S-1AS es una matriz diagonal Λ.

• Los valores propios de A se encuentran en la diagonal.


=Λ=−

n

ASS

λ

λλ

L

MOMM

L

L

00

00

00

2

1

1

Diagonalizacion de una matriz

• Si la matriz A no tiene valores propios repetidos, i.e. λ1, λ2,…, λn son diferentes, entonces automáticamente son independientes.

• La matriz de diagonalizacion S no es única


• La matriz de diagonalizacion S no es única

• No todas las matrices cuentan con n vectores propios linealmente independientes, por lo tanto no todas las matrices son diagonalizables

Ak

• Los valores propios de Ak son λ1k, λ2

k,…,

λnk y cada vector propio de A sigue

siendo un vector propio de Ak. La S que diagonaliza a A, tambien diagonaliza a Ak


Ak

( )( ) ( ) SASASSASSASS kk 1111 −−−− ==Λ L

Teorema Espectral

• Sea A una matriz simétrica de n × n, cumple que A = AT entonces– Todos los valores propios de A son reales

– Existe una base ortonormal {q1, q2,…,qn} para Rn


– Existe una base ortonormal {q1, q2,…,qn} para Rconsistiendo de los vectores propios de A.

– En otras palabras, existe una matriz ortogonal Qtal que QTAQ = Λ es diagonal

Descomposición Espectral de A

[ ]

=

Λ=Λ= −

T

n

T

T

n

n

T

q

q

q

qqqA

QQQQA

rM

r

r

L

MOMM

L

L

rL

rr 2

1

2

1

21

1

00

00

00

λ

λλ


nn qL00 λ• Esto es llamada la descomposición espectral de A.

• Multiplicar por una matriz simétrica A es lo mismo que realizar una suma ponderada de la proyección en el espacio propio respectivo.

Diagonalización Ortogonal

• Dada una matriz simétrica real A, se puede encontrar una matriz diagonalizante Q tal que QTAQ = Λ de la siguiente manera:– Encontrar una base para cada espacio propio Eλ

de A.– Encontrar una base ortonormal para cada

espacio propio Eλ de A.– Escribir Q como la matriz cuyas columnas son

los eigenvectores obtenidos en el paso anterior.


Vectores Propios Generalizados

• La ecuación del valor propio generalizada es

• Donde M es una matriz definida positiva. Por lo cual puede ser descompuesta en M = RTR

MxAx λ=


lo cual puede ser descompuesta en M = RTR

yACyC

yRyAR

RxRMxAx

T

T

T

λλλλ

====

−1

Rxy =1−= RC

Vectores Propios Generalizados

• Las propiedades de Ax = λMx donde A es simétrica y M es definida positiva son:– Los valores propios de Ax = λMx son reales

porque CTAC es simétrica

– Los valores propios tiene el mismo signo que los


– Los valores propios tiene el mismo signo que los valores propios de A

– CTAC tiene vectores ortogonales yi = Rxi

– A y M son simultáneamente diagonalizadas.

Descomposición de Valores Singulares

• Sea A una matriz de m × n puede ser factorizada en

• Las columnas de U son los vectores propios de

( )( )( )ortogonaldiagonalortogonalVUA T =Σ=


• Las columnas de U son los vectores propios de AAT

• Las columnas de V son los vectores propios de ATA• Los r valores singulares en la diagonal de Σ son las

raices cuadradas de los valores propios de AAT y ATA

Descomposición en Valores Singulares

• U y V proporcionan bases ortonormales para los cuatro subespacios fundamentales– Las primeras r columnas de U: espacio columna

de A– Las ultimas m-r columnas de U: espacio nulo


– Las ultimas m-r columnas de U: espacio nulo izquierdo de A

– Las primeras r columnas de V: espacio renglon de A

– Las ultimas r columnas de V: espacio nulo de A

Formas Cuadráticas

• Una ecuación cuadrática de dos variables sin términos lineales es una ecuación de la siguiente forma

dcybxyax =++ 22


• Una forma cuadrática de dos variables sin términos lineales es una expresión de la siguiente forma

( )

⋅

=++=

y

x

y

x

cb

bacybxyaxyxF

2

2, 22

Teorema de los ejes principales en R2

• Sea

• Una ecuación cuadrática en las variables x y y. Entonces existe un numero único θ en [0,2π) tal que la ecuacion cuadratica se puede reescribir en la forma

dcybxyax =++ 22


• Donde x’ y y’ son los ejes obtenidos al rotar x y y un angulo θ en el sentido contrario a las manecillas del reloj y son llamados ejes principales de la grafica

• Los números a’ y c’ son los valores propios de la matriz A.

dycxa =′′+′′ 22

Teorema de los ejes principales en R2

• La ecuación cuadrática es la ecuación de – Una hipérbola si d ≠ 0 y det A < 0

dvvcb

bavvA =⋅

=⋅ rrrr

2

2


– Una hipérbola si d ≠ 0 y det A < 0– Una elipse, circulo o sección cónica degenerada

si d ≠ 0 y det A > 0– Un par de rectas o una sección cónica

degenerada si d ≠ 0 y det A = 0– Si d = 0 entonces es la ecuación de dos rectas si

det A ≠ 0 y una sola recta si det A = 0

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