Unidad 4 Probabilidades

1

PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA _____________________________________________________________________

Jorge Sueldo/Ángel Vicente Niziolek

UNIDAD 1

PROBABILIDADES Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

UNIDAD 4

2



INTRODUCCIÓN

En esta unidad y para concluir con la tarea de plasmar los primeros

conceptos de Probabilidades y Estadística; desarrollaremos los conceptos

referidos a la probabilidad clásica y frecuencial. Las reglas y los conceptos

generales, hasta la utilización de la regla de Bayes.

Luego se exponen las distribuciones de probabilidad para espacios

muestrales discretos como la distribución uniforme discreta, la Binomial, la

Multinomial, la Poisson, y para espacios muestrales continuos, como la

distribución uniforme continua, la normal y la exponencial.

Trabajar con las tablas permite ahorrar tiempo y esfuerzo, al tiempo que

podemos entender mejor algunos conceptos. Adelante…

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

► Que el alumno luego de conocer los conceptos básicos de probabilidad, los

aplique en distribuciones discretas y/o continuas.

3



CONTENIDOS 4.1. Probabilidades.

4.2. Distribuciones Discretas de Probabilidad.

Uniforme discreta.

Binomial.

Hipergeométrica.

Multinomial.

Poisson.

4.3. Distribuciones Continuas de Probabilidad.

Uniforme continua.

Normal.

Exponencial.

4



Tipos

Dis

trib

uci

on

es

de

pro

bab

ilid

ad

Pueden ser:

Esquema de contenidos

A continuación le presentamos un esquema con vinculación de contenidos.

5



Iniciaremos el recorrido de la cuarta Unidad Didáctica. Le deseamos

mucha suerte.

Comenzamos…

Desarrollo de los contenidos

4.1.PROBABILIDADES

Vamos a describir a la probabilidad como la posibilidad de ocurrencia

de un hecho, la misma mide la frecuencia con la que aparece un resultado

determinado cuando se realiza un experimento.

Por ejemplo: si tiramos un dado y se quiere conocer cual es la probabilidad de

que salga un 5, o que salga un número impar, o de obtener un número mayor que

3.

El experimento tiene que ser aleatorio, es decir, que pueden presentarse

los diversos resultados, dentro de un conjunto posible de soluciones, y esto aún

realizando el experimento en las mismas condiciones. Por lo tanto, en la

probabilidad, a priori no se conoce cual de los resultados se va a presentar:

Por ejemplo: lanzamos una moneda al aire: el resultado puede ser cara o seca,

pero no sabemos de antemano cual de ellos va a salir.

6



► Definiciones:

Espacio Muestral: es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. “S”

Suceso compuesto o evento: es un subconjunto del espacio muestral.

Suceso unitario o evento simple: son cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio

Por ejemplo: Si en una línea de producción se seleccionan 3 artículos que

pueden ser buenos (B) o defectuosos (D), el espacio muestral será:

S = {BBB, BBD, BDB, BDD, DBB, DBD, DDB, DDD}

Si definimos el evento A: al menos un art. es Bueno

A = { BBB, BBD, BDB, BDD, DBB, DBD, DDB}

En las carreras de caballos el “Batalla de Tucumán” es el premio más importante

de la Provincia, puede ganar cualquier caballo entre el número 1 y el 12, pero no

sabemos a priori cual va a ser (si lo supiéramos no estaríamos aquí escribiendo

en este momento).

Existen experimentos que no son aleatorios, razón por la cual no se les puede

aplicar las reglas de la probabilidad.

Si un experimento consiste en lanzar una moneda al aire dos veces, entonces el

espacio muestral estaría formado por S = {(CC), (CS), (SC), y (SS)}.

7



ÁLGEBRA DE CONJUNTOS:

Espacio muestral; S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos: A = {1, 3, 5} B = { 1, 4} C = { 4, 5, 6} D = { 2, 4, 6}

Intersección de eventos: BA {1} es el conjunto de todos los

elementos comunes de A y de B.-

Unión de eventos: CA { 1, 3, 4, 5, 6} es el conjunto de todos los

elementos de A ó de C ó de

ambos.-

Eventos mutuamente excluyentes: DA se da cuando no existen

elementos comunes entre los

eventos.-

Complemento de eventos: cA S – A cA { 2, 4, 6} ; cB { 2, 3, 5,

6}

Es el conjunto de todos los

elementos de “S”, que no están en

el evento respectivo.-

Corolario: cAA S

Idea:

Como hemos comentado anteriormente, la probabilidad mide la mayor o menor

posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso) cuando se realiza un

experimento aleatorio.

8



La probabilidad da como resultados posibles valores entre 0 y 1 (expresados en

tanto por ciento, entre 0% y 100%):

AXIOMAS DE PROBABILIDAD:

1) 0)( P Al suceso imposible (conjunto vacío) le corresponde el valor cero.

Por ejemplo: la probabilidad de que salga el número 7 si lanzamos un dado al aire

es cero (si es un dado normalizado de seis caras).

2) 1)( SP El valor uno corresponde al suceso seguro: lanzamos un dado al aire

y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%).

3) 1)(0 AP En el calculo de probabilidades de un suceso habrá

probabilidades entre cero y uno, que tenderá a la unidad cuanto más probable

sea que dicho suceso tenga lugar.

PROBABILIDAD CLÁSICA O DE LAPLACE:

Uno de los métodos más utilizados define la probabilidad de un suceso como el

cociente entre el número de sucesos favorables y el número de sucesos posibles.

posiblessucesosdeN

favorablessucesosdeNAP

..º

..º)(

9



Veamos algunos ejemplos de probabilidad a priori:

a) La probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 5: el caso favorable

es tan sólo uno (que salga el cinco), mientras que los casos posibles son seis

(puede salir cualquier número del uno al seis). Por lo tanto:

1667,06

1)( AP (lo que sería el 16,67 %)

b) La probabilidad de que al lanzar un dado salga un número impar: en este caso

los casos favorables son tres (que salga el uno, el tres o el cinco), mientras que

los casos posibles siguen siendo seis. Por lo tanto:

50,02

1

6

3)( BP (lo que representaría el 50%)

c) La probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5: en

este caso tenemos cuatro casos favorables (que salga el uno, el dos, el tres o el

cuatro), frente a los seis casos posibles. Por lo tanto:

6667,06

4)( CP (lo que sería el 66,67 %)

d) La probabilidad de que nos toque “La cabeza" de la quiniela: tan sólo un caso

favorable, el número que jugamos, frente a 1.000 casos posibles. Por lo tanto:

001,0000.1

1)( DP (o lo que es lo mismo el 0,1 % ó el 1 ‰).

No olvide que los objetivos de cada Unidad guiarán su estudio haciéndoselo más agradable porque sabe dónde debe (quiere) llegar. Sigamos…

10



Ejemplos

Qué lástima...... parece que, tiene la misma probabilidad el número 452, que el

número 001, pero ¿cuál de ellos comprarías?

Existen dos requisitos para poder aplicar la Regla de Laplace que el

experimento aleatorio tiene que cumplir

El número de resultados posibles (sucesos) tiene que ser finito. Si

hubiera infinitos resultados, al aplicar la regla "casos favorables / casos

posibles" el cociente siempre sería cero.

Todos los sucesos tienen que tener la misma probabilidad. Si al lanzar

un dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras, no

podríamos aplicar esta regla.

Como lo expusimos a la regla de Laplace también se le denomina "probabilidad

a priori", ya que para aplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento

cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismas

probabilidades.

En el caso que el experimento aleatorio no cumple los dos requisitos indicados

vamos a acudir a otro modelo de cálculo de probabilidades que se basa en la

experiencia (modelo frecuencial). Cuando se realiza un experimento aleatorio un

número elevado de veces, las probabilidades de los diversos posibles sucesos

empiezan a converger hacia valores determinados, que son sus respectivas

probabilidades.

Si repito el experimento de lanzar una moneda al aire un número elevado de

veces, lo normal es que las probabilidades de los sucesos "cara" y "cruz" se

vayan aproximando al 50% cada una. Este 50% será la probabilidad de estos

sucesos según el modelo frecuencial.

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En este modelo ya no será necesario que el número de soluciones sea finito, ni

que todos los sucesos tengan la misma probabilidad.

A esta definición de la probabilidad se le denomina “probabilidad a posteriori”,

ya que tan sólo repitiendo un experimento un número elevado de veces

podremos saber cual es la probabilidad de cada suceso.

Cuando el número de ensayos tiende a ∞; la probabilidad frecuencial tiende

a la probabilidad clásica.

Al definir los sucesos hablamos de las diferentes relaciones que pueden guardar

dos sucesos entre sí, así como de las posibles relaciones que se pueden

establecer entre los mismos. Veamos ahora cómo se refleja esto en el cálculo de

probabilidades.

Si un evento puede estar contenido en otro: entonces, la probabilidad

del primer evento será menor que la del evento que lo contiene.

BA )()( BPAP

Por ejemplo, si lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: i) que salga el

número 5, y ii) que salga un número impar. Dijimos que el evento i) está

contenido en el evento ii).

1667,06

1)5( XP

50,06

3)º( imparnP

Podemos apreciar que la probabilidad del evento i), es menor que la probabilidad

del evento ii).

12



Si dos eventos son iguales: las probabilidades de ambos eventos son las

mismas.

Por ejemplo lanzamos un dado al aire y analizamos dos eventos: i) que salga

número par, y ii) que salga múltiplo de 2. En este caso las soluciones coinciden.

50,06

3)º( parnP

50,06

3)..( dosdemultiploP

Intersección de eventos (o evento conjunto): es aquel evento

compuesto por los elementos comunes de los dos o más eventos que se

intersectan. La probabilidad será igual a la probabilidad de los elementos

comunes.

Por ejemplo si lanzamos un dado al aire y analizamos dos eventos: i) que salga

número impar, y i) que sea mayor que 2. La intersección de estos dos eventos

tiene dos elementos: el 3 y el 5.

Su probabilidad será por tanto:

3333,03

1

6

2)( BAP

La probabilidad que ocurran los eventos A y B es de 0,333

Unión de dos o más eventos: la probabilidad de la unión de dos eventos

es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos eventos

que se unen, menos la probabilidad del evento intersección.

)()()()( BAPBPAPBAP

13



Por ejemplo si lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: i) que salga

número par, y ii) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unión estaría

formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6.

S(A) = {2,4,6} S(B) = {4,5,6} S(AB) = {4,6}

P(A) = 3 / 6 = 0,50 P(B) = 3 / 6 = 0,50 3333,06

2)( BAP

6667,03333,0)50,050,0()( BAP

La probabilidad que ocurran los eventos A o B es de 0,6667

Eventos mutuamente excluyentes: la probabilidad de la unión de dos

eventos mutuamente excluyentes será igual a la suma de las

probabilidades de cada uno de los eventos (ya que la intersección es el

conjunto vacío y 0)( P ).

Por ejemplo si lanzamos un dado al aire y analizamos dos eventos: i) que salga

un número menor que 3, y ii) que salga el número 6.

La probabilidad de la unión de estos dos eventos será igual a:

S(A) = {1,2} S(B) = {6} S(AB) =

P(A) = 2 / 6 = 0,333 P(B) = 1 / 6 = 0,166

De donde, 50,01667,03333,0)( BAP

Eventos complementarios: la probabilidad del evento complementario es

igual a )(1)( APAP c

Por ejemplo si lanzamos un dado al aire. el suceso (i) es que salga un número

par, luego su complementario, suceso (ii), es que salga un número impar.

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La probabilidad del suceso (A) es igual a : P(A) = 3 / 6 = 0,50

La probabilidad del suceso (B) es igual a: P(B) = P(A)C = 1 - P(A) = 1 - 0,50 =

0,50

Podemos comprobar aplicando la regla general de "casos favorables / casos

posibles": P(B) = 3 / 6 = 0,50

Unión de eventos complementarios: la probabilidad de la unión de dos

sucesos complementarios es igual a 1.

Si seguimos con el ejemplo anterior: i) que salga un número par, y ii) que salga

un número impar. La probabilidad del evento unión de estos dos será igual a:

P(A) = 6

3 = 0,50 P(B) =

6

3 = 0,50

Por lo tanto: P(A U B) = 0,50 + 0,50 = 1

Algunas veces calcular el número de casos favorables y casos posibles es

complejo y hay que aplicar reglas matemáticas, para ello vamos a diferenciar:

a) Combinaciones:

Determina el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc. elementos que se pueden

formar con los "n" elementos de una nuestra. Cada subgrupo se diferencia del

resto en los elementos que lo componen, sin que importe el orden.

)!!.(

!

rnr

nCrn

Por ejemplo, calcular las posibles combinaciones de 2 elementos que se pueden

formar con los números 1, 2 y 3.

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Se pueden establecer 3 parejas diferentes: (1,2), (1,3) y (2,3). En el cálculo de

combinaciones las parejas (1,2) y (2,1) se consideran idénticas, por lo que sólo se

cuentan una vez.

3)!23!.(2

!323

C combinaciones distintas.

b) Variaciones o Permutaciones de n objetos tomando r a la vez:

Calcula las posibles agrupaciones que se pueden establecer con todos los

elementos de un grupo, por lo tanto, lo que diferencia a cada subgrupo del resto

es que si importa el orden de los elementos (es lo que le diferencia de las

combinaciones).

Ahora tendríamos 6 posibles parejas: (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1) y (3,3). En este

caso los subgrupos (1,2) y (2,1) se consideran distintos.

)!(

!,

rn

nPV rnrn

6)!23(

!323

P permutaciones posibles.

No avance en la lectura si tiene alguna duda, utilice la PLATAFORMA EDUCATIVA para comunicarse con su tutor.

Continuamos…

Recuerde que:

El término " n! " se denomina "factorial de n" y es la multiplicación de todos los

números que van desde "n" hasta 1.

Por ejemplo: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

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Probabilidad condicional:

Las probabilidades condicionales se calculan una vez que poseemos información

adicional a la situación inicial:

)(

)()/(

BP

BAPBAP

con P(B) > 0

Nota: )/( BAP debe leerse “probabilidad de que ocurra A, habiendo antes

ocurrido B”. Es decir, que para calcular una probabilidad condicionada, tuvo

necesariamente que haber ocurrido el otro evento

P (A/B) es la probabilidad de que se de el suceso A condicionada a que se haya

dado el suceso B.

)( BAP es la probabilidad del evento simultáneo (o evento conjunto)de A y de B,

tal como se ha definido antes.

P (B) es la probabilidad a priori del evento B; la que no puede ser igual a cero, ya

que caeríamos en una indeterminación.

Por ejemplo: si se tira un dado sabemos que la probabilidad de que salga un 5

es una en seis (probabilidad a priori). Y si incorporamos nueva información (por

ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un número impar) entonces la

probabilidad de que el resultado sea el 5 ya no es 1/6.

P (A/B) es la probabilidad de obtener el n° 5 (Suceso A) dado que salió un n°

impar.

De donde: P (A B) = 1/6 ; P (B) = ½ ; P (A/B) = 2/1

6/1 = 1/3

Luego, la probabilidad de que salga el número 5, si ya sabemos que ha salido un

número impar, es de 1/3 (mayor que su probabilidad a priori de 1/6).

17



Otro caso: En un estudio pre-laboral se ha llegado a la conclusión de que la

probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios (suceso B) es el

0,10 (probabilidad a priori).

Además, la probabilidad de que una persona sufra problemas de obesidad

(suceso A) es el 0,25 y la probabilidad de que una persona sufra a la vez

problemas de obesidad y coronarios (suceso conjunto de A y B) es del 0,05.

Si queremos calcular la probabilidad de que una persona sufra problemas

coronarios si está obesa (sería la probabilidad condicionada P(B/A)).

P (B A) = 0,05 ; P (A) = 0,25 ; P (B/A) = 0,05 / 0,25 = 0,20

Por lo tanto, la probabilidad condicionada es superior a la probabilidad a priori. No

siempre esto es así, a veces la probabilidad condicionada es igual a la priori o

menor.

La regla de multiplicación de probabilidades deriva de la probabilidad

condicional:

La probabilidad de que se den simultáneamente dos sucesos (suceso

intersección de A y B o suceso conjunto de Ay B) es igual a la probabilidad del

suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B condicionada al

cumplimiento del suceso A.

La fórmula para calcular esta probabilidad compuesta es:

)()./()()./()( APABPBPBAPBAP

Es decir, que la probabilidad de eventos conjuntos es igual a la probabilidad de

ocurrencia de un evento por la probabilidad del otro evento condicionada por el

que ocurrió primero

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Si estudiamos el suceso A (operarios que hablan inglés) y el suceso B

(operarios del sector fábrica) y obtenemos la siguiente información:

Un 50% de los operarios hablan inglés. De los operarios que hablan inglés, un

20% se encuentran en el sector fabrica (suceso B condicionado al suceso A).

Calcular la probabilidad de que un operario hable inglés y sea del sector fábrica

(suceso intersección de A y B).

Tenemos: P (A) = 0,50 ; P (B/A) = 0,20

P (A B) = 0,50 . 0,20 = 0,10

O sea, un 10% de los operarios hablan inglés y trabajan en el sector fábrica.

El teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un evento a partir de probabilidades condicionadas.

La fórmula para calcular esta probabilidad es:

)/().()( ii ABPABP (donde “i” toma valores entre 1 y n)

En otras palabras, la probabilidad de que ocurra el suceso B es igual a la suma

de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con

los diferentes sucesos A, por la probabilidad de cada suceso A. Teniendo en

cuenta que para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un

requisito: los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que

contemplar todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el

100%

El Teorema de Bayes: deriva del principio del Teorema de la probabilidad total,

sigue el proceso inverso al que hemos visto: a partir de que ha ocurrido el suceso

B deducimos las probabilidades del suceso A:

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La fórmula del Teorema de Bayes es:

)(

)(

)/().(

)/().()/(

BAP

BAP

ABPAP

ABPAPBAP

i

i

ii

ii

i

Vamos a intentar explicar este concepto con un ejemplo. De todos modos, antes

de entrar en el ejercicio, recordar que este teorema también exige que el suceso

A forme un sistema completo.

Ejemplo de Bayes: un operario puede desempeñarse en tres sectores de una

empresa:

P (sector 1) = 50% ; P(sector 2) = 30% ; P(sector 3) = 20%

Según los posibles sectores donde se le asigne el trabajo, la posibilidad de que

ocurra un accidente (evento A) es la siguiente:

P(A / sector 1) = 10% ; P(A / sector 2) = 20% ; P(A / sector 3) = 5%

Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la

empresa, no sabemos en que sector ocurrió (S1, S2 o S3). El teorema de Bayes

nos permite calcular estas probabilidades:

Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un

accidente se denominan "probabilidades a priori" (S1 = 50%, S2 = 30% y S3 =

10%).

Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las

probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B),

que se denominan "probabilidades a posteriori". Vamos a calcular algunas

probabilidades.

20



a) La probabilidad de accidente será:

P(A) = P(AS1) + P(AS2) + P(AS3)

Según la fórmula para calcular dos eventos

conjuntos: )()./()()./()( APABPBPBAPBAP

P(A) = P(S1) P(A/S1) + P(S2) P(A/S2) + P(S3) P(A/S3)

P(A) = 0,50 x 0,10 + 0,30 x 0,20 + 0,20 x 0,05 = 0,12

Este resultado debe interpretarse del siguiente modo: la probabilidad de

accidente en esa empresa es 0,12 (12%)

b) La probabilidad que el empleado estuviere trabajando en el sector 1

dado que tuvo un accidente será:

Vamos a aplicar la fórmula:

)/().(

)/().()/(

ii

ii

iABPAP

ABPAPBAP

)05,020,0()20,030,0()10,050,0(

10,050,0)/( 1

ASP = 0,4167

c) La probabilidad que el empleado estuviere trabajando en el sector 2 dado

que tuvo un accidente será:

)05,020,0()20,030,0()10,050,0(

20,030,0)/( 2

ASP = 0,50

21



d) La probabilidad que el empleado estuviere trabajando en el sector 3 dado

que tuvo un accidente será:

)05,020,0()20,030,0()10,050,0(

05,020,0)/( 3

ASP = 0,0833

Independencia de sucesos

Se dice que dos sucesos son independientes entre sí, si la ocurrencia de

uno de ellos no incide para nada a la ocurrencia del otro.

Por ejemplo: el suceso asistencia de los operarios de una fábrica y el color del

pelo son independientes: que un operario falte más o menos a su trabajo no va a

influir en el color de su cabello, ni viceversa.

Para que dos sucesos sean independientes tienen que verificar al menos una de

las siguientes condiciones:

P (B/A) = P (B) es decir, que la probabilidad de B, dado el suceso A, es

exactamente igual a la probabilidad de B.

P (A/B) = P (A) es decir, que la probabilidad de A, dado el suceso B, es

exactamente igual a la probabilidad de A.

P (A B) = P (A) . P (B) es decir, que la probabilidad de que se de el

suceso conjunto A y B es exactamente igual a la probabilidad del suceso A

multiplicada por la probabilidad del suceso B.

Si el suceso A es independiente del suceso B, entonces el suceso B

también es independiente del suceso A.

Por lo tanto, si no se cumple ninguna de las tres condiciones señaladas: los dos

sucesos no son independientes, entonces decimos que existe algún grado de

dependencia o relación entre ellos.

22



Por ejemplo si analicemos dos sucesos: “A” la probabilidad de que haga buen

tiempo es del 0,4 y suceso “B” la probabilidad de salir cara al lanzar una moneda

es del 0,5, si tenemos que la intersección: la probabilidad de que haga buen

tiempo y que salga cara es 0,2, veamos si se cumple alguna de las condiciones

señaladas:

)(5,04,0

2,0

)(

)()/( BP

AP

BAPABP

)(4,0

5,0

2,0

)(

)()/( AP

BP

BAPBAP

2,04,0.5,0)().()( BPAPBAP Son sucesos independientes

4.2 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Definiciones y conceptos

Variable aleatoria: Es aquella cuyos valores surgen asignando números a

los resultados de un experimento aleatorio. Como los valores que asumen las

variables aleatorias surgen de cuantificar eventos, podemos asignar una

probabilidad a cada valor de la variable aleatoria. Es decir, si se tiene una

variable X, cuyos posibles valores X1 , X2 , ........... , Xn , a los cuales

podemos asociarles una probabilidad p1 , p2 , .............. pn , decimos que ha

quedado definida una variable aleatoria.

Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas

Distribuciones discretas

Las distribuciones discretas son aquellas en las que la variable puede

tomar un número determinado de valores, provienen de espacios muestrales

discretos cuya característica principal es que surgen del hecho de contar.

23



Se representan por el conjunto de números enteros, los naturales y el cero, no

admiten en la observación valores de la variable con decimales. Por ejemplo: si

se tira un dado puede salir un número de 1 al 6; en una ruleta el número puede

tomar un valor del 1 al 32; una familia puede no tener hijos (0 hijos) o puede tener

1, 2, 3, …..10 hijos, nunca podrían tener 1,5 hijos.

Como los valores de probabilidad surgen de cuantificar todos los resultados

posibles de un experimento aleatorio, la suma de las probabilidades debe se igual

a uno:

1)(1

n

i

ixp

Función de distribución de probabilidad: para estas variables es una

función que acumula probabilidades de manera similar a las frecuencia

acumuladas en una tabla de frecuencias relativas y se simboliza:

F (u) = P (x u)

Se lee: probabilidad de que la variable tome un valor menos o igual a u.

Distribuciones continuas

Las distribuciones continuas son aquellas que presentan un número infinito de

posibles soluciones, provienen de espacios muestrales continuos cuya

característica principal es que surgen del hecho de medir.

Se representan por el conjunto de números reales, admiten infinitos valores

intermedios como puntos en un segmento de línea, con la particularidad que la

probabilidad que una variable aleatoria continua asuma un valor exacto tiende a

cero. Por ejemplo: el peso medio de los alumnos de una clase puede tomar

24



infinitos valores dentro de cierto intervalo (de 42 a menos de 45 kg, de 45 a

menos de 48, etc.); la esperanza media de vida de una población (72,5 años,

75,13 años, 72, 51234 años).

Al tener la variable infinitos valores, se puede calcular la probabilidad que valores

particulares de la variable aleatoria ocurran dentro de ciertos rangos o intervalos

considerando la función matemática que se conoce con el nombre de función de

densidad de probabilidad: f (x).

Si X es una variable aleatoria continua, cuyo campo de variabilidad es el

intervalo: a x b, siendo a y b dos números reales fijos, la probabilidad en este

intervalo se define:

En las variables aleatorias continuas también se pueden calcular una función

de distribución que acumula probabilidades y se define como:

u

adxxfuFuXaP )()()(

F(u) está representada por el área comprendida entre el eje x, la función de

densidad f(x) y las ordenadas f(a) y f(b), pero también la podemos representar

como la función de probabilidad acumulada; de allí que F(a) = f(a) y F(b) = 1

1)()( b

adxxfbXaP

f(x)

)( bXaP

25



Las distribuciones quedan definidas a través de sus parámetros: esperanza

matemática, varianza y desvío estándar.

No avance en la lectura si tiene alguna duda, utilice la PLATAFORMA

EDUCATIVA para comunicarse con su tutor.

Sigamos…

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

¡No hay aprendizaje sin actividad! Responda las siguientes

consignas.

1. Defina espacio muestral. De al menos un ejemplo

2. ¿Qué implica en probabilidades, obtener un 1 como resultado

3. Cuándo dos eventos son mutuamente excluyentes. De un ejemplo

4. A qué se llama eventos independientes.

26



5. Qué requisito debe darse para que, dados dos eventos, se pueda calcular una probabilidad condicionada.

6. Si dos eventos son independientes, ¿a qué es igual la probabilidad

conjunta de ambos?

4.2.1.- DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

4.2.1.1.- Uniforme discreta:

Cuando la variable aleatoria discreta asume cada uno de sus valores con idéntica

probabilidad la distribución de dicha variable recibe el nombre de distribución

discreta uniforme.

.,,,,´

1);( 21 kxxxxcon

kkxf

Por ejemplo: Si seleccionamos un empleado de un grupo de 8 para supervisar

determinado proyecto, eligiendo aleatoriamente una placa numerada de un box

que contiene 8 fichas numeradas del 1 al 8. ¿Cuál sería la fórmula para la

distribución de probabilidad de X que representa el número de la placa que se

saca?. ¿Cuál sería la probabilidad que el número que se saque sea menor que

6?

.8,,2,1,8

1)8;( xconxf

27



P(x < 6) = P(x ≤ 5) = 625,08

5

8

1

8

1

8

1

8

1

8

1

La media aritmética de una distribución uniforme discreta está dada por:

k

xk

ii

1

La varianza de una distribución uniforme discreta está dada por:

k

xk

ii

2

12

)(

1.4.2.1.2.- Binomial – Proceso de Bernoulli:

El proceso de Bernoulli es aquel modelo que sigue un experimento que se realiza

una sola vez y que puede tener dos soluciones: éxito (acierto) o fracaso:

Cuando es éxito (acierto) la variable toma el valor 1

Cuando es fracaso la variable toma el valor 0

Por ejemplo: Variables dicotómicas como la probabilidad de salir cara al lanzar

una moneda al aire (sale cara o no sale); probabilidad de acertar una quiniela (o

aciertas o no aciertas), o dicotomizadas probabilidad de ser admitido en una

universidad (o lo admiten o no lo admiten).

Al hablar de dos soluciones únicamente se trata de sucesos

complementarios:

A la probabilidad de éxito se le denomina "p"

A la probabilidad de fracaso se le denomina "q" = 1 - p

28



Verificándose que: p + q = 1

Veamos algunos ejemplos:

a) Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire:

P (cara) = p = 0,5

P (cruz) = q = 0,5 p + q = 0,5 + 0,5 = 1

b) Probabilidad de ser admitido en la universidad:

P (admitido) = p = 0,25

P (no admitido) = q = 0,75 p + q = 0,25 + 0,75 = 1

c) Probabilidad de acertar a la quiniela:

P (acertar) = p = 0,001

P (no acertar) =q = 0,999 p + q = 0,001 + 0,999 = 1

La distribución de Bernoulli se aplica cuando se realiza una sola vez un

experimento que tiene únicamente dos posibles resultados (éxito o fracaso), por

lo que la variable sólo puede tomar dos valores: el 1 y el 0

.14.2.1.3.- Distribución discreta binomial:

La distribución binomial parte de la distribución de Bernoulli:

La distribución binomial se aplica cuando se repite un número "n" de veces el

experimento de Bernoulli, siendo cada ensayo independiente del anterior. La

variable puede tomar valores entre:

29



0: si todos los experimentos han sido fracaso

n: si todos los experimentos han sido éxitos

En general, las condiciones que debe cumplir son:

El experimento consiste en n intentos repetidos.

Los resultados de cada uno de los intentos pueden clasificarse como

un éxito o como un fracaso.

La probabilidad de éxito, representada por p, permanece constante

para todos los intentos.

Los intentos repetidos son independientes.

La distribución de probabilidad para este tipo de distribución basada en

experimentos de Bernoulli, donde estudiamos el comportamiento de la variable

aleatoria binomial X, el número de éxitos en n experimentos independientes,

sigue el siguiente modelo:

knk

kn qpCkxP ..)( con k = 0,1,2,…,n

Recuerde que:

)!!.(

!

knk

nCkn

Ejemplo de distribución binomial. En cierto sector de una empresa el 75% de

los accidentes se deben a la falta de señalización adecuada ¿Cuál es la

30



probabilidad de que dentro de los próximos 8 accidentes, exactamente 4 se

deban a la falta de señalización?

"k" es el número de éxitos. En este ejemplo " k " igual a 4 (en cada éxito decimos

que la variable toma el valor 1: como son 4 éxitos, entonces k = 4)

"n" es el número de intentos. En el caso planteado n = 8

"p" es la probabilidad de éxito, es decir, que los accidentes de deban a la falta de

señalización adecuada. Por lo tanto p = 0,75

La fórmula quedaría: 08652,025,0.75,0.)!48!.(4

!8)4( )48(4

xP

O sea, que la probabilidad de que 4 de los próximos 8 accidentes se deban a la

falta de señalización es del 8,652%.

31



A nuestro problema también lo solucionamos con el Excel, vamos a insertar función:

Elegimos en seleccionar una categoría de funciones, a las estadísticas, y dentro

de las estadísticas, escogemos a la DISTR.BINOM.

Ingresamos la información del problema y listo. P(X=4) = 0,086517334

http://www.monografias.com/trabajos15/estadistica/estadistica.shtml

http://www.monografias.com/trabajos7/sisinf/sisinf.shtml

32



En una distribución binomial, tenemos que:

Continuando con el ejemplo anterior si queremos conocer ¿Cuál es la

probabilidad de que menos de 4 accidentes se deban a la razón antes indicada?

33



En este caso nos pide P(x<4) al ser una variable discreta sería:

P(x ≤ 3) = P(x=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)

Lo podemos obtener directamente de la tabla acumulada (ver anexo tablas

estadísticas) F(3) = 0,0273

1.4.2.1.4.- Poisson – Experimentos de Poisson:

Cuando la variable aleatoria X representa el número de resultados durante un

intervalo de tiempo dado o una región específica nos encontramos frente a

experimentos de Poisson.

Generalmente cuando en una distribución binomial se realiza el experimento un

número "n" muy elevado de veces y la probabilidad de éxito "p" en cada ensayo

es reducida, entonces se aplica el modelo de distribución de Poisson.

El proceso de Poisson tiene las siguientes características:

El número de ocurrencias en dos intervalos de tiempo disjuntos son

independientes.

La probabilidad de exactamente una ocurrencia en un intervalo de tiempo

muy pequeño es proporcional a la longitud del intervalo y no depende del

intervalo en particular.

La probabilidad de tener más de una ocurrencia en un intervalo de tiempo

particular muy pequeño es despreciable.

No olvide que los objetivos de cada Unidad guiarán su estudio haciéndoselo más agradable porque sabe dónde debe (quiere) llegar. Sigamos…

34



La distribución de probabilidad para este tipo de distribución basada en

experimentos de Poisson, donde estudiamos la variable aleatoria binomial X, el

número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo dado o en una

región específica, sigue el siguiente modelo:

!

)(.)(

k

tekxP

kt con k = 0,1,2,…,n

t t 2

Recuerde que:

e = 2,71828…

t = es el número promedio de resultados por unidad de tiempo o región.

“k " es el número de éxito cuya probabilidad se está calculando

Ejemplo de Poisson: Si en promedio, llegan tres operarios por minuto al servicio

de comidas de la fábrica durante la hora del almuerzo.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto dado, lleguen exactamente dos

operarios? Y

Datos: t = 3 operarios por minuto

K = 2

224,0!2

)3(.)2(

23 exP

O sea, que la probabilidad de que lleguen exactamente 2 operarios es del 22,4%.

35



Para resolver esto utilizado Excel. De las funciones estadísticas, seleccionamos

la función POISSON.

Ingresamos la información que tenemos: y listo, tenemos el resultado:

P(X=2) = 0,2240

36



Continuando con el ejemplo:

b) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen más de dos operarios en un minuto

dado?

P(X>2) = ?

Con el Excel encontraremos P(X ≤ 2) y hacemos el siguiente cálculo:

P(X > 2 ) = 1 - P(X ≤ 2)

Entonces:

P(X>2) = 1 – 0,4232 = 0,5768

http://www.monografias.com/trabajos7/caes/caes.shtml

37



Utilizando nuevamente el Excel:

► Lea atentamente el siguiente concepto:

Algunas veces nos encontramos con muestras de tamaño bastante grande y con

probabilidades de éxito, a las que hemos llamado p, muy pequeñas. En estos

casos, la distribución de Poisson resulta apropiada para obtener una buena

aproximación al resultado que se obtendría si se aplicara la distribución binomial.

38



En general, se usa como regla que cuando n 30 y además n.p < 5 ó n.q < 5,

se puede obtener de la distribución de Poisson aproximaciones apropiadas a la

distribución binomial.

Cuando se utiliza la distribución de Poisson para aproximar el modelo binomial,

los parámetros se definen como:

pnXE )( 2

Ejemplo: La probabilidad de tener un accidente de tránsito es de 0,02 cada vez

que se viaja. Si se realizan 200 viajes, ¿cuál es la probabilidad de tener

exactamente 3 accidentes?

Como la probabilidad p es menor que 0,1, y el producto n.p es menor que 5,

entonces aplicamos el modelo de distribución de Poisson.

!3

4.)3(

34 eXP

Luego, P (x = 3) = 0,1953

Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes de tráfico en 200 viajes es del

19,53%

1.4.2.1.5.- Hipergeométrica:

Las distribución hipergeométrica es el modelo que se aplica cundo tenemos k

éxitos en un total de N experimentos posibles, del siguiente tipo:

Son experimentos donde, al igual que en la distribución binomial, en cada ensayo

hay tan sólo dos posibles resultados: éxito o fracaso. Pero se diferencia de la

distribución binomial en que los distintos ensayos son dependientes entre sí:

39




Continuamos…

Si en un proceso de selección del personal con 5 postulantes experimentados y 3

novatos, si en un primer ensayo saco un experimentado, en el segundo ensayo

hay un postulante experimentado menos por lo que las probabilidades son

diferentes (hay dependencia entre los distintos ensayos).

Un experimento hipergeométrico tiene las siguientes características:

Una muestra aleatoria de tamaño n se selecciona sin reemplazo de un

total de N unidades totales.

k unidades del total N pueden clasificarse como éxitos y N-k como

fracasos.

La distribución de probabilidad basada en experimentos Hipergeométricos, donde

estudiamos la variable aleatoria hipergeométrica X, el número de éxitos en una

muestra aleatoria de tamaño n seleccionada de N resultados posibles, de

los cuales k son éxitos y N-k fracasos, sigue el siguiente modelo:

nN

xnkNxk

C

CCknNxhxXP

.),,;()( con k = 0,1,2,…,n

Tener en cuenta que:

N

kn.

40



)1.(..1

2

N

k

N

kn

N

nN

Ejemplo de hipergeométrica: en una reunión hay 20 personas: 14 invitados y 6

de la casa. Se eligen 3 personas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que las 3

sean de la casa?

0175,0.

)3(320

01436 C

CCxP

Por lo tanto, P (x = 3) = 0,0175. Es decir, la probabilidad de que las 3 personas

sean de la casa es sólo del 1,75%.

Para resolver esto utilizado Excel. De las funciones estadísticas, seleccionamos

la función DISTR.HIPERGEOM.

41



Ingresamos la información que tenemos: y listo, tenemos el resultado:

P(X=3) = 0,0175

42



► Lea atentamente los siguientes conceptos:

Una distribución binomial se detecta por los datos n intentos, p

probabilidad:

Una distribución poisson se detecta por los datos t

Una distribución hipergeométrica se detecta por los datos k éxitos, N-K

fracasos.

43



1.4.2.1.6.- Multinomial:

La distribución multinomial es similar a la distribución binomial, con la diferencia

de que en lugar de dos posibles resultados en cada ensayo, puede haber

múltiples resultados:

.......!...!.!.

!,...),(

3

3

2

2

1

1

321

3322,11

xxxppp

xxx

nxXxXxXP

Por ejemplo: En una exposición, el 20% de los asistentes son españoles, el 30%

franceses, el 40% italiano y el 10% portugueses. En un pequeño grupo se han

reunido 4 invitados: ¿cual es la probabilidad de que 2 sean españoles y 2

italianos?

Aplicando el modelo:

0384,01,0.4,0.3,0.2,0.!0!.2!.0!.4

!4)0,2,02( 0202

432,1 XXXXP

Por lo tanto, la probabilidad de que el grupo esté formado por personas de estos

países es tan sólo del 3,84%.

1.4.2.1.7.- Hipergeométrica multivariada:

Es similar a la distribución hipergeométrica, con la diferencia de que en la urna,

en lugar de haber únicamente elementos de dos colores, hay de diferentes

colores.

La distribución hipergeométrica multivariada sigue el siguiente modelo:

nN

xNXNxN

C

CCCxXxXxXP

.....,...),( 33221 1

3322,11

Ejemplo: Si en un refrigerador hay 12 envases de refrescos de los cuales son 3

de manzana, 5 de naranja y 4 de uva, ¿cual es la probabilidad de que al surtir un

44



pedido de 7 envases tomados al azar 2 sean de manzana, 4 de naranja y 1 de

uva?

712

344523)13,42,21(C

CCCXXXP

= 0,0758

La probabilidad que el pedido sea surtidos con 2 envases de manzana, 4 de

naranja y uno de uva es de 7,58%



consignas.

1. Proporcione ejemplos de espacios muestrales discretos

2. Proporcione ejemplos de espacios muestrales continuos

Si finalizó con la tarea, continúe con la lectura.

45



4.2.2.- DISTRUBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD

4.2.2.1.- Uniforme continua:

La distribución uniforme es aquella que puede tomar cualquier valor dentro

de un intervalo, todos ellos con la misma probabilidad.

Es una distribución continua porque puede tomar cualquier valor y no

únicamente un número determinado (como ocurre en las distribuciones

discretas). La función de densidad, aquella que nos permite conocer la

probabilidad que tiene cada punto del intervalo, viene definida por:

1)(xf , con x <

Podemos ejemplificar diciendo: el precio medio del litro de gasoil durante el

próximo año se estima que puede oscilar entre 2,40 y 3,60 $. Podría ser, por

tanto, de 2,43 $, o de 2,434 $, o de 2,4345 $, o de 2,43455 $, etc. Hay infinitas

posibilidades, todas ellas con la misma probabilidad.

1)(xf , con x <

Donde: : es el extremo superior (en el ejemplo, 3,60 $)

: es el extremo inferior (en el ejemplo, 2,40 $)

Por lo tanto, la función de distribución del ejemplo sería:

8333,020,1

1

40,260,3

1)(

xf

46



Es decir, que el valor final esté entre 2,40 $ y 2,50 $ tiene un 8,33% de

probabilidad, que esté entre 2,50 y 2,60, otro 8,33%, etc.

El valor medio de esta distribución se calcula:

2)(

xE

$00,32

60,340,2

Por lo tanto, el precio medio esperado del gasoil para el próximo año es de $ 3,00

La varianza en una distribución uniforme continua será:

12

)()(

22

xVAR

22

2 $12,012

)40,260,3(



consignas.

1. ¿Cómo será la gráfica de una distribución uniforme continua?

47



2. En este caso ¿es lo mismo P (X< 6 ) que P(X ≤ 6), por qué?

Si finalizó con la tarea, continúe con la lectura.

4.2.2.2.- Normal:

La teoría de probabilidades se basa en el estudio de este tipo de distribuciones,

es el modelo de distribución más utilizado en la práctica, ya que una multitud de

fenómenos se comportan según una distribución normal.

Esta distribución de caracteriza porque los valores se distribuyen formando una

campana de Gauss, en torno a un valor central que coincide con el valor medio

de la distribución

Distribución normal

Valor medio

La función de densidad de la variable aleatoria normal X, con media μ y

varianza σ2, es:

2)(2

1

..2

1)(

x

exf

48



Donde ...14159,3 y e = 2,71828…

A no asustarse la aplicación en la práctica es de cálculo sencillo, utilizando

la tabla de la distribución normal.

Características de la Distribución Normal:

La Moda, que es el punto donde la curva tiene su máximo valor, sobre el

eje horizontal, ocurre en x = μ.

La curva es simétrica respecto de su eje vertical donde tiene la media μ.

La curva posee sus puntos de inflexión en x = μ ± σ, entonces es cóncava

hacia abajo si μ - σ < X < μ + σ y es cóncava hacia arriba en cualquier otro

punto.

La curva normal es asintótica en cualquiera de las dos direcciones

alejándose de la media, se acerca al eje horizontal, sin tocarlo.

El área total bajo la curva y por encima del eje horizontal es igual a uno.-

La distribución normal viene definida por dos parámetros:

X ~ N (μ , σ2)

μ: como ya lo expusimos es el valor medio de la distribución y precisamente allí

es donde se sitúa el centro de la curva (de la campana de Gauss).

σ 2 : es la varianza, indica si los valores están más o menos alejados del valor

central: si la varianza es baja los valores están próximos a la media; si es alta,

entonces los valores están muy dispersos.

Cuando la μ = 0 y σ = 1 se denomina normal estándar, y su ventaja reside en

tablas donde se recogemos la probabilidad acumulada para cada punto de la

curva. Además, toda distribución normal se puede transformar en una normal

estándar empleando una fórmula de transformación

49



Para transformarla en una normal estándar se crea una nueva variable (Z) que

será igual a la anterior (X) menos su media y dividida por su desviación estándar

(que es la raíz cuadrada de la varianza).

XZ

Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada, permitiéndonos,

por tanto, conocer la probabilidad acumulada en cada valor: Z ~ N (0, 1)

Trabajar con la distribución normal estándar tiene la ventaja, de que las

probabilidades o áreas para cada valor bajo la curva se encuentran en una tabla.

Por ejemplo: tenemos una variable aleatoria que sigue el modelo de una

distribución normal conμ= 10 y σ2 = 4. Transformarla en una normal estándar. X

~ N (10, 4)

XZ

2

10

XZ

Distribuciones Normal Estándar

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5723

0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517

0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7090 0,7224

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549

0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7813 0,7852

0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133

50



0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0 0,8416 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830

1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015

1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319

1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545

1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633

1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706

1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2,0 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,98030 0,98077 0,98124 0,98169

2,1 0,98214 0,98257 0,98300 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,98500 0,98537 0,98574

2,2 0,98610 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,98899

2,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,99010 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,99158

2,4 0,99180 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 0,99343 0,99361

2,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,99430 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 0,99506 0,99520

2,6 0,99534 0,99547 0,99560 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 0,99632 0,99643

2,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711 0,99720 0,99728 0,99736

2,8 0,99744 0,99752 0,99760 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,99807

2,9 0,99813 0,99819 0,99825 0,99831 0,99836 0,99841 0,99846 0,99851 0,99856 0,99861

Metodología de trabajo de la Tabla Normal:

La columna de la izquierda indica el valor estándar Z (entero y primer decimal)

cuya probabilidad acumulada queremos conocer. La fila superior nos indican el

segundo decimal del valor que estamos consultando.

Por ejemplo: si queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 1,88.

Entonces buscamos en la columna de la izquierda el valor 1,8 y en la primera fila

el valor 0,08. La casilla donde se intersectan es su probabilidad acumulada

(0,9699, es decir 96,99 %).

51



Nota: la tabla nos da probabilidades acumuladas, es decir, la que va desde el

inicio de la curva por la izquierda hasta dicho valor. No nos da la probabilidad

concreta en ese punto. En una distribución continua en el que la variable puede

tomar infinitos valores, la probabilidad en un punto concreto es prácticamente

despreciable.

Ejemplo Tabla Normal 1:

La probabilidad acumulada en el valor Z = 0,85: la respuesta es 0,8023



Ejemplo Tabla Normal 2:

El tiempo medio que los empleados de una empresa trabajan en una maquina en

particular, se distribuye según una distribución normal, con media 5 hs. y

desviación estándar de 1 hs. Calcular el porcentaje de empleados que trabajan

menos de 7 hs. en la máquina.

Lo primero que vamos a hacer es transformar esa distribución en una normal

estándar, para ello se crea una nueva variable (Z) que será igual a la anterior (X)

menos su media y dividida por la desviación estándar:

52



Recuerde que:

XZ en nuestro ejemplo será 2

1

57

Z

Esta nueva variable Z se distribuye como una normal estándar. Ahora podemos

consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a la

probabilidad de empleados que trabajan menos de 7 hs. en la máquina). Esta

probabilidad es 0,97725 o sea que el porcentaje de empleados que trabajan

menos de 7 hs. en la máquina es del 97,725%.

- EJERCICIOS RESUELTOS-

I.- La renta media de los habitantes de un país es de 40.000 $/año, con una

varianza de 150 millones de pesos. Se supone que se distribuye según una

distribución normal. Calcular:

a) Porcentaje de la población con una renta inferior a 30 mil $; Lo primero que

hacemos es estandarizar los valores:

XZ en nuestro ejemplo será 8165,0

45,12247

4000030000

Z

(*) Recordemos que el denominador es la desviación estándar (raíz cuadrada de la varianza)

El valor de Z equivalente a 30 mil $ es -0,816, o sea P (X < 30) = P (Z < -0,8165)

Ahora tenemos que buscar cuál es la probabilidad acumulada hasta ese valor. Si

bien la tabla de sólo abarca valores positivos, este problema tiene fácil solución,

ya que la distribución normal es simétrica respecto al valor medio.

53



Entonces P (Z < -0,8165) = P (Z > 0,8165)

Como la probabilidad que hay de un valor hacia delante es igual a 1 (100%)

menos la probabilidad acumulada hasta dicho valor:

P (Z> 0,8165) = 1 - P (Z < 0,8165) = 1 - 0,7925 = 0,2075

De donde, el 20,75% de la población tiene una renta inferior a 30 mil $.

b) Renta a partir de la cual se sitúa el 10% de la población con mayores ingresos.

Vemos en la tabla el valor de la variable Z cuya probabilidad acumulada es el 0,9

(90%), lo que quiere decir que por encima se sitúa el 10% superior.

Ese valor corresponde a Z ≈ 1,282. Ahora calculamos la variable normal X

equivalente a ese valor de la normal estandarizada:

ZX en nuestro ejemplo será 23,701.5545,12247.282,140000 X

De donde, aquellas personas con ingresos superiores a 55.701,23 $ constituyen

el 10% de la población con renta más elevada.

c) Ingresos mínimo y máximo que encierra al 60% central de la población.

Buscamos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad

acumulada es el 0,8 (80%). Como tenemos el 60% al centro, a cada lado queda

un 20%, hasta la media la probabilidad acumulada es del 50%, quiere decir que

entre la media y este valor de Z hay un 30% de probabilidad.

54



Por otra parte, al ser la distribución normal simétrica, entre -Z y la media hay otro

30% de probabilidad. En definitiva, el segmento (-Z, Z) encierra al 60% de

población con renta media.


Continuamos…

El valor de Z que acumula el 80% de la probabilidad es aproximadamente 0,842,

por lo que el segmento viene definido por (-0,842, +0,842). Ahora calculamos los

valores de la variable X correspondientes a estos valores de Z.

Los valores de X son 29.687,65 y 50.312,35. Por lo tanto, las personas con

ingresos superiores a 29.687,65 $ e inferiores a 50.312,35 $ constituyen el 60%

de la población con un nivel medio de ingresos.

II.- La vida media de los habitantes de un país es de 68 años, con una varianza

de 25. Se hace un estudio en una pequeña ciudad de 10.000 habitantes:

a) ¿Cuántas personas superarán previsiblemente los 75 años?

Calculamos el valor estándar de la normal equivalente a 75 años

4,15

6875

Z

Por lo tanto P (X > 75) = P (Z > 1,4) = 1 - P (Z < 1,4) = 1 - 0,9192 = 0,0808

De aquí que el 8,08% de la población (808 habitantes) vivirán más de 75 años

55



b) ¿Cuántos vivirán menos de 60 años?

Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 años

6,15

6860

Z

Por lo tanto P (X < 60) = P (Z < -1,6) = P (Z > 1,6) = 1 - P (Z < 1,6) = 0,0548

Entonces, el 5,48% de la población (548 habitantes) no llegarán probablemente a

esta edad.


¡No hay aprendizaje sin actividad!

EJERCICIOS PROPUESTOS:

III.- El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de un país es de 59

litros, con una varianza de 36. Se supone que se distribuye según una

distribución normal.

a) Si usted presume de buen bebedor, ¿cuántos litros de cerveza tendría que

beber al año para pertenecer al 5% de la población que más bebe?

56



b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al año y su mujer le califica de borracho

¿qué podría argumentar en su defensa?

IV.- A un examen de admisión se han presentado 2.000 aspirantes. La nota

media ha sido un 5,5, con una varianza de 1,5.

a) Tan sólo hay 100 plazas. Usted ha obtenido un 7,7. ¿Sería oportuno ir

organizando una fiesta para celebrar su éxito?

b) Va a haber una 2ª oportunidad para el 20% de notas más altas que no se

hayan clasificados. ¿A partir de que nota se podrá participar en este repechaje?

57



Recuerde la importancia de elaborar un cuadro resumen que lo ayude a la interpretación del contenido. Responda ahora a las siguientes consignas.

1. ¿Cuáles son las características de una curva normal?

2. ¿Qué se entiende por el proceso de estandarización?

Continuamos…

4.3.3.- Exponencial:

A pesar de que la distribución Normal puede utilizarse para resolver muchos

problemas en ingeniería y ciencias, existen aún numerosas situaciones que

requieren diferentes tipos de funciones de densidad, tales como la exponencial y

la gamma y algunas otras como la weibull, etc., etc., en este modulo solo

trataremos sobre el uso de la exponencial.

La distribución exponencial es un caso especial de la distribución gamma, ambas

tienen un gran número de aplicaciones. Las distribuciones exponencial y gamma

juegan un papel importante tanto en teoría de colas como en problemas de

confiabilidad. El tiempo entre las llegadas en las instalaciones de servicio y el

tiempo de falla de los componentes y sistemas eléctricos, frecuentemente

involucran la distribución exponencial. La relación entre la gamma y la

exponencial permite que la distribución gamma se utilice en tipos similares de

problemas.

58



La variable aleatoria x tiene una distribución exponencial, con parámetro , si su

función de densidad es:

x

xxf

.1

)( , con x>0 . f(x) = 0 en cualquier otro caso.

donde 0

La media y la variancia de la distribución exponencial son:

y 2 2

La media de la distribución exponencial es el parámetro , el recíproco del

parámetro en la distribución de Poisson. Como mencionamos oportunamente se

dice con frecuencia que la distribución de Poisson no tiene memoria, lo cuál

implica que las ocurrencias en períodos de tiempo sucesivos son independientes.

Aquí el parámetro importante es el tiempo promedio entre eventos. En teoría

de la confiabilidad, donde la falla de un equipo concuerda con el proceso de

Poisson, recibe el nombre de tiempo promedio entre fallas. Muchas

descomposturas de equipo siguen el proceso de Poisson, y entonces la

distribución exponencial es aplicable.

En el siguiente ejemplo se muestra una aplicación simple de la distribución

exponencial en un problema de confiabilidad. La distribución binomial también

juega un papel importante en la solución.

Ejemplo 1) Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo

tiempo de falla en años está dado por la variable aleatoria T, distribuida

exponencialmente con tiempo promedio de falla 5. Si 5 de estos

59



componentes se instalan en diferentes sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que

al menos 2 continúen funcionando después de 8 años?

La probabilidad de que un determinado componente esté funcionando aún

después de 8 años es:

2,0.5

1)8( 5

8

8

5

edtexP

t

donde la integral se evalúa desde 8 hasta .

Si x representa el número de componentes funcionando después de 8 años.

Entonces mediante la distribución Binomial,

n = 5

p = 0.20 = probabilidad de que un componente esté funcionando después de 8

años

q = 1-p = 0.80 = probabilidad de que un componente no funcione después de 8

años

P(x 2 ) = P (x=2) + P (x=3) + P (x=4)+ P (x=5) = 1 – P (x = 0, 1)

2627,007373,1})8,0()2,0()8,0()2,0({1 41

15

50

05 CC

Ejemplo 2) El tiempo que transcurre antes de que una persona sea atendida en

una cafetería es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con

una media de 4 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea

atendida antes de que transcurran 3 minutos en al menos 4 de los 6 días

siguientes?

60



5276,01.4

1)3( 4

3

4

13

0

.4

1

edteTPt

la integral se evalúa de 0 a 3

Si x es el número de días en que un cliente es atendido antes de que transcurran

3 minutos x = 0, 1, 2,...,6 días

p = probabilidad de que un cliente sea atendido antes de que transcurran 3

minutos en un día cualquiera = 0,5276

q = probabilidad de que un cliente no sea atendido antes de que transcurran 3

minutos en un día cualquiera = 1- p = 0,4724

})4724,0()5276,0()4724,0()5276,0( 06

66

15

56 CC 0,11587 + 0,02157 = 0,13744

Consulte a su tutor por intermedio de la PLATAFORMA EDUCATIVA

INTERACTIVA.


¡No hay aprendizaje sin actividad!

En una investigación sobre la cantidad de visitantes que utilizarán los sistemas de elevación de autosillas, se considera que sigue una distribución normal, con media de 30 visitantes hora con una desviación estándar de 5 horas:

7. ¿Podríamos obtener que probabilidad hay de que utilicen el sistema menos de 35 visitantes, como?

61



8. ¿Y más de 35 visitantes, como lo haría?

9. El gerente nos pregunta que valores encierra el 80% central, como lo calculamos?

10. ¿Y para conocer el valor por encima del cual se encuentra el 5% de mayor concurrencia?

¡Si obtuvimos los valores necesarios del ejemplo planteado, es que la herramienta está comenzando a sernos útil, afiancemos los conceptos más importantes y habremos maximizado nuestros conocimientos. Recuerde la importancia de elaborar un cuadro resumen que lo ayude a la interpretación del contenido. Responda ahora a las siguientes consignas.

1. Cuántos tipos de distribuciones de probabilidad conoce, y qué las

diferencia: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _

2. La exponencial es una distribución _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ , _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _

62



3. La media y la varianza son iguales en la distribución de _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _

4. Cómo se determina si una variable aleatoria tiene distribución normal o no: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _._ _ _ _ _

5. ¿Cómo expondría un ejemplo de una distribución uniforme continua _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _._ _ _

_ _ _ _ _

6. Si utilizamos la distribución multinomial es porque estamos en presencia

de:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _

7. Si la variable aleatoria X solo puede tomar valores enteros, entonc x es un número entero.

8. Al hablar de k éxitos y N-k fracasos ¿A qué distribución nos estamos

refiriendo? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _

9. Exponga la fórmula que utilizamos para el proceso de estandarización: _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _

10. ¿Qué condiciones debe cumplir una distribución para aplicar lo del

punto anterior? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

63



BIBLIOGRAFIA

1. BERENSON Mark y LEVINE David, Estadística Básica en Administración.

Conceptos y Aplicaciones. 6ª Edición. – Pearson -Prentice-Hall (2006)

2. VALIENTE, Stella Maris – PASCUAL, Mónica. “Temas de Estadística y

Probabilidades”. Edición de las autoras. Bs. As., Mar del Plata. 1999

3. MONTGOMERY, DOUGLAS –RUNGER, GEORGE C. "Probabilidad y

Estadística Aplicadas a la Ingeniería" (2ª. Ed) McGraw-Hill. 2003.

4. MILTON,J SUSAN & ARNOLD,JESSE C “Probabilidad Y Estadistica con

aplicaciones para ingeniería y ciencias computacionales”(Editorial McGraw-

Hill) (4ª edición - 2004).

5. WALPOLE-MYERS. “Probabilidad y Estadística " McGRAW-HILL. 1992

6. JAY. L. DEVORE “Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias” (Paraninfo)

7. MEYER, Paul L. "Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas". De. Fondo

Educativo Interamericano. México. 1.986.

8. CRAMER, Harold. “Teoría de Probabilidades y Aplicaciones" De. Aguilar -

Madrid 1966

9. CRISTOFOLLI MARIA Y BELLIARD MATÍAS, Manual de Estadística con

Excel, Omicron System S.A. (2003)

10. FREEMAN, Howard G. " Introducción a la Teoría Matemática de las

Probabilidades y a la Estadística”. De. Mc. Graw-Hill. México. 1.993.

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RESUMEN DE LA UNIDAD DIDÁCTICA

El análisis y la interpretación, constituyen los eslabones necesarios para

obtener los indicadores de un conjunto de datos que nos provee la estadística,

herramienta de gran utilidad para distintas ramas del estudio de los hechos.

Cuando calculamos una media poblacional o muestral, la interpretamos y luego

observamos si existe mucha o poca variabilidad respecto de ella, ya tenemos

indicadores resúmenes de estos conjuntos de datos.

Con el agregado de la Asimetría, ya podemos concluir acerca del análisis

de este conjunto de datos a los cuales sumados la interpretación, tenemos

información para ser presentada a terceros.

CONCLUSIÓN

Estimado alumno: En este módulo, se ha plasmado, lo

que creemos que es lo mínimo que debe conocer un

profesional de Seguridad de Higiene Laboral sobre su

principal objeto de trabajo...

Queda como inquietud individual, la profundización de

estos conocimientos por medio de la bibliografía

sugerida o la constante actitud atenta a lo largo de los

años de actividad que les espera.

No obstante, debemos recordar, que la Estadística está

siempre presente desde el primer acto de nuestro día:

me abrigo hoy porque hay probabilidad que haga

frío????

...Y tal vez por ello es que creemos tan importante, el

uso de la herramienta, para discernir acerca de que

camino elegir.

La formación que buscamos debe aplicarse al servicio

del ser humano, nuestro prójimo, en vías de lograr sus

anhelos y felicidad.

Si logramos comprender ésto, estamos construyendo

un futuro mejor.

C.P.N. Vicente Niziolek

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Aprovechen este material para el que hemos trabajado, buscando explicitar de la

manera más clara conceptos, ideas y ejemplos de la herramienta más usada por

el hombre en todas las ciencias: LA ESTADÍSTICA.

Hemos llegado al final del MÓDULO “PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA”. ¡¡¡ Suerte y éxitos!!!

Para Reflexionar:

"La confianza en uno mismo y la rápida decisión son el preludio del éxito".

José Marti, escritor cubano

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Unidad 4 Probabilidades