Unidad 5 Geometría

Unidad 5 Geometría

Sección 1 Elementos básicos de línea y ángulo

Clase 1 Punto, recta, segmento, rayo y plano

P1 a. Trace posibles líneas rectas que pasen sólo por el punto A.

b. Trace una línea recta que pase por los puntos A y B.

S1 a. Existen varias líneas rectas que pasan por el punto A.

b. Sólo existe una línea recta que pasa por los puntos A y B.

C1 A una línea recta que pasa por los puntos A y B y se extiende indefinidamente

se le llama recta AB, y se simboliza como 𝐀𝐁 ⃡ .

A la parte delimitada entre los dos puntos extremos A y B por la distancia más corta

se le llama segmento AB, y se simboliza como 𝐀𝐁.

A una recta que se alarga infinitamente desde el punto extremo A

se le llama rayo AB, y se simboliza como 𝐀𝐁 .

E1 Trace una recta, segmento o rayo, según sea requerido en cada inciso.

a. AB

b. CD

c. ST ⃡

P2 ¿Cuántos puntos mínimos se necesitan para formar un plano?

S2 Si existen 3 puntos diferentes no alineados en una misma recta, se forma un plano.

C2 Un plano se forma con tres puntos no alineados en una misma recta.

E2 ¿En qué inciso se forma un plano con los puntos dados?

a. b. c.

Unidad 5 Geometría


Clase 2 Medida del ángulo

P Mida con el transportador un ángulo como indica la figura que está abajo.

S

Respuesta: mide 60°.

C En la figura que está a la derecha,

Al ángulo se le llama ángulo AOB y se simboliza como ∡AOB.

Y la medida del ángulo se expresa ∡AOB= 60°.

Ejemplo: Mida con el transportador un ángulo como indica la figura que está abajo y simbolice utilizando el signo “∡” que

lo representa.

Respuesta: ∡AOB = 45°.

A la abertura formada por dos lados con un

vértice en común se le llama ángulo.

Se puede medir con el transportador, y el

ángulo medido se representa con el signo

“ ° (𝐠𝐫𝐚𝐝𝐨) ”.

En un transportador hay dos gradaciones

desde la derecha e izquierda. En este caso,

lea el número que inicia en la derecha con

0° en el lado OB.

En este caso, lea el

número que inicia

de la izquierda con

0° en el lado OB.

E Mida con el transportador el ángulo de las siguientes figuras y simbolice utilizando el signo “∡”.

a. b.

c. d.

Unidad 5 Geometría


Clase 3 Ángulo y su clasificación

P Mida con el transportador los ángulos indicados y ordene de menor a mayor.

S b. c. a.

∡AOB = 45° ∡AOB = 90° ∡AOB = 150°

C A los ángulos mayores que 0° y menores que 90°

se les llama ángulos agudos.

Al ángulo de 90° se le llama ángulo recto.

A los ángulos mayores que 90° y menores que 180°

se les llama ángulos obtusos.

a. b. c.

Este símbolo expresa

ángulo recto (90°).

La mitad del círculo mide 180°.

Al ángulo de 180° se le llama ángulo llano.

Un círculo mide 360°.

Al ángulo de 360° se le llama ángulo completo.

E

Mida con el transportador los siguientes ángulos indicados e identifique cuáles son los ángulos agudos, ángulos rectos y

ángulos obtusos.

a. b.

c. d.

Unidad 5 Geometría

Sección 2 Ángulos y bisectriz

Clase 1 Ángulos complementarios y suplementarios

P1 En la figura que está abajo, calcule la medida del ∡a, si el ∡AOB mide 90°.

S1 ∡a + 30° = ∡AOB

∡𝑎 + 30° = 90°

Por tanto,

∡a − 30° = 90° − 30°

∡a = 60°

Respuesta: ∡a = 60°

C1 Si la suma del ∡a y ∡b es de 90°, al ∡a se le llama ángulo complementario del ∡b y al ∡b se le llama ángulo

complementario del ∡a.

∡a + ∡b = 90°

E1 Calcule la medida del ∡𝑥 en las siguientes figuras, si el ∡AOB mide 90°.

a. b. c.

P2 En la figura que está abajo, calcule la medida del ∡a, si el ∡AOB mide 180°.

El ángulo se expresa como ∡a.

“La medida del ∡a

es de 60°” se expresa

∡a = 60°.

S2 ∡a + 130° = ∡AOB

∡𝑎 + 130° = 180°

Por tanto,

∡a − 130° = 180° − 130°

∡a = 50°


C2 Si la suma del ∡a y ∡b es de 180°, al ∡a se le llama ángulo suplementario del ∡b y al ∡b se le llama ángulo

suplementario del ∡a.

∡a + ∡b = 180°

E2 Calcule la medida del ∡𝑥 en las siguientes figuras, si el ∡AOB mide 180°.

a. b. c.

Unidad 5 Geometría

Sección 2 Ángulos y bisectriz

Clase 2 Bisectriz de un ángulo

P Observe y compare los dos ángulos separados por el OP y OQ de cada figura.

¿Qué relaciones hay entre los dos ángulos?

Figura 1 Figura 2

S Figura 1:

∡AOP = 40° y ∡BOP = 20°

Por tanto, la medida de los dos ángulos separados

por el OP es diferente.

Figura 2:

∡AOQ = 30° y ∡BOQ = 30°

Por tanto, la medida de los dos ángulos separados

por el OQ es igual.

C Al rayo que divide en dos partes iguales un ángulo se le llama bisectriz del ángulo.

E Identifique una figura con la bisectriz correctamente trazada de un ángulo entre las de abajo.

a. b. c.

Este símbolo

expresa que los

ángulos miden

lo mismo.

Unidad 5 Geometría

Sección 3 Propiedades y trazo de rectas paralelas, las perpendiculares y mediatriz

Clase 1 Líneas paralelas y perpendiculares

C1 Si el ángulo formado entre AB ⃡ y CD ⃡ que se intersecan es de 90°, se comprende que las dos rectas

son perpendiculares y se simboliza como 𝐀𝐁 ⃡ ⊥ 𝐂𝐃 ⃡ .

Si las dos rectas son perpendiculares, a una de las dos rectas se le llama línea perpendicular de

la otra.

Ejemplo: Simbolice los segmentos perpendiculares de la siguiente figura con el signo "⊥".

El ángulo formado por los segmentos AO y BO es de 90°.

Respuesta: AO ⊥ BO

C2 Cuando dos rectas AB ⃡ y CD ⃡ no se intersecan aunque las alargue, se comprende que las dos rectas

son paralelas y se simboliza como 𝐀𝐁 ⃡ ∥ 𝐂𝐃 ⃡ .

Si las dos rectas son paralelas, a una de las dos rectas se le llama línea paralela de la otra.

Ejemplo: Simbolice con el signo “∥” los segmentos paralelos del siguiente trapecio.

Los segmentos AD y BC son paralelos.

Respuesta: AD ∥ BC

E Simbolice con el signo “⊥” o “∥” las relaciones que existen entre los segmentos indicados del siguiente rectángulo.

a. AB y DC

b. AB y AD

c. BC y AD

d. DC y BC

Con los segmentos

también se forman

perpendiculares.

Este símbolo expresa

líneas paralelas.

Con los segmentos

también se forman

paralelos.

Unidad 5 Geometría


Clase 2 Construcción de líneas paralelas

P

¿De qué forma se construye una recta paralela a la recta l que pase por el punto P con el uso de las escuadras?

S Para construir líneas paralelas con ángulo recto:

2 Alinee uno de los lados de

la escuadra con la línea

como se indica en la

figura.

1 Sujete firme la escuadra, y

coloque la otra escuadra a

lo largo de otro lado del

ángulo recto.

Deslice la escuadra de la

derecha hasta llegar al

punto P.

3

Mientras sostiene el par de

escuadras con su mano

izquierda, tome un lápiz

con su mano derecha.

4 Mientras sostiene firmemente las escuadras, dibuje un segmento

que pase a través del punto P. 5

También se puede expresar una

recta con una letra como l o m.

E Construya con escuadras una línea paralela a la recta l que pase por el punto P.

a. b.．

Unidad 5 Geometría


Clase 3 Mediatriz de un segmento

P Dado los puntos A y B, trace un segmento AB. Luego, doble exactamente por la mitad juntando ambos puntos, y trace una

línea en su doblez.

a. Mida los ángulos que forman el AB y su doblez.

Y ¿qué característica tienen los ángulos medidos?

b. Si se nombra la intersección del AB̅̅ ̅̅ y su doblez

como M, mida y compare la longitud del MA y MB.

S a. El segmento AB y su doblez forman ángulos de 90°.

b. La longitud de MA y MB es igual.

MA = MB

C Al punto que divide un segmento exactamente en dos partes iguales

se le llama punto medio.

A una recta ℓ que se interseca perpendicularmente con el punto medio del AB

se le llama mediatriz del AB̅̅ ̅̅ .

E Identifique la figura que represente la mediatriz del AB.

a. b. c.

Ejemplo:

“La longitud del AB es 3 cm”

se expresa AB = 3 cm.

Este símbolo expresa que los

dos segmentos tienen la

misma longitud.

Unidad 5 Geometría


Clase 4 Construcción de mediatriz de un segmento

C Para construir con regla y compás la mediatriz del AB:

Trace un arco con centro en A, luego trace un arco con el mismo radio

con centro en B.

Marque las intersecciones entre los dos arcos, M y N.

Trace una recta que pase por los puntos M y N.

E Trace con regla y compás la mediatriz de AB en las siguientes figuras.

a. b.

Paso3.

Paso2.

Paso1.

Unidad 5 Geometría Sección 4 Ángulos

Clase 1 Ángulos opuestos por el vértice P Si el ∡a =130°,

a. ¿cuánto miden los otros ángulos de la figura?

b. Compare los cuatro ángulos obtenidos.

S a. ∡a + ∡b = 180°. Para encontrar la medida del ∡b:

130° + ∡b = 180° ∡ b − 130° = 180° − 130°

∡ b = 50°

De igual manera, ∡a + ∡d = 180°.

Para encontrar la medida del ∡d,

130° + ∡d = 180° ∡d − 130° = 180° − 130°

∡d = 50°

∡b + ∡c = 180° . Para encontrar la medida del ∡c, utilice el resultado obtenido del ∡b,

50° + ∡c = 180° ∡c − 50° = 180° − 50° ∡c = 130°

Respuesta: ∡b= 50°, ∡d= 50° y ∡c= 130°

b. ∡a = 130°, ∡c = 130° Por tanto, ∡a = ∡c.

∡b = 50°, ∡d = 50° Por tanto, ∡b = ∡d.

C A dos ángulos en los que los lados de uno de los ángulos son rectas opuestas a los

lados de otro ángulo se les llaman ángulos opuestos por el vértice.

En la figura que está a la derecha, el ∡a y el ∡c son ángulos opuestos por el vértice

así como el ∡b y el ∡d. Dos ángulos opuestos por el vértice miden lo mismo.

Ejemplo: Encuentre la medida de los ángulos indicados.

∡a + 60° = 180° ∡a = 180° − 60° = 120°

∡a = ∡c (por ser opuestos por el vértice)

∡e + 20° = 60° (por ser opuestos por el vértice)

∡e = 60° − 20° = 40°

Respuesta: ∡a = 120°, ∡c = 120° y ∡e = 40°

E Encuentre la medida de los ángulos que se indican en cada inciso.

a. b.

Unidad 5 Geometría

Sección 4 Ángulos y líneas paralelas

Clase 2 Ángulos correspondientes, alternos internos y alternos externos C1 Cuando la recta 𝓃 se interseca con las rectas ℓ y 𝓂 como en la figura que está a la derecha,

al ∡a y ∡e, se les llama ángulos correspondientes.

∡b y ∡f, ∡c y ∡g, ∡d y ∡h son ángulos correspondientes, respectivamente.

E1 Identifique todos los pares de ángulos correspondientes en las siguientes figuras.

a. b.

C2 Cuando la recta 𝓃 se interseca con las rectas ℓ y 𝓂 como en la figura que está a la derecha,

a los ángulos ∡c y ∡e, se les llama ángulos alternos internos.

∡d y ∡f son ángulos alternos internos, respectivamente.

E2 Identifique todos los pares de ángulos alternos internos en las siguientes figuras.

a. b.

C3 Cuando la recta 𝓃 se interseca con las rectas ℓ y 𝓂 como en la figura que está a la derecha,

al ∡a y al ∡g, se les llama ángulos alternos externos.

∡b y ∡h son alternos externos, respectivamente.

E3 Identifique todos los pares de ángulos alternos externos en las siguientes figuras.

a. b.

Unidad 5 Geometría


Clase 3 Ángulos correspondientes y líneas paralelas P Las líneas l y m son paralelas:

a. Identifique el ángulo correspondiente al ∡a.

b. Mida el ∡a y su ángulo correspondiente y compare la medida de los

ángulos correspondientes.

S a.

Respuesta: El ángulo correspondiente al ∡a es el ∡e.

b.


∡e = 70°

La medida del ∡a y ∡e es igual.

∡a = ∡e

C Cuando una recta se interseca con otras dos rectas paralelas, la medida de sus

ángulos correspondientes es igual.

Si ℓ ∥ 𝓂, entonces, ∡a = ∡e

Es decir, si la medida de los ángulos correspondientes ∡a y ∡b es igual, las

dos rectas ℓ y 𝓂 son paralelas.

Si ∡a = ∡e, entonces, ℓ ∥ 𝓂

∡b y ∡f, ∡c y ∡g, ∡d y ∡h son ángulos correspondientes, respectivamente.

E 1. Identifique la medida de cada ∡𝓍, si se establece que ℓ ∥ 𝓂 .

a. b. c.

2. Identifique el inciso que representa ℓ ∥ 𝓂 .

a. b. c.

Unidad 5 Geometría


Clase 4 Ángulos alternos y líneas paralelas P1 Las líneas l y m son paralelas:

a. Identifique el ángulo alterno interno del ∡a.

b. Mida el ∡a y su ángulo alterno interno y compare la medida de los

ángulos alternos internos.

S1 a.

Respuesta: El ángulo alterno interno del ∡a es el ∡g.

b


∡g = 60°

La medida del ∡a y del ∡g es igual.

∡a = ∡g

C1 Cuando una recta se interseca con otras dos rectas paralelas, la medida de los

ángulos alternos internos es igual.

Si ℓ ∥ 𝓂, entonces, ∡a = ∡g

Es decir, si la medida de los ángulos alternos internos ∡a y ∡g es igual, las


Si ∡a = ∡g, entonces, ℓ ∥ 𝔪

∡d y ∡f son ángulos alternos internos.

P2 Las líneas l y m son paralelas:

a. Identifique el ángulo alterno externo del ∡b.

b. Mida el ángulo ∡b y su ángulo alterno externo y compare la medida de

los ángulos alternos externos.

S2 a.

Respuesta: El ángulo alterno externo del ∡b es el ∡h.

b.

Respuesta: ∡b = 120°

∡h = 120°

La medida del ∡b y ∡h es igual.

∡b = ∡h

C Cuando una recta se interseca con otras dos rectas paralelas, la medida de

los ángulos alternos es igual.

Si ℓ ∥ 𝓂, entonces, ∡b = ∡h

Es decir, si la medida de los ángulos alternos externos ∡b y ∡h es igual, las


Si ∡b = ∡h, entonces, ℓ ∥ 𝔪

∡c y ∡e son ángulos alternos internos.

E 1. Identifique la medida de cada ∡𝓍, si se establece que ℓ ∥ 𝓂 .

a. b. c.

2. Identifique las figuras que representan ℓ ∥ 𝓂 entre las siguientes.

a. b. c.

Unidad 5 Geometría

Sección 5 Polígonos

Clase 1 Figuras abiertas y cerradas

P Clasifique, según sus características, las siguientes figuras en 2 grupos e identifique las características de cada grupo.

a. b. c. d.

S Grupo A: a y d

Grupo B: b y c

El grupo A es de figuras planas rodeadas con líneas o segmentos.

El grupo B es de figuras planas no rodeadas con líneas o segmentos.

C A las figuras planas rodeadas con líneas o segmentos como los ejemplos siguientes se les llama figuras cerradas.

A las figuras planas no rodeadas con líneas o segmentos como los ejemplos siguientes se les llama figuras abiertas.

E 1. Clasifique las siguientes figuras según sean cerradas o abiertas.

a. b. c.

2. Dibuje un modelo diferente de las figuras del Ejercicio1.

a. Figura cerrada b. Figura abierta

Grupo A

Grupo B

Unidad 5 Geometría


Clase 2 Figuras convexas y cóncavas

P Identifique las características existentes en los ángulos de los grupos A y B.

Grupo A Grupo B

S En el grupo A, todos los ángulos internos son menores que 180°.

En el grupo B, existe al menos un ángulo interno mayor que 180°.

C A las figuras que tienen todos los ángulos internos menores que 180° (como los ejemplos siguientes)

se les llama figuras convexas.

A las figuras que tienen al menos un ángulo interior mayor que 180° (como los ejemplos siguientes)

se les llama figuras cóncavas.

E 1. Clasifique las siguientes figuras según sean convexas o cóncavas.

a. b. c.

2. Dibuje un modelo diferente de las figuras del Ejercicio1.

a. Figura convexa b. Figura cóncava

Unidad 5 Geometría


Clase 3 Polígonos regulares

P Clasifique los siguientes polígonos en 5 grupos, identificando el número de lados.

a. b. c. d. e.

f. g. h. i. j.

S Grupo 1: Los polígonos que tienen tres lados. c. j.

Grupo 2: Los polígonos que tienen cuatro lados. a. i.

Grupo 3: Los polígonos que tienen cinco lados. d. g.

Grupo 4: Los polígonos que tienen seis lados. e. f.

Grupo 5: Los polígonos que tienen siete lados. b. h.

C

Número de lados Nombre del polígono Ejemplo del polígono

3 Triángulo

4 Cuadrilátero

5 Pentágono

6 Hexágono

7 Heptágono

8 Octágono

9 Eneágono

10 Decágono

E 1. Escriba el nombre de los siguientes polígonos.

a. b. c. d.

e. f. g. h.

2. Utilizando regla dibuje los siguientes polígonos.

a. Triángulo b. Pentágono c. Heptágono

Unidad 5 Geometría

Sección 6 Cuadriláteros

Clase 1 Clasificación de cuadriláteros

P Complete la tabla, con el inciso y el nombre que corresponde a la definición de cada cuadrilátero.

a. b. c. d. e.

Inciso

Nombre

Definiciones Posee cuatro

lados de la

misma longitud

y cuatro ángulos

de 90°.

Posee cuatro

ángulos de 90°.

Posee cuatro

lados de la

misma

longitud.

Posee dos pares

de lados opuestos

paralelos.

Posee un solo

par de lados

opuestos

paralelos.

S

Inciso b. e. c. a. d.

Nombre cuadrado rectángulo rombo paralelogramo trapecio

Definiciones Posee cuatro

lados de la

misma longitud

y cuatro ángulos

de 90°.

Posee cuatro

ángulos de 90°.

Posee cuatro

lados de la

misma longitud.

Posee dos pares

de lados

opuestos

paralelos.

Posee un par de

lados opuestos

paralelos.

C Cuadrado

Es un cuadrilátero con cuatro lados iguales

y cuatro ángulos rectos (90°).

Rectángulo

Es un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos (90°).

Rombo

Es un cuadrilátero con cuatro lados iguales.

Paralelogramo

Es un cuadrilátero con dos pares de lados opuestos que son paralelos.

Trapecio

Es un cuadrilátero con un solo par de lados opuestos que son paralelos.

E Escriba el nombre de los siguientes cuadriláteros.

a. b. c. d. e.

f. g. h. i.

Unidad 5 Geometría


Clase 2 Perímetro de cuadriláteros

P

Calcule el perímetro de los siguientes cuadriláteros.

a. b. c.

d. e.

S a. Rectángulo b. Paralelogramo

4 + 2 + 4 + 2 2 + 5 + 2 + 5

= 12 = 14

Respuesta: 12 cm Respuesta: 14 cm

c. Cuadrado d. Rombo

3 + 3 + 3 + 3 2 + 2 + 2 + 2

= 12 = 8

Respuesta: 12 cm Respuesta: 8 cm

e. Trapecio

2 + 5 + 6 + 4

= 17

Respuesta: 17 cm

C Perímetro del rectángulo y paralelogramo = a + b + a + b

= 2a + 2b

En los cuadrados y rombos, la

longitud de todos sus lados es igual.

El perímetro es la suma de la

longitud de todos los lados.

Perímetro del cuadrado y rombo = ℓ + ℓ + ℓ + ℓ

= 4ℓ

Perímetro del trapecio = a + b + c + d

E Calcule el perímetro de los siguientes cuadriláteros.

a. b. c.

d. e.

Unidad 5 Geometría


Clase 3 Área de rectángulo y cuadrado

P1 ¿Cuántos cm2 tiene el área del rectángulo ABCD

que está a la derecha?

S1 Área del rectángulo ABCD = el número de los cuadritos de 1 cm2 que posee el rectángulo ABCD

Por tanto,

los cuadritos de la línea horizontal × los cuadritos de la línea vertical = todos los cuadritos

6 × 3 = 18

longitud horizontal longitud vertical la medida del área

(base) (altura)

Respuesta: 18 cm2.

C1 Área del rectángulo = base × altura

E1 ¿Cuántos cm2 tiene el área de los siguientes rectángulos?

a. b. c.

Es más sencillo hacer un

cálculo que contar uno a uno

todos los cuadritos de 1 cm2.

Se puede calcular la medida del área

de rectángulos si se sabe solo la base

(longitud horizontal) y la altura

(longitud vertical).

P2 ¿Cuántos cm2 tiene el área del cuadrado ABCD


S2 Área del cuadrado ABCD

= longitud horizontal × longitud vertical

= 4 × 4

= 16

Respuesta: 16 cm2.

C2 Área del cuadrado = lado × lado

E2 ¿Cuántos cm2 tiene el área de los siguientes cuadrados?

a. b. c.

En el caso de cuadrados se puede

calcular el área si se sabe la longitud

de uno de sus lados porque la

longitud vertical y la horizontal son

iguales.

Unidad 5 Geometría


Clase 4 Área del paralelogramo

P ¿Cuántos cm2 tiene el área del paralelogramo ABCD


S Para calcular la medida del área de los paralelogramos, imagine

la figura de la derecha, el rectángulo OBCP, transformado en el

paralelogramo ABCD.

Área del paralelogramo ABCD

= área del rectángulo OBCP

= base × altura

= 4 × 3

= 12

Respuesta: 12 cm2

C Cuando se considera el lado BC como base, la recta perpendicular a esa base AM, también se considera como su

altura.

Las rectas NL y OC también se consideran como altura.

Área del paralelogramo = base × altura

E 1. ¿Cuántos cm2 tiene el área de los siguientes paralelogramos?

a. b.

Se puede considerar la base como

longitud horizontal y la altura como

longitud vertical de los rectángulos.

2. ¿Cuántos cm2 tiene el área de los siguientes paralelogramos?

a. b.

Unidad 5 Geometría


Clase 5 Área del rombo

P ¿Cuántos cm2 tiene el área del rombo que está a la derecha?

S El rombo ABCD se puede considerar como la mitad del rectángulo OPQR.

Área del rombo ABCD

= área del rectángulo OPQR × 1

2

= (6 × 4) × 1

2

= 12

Respuesta: 12 cm2

C En el rombo ABCD, a la diagonal BD que es la más larga se le llama

diagonal mayor y a la diagonal AC que es la más corta se le llama

diagonal menor.

Área del rombo = diagonal mayor × diagonal menor × 1

2

A las diagonales del rombo se les puede

considerar como base y altura del rectángulo.

E 1. ¿Cuántos cm2 tiene el área de los siguientes rombos?

a. b.

2. ¿Cuántos cm2 tiene el área de los siguientes rombos?

a. b.

Unidad 5 Geometría


Clase 6 Área del trapecio

P ¿Cuántos cm2 tiene el área del trapecio


S El trapecio ABCD se puede considerar como la mitad del paralelogramo ABOR.

Área del trapecio ABCD

= área del paralelogramo ABOR × 1

2

= (base BO × altura) × 1

2

= [(5 + 2) × 4] × 1

2

= 14

Respuesta: 14 cm2

C En el trapecio ABCD, a los dos lados paralelos BC y AD, se les llama base mayor y base menor respectivamente.

La longitud de la recta perpendicular AM intersecada con la base mayor BC y la menor AD,

se considera como la altura.

Área del trapecio = (base mayor + base menor) × altura × 1

2

E 1. ¿Cuántos cm2 tiene el área de los siguientes trapecios?

a. b.

En un trapecio se puede considerar “base mayor＋base menor”

como la base de paralelogramo.

2. ¿Cuántos cm2 tiene el área de los siguientes trapecios?

a. b.

Unidad 5 Geometría

Sección 7 Triángulos

Clase 1 Clasificación de triángulos por sus lados

P Mida con una regla y anote la longitud de cada lado de los triángulos que están abajo.

a. b. c.

S a.

AB = 2 cm

BC = 2 cm

CA = 2 cm

La longitud de los 3 lados es igual.

b.

EF = 4 cm

FG = 2 cm

GE = 4 cm

La longitud de 2 de los 3 lados es igual.

c.

OP = 2 cm

PQ = 5 cm

QO = 4 cm

La longitud de los 3 lados es diferente.

C A los triángulos que poseen la misma longitud en sus tres lados

se les llama triángulos equiláteros.

A los triángulos que poseen dos lados con igual longitud

se les llama triángulos isósceles.

AB = cm

BC = cm

CA = cm

EF = cm

FG = cm

GE = cm

OP = cm

PQ = cm

QO = cm

A los triángulos que poseen diferente longitud en sus tres lados

se les llama triángulos escalenos.

E 1. Identifique cuál de los siguientes es triángulo equilátero, isósceles o escaleno.

a. b. c.

2. Mida con una regla la longitud de los lados de cada triángulo y clasifíquelos.

a. b. c.

Unidad 5 Geometría


Clase 2 Clasificación de triángulos por sus ángulos

P1 Mida y anote la medida de cada ángulo de los 3 triángulos que están abajo.

a. b. c.

∡A = ____° ∡E = ____° ∡O = ____°

∡B = ____° ∡F = ____° ∡P = ____°

∡C = ____° ∡G = ____° ∡Q = ____°

S1 a.

∡A = 30°

∡B = 50°

∡C = 100°

b.

∡E = 60°

∡F = 80°

∡G = 40°

c.

∡O = 40°

∡P = 90°

∡Q = 50°

En la figura que está a la izquierda, se expresa el

ángulo como ∡A. Y la medida del ∡A se expresa

∡A = 45°.

P2 Identifique a qué categoría corresponde cada triángulo de P1 (el △ ABC, el △ EFG y el △ OPQ)

a. Los tres ángulos internos son menores que 90°.

b. Uno de los tres ángulos internos es de 90°.

c. Uno de los tres ángulos internos es mayor que 90°.

S2 a. △ ABC

b. △ EFG

c. △ OPQ

C A los triángulos que poseen todos sus ángulos internos menores que 90°

se les llama triángulos acutángulos.

A los triángulos que poseen un ángulo interno de 90°

se les llama triángulos rectángulos.

A los triángulos que poseen un ángulo interno mayor que 90°

se les llama triángulos obtusángulos.

E 1. Identifique cuál de los siguientes triángulos es acutángulo, rectángulo u obtusángulo .

a. b. c.

2. Clasifique los siguientes triángulos, según la medida de sus ángulos, en triángulo acutángulo, rectángulo u

obtusángulo.

a. b. c.

Los triángulos equiláteros e

isósceles también son un tipo

de triángulos acutángulos.

Unidad 5 Geometría


Clase 3 Relación entre los ángulos internos y externos de un triángulo

P Complete los espacios en blanco considerando el triángulo que está a la derecha.

a. ∡a + ∡b + ∡c = °

b. Exprese la suma del ∡a y ∡b usando ∡c: ∡a + ∡b =

c. ∡c + ∡d = °

d. Exprese ∡d usando ∡c: ∡d =

e. Compare las medidas de los ángulos obtenidos en los incisos b y d.

S a. La suma de los ángulos internos del triángulo es 180°.

Por tanto, ∡a + ∡b + ∡c = 180 °

b. Para expresar la suma del ∡a y ∡b usando ∡c, de la suma de los ángulos internos del triángulo (180°) reste el ∡c.

Por tanto, ∡a + ∡b = 180° − ∡c

c. Un ángulo llano mide 180°.

Por tanto, ∡c + ∡d = 180 °

d. Para expresar ∡d usando ∡c, del ángulo llano (180°) reste el ∡c.

∡d = 180° − ∡c

e. ∡a + ∡b = 180 ° − ∡c

∡d = 180 ° − ∡c

Por tanto, la suma del ∡a y ∡b es igual al ∡d.

∡a + ∡b = ∡d

La mitad del círculo mide

180°.

Al ángulo de 180° se le

llama ángulo llano.

C A un ángulo formado por un lado y una línea extendida del siguiente lado de un triángulo se le llama ángulo externo.

A los tres ángulos formados dentro de un triángulo se les llama ángulos internos del triángulo.

En un triángulo, la medida del ángulo externo es igual a la suma

de los dos ángulos internos no adyacentes al ángulo externo.

E Identifique la medida de cada ∡𝑥.

a. b.

A dos ángulos que tienen un lado común y los otros lados

pertenecen a la misma recta se les llama ángulos adyacentes.

Unidad 5 Geometría


Clase 4 Perímetro de triángulos

P Sume la longitud de los tres lados del triángulo

que está a la derecha.

S 4 cm + 5cm + 6cm

= 15 cm

Respuesta: la suma de la longitud de los tres lados es 15 cm.

C A la suma de la longitud de todos los lados de una figura plana se le llama perímetro.

En caso del triángulo, el perímetro es la suma de la longitud de los tres lados.

𝑃 = a + b + c

Donde P, es el périmeto del triángulo.

E Calcule el perímetro de los siguientes triángulos.

a. b. c.

Unidad 5 Geometría


Clase 5 Área del triángulo

P1 ¿Cuántos cm2 tiene el área del triángulo ABC?

S1 Área del triángulo ABC

= la mitad del área del paralelogramo ABCD

= base × altura ×1

2

= 4 × 3 ×1

2

= 6

Respuesta: 6 cm2

C Área del triángulo = base × altura ×1

2

E 1. ¿Cuántos cm2 tiene el área de los siguientes triángulos?

a. b.

Área del paralelogramo = base × altura

El área del triángulo = el área del paralelogramo o del rectángulo × 1

2

2. ¿Cuántos cm2 tiene el área de los siguientes triángulos?

a. b. c. d.

Unidad 5 Geometría

Sección 8 Propiedades y construcción de polígonos

Clase 1 Construcción de triángulos equilátero

C Para construir con regla y compás un triángulo equilátero de 3 cm de lado.

Paso 1.

Trace el segmento AB de 3 cm.

Paso 2.

Trace un arco con un radio de 3 cm utilizando como

centro los puntos A y B.

Paso 3.

Marque la intersección entre los dos arcos C.

Paso 4.

Trace un segmento que una el punto C con el punto A,

y otro que una el punto C con el punto B.

E Construya un triángulo equilátero con regla y compás.

a. El triángulo equilátero ABC con cada lado de 2 cm.

b. El triángulo equilátero ABC con cada lado de 5 cm.

Unidad 5 Geometría

Sección 8 Propiedades y construcción de polígonos

Clase 2 Construcción de cuadrado

C Para construir un cuadrado cuyo lado sea 4 cm.

Paso 1.

Trace el segmento AB cuya longitud sea 4 cm.

Paso 2.

Extienda el segmento AB a la derecha.

Paso 3.

Coloque el compás en el punto B con cualquier medida

menor que 4 cm. Y trace un arco en cada lado del punto B,

creando los dos puntos E y F.

Paso 4.

Coloque el compás en el punto F con cualquier medida que sea

conveniente. Y trace un arco sobre el punto B.

Paso 5.

Sin cambiar la medida del compás, colóquelo en el punto E y trace

un arco sobre el punto B, cruzando el arco anterior y creando el

punto G.

Paso 6.

Trace un rayo desde el punto B que atraviese el punto G.

Paso 7.

Coloque el compás en el punto B, establezca la medida hasta

el punto A y mantenga esa medida. Trace un arco sobre el rayo BG

creando el punto C. Además coloque el compás en el punto A y trace

un arco encima del punto A sin cambiar la medida del compás.

Paso 8.

Coloque el compás en el punto C manteniendo la medida

del compás y trace un arco a la izquierda del punto C que

atraviese el arco existente, creando el punto D.

Paso 9.

Trace los segmentos CD y AD.

El cuadrilátero ABCD es un cuadrado cuyo lado es 4 cm.

E Construya con regla y compás un cuadrado cuyo lado sea 6 cm.

Unidad 5 Geometría

Sección 9 Simetría

Clase 1 Simetría axial

P Cuando se dobla el triángulo isósceles en dos partes iguales,

¿cómo quedarían ambas partes?

S Sus lados, ángulos y sus vértices corresponden exactamente.

C A las figuras que coinciden exactamente sus lados, ángulos y vértices al doblarlas por una recta, se les llama figuras

de simetría axial.

Además, a esa línea recta, se le llama eje de simetría.

E 1. Trace el eje de simetría en cada figura.

a. b.

2. Identifique los posibles números existentes del eje de simetría en cada figura.

a. b. Rectángulo c. Cuadrado

Unidad 5 Geometría

Sección 9 Simetría

Clase 2 Simetría radial

P

Existen dos paralelogramos como el de la derecha, colocados uno sobre

otro y sostenidos por el centro de los paralelogramos.

¿Cuántos grados se necesita girar el paralelogramo de arriba para que

las dos se vuelvan a colocar exactamente?

S

Respuesta: 180°.

C Cuando una figura gira 180°, alrededor de un mismo punto, a la figura que se sobrepone exactamente con la original,

se le llama figura de simetría radial.

Y al punto central,

se le llama centro de simetría.

E 1. Identifique si las figuras de abajo son simetría radial.

a. b.

2. clasifique las siguientes figuras según su simetría en axial o radial.

a. b. c. d.

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